Estudos Paramétricos no Projecto Conceptual de...
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Pedro V. Gamboa - 2017
Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior
Cascas
Placas e Cascas – 10377
Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
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• Uma casca é um corpo tridimensional com:
– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;
– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial não é nula.
• Exemplos de cascas:
– Reservatórios de pressão;
– Asas de avião;
– Tubos;
– Exterior de foguetes;
– Pneus;
– Lâmpadas.
1. Tensões de Membrana em Cascas
superfície média
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1.1. Introdução
• As cascas consideram-se finas quando a razão da sua espessura pelo
raio de curvatura é inferior a 1/20;
• Cascas finas de interesse prático têm esta razão inferior a 1/1000;
• A análise de cascas inclui, normalmente, duas teorias distintas:
– Teoria de membra:
• Usualmente, aplica-se uma grande área da casca;
• Uma membrana não resiste a momentos ou forças de corte;
• Uma membrana suporta esforços de tração ou compressão.
– Teoria de flexão:
• Inclui os efeitos da flexão;
• Permite ter em conta descontinuidades na distribuição de tensão numa área
limitada da placa;
• Esta teoria, geralmente, engloba uma solução de membrana corrigida nas
áreas com efeitos de descontinuidade pronunciados e, por isso, permite ter
em conta forças nas arestas e forças concentradas.
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1.2. Comportamento geral de cascas
É importante notar que as forças de membrana são independentes da flexão e
são totalmente definidas pelas condições de equilíbrio estático.
Na derivação da teoria de membrana as propriedades do material não são usadas
e, por isso, ela é válida para todas as cascas independentemente do material
utilizado.
No caso da teoria de flexão isto já não é verdade.
É necessário considerar alguns pressupostos cinemáticos básicos associados à
deformação de cascas finas usados na análise de pequenas deflexões.
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1.2. Comportamento geral de cascas
Pressupostos:
1. A razão da espessura da casca pelo raio de curvatura da superfície
média é pequena comparada com a unidade.
2. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a
espessura da casca.
3. Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem
planas e ficam normais à superfície deformada após a flexão. Isto
indica que as extensões de corte verticais, gxz e gyz, são desprezáveis.
Conclui-se que a extensão normal ez resultante do carregamento
transversal pode ser omitido.
4. A tensão normal à superfície média, sz, é pequena comparada com as
outras componentes e pode ser desprezada.
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1.3. Resistência da casca ao carregamento
O mecanismo de resistência a cargas nas cascas não é igual ao das vigas ou das
placas finas.
Por exemplo, uma casca de ovo ou uma lâmpada incandescente suportam
elevadas forças normais apesar da sua fragilidade (um ovo de galinha tem um
raio r=20mm e uma espessura t=0,4mm – t/r=1/50).
Este comportamento contrasta com o de materiais idênticos na forma de viga ou
placa.
Uma casca é curva e, assim, pode desenvolver forças no plano que formam a
ação primária de resistência para além das forças que existem numa viga ou
numa placa.
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1.3. Resistência da casca ao carregamento
Para descrever o fenómeno, considere-se parte de uma casca esférica de raio r e
espessura t sujeita a uma pressão uniforme p.
A condição das forças verticais ser igual a zero é
ou
0sin2 2
00 rpNr f
2sin2
0 prprN
f
onde N é a força no plano por unidade de circunferência.
Esta relação é válida em qualquer posição na casca, uma vez que N não varia
com f.
Ao contrário das placas, nas cascas o carregamento é suportado pela superfície
média.
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1.4. Geometria de cascas de revolução
Considere um tipo de casca particular descrito por uma superfície de revolução:
por exemplo a esfera, o cilindro ou o cone.
A superfície média de uma casca de revolução é gerada pela rotação do
meridiano em torno de um eixo no seu plano.
Um ponto na placa é localizado pelas coordenadas q, f e r0 e a superfície
elementar ABCD é definida por dois meridianos e dois paralelos.
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1.4. Geometria de cascas de revolução
Nesta descrição assume-se que os raios de curvatura principais r1 e r2 são
constantes conhecidas. No caso de os raios de cuvatura não serem constantes
usa-se a equação que define a forma da casca.
Os planos associados com os raios de curvatura principais r1 e r2 em qualquer
ponto na superfície média da casca são o plano meridiano e o plano paralelo no
ponto em questão, respetivamente.
Os raios de curvatura r1 e r2 estão, assim, relacionados com os lados CD e AC.
O raio principal r2 gera a superfície da casca na direcção perpendicular à
direção da tangente da curva meridiana.
Os dois raios r0 e r2 estão relacionados por
fsin20 rr
fqfq drLdrdrL CDAC 120 sin
Daqui vê-se que os comprimentos do elemento curvilíneo da casca são
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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)
Nos problemas axi-simétricos com cascas de revolução não existem forças de
corte e existem apenas duas forças de membrana por unidade de comprimento,
Nq e Nf.
As equações que governam estas forças são derivadas a partir de duas condições
de equilíbrio.
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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)
Devido à condição de simetria tanto o carregamento como as forças de
membrana não variam com q.
As forças externas por unidade de área são representadas pelas componentes py
e pz nas direcções y e z, respetivamente.
O equilíbrio na direcção z requer que se considerem as componentes em z do
carregamento e as forças que atuam em cada aresta do elemento.
O carregamento distribuído na direção z na área do elemento é
fqddrrpz 10
A força que atua na aresta superior do elemento é Nfr0dq.
Desprezando os termos de ordem superior, a força na aresta inferior é também
Nfr0dq.
A componente destas forças na direção z é, assim, Nfr0dqsin(df/2).
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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)
Esta força é quase igual a Nfr0dqdf/2, dando a força seguinte para a resultante
das duas arestas
fqf ddrN 0
Destas três forças, com
A força em cada um dos lados do elemento é Nqr1df.
A resultante na direção do raio do plano paralelo para as duas forças é Nqr1dfdq
que produz na direcção z
fqfq sin1 ddrN
0 zF
tem-se
0sin 1010 rrprNrN zfqf
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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)
Esta expressão pode ser simplificada dividindo por r0r1 e substituindo r0 por
r2sinf.
Desta forma, uma das relações básicas para cascas com carregamentos axi-
simétricos é
O equilíbrio de forças na direção da tangente meridional, na direção y, é
0cos 0110 qffqfqff
qf drdrpddrNddrNd
dy
O primeiro termo representa a soma das forças normais nas arestas AC e BD.
O segundo termo é a componente, na direção y, da força radial resultante
Nqr1dfdq que atua nas faces AB e CD.
O terceiro termo é a componente do carregamento.
zpr
N
r
N
21
qf
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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)
Dividindo esta equação por dqdf, a equação do equilíbrio das forças em y fica
Pode notar-se que outra equação de equilíbrio pode ser usada em vez desta
isolando a parte da casca intercetada pelo ângulo f.
Substituindo a resultante de todas as forças externas aplicadas neste corpo livre
por F e lembrando que, da simetria, as forças Nf são constantes em redor da
aresta, o equilibrio das forças verticais é
0110 cos rrprNrNd
dy f
fqf
0sin2 0 FNr f f
ou
ff
sin2 0r
FN
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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)
Estas equações são suficientes para determinar a força de hoop Nq e a força
meridional Nf.
A partir destas forças as tensões são obtidas diretamente.
Valores negativos indicam tensões de compressão.
Devido à liberdade de movimento na direção z, para a casca de revolução com
carregamento axi-simétrico considerada, são produzidas extensões que
garantem a consistência com o campo de tensões e a compatibilidade entre as
extensões e as tensões.
Esta é a diferença base entre um problema de membrana da casca e um de
tensão plana. Neste último é preciso aplicar a equação de compatibilidade.
Também é claro que quanto a casca está sujeita a carregamentos de superfície
concentrados ou tem as extremidades constrangidas a teoria da membrana não
cumpre as condições de deformação em todos os lados.
A solução completa precisa da teoria de flexão.
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
As tensões de membrana em qualquer casca de revolução com um carregamento
axi-simétrico podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio obtidas
anteriormente.
Em seguida são apresentados alguns elementos estruturais comuns.
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
Casca Esférica
Nas cascas esféricas pode considerar-se o raio médio a=r1=r2.
Assim, as equações de equilíbrio ficam
apNN z qf
ff 2sin2 a
FN
O caso mais simples é uma casca esférica sujeita a uma pressão interna
constante p, como um balão.
Temos p=-pz, f=90º e F=-a2p.
Como qualquer que seja a secção considerada obtém-se um corpo livre idêntico,
Nf=Nq=N.
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
A tensão fica
t
pa
at
pa
t
N
22/sin2 2
2
s
onde t é a espessura da casca.
A expansão da esfera, aplicando a Lei de Hook,
yxxE
sse 1
é
d
1
2
2
Et
pa
t
N
t
N
E
as
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cónica
Neste caso típico o ângulo f é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado
como coordenada do meridiano.
Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície
média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.
Desta forma, o comprimento de um elemento meridional é ds=r1df e
ds
dr
d
d1
f
Também se tem
sNNsrsr fff cotcos 20
Introduzindo estas relações nas equações de equilíbrio
obtém-se
spNsNds
dys q
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
e
onde r0 é o raio médio na base.
As cargas py e pz estão nas direcções s e radial, respetivamente.
A combinação das duas equações anteriores dá
A força meridional, depois da integração desta expressão, é
ff
fq
q
sincot
cot
0
1
rpspNp
s
N
r
N zzz
s
0
sppsNds
dzys fcot
dsspps
N zys fcot1
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
Uma forma alternativa da primeira equação pode ser obtida usando a segunda
forma da segunda equação de equilíbrio.
As forças de membrana ficam
Pode ver-se que, dada uma distribuição de carregamento exterior, as tensões de
hoop e meridional podem ser calculadas independentemente.
f sin2 0r
FNs
fq
sin
0rpN z
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cilíndrica Circular
Para obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as
equações da casca cónica colocando f=/2, pz=pr e o raio médio
a=r0=constante.
Assim, as equações acima ficam
Para um cilindro com as extremidades fechadas sujeito a uma pressão interna
constante tem-se p=-pr e F=-a2p.
a
FNN xs
2
apN rq
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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)
As tensões axial e de hoop ficam
Da Lei de Hooke, a extensão do raio do cilindro sujeito a estas tensões é
t
pax
2s
t
paqs
ssd q 22
2
Et
pa
E
axc
Soluções para outros casos de interesse podem ser derivadas usando um
procedimento idêntico.
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1.7. Deformação axi-simétrica
Vamos ver os deslocamentos numa casca de revolução com carregamento axi-
simétrico considerando um elemento AB com comprimento r1df no meridiano
duma casca sem extensão.
Consideremos os deslocamentos na direção tangente ao meridiano v e os
deslocamentos na direcção normal à superfície média w.
Depois de sofrer extensão, AB desloca-se para A’B’.
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1.7. Deformação axi-simétrica
Nesta análise vamos utilizar a aproximação de deformações pequenas e
desprezar termos infinitesimais de ordem superior.
A deformação sofrida por um elemento de comprimento infinitesimal r1df pode
ser considerada como sendo composta de um aumento de comprimento
(dv/df)df devido aos deslocamentos tangenciais e uma redução do
comprimento wdf produzido pelo deslocamento radial.
A extensão meridional ef, a deformação total por unidade de comprimento do
elemento AB, é assim
11
1
r
w
d
dv
r
fef
A deformação de um elemento de um círculo paralelo pode ser obtida de forma
similar.
Pode ser mostrado que o aumento no raio r0 do círculo, produzido pelos
deslocamentos v e w é vcosf-wsinf.
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1.7. Deformação axi-simétrica
Como a circunferência do paralelo expande em proporção direta com o raio,
então
ffeq sincos1
0
wvr
Relembrando que r0=r2sinf, a extensão de hoop é
wvr
feq cot1
2
Eliminando w destas equações ficamos com a equação diferencial em v
qf eeff
21cot rrvd
dv
As extensões estão relacionadas com as tensões de membrana pela lei de Hooke
fqqqff ssesse EE
11
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1.7. Deformação axi-simétrica
Usando estas relações na equação diferencial obtém-se
Pode observar-se que as deformações simétricas da casca de revolução podem
ser obtidas integrando esta expressão quando as tensões de membrana são
conhecidas.
Colocamos
1221
1cot rrrr
Ev
d
dvssf
fqf
Esta equação tem a solução
ff
f
fsin
sin
cd
fv
fff
fvd
dv cot
onde a constante de integração c se obtém das condições de fronteira.
Conhecendo v, w pode ser facilmente calculado.
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1.7. Deformação axi-simétrica
Exemplo 3.1
Considere um telhado semi-esférico com apoios simples, raio a, espessura t e
sujeito ao seu peso p por unidade de área.
a) Determine as tensões no telhado;
b) Assumindo que o telhado é feito em betão de 70mm de espessura, com
densidade de 23kN/m3, e um diâmetro de 56m determine a capacidade do
telhado resistir à fratura. A tensão de rutura à compressão é su=21MPa e o
módulo de elasticidade é E=20GPa.
c) Verifique a existência de instabilidade.
d) Determine os deslocamentos no telhado.
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-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
f , graus
ten
são
no
rmal
/ (p
a/t
)
1.7. Deformação axi-simétrica
f
q
51,1º
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1.8. Carregamentos assimétricos (Cascas de Revolução)
Nas cascas de revolução com
carregamentos não simétricos, não
estão presentes apenas as forças
normais Nf e Nq nos lados de um
elemento mas também as forças de
corte Nfq e Nqf.
O equilíbrio de momentos implica que
Nqf=Nfq, o que acontece sempre numa
casca fina.
O carregamento na superfície tem
componentes px, py e pz.
dq
dq q
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1.8. Carregamentos assimétricos (Cascas de Revolução)
Vamos ver as forças na direção x.
A força
fqq
q ddrN
1
deve-se à variação de Nq.
A componente horizontal das forças Nqfr1df que atuam nas faces AB e CD do
elemento faz um ângulo dq e, por isso, tem a seguinte resultante em x
qfffq ddrN cos1
A diferença das forças de corte que atuam nas faces AC e BD do elemento são
qqff
ff
qf
qf
qf drNddd
drrd
NN 0
00
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1.8. Carregamentos assimétricos (Cascas de Revolução)
ou
Logo, o equilíbrio na direção x fica
fqf
qff
qff
qf
qf
qf ddNrddrN
ddd
drN 00
0
A componente da força externa é
fqddrrpx 10
0cos 10110
rrprNr
NNr xf
ffqf
qqf
À expressão do equilíbrio em y obtida na secção 1.5 é necessário adicionar a
força
fqq
qfddr
N1
devido à diferença das forças de corte nas faces AB e CD.
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1.8. Carregamentos assimétricos (Cascas de Revolução)
Uma vez que a projeção das forças de corte no eixo z desaparece, as equações
de equilíbrio em y e z ficam, respetivamente,
Estas equações permitem determinar as forças de membrana numa casca de
revolução com carregamento não simétrico que pode, em geral, variar com q e
f.
Da mesma forma que para os carregamentos axi-simétricos se obtiveram
expressões para o equilíbrio de cascas esféricas, cónicas e cilíndricas, também
se podem obter expressões para carregamentos não simétricos.
0cos 01110
rrprNr
NrN
d
dyf
qfq
qf
f
zpr
N
r
N
21
qf
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1.9. Cascas cilíndricas
Uma casca cilíndrica é formada por um linha reta, a geratriz, que se desloca ao
longo de uma trajetória fechada paralela.
Um elemento de uma casca cilíndrica está compreendido por duas geratrizes e
dois planos normais ao eixo axial x, distanciadas de dx.
Este elemento é posicionado pelas coordenadas x e q.
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1.9. Cascas cilíndricas
Vamos assumir que um carregamento não uniforme atua nesta casca cilíndrica.
Neste caso, um corpo livre de um elemento da membrana contém as forças
aplicadas (figura anterior).
As componentes em x e q das forças externas são px e pq com sentido positivo
no sentido positivo dos respetivos eixos.
A componente normal ou radial do carregamento, pr, atua no sentido positivo
para dentro.
O equilíbrio de forças nas direções x, q e z são, respetivamente,
0
qq q dxrdpdxd
Ndxrd
x
Nx
xx
0
qqq
qq dxrdpdxrdx
Ndxd
N x
0 qqq dxrdpdxdN r
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1.9. Cascas cilíndricas
Dividindo estas expressões por dxrdq obtêm-se as equações de equilíbrio para
cascas cilíndricas.
Assim,
qqq
qp
N
rx
N x
1
xxx p
N
rx
N
qq1
rpN rq
Estas equações também podiam ser obtidas a partir das equações gerais.
Pode ver-se que estas equações são simples e que podem ser resolvidas uma de
cada vez.
Para um dado carregamento, Nq é obtido da primeira equação.
Nxq e Nx são, depois, obtidas integrando as outras duas.
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1.9. Cascas cilíndricas
Então,
qqq 1
1fdx
N
rpN x
rpN rq
onde f1(q) e f2(q) são funções de integração arbitrárias que dependem das
condições nas arestas.
Estas funções resultam da integração das derivadas parciais.
q2
1fdx
N
rpN x
xx
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1.9. Cascas cilíndricas
Exemplo 3.2
Uma tubagem longa e cilíndrica está apoiada como mostra a figura e contém um
líquido com peso específico g.
Determinar as forças de membrana nas seguintes condições:
a) existem juntas de expansão nas duas extremidades;
b) ambas as extremidades estão rigidamente fixas.
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2. Tensões de Flexão em Cascas
2.1. Introdução
• Foi visto anteriormente que a teoria de membrana não consegue
fornecer soluções compatíveis com as condições reais de
deformação em todas as situações.
• Também nas fronteiras e em certas partes da casca esta teoria não
consegue prever o estado de tensões.
• Estas limitações são ultrapassadas pela introdução da teoria de
flexão que tem em conta forças de membrana, forças de corte e
momentos que atuam na estrutura da casca.
• Para desenvolver as equações diferenciais para os deslocamentos da
superfície média u, v e w que definem a geometria e a cinemática da
deformação procede-se da mesma forma que para as placas.
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• Primeiro derivam-se as relações básicas entre as tensões e as
deformações de cascas de geometria genérica.
• A teoria de flexão completa é matematicamente intrincada e as
primeiras soluções de tensões de flexão de cascas datam de 1920.
2.1. Introdução
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Para derivar uma expressão para as resultantes das tensões, isto é, as forças e os
momentos resultantes que representam as tensões internas, considera-se um
elemento infinitesimal.
Este elemento é definido por dois pares de planos normais à superfície média da
casca.
A origem do sistema de eixos coordenados é localizada num canto do elemento
com os eixos x e y tangentes às linhas de curvatura principal e o z perpendicular
à superfície média.
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Devido à curvatura da casca, os comprimentos dos arcos afastados de uma
distância z da superfície média não são apenas dsx e dsy, os comprimentos
medidos na superfície média, mas sim
y
yy
yy
x
xx
xx dsr
z
r
zrdsds
r
z
r
zrds
11
onde rx e ry são os raios de curvatura principais nos planos xz e yz,
respetivamente.
As tensões que atuam nas faces planas do elemento são sx, sy, txy, txz e tyz.
Se Nx representar a força normal resultante que atua na face yz por unidade de
comprimento tem-se, usando o arco real,
2
21
t
ty
y
xyx dzdsr
zdsN s
Pla
cas
e C
asca
s
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Dividindo pela distância arbitrária dsy tem-se
Da mesma forma, podem derivar-se expressões para as outras resultantes de
tensão.
Assim,
2
2
2
211
t
tyx
t
ty
xx dzzkdzr
zN ss
2
2
1
1
1
1
1
1
t
t
xyz
yxz
xyx
yxy
xy
yx
y
x
yx
xy
y
x
dz
zk
zk
zk
zk
zk
zk
Q
Q
N
N
N
N
t
t
t
t
s
s
Pla
cas
e C
asca
s
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
e
A convenção dos sinais é a mesma das placas.
Destas equações pode concluir-se que, apesar de txy=tyx, as forças de corte Nxy e
Nyx e os momentos torsores Mxy e Myx não são, geralmente, iguais.
Isto ocorre porque rx≠ry.
No entanto, para cascas finas (são estas que nos interessam) t é pequeno em
comparação com rx e ry e, por isso, z/rx e z/ry podem ser desprezados em
comparação com a unidade.
Neste caso Nxy=Nyx e Mxy=Myx.
2
2
1
1
1
1
t
t
xyx
yxy
xy
yx
yx
xy
y
x
zdz
zk
zk
zk
zk
M
M
M
M
t
t
s
s
Pla
cas
e C
asca
s
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Assim, as resultantes de tensão são descritas com as mesmas expressões das
placas, isto é
2
2
t
t
xy
y
x
xy
y
x
zdz
M
M
M
t
s
s
2
2
t
t
yz
xz
xy
y
x
y
x
xy
y
x
dz
Q
Q
N
N
N
t
t
t
s
s
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Para relacionar as resultantes de tensão com as deformações da casca, as tensões
sx, sy e txy têm que ser calculadas em termos das extensões.
De acordo com os pressupostos, a tensão na direção z é desprezada, sz=0.
A lei de Hooke fica, então,
xyxyxyyyxx GEE
gtee
see
s
;1
;1 22
Temos que determinar as extensões que aparecem nestas expressões.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
O elemento deformado da casca da figura, tem os lados mn e m’n’ retos de
acordo com o pressuposto 3.
A superfície média está esticada e o lado mn está rodado em relação à
configuração original.
O alongamento unitário ex de uma fibra lf, posicionada no plano xz a uma
distância z da superfície média, é dado por
f
f
xl
le
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Aqui, lf é o alongamento sofrido por lf.
Assim,
f
x
xxfxxf lr
zdslzdsl
111 0e
onde ex0 representa a deformação unitária na superfície média, r’x é o raio de
curvatura depois da deformação e dsx é o comprimento da fibra na superfície
média.
Substituindo estas equação na equação da extensão tem-se
xxxxx
xx
rrrz
z
rz
1
1
1
11 0
0
e
ee
onde rx é a curvatura antes da deformação.
Uma vez que temos t«rx, z/rx pode ser omitido.
Por outro lado a influência de ex0 na curvatura é desprezável.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Desta forma, a expressão acima fica
onde cx representa a variação da curvatura da superfície média.
O alongamento unitário em qualquer distância normal à superfície média está,
assim, relacionado com o esticar da superfície média e a mudança da curvatura
associada à deformação.
Para a direção y obtém-se uma expressão idêntica
xx
xx
xx zrr
z ceee
00
11
Falta determinar a distribuição da extensão de corte gxy.
yy
yy
yy zrr
z ceee
00
11
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Considera-se gxy0 a extensão de corte na superfície média.
Devido à rotação da aresta AB em torno do eixo x e a gxy0, e referindo à equação
das placas
tem-se
xyxyxy zcgg 20
Aqui, cxy designa a torção da superfície média.
Isto representa o efeito da rotação dos elementos da casca em torno da normal à
superfície média.
xyxy zg 2
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Finalmente, desprezando os termos z/rx e z/ry, como anteriormente, e
substituindo as tensões nas expressões das resultantes de tensão obtém-se
Substituindo estes resultados nas equações das tensões tem-se
yxyxx zE
ccee
s
0021
xyxyy zE
ccee
s
0021
xyxyxy zG cgt 20
0021yxx
EtN ee
0021xyy
EtN ee
012
xyyxxy
EtNN g
Pla
cas
e C
asca
s
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
D=Et3/[12(1-2)] define a rigidez de flexão da casca, à semelhança do obtido
para a placa.
Estas equações são as equações constitutivas para cascas.
Nas condições em que a flexão pode ser desprezada, a análise das tensões
simplifica-se bastante uma vez que Mx, My e Mxy=Myx desaparecem.
O que sobra são as forças de membrana Nx, Ny e Nxy=Nyx.
e
yxx DM cc
xyy DM cc
xyyxxy DMM c 1
Pla
cas
e C
asca
s
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2.4. Tensões Compostas nas Cascas
Estamos, agora, em condições para escrever as tensões compostas numa casca
produzidas por forças e momentos.
Para isso, substitui-se as extensões e deformações obtidas das equações das
resultantes de tensão nas equações das tensões, o que dá
3
12
t
zM
t
N xxx s
Os primeiros termos nestas expressões representam as tensões de membrana e
os segundos as tensões de flexão.
Pode observar-se que a distribuição das componentes da tensão sx, sy e txy na
espessura é linear.
3
12
t
zM
t
N yy
y s
3
12
t
zM
t
N xyxy
xy t
Pla
cas
e C
asca
s
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2.4. Tensões Compostas nas Cascas
Também pode ser verificado, à semelhança das placas, que as tensões de corte
vertical têm uma distribuição parabólica.
Estes valores são pequenos quando comparados com as outras tensões planas,
tal como eram no caso da placa.
Pode concluir-se que as relações de tensão fundamentais são idênticas para as
vigas, as placas e as cascas.
2
241
2
3
t
z
t
Qxxzt
2
241
2
3
t
z
t
Qy
yzt
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
Tubos, tanques e outros contentores sujeitos a pressão interna são alguns
exemplos de cascas cilíndricas com carregamentos axi-simétricos.
Devido à simetria, um elemento cortado de um cilindro de raio a terá as
resultantes de tensão Nq, Mq, Nx e Qx.
A força e o momento em torno da circunferência, Nq e Mq, não variam com q.
Assim, o deslocamento na circunferência v desaparece e só é necessário
considerar os deslocamentos em x e y, u e w, respetivamente.
Desta forma, apenas três das seis equações de equilíbrio do elemento da casca
têm que ser satisfeitas.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
Supondo que o carregamento externo é como mostrado na figura, os equilíbrios
nas direções x e z resultam em
0 dxadpaddxdx
dNx
x qq
0 qqq q addxpddxNaddxdx
dQr
x
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
O equilíbrio de momentos em torno de y é dado por
0 dxadQaddxdx
dMx
x qq
0 xx p
dx
dN
Dividindo todas as equações por dx.adq obtém-se
01
rx pN
adx
dQq
0 xx Q
dx
dM
É interessante notar que a última equação é a relação básica das vigas: a força
de corte é a primeira derivada do momento fletor.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
Da primeira equação a força axial Nx é
cdxpN xx onde c é uma constante de integração.
Pode ver-se que as incógnitas Qx, Nq e Mx não podem ser determinadas das duas
últimas equações e, por isso, é necessário examinar os deslocamentos da
superfície média.
Uma vez que neste caso v=0, as relações extensão-deslocamento são, da
simetria,
dx
dux e
a
w
ad
addwa
q
qqeq
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
Aplicando a lei de Hooke, tem-se
a
w
dx
duEtEtN xx
ee
q 22 11
de onde se tira
02
2
dy
wd
a
wN
Etdx
dux
21
Logo, da lei de Hooke
dx
du
a
wEtEtN x
ee
qq 22 11
As relações entre momento fletor e deslocamentos são as mesmas que para um
plano dobrado numa superfície cilíndrica.
Assim, como,
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
tem-se
xx MMdx
wdDM q
2
2
onde D é a rigidez de flexão da casca.
Usando as duas últimas equações de equilíbrio e eliminando Qx obtém-se
Finalmente, quando esta expressão é combinada com as equações anteriores,
tem-se
01
2
2
rx pN
adx
Mdq
01
1
1 2
22
2
2
2
rx p
a
wN
Eta
wEt
adx
wdD
dx
d
024
4
rx pNa
wa
Et
dx
wdD
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
Uma forma mais conveniente desta expressão é
onde
e o parâmetro geométrico b tem dimensão L-1.
Esta equação e a equação de du/dx representam as condições de deslocamento
que governam uma casca cilíndrica com carregamento axi-simétrico.
Quando não existe carga axial, Nx=0, estas equações ficam
22
2
2
4 13
4 taDa
Et b
D
p
aD
Nw
dx
wd rx
b 4
4
4
4
D
pw
dx
wd r 4
4
4
4b
a
w
dx
du
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
A primeira equação dá u depois da integração.
A segunda é uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes.
Ela também representa a equação de uma viga com rigidez de flexão D, sobre
apoios elásticos e sujeita a um carregamento pr.
A solução homogénia desta equação é dada por
em que c1, c2, c3 e c4 são constantes e m1, m2, m3 e m4 são raízes da expressão
xmxmxmxm
h ececececw 4321
4321
04 44 bm
Esta expressão pode ser escrita, somando e subtraindo 4m2b2, como
042 22222 bb mm
Daqui
bb mm 22 22
Pla
cas
e C
asca
s
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2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)
cuja solução é
Daqui segue-se que
xixixxixix
h ececeececew bbbbbb 4321
Se f(x) representar a solução particular wp, a solução geral da equação em causa
é
onde C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração arbitrárias, obtidas com base
nas condições de fronteira.
Pode notar-se que os resultados da teoria de membrana podem ser sempre
considerados como as soluções particulares das equações da teoria de flexão.
im 1b
xfxCxCexCxCew xx bbbb bb sincossincos 4321
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
Consideremos um problema de flexão de um cilindro com o comprimento muito
grande comparado com o diâmetro, um cilindro infinito, sujeito a uma carga P
uniformemente distribuída em torno da secção circular.
Uma vez que não existe pressão pr distribuída sobre a superfície da casca Nx=0
e f(x)=0.
A solução deste problema fica
xCxCexCxCew xx bbbb bb sincossincos 4321
Devido à simetria da casca, as condições de fronteira para a metade direita são
deduzidas do facto de quando x→∞, a deflexão e todas as derivadas de w com
respeito a x desaparecem.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
Como Nx=0
a
EtwN q
Estas condições são cumpridas quando C3=C4=0.
Assim
xCxCew x bbb sincos 21
e
3
3
2
2
2
2
dx
wdD
dx
dMQ
dx
wdDM
dx
wdDM x
xx q
As condições aplicáveis imediatamente à direita da carga são
023
3
dx
dwp
dx
wdDQx
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
D
pCC
3218b
A primeira condição indica que cada metade do cilindro suporta metade da
carga externa.
A segunda condição indica que o declive do deslocamento é zero ao centro do
cilindro devido à simetria.
Introduzindo estas condições na equação do deslocamento, com x=0, obtém-se
O deslocamento fica
xxD
pew
x
bbb
b
cossin8 3
Ou, noutra forma,
4sin2
8 3
b
b
b
xD
pew
x
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
41
'''
132234
1223
12
1
1
4
1
2
1
2
1cos
2
11sincos
2
1sin
sincos
fxf
fffxexf
ffxxexf
fxexf
xxexf
x
x
x
x
bb
bbbbb
bbbbb
bbb
bbb
b
b
b
b
Pode observar-se que a defleção atenua com a distância como uma onda
sinusoidal amortecida exponencialmente.
As funções seguintes são usadas para representar de uma forma mais
conveniente as expressões da deflexão e resultantes de tensão:
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
A tabela mostra valores numéricos destas funções para vários valores de bx.
O termo bx é adimensional.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
Substituindo a equação de w nas equações das resultantes de tensão tem-se
xfP
Q
xfP
M
xfP
M
xfDa
EtPN
xfD
Pw
x
x
b
bb
bb
bb
bb
q
q
4
3
3
13
13
2
4
4
8
8
As expressões são válidas para x≥0.
Para a metade esquerda do cilindro, toma-se o x na direção oposta à da figura.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
A deflexão máxima e momento máximo ocorrem em x=0:
b
b
b
4
8
max
2
3max
PM
eEt
Pa
D
Pw
Os valores máximos das tensões ocorrem em x=0 e z=t/2:
22max,
2max,
3
4
2
3
tt
aP
t
Px
b
bs
bs
q
que são as tensões máximas axiais e da circunferência, respetivamente.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
Da tabela anterior pode ver-se que cada função diminui à medida que bx
aumenta.
Assim, na maior parte das aplicações de engenharia, o efeito de cargas
concentradas pode ser desprezado em posições em que x>/b.
Conclui-se, desta forma, que a flexão tem um caráter local.
Uma casca com comprimento L=2/b, carregada ao meio, sofre uma deflexão
máxima e um momento máximo quase iguais aos existentes numa casca longa.
As equações anteriores usadas com o princípio da sobreposição permitem
determinar a deflexão e tensões em cilindros longos sujeitos a outros tipos de
carregamentos.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)
Exemplo 3.3
Um cilindro muito longo de raio a está sujeito a um carregamento uniforme p ao
longo de uma distância L.
Derive uma expressão para a deflexão para um ponto arbitrário O dentro da
distância L.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.7. Carregamentos axi-simétricos (Cascas revolução)
Considere-se um corpo na forma geral de uma casca de revolução sujeito a
cargas axi-simétricas.
A esfera, o cone e o cilindro circular são geometrias simples nesta categoria.
Primeiro, é necessário definir o estado de tensão num ponto destas cascas,
representado pelo elemento infinitesimal da figura.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.7. Carregamentos axi-simétricos (Cascas revolução)
As condições de simetria indicam que apenas as resultantes Qf, Mq, Mf, Nq e Nf
existem e que as forças normais Nq e os momentos fletores Mq não variam com
q.
A notação para os raios de curvatura é igual à usada na teoria de membrana.
A derivação das equações de equilíbrio num elemento ABCD da casca é idêntica
à realizada anteriormente.
A condição de que a soma das forças na direção y é igual a zero é dada por
O primeiro, segundo e quarto termos são os mesmos do caso da membrana.
O terceiro termo deve-se à força de corte Qfr0dq nas faces AC e BD do
elemento.
Estas faces formam um ângulo df entre elas.
0cos 01010 qffqffqfqf
fqf drdrpddrQddrNddrNd
dy
Pla
cas
e C
asca
s
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2.7. Carregamentos axi-simétricos (Cascas revolução)
A condição de equilíbrio na direcção z obtém-se da equação da membrana e
adicionando a força de corte Qfr0dq.
Assim,
A equação do equilíbrio de momentos em torno de x é
0sin 01010 qffqf
fqffq fqf drdrpddrQd
dddrNddrN z
0cos1100 qfffqfqf
qff ddrMdrdrQddrMd
d
Os termos desta equação são:
O primeiro é o incremento do momento Mfr0df:
O segundo representa o momento da força de corte Qfr0df;
O terceiro é a resultante dos momentos Mqr1df.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.7. Carregamentos axi-simétricos (Cascas revolução)
Os dois momentos Mqr1df que atuam nas faces AB e CD do elemento não são
paralelos.
As suas componentes horizontais Mqr1dfcosf formam uma ângulo dq entre eles
resultando no último termo.
Dividinto todos os termos por dqdf obtêm-se as equações de equilíbrio.
0sin 01010 rrprQd
drNrN zfqf
ff
0cos1100 ff
qff rMrrQrMd
d
0cos 01010 rrprQrNrNd
dyfqf f
f
As equações que governam as cascas de revolução comuns sujeitas a
carregamentos axi-simétricos podem ser derivadas a partir destas expressões.
Pla
cas
e C
asca
s
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Casca Esférica
Nas cascas esféricas pode considerar-se que o raio da superfície média é a=r1=r2
e que r0=a.sinf.
Assim, as equações de equilíbrio ficam
2.8. Casos típicos (Cascas de Revolução)
fff
ff fqf sinsinsinsin apQd
dNN z
0sincossin ffff
fqf aQMMd
d
fffff
fqf sinsincossin apQNNd
dy
Pla
cas
e C
asca
s
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2.8. Casos típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cónica
Neste caso o ângulo f é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado como
coordenada do meridiano.
Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície
média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.
Desta forma,
As equações de equilíbrio ficam
ss MMNNdsdrsr ffff 12 cot
ffq cotcot spsQds
dN zs
0 qMsQsMds
dss
spNsNds
dys q
Pla
cas
e C
asca
s
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2.8. Casos típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cilíndrica
Para obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as
equações da casca cónica colocando s=x=r2tanf, f=/2 e o raio médio
a=r2=constante.
Fazendo isto as equações ficam iguais a
Se nestas equações retirarmos os termos com forças de corte e momentos, elas
ficam iguais às equações obtidas pela teoria de membrana.
0 xx p
dx
dN
01
rx pN
adx
dQq
0 xx Q
dx
dM
Pla
cas
e C
asca
s
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2.9. Elementos Finitos em Cascas
Os fatores que complicam a análise de problemas de cascas podem, geralmente,
ser reduzidos a irregularidades na forma ou espessura da casca e não
uniformidade na carga aplicada.
Substituindo a geometria real da estrutura e a configuração da carga por
aproximações de elementos finitos apropriados não se perde muito na precisão
do resultado.
Considere-se o caso de uma casca com espessura variável e forma arbitrária.
Existem várias formas de obter uma casca equivalente que não comprometa
significativamente a resposta elástica.
Por exemplo, pode substituir-se a casca por uma série de elementos triangulares
curvos ou planos, ou elementos finitos de outra forma, ligados nas suas arestas e
cantos.
Independentemente da configuração do carregamento, este é reduzido a uma
série de forças concentradas ou distribuídas aplicadas a cada elemento finito.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.9. Elementos Finitos em Cascas
Quando uma casca de revolução é sujeita a uma carga não uniforme, a forma de
elemento finito usual é substituir um elemento da casca por dois elementos
planos, um sujeito às resultantes de forças directas e o outro sujeito às
resultantes de momentos.
A carga aplicada pode ser convertida em forças uniformes ou concentradas que
também atuam nos elementos.
Os efeitos no plano e os de flexão podem, assim, ser analisados em separado e
sobrepostos.
Desta forma, um elemento de casca pode ser desenvolvido como uma
combinação de um elemento de membrana e um elemento de placa com a
mesma forma.
A casca fica, assim, idealizada como uma montagem de elementos planos.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.9. Elementos Finitos em Cascas
Já foram propostos elementos curvos para se obterem aproximações melhoradas
das cascas mas a análise na sua aplicação é mais complexa que no caso da
utilização de elementos planos.
No tratamento geral de cascas com carregamentos axi-simétricos que se
descreverá em seguida vão ser usados elementos planos.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Uma casca com carregamento axi-simétrico pode ser representada por uma série
de troncos de cone.
Cada elemento é um anel gerado pelo segmento de reta compreendido entre dois
círculos paralelos ou “nós”, i e j.
A espessura pode variar de elemento para elemento.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Como anteriormente, o deslocamento de um ponto na superfície média é
especificado por duas componentes v e w na direção meridional e normal,
respetivamente.
As relações extensão-deslocamento são dadas por
rdsdw
dswd
rvw
dsdv
s
s
f
ff
c
c
e
e
e
q
q
sin
sincos22
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
As relações tensão-extensão são
q
q
q
q
c
c
e
e
s
s
s
s
tt
tt
Et
M
M
N
N
121200
121200
001
001
122
222
ou
e
q
qD
M
M
N
N
s
s
onde [D] é a matriz de elasticidade da casca com carregamento axi-simétrico.
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Para cada nó são escolhidos três deslocamentos.
Assim, os deslocamentos nodais são
Onde v, w e b representam o movimento axial, o movimento radial e a rotação,
respetivamente.
Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são
eNw
vf d
Estes são determinados a partir de {d}e e a posição s.
O declive e o deslocamento são mantidos ao longo de todo o elemento.
A matriz [N] é uma função da posição a definir mais à frente.
T
jjjiii
j
i
e wvwv bbd
dd
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Quando se avaliam v e w nos nós i e j, podemos relacioná-los com {d}e através
de uma matriz de transformação.
Por exemplo, no nó i tem-se
As expressões seguintes para {f} contêm seis constantes
Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são
3
6
2
543
21
sssw
sv
Para determinar os valores destas constantes, a coordenada s dos pontos nodais
é substituída nas funções do deslocamento.
i
i
i
i
i
i
i
w
v
dsdw
w
v
d
b
ff
ff
100
0cossin
0sincos
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Repesentando na forma matricial, tem-se
Isto vai gerar seis equações em que as únicas incógnitas são os coeficientes .
Lsss
s
w
v
6
5
4
3
2
1
32100
00001
C
ss
sss
s
ss
sss
s
dsdw
w
v
dsdw
w
v
jj
jjj
j
ii
iii
i
j
j
j
i
i
i
6
5
4
3
2
1
2
32
2
32
321000
100
00001
321000
100
00001
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Resolvendo em ordem a tem-se
Que substituindo nas equações de v e w dá
j
j
j
i
i
i
dsdw
w
v
dsdw
w
v
C1
j
j
j
i
i
i
dsdw
w
v
dsdw
w
v
CLw
v 1
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Assim, colocando si=0 e sj=h na matrix [C], pode resolver-se para 1 até 6 em
termos dos deslocamentos vi, ..., wi e obter-se finalmente
onde
10 11 sh
ss
j
j
j
i
i
i
dsdw
w
v
dsdw
w
v
hsssshsssss
ss
w
v
1
2
11
2
1
2
111
3
1
2
1
11
1230212310
00001
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Representando a matriz de 2x6 como [P]=[L][C]-1 pode escrever-se os
deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, como sendo
A equação das extensões fica
onde
eejie PPPP
w
vddd
0
0
ejie BBB dde
rsshrss
hshs
rsshsrssrs
h
Bi
ff
fff
sin341sin160
3222160
cos21cos231sin1
001
2
1111
1
2
1
2
111
3
1
2
11
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
e
A matriz de rigidez para o elemento é dada por
Aqui a área do elemento é
A
T
e dABDBk
rsshrss
hshs
rshsrssrs
h
B j
ff
fff
sin32sin160
3122160
cos1cos23sin
001
1111
1
2
1
1
2
11
2
11
122 rhdsrdsdA
E a matriz de rigidez fica
1
012 rdsBDBhk
T
e
Pla
cas
e C
asca
s
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Nesta equação, r tem que ser expresso em função de s antes de se proceder à
integração.
Os passos 1 até 3 do processo geral da solução dos elementos finitos descrito
nas placas pode ser aplicado para se obterem os deslocamentos nodais da casca.
Depois determinam-se as extensões, as resultantes de tensão e as tensões com as
equações descritas acima.
Nas cascas de revolução com carregamento axi-simétrico, as forças
“concentradas” ou “nodais” são, de facto, cargas axi-simétricas distribuídas em
torno da casca.
Pode observar-se que, se apenas for desejada a solução de membrana, as
grandezas cs, cq, b, Ms e Mq são ignoradas e as expressões aqui descritas ficam
mais simplificadas.