Análise Competitiva de Soluções em Laje Fungiforme e Vigada ...
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Análise Competitiva de Soluções em Laje Fungiforme e Vigada Deformabilidade e Custo Nuno Bandarrinha Brandão Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Professor Fernando Manuel Fernandes Simões Orientador: Professor José Manuel Matos Noronha da Câmara Vogal: Professor António José da Silva Costa Outubro 2013
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Análise Competitiva de Soluções em Laje Fungiforme e Vigada
Deformabilidade e Custo
Nuno Bandarrinha Brandão
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Professor Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientador: Professor José Manuel Matos Noronha da Câmara
Vogal: Professor António José da Silva Costa
Outubro 2013
i
RESUMO
As lajes de betão armado são por regra um elemento estrutural com relevância no custo da estrutura,
tendo a sua espessura um impacto com algum significado na economia global da construção. Ora a
espessura é, em termos de características de suporte estrutural, condicionada por critérios de utilização,
com especial relevância para a deformação.
Reconhecendo a necessidade de discutir a deformabilidade das soluções estruturais dos pisos,
desenvolveu-se o presente trabalho, onde se avaliaram as implicações das simplificações e das formulações
do cálculo da deformação e se propôs uma metodologia baseada no Método dos Coeficientes Globais. O
estudo focou-se na análise comparativa de soluções de lajes de betão armado, fungiforme e vigada, com
vãos de 7.0m e 8.0m, tendo sido avaliadas, para as diferentes soluções, as características de qualidade das
deformações e os custos.
O cálculo, para o dimensionamento e consequente avaliação das deformações, foi formulado com base nos
valores elásticos, obtidos através do programa de elementos finitos SAP2000. A real avaliação da
deformação e verificação dos valores, foi elaborada segundo a NP EN 1992-1.
Da análise comparativa, conclui-se que, para painéis centrais, para o mesmo volume de betão, o nível de
deformação e o custo para as duas soluções são equivalentes. Para painéis periféricos, a solução vigada
ganha notoriedade na qualidade das deformações, principalmente no alinhamento das vigas. De forma a
aproximar a qualidade de deformação das duas soluções tipo recorreu-se a bandas nos alinhamentos entre
pilares que consequentemente encareceram a solução fungiforme.
Palavras-chave: Deformação, Custo, Laje Vigada, Laje Fungiforme
ii
ABSTRACT
In building structures, reinforced concrete slabs are important structural elements in its cost, having its
thickness a significant impact in the global economy of the construction. In terms of the structural behavior
characteristics for service limit state, the thickness has a particular relevance on the deformation.
Recognizing the need to discuss the deformability of structural solutions of building floors, the present work
was undertaken. Along this study, the validity of several simplifications is discussed and a methodology
based on the Global Coefficient is proposed. A comparative study has been carried out, in which reinforced
concrete solutions of flat slabs and slabs supported on beams with 7.0m and 8.0m span were taken into
account. Furthermore, this analysis was based on the qualitative characteristics of deformation and cost
value for the different situations.
The design of slabs and subsequent calculation of deformations were based on the elastic values obtained
by the finite element program SAP2000. The real evaluation of the deformations and verification of its
allowable values were established on the assumptions of the NP EN 1992-1.
It was concluded that for the central panels with the same volume of concrete per square meter, the
deformation and the cost for the two solutions are equivalent. Concerning the quality of deformations on
peripheral panels, the solution with beams gains advantage, especially in the alignment beams. In order to
approximate the quality of deformation of these two solutions, bands in alignments between columns were
considered, being however a more expensive solution.
Key words: Deformation, Cost, Flat Slab, Slab with Beams
iii
Agradecimentos
Agradeço em primeiro lugar ao Professor José Câmara pela constante disponibilidade no esclarecimento de
dúvidas e nas propostas de correção, que resultaram na presente dissertação.
Agradeço a valiosa ajuda prestada por toda a minha família, em particular ao meu irmão Miguel, por ter
emprestado o seu computador, à minha Mãe pela incessante ajuda na conceção e revisão do texto e ao
meu Pai pela ajuda prestada em alguns pormenores fundamentais dos desenhos.
Agradeço a todos os meus amigos que me ajudaram, em especial, a João Ricardino Gomes que tomou a
posição de designer gráfico deste trabalho, melhorando várias figuras do mesmo.
Por fim, agradeço à minha namorada Priscilla Sousa, que motivou e estimulou a entrega deste trabalho.
Além disso, os seus ensinamentos na elaboração de citações, transcrições e no registo bibliográfico,
revelaram-se fundamentais.
iv
Índice
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 1
1.1 ASPETOS GERAIS ............................................................................................................................... 1
1.2 OBJETIVOS....................................................................................................................................... 1
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................................................................... 2
2. DEFORMAÇÕES .................................................................................................................................... 3
2.1 RAZÃO PARA O CONTROLO DA DEFORMAÇÃO ............................................................................................ 3
2.1.1 Aparência.............................................................................................................................. 3
2.1.2 Danos em elementos não estruturais .................................................................................... 3
2.1.3 Perda de utilidade ................................................................................................................. 4
2.2 LIMITES DE DEFORMAÇÕES................................................................................................................... 5
2.2.1 Controlo direto ..................................................................................................................... 5
2.2.2 Controlo indireto .................................................................................................................. 7
3. METODOLOGIAS PARA O CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO ........................................................................ 9
3.1 CURVATURA MÉDIA............................................................................................................................ 9
3.1.1 Efeito de Fendilhação .......................................................................................................... 10
3.1.2 Efeito de Fluência ................................................................................................................ 11
3.1.3 Efeito de Retração ............................................................................................................... 13
3.1.4 Exemplo de um tirante à tração........................................................................................... 14
3.1.5 Flexão pura ......................................................................................................................... 17
3.2 CURVATURA MÉDIA COM BASE NUMA SECÇÃO DE BETÃO SEM ARMADURA ..................................................... 20
3.2.1 Curvatura no Estado I .......................................................................................................... 20
3.2.2 Curvatura no Estado II ......................................................................................................... 25
3.3 MÉTODO BILINEAR .......................................................................................................................... 30
3.3.1 Cálculo de ........................................................................................................................ 31
3.3.2 Cálculo da flecha: ................................................................................................................ 32
3.4 COEFICIENTE GLOBAL FORMAL ........................................................................................................... 34
3.5 COEFICIENTE GLOBAL ADAPTADO ........................................................................................................ 37
3.6 INÉRCIA EQUIVALENTE ...................................................................................................................... 41
3.7 MÉTODOS PARA AVALIAR A DEFORMAÇÕES EM LAJES ................................................................................ 43
3.7.1 Método das Bandas Ortogonais ........................................................................................... 43
3.7.2 Método Direto .................................................................................................................... 44
4. CASO DE PAINÉIS CENTRAIS ............................................................................................................... 45
4.1 AÇÕES .......................................................................................................................................... 45
v
4.2 SEGURANÇA ................................................................................................................................... 46
4.2.1 Estado Limite Último ........................................................................................................... 47
4.2.2 Estado Limite de Utilização .................................................................................................. 48
4.3 MATERIAIS .................................................................................................................................... 48
4.4 VALIDAÇÃO DO MODELO................................................................................................................... 49
4.4.1 Laje Fungiforme .................................................................................................................. 50
4.4.2 Laje Vigada.......................................................................................................................... 52
4.5 CÁLCULO DE ARMADURAS .................................................................................................................. 55
4.5.1 Laje Fungiforme .................................................................................................................. 57
4.5.2 Laje Vigada.......................................................................................................................... 59
4.6 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES .............................................................................................................. 62
4.6.1 Caso Pático Laje Fungiforme ................................................................................................ 63
4.6.2 Caso Prático para Laje Vigada .............................................................................................. 67
4.7 AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS ............................................................................................................. 70
4.8 COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO BANDAS ORTOGONAIS E DIRETO .............................................................. 71
4.9 COMPARAÇÃO ENTRE COEFICIENTES GLOBAIS FORMAL E ADAPTADO ............................................................ 72
4.10 COMPARAÇÃO ENTRE COEFICIENTES GLOBAIS FORMAL E INÉRCIA EQUIVALENTE .............................................. 72
5. CASO DE PAINÉIS LATERAIS E DE CANTO............................................................................................ 75
5.1 QUANTIDADES ................................................................................................................................ 77
5.2 CONTROLO DIRETO DA DEFORMAÇÃO ................................................................................................... 79
5.3 CONTROLO INDIRETO DA DEFORMAÇÃO ................................................................................................ 83
5.4 ORÇAMENTO.................................................................................................................................. 84
5.5 COMPARAÇÃO ENTRE VÃOS DE 7 E 8 METROS ......................................................................................... 85
6. CONCLUSÃO ...................................................................................................................................... 91
6.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS POSSÍVEIS ......................................................................... 91
vi
Índice de Figuras
Figura 2.1 – Fissuração em paredes causadas pelo deformações de componentes estruturais ...................... 4
Figura 2.2 – Concentração de água devido a deformação excessiva .............................................................. 4
Figura 2.3 – Possíveis vãos para o cálculo do valor limite .............................................................................. 7
Figura 3.1 – Altura útil, extensão no betão e aço .......................................................................................... 9
Figura 3.2 – Relação Momento-Curvatura para as várias fases da estrutura no caso de flexão simples ........ 10
Figura 3.3 – Definição de fluência aplicando uma tensão constante ao longo do tempo .............................. 11
Figura 3.4 – Tensão e extensões no aço e no betão para um tirante à tração pura ...................................... 14
Figura 3.5 – Distância mínima (s) para a formação de nova fenda ............................................................... 14
Figura 3.6 – Relação tensão-extensão para tirante à tração pura ................................................................ 15
Figura 3.7 – Modelo de calculo para um tirante à tração ............................................................................ 17
Figura 3.8 – Extensões médias à flexão ....................................................................................................... 17
Figura 3.9 – Modelo de cálculo para um elemento à flexão pura................................................................. 18
Figura 3.10 – Curvatura a curto e longo prazo em função do momento atuante ......................................... 19
Figura 3.11 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(s1) ........................................................................... 21
Figura 3.12 – Extensões para curto (t=0) e longo prazo (t=t) devido a fluência (estado I) ............................. 22
Figura 3.13 – Ábaco correspondente ao coeficiente K( 1) .......................................................................... 23
Figura 3.14 – Tensões e extensões devido à retração para (estado I) ............................................ 24
Figura 3.15 – Tensões e extensões devido à retração para (estado I) ............................................. 24
Figura 3.16 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(cs1) ......................................................................... 25
Figura 3.17 – Secção de betão e secção de betão armado no estado 2 ........................................................ 26
Figura 3.18 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(s2) ........................................................................... 27
Figura 3.19 – Posicionamento da linha neutra, tensões e extensões devido à fluência (estado II) ................ 28
Figura 3.20 – Ábaco correspondente ao coeficiente K( 2) .......................................................................... 28
Figura 3.21 – Tensões e extensões devido a retração para o estado II ......................................................... 29
Figura 3.22 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(cs) ........................................................................... 30
Figura 3.23 – Ponderação do coeficiente em função das condições de fronteira ...................................... 31
Figura 3.24 – Deformação a longo prazo em função do momento atuante, tendo em conta a retração ....... 33
Figura 3.25 – Deformação a curto e longo prazo em função do momento atuante, não tendo em conta a
retração ............................................................................................................................................. 33
Figura 3.26 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(t) ............................................................................. 35
Figura 3.27 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(0) para 1º carregamento .......................................... 36
Figura 3.28 – Ponderação do coeficiente em função das condições de fronteira ...................................... 36
Figura 3.29 – Representação dos valores K(t1) e K(t2) ................................................................................ 38
Figura 3.30 – Representação dos valores K(01) e K(02) ............................................................................... 39
vii
Figura 3.31 – Comparação entre os valores apresentados por Favre et al. (1985) correspondente ao
coeficiente K( 1) e valores do coeficiente K( 1) utilizando o Método dos Coeficientes Globais
Adaptados .......................................................................................................................................... 40
Figura 3.32 – Ponderação da Inércia Equivalente em função das condições de fronteira ............................. 42
Figura 3.33 – Exemplo de aplicação do método das bandas ortogonais ...................................................... 43
Figura 4.1 – Painel Central.......................................................................................................................... 45
Figura 4.2 – Campos de deslocamentos numa laje de Kirchhoff .................................................................. 49
Figura 4.3 – Alinhamentos, cortes e distribuição de momentos 22 em planta para laje fungiforme ............. 50
Figura 4.4 – momento para corte “–“ ................................................................................................. 51
Figura 4.5 – momento para corte “+“ ................................................................................................. 51
Figura 4.6 – Alinhamentos, cortes e distribuição de momentos na direção x ( ) em planta para laje vigada
.......................................................................................................................................................... 52
Figura 4.7 – momento para corte “–“ ................................................................................................. 53
Figura 4.8 – momento para corte “+“ ................................................................................................. 53
Figura 4.9 – Distribuição dos momentos elásticos para a viga ..................................................................... 53
Figura 4.10 – Campos de esforços positivos numa laje de Kirchhoff Fonte .................................................. 55
Figura 4.11 – Hipótese de carga e respetivos momentos fletores com redistribuição para o 2º caso de carga
.......................................................................................................................................................... 56
Figura 4.12 – Representação do integral dos momentos atuantes e resistentes .......................................... 57
Figura 4.13 – Momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “–“ .............................................. 58
Figura 4.14 – Momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “+” .............................................. 58
Figura 4.15 – Momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “–“ .............................................. 59
Figura 4.16 – Momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “+” .............................................. 59
Figura 4.17 – braço (z) não contabilizando a ligação viga- laje ..................................................................... 60
Figura 4.18 – braço (z1) contabilizando a ligação viga- laje.......................................................................... 60
Figura 4.19 – Momento atuante e momento resistente na viga .................................................................. 61
Figura 4.20 – Esforço transverso na viga ..................................................................................................... 61
Figura 4.21 – Esquematização das bandas ortogonais utilizadas para laje fungiforme ................................. 63
Figura 4.22 – Condições de fronteira e respetivas deformações elásticas para a banda C-B-C ...................... 64
Figura 4.23 – Condições de fonteira e deformação elástica absoluta e relativa para banda B-A-B ................ 66
Figura 4.24 – Esquematização das bandas ortogonais utilizadas para laje vigada ........................................ 67
Figura 4.25 – Diferença relativa entre Método das Bandas Ortogonais e Método Direto ............................. 71
Figura 5.1 – Numeração dos vários painéis. ................................................................................................ 75
Figura 5.2 – Solução fungiforme com capitéis, banda periférica e respetiva numeração dos painéis ............ 75
Figura 5.3 – Solução fungiforme com bandas que ligam capitéis a banda periférica e respetiva numeração
dos painéis ......................................................................................................................................... 76
Figura 5.4 – Espessura Equivalente de cada painel ...................................................................................... 78
viii
Figura 5.5 – Taxa de armadura de cada painel ............................................................................................ 78
Figura 5.6 – Área de cofragem para cada painel ......................................................................................... 79
Figura 5.7 – Incremento de deformação em relação à deformação elástica ................................................ 80
Figura 5.8 – Deformação no centro do painel ............................................................................................. 81
Figura 5.9 – Incremento de deformação no centro do painel ...................................................................... 82
Figura 5.10 – Incremento de deformação a meio vão do bordo livre para o painel de bordo (2) e de canto (3)
.......................................................................................................................................................... 83
Figura 5.11 – Custo final para vão de 8 metros ........................................................................................... 84
Figura 5.12 – Incremento de deformação em relação à deformação elástica para vão de 7 m ..................... 86
Figura 5.13 – Deformação para diferentes vãos .......................................................................................... 87
Figura 5.14 – Incremento de deformação para diferentes vãos ................................................................... 88
Figura 5.15 – Espessura equivalente para diferentes vãos........................................................................... 89
Figura 5.16 – Taxa de armadura para diferentes vãos ................................................................................. 89
Figura 5.17 – Custo final para diferentes vãos ............................................................................................ 90
ix
Índice de Tabelas
Tabela 2.1 – Deformações limite .................................................................................................................. 6
Tabela 2.2 – Valores limite de esbelteza (ρ=0,5%) ........................................................................................ 8
Tabela 4.1 – Valores comuns de rcp e rcp utilizada ..................................................................................... 46
Tabela 4.2 – Valores de sobrecarga de referência e sobrecarga utilizada .................................................... 46
Tabela 4.3 – Valores de coeficiente de segurança para ELU normativos e adotados .................................... 47
Tabela 4.4 – Valores dos coeficientes de segurança para ELU de materiais ................................................. 47
Tabela 4.5 – Valores dos coeficientes ψ2 para ELS ...................................................................................... 48
Tabela 4.6 – Valores característicos do aço e betão .................................................................................... 48
Tabela 4.7 – Comparação entre os valores correspondentes a PL2/8 obtido teoricamente e pelo SAP (laje
fungiforme) ........................................................................................................................................ 51
Tabela 4.8 – Comparação entre os somatórios de forças verticais obtido teoricamente e pelo SAP (laje
fungiforme) ........................................................................................................................................ 52
Tabela 4.9 – Comparação entre valor teórico e valor obtido pelo SAP para laje Vigada ............................... 54
Tabela 4.10 – Comparação entre os somatórios de forças verticais obtido teoricamente e pelo SAP (laje
vigada) ............................................................................................................................................... 54
Tabela 4.11 – Armaduras para cada alinhamento e corte ........................................................................... 58
Tabela 4.12 – Armaduras para cada alinhamento e corte ........................................................................... 59
Tabela 4.13 – Momento atuante, armadura colocada sem redistribuição de esforços na viga ..................... 60
Tabela 4.14 – Momento redistribuído e armadura colocada na viga ........................................................... 60
Tabela 4.15 – coeficientes para ponto C e B para momentos .............................................................. 64
Tabela 4.16 – coeficientes para ponto B e A para momentos .............................................................. 65
Tabela 4.17 – Coeficientes globais para pontos C e B para momentos .................................................. 68
Tabela 4.18 – Coeficientes para ponto B e A para momentos .............................................................. 69
Tabela 4.19 – Comparação entre a solução vigada e a solução fungiforme .................................................. 70
Tabela 4.20 – Comparação entre Método Directo e Método das Bandas Ortogonais .................................. 71
Tabela 4.21 – Comparação entre Coeficiente Global Formal e Adaptado .................................................... 72
Tabela 4.22 – Valores de Inércia no estado I e II, inércias equivalentes e fator ........................................ 73
Tabela 4.23 – Comparação entre Coeficiente Global Adaptado e Inércia Equivalente .................................. 74
Tabela 5.1 – Resumo de quantidades para várias soluções ......................................................................... 77
Tabela 5.2 – Resumo de deformações no centro do painel para várias soluções ......................................... 80
Tabela 5.3 – Esbelteza e espessura normativa e espessura da solução adotada (ρ=0,5%) ............................ 83
Tabela 5.4 – Resumos das deformações para várias soluções para um vão de 7 metros .............................. 85
x
Simbologia
Maiúsculas Latinas
As,min – Área de armadura mínima
Ec0 – Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias
Es – Módulo de elasticidade do aço
Ec,eff – Módulo de elasticidade efetivo do betão
1/r – Curvatura numa determinada secção
L – Vão teórico
I – Inércia
Minúsculas Latinas
t – Idade do betão, em dias, na data considerada
t0 – Idade do betão, em dias, à data do carregamento
a – Flecha
fctm – Valor médio da tensão de rotura do betão à tracção simples aos 28 dias de idade
fyk – Valor característico da tensão de cedência à tracção do aço e das armaduras ordinárias
fck - Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão aos 28 dias de idade
z – Braço do binário das forças interiores
d – Altura útil
Maiúsculas Gregas
μ – Momento reduzido do valor de cálculo do momento flector resistente
– Coeficiente de fluência do betão
xi
Minúsculas Gregas
φ – Diâmetro do varão ou diâmetro equivalente do agrupamento
– Coeficiente de fluência
ζ – Coeficiente de repartição
ρ – Percentagem de armadura de tracção
ρ’ – Percentagem de armadura de compressão
α – Coeficiente de homogeneização
σ – tensão
γ – coeficiente parcial (de segurança ou de utilização)
1
1. Introdução
1.1 Aspetos Gerais
A deformabilidade é um dos fatores condicionantes do comportamento e, certamente, da definição das
espessuras das lajes, em particular em soluções fungiformes. Não sendo a garantia da capacidade
resistente, em geral, condicionante, a deformação excessiva pode ser responsável pelo deficiente
comportamento das estruturas em serviço, podendo resultar no desconforto do utilizador, em danos em
acabamentos ou comprometer a funcionalidade da solução adotada.
Hoje em dia, a tipologia fungiforme tem vindo a ganhar uma preponderância significativa no mercado, em
relação às soluções vigadas, uma vez que evita trabalhos mais minuciosos de cofragens,reduzindo prazos de
execução e custos de mão-de-obra e, especialmente, corresponde, em geral, a ganhos de pé direito
disponível. Uma vez que a opção, por uma ou outra solução, se coloca nos projetos, até porque a solução
vigada corresponde a uma mais valia em termos sísmicos, considerou-se interessante uma análise
comparativa entre estas duas soluções construtivas. Consideraram-se como parâmetros aferidores das
soluções a limitação da deformação e o custo.
1.2 Objetivos
Este trabalho, como referido nos Aspetos Gerais, tem como finalidade a análise competitiva de diferentes
tipologias estruturais, usuais em edifícios, em particular de lajes fungiformes com capiteis e/ou bandas e de
lajes vigadas, para vãos usuais de 7 e 8 metros com diferentes condições de fronteira. As comparações são
efetuadas em função das quantidades de materiais e qualidade das deformações, com base nos critérios
regulamentares da NP EN 1992-1.
Considerou-se importante, antes da realização do estudo comparativo, apresentar um resumo do estado da
arte sobre o comportamento não-linear do betão armado em serviço, a curto e a longo prazo. Para este
efeito, considerou-se importante apresentar as metodologias existentes para avaliar as implicações da
fendilhação e efeitos diferidos no tempo, a nível da deformabilidade. Neste contexto, fez-se também um
levantamento das metodologias de avaliação de deformações adotadas pelas normas Europeia, Norte-
Americana e Brasileira e os processos de adaptação dessas metodologias ao caso das lajes (análise em duas
direções). Neste estudo propõe-se uma metodologia idêntica ao Método dos Coeficientes Globais,
facilmente programável em folha de cálculo e que tem em linha de conta os efeitos da fluência e da
fendilhação do betão e pode facilmente ser adaptável à consideração dos efeitos da retração do betão.
2
1.3 Estrutura do trabalho
O trabalho organiza-se em 5 capítulos, dos quais se resumem seguidamente os seus conteúdos:
Capítulo 1 – Introdução – explica aspetos gerais e objetivos que levaram ao desenvolvimento do presente
trabalho e contém um resumo da divisão em capítulos.
Capítulo 2 – Deformações – apresenta as várias razões para as quais é necessário limitar as deformações,
bem como os limites de deformação propostos por legislações Europeia, Norte-Americana e Brasileira.
Aborda várias razões para limitar as deformações como a Aparência, os Danos em elementos não
estruturais e a Perda de utilidade. Para o controlo dos limites de deformação a NP EN 1992-1 (2010)
apresenta duas metodologias, o controlo direto e o indireto.
O Capítulo 3 – Metodologias para o cálculo da deformação – é dedicado à compreensão de diferentes
metodologias existentes para o cálculo de deformações, entre elas, a Curvatura média, Curvatura média
com base numa secção de betão sem armadura, Método Bilinear, Coeficientes Globais Formal, Coeficientes
Globais Adaptado e Inércia Equivalente.
O Capítulo 4 – Caso de Painéis Centrais – é reservado à apresentação das cargas e dimensões consideradas,
ao procedimento de validação do modelo de elementos finitos, ao dimensionamento de armaduras e ao
cálculo de deformações, para um painel central de 8 metros de tipologia fungiforme e vigada.
O Capítulo 5 – Caso de Painéis Laterais e de Canto – apresenta a avaliação da deformação, quantidade de
materiais e orçamento para painéis com diferentes condições de fronteira. O vão também foi alterado para
cada painel, de 8 para 7 metros, comparando os ganhos de qualidade na deformação e de quantidades de
materiais.
3
2. Deformações
A limitação da deformabilidade das estruturas deve ser enquadrada nas verificações de segurança
associadas às condições de serviço uma vez que não é uma questão associada à capacidade resistente, a
menos de situações em que se possam gerar efeitos de 2ª ordem.
No presente capítulo são referidas as principais razões pelas quais o controlo das deformações é
fundamental para a qualidade da solução estrutural. Esta avaliação é enquadrada tendo em consideração
os limites estabelecidos pelas várias normas analisadas.
2.1 Razão para o controlo da deformação
De acordo com Appleton (2013, p. 510), Câmara (2013, p. 199) e Favre et al (1985, p. 3.48) as justificações
para limitar as deformações têm a ver com os três seguintes aspetos:
As deformações exageradas podem afetar a aparência e estética das estruturas
As deformações elevadas podem causar danos em elementos não estruturais
As deformações elevadas podem comprometer a funcionalidade da construção
2.1.1 Aparência
Segundo Favre et al (1985, p. 3.48), a aparência é uma questão relevante uma vez que deformações
excessivas podem resultar num sentimento de insegurança para o utilizador. Naturalmente, o nível de
deformação poderá ser mais ou menos realçado consoante o enquadramento do local. Câmara (1988, p.
23) afirma que “A vista humana é bastante tolerante em relação às deformações, no entanto, nos casos em
que existam linhas de referência não deformadas aquelas podem tornar-se bem perceptíveis”
2.1.2 Danos em elementos não estruturais
Uma patologia típica resultante de pavimentos de betão excessivamente deformáveis é a fissuração em
alvenarias que nos painéis de fachada induz infiltração de humidades com implicações graves para a
qualidade de construção. Sousa (2002 apud Pereira, 2011, p. 1) corrobora esse pensamento: “Para além dos
problemas estéticos causados, [a fissuração] possibilita a passagem de água para o interior do edifício,
anulando as boas condições de salubridade do mesmo e alterando as condições do conforto térmico e
acústico.”
4
A Figura 2.1 ilustra um padrão de fendas resultante de deformações excessivas da laje.
Figura 2.1 – Fissuração em paredes causadas pelo deformações de componentes estruturais Fonte: Thomaz (2003 apud Pereira, 2011)
Favre et al (1985, p. 3.49) e Câmara (1988, p. 21) afirmam que estes tipos de danos podem ser evitados de
duas formas:
Limitar a deformação dos elementos estruturais, de forma a não afetar elementos não estruturais.
Projetar os elementos não estruturais prevendo um determinado nível de deformação dos
elementos estruturais.
2.1.3 Perda de utilidade
Favre et al (1985, p. 3.50) apresentam vários casos que comprometem a funcionalidade da estrutura devido
a deformações excessivas. São eles:
Poças – Significativas deformações de uma cobertura podem levar a uma concentração de água
formando poças. Estas resultam num aumento de cargas a que a laje está sujeita, bem como no
aumento de risco de infiltrações na estrutura. A Figura 2.2 ilustra esta situação.
Figura 2.2 - Concentração de água devido a deformação excessiva Fonte: http://www.managemylife.com
5
Interferência com ombreiras de portas e caixilharias de envidraçados – As deformações excessivas
podem deformar ombreiras e caixilharias, empenando-as, impedido que estas funcionem
adequadamente.
Interferencia com alinhamento de aparelhos – A manutenção do alinhamento dos aparelhos poderá
ser dificultadas pelo desenvolvimento de deformações ao longo do tempo.
Problemas de vibração – Embora este não seja um problema de controlo de deformação máxima,
está relacionado, uma vez que o seu controlo requere a limitação na rigidez à flexão. Os limites de
deformação asseguram uma certa rigidez à flexão pelo que, indiretamente, pode dar garantias de
que a vibração não será um problema. Contudo, em casos especiais e para este efeito, análises
dinâmicas mais cuidadas deverão ser consideradas.
2.2 Limites de deformações
Marchão e Appleton (2013, p. 66) referem que os limites normativos podem ser verificados direta ou
indiretamente.
A forma direta de verificação dos limites, de acordo com Marchão e Appleton (2013, p. 66), “(…) consiste no
cálculo da flecha a longo prazo (pelo método dos Coeficientes Globais, por exemplo) e comparação com os
valores admissíveis.” Na verificação indireta, o cálculo das deformações pode ser omisso, respeitando os
valores limites de esbeltezas estabelecidas a nível regulamentar.
2.2.1 Controlo direto
Segundo Câmara (2013, p. 199) “Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente
definíveis pois a fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que tem
sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom comportamento”
Apesar destas indicações regulamentares serem estabelecidas, estas não são absolutas, sendo apenas
recomendadas como uma ordem de grandeza. Cabe ao projetista, com base nas indicações referidas,
definir a aceitabilidade da situação de projeto que deverá, em princípio, ter alguma folga em relação aos
valores apresentados. Como refere Favre et al. (1985, p. 3.50) “An important feature of limits for deflection
and other service limit states is that absolute criteria cannot be specified (…) Codes, Standards and
Regulations cannot provide more than general guidance ”
Favre et al (1985, p. 3.26) afirmam que “(…)when preliminary studies are carried out, the engineer only
requires an approximate estimate of probable deflection (say +/- 30%).” Como conhecido, existem várias
incertezas associadas às propriedades dos materiais, características do seu funcionamento, dimensão dos
elementos e nível de carga atuante na estrutura que, portanto, não permitem “certezas” em fase de
projeto. É nesta base que são calculadas as deformações e avaliadas as aberturas de fendas. Para além
6
disso, também há dificuldade na quantificação da fluência e retração do betão, quando se trata de efeitos a
longo prazo. Tendo em conta este enquadramento, o cálculo da deformação será sempre uma estimativa
extremamente útil que permite percecionar quantitativamente a menor ou maior sensibilidade do
elemento estrutural às deformações.
As recomendações ISO 4356 fornecem informações bastante completas dos limites das flechas a tomar
como referencia. Resume-se através da Tabela 2.1 as indicações dos limites indicados pelas normas NP EN
1992-1 (2010), ABNT-NBR6118 (2004), ACI-435 (2003) e REBAP (1983).
Tabela 2.1 – Deformações limite
Norma Razão para a limitação Deformação considerada Deformação limite
NP EN 1992-1 e
ABNT-NBR6118
Aparência Deformação total
( ) (ações quase-permanentes)
L/250
Danos em elementos não estruturais
Deformação incremental ( ) ( ) (ações quase-permanentes)
L/500*
ACI-435
Aparência Deformação total L/240
Danos em elementos não estruturais
Deformação incremental L/480
REBAP
Aparência Deformação total ( )
(combinação frequente de ações) L/400
Danos em elementos não estruturais
Deformação total ( )
(combinação frequente de ações)
L/400 +
<1,5 cm
*NBR6118 limita também esta deformação a 1 cm
A NP EN 1992-1 (2010, p. 143) justifica esses limites afirmando “O aspecto e as condições de utilização da
estrutura podem ser alterados quando a flecha calculada de uma viga, laje ou consola sujeita a acções
quase-permanentes for superior a vão/250. A flecha é calculada em relação aos apoios” (sublinhado meu)
7
Tendo como objetivo a avaliação da flecha no centro de um painel de laje, a norma NP EN 1992-1 (2010)
pode levantar a questão de saber qual o vão a tomar. Como mostrado na Figura 2.3, existem dois possíveis
vãos a serem considerados para o cálculo do valor limite. De uma forma conservativa, a determinação dos
limites no presente trabalho é elaborada tendo como referência o vão (L). Na interpretação dos resultados
obtidos neste trabalho, faz-se também a comparação com o valor da deformação considerando o valor L2.
Figura 2.3 – Possíveis vãos para o cálculo do valor limite
2.2.2 Controlo indireto
De acordo com Câmara (2013, p. 203) “(…) a deformação depende das condições de fronteira, associada ao
parâmetro, k, e tem uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura [ou seja, da
esbelteza da peça](…)” (sublinhado do autor).
Essa forte dependência do vão e das condições de fronteira pode ser entendida através da equação (2.1),
em que a deformação elástica varia com a quarta potencia do vão (L) e K tomará valores dependendo das
condições de fronteira.
(2.1)
Considerando a inércia de uma secção retangular, a equação (2.1) pode ser escrita da seguinte forma:
(
)
(2.2)
Conclui-se que o parâmetro da esbelteza ( ) tem um forte impacto na deformabilidade elástica de uma
estrutura.
8
A NP EN 1992-1 (2010, p. 144) assegura que se for efetuado o dimensionamento e verificada a segurança à
rotura e se satisfizerem os limites de esbelteza presente na Tabela 2.2, poderá admitir-se que a respetiva
flecha não irá exceder os limites estabelecidos pela Tabela 2.1. Sendo normalmente as lajes elementos
fracamente armados, tomam-se os valores de esbelteza para =0,5%
Tabela 2.2 – Valores limite de esbelteza (ρ=0,5%)
Vão extremo de uma laje continua
armada em duas direções (ao
longo do lado maior)
Vão interior de uma
laje armada numa ou
em duas direções
Laje sem vigas apoiada
sobre pilares (laje
fungiforme)
NP EN 1992-1 26 30 24
Fonte: Adaptado de NP EN 1992-1 (2010)
A NP EN 1992-1 (2010, p 145) afirma ainda que “ [os valores] indicados para a laje fungiforme
correspondem, para flecha a meio vão, a uma limitação menos exigente que L/250. A experiência
demonstrou que esses limites são satisfatórios.”
A norma ACI-435 (2003) especifica também várias espessuras mínimas dependentes das condições de
fronteira e a razão para a limitação da deformação (aparência ou danos estruturais). Já a norma ABNT-
NBR6118 (2004) refere apenas que, por exemplo, qualquer laje maciça lisa deverá apresentar uma
espessura igual ou superior a 16 centímetros.
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3. Metodologias para o cálculo da deformação
Comecemos por referir uma citação sobre a definição de laje: “Uma laje é uma estrutura laminar (espessura
é bastante menor que as outras duas dimensões), é plana e está carregada transversalmente ao próprio
plano. Isto é o que sucede para a maioria dos pavimentos de edifícios em que, para as ações ditas verticais
(…) o pavimento se comporta como uma laje (...)”(LEITÃO et al, 2013, p. 3). Sendo o objetivo deste trabalho
a avaliação de deformações em lajes e existindo unicamente ações verticais, as deformações resultantes
serão causadas por flexão (força normal nula), pelo que as metodologias elaboradas no presente capítulo
são para o caso de flexão simples.
Neste capítulo abordar-se-ão várias metodologias de cálculo para a deformação a curto e longo prazo de
elementos de betão armado, tendo em conta fenómenos imediatos e diferidos no tempo.
3.1 Curvatura média
Através do princípio dos trabalhos virtuais, o deslocamento da estrutura é dado pela seguinte expressão:
∫ (
)
(3.1)
Mostra-se através da equação (3.1) que a deformação depende da distribuição de curvaturas ao longo do
vão e das condições de fronteira do elemento estrutural em causa.
De acordo com a resistência de materiais, a curvatura para uma secção genérica será dada por:
(3.2)
A Figura 3.1 apresenta a altura útil ( ) , a extensão à compressão do betão ( ), extensão à tração do aço
( ) e a própria curvatura ( ⁄ ) .
Figura 3.1– Altura útil, extensão no betão e aço Fonte: Câmara (2013)
Na avaliação da curvatura de uma estrutura de betão armado a curto prazo é necessário ter em conta, para
além das características geométricas e dos materiais, a possibilidade de se verificar ou não a fendilhação do
10
betão. Na avaliação do comportamento a longo prazo há que ter ainda em conta as parcelas relativas ao
incremento de curvatura devido à fluência e retração do betão.
Sendo assim, a curvatura pode ser expressa de uma forma genérica por:
( ) ( ) ( ) ⏟
( ) ⏟
(3.3)
Em que:
( ) representa a curvatura (no instante inicial) tendo em conta o efeito de fendilhação
( ) representa o incremento da curvatura (ao longo do tempo) devido à fluência
( ) representa o incremento da curvatura (ao longo do tempo) devido à retração
3.1.1 Efeito de Fendilhação
Como mostra a Figura 3.2, a curvatura ( ) de um elemento de betão armado fendilhado deve ser
avaliado em termos médios, tendo em consideração, de uma forma simples, a complexidade da distribuição
de tensões e extensões na zona tracionada após a fendilhação.
Figura 3.2 – Relação Momento-Curvatura para as várias fases da estrutura no caso de flexão simples Fonte: Adaptado de Tavares (2010)
Até ser atingido o momento de fendilhação (Mcr) a estrutura apresenta um comportamento elástico linear
[0-1]. Para momentos superiores a Mcr, tem início a fase de formação de fissuras [1-2]. Na secção onde se
verificam as fendas, o betão deixa praticamente de participar à tração, o que corresponde a uma menor
rigidez e a um aumento da curvatura. Para esta zona, o gráfico exibe “degraus” que representam os
incrementos de curvatura para cada nova fenda. Na fase de fissuração estabilizada [2-3], no betão não há
condições para se formarem novas fendas uma vez que, entre as existentes, o estado de tensão no betão é
sempre inferior à sua tensão resistente (assunto abordado no capítulo 3.1.4), pelo que poderá apenas
11
existir um aumento da abertura das fendas anteriormente formadas. Na fase de plastificação da armadura
[3-4] atinge-se a capacidade resistência máxima do elemento, existindo um aumento significativo de
curvaturas para acréscimos diminutos de esforços aplicados (até à rotura do elemento).
A avaliação das curvaturas, para o posterior cálculo dos deslocamentos em serviço, deve ter em conta as
fases em que as zonas da estrutura se encontram (referidas na Figura 3.2). Para este efeito, Favre et al
(1985, p. 3.5) afirmam que deverá considerar-se uma curvatura média definida entre os estados I e II pela
expressão:
(3.4)
Este assunto será tratado com mais detalhe nos capítulos 3.1.4 e 3.1.5. É de referir que existe sempre
alguma indefinição na avaliação da fase em que se encontra uma zona da estrutura, uma vez que, em fase
de projeto haverá sempre dificuldade na avaliação das cargas efetivas a atuar e principalmente das
propriedades resistentes do betão à tração.
3.1.2 Efeito de Fluência
A curvatura ( ) representa o incremento de curvatura a longo prazo, tendo em conta a fluência. Para
t0 existe uma deformação instantânea devido ao estado de tensão aplicado. Ao longo do tempo, a Figura
3.3 mostra como as extensões do betão vão aumentando para um nível de tensão constante. Assim sendo,
o fenómeno da fluência provoca um aumento de extensões e consequentemente, de curvaturas.
Figura 3.3 – Definição de fluência aplicando uma tensão constante ao longo do tempo Fonte: Neville e Brooks (2008)
12
Esse aumento de extensão é traduzido pela equação (3.5) em que o coeficiente de fluência ( ) representa o
incremento de extensão entre t0 e t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] (3.5)
Como referido por Câmara (2013, p. 165), o aumento de extensões devido à fluência pode ser simulado
como uma diminuição da rigidez. Para representar este efeito a longo prazo, pode admitir-se um módulo de
elasticidade equivalente ( ) dado por:
[ ] ( )
( )
(3.6)
Segundo Neville e Brooks (2008, p. 206-223), o fenómeno de fluência depende de vários fatores como:
o módulo de elasticidade E (o aumento do módulo de elasticidade dos materiais está associado
também a uma menor fluência)
a volume dos agregados na mistura (maior volume implica uma menor fluência)
a relação água cimento (quanto menor a relação A/C, menor a fluência)
o início e o período de carregamento (quanto mais demorado for o início do carregamento, menor
será a fluência)
a temperatura (maior temperatura resulta numa maior fluência)
humidade relativa (menor humidade implica uma maior fluência)
forma da secção (quanto maior o racio volume/superfície menor a a fluência).
Em fase de projeto, a maior parte destas variáveis são difíceis de definir com precisão pelo que é difícil
prever a magnitude da fluência. “Para casos correntes, e na falta de outros dados poderá utilizar-se, como
primeira referência, o valor de ϕ ≅ 2.5” (CÂMARA, 2013, p.165)
Ghali, Favre e Eldbadry (2002, p. 2 e 10) afirmam: “The modulus of elasticity of concrete increases with its
age. A stress introduced gradually (…) produces creep of smaller magnitude compared to a stress of the
same magnitude applied at age t0 and sustained during the period (t0→t).” De forma a simular este
fenómeno, para o incremento de cargas aplicadas no tempo ( ( )), Ghali, Favre e Eldbadry (2002, p. 10)
sugerem que o coeficiente de fluência ( ) seja multiplicado a um coeficiente redutor denominado de
coeficiente de envelhecimento ( ) que logicamente será menor que a unidade. Tendo em conta este fator,
a equação (3.5) pode ser escrita tal que:
( ) ( )
[ ]
( )
[ ] (3.7)
13
Em que a primeira parcela representa a extensão instantânea tendo em conta a fluência devido a uma
tensão introduzida para o tempo t0, sem variação até a tempo t (ver Figura 3.3) e segunda parcela a
extensão tendo em conta a fluência, devido a uma variação da magnitude de tensões no betão de t0 até t
De referir ainda que, de acordo com Ghali, Favre e Eldbadry (2002, p. 10) o coeficiente de envelhecimento
pode ser simplesmente assumido com valores de 0,6 a 0,9, para casos correntes de 0,7 a 0,8.
3.1.3 Efeito de Retração
A curvatura ( ) representa o incremento de curvatura a longo prazo devido a fenómenos de retração.
Poder-se-á dizer, de uma forma simples que a retração está associada à perda de água da massa de cimento
devido a evaporação, carbonatação e reações de hidratação do cimento.
Este fenómeno é estruturalmente tratado como uma deformação imposta, e é independente do nível de
tensão aplicado ou variação de temperatura. Como descrito em Neville e Brooks (2008, p. 238-242), a
retração é função de várias variáveis, como:
relação água cimento (Quanto maior A/C, maior retração)
o módulo de elasticidade (quanto maior modulo de elasticidade (E), menor será a retração)
volume dos agregados (quanto maior o volume dos agregados, menor será a retração)
a humidade relativa (em geral, quanto maior humidade relativa, menor retração)
a dimensão e a forma da secção (quanto maior o volume/superfície, menor a retração)
Como apresentado em Câmara (2013, p. 166), de uma forma simplificada, a retração pode ser tratada como
uma diminuição de temperatura de 20°C a 40°C. Assim, para uma peça de betão, considera-se que a
extensão média, por retração, tomará valores tais que a .
Câmara (2013, p. 167) refere que a armadura numa peça de betão armado tem um papel restritivo ao
encurtamento do betão. No caso de diferentes quantidades de armadura de tração e compressão, as
extensões finais nas fibras extremas serão diferentes, o que resulta numa curvatura.
Também é apresentado por Câmara (2013, p. 167) que, em estruturas impedidas de se deformarem
axialmente, a retração fará com que a peça “queira” encurtar originando tensões de tração no betão que
poderão gerar fendas e, consequentemente, a uma diminuição da rigidez, o que implica um aumento de
curvaturas.
Como se pode confirmar através da equação (3.2), a curvatura é dependente da altura útil do elemento.
Assim, é fácil compreender que, para os mesmos níveis de extensões diferenciais entre as fibras inferior e
superior de uma seção, pode inferir-se que a curvatura em vigas é menos relevante que para lajes. Nestas, é
reconhecido que a retração pode ter uma maior importância uma vez que a altura útil nestes elementos é
menor.
14
3.1.4 Exemplo de um tirante à tração
Para uma melhor compreensão da forma proposta para a avaliação da curvatura média, existem conceitos
como a distância mínima entre fendas e a contribuição de betão entre fendas, que são mais facilmente
explicáveis no caso de um tirante à tração pura. Uma vez que o banzo tracionado da viga pode ser
considerado como um tirante, o comportamento do tirante pode ser generalizado para o estudo do
comportamento à flexão. Apresenta-se então, na Figura 3.4, um elemento de betão armado sujeito a tração
pura.
Figura 3.4 – Tensão e extensões no aço e no betão para um tirante à tração pura Fonte: Câmara (2013)
Quando numa dada zona, as tensões atuantes no betão ( ) se aproximam do nível da tensão de tração
resistente ( ), forma-se uma primeira fenda no tirante. Sendo a armadura do elemento superior à
armadura mínima, equilibra a carga no domínio elástico (não plastifica), fazendo com que as tensões que
estariam a ser suportadas pelo betão sejam transferidas para a armadura.
Devido ao efeito de aderência aço/betão, como exemplificado na Figura 3.5, parte das tensões no aço
passam para o betão, sendo necessário para a formação de uma nova fenda que se possa ter de novo no
betão um nível de tensão correspondente ao de fendilhação ( ).
Figura 3.5 – Distância mínima (s) para a formação de nova fenda Fonte: Câmara (2013)
15
Esse estado de tensão só será alcançado a uma distância s da fenda, pelo que a ocorrência de uma nova
fenda só se poderá dar para essa mesma distância. Como refere Câmara (2013, p. 169) “(…) por efeito da
aderência aço/betão, na região adjacente à fenda, [há] uma transferência de tensões do aço para o betão. A
uma distância, s, restabelece-se um estado de tensão com trações no betão que permitem condições para
se poder formar outra fenda.”
Repare-se através da Figura 3.4, que uma vez estabilizada a fendilhação entre as fendas, a tensão atingida
pelo betão será sempre inferior à tensão resistente de tração, impossibilitando o surgimento de novas
fendas, o que realça a existência de uma distância mínima entre fendas.
Assim, este elemento de betão armado terá um comportamento mais rígido do que o estado II que nunca
será total ao longo de todo o elemento uma vez que sempre existirá betão entre fendas a contribuir para a
rigidez. Como refere Câmara (2013, p. 174) “(…)na zona entre fendas o betão retém parte da força de
tração aplicada. Denomina-se, em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas (…)”
Entende-se através da Figura 3.6 que a extensão no aço irá variar entre o estado I ( ) e o estado II ( ).
Figura 3.6 – Relação tensão-extensão para tirante à tração pura
Fonte: Favre et al. (1985)
Esta extensão média pode ser representada por:
⁄ (3.8)
Em que:
representa o incremento de deformação devido á força N
representa o comprimento inicial da barra de betão armado
representa a contribuição de betão entre fendas na diminuição de deformação em relação ao
estado II
16
Como afirmado por Favre et al. (1985, p. 1.2) “ represents the contributions of the concrete in tension
between the cracks (tension stiffening) which follows a hyperbolic relationship approaching the line
asymptotically for stresses in excess of . It has been shown experimentally that can be represented
by the relationshionship: ( ⁄ ).”(FAVRE et al., 1985, Pag1.2)
Através do gráfico representado na Figura 3.6, geometricamente temos que:
( ⁄ ) ( ) ( ⁄ ) (3.9)
Para o estado I, por compatibilidade, a extensão no aço será igual à extensão no betão, pelo que se tem:
(3.10)
Para o estado II:
(3.11)
Tendo como ponto de partida a equação (3.8) e substituindo as variáveis pelas equações (3.9), (3.10) e
(3.11), chega-se ao resultado final das equações (3.12) em que ( ⁄ ) .
( ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ( ⁄ ) ) ( ⁄ )
( )
(3.12)
Em que ( ⁄ ) . A parcela ( ⁄ ) representa, então, a variação parabólica entre esforço
axial-deformação axial ou de uma uma forma equivalente entre momento-curvatura para esforços
superiores aos de fendilhação.
Favre et al (1985, p. 1.4) afirma que, de forma a calibrar o coeficiente com os resultados experimentais,
torna-se necessário a aplicação de coeficientes corretores que tenham em consideração as características
de aderência dos varões de aço e a duração ou repetição da aplicação de cargas.
Assim, o coeficiente é dado pela seguinte expressão:
( ⁄ ) (3.13)
Em que:
coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões (β1 = 1.0 para varões de
alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência normal)
coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0 para uma única carga
de curta duração; β2 = 0.5 para cargas atuando com permanência ou para vários ciclos de cargas);
Cargas de longa duração ou repetida fazem com que as propriedades de aderência entre aço-betão
sejam, em parte, perdidas.
17
Como se viu, para uma zona fendilhada da peça, o comportamento de um elemento tracionado pode
considerar-se como intermédio entre os determinados estados I e II. Assim sendo, como indica a Figura 3.7,
o elemento real pode ser representado por um modelo só com zonas no estado I e II com comprimentos
definidos por e .
Figura 3.7 – Modelo de calculo para um tirante à tração Fonte: Favre et al. (1985)
Em que ( ) e , sendo os valores e dependentes do nível de esforço aplicado, que
reflete o grau de fendilhação da peça.
3.1.5 Flexão pura
Para o caso da flexão pura, todos os pressupostos apresentados para uma seção à tração pura são válidos.
Assim, as extensões médias são obtidas de acordo com a Figura 3.8, da qual resultam nas seguintes
expressões:
( ) (3.14)
( ) (3.15)
Figura 3.8 – Extensões médias à flexão Fonte: Favre et al. (1985)
18
À semelhança do elemento tracionado apresentado no capítulo 3.1.4, a zona do elemento fendilhado
sujeito à flexão pura pode ser representado por um modelo de forma a simular convenientemente a
contribuição do betão entre fendas como apresentado na Figura 3.9.
Figura 3.9 - Modelo de cálculo para um elemento à flexão pura Fonte: Favre et al. (1985)
Em que, dependendo do nível de momento aplicado, o comprimento das zonas no estado I e II será dado
pelas seguintes expressões:
( ) (3.16)
(3.17)
A partir das equações (3.2), (3.14) e (3.15), chega-se à curvatura média:
( )
(3.18)
Em que a relação quadrada entre momentos ou tensões nas armaduras permite a avaliação do fator , que
é dado pela equação ( ⁄ ) ( ⁄ ) , sendo:
M o momento para combinações quase permanentes;
o momento de fendilhação do betão.
Se a curvatura média será igual à curvatura no estado I,
Em que, ( ⁄ ) e ( ⁄ ) correspondem às curvaturas avaliadas nos denominados estados I e II,
respetivamente.
19
A Figura 3.10 representa variação a curvatura média a curto e longo prazo, de acordo com esta modelação.
Figura 3.10 – Curvatura a curto e longo prazo em função do momento atuante Fonte: Favre et al. (1985)
Analisando a longo prazo (t=t), a curvatura apresenta uma diferença significativa entre o valor avaliado
antes ou após . Esta variação brusca acontece devido aos fatores corretivos e (para longo
prazo o valor de é igual a 0,5). Este fator tem em conta a degradação da aderência aço/betão ao longo
do tempo ou perante repetição de cargas. Conclui-se que, para longo prazo, a deformação da peça depende
bastante da avaliação da estrutura estar ou não fendilhada. Como se discutirá adiante, considerou-se
conservativamente que sempre que se tivesse a relação ⁄ se admitia que aquela zona estava
fendilhada.
Tanto para curto prazo (t=0) como para longo prazo (t=t), ultrapassando o valor de momento de
fendilhação, é visível experimentalmente que as curvaturas aumentam de uma forma aproximada a uma
equação de 2º grau tendendo assimptoticamente para a curvatura em estado II. (como já descrito
anteriormente).
Para longo prazo, está representado o possível aumento de curvaturas tendo em conta o fenómeno de
retração, podendo chegar-se a curvaturas médias que ultrapassem o estado II.
Finalmente, conhecendo o andamento final de curvaturas em todo o elemento de betão armado, é possível
calcular a deformação, por exemplo, através da expressão (3.1) do Princípio dos Trabalhos Virtuais.
20
3.2 Curvatura média com base numa secção de betão sem
armadura
No capítulo anterior foi proposta uma curvatura média que tem em conta o nível de fendilhação da peça, a
fluência e a retração. Favre et al. (1985, p. 3.2) propõem que a avaliação da curvatura média seja obtida a
partir da curvatura considerando a secção de betão não armado, segundo a expressão:
(3.19)
Em que:
representa a inércia da secção de betão não considerando as armaduras.
Para que a curvatura apresentada em (3.19) represente a curvatura real de betão armado, terá de ser
modificada através de coeficientes K que tenham em conta:
O efeito da armadura a curto prazo ( );
O efeito de fluência considerando a influência restritiva que as armaduras oferecem ao incremento
de deformação do betão ( );
O efeito da retração ( ).
Como apresentado anteriormente, a curvatura média é dada através da equação (3.18). Assim, torna-se
necessário calcular a curvatura para o estado I e estado II tendo em conta os fatores K.
A explicação apresentada nesta dissertação para estes fatores K relativos à fluência e retração ( ; ;
; ) será física e não matemática. Para uma explicação matemática poder-se-ia recorrer, por
exemplo, ao método das forças nas secções, em estado I e II, tópico que não se desenvolve neste trabalho.
3.2.1 Curvatura no Estado I
Foi explicado anteriormente que a curvatura depende do estado de fendilhação, de fluência e de retração
do betão. Tendo como base a equação (3.3), para o estado I, a curvatura total será dada pela seguinte
equação:
( ) ( ) ( ) ⏟
( ) ⏟
(3.20)
21
3.2.1.1 Curvatura instantânea da secção tendo em conta a armadura
A parcela da curvatura total referente à influência das armaduras será dada pela expressão:
( )
(3.21)
Em que:
representa o coeficiente que considera a ação das armaduras a curto prazo para estado I.
De notar que a curvatura dada por ( ⁄ ) é equivalante a ( ⁄ ), em que:
representa a Inércia da secção de betão tendo em conta a armadura de compressão e tração no
estado I.
Calculando a inércia através da homogeneização da secção, torna-se evidente que a inércia no estado I ( )
será superior (mas não de uma forma significativa) à inércia da secção de betão ( ). Sendo o valor de
dado pela relação , conclui-se que este coeficiente apresentará sempre valores menores que a unidade.
As tabelas fornecidas por Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 103) (Figura 3.11) mostram
. Naturalmente, com o aumento de quantidade de armadura, o valor de inércia para o estado I ( )
aumentará fazendo com que o valor diminua em correspondência.
Figura 3.11 – Ábaco correspondente ao coeficiente K(s1) para Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 103)
22
3.2.1.2 Curvatura instantânea da secção tendo em conta a fluência
O incremento de curvatura devido à fluência deve ser calculado utilizando o coeficiente e o fator
corretivo , que aplicados em conjunto representam o aumento de curvatura no tempo em relação à
curvatura a curto prazo. O incremento de curvatura é então expresso pela seguinte equação:
( )
(3.22)
Em que:
representa o coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação se não houvesse
armaduras.
representa o coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao
incremento de deformação livre por fluência do betão para o estado I (efeito equivalente ao ,
mas agora ao incremento de deformação a longo prazo).
Como referido por Câmara (2013, p. 166) “(…) as armaduras contribuem, um pouco, para restringir o
aumento de deformação por fluência do betão. No entanto, no comportamento em Estado I, não
fendilhado, essa restrição não é muito significativa.”
Entenda-se, pela Figura 3.12, como a armadura tem esse papel restritivo em relação ao aumento de
extensões devido a fluência. Assim será sempre menor que a unidade, uma vez que a restrição ao
aumento das extensões só poderá resultar numa diminuição de curvaturas. Se não existisse restrição da
armadura e a fluência fosse livre, o incremento de extensões dado pela fluência seria igual a ( ) (equação
(3.5). Porém, essa restrição em estado I não será muito significativa pelo que tomará sempre valores
próximos da unidade, aliás, de uma forma semelhante ao valor de .
Figura 3.12 – Extensões para curto (t=0) e longo prazo (t=t) devido a fluência (estado I)
23
Este aspeto é verificado na Figura 3.13, onde . Naturalmente que com o aumento de quantidade de
armadura existirá um maior efeito de restrição, fazendo com que diminua em correspondência.
Figura 3.13 - Ábaco correspondente ao coeficiente K( 1) para( ); ( );( ) Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 105)
3.2.1.3 Curvatura instantânea da secção tendo em conta a retração
A curvatura devido à retração para o estado I é calculada através da expressão:
( )
(3.23)
Em que:
representa o coeficiente que quantifica o grau de restrição das armaduras à deformação por
retração do betão para o estado I;
representa a extensão média da massa de betão devido à retração.
Como já referido no capítulo 3.1.3, o aumento de curvatura depende das quantidades de armadura nas
fibras superiores e inferiores.
24
Observa-se através da Figura 3.14 que, não entrando com o efeito das armaduras, a retração seria livre
resultando no diagrama de extensões correspondente a e sem curvatura. Tendo em conta o efeito das
armaduras, estas restringem a livre deformação da massa de betão, comprimindo a armadura e
tracionando o betão, gerando uma curvatura sempre que as armaduras superiores e inferiores sejam
diferentes. No caso limite de ⁄ , as extensões seriam constantes ao longo da secção resultando num
valor de curvatura igual a zero e consequente .
Figura 3.14 – Tensões e extensões devido à retração para ⁄ (estado I)
Já para o outro caso limite, ⁄ (caso em que não existe armadura na fibra superior), o valor de
será maior e tanto maior quanto a quantidade de armadura, pois existe um nível de restrição relativo mais
importante. Através da Figura 3.15 observa-se que a retração é unicamente impedida pelas armaduras na
fibra inferior, fazendo com que o aço seja comprimido e o betão tracionado. Por equilíbrio (somatório de
momentos e de forças iguais a zero), existirão tensões de compressão nas fibras superiores fazendo com
que a extensão no betão ( ) seja superior à extensão livre por retração do betão ( ). Sendo a curvatura
calculada com base em , chega-se à conclusão que, em geral, será inferior à unidade. No
entanto, para grandes quantidades de armadura, o valor de pode tomar um valor próximo da unidade.
Figura 3.15 – Tensões e extensões devido à retração para ⁄ (estado I)
25
É isso que mostra a Figura 3.16 em que, para casos correntes, . Para o caso ⁄ confirma-se
que será praticamente zero a menos de diferenças nas distâncias aos bordos das armaduras superiores
e inferiores
Figura 3.16 - Ábaco correspondente ao coeficiente K(cs1) para( ); ( ) Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 111)
No final, a longo prazo, conclui-se que, para o estado I, a curvatura final pode ser dada pela seguinte
expressão:
( ) ( )
⏟
⏟
(3.24)
Para curto prazo no estado I, a curvatura final é dada por:
( )
(3.25)
3.2.2 Curvatura no Estado II:
Tendo novamente como base a equação (3.3), para o estado II, a curvatura final será dada pela seguinte
equação:
( ) ( ) ( ) ⏟
( ) ⏟
(3.26)
De referir que, para o efeito de cargas permanentes, a curvatura ( ) representa o maior valor possível
para ( ) (não considerando a eventual influência da retração).
26
3.2.2.1 Curvatura instantânea da secção tendo em conta a armadura
A curvatura a curto prazo tendo em conta as armaduras será dada pela expressão:
( )
(3.27)
Em que:
representa o coeficiente que considera a influência das armaduras a curto prazo, e que têm,
necessariamente uma importância vital no estado II.
De notar que a curvatura dada por ( ⁄ ) é equivalante a ( ⁄ ), em que:
representa a Inércia da secção de betão armado fendilhada (estado II), tendo em conta a secção
de betão à compressão e as armaduras à tração e compressão.
Como ilustrado na Figura 3.17, o estado II não entra com a participação do betão à tração, fazendo com que
a inércia neste estado ( ) seja significativamente inferior à inércia para a secção de betão ( ). Sendo o
valor de dado pela relação , conclui-se que este coeficiente apresentará sempre valores
consideravelmente maiores que 1 e, consequentemente, ( ) ( ) .
Figura 3.17 - Secção de betão e secção de betão armado no estado 2
27
Isto é constatado na Figura 3.18 que . Naturalmente, a diminuição de quantidade de armadura e a
consequente subida da linha neutra, fazem com que a inércia no estado II diminua e consequentemente
aumente. Refira-se que corresponde aproximadamente a armadura mínima e que, portanto,
a rigidez em estado II varia, para situações correntes, aproximadamente entre 2 a 10 da secção só de betão.
Figura 3.18 - Ábaco correspondente ao coeficiente K(s2) para d/h=1 Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 104)
3.2.2.2 Curvatura instantânea da secção tendo em conta a fluência
O incremento de curvatura devido à fluência é também avaliado a partir da curvatura instantânea
afectada pelo coeficiente corretivo , tal que:
( )
(3.28)
Em que:
representa o coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao
incremento de deformação livre por fluência do betão no estado II.
28
Observa-se através da Figura 3.19 que, devido à “perda de rigidez” por fluência, a linha neutra da secção
baixa fazendo com que o braço (z) também diminua. Sendo o momento fletor (resultante das cargas
exteriores) invariável, a força resultante das tensões do aço (Fs) e do betão (Fc) tem de aumentar fazendo
com que as extensões para o aço também aumentem. Note-se que este aumento não será considerável
sendo apenas um ajuste. Esta conclusão é confirmada por Câmara (2013, p. 207), “(…) é
necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao aumento da deformação ao
longo do tempo é grande. Repare-se que a zona tracionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua
deformação, pois é só aço e este não flui.”
Figura 3.19 – Posicionamento da linha neutra, tensões e extensões devido à fluência (estado II)
Confirma-se através da Figura 3.20 que os valores são sempre diminutos. Para casos correntes este
fator atingirá valores entre 0,05 e 0,2. Isto mostra que uma secção no estado II, que perdeu rigidez por esse
facto, vai ter um incremento de deformação relativamente pequeno ao longo do tempo.
Figura 3.20 - Ábaco correspondente ao coeficiente K( 2) para e Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 108)
29
3.2.2.3 Curvatura instantânea da secção tendo em conta a retração
A curvatura devido à retração para o estado II é calculada através da expressão:
( ) (3.29)
Como ilustrado na Figura 3.21, no estado II, a secção só tem ativa a zona comprimida e as armaduras que
oferecem restrição ao encurtamento do betão. As extensões (devido à retração) na zona da armadura de
tração terão tendência a ser pequenas pois nessa zona não existirá betão para estabelecer o equilíbrio e
não poderá existir uma variação de momento (somatório de momentos e forças igual a zero). Assim,
existirá sempre uma curvatura para o estado II devido à retração. De referir que, quanto maior a
quantidade de armadura à compressão, maior a restrição ao encurtamento do betão e consequentemente
menor a curvatura. Caso a quantidade de armadura à tração fosse tal que e não existindo armadura
de compressão, a curvatura no estado II seria dada por ( ) ≅ ⁄ , ou seja, seria ligeiramente
superior à unidade.
Figura 3.21 – Tensões e extensões devido a retração para o estado II
30
Isto é constatado através da Figura 3.22 em que, para o caso limite de , o valor de será
ligeiramente superior à unidade.
Figura 3.22 - Ábaco correspondente ao coeficiente K(cs) para , e Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 108)
No final, para longo prazo, conclui-se que, para o estado II, a curvatura final é dada pela seguinte expressão:
( ) ( )
⏟
⏟
(3.30)
Para curto prazo, a curvatura final é dada por:
( )
(3.31)
3.3 Método Bilinear
Favre et al. (1985, p. 3.17) referem que: “The bilinear method is limited to the calculation of deflections. It
is based on the observation that, for the serviceability limit state, the moment-deflection relationship may
be approximated by a bilinear relation which represents in some way the overall effect of the moment-
curvature relationships”.
Num elemento genérico, para momentos inferiores aos momentos de fendilhação (estado I), a relação
momentos-curvaturas é linear. Já para secções onde o momento é superior ao de fendilhação, a curvatura
será intermédia entre os estados I e II simulando a contribuição de betão entre fendas. Sendo a deformação
calculada a partir da integração das curvaturas em todo o elemento, a relação momento-deslocamento é
mais “puxada” para o estado I, pois neste caso há que integrar ao longo das zonas fendilhadas ou não
fendilhadas, resultando então que a deformação seja mais próxima de uma relação linear do que
parabólica.
31
O Método Bilinear é um método simplificado uma vez que considera uma secção determinante (secção de
momento máximo) para o cálculo da deformação. Assim sendo, os coeficientes descritos no capítulo
anterior são admitidos constantes ao longo da peça, tornando o cálculo mais rápido e expedito.
Segundo Favre et al. (1985, p. 3.17), admite-se as seguintes considerações simplificativas:
Para o estado limite de serviço, a distribuição de momentos atuantes será semelhante à distribuição
de momentos elásticos pelo que, como simplificação, se considera a distribuição de momentos
elásticos;
O coeficiente , que na realidade varia ao longo do elemento, é calculado para secções ditas como
determinantes. Os valores de momento, momento de fendilhação e todos os fatores corretivos da
curvatura são calculados com base na secção determinante;
O cálculo das deformações “ ” e “ ” correspondentes ao estado I e II e são calculadas com base
nas características da secção determinante. Não são tidos em conta efeitos de variação de
quantidade de armadura ao longo do elemento.
3.3.1 Cálculo de
Câmara (2013, p. 209) realça que o efeito não linear no valor de deformação é melhor avaliado
considerando que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se passa sobre os
apoios, pelo que se pode tomar um valor ponderado tendo em conta essas zonas. Através da equação (3.1)
entende-se que a flecha a meio vai será função das curvaturas ao longo de toda a estrutura. Assim, Câmara
(2013, p. 209) sugere a seguinte ponderação dependendo das condições de fronteira:
Figura 3.23 - Ponderação do coeficiente em função das condições de fronteira Fonte: Adaptado de Câmara (2013)
Enquanto que a relação momento-curvatura é semelhante a uma equação de 2º grau, a relação momento-
deslocamento é aproximadamente igual a uma equação linear fazendo com que o coeficiente também o
seja.
Matematicamente, ao escolher uma secção determinante, não varia ao longo do elemento, assim
( ⁄ ) ( ⁄ )
32
Em que :
O momento M, que na realidade varia, é tido como constante. Este é calculado como a média
geométrica entre e ( √ );
Considera-se o momento de fendilhação igual para toda a secção, pelo que ;
é o momento calculado para a secção determinante;
é o momento de fendilação para a secção determinante;
e foram descritos anteriormente no capítulo 3.1.4.
De notar que para o caso em que exista mais de uma secção determinante, à semelhança da ponderação de
, os valores K ( , e ) serão também sujeitos a essa mesma ponderação.
3.3.2 Cálculo da flecha:
Analisando a estrutura para a secção determinante e combinando as equações (3.1) e (3.18), tem-se que a
deformação para uma peça de betão armado será a seguinte:
∫ ( )
∫
( ) (3.32)
Para longo prazo, tendo em conta as equações (3.1), (3.24) e (3.30), conclui-se que e são dados pelas
seguintes equações:
( ) ∫
⏟
∫
⏟ ( )
(3.33)
( ) ∫
⏟
∫
⏟ ( )
(3.34)
As variáveis e representam o menor e maior valor de deformação possível para um elemento de
betão armado.
Como apresentado na Figura 3.24, e são valores constantes, que simulam a retração nos estados I e
II, concluindo (mais uma vez) que a retração não depende do momento aplicado, incrementando
constantemente o valor da deformação e . Como se pode constatar através da Figura 3.16 e Figura
3.22, o valor de será sempre menor que , o que resulta em valores de inferiores a .
33
Figura 3.24 - Deformação a longo prazo em função do momento atuante, tendo em conta a retração Fonte: Favre et al. (1985)
Desprezando-se a parcela do efeito da retração, as deformações e sofrem uma translação de forma a
que o valor da deformação seja nulo para momento nulo (ver Figura 3.25).
Analogamente, para curto prazo, tendo em conta as equações (3.1), (3.25) e (3.31), conclui-se que os
valores e são dados pelas seguintes equações, representadas também pela Figura 3.25.
∫
(3.35)
∫
(3.36)
Figura 3.25 - Deformação a curto e longo prazo em função do momento atuante, não tendo em conta a retração Fonte: Favre et al. (1985)
34
3.4 Coeficiente Global Formal
Favre et al. (1985) apresentam, como simplificação do Método Bilinear, o método dos Coeficiente Globais
em que é efetuada a ponderação de um único coeficiente global que representa os fenómenos devidos às
cargas permanentes (fendilhação e fluência).
“These coefficients (kt and k0) are derived from the bilinear method by means of certain simplifications”
(FAVRE et al., 1985, pag 3.26).
As simplificações são as seguintes:
Assume-se que d’/h=0,1;
Para assume-se que o rácio ρ’/ρ=0,25;
β1=1 (armadura de alta ardência).
Tendo em conta apenas os fenómenos de cargas aplicadas, das equações (3.33) e (3.34) têm-se as seguintes
equações:
( ) (3.37)
( ) (3.38)
Deste modo, para longo prazo, Favre et al. (1985) indica que a expressão (3.32) vem igual a:
[( ) ( ) ( ) ] (3.39)
Para curto prazo, tem-se que:
[( ) ] (3.40)
Os valores das expressões (3.39) e (3.40) têm os seguintes significados:
é a flecha elástica para uma secção homogénea de betão;
- coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da fendilhação e da
fluência (função de ϕ, αρ, Mcr/MD, ⁄ ), em que α é sempre avaliado com o módulo de
elasticidade instantâneo do betão;
- coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de compressão (função de
ρ’/ρ, αρ). A armadura de compressão fará com que a curvatura seja menor. Assim sendo, para
longo prazo este coeficiente reduz a curvatura em média entre 5-10%, na maior parte dos casos. k0
já comtempla a armadura de compressão através da simplificação ρ’/ρ=0,25. Assim, o factor só
entrará para o calculo de ;
35
- coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da fendilhação (função de
αρ, Mcr/MD, ⁄ ).
Favre et al. (1985, p. 3.31-3.32) apresenta uma série de ábacos que fornecem os valores de e sendo a
sua escolha dependente do parâmetro ⁄ . Ghali, Favre e Eldbadry (2002, p. 326) referem que o
posicionamento da armadura de tração, expresso por ⁄ , varia com a terceira potência, resumindo a
consulta de e a único ábaco de ⁄ . Assim, para que a posição das armaduras de tração seja
contabilizada, as expressões (3.39) e (3.40) são alteradas para as seguintes:
Para longo prazo:
( ⁄ ) (3.41)
Para curto prazo:
( ⁄ ) (3.42)
É apresentado através da Figura 3.26 o ábaco correspondente aos valores de para h/d=1. No caso de
lajes, para valores habituais de percentagem de armadura, a flecha a longo prazo será incrementada entre 3
a 7 vezes em relação à flecha elástica. De salientar que, em princípio, o nível de esforço para uma secção
determinante com armadura mínima ( ) não será elevado pelo que, em geral, corresponderá a
uma secção no estado I (não fendilhado) e consequentemente a valores de não superiores a 7,5.
a
Figura 3.26 - Ábaco correspondente ao coeficiente K(t) para h/d=1 e Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 98)
36
É apresentado através da Figura 3.27 o ábaco correspondente aos valores de . Conclui-se através do
mesmo que o efeito de fendilhação poderá incrementar a flecha elástica de 1 a 3 vezes.
Figura 3.27 - Ábaco correspondente ao coeficiente K(0) para 1º carregamento e para h/d=1 Fonte: Favre et al. (1985 apud Gomes e Vinagre (1997), p. 97)
Appleton (2013, p. 520) afirma só tem sentido utilizar que o fator ( ⁄ ) quando se considera a secção
determinante como fendilhada. Caso a secção esteja não fendilhada (estado I) pode-se determinar
conservativamente que o valor de deformação a curto e longo prazo são incrementados pela fluência, não
contabilizando o efeito das armaduras. Assim sendo:
( ) (3.43)
(3.44)
De uma forma equivalente à do Método Bilinear (capítulo 3.3) podem calcular-se os coeficientes globais (
e ) tendo em conta as secções determinantes e as condições de fronteira (capítulo 3.3.1), e
posteriormente fazer-se a ponderação de coeficientes como indicado na Figura 3.28.
Figura 3.28 - Ponderação do coeficiente em função das condições de fronteira Fonte: Adaptado de CÂMARA (2013)
37
3.5 Coeficiente Global Adaptado
O Método dos Coeficiente Globais Formal requer a consulta manual de ábacos o que pode resultar num
processo demorado e sujeito a erros de consulta. Neste trabalho é proposto um coeficiente, o Coeficiente
Global Adaptado, baseado na rigidez da secção, que poderá dispensar a consulta destes ábacos e que
permitirá uma avaliação equivalente da deformação final.
Visto que este método tem como base o Método Bilinear, todas as simplificações apresentadas no capítulo
3.3 serão válidas para este capítulo. Admite-se também que as armaduras são de alta aderência, (β1=1) e
que se despreza o fenómeno de retração.
Havendo uma relação direta entre a Rigidez e a Curvatura, a equação (3.18) pode ser alterada de forma a
calcular uma rigidez média (ou rigidez equivalente).
( ) ( ) ( ) ( ) (3.45)
Para longo prazo, propõe-se que a fluência seja simulada através de uma diminuição do módulo de
elasticidade (equação (3.6). Uma vez que a inércia é calculada através da homogeneização da secção, esta
depende do módulo de elasticidade, fazendo com que a inércia seja calculada diferenciadamente para o
curto e longo prazo. Essa homogeneização é feita através da variável .
Assim, a longo prazo tem-se que:
⁄ (3.46)
Tendo em conta este fator , a longo prazo, a rigidez equivalente é dada pela seguinte expressão:
( ) ( ) (3.47)
Em que :
representa o módulo de elasticidade a longo prazo ( ( )⁄ );
representa a inércia no estado I tendo em conta ;
representa a inércia no estado II tendo em conta .
A curto prazo a variável é obtida através da seguinte expressão:
⁄ (3.48)
A curto prazo a rigidez equivalente é dada pela expressão:
( ) ( ) (3.49)
representa o módulo de elasticidade do material;
representa a inércia no estado I tendo em conta ;
representa a inércia no estado II tendo em conta .
38
Para o caso de uma secção determinante e tendo como ponto de partida a deformação elástica de curto
prazo para uma secção de betão ( ), poder-se-á estimar a deformação a longo prazo a partir da seguinte
expressão:
[( )
] [( ) ]
(3.50)
Tendo como referência a flecha elástica do betão ( ), a Figura 3.29 representa o incremento de flecha
resultante da aplicação dos fatores e . Estes são fatores que refletem o incremento de flecha, tendo
em conta o efeito das armaduras e o efeito da fluência num estado não fendilhado e fendilhado,
respetivamente.
Figura 3.29 – Representação dos valores K(t1) e K(t2)
Fonte: Adaptado de Favre et al. (1985)
e serão sempre valores maiores que a unidade, uma vez que, devido à fluência, existirá sempre um
incremento na flecha em relação à flecha elástica.
Para curto prazo, a deformação será calculada pela seguinte expressão:
[( )
] [( ) ] (3.51)
39
Analogamente à Figura 3.29, a Figura 3.30 representa, a curto prazo, a diminuição ou aumento da flecha
devido aos fatores e .
Figura 3.30 – Representação dos valores K(01) e K(02)
Fonte: Adaptado de Favre et al. (1985)
A curto prazo, será inferior à unidade pois este fator contabiliza a armadura fazendo com que a secção
seja mais rígida que a secção de betão sem armaduras. será sempre superior a 1, uma vez que a rigidez
em estado II é inferior à rigidez de referência da secção de betão.
Caso se justifique o uso de mais de uma secção determinante, o valor dos fatores e serão estimados
tendo em conta as condições de fronteira de forma semelhante à apresentada na Figura 3.28. Tratando-se
do cálculo de deformações, o fator é calculado para cada secção determinante.
De notar que o método dos Coeficientes Globais Adaptado é equivalente ao Método Bilinear, uma vez que
as equações (3.37) e (3.38) podem ser escritas (para longo prazo) de tal forma que:
( )
(3.52)
( )
(3.53)
40
Existe essa mesma equivalência para curto prazo:
(3.54)
(3.55)
De forma a validar essa equivalência, calcular-se-á o coeficiente tendo em conta o Método dos
Coeficientes Globais Adaptado, comparando os valores aos apresentados na Figura 3.13 do presente
trabalho. Tendo em conta a equação (3.54), a expressão (3.52) pode ser escrita de tal forma que:
( ) (
) ⁄ (3.56)
Variando os valores de quantidades de armadura chegam-se aos seguintes valores de apresentados na
Figura 3.31, observando-se que a diferença entre as duas abordagens não é relevante pelo que a
equivalência entre os dois métodos pode ser validada.
Figura 3.31 – Comparação entre os valores apresentados por Favre et al. (1985) correspondente ao coeficiente K( 1) para d/h=1 e valores do coeficiente K( 1) utilizando o Método dos Coeficientes Globais Adaptados para um d/h=1, d’/h=0,13 e
Esta desigualdade é espectável na medida em que o método dos Coeficientes Globais Adaptado não
considera o coeficiente de envelhecimento. Os valores de calculados são superiores aos tabelados uma
que o coeficiente de fluência não é reduzido para efeitos de variação de tensão no betão ao longo do
tempo. Conclui-se que, na prática, a consideração do coeficiente de envelhecimento acaba por não ter uma
relevância significativa.
0,001 0,002 0,003 0,005 0,01 0,02 0,03 0,05 0,1 0,2
ρ'/ρ=0
ρ'/ρ=1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
kφ1
α.ρ
Coef. Globais Adaptados
Método Bilinear
41
3.6 Inércia Equivalente
A avaliação norte-americana tem que: “An analogous approach for estimation of the deflection due to load
(…) is based on calculation of an effective moment of inertia to be assumed constant over the full length of
the member.” (GHALI, FAVRE e ELDBADRY, 2002, p. 236).
A presente metodologia propõe o cálculo de uma inércia efetiva que estará entre o estado I e II e será
constante ao longo de toda a peça. Embora a abordagem de cálculo seja diferente, este método é
equivalente aos descritos anteriormente uma vez que:
⁄ ⁄ (3.57)
Esta abordagem é seguida, em geral, no continente americano. Neste capítulo serão abordadas as normas
norte-americana ACI-435 e brasileira ABNT-NBR6118.
Essas normas determinam que a Inércia equivalente seja calculada a partir da fórmula apresentada por
Brandson (1977 apud GHALI, FAVRE, ELDBADRY, 2002, p. 315):
( )
[ ( )
] (3.58)
Em que:
é o momento de inércia da secção no estado I. As normas permitem que se utilize (inércia da
secção de betão não considerando as armaduras) em detrimento de ;
é a inércia da secção em estado II;
é o momento na secção determinante;
é o momento de fendilhação, que se considera metade no caso de barras lisas (efeito
equivalente ao de ).
Para o caso de uma viga bi-apoiada (apenas uma secção determinante), a deformação instantânea a partir
da deformação elástica é dada através da expressão:
( ⁄ ) (3.59)
A deformação será superior ou inferior a dependendo do estado de fendilhação da peça.
Para longo prazo a norma ACI435 (2003, p. 14) afirma que “ACI method-Time-dependent deflection of
oneway flexural members due to the combined effects of creep and shrinkage, is calculated in accordance
with ACI 318-89 (using Brandson’s Equation, 1971, 1977) by applying a multiplier”.
42
Tendo em consideração os fenómenos de retração e fluência, a deformação a longo prazo será dada pela
seguinte expressão:
( ) (3.60)
Enquanto que pela norma ACI-435 seria necessário calcular através de ábacos, a norma ABNT-NBR 6118
dá a possibilidade de calcular o coeficiente através da seguinte fórmula:
(3.61)
Em que:
representa a percentagem de armadura à compressão;
é um coeficiente em função do tempo que pode ser dado pela expressão ( ) ( ), em
que ( ) para t<70 meses. Caso t>70 meses , admite-se que ( ) .
Para estruturas correntes, existirá sempre uma armadura mínima de compressão pelo que, em termos
gerais, os valores de serão por volta de 1,7 a 1,9.
De referir que o parâmetro corresponde a uma aproximação na determinação do incremento de
deformação no tempo da deformação a longo prazo em função da inicial (com ou sem fendilhação).
Como apresentado no capítulo 3.3.1, a flecha depende das curvaturas na zona de encastramento e a meio
vão. Assim, para o caso de mais de uma secção determinante, a norma ACI-435 (2003, p. 11) recomenda
que a inércia equivalente seja ponderada tendo em conta as seguintes condições de fronteira
representadas na Figura 3.32. Estas hipóteses valorizam um pouco mais as zonas de momentos positivos do
vão:
Figura 3.32 - Ponderação da Inércia Equivalente em função das condições de fronteira Fonte: ACI-435
Note-se que, para o cálculo da deformação para mais de uma secção determinante, o valor e o valor é
também calculado com base em cada secção determinante.
43
3.7 Métodos para avaliar a deformações em lajes
Segundo Favre et al (1985), o cálculo de deformações a partir dos métodos apresentados anteriormente,
pode ser generalizado a lajes através de dois procedimentos, o método das bandas ortogonais e o método
direto.
3.7.1 Método das Bandas Ortogonais
Para este método, a laje é divida num conjunto de bandas ortogonais. O cálculo da deformação é efetuado
através de um “caminho” definido pelas bandas. Como apresentado na Figura 3.33, cada banda terá um
coeficiente ponderado e uma deformação afetada a esse coeficiente, trabalhando sempre com
deformações relativas entre bandas.
Figura 3.33 – Exemplo de aplicação do método das bandas ortogonais Fonte: Favre et al. (1985)
Para o caso exemplificado, utilizando o método dos coeficientes globais chegar-se-ia a um coeficiente global
da Banda B e C. O respetivo coeficiente afetaria a deformação e . Para a banda B-A-C considerar-se-
ia um novo coeficiente global que afetaria a deformação diferencial . Considerando esta direção de
bandas, a deformação total é dada pela seguinte expressão:
(
) (3.62)
Evidentemente que se se fizesse a avaliação pelo caminho alternativo, o resultado poderia não ser o
mesmo, caso em que se adotaria a média.
44
3.7.2 Método Direto
O método direto acaba por ser uma simplificação do método das bandas ortogonais, na medida em que
exige um menor número de pontos para a estimativa do deslocamento no centro da laje.
Esta metodologia tem como base o cálculo de um único coeficiente que afeta toda a laje. O coeficiente
pode ser calculado tendo em conta as zonas do apoio e do centro da laje.
Para o caso da Figura 3.33, calcula-se um coeficiente para o apoio e outro para o centro da laje. Faz-se a
média desses dois coeficientes. Para calcular a deformação a curto ou longo prazo em qualquer ponto da
laje, basta multiplicar a deformação elástica por esse coeficiente. Assim, para o centro da laje a deformação
é dada pela expressão:
(3.63)
O método das bandas ortogonais acaba por ser um método mais exato do que este, uma vez que considera
várias secções determinantes para o cálculo da deformação final. Desta forma, entra em conta com a
possível fendilhação e quantidades de armadura das várias secções analisadas. Repare-se que, para o
método direto, os pontos B e C não são tidos em conta na ponderação do coeficiente global, fazendo com
que este método, em teoria, seja menos preciso que o método das bandas. A vantagem do método direto é
o facto de ser bastante mais simples, o que, sendo fiável, pode tornar-se uma importante mais-valia.
Para discutir as eventuais variações nos resultados, é apresentada no capítulo 4, com base num exemplo a
avaliação da deformação no centro da laje, tendo em conta o Método dos Coeficientes Globais Formais,
Adaptados e Inércia Equivalente.
45
4. Caso de Painéis Centrais
Apresentam-se neste capítulo as simplificações e processos para o cálculo da deformação de um painel
central de laje ilustrado na Figura 4.1. A análise comparativa baseia-se no estudo de uma solução
fungiforme e de uma solução vigada equivalente.
Figura 4.1 – Painel Central
O dimensionamento dos elementos estruturais foram definidos para uma malha base de 8 metros e o
cálculo das deformações basearam-se nos pressupostos da NP EN 1992 (2010). Para calcular os esforços e
as deformações elásticas recorreu-se ao programa de cálculo SAP 2000.
A laje fungiforme estudada tem espessura de 0,22 metros e capitéis de 3 por 3 metros com espessura de
0,35 metros. A laje vigada apresenta uma espessura de 0,20 metros e vigas de 0,75 metros de altura por
0,30 metros de largura. Em ambas as situações, o painel desta primeira fase de estudo é um painel central.
Começa-se por fazer neste capítulo uma pequena referência aos valores das ações, das combinações das
ações e características dos materiais referidas nas normas NP EN 1990 (2009) e NP EN 1991 (2009), que vão
servir para o estudo comparativo que se apresenta seguidamente.
4.1 Ações
Como referido por Sousa (2011, p. 21) “Denomina-se acção todo o agente capaz de produzir estados de
tensão ou deformação em uma estrutura qualquer.” Para o dimensionamento de uma estrutura, as ações a
ter em conta são:
Ações permanentes;
Ações variáveis.
A NP EN 1990 (2009) define as ações permanentes como ações com elevada probabilidade de se
manifestarem de forma constante ao longo de praticamente todo o tempo de vida útil da estrutura, como o
46
peso próprio de elementos estruturais e não estruturais. O peso próprio de elementos não estruturais é
apelidado de Restantes Cargas Permanentes. As ações variáveis, como o próprio nome indica, são ações
cuja variação de intensidade no tempo não é desprezável.
Para uma estrutura, as cargas permanentes não poderão ser facultadas por nenhuma norma uma vez que
dependem do projeto de arquitetura e das outras especialidades como eletricidade, hidráulica etc. Embora
não definidas, para uma habitação, as restantes cargas permanentes espectáveis serão da ordem de
grandeza da Tabela 4.1.
Tabela 4.1 - Valores comuns de rcp e rcp utilizada
Utilização Restante carga
permanente (rcp) [kN/m2] Restante carga permanente (rcp)
utilizada [kN/m2]
Zonas comerciais e residenciais 2,0 a 3,5
2,0 Caves 0,5
Cobertura 3,5
Segundo a NP EN 1991-1 (2009), a quantificação das sobrecargas de utilização dependem das categorias das
zonas carregadas. A Tabela 4.2 mostra os valores de referência da norma bem como os valores de
sobrecarga considerados no presente trabalho.
Tabela 4.2 – Valores de sobrecarga de referência e sobrecarga utilizada
Utilização Sobrecarga (q) de
referencia [kN/m2] Sobrecarga (q)
utilizada [kN/m2]
Zonas domésticas e residenciais 2,0
5,0 Escritórios 3,0
Locais de concentração de pessoas 4,0 a 7,0
Cave de Estacionamento 2,5 a 5 Fonte: Adaptado de NP EN 1991-1 (2009)
4.2 Segurança
Para verificar a segurança da estrutura, a NP EN 1990 define princípios para o dimensionamento em relação
aos estados limites. Para situações de projeto, o estado limite último deve ser aplicado tendo em vista a
segurança das pessoas e/ou da estrutura, enquanto o estado limite de utilização visa o conforto das
pessoas, aspeto da construção e funcionamento da mesma.
Para qualquer estado limite, deve verificar-se sempre que os efeitos das ações são iguais ou inferiores aos
correspondentes valores de resistências. A seguinte equação expressa essa mesma verificação:
(4.1)
Em que:
representa o efeito de cálculo do efeito das ações;
representa o valor de cálculo resistente correspondente.
47
4.2.1 Estado Limite Último
Os Estados Limites Últimos (ELU) são aqueles relacionados com o colapso, ou com qualquer outra forma de
ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura, e têm de ser analisados de forma a
garantir 99,999% de probabilidade de se verificarem.
4.2.1.1 Ações de Cálculo
As ações serão, então, majoradas por coeficientes parciais de segurança de forma a simular uma situação
extrema na estrutura. A expressão para o cálculo da combinação de ações deste estado será :
∑
∑
(4.2)
Os coeficientes parciais de segurança considerados foram os presentes na Tabela 4.3. Repare-se que,
mesmo sendo a restante carga permanente uma ação permanente, esta tem alguma probabilidade de vir a
ser modificada em relação ao previsto na fase de projeto, pelo que se adotou um coeficiente de segurança
igual aos das sobrecargas
Tabela 4.3 – Valores de coeficiente de segurança para ELU normativos e adotados
Tipo de Carga Coeficientes parciais
de segurança Valores de Referencia
Valores Adotados
Peso Próprio 1,35 1,35
Restante Carga permanente 1,35 1,50
Sobrecarga 1,50 1,50
Fonte: Adaptado de NP EN 1990 (2009)
4.2.1.2 Resistência de cálculo
O valor de cálculo para a resistência dos materiais será minorado por coeficientes de segurança parciais dos
materiais através da expressão:
(4.3)
Em que representa a resistência característica do material.
Através da Tabela 4.4 consultam-se os coeficientes de segurança dependendo do material a utilizar. É
depois com base nestes valores resistentes e em modelos de comportamento apropriados que são
avaliadas as capacidades resistentes.
Tabela 4.4 – Valores dos coeficientes de segurança para ELU de materiais
Material Coeficientes parciais
de segurança Valores
Normativos
Betão γc 1,50
Aço γs 1,15 Fonte: Adaptado de NP EN 1990 (2009)
48
4.2.2 Estado Limite de Utilização
A expressão para o cálculo da combinação de ações para o Estado Limite de Utilização (ELS), para a
combinação quase-permanente dada pela seguinte expressão:
∑
∑
(4.4)
Para o Estado Limite de Serviço (ELS), os valores das ações serão valores espectáveis, ou seja, não são
afetadas por um coeficiente de segurança maior que 1, sendo inclusive, as sobrecargas multiplicadas, de
acordo com o tempo de permanência previstos por coeficientes inferior a 1.
O valor de é dado pela seguinte Tabela 4.5
Tabela 4.5 - Valores dos coeficientes ψ2 para ELS
Utilização normativo adotado
Habitação ou escritorios 0,3 0,4 Zonas comerciais 0,6
Caves 0,6 Fonte: Adaptado de NP EN 1990 (2009)
4.3 Materiais
Para a presente dissertação foram utilizados como materiais o betão C30/37 e o aço A500. Os valores
característicos são apresentados na seguinte tabela.
Tabela 4.6 – Valores característicos do aço e betão
C30/37 A500
30,0 MPa 500 MPa
2,9 MPa 210 GPa
33,0 GPa
Refira-se que a resistência à tração do betão em flexão é superior a este valor de referência ( ) avaliado
para a tração pura. No entanto, uma vez que as lajes, em geral, têm alguma restrição às deformações
impostas, geram-se trações. Considerou-se assim que o efeito da flexão é anulado por este efeito.
49
4.4 Validação do Modelo
O modelo utilizado para analisar um painel central é constituído por este e painéis adjacentes numa área
total de 16 por 16 metros, com 4 apoios pontuais que simulam os pilares. Para simular continuidade, as
condições de fronteiras bloqueiam a rotação para os bordos na direção y e para o bordo na direção x.
A Figura 4.2 ilustra as direções e as orientações das rotações e deformação.
Figura 4.2 - Campos de deslocamentos numa laje de Kirchhoff Fonte: Leitão et al (2013)
Estando cada nó em contacto com 4 elementos, existem, para cada nó, 4 diferentes valores de esforços. O
programa SAP 2000 utiliza elementos quadrados de 4 nós na circunstancia descrita. No caso, utilizou-se
uma malha geral de 0,5 metros por 0,5 metros.
Para lajes fungiformes, na região próxima dos apoios, procedeu-se a um refinamento de malha visto esta
ser uma zona com uma importante variação de esforços. Para este refinamento localizado, utilizou-se uma
malha de transição constituída por elementos triangulares de 3 nós.
É preciso ter sempre presente que “Uma estrutura modelada por elementos finitos é uma estrutura, em
geral, mais rígida que a estrutura real porque as funções de forma não conseguem reproduzir o campo real
de deslocamentos. Assim, elas impõem restrições à livre deformação da estrutura de modo que ela possa
minimizar a sua energia potencial.” (Luiz Eloy VAZ, 2011, p. 75).
Como descrito por Vaz (2011), a metodologia de elementos finitos será sempre uma aproximação da
realidade. Esta aproximação será, em princípio, tanto mais próxima do modelo elástico exato quanto maior
for o refinamento da malha.
Uma verificação simplificada dos resultados de uma análise de elementos finitos é fundamental. É essa
validação que se apresenta seguidamente para as soluções fungiformes e vigadas.
50
4.4.1 Laje Fungiforme
Sendo utilizada uma análise por elementos finitos, é sempre importante perceber se os resultados obtidos
pelo programa de elementos finitos são razoáveis e portanto, válidos. É por exemplo fundamental verificar
que, por equilíbrio, a soma do integral dos momentos ( ) ao longo dos corte “+” e “–“, é
aproximadamente igual a PL2/8.
É apresentado através da Figura 4.3 a distribuição de momentos para o painel fungiforme, a sua divisão em
zonas para o posterior cálculo de armaduras (assunto abordado no capítulo 4.5) e a localização em planta
dos cortes “+” e “–“.
Figura 4.3 - Alinhamentos, cortes e distribuição de momentos 22 em planta para laje fungiforme
51
A distribuição de momentos para o corte “–“ e “+” é ilustrada na Figura 4.4 e na Figura 4.5.
Figura 4.4 – momento para corte “–“
Figura 4.5 - momento para corte “+“
Após a obtenção da distribuição de momentos para o corte “+” e “–“, faz-se a verificação do equilíbrio
tendo em conta a seguinte expressão:
( ⁄ ) ( ) ∫ ∫
( ) ( ) (4.5)
Em que:
∫ representa o integral dos momentos para o corte “–“;
∫ representa o integral dos momentos para o corte “+”.
Calculou-se a espessura média do painel com o objetivo de avaliar as cargas devido ao peso próprio. Para o
painel central, a área correspondente aos capitéis é de 9 m2 pelo que a espessura média do painel será:
( ⁄ ) ( ⁄ )
Assim sendo, para o painel central, os valores obtidos através da expressão (4.5) e os valores teóricos são
apresentados na Tabela 4.7, para um vão de 8 metros. Importante referir que esta análise foi elaborada
para o Estado Limite Último.
Tabela 4.7 – Comparação entre os valores correspondentes a PL2/8 obtido teoricamente e pelo SAP (laje fungiforme)
Valor de referencia (PL2/8) 1186 kN.m
Valor SAP 1178,5 kN.m
Existe uma diferença de 0,6% entre o valor base estimado e o calculado pelo SAP. Esta é uma diferença não
relevante, pelo que se conclui que a modelação está correta.
Verificaram-se também as reações verticais nos apoios. Tendo em consideração o peso próprio da
estrutura, são expressos através da Tabela 4.8 os valores das forças verticais. De referir que estes valores
são referentes ao painel de 8 por 8 metros.
52
Tabela 4.8 – Comparação entre os somatórios de forças verticais obtido teoricamente e pelo SAP (laje fungiforme)
Valor de referencia (Σfv) 1186,1 kN
Valor SAP (Σfv) 1186,7 kN
A diferença entre o valor teórico e o valor obtido através do SAP é praticamente nula, concluindo assim que
as cargas estão corretamente aplicadas, o que confirma o acerto da modelação.
4.4.2 Laje Vigada
Todos os pressupostos apresentados para a laje fungiforme são também aplicados à laje vigada.
Analogamente à laje fungiforme, é apresentada através da Figura 4.6 a distribuição de momentos para o
painel vigado, a sua divisão em zonas para o posterior cálculo de armaduras (assunto abordado no capítulo
4.5) e a localização em planta dos cortes “+” e “–“
Figura 4.6 - Alinhamentos, cortes e distribuição de momentos na direção x ( ) em planta para laje vigada
53
A distribuição de momentos para o corte “+” e “-“ é ilustrada pela Figura 4.7 e Figura 4.8.
Figura 4.7 - momento para corte “–“
Figura 4.8 - momento para corte “+“
Para o caso da laje vigada, além da soma do integral dos momentos no corte “+” e “-“ dados pela
equação (4.5), é necessário também ter em conta o valor de momento da viga no apoio e a meio vão.
Sendo a distribuição elástica de momentos dada pela Figura 4.9 – Distribuição dos momentos elásticos para
a vigao valor de PL2/8 é dado pela soma entre o valor de momento na zona de meio vão e na zona do apoio.
Assim sendo:
( ⁄ ) ( )
Figura 4.9 – Distribuição dos momentos elásticos para a viga
Calculou-se a espessura média do painel com o objetivo de avaliar as cargas devido ao peso próprio. Para o
painel central, o volume total de betão é de 15,4 m3. A espessura média será:
Refira-se que este valor de espessura é praticamente coincidente ao da solução fungiforme.
-436,5
235,7
-436,5 -500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Mo
men
tos
na
viga
[kN
.m]
54
Para uma banda de 8 metros de largura e 8 metros de vão (considerando lajes e vigas), os valores “teóricos”
(obtidos através do cálculo PL2/8) e obtidos pelo SAP são os seguintes:
Tabela 4.9 - Comparação entre valor teórico e valor obtido pelo SAP para laje Vigada
Valor teórico (PL2/8) 1190 kN.m
Valor SAP (laje) 492,5 kN.m
Valor SAP (viga) 672,2 kN.m
Valor SAP total 1164,7 kN.m
Existe uma diferença de 2,1% entre o valor simplificado e o valor obtido pelo SAP .Note-se que para a laje
vigada existe uma diferença ligeiramente superior em relação à fungiforme.
Existe uma parcela de peso próprio que é contabilizada duas vezes, para a laje e para a viga. Para o cálculo
do valor teórico, esta parcela é contabilizada apenas uma vez o que poderá contribuir ligeiramente para
esta maior diferença entre os dois valores seja espectável.
Tendo em consideração o peso próprio da estrutura, são expressos na Tabela 4.10, os valores das forças
verticais obtidos pelo programa SAP e os “ valores teóricos”. De referir que o valor teórico foi calculado
tendo e não tendo em conta essa repetição do volume.
Tabela 4.10 – Comparação entre os somatórios de forças verticais obtido teoricamente e pelo SAP (laje vigada)
Valor teórico (Σfv) 1190,4 kN
Valor teórico (Σfv) (vol. Contabilizado duas vezes) 1222,8 kN
Valor SAP (Σfv) 1225,8 kN
Confirma-se que a diferença dos valores entre o SAP e o “valor teórico” é possivelmente devido a essa
repetição de volume. De qualquer das formas, a diferença resultante não é relevante pelo que se infere a
boa qualidade de resultados do modelo.
55
4.5 Cálculo de armaduras
Sendo os vãos iguais nas duas direções, as armaduras correspondentes ao momento na direção y ( )
serão idênticas às correspondentes à direção x ( ), pelo que se fará apenas a análise para a direção x
( ). Sendo as armaduras equivalentes nas duas direções e em prol de maior clareza na consulta da
pormenorização, são apresentadas em anexo as várias pormenorizações de armaduras, dispostas apenas na
direção y, que seguiram disposições correntes neste tipo de soluções.
São apresentadas na Figura 4.10 as direções dos momentos num elemento de laje.
Figura 4.10 - Campos de esforços positivos numa laje de Kirchhoff Fonte : Leitão et al (2013)
Sendo a distribuição de momentos num elemento representada por um tensor de 2ª ordem, teria que se
recorrer ao círculo de mohr de forma a passar de momentos fletores e torsores nos eixos x e y para
momentos nos eixos principais, tal que:
[
] → [
] (4.6)
Uma solução de pormenorização passará quase sempre por ter armadura nas duas direções x e y. Assim,
como afirma Marchão e Appleton (2013, p. 63) “Visto surgirem momentos torsores, simplificadamente, as
armaduras de flexão são dimensionadas para os momentos de flexão somados ao módulo de momentos
torsores.”
Como simplificação conservativa, os momentos torsores são adicionados aos momentos fletores com o
mesmo sinal deste, aumentando o valor do momento principal, tal que:
| | | | (4.7)
| | | | (4.8)
As armaduras foram calculadas utilizando o Método do Diagrama Rectangular com β=0, que é uma hipótese
conservativa pois existirá sempre uma percentagem de armadura de compressão.
56
Como descrito em NP EN 1992-1 (2010) capítulo 9.2.1.1, a armadura mínima à flexão é calculada através da
seguinte expressão:
(4.9)
Na solução fungiforme colocou-se uma armadura mínima de φ10//20 enquanto que para a vigada se
utilizou φ8//20. Como regra de boa prática, a menor quantidade de armadura que se colocará em laje,
como reforço, será também φ8//20.
Para o cálculo de armaduras para o Estado Limite Último, a alternância de sobrecargas deve ser sempre
considerada uma vez que conduz a uma envolvente de esforços com maiores esforços nas zonas de meio
vão e apoio, se a distribuição de esforços for elástica. Esta última hipótese leva a um
sobredimensionamento das armaduras uma vez que não tira partido da capacidade da redistribuição de
esforços para cada combinação de ações. De facto, em estruturas híper-estáticas, havendo ductilidade
disponível, os momentos atuantes na rotura serão os momentos resistentes das armaduras colocadas.
Nestas condições será possível admitir a redistribuição de esforços em relação aos valores elásticos.
Considerando essa redistribuição, verifica-se através da Figura 4.11 que “(…) a alternância das sobrecargas
afeta [unicamente] a envolvente de esforços ao longo do vão, mas não os valores máximos no vão e apoio,
valores estes que condicionam as quantidades máximas de armaduras a adotar.” (CÂMARA 2013, p. 62)
Figura 4.11 – Hipótese de carga e respetivos momentos fletores com redistribuição para o 2º caso de carga. Fonte: Camara (2013)
No presente trabalho, não foi considerado explicitamente a alternância da sobrecarga, mas os critérios
adotados na dispensa de armadura tiveram em consideração essa influência.
57
4.5.1 Laje Fungiforme
Como exemplificado na Figura 4.3, foram definidos dois alinhamentos, alinhamento 1 e alinhamento 2, para
análise de esforços e consequente dimensionamento das armaduras. As dimensões do alinhamento 2 foram
escolhidas de forma a englobar todo o capitel.
Existe um aumento brusco de espessura entre a laje maciça (espessura de 22 centímetros) e a zona do
capitel (espessura de 35 centímetros). Sendo o momento função da rigidez e da curvatura, é espectável um
aumento significativo de momentos para essa zona, uma vez que a inércia aumenta cerca de 4 vezes, sendo
a curvatura necessariamente semelhante. Esse aumento não é ilustrado no alinhamento 2, corte “-“ da
Figura 4.4 pois, sendo feita a análise através dos elementos finitos, o valor de momento do nó
correspondente à transição é calculado tendo em conta a média de 4 valores, dois valores correspondentes
à laje e outros dois correspondentes ao capitel. Assim, para ter em conta esta transição, faz-se a média dos
momentos correspondentes ao capitel e à laje, fazendo com que o andamento de momentos exiba um
aumento brusco. É possível observar através da Figura 4.12 essa mesma variação, em que à esquerda do nó
de transição o valor de momento é de 47,6 kNm/m e à direita é de 160,7 kNm/m.
Figura 4.12 - Representação do integral dos momentos atuantes e resistentes
Na Figura 4.12, o integral dos momentos resistentes (correspondentes à solução de dimensionamento
adotado) está representado pela área cinzenta e o integral dos momentos atuantes elásticos está
representado pela área a azul. Repare-se que existe uma variação significativa de momentos na zona do
capitel. Em 1,5 metros existe uma variação de 160,7 kNm/m para 485,7 kNm/m. Embora exista uma relação
direta entre momentos-tensões, acontece que a variação de tensões no aço é muito menos significativa
pois o ferro, que teria de resistir ao valor de pico (485,7 kNm/m), é “ajudado” pelos ferros adjacentes. Este
fenómeno é semelhante ao fenómeno da largura efetiva numa laje vigada. Sendo esta atenuação válida em
serviço, na segurança à rotura admite-se uma distribuição de resistência constante nesta zona, em que o
integral das tensões ou momentos constantes terá de ser igual ao integral de distribuição elástica de
tensões ou momentos.
58
São apresentados através da Tabela 4.11 os momentos de dimensionamento para cada alinhamento e
corte, bem como a altura útil considerada.
Tabela 4.11 - Armaduras para cada alinhamento e corte
d alinhamento corte Msd
[kNm/m] μ
As [cm2/m]
φ As efetivo [cm2/m]
0,19 1
- 27 0,04 3,32 φ10//20 3,93
0,19 + 32 0,04 3,94 φ10//20 3,93
0,32 2
- 258 0,13 20,13 φ12/20+φ20//20 21,36
0,19 + 38 0,05 4,75 φ10//20+φ8//20 6,44
A Figura 4.13 mostra o andamento dos momentos atuantes para o corte “-“ e respetivos momentos
resistentes.
Figura 4.13 – Gráfico que representa andamento dos momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “–“
A Figura 4.14 ilustra a variação dos momentos atuantes para o corte “+” e momentos resistentes.
Figura 4.14 - Gráfico que representa o andamento dos momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “+”
A pormenorização da presente solução encontra-se no Anexo A.1.1, apresentado no final do presente
documento.
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[kN.m/m] myy (-)
mrd(φ10//20)
mrd(φ12/20+φ20//20)
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[kN.m/m]
myy (+)
mrd(φ10//20+φ8//20)
mrd(φ10//20)
59
4.5.2 Laje Vigada
É apresentada na Tabela 4.12 os momentos de dimensionamento da laje, para cada corte e alinhamento
apresentados na Figura 4.6.
Tabela 4.12 - Armaduras para cada alinhamento e corte
d Alinhamento Corte Msd
[kNm/m] μ As [cm2/m] φ
As efetivo [cm2/m]
0,17 1
- 41,5 0,07 5,87 φ10//20 + φ8//20 6,44
0,17 + 24,6 0,04 3,42 φ8//20+φ8//20 5,02
0,17 2
- 42,8 0,07 6,07 φ10//20 + φ8//20 6,44
0,17 + 14,3 0,03 1,96 φ8//20 2,51
A Figura 4.15 adiciona à Figura 4.7 (- momento para corte “–“) os respectivos momentos resistentes.
Figura 4.15 - Gráfico que representa andamento dos momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “–“
À semelhança da Figura 4.15, a Figura 4.16 adiciona à Figura 4.8 - momento para corte “+“) os
respectivos momentos momentos resistentes.
Figura 4.16 - Gráfico que representa andamento dos momentos atuantes e momentos resistentes para o corte “+”
A pormenorização resultante está presente no final do presente documento no Anexo A.1.2.
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[kN.m/m] myy (-)
mrd (φ10//20 + φ8//20)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[kN.m/m]
myy (+)mrd (φ8//20) mrd(φ8//10)
60
Para o dimensionamento da viga, poder-se-ia tirar partido da largura efetiva. Mostra-se através da Figura
4.17 e da Figura 4.18 que, ao tirar partido desta ligação, o braço aumentaria (z < z1), diminuindo a
quantidade de armadura necessária. Conservativamente, na presente dissertação, não se considerou esse
efeito.
Figura 4.17 – braço (z) não contabilizando a ligação viga- laje
Figura 4.18 - braço (z1) contabilizando a ligação viga- laje
A Tabela 4.13 apresenta os momentos de dimensionamento e respetiva quantidade de armadura para a
zona do apoio e de meio vão.
Tabela 4.13 - Momento atuante, armadura colocada sem redistribuição de esforços na viga
Msd [kNm]
μ As
[cm2/m] φ
As eff
[cm2/m] ρ [%]
-436,51 0,14 15,60 5φ20 15,70 0,74
235,66 0,08 8,02 2φ20+φ16 8,29 0,39
Para o dimensionamento da viga, a NP EN 1992-1 prevê a possibilidade de redistribuir momentos da zona
do apoio para a zona a meio vão ou vice-versa. De forma a igualar as armaduras à tração da zona do meio
vão e do apoio, optou-se por uma redistribuição de 20 %. A Tabela 4.14 apresenta os momentos de
dimensionamento e respetiva quantidade de armadura para essa redistribuição.
Tabela 4.14 - Momento redistribuído e armadura colocada na viga
Msd [kNm] μ As [cm2/m] φ As eff [cm2/m] ρ [%]
349,21 0,12 12,21 3φ20+2φ16 13,44 0,63
322,97 0,11 11,22 3φ20+2φ16 13,44 0,63
61
Tendo em conta o comprimento de amarração e o alargamento da zona de momento máximo devido ao
esforço transverso, a Figura 4.19 mostra um esquema de dispensa de armaduras garantindo sempre uma
boa margem.
Figura 4.19 - Momento atuante e momento resistente na viga
Para o cálculo de estribos, como regra de boa prática, opta-se por utilizar, como armadura mínima, estribos
φ8//0,20. Pela expressão (4.9), o estribo mínimo a colocar seria φ8//0,25.
A Figura 4.20 mostra a variação de esforço transverso ao longo da viga.
Figura 4.20 - Esforço transverso na viga
Uma vez que se utiliza o modelo de escoras e tirantes, à distância de ( ) do apoio, as cargas não
afetam a quantidade de estribos nesta zona. Assim sendo, calcular-se-á o valor de armadura para uma
distância a ( ) do apoio. Considerou-se um valor de para o ângulo de inclinação de bielas
de compressão.
( )
⁄
Assim, utilizar-se-á φ8//0,20 ( ⁄ ) para toda a viga.
A compressão das bielas também foi verificada.
As pormenorizações da viga, encontra-se no Anexo A.1.2.
Mrd (2φ16)
Mrd (3φ20+2φ16)
Mrd (2φ16)
Mrd (3φ20+2φ16)
Mrd (2φ16)
Mrd (3φ20+2φ16)
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[kN.m/m]
My redistribuido
Mrd armadura
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[kN]
62
4.6 Cálculo de Deformações
Como referido no capítulo 2.2.1, a avaliação das deformações representa um valor de referência, pelo que
no presente estudo os valores de deformação e dos coeficientes serão sempre arredondados à primeira
casa decimal.
Como mencionado no capítulo 3.1.1, existem incertezas na avaliação do estado de fendilhação da peça,
uma vez que em fase de projeto não são conhecidas as cargas efetivas a que a peça estará submetida e as
propriedades resistentes do betão. Como medida conservativa, considera-se que quando
admite-se uma situação fendilhada, pelo que, para considera-se .
Considera-se que o momento determinante para a zona do apoio será o momento na face do pilar. Na zona
de intersecção entre pilar/viga ou pilar/laje, o momento de pico resultante do modelo é fictício.
Como apresentado na Tabela 2.1, a avaliação do incremento de deformação ( ( )) é dada pela
diferença entre deformação total a longo e a curto prazo. Finalizada a obra (analise a curto prazo), as
deformações no betão armado serão causadas pelo próprio peso da estrutura, pelo peso das paredes
divisórias e pelos acabamentos. Não se individualizou nesta análise o peso das paredes, uma vez que se
considerou uma única parcela do valor das restantes cargas permanentes. Desta forma, o valor da
deformação a curto prazo ( ) para o valor após a construção de paredes só tem em conta o peso próprio
da estrutura, o que é desfavorável para a avaliação do valor do incremento da deformação, sendo portanto
uma hipótese conservativa. Assim, o incremento de deformação que pode contribuir para danos nas
alvenarias será dado pela seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ⁄ (4.10)
Marchão e Appleton (2013, p. 48) defendem que “No dimensionamento de vigas com banzos ou com
ligação a lajes, pode tirar-se partido da existência dos banzos (…)” Considerando a ligação viga-laje, a Inércia
da viga aumenta, fazendo com que a deformação elástica seja menor. Na presente dissertação não se
considera essa mesma ligação viga-laje, fazendo com que as deformações elásticas sejam calculadas
conservativamente.
Neste capítulo, calcular-se-ão as deformações pelo método da Coeficiente Global Adaptado, apresentado
no capítulo 3.5. Tratando-se de uma laje, utilizar-se-á o método das bandas e o direto, comparando os
valores resultantes das duas metodologias. No final, também se comparam deformações no centro da laje
resultantes das metodologias apresentadas no capítulo 3.4 (Coeficiente Global Formal), capítulo 3.5
(Coeficiente Global Adaptado) e capítulo 3.6 (Inércia Equivalente).
63
4.6.1 Caso Pático Laje Fungiforme
Depois de calculadas as armaduras ao Estado Limite Último (capítulo 4.5), e feita as pormenorização das
mesmas (Anexo A.1.1), está-se em condições de calcular as deformações. Seguidamente são apresentados,
com detalhe, os cálculos efetuados para os painéis centrais. Divide-se então o painel central em várias
bandas como apresentado na Figura 4.21.
Figura 4.21 – Esquematização das bandas ortogonais utilizadas para laje fungiforme
Consoante a direção da banda é necessário considerar as armaduras nessa mesma direção e os momentos
na direção perpendicular à mesma. Exemplificando, na banda C-D-C, no ponto D, o momento a utilizar será
na direção x ( ) enquanto que a armadura será a disposta na direção y.
No presente caso, visto que a laje representada é um painel central, existe continuidade de momentos, pelo
que o modelo para calcular o coeficiente global será sempre bi-encastrado. Sendo o painel bi-simétrico,
será necessário considerar um “caminho” de bandas.
Assim, o valor do coeficiente global terá de ser ponderado (como apresentado na Figura 3.28) pelo que será
necessário calcular para cada secção determinante o valor de e . Recorde-se que estes valores são
expressos por:
64
Os valores de e são valores, ponderado através do coeficiente ζ, entre os estados I e II. Para qualquer
dos casos, o coeficiente de fluência tomará sempre o valor de .
Repare-se que os valores de a calcular, separadamente, para cada secção determinante apresentam
valores entre 2,5 a 3,5. Este valor reflete o incremento de deformação caso a secção de betão não fendilhe.
Este incremento deve-se exclusivamente à ação da fluência. Caso o betão não fosse armado, seria livre de
fluir, fazendo com que a deformação a longo prazo, tendo como base a flecha elástica da peça de betão
incrementasse 3,5 vezes. A restrição das armaduras faz com que esse valor nunca seja, de facto, atingido.
Calculando a média dos valores de para as tipologias fungiforme e vigada, chega-se a valores de 2,95 e
3,25 respetivamente.
4.6.1.1 Banda C-B-C
Tabela 4.15 – coeficientes para ponto C e B para momentos
C ( ) t=0 t=t B ( ) t=0 t=t
α 6,4 22,3 α 6,4 22,3
As(φ12/20+φ20//20) [m2/m] 0,0021 As(φ10//20+φ8//20) [m2/m] 0,00064
A’s(φ12//20) [m2/m] 0,0005 A’s(φ10//20) [m2/m] 0,00039
w [m3/m] 0,020 w [m3/m] 0,008
[m4/m] 0,0035 [m4/m] 0,00089
[m4/m] 0,0039 0,0047 [m4/m] 0,00093 0,00103
[m4/m] 0,0010 0,0026 [m4/m] 0,00011 0,00032
[kN.m/m] 59,2 [kN.m/m] 23,4
[kN.m/m] -114,4 -193,2 [kN.m/m] 12,1 20,8
⁄ 0,52 0,31 ⁄ 1,93 1,12
ζ 0,48 0,85 ζ 0,00 0,50
0,9 2,6 1,0 3,0
3,7 4,9 7,9 9,7
2,3 4,5 1,0 6,3
Fonte:
A Figura 4.22 representa a tracejado a deformação elástica devido a peso próprio ( ). A cheio
está representada a deformação elástica total ( ).
Figura 4.22 – Condições de fronteira e respetivas deformações elásticas para a banda C-B-C
65
Para deformações a longo prazo ( )
Para deformações instantâneas ( )
Incremento de deformação ( )
( )
4.6.1.2 Banda B-A-B
Para os pontos B ( ) e A ( ), os momentos de combinação quase permanente não satisfizeram a
condição . As secções determinantes não apresentam estado fendilhado, pelo que só a
fluência irá incrementar curvatura.
Tabela 4.16 - coeficientes para ponto B e A para momentos
B ( ) t=0 t=t A ( ) t=0 t=t
α 6,4 22,3 α 6,4 22,3
As (φ10//20) [m2/m] 0,00039 As (φ10//20) [m2/m] 0,00039
A’s (φ10//20) [m2/m] 0,00039 A’s (φ10//20) [m2/m] 0,00039
w [m3/m] 0,00807 w [m3/m] 0,00807
[m4/m] 0,00089 [m4/m] 0,00089
[m4/m] 0,00092 0,00099 [m4/m] 0,00092 0,00099
[m4/m] 0,00007 0,00022 [m4/m] 0,00007 0,00022
[kN.m/m] 23,39 [kN.m/m] 23,39
[kN.m/m] -4,85 -8,35 [kN.m/m] 8,92 15,38
⁄ 4,82 2,80 ⁄ 2,62 1,52
ζ 0,00 0,00 ζ 0,00 0,00
1,0 3,1 1,0 3,1
12,2 14,4 12,2 14,4
1,0 3,1 1,0 3,1
Fonte:
A Figura 4.23 representa a tracejado a deformação elástica do ponto B ( ). A cheio está
representada a deformação total ( ). De notar que a deformação relativa é a que será
contabilizada e que será afetada pelo coeficiente calculado para esta mesma banda.
66
Figura 4.23 – Condições de fonteira e deformação elástica absoluta e relativa para banda B-A-B
Para deformações a longo prazo ( )
( )
( )
Para deformações instantâneas ( )
( )
Incremento de deformação ( )
( )
4.6.1.3 Deformação final
Para deformações a longo prazo ( )
⁄
Para deformações instantâneas ( )
Incremento de deformação ( )
( )
⁄
67
4.6.1.4 Método Direto para laje fungiforme
Para deformações a longo prazo ( )
⁄
Para deformações a longo prazo ( )
Incremento de deformação ( )
( )
⁄
4.6.2 Caso Prático para Laje Vigada
Os mesmos pressupostos utilizados para laje fungiforme foram utilizados para laje vigada.
É preciso ter em atenção que, por exemplo, analisando o ponto D, para o cálculo do momento utiliza-
se a secção e armadura da viga, enquanto que para para o cálculo do momento no mesmo ponto, se
utiliza a secção e a armadura da laje. A consulta das quantidades de aço para cada secção determinante
encontra-se no Anexo A.1.2, apresentado no final do presente documento.
Figura 4.24 – Esquematização das bandas ortogonais utilizadas para laje vigada
68
4.6.2.1 Banda C-B-C
Tabela 4.17 - Coeficientes globais para pontos C e B para momentos
C( - viga) t=0 t=t B( - viga) t=0 t=t
α 6,4 22,3 α 6,4 22,3
As(3φ20+2φ16) [m2] 0,0013 As(3φ20+2φ16) [m
2] 0,0013
A’s (2φ16) [m2] 0,0004 A’s (2φ16) [m
2] 0,0004
w [m3] 0,028 w [m3] 0,028
[m4/m] 0,0105 [m4/m] 0,0105
[m4/m] 0,0118 0,0147 [m4/m] 0,0118 0,0147
[m4/m] 0,0030 0,0080 [m4/m] 0,0030 0,0080
[kN.m] 81,56 [kN.m] 81,56
[kN.m] -142,01 -235,27 [kN.m] 75,34 126,37
⁄ 0,57 0,35 ⁄ 1,08 0,65
ζ 0,43 0,83 ζ 0,00 0,68
0,9 2,5 0,9 2,5
3,5 4,5 3,5 4,5
2,0 4,1 0,9 3,8
Fonte:
Para deformações a longo prazo ( )
Para deformações instantâneas ( )
Incremento de deformação ( )
( )
69
4.6.2.2 Banda B-A-B
Tabela 4.18 - Coeficientes para ponto B e A para momentos
B( - laje) t=0 t=t A( - laje) t=0 t=t
α 6,4 22,3 α 6,4 22,3
As(φ10//20+φ8//20) [m2/m] 0,00064 As(φ8//10) [m2/m] 0,00064
A’s(φ8//20) [m2/m] 0,00025 A’s(φ8//20) [m2/m] 0,00025
w [m3/m] 0,007 w [m3/m] 0,007
[m4/m] 0,00067 [m4/m] 0,00067
[m4/m] 0,00069 0,00076 [m4/m] 0,00069 0,00075
[m4/m] 0,00009 0,00025 [m4/m] 0,00007 0,00021
[kN.m/m] 19,33 [kN.m/m] 19,33
[kN.m/m] -11,80 -21,74 [kN.m/m] 7,78 13,89
⁄ 1,64 0,89 ⁄ 2,49 1,39
ζ 0,00 0,56 ζ 0,00 0,00
1,0 3,1 1,0 3,1
7,5 9,4 9,3 11,4
1,0 6,6 1,0 3,1
Fonte:
Para deformações a longo prazo ( )
( )
Para deformações instantâneas ( )
( )
Incremento de deformação ( ) ( )
4.6.2.3 Deformação final
Para deformações a longo prazo ( )
⁄
Para deformações instantâneas ( )
70
Incremento de deformação ( )
( )
⁄
4.6.2.4 Método Direto para laje vigada
Para deformações a longo prazo ( )
⁄
Para deformações a longo prazo ( )
Incremento de deformação ( )
( )
⁄
4.7 Avaliação dos resultados
A Tabela 4.19 resume as deformações e os incrementos de flecha a longo prazo para os pontos A e B,
utilizando o método das bandas ortogonais.
Tabela 4.19 - Comparação entre a solução vigada e a solução fungiforme
Solução
Fungiforme Solução Vigada
Diferença Relativa
Deformação Total ( )
Ponto B 1,4 cm 0,6 cm 57%
Ponto A 1,9 cm 1,7 cm 10%
Incremento de deformação ( )
Ponto B 1,1 cm 0,5 cm 55%
Ponto A 1,5 cm 1,5 cm -
Conclui-se que as duas soluções são praticamente equivalentes na qualidade de deformações para o centro
do painel, visto que as soluções vigada e fungiforme apresentam uma diferença de valores de flecha total a
longo prazo de cerca de 10 % e um idêntico incremento de deformação. Para as soluções apresentadas,
todos os valores de deformação calculados passaram os valores limite estipulados pela norma NP EN 1992-
1 (2010), tanto por razão de aparência (L/250), como por razões de danos em elementos não estruturais
(L/500).
Note-se que, para a zona marcada pelo ponto B, a deformação a longo prazo da solução vigada é
consideravelmente inferior à solução fungiforme. Conclui-se que do apoio ao centro do painel, a laje
71
fungiforme tem um aumento gradual de curvaturas fazendo com que a deformação no centro do painel não
seja tão percetível. Esta constitui, por razões de aparência, uma melhor solução.
Para limitação de danos em elementos não estruturais, caso as paredes divisórias coincidiam com o
posicionamento das vigas, a solução vigada apresenta uma melhor resposta, uma vez que, para esses
alinhamentos, o incremento de flecha é consideravelmente inferior (55%) em relação à solução fungiforme.
No caso das paredes se situarem na zona da laje, esta solução perde valência podendo ser mesmo
desfavorável.
Refira-se que as diferenças relativas seriam superiores se a inércia das vigas contemplasse o
comportamento da secção em T, como já referido anteriormente.
4.8 Comparação entre o método Bandas Ortogonais e Direto
O cálculo da deformação para o centro do painel, tendo em conta as metodologias de bandas e direta, pode
ser resumido pela Tabela 4.20
Tabela 4.20 – Comparação entre Método Directo e Método das Bandas Ortogonais
Método Bandas
Ortogonais
Método
Directo
Diferença
Relativa
Solução
Fungiforme
Deformação total 1,9 cm 1,6 cm 16%
( ) 1,5 cm 1,2 cm 20%
Solução
Vigada
Deformação total 1,7 cm 1,4 cm 18%
( ) 1,5 cm 1,1 cm 27%
Com o intuito de realçar as diferenças relativas entre os dois métodos, apresenta-se na Figura 4.25 os
valores da Tabela 4.20 em forma de gráfico.
Figura 4.25 – Diferença relativa entre Método das Bandas Ortogonais e Método Direto
16%
20%
18%
27%
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
Deformação total Δ Deformação total Δ
Solução Fungiforme Solução Vigada
Fle
cha
[cm
]
Método das Bandas
Método Direto
72
Através do exemplo apresentado, conclui-se que, pelo Método Direto, a flecha é subestimada com uma
diferença média de 20% em relação ao Método das Bandas Ortogonais.
Esta conclusão é corroborada por Favre et al. (1985, p. 3.84): “The simplified method provides an estimate
of the probable deflection to within about 20%. This method tends to underestimate the deflections (...)”
4.9 Comparação entre Coeficientes Globais Formal e Adaptado
A comparação das duas metodologias, Coeficiente Global Formal e Adaptado, para o caso de estudo
apresentado no presente capítulo é apresentada através da Tabela 4.21 e da Tabela 4.23, tendo-se utilizado
o Método das Bandas Ortogonais.
Tabela 4.21 – Comparação entre Coeficiente Global Formal e Adaptado
Coeficiente
Global Adaptado
Coeficiente Global
Formal
Diferença
Relativa
Solução
Fungiforme
Deformação total 1,9 cm 1,9 cm -
( ) 1,5 cm 1,5 cm -
Solução
Vigada
Deformação total 1,7 cm 1,7 cm -
( ) 1,5 cm 1,5 cm -
Note-se que os valores de deformação aplicando o Método Coeficientes Globais adaptados ou formais, são
iguais entre si, pelo que se conclui que estes dois métodos são equivalentes em termo práticos
4.10 Comparação entre Coeficientes Globais Adaptado e Inércia
equivalente
Comparam-se as duas metodologias, Coeficiente Global Adaptado e Inércia Equivalente, para o caso de
estudo apresentado no presente capítulo e apresenta-se a explicação do cálculo da deformação para o
centro do painel fungiforme utilizando a metodologia proposta no capítulo 3.6 (Inércia Equivalente). Assim,
as armaduras e os valores de deformações elásticas serão as utilizadas no capítulo 4.6.1. De referir que para
o caso vigado o processo será semelhante.
Para a avaliação da deformação tendo em conta o Método da Inércia Equivalente, é necessário para cada
secção determinante, o cálculo da inércia equivalente, inércia da secção de betão e do fator . A Tabela
4.22 apresenta os vários valores necessários para o cálculo da deformação.
73
Tabela 4.22 – Valores de Inércia no estado I e II, inércias equivalentes e fator
C ( ) B ( ) B ( ) A ( )
[cm2/m] 21,36 6,44 3,39 3,39
[cm2/m] 5,65 3,39 3,39 3,39
⁄ (p.p) 0,52 1,00 1,00 1,00
⁄ (c.q.p) 0,35 0,94 1,00 1,00
[m4/m] 0,003573 0,00089 0,00089 0,00089
[m4/m] 0,003964 0,00093 0,00092 0,00092
[m4/m] 0,001041 0,00012 0,00010 0,00010
(p.p) [m4/m] 0,001451 0,00093 0,00092 0,00092
(c.q.p) [m4/m] 0,001165 0,00079 0,00092 0,00092
1,71 1,81 1,8 1,8
Sendo utilizado o Método das Bandas Ortogonais, é necessário ponderar cada valor de inércia para cada
banda. Para o caso, utilizar-se-ão as bandas ilustradas pela Figura 4.21.
4.10.1.1 Banda CBC
Considerando a ponderação dada pela Figura 3.32:
( )
( )
Tendo em conta as flechas elásticas no ponto B para peso próprio ( ) e para a combinação
quase permanente de ações ( ), calcular-se-ão as deformações e o incremento de flecha:
Para deformações a longo prazo ( )
( ⁄ ( )) ( ⁄ ( ) )
Para deformações instantâneas ( )
( ⁄ ( ))
Incremento de deformação ( )
( )
4.10.1.2 Banda BAB
( )
( )
74
Tendo em conta as flechas elásticas relativas, como ilustrado na Figura 4.23, apresentam-se as seguintes
deformações:
Para deformações a longo prazo ( )
( ⁄ ( )) ( ⁄ ( ) )
Para deformações instantâneas ( )
( ⁄ ( ))
Incremento de deformação ( )
( )
4.10.1.3 Deformação final
Para deformações a longo prazo ( )
Para deformações instantâneas ( )
Incremento de deformação ( )
( )
⁄
Na Tabela 4.23 apresenta-se a comparação entre a aplicação do Método dos Coeficientes Globais
Adaptados e da Inércia Equivalente
Tabela 4.23 - Comparação entre Coeficiente Global Adaptado e Inércia Equivalente
Coeficiente
Global Adaptado Inercia
Equivalente Diferença Relativa
Solução Fungiforme
Deformação total 1,9 cm 1,7 cm 10%
( ) 1,5 cm 1,4 cm 7%
Solução Vigada
Deformação total 1,7 cm 1,5 cm 12%
( ) 1,5 cm 1,3 cm 13%
Com abordagens de cálculo diferentes, esperavam-se diferenças relativas. De notar que, para o cálculo das
deformações através do método da Inércia Equivalente, a norma ACI-435 define uma ponderação tendo em
conta as condições de fronteira (Figura 3.32), diferente da utilizada pelo Método dos Coeficientes Globais
(Figura 3.28). Note-se ainda que, ao utilizar as mesmas ponderações, as diferenças relativas entre os dois
métodos diminuem.
75
5. Caso de Painéis Laterais e de Canto
Numa construção genérica, o piso será constituído por vários painéis de laje com diferentes condições de
fronteira. No presente trabalho é desenvolvido, para uma malha de 8 metros de vão, o estudo da
deformação no piso, não só para um painel central, designado como painel 1, mas especialmente para o
painel de bordo, designado como painel 2, e para o painel de canto, designado como painel 3.
A modelação para o painel central (1) é semelhante à apresentada no capítulo 4. Entenda-se que,
modelando o conjunto de painéis da Figura 5.1, os valores de deformação elásticos para o painel 1 seriam
inferiores aos obtidos através da modelação expressa no capítulo 4, visto que existiria uma maior
deformação nos painéis 2 e 3. A deformação no painéis 2 e 3 atenuaria a deformação no painel 1. Assim,
neste estudo, para o painel central, não são avaliadas deformações, tomando-se como referência os casos
do capítulo anterior.
Figura 5.1 – Numeração dos vários painéis.
No caso de laje fungiforme, nos bordos livres, a deformação tem tendência a ser condicionante pelo que se
colocam bandas periféricas da mesma espessura do capitel como ilustrado na Figura 5.2
Figura 5.2 – Solução fungiforme com capitéis, banda periférica e respetiva numeração dos painéis
76
Na Figura 5.3 apresenta-se outra solução do tipo fungiforme, com bandas a ligar os capitéis às bandas
periféricas. Estas bandas apresentam a mesma espessura dos capitéis e das bandas periféricas.
Figura 5.3 – Solução fungiforme com bandas que ligam capitéis a banda periférica e respetiva numeração dos painéis
A avaliação da qualidade da solução estrutural pode ser considerada em função de duas variáveis principais,
quantidades de materiais utilizadas e deformação prevista no centro do painel.
Os materiais avaliados são as quantidades de armaduras, cofragem e betão. Sendo este um estudo
comparativo entre solução de laje vigada e fungiforme, tomam-se valores aproximados e médios dos custos
dos materiais, mas sobretudo valores relativos.
Importante referir que cada tipologia apresenta vantagens e desvantagens qualitativas que não foram
quantificadas nesta dissertação:
A solução de laje fungiforme é, hoje em dia, tida em conta como uma solução bastante competitiva
visto ser bastante flexível na organização de espaços. No caso particular das caves, o facto de não
existirem vigas, permite maiores pés direitos (altura útil entre pisos) o que se traduz, por exemplo,
num menor volume de escavação e, consequentemente, num menor custo global. Sismicamente,
esta é uma solução sem referência no Eurocódigo 8. A laje não restringe a rotação do topo do pilar,
fazendo com que esta ligação seja pouco eficiente a ações horizontais. Para a tipologia fungiforme é
sempre necessário ter em consideração o punçoamento, em particular o efeito da excentricidade,
sendo este por vezes, o fator preponderante na definição da espessura da zona do capitel.
Na solução de laje vigada o encaminhamento de cargas é simples e direto, o que, em princípio,
constitui uma melhor solução de engenharia. Este sistema apresenta, especialmente, uma melhor
resposta a ações horizontais, visto que a viga permite a transferência de esforços entre os pilares e
o piso e contraria a rotação do mesmo, fazendo com que a estrutura seja mais rígida. Também
aumenta o número e a ductilidade das possíveis rótulas plásticas na estrutura, capacitando-a de
uma maior possibilidade de dissipação de energia. As vigas evitam a problemática do punçoamento.
77
5.1 Quantidades
Em termos de quantidades de materiais, as soluções são comparadas através da espessura equivalente e da
taxa de armadura. A espessura equivalente é um fator que dá a noção imediata do volume de betão do
painel em análise. Com a taxa de armadura torna-se percetível e comparável a quantidade de armaduras
em cada painel e solução. Esta apresenta-se em kg/m2, para que a taxa não varie em função das dimensões
do elemento. As quantidades de cofragens apresentam-se em m2.
As quantidades de betão e de armadura são calculadas com base nas pormenorizações apresentadas no
Anexo A. Como já referido, como as armaduras são iguais nas duas direções, como simplificação, os varões
só estão representados numa direção. Uma vez que para o estudo da deformação em lajes não foi
necessário dimensionar a secção dos pilares admitiu-se para o desenho uma secção genérica dos mesmos
com o valor de 0,5x0,5 metros quadrados. Para a laje fungiforme, delimitou-se a quantificação das
quantidades pelos alinhamentos médios entre pilares. Já nas lajes vigadas a viga exterior será totalmente
contabilizada.
De referir que as quantidades foram medidas de acordo com as regras presentes em Fonseca (2008, apud
DIAS, 2013, p. 4.10). Apresentam-se de seguida as quantidades obtidas para cada solução e painel.
Tabela 5.1 – Resumo de quantidades para várias soluções
Tipo de Laje Solução Painel Espessura
equivalente [m] Taxa de armadura
(kg/m2)
Fungiforme
(F22)
e = 0,22m
cap/banda =
0,35m
Central (1) 0,238 19,1
1 Bordo Livre (2) 0,254 24,8
2 Bordos Livres (3) 0,278 32,2
Fungiforme
(F22*)
e = 0,22m
cap/ banda =
0,35m*
Central (1) 0,238 19,1
1 Bordo Livre (2) 0,284 23,4
2 Bordos Livres (3) 0,299 27,4
Vigada (V20)
e = 0,20m e
viga
0,75x0,30
Central (1) 0,240 16,7
1 Bordo Livre (2) 0,250 18,5
2 Bordos Livres (3) 0,268 19,3
* Solução que liga capitéis a banda periférica com banda de 3metros de largura e com 0,35metros de espessura
Entenda-se que F22 representa a laje fungiforme com espessura de 22 centímetros com capiteis e bandas
periféricas de 35 centímetros (Figura 5.2) e F22* representa essa solução acrescida de bandas de 3 metros
,que ligam os capitéis à banda periférica (Figura 5.3). Ambas as soluções têm capitéis/bandas de 35
centímetros. V20 representa a solução vigada com laje de 20 centímetros de espessura e com vigas de 75
centímetros de altura por 30 centímetros largura.
78
De forma a ser mais fácil a comparação entre as quantidades calculadas, expressa-se através da Figura 5.4 a
espessura equivalente de cada painel.
Figura 5.4 – Espessura Equivalente de cada painel
A Figura 5.5 mostra as diferenças entre taxas de armadura.
Figura 5.5 – Taxa de armadura de cada painel
Os gráficos da Figura 5.4 e da Figura 5.5 mostram que a solução vigada necessita, em geral, de uma menor
quantidade de material face às duas soluções fungiformes analisadas. Para o painel central, as soluções
apresentam uma espessura equivalente de betão semelhante. Já a taxa de armadura, para a solução vigada,
mostra uma redução da ordem de 20% em relação à fungiforme. A viga possibilita uma maior altura útil,
aumentando o braço de alavanca entre a zona comprimida e a zona tracionada do betão, fazendo com que
seja necessária uma menor quantidade de armadura. Para o painel de bordo e canto, as diferenças das
quantidades ganham uma maior relevância. Comparando as duas soluções fungiformes verifica-se que o
aumento de espessura global leva a uma menor quantidade de armadura e vice-versa.
0
5
10
15
20
25
30
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Esp
ess
ura
[cm
] Espessura Equivalente
0
5
10
15
20
25
30
35
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Taxa
de
arm
adu
ra [
kg/m
2]
Taxa de Armadura
79
São apresentadas através da Figura 5.6 as quantidades de área de cofragem para cada painel e solução.
Figura 5.6 – Área de cofragem para cada painel
Para o caso das lajes vigadas, é necessário separar os valores de quantidades de cofragem para laje e viga,
uma vez que estes elementos têm custos desiguais. Note-se desde já, que para a solução vigada, existe uma
maior quantidade de área de cofragem total, em relação à solução fungiforme.
5.2 Controlo direto da deformação
Para o cálculo de deformações do presente capítulo, utilizou-se a metodologia apresentada no capítulo 3.5 -
Coeficiente Global Adaptado. Como a estrutura em causa se trata de uma laje, para a avaliação das
deformações no seu centro, recorreu-se ao método das bandas (capítulo 3.7.1).
Todos os pressupostos assumidos para o cálculo de armaduras e deformações no capítulo 4 são válidos
para o presente capítulo. As armaduras para cada seção determinante dos painéis de bordo (2) e de canto
(3) encontram-se no Anexo A.2.
Recorde-se através da Tabela 2.1 que os limites, expressos na norma NP EN 1992-1 (2010), para a
deformação total e incremento de deformação, assumem respetivamente os valores de L/250 e de L/500.
Recorde-se também que o valor dos limites de deformação pode ser calculado de duas formas (ver Figura
2.3). Assim, caso os valores limite sejam ultrapassados, verificar-se-á se estes transpõem o limite utilizando
o valor do vão L2.
0
20
40
60
80
laje viga laje viga laje viga
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Áre
a d
eco
frag
em
[m
2]
Área de Cofragem
80
As deformações totais e os incrementos de deformação são apresentados na Tabela 5.2, tendo em conta a
tipologia, solução e painel a analisar. Apresentam-se também as deformações elásticas para que exista a
perceção do incremento de flecha total em relação à flecha elástica devido à fluência e fendilhação.
Tabela 5.2 – Resumo de deformações no centro do painel para várias soluções
Tipo de Laje Solução Painel
Deformação Total
elástica no centro
do painel ( )
Deformação total
no centro do
painel ( )
Incremento de
deformação
[ ( ) ]
Fungiforme (F22)
e = 0,22m cap/banda
= 0,35m
Central (1) 0,40 cm 1,9 cm (L/420) 1,5 cm (L/535)
1 Bordo Livre (2) 0,78 cm 3,5 cm (L/230) 2,9 cm (L/275)
2 Bordos Livres (3) 1,16 cm 5,0 cm (L/160) 4,1 cm (L/195)
Fungiforme (F22*)
e = 0,22m cap/ banda = 0,35m*
Central (1) 0,40 cm 1,9 cm (L/420) 1,5 cm (L/535)
1 Bordo Livre (2) 0,54 cm 2,7 cm (L/295) 2,2 cm (L/365)
2 Bordos Livres (3) 0,87 cm 4,6 cm (L/175) 3,9 cm (L/205)
Vigada (V20)
e = 0,20m e viga
0,75x0,30
Central (1) 0,35 cm 1,7 cm (L/470) 1,5 cm (L/570)
1 Bordo Livre (2) 0,54 cm 2,8 cm (L/285) 2,4 cm (L/335)
2 Bordos Livres (3) 0,74 cm 4,2 cm (L/190) 3,7 cm (L/215)
* Solução que liga capitéis a banda periférica com banda de 3metros de largura e com 0,35metros de espessura.
A Tabela 5.2 mostra que, elasticamente, a laje vigada oferece relativamente uma melhor qualidade de
deformação, apesar de ser por um valor marginal. Como visto no capítulo 2.2.2, a esbelteza e as condições
de fronteira são fatores preponderantes na avaliação da deformação elástica. Embora a solução vigada
apresente uma espessura equivalente semelhante à fungiforme, as vigas proporcionam uma maior rigidez
fazendo com que a deformação para esta solução seja elasticamente inferior. Para os painéis de bordo (2) e
de canto (3), haverão bordos sem continuidade, onde as deformações são superiores.
Através desta mesma tabela (Tabela 5.2), chega-se à conclusão que os valores das flechas a longo prazo
para o centro dos painéis são, em média, 5 vezes superiores aos valores da deformação elástica. Em termos
médios, estes valores das deformações acabarão por ser equivalentes a um coeficiente global
genérico para toda a laje, isto é, seria equivalente calcular a deformação média através do Método Direto
com um coeficiente , como mostra a Figura 5.7.
Figura 5.7 – Incremento de deformação em relação à deformação elástica
média
0
1
2
3
4
5
6
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Kt
81
Conclui-se também que a laje vigada tem um maior incremento de deformação a longo prazo quando
comparada com a fungiforme. Esse aumento é diretamente influenciado pelas inferiores quantidades de
armadura necessárias para a tipologia vigada. Como visto anteriormente, a armadura é responsável pela
restrição da deformação livre por fluência do betão, justificando esse aumento de . Comparando as duas
soluções fungiformes, verifica-se o mesmo. Sendo necessárias inferiores quantidades de armadura para a
solução F22*, esta apresentará um maior incremento de deformação a longo prazo.
Os valores de deformação total a longo prazo referentes à Tabela 5.2 são colocados em forma de gráfico,
através da Figura 5.8.
Figura 5.8 – Deformação no centro do painel
No eixo vertical esquerdo da Figura 5.8, apresenta-se em forma de percentagem, a diferença entre o valor
limite e a estimativa de deformação para o centro do painel, em que o valor de 0% corresponde ao valor
limite de referência (L/250). À direita, também no eixo vertical, apresenta-se a deformação em função do
vão de 8 metros e respetiva deformação. Os pontos que representam a deformação encontram-se a
vermelho se ultrapassarem o valor limite e a verde se forem inferiores ou iguais ao valor limite. A tracejado
é representado o valor de L/250 para o vão L2 (ver Figura 2.3).
Como concluído no capítulo 4, todos os valores de deformação para o painel central (1) são inferiores ao
limite estabelecido pela norma. Já para o painel de bordo (2) nem todas as soluções verificam o estipulado
limite, uma vez que a solução F22 apresenta uma deformação ligeiramente superior a L/250. Analisando as
deformações no painel de canto (3) conclui-se que nenhumas destas cumprem o valor limite. Para a mesma
análise mas tendo em consideração o valor L2, o valor limite L2/250 passa a ser equivalente a L/180, o que
corresponde a uma variação relativa de 40%. Desta forma, para o painel de canto (3), as lajes fungiformes
F22 e F22* seriam as únicas a não cumprir marginalmente o valor normativo.
1,9 cm 1,7 cm
2,7 cm 2,8 cm
3,5 cm
5 cm
4,6 cm
4,2 cm
L/140 (5,8 cm)
L/155 (5,1 cm)
L/180 (4,5 cm)
L/210 (3,8 cm)
L/250 (3,2 cm)
L/315 (2,6 cm)
L/415 (1,9 cm)
L/625 (1,3 cm)
L2/250
-60%
-40%
-20%
0%
20%
40%
60%
80%
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Valo
res d
e re
fere
ncia/d
efo
rmação
[cm]
Dif
ere
nça
em
re
laçã
o a
o v
alo
r d
e L
/25
0 [
%]
Deformação Total (at)
82
De forma semelhante ao gráfico da Figura 5.8, na Figura 5.9 apresentam-se os valores de incremento de
deformação para as várias soluções em análise.
Figura 5.9 – Incremento de deformação no centro do painel
Apenas o painel central (1) tem deformações incrementais inferiores às permitidas pela NP EN 1992-1.
Repare-se que as deformações totais (ver Figura 5.8) para este painel são sempre inferiores a L/400. O
código português REBAP impõe uma flecha limite para deformações totais de L/400, quer por razões de
aparência quer por razões de limitação de danos. Ao verificar-se este limite total, o incremental L/500
ficaria indiretamente verificado de acordo com este estado. Concluindo, ao avaliar a deformação total e
sendo esta inferior a L/400, é muito provável que o incremento de deformação satisfaça a indicação de
L/500.
Calculando o valor dos limites de deformação através do vão L2 (ver Figura 2.3), chega-se à conclusão que
L2/500 é equivalente a L/355, o que corresponde, mais uma vez, a uma variação relativa de 40%. Desta
forma, os valores no painel de canto (3) não seriam largamente ultrapassados e para o painel de bordo (2)
as soluções seriam bastante próximas do valor limite.
É importante realçar novamente que os limites de deformação não são limites absolutos. Dependem
utilização do edificado. Por exemplo, no caso de garagens em que não existem elementos danificáveis pelo
incremento de deformação, os limites de deformação podem ser mais tolerantes. De referir também que,
para uma obra genérica, o painel de canto (3) será o painel menos repetido (4 painéis por obra) pelo que
não fará sentido colocar toda a solução estrutural condicionada a este painel. Além disso, e como já
referenciado no presente trabalho, justifica-se a verificação do incremento de deformação nos
alinhamentos das paredes de alvenaria a colocar e eventualmente prever soluções na ligação da estrutura
da parede para absorver essas deformações relativas.
1,5 cm 1,4 cm
2,9 cm
2,2 cm 2,4 cm
4,1 cm 3,9 cm
3,7 cm L/190 (4,2 cm)
L/225 (3,5 cm)
L/280 (2,9 cm)
L/355 (2,2 cm)
L/500 (1,6 cm)
L/835 (1 cm)
L2/500
-40%
0%
40%
80%
120%
160%
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Valo
res d
e re
fere
ncia/d
efo
rmação
[cm]
Dif
ere
nça
em
re
laçã
o a
o v
alo
r d
e L
/50
0 [
%]
Incremento de Deformação
83
A Figura 5.10 apresenta os valores dos incrementos nos alinhamentos das paredes exteriores.
Figura 5.10 – Incremento de deformação a meio vão do bordo livre para o painel de bordo (2) e de canto (3)
Saliente-se que, caso a parede coincida com o alinhamento da viga, para contornar danos em elementos
não estruturais, a solução vigada é de melhor qualidade, como é conhecido.
5.3 Controlo indireto da deformação
No capítulo 2.2.2 refere-se o controlo de deformação tendo em consideração a esbelteza da solução. A
Tabela 5.3 mostra, para o caso de lajes, as esbeltezas limite, as espessuras correspondentes para um vão de
8 metros e a espessura adotada no presente trabalho.
Tabela 5.3 – Esbelteza e espessura normativa e espessura da solução adotada (ρ=0,5%)
Vão extremo de uma laje continua armada em duas direções (ao longo do lado maior)
Vão interior de uma laje armada
numa ou em duas direções
Laje sem vigas apoiada sobre
pilares (laje fungiforme)*
NP EN 1992-1 (esbelteza) 26 30 24
Espessura correspondente [cm] 31,6 26,7 33,3
Espessura de laje [cm] 20 20 22/35
*os limites indicados para a laje fungiforme correspondem, para flecha a meio vão, a uma limitação menos exigente que L/250
Conclui-se que os valores de esbelteza dados pela norma NP EN 1992-1 (2010) correspondem a valores de
espessura que, ao dispensarem outras avaliações, serão conservativos. Conclui-se, assim, que para projetar
uma solução económica será, em geral, necessário recorrer a soluções com esbeltezas superiores.
Verifica-se, assim, que os valores de l/h normativos devem ser utilizados como base, mas que soluções mais
esbeltas podem ser adotadas, realizando-se uma avaliação estrutural para avaliar, com fiabilidade, o valor
das deformações e eficiência das soluções a implementar.
0,4 cm 0,4 cm
0,1 cm
0,9 cm
2,1 cm 2,1 cm L/355 (2,2 cm)
L/415 (1,9 cm)
L/500 (1,6 cm)
L/625 (1,3 cm)
L/835 (1 cm)
L/1250 (0,6 cm)
L/2500 (0,3 cm)
0cm -100%
-80%
-60%
-40%
-20%
0%
20%
40%
F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Dif
ere
nça
em
re
laçã
o a
o v
alo
r d
e
L/5
00
[%
]
Incremento de deformação
84
5.4 Orçamento
Para este capítulo foi necessário estimar preços unitários para betão, aço e cofragem. De acordo com
Marchão e Appleton (2013, p. 69), os preços unitários para betão e aço são, em geral, 100€/m3 e 0,90€/kg
respetivamente preços utilizados no presente trabalho.
Para o caso das lajes vigadas, os rendimentos de mão-de-obra para a montagem das cofragens dependem
dos elementos a construir, tendo que os diferenciar no custo da cofragem por metro quadrado. Para esse
cálculo, utilizaram-se os rendimentos de acordo com Branco (1983, p. 36) utilizando “cofragem tradicional
melhorada”. Branco (1983, p. 36) fornece rendimentos consoante a reutilização dos painéis. Não sendo a
reutilização objeto de estudo deste trabalho, utilizaram-se os valores médios de rendimentos. Para uma laje
de grande vão e usando painéis de cofragem melhorada, o rendimento para a laje é de 1,1Hh/m2 e para a
viga de grande secção é de 1,7Hh/m2.
O preço por cofragem foi fornecido pela empresa Monte Adriano, sendo, para um acabamento corrente, o
custo do aluguer de cofragem de 0,14€/m2 por dia. Admitiu-se que são necessários 30 dias para o betão
ganhar resistência, pelo que o custo do aluguer de cofragem é de 4,2€/m2.
Através da consulta das tabelas de salários mínimos presente em Dias (2013, p. 8.12) chega-se à conclusão
que o custo horário de um carpinteiro de 1ª categoria é de 7,85€/hora e de um servente é de 7,0€/hora.
Segundo Branco (1983, p. 36), a montagem de cofragem necessita de 70% de carpinteiros de 1ª e 30% de
serventes. Assim, o custo por metro quadrado de cofragem é:
Cofragem para laje ( ) ⁄
Cofragem para viga ( ) ⁄ ⁄
Tendo os custos unitários e as quantidades presentes no capítulo 5.1, apresenta-se na Figura 5.11 o
orçamento em €/m2 para cada painel.
Figura 5.11 – Custo final para vão de 8 metros
0
20
40
60
80
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
cust
o [
€/m
2]
85
Como concluído anteriormente, os painéis centrais da laje fungiforme e vigada, têm praticamente a mesma
quantidade de betão. A laje vigada precisará de menor quantidade de armadura mas levará a trabalhos
mais onerosos de cofragem. Esses trabalhos fazem com que a laje vigada para o painel central seja 5% mais
dispendiosa que a solução fungiforme. Para os painéis de bordo (2), as soluções vigada e a fungiforme F22
apresentam custos finais equivalentes. Para este painel a solução fungiforme F22* acaba por ser a solução
mais cara devido à maior quantidade de betão. Para os painéis de canto (3) a solução vigada acaba por ser a
mais económica.
Concluindo, para uma obra de grande escala, a maioria dos painéis serão centrais pelo que, em termos de
custos, a tipologia vigada será, em princípio, mais cara que a solução fungiforme. Esta conclusão depende
em muito dos preços praticados pelo mercado, fazendo com que, na análise destes casos, ao oscilar o preço
de cofragem, existam diferenças de custos finais mais ou menos pronunciadas ou mesmo uma inversão de
tendência.
5.5 Comparação entre vãos de 7 e 8 metros
Considerou-se interessante generalizar o tipo de estudo realizado analisando as mesmas soluções para vãos
de 7 metros. Neste capítulo apresenta-se a síntese dos resultados obtidos é apresentada. A disposição das
armaduras necessárias para o cálculo de deformação e taxa de armadura encontram-se no Anexo B.
Como apresentado no capítulo 2.2.2, a esbelteza da peça tem uma importância significativa no valor da
flecha elástica. Ao reduzir o vão, mantendo as dimensões do elemento, as deformações também diminuem.
Neste capítulo comparam-se as deformações correspondentes a vãos correntes de 7 e 8 metros, mantendo
todos os outros parâmetros como espessura, nível de cargas, dimensão de capitéis, bandas e vigas.
A Tabela 5.4 resume as deformações elásticas, a longo prazo e o incremento de deformação para o centro
do painel em função da topologia e painel a analisar
Tabela 5.4 - Resumos das deformações para várias soluções para um vão de 7 metros
Tipo de Laje Solução Painel Deformação Total elástica no centro
do painel ( )
Deformação total no centro do
painel ( )
Incremento de deformação [ ( ) ]
Fungiforme (F22)
e = 0,22m cap/banda
= 0,35m
Central (1) 0,22 cm 0,9 cm (L/780) 0,7 cm (L/1000)
1 Bordo Livre (2) 0,44 cm 2,3 cm (L/305) 2,0 cm (L/350)
2 Bordos Livres (3) 0,66 cm 3,5 cm (L/200) 3,0 cm (L/235)
Fungiforme (F22*)
e = 0,22m cap/ banda = 0,35m*
Central (1) 0,22 cm 0,9 cm (L/780) 0,7 cm (L/1000)
1 Bordo Livre (2) 0,31 cm 1,3 cm (L/540) 1,1 cm (L/635)
2 Bordos Livres (3) 0,49 cm 2,7 cm (L/260) 2,2 cm (L/320)
Vigada (V20)
e = 0,20m e viga
0,75x0,30m
Central (1) 0,21 cm 1,1 cm (L/635) 0,9 cm (L/780)
1 Bordo Livre (2) 0,30 cm 1,6 cm (L/440) 1,4 cm (L/500)
2 Bordos Livres (3) 0,41 cm 2,4 cm (L/290) 2,2 cm (L/320)
* Solução que liga capitéis a banda periférica com banda de 3metros de largura e com 0,35metros de espessura.
86
Observando os valores da Tabela 5.4 que resumem as deformações para as várias soluções estruturais com
vãos de 7 metros, chega-se novamente à conclusão que os valores das flechas a longo prazo para o centro
dos painéis são, em média, 5 vezes superiores aos valores da deformação elástica.
Mais uma vez, comparando as duas soluções, conclui-se através da Figura 5.12 que a tipologia vigada
apresenta, em geral, um aumento superior de deformação a longo prazo, tendo como valor base a flecha
elástica.
Figura 5.12 – Incremento de deformação em relação à deformação elástica para vão de 7 m
Note-se que para o painel de bordo (2), a solução fungiforme F22 teria, teoricamente, um valor global de
inferior em relação à solução F22* uma vez que esta terá menor quantidade de armadura. Ora, o gráfico da
Figura 5.12 ilustra exatamente o contrário. De referir que para a solução F22*, as ações quase-permanentes
não atingem as tensões de fendilhação do betão para a zona central do painel. Já para a solução F22,
verifica-se que esta fendilha para a mesma zona. Como já discutido anteriormente, a deformação a longo
prazo de um elemento de betão armado depende bastante do estado de fendilhação da estrutura,
justificando assim esta diferença “não prevista”. Da mesma forma, para o painel central (1), a solução
fungiforme fendilha apenas na zona do apoio enquanto que, a solução vigada fendilha em todas as secções
determinantes, à exceção do centro da laje, justificando assim a diferença de valores .
média
0
1
2
3
4
5
6
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Kt
87
A Figura 5.13 ilustra, em forma de gráfico, as deformações para vão de 7 e 8 metros.
Figura 5.13 – Deformação para diferentes vãos
Verifica-se uma diminuição entre 30 a 50% de deformação para vão de 7 metros em comparação com as
soluções de 8 metros. Esta redução faz com que praticamente, todos os valores de deformação total
respeitem o valor limite de L/250. De notar que este valor limite varia consoante o vão a analisar,
correspondendo a 3,2 centímetros para o caso de vãos de 8 metros e 2,8 centímetros para o caso de vãos
de 7 metros.
As diferenças relativas de deformações entre as várias soluções de vãos de 7 e 8 metros variam
quantitativamente de forma diferenciada. Estas diferenças estão relacionadas com a fendilhação ou não
fendilhação da peça. Para casos em que, com a redução de vão, a fendilhação não ocorra, é espectável uma
maior diferença.
Calculando os valores limite através do vão da diagonal do painel L2 (ver Figura 2.3), conclui-se ,mais uma
vez, que o limite torna-se 40% mais permissivo em relação ao limite calculado com o valor de vão entre
pilares L. Desta forma, todas as deformações tomam valores inferiores aos normativos.
1,9 1,7
3,5
2,7 2,8
5,0
4,6
4,2
0,9 1,1
2,3
1,3
1,6
3,5
2,6 2,4
L2/250
L/140
L/155
L/180
L/210
L/250
L/315
L/415
L/625
L/1250 -80%
-60%
-40%
-20%
0%
20%
40%
60%
80%
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Dif
ere
nça
em
re
laçã
o a
o v
alo
r d
e L
/25
0
[%]
Deformação Total [cm]
L=8
L=7
88
A Figura 5.14 ilustra, em forma de gráfico, os incrementos de deformação para vão de 7 e 8 metros.
Figura 5.14 – Incremento de deformação para diferentes vãos
Verifica-se um ganho entre 25 e 50% para esta nova solução com 7 metros de vão. Verifica-se também que,
para os casos em que a deformação total seja inferior a L/400, o valor de incremento de deformação
respeita o valor limite dado pela NP EN 1992-1 (L/500).
Praticamente, todos os painéis centrais (1) e de bordo (2) verificam o critério L/500, sendo o painel de canto
(3) o único a não o verificar. A redução de vão traz ganhos bastante significativos em termos de redução das
flechas neste painel. De referir novamente que, para uma obra genérica, o painel de canto (3) será o painel
menos repetido (4 painéis por obra) pelo que não fará sentido colocar toda a solução estrutural em causa
devido a este painel. Verifica-se que, em algumas construções de malha regular, os painéis de contorno (de
bordo (2) e de canto (3)) apresentam um vão inferior em relação a toda a malha, de forma a minimizar as
deformações para esses painéis.
Calculando os valores limite através de L2 (ver Figura 2.3) resultaria, novamente, em limites 40% mais
permissivos, fazendo com que todos os valores do painel de bordo (2) L/500 passassem nos critérios
estabelecidos e os valores do painel de canto (3) não fossem largamente ultrapassados.
1,5 1,4
2,9
2,2 2,4
4,1 3,9
3,7
0,7 0,9
2,0
1,1
1,4
3,0
2,2 2,2
L/165
L/190
L/225
L/280
L/355
L/500
L/835
L/2500
L2/500
-80%
-40%
0%
40%
80%
120%
160%
200%
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Dif
ere
nça
em
re
laçã
o a
o v
alo
r d
e
L/5
00
[%
] Incremento de Deformação [cm]
L=8
L=7
89
Com a redução de vão, mantendo as dimensões de capitéis e bandas para a solução fungiforme e a
dimensão das vigas para a solução vigada, é natural que para vãos de 7 metros, as espessuras equivalentes
de betão sejam superiores às obtidas para a solução de 8 metros de vão (Figura 5.15).
Figura 5.15 – Espessura equivalente para diferentes vãos
Por outro lado, verifica-se uma redução nas quantidades de armadura para os vãos de 7 metros, uma vez
que, para um menor vão, os momentos das ações exteriores será inferior ao dos vãos de 8 metros (Figura
5.16).
Figura 5.16 - Taxa de armadura para diferentes vãos
0
5
10
15
20
25
30
35
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Esp
ess
ura
Eq
uiv
ale
nte
[cm
]
Espessura Equivalente
L=8
L=7
0
5
10
15
20
25
30
35
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
Taxa
de
Arm
adu
ra [
kg/m
2]
Taxa de Armadura
L=8
L=7
90
A Figura 5.17 apresenta finalmente o custo para cada solução e para cada painel para um vão de 7 e 8
metros.
Figura 5.17 - Custo final para diferentes vãos
Avaliando o custo global por metro quadrado verifica-se que, o valor de custo para as soluções de 7 metros
será idêntico à dos vãos de 8 metros, mas isto com base nas hipóteses admitidas de manter as mesmas
espessuras e dimensões de vigas, bandas e capiteis. É importante referir, que se se tivesse dimensionado as
soluções com vãos de 7.0 m para terem uma performance a nível de deformações equivalentes às dos 8.0
m, teríamos ganhos económicos para o vão mais pequeno. Isto sem contar com a influência dos elementos
verticais e fundações, pois esta componente, em princípio, seria favorável a vão maiores.
0
20
40
60
80
F22 V20 F22 F22* V20 F22 F22* V20
Painel Central (1) Painel de Bordo (2) Painel de Canto (3)
cust
o [
€/m
2]
L=8
L=7
91
6. Conclusão
6.1 Considerações Finais e Desenvolvimentos Possíveis
O trabalho desenvolvido teve como objetivo apresentar uma descrição alargada sobre as metodologias de
cálculo de lajes maciças de betão armado, vigadas e fungiformes, e especialmente, a avaliação das suas
deformações. O documento começa por referir uma síntese sobre os efeitos das deformações nas
estruturas de betão em geral.
Em primeiro lugar salienta-se que a deformação elástica de uma estrutura é, principalmente, função da sua
esbelteza e das condições de fronteira. No caso do betão armado é espectável que, em condições de
serviço, exista formação de fendas, o que implica uma redução de rigidez do elemento e consecutivamente
um aumento da flecha. Tendo em conta as características do comportamento do betão ao longo do tempo,
existe um aumento da flecha devido à fluência e retração do betão. Embora a retração possa implicar o
aumento das curvaturas, sobretudo nas lajes, na presente dissertação este fenómeno não foi contabilizado
para o cálculo das deformações.
Da avaliação das deformações das estruturas, considerando os vários painéis com diferentes condições de
fronteira, foi possível observar-se que, para o centro do painel de uma laje, os efeitos de fendilhação
provocaram um aumento médio da flecha em relação aos valores elásticos em cerca de 5 vezes, tendo-se
observado valores que variaram de 3 a 7, consoante grau de fendilhação. Em elementos não fendilhados o
aumento da flecha ocorre sobretudo devido à fluência, sendo espectável um aumento médio da flecha ao
longo do tempo, que atingirá um valor cerca de 3 vezes superior ao da flecha elástica. Para elementos
fendilhados a flecha a curto prazo tem um incremento significativo face ao valor elástico, mas
posteriormente, o incremento de deformação no tempo é bem menor. As quantidades de armaduras
constituem um fator preponderante à restrição do aumento da deformação ao longo do tempo, pelo que
maiores quantidades de armadura implicarão menores deformações da estrutura, tanto devido à
fendilhação como à fluência.
No estudo abordaram-se diferentes metodologias para o cálculo de deformações e suas simplificações. Com
base no Método Bilinear e dos Coeficientes Globais, foi proposto um método apelidado de “Método dos
Coeficientes Globais Adaptado”. Comparado este com o método dos Coeficientes Globais Formais
apresentado por Favre et al (1985), chegaram-se a diferenças praticamente nulas, pelo que se admite que
os dois métodos são, em termos práticos, equivalentes. Verificou-se, assim, que o uso do coeficiente de
envelhecimento foi praticamente irrelevante. Comparou-se também o Método dos Coeficientes Globais
Adaptado com o método da Inércia Equivalente, apresentado por Brandson (1977 apud GHALI, FAVRE,
ELDBADRY, 2002) e acolhido pela norma americana ACI-435. Chegou-se à conclusão que as diferenças entre
os dois métodos são da ordem de grandeza de 10%.
92
Sendo as lajes um elemento laminar é necessário proceder a uma análise em duas direções. Favre et al
(1985) propõem duas metodologias para o cálculo das deformações em lajes, o Método Direto e o Método
das Bandas Ortogonais. Utilizando o Método dos Coeficientes Globais Adaptados, chega-se à conclusão,
com base neste estudo, que o Método Direto, em geral, subestima a flecha em cerca de 20% em relação ao
Método das Bandas Ortogonais.
A NP EN 1992-1 (2010) define o valor de deformação limite como função do vão entre apoios. Para um
painel de laje, existem dois possíveis vãos a ter em conta, o vão ortogonal entre pilares do painel e a sua
diagonal. Para a verificação das deformações no centro do painel, alertou-se para as diferenças resultantes
considerando os dois possíveis vãos, concluindo que o vão diagonal resulta em valores regulamentares 40%
mais folgados em relação à consideração do vão ortogonal entre pilares.
Na avaliação das deformações concluiu-se que, verificando a flecha total o limite de L/400, em princípio, a
solução não terá problemas em passar o limite de L/500, para o incremento de deformação após
construção das paredes divisórias.
Comparando as duas soluções em estudo, verifica-se que a laje vigada apresenta, em geral, inferiores
quantidades de armadura e betão mas superiores quantidades de cofragem e superiores custos unitários,
fazendo com que a laje vigada seja, em termos de custos, equivalente à solução fungiforme. Caso as
paredes divisórias coincidam com o posicionamento das vigas, a solução vigada apresenta uma melhor
resposta à limitação de danos em elementos não estruturais. Em termos de aparência, a laje vigada tem um
maior aumento de curvaturas entre a viga e o centro da laje fazendo com que a deformação relativa a esses
alinhamentos seja mais pronunciada.
Considerando o valor do vão ortogonal entre pilares de 8 metros, verificou-se que, para painéis centrais (1),
as soluções apresentaram iguais quantidades de betão e valores de deformação absoluta equivalentes,
inferiores a L/250. Nos painéis de bordo (2), as deformações são próximas dos limites normativos e para
painéis de canto as deformações ultrapassam esses valores normativos. Reduzindo o vão para 7 metros,
apenas a solução fungiforme F22, para o painel de canto (3), atinge valores de deformação total superiores
a L/250.
Avaliando o incremento de deformação no centro do painel para vãos de 8 metros, as deformações dos
painéis centrais (1) verificaram o limite L/500. Já os painéis de bordo (2), apresentaram, em geral, valores
de incremento de deformação próximos do normativo enquanto os painéis de canto (3) apresentaram
valores de deformação consideravelmente distantes desse valor. Reduzindo o vão de 8 para 7 metros, o
painel de canto (3) continuou à margem da norma, prevendo possíveis problemas de danos em elementos
não estruturais para o centro desse painel.
93
A redução do vão do painel de 8 para 7 metros, proporcionou um ganho na qualidade das deformações, em
média de 45%, mantendo o praticamente o mesmo custo. Se se tivessem dimensionado as soluções de 7.0
m para terem deformações equivalentes às dos 8.0 m haveria, naturalmente, um ganho em termos de
custos.
Como já referenciado, nesta dissertação não foi contemplado o acréscimo de deformação da laje devido a
retração. Sendo as lajes elementos esbeltos, o fator de retração do betão pode ter importância no cálculo
da deformação final, devendo este aspeto ser quantificado, analisando a influência da distribuição de
armaduras na zona de compressão (face superior nas zonas de vão e inferior nas zonas de apoio). Seria
interessante como trabalho complementar incluir este efeito.
Um aspeto relativo a deformações em lajes fungiformes é a influência competitiva de espessuras maiores
nos capitéis. A análise comparativa de variações nas espessuras dos capitéis seria também um tema
complementar a este trabalho.
Também nesta dissertação o estudo incidiu só sobre lajes maciças, vigadas e fungiformes. Seria importante
extrapolar a análise efetuada a outros tipos de lajes como as aligeiradas e, eventualmente, também a
soluções com pré-esforço.
94
95
Bibliografia
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto:
Procedimento.Rio de Janeiro, 2004.
ACI - AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Control of Deflection in Concrete Structures. ACI Committee 435.
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APPLETON, JÚLIO, Estruturas de Betão. Amadora: Edições Orion, 2013
BRANCO, JOSÉ DA PAZ, Rendimentos de Mão-de-Obra, Materiais e Equipamentos de Construção Civil
(tabelas). Lisboa: Laboratório Nacional de Engenharia Civil, 1983
CAMARA, JOSÉ MANUEL MATOS NORONHA DA. Comportamento em Serviço de Estruturas de Betão
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de Engenharia Civil – Institudo Superior Técnico da Universidade Técnica.
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MARCHÃO, CARLA; JÚLIO APPLETON, Estruturas De Betão II Folha De Apoio Às Aulas. Lisboa, 2013, Sebenta
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NEVILLE, A.M.; BROOKS, J.J. Concrete Technology. 2 ed. England: Prentice Hall, 2008
NP EN 1990:2009 - Eurocódigo 0: Bases para o projecto de estruturas, 2009.
96
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PEREIRA, MICAEL DAVID GOMES Influência da Deformabilidade das Lajes Fungiformes no Comportamento
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VAZ, LUIZ ELOY, Método dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011
Anexos
Anexo A – Pormenorização para vãos de 8 metros
A.1 – Pormenorização para painéis Centrais
A.1.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22/F22*
A.1.2 – Pormenorização para Laje Vigada V20
A.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
A.2.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22
A.2.2 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22*
A.2.3 – Pormenorização para Laje Vigada V20
Anexo B – Pormenorização para vãos de 7 metros
B.1 – Pormenorização para painéis Centrais
B.1.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22/F22*
B.1.2 – Pormenorização para Laje Vigada V20
B.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
B.2.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22
B.2.2 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22*
B.2.3 – Pormenorização para Laje Vigada V20
A.1 – Pormenorização para painéis Centrais
A.1.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22/F22*
φ20//0,20+φ12//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
mc/4
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ20//0,20+φ12//0,20
φ20//0,20+φ12//0,20
φ20//0,20+φ12//0,20
Armadura Superior
2.5 3.0 5.0 3.0 2.5
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
c/3
,0
m
c/3
,0
m
φ12//0,20
φ12//0,20
φ12//0,20
c/6
,0
m
φ8//0,20
c/4
,0
m
φ10//0,20
c/6
,0
m
φ8//0,20
c/4
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
Armadura Inferior
2.5 3.0 5.0 3.0 2.5
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:1:100
Descrição:
Armaduras superiores e inferiores para o painel central da solução
fungiforme F22 com um vão de 8 metros
Instituto Superior Técnico
A.1.1 - Pormenorização para Laje Fungiforme F22/F22*
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
DU
CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
A.1 – Pormenorização para painéis Centrais
A.1.2 – Pormenorização para Laje Fungiforme V20
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
φ8//0,20
c/ 5
,0
m
Armadura Inferior
Escala 1:100
AA'
φ8//0,20
2.0 4.0 2.0
c/ 4
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ8//0,20
Armadura Superior
Escala 1:100
3φ20+2φ162φ16 2φ16
1.5
6.0
3φ20+2φ163φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
1.5
Corte AA'
Escala 1:50
B
B'
C
C'
3φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
2φ16
Est. φ8//0,20
3φ20+2φ16
Corte BB'
Escala 1:25
Corte CC'
Escala 1:25
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:
Instituto Superior Técnico
Armaduras superiores e inferiores e respetivos cortes para painel central
de laje vigada V20 de 8 metros de vão.
No desenho
Descrição:
A.1.2 - Pormenorização para Laje Vigada V20
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
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CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
A.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
A.2.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22
c/3
,0
m
c/5
,0
m
φ12//0,20
φ16//0,20
φ10//0,20
φ12//0,20
φ10//0,20
c/4
,0
m
c/5
,0
m
c/3
,0
m
c/3
,0
m
c/6
,0
m
c/6
,0
m
c/6,0mc/6,0m
φ8//0,20
c/6
,0
m
φ8//0,20
c/4,0m
φ16//0,20
φ12//0,20
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/4
,0
m
c/4,0m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ8//0,10
φ16//0,20
c/ 4 ramos
φ12//0,20
φ12//0,20
φ8//0,20
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ8//0,20
φ10//0,20
Armadura Inferior
3.0 5.0 3.0 5.0 1.5
φ8//0,20
φ20//0,20+φ16//0,20
φ20//0,20+φ16//0,20
φ20//0,10
φ10//0,20
φ16//0,20
φ8//0,20
φ20//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/ 4 ramos
φ8//0,10
φ10//0,20
c/5
,5
m
φ10//0,20
c/5
,5
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ20//0,20+φ12//0,20
φ10//0,20
Armadura Superior
3.0 5.0 3.0 5.0 1.5
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:1:100
Descrição:
Armaduras superiores e inferiores para paineis de bordo e de canto para
a solução fungiforme F22 com 8 metros de vão.
Instituto Superior Técnico
A.2.1 - Pormenorização para Laje Fungiforme F22
PR
OD
UC
ED
B
Y A
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UT
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K E
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CA
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CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
DU
CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
A.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
A.2.2 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22*
10φ//0,20
c/6,0m
8φ//0,20
φ12//0,20
c/6,0m
c/4
,0
m
c/4,0m
8φ//0,20
φ10//0,20
φ12//0,20
φ12//0,20
10φ//0,20
c/6
,0
m
c/6
,0
m
c/3
,0
m
c/6
,0
m
c/6
,0
m
φ12//0,20
φ12//0,20
c/6
,0
m
10φ//0,20
c/6
,0
m
c/6
,0
m
c/6
,0
m
φ8//0,20
φ8//0,20
c/4
,0
m
8φ//0,208φ//0,20
φ16//0,20
φ12//0,20
φ16//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
c/8
,5
m
φ8//0,10
c/ 4 ramos
φ10//0,20
φ10//0,20
c/8
,5
m
Armadura Inferior
3.0 5.0 3.0 5.0 1.5
20φ//0,20+16φ//0,20
φ16//0,20
φ20//0,20+φ16//0,20
c/4
,0
m
c/5
,0
m
20φ//0,20+12φ//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ20//0,10
φ10//0,20
φ8//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
φ8//0,10
c/ 4 ramos
c/5
,5
m
φ10//0,20
φ10//0,20
c/5
,5
m
φ8//0,20
c/4
,0
m
φ20//0,20
c/4
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
Armadura Superior
3.0 5.0 3.0 5.0 1.5
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:1:100
Descrição: Armaduras superiores e inferiores para paineis de bordo e de canto para
a solução fungiforme F22* com 8 metros de vão.
Instituto Superior Técnico
A.2.2 - Pormenorização para Laje Fungiforme F22*
PR
OD
UC
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B
Y A
N A
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ES
K E
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L P
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CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
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CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
A.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
A.2.3 – Pormenorização para Laje Vigada V20
8φ//0,20
c/ 6
,0
m
8φ//0,20
c/ 5
,0
m
8φ//0,20
c/ 5
,0
m
8φ//0,20
G
G'
Armadura Inferior
Escala 1:100
4.0 4.0
2φ20+2φ16 2φ16
4φ16
4φ16 2φ20+2φ16
2φ162φ16
6.0
3.0
5.0
Est. φ8//0,20 Est. φ8//0,20
Corte GG'
Escala 1:50
I
I'
H
H'
K
K'
J
J'
1.5
4φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte HH'
Escala 1:25
4φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte II'
Escala 1:25
2φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Escala 1:25
Corte KK' Corte JJ'
2φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Escala 1:25
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:No desenho
Descrição:
Armaduras inferiores para paineis de bordo e de canto para a solução
vigada V20 com 8 metros de vão
Instituto Superior Técnico
A.2.3 - Pormenorização para Laje Vigada V20
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
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CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
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CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
12φ//0,20
φ8//0,20
c/ 4
,0
m
c/ 4
,0
m
10φ//0,20
D'D
Armadura Superior
Escala 1:100
6.5
6.0
2φ16
2φ16
2φ16
1.5
3φ20+2φ16
3φ25+2φ16
4.0
3φ20+2φ16
3φ25+2φ16
Est. φ8//0,20Est. φ8//0,20
F
F'
E
E'
Corte DD'
Escala 1:50
2φ16
B
B'
C
C'
Corte FF'
Escala 1:25
3φ25+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte EE'
Escala 1:25
3φ25+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
2φ16
Est. φ8//0,20
3φ20+2φ16
Corte CC'
Escala 1:25
3φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte BB'
Escala 1:25
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:No desenho
Descrição:
Armaduras superiores para paineis de bordo e de canto para a solução
vigada V20 com 8 metros de vão
Instituto Superior Técnico
A.2.3 - Pormenorização para Laje Vigada V20
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
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L P
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DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
DU
CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
B.1 – Pormenorização para painéis Centrais
B.1.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22/F22*
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ16//0,20+φ12//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ16//0,20+φ12//0,20
φ16//0,20+φ12//0,20
φ16//0,20+φ12//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/4
,0
m
Armadura Superior
2.0 3.0 4.0 3.0 2.0
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
Armadura Inferior
2.0 3.0 4.0 3.0 2.0
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:1:100
Descrição:
Armaduras superiores e inferiores para o painel central da solução
fungiforme F22 e F22*com um vão de 7 metros
Instituto Superior Técnico
B.1.1 - Pormenorização para Laje Fungiforme F22/F22*
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
DU
CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
B.1 – Pormenorização para painéis Centrais
B.1.2 – Pormenorização para Laje Fungiforme V20
φ8//0,20
Armadura Inferior
Escala 1:100
L
L'
φ8//0,20
φ8//0,20
φ8//0,20
Armadura Superior
Escala 1:100
2φ20+2φ16 3φ20+2φ16
2φ16
2φ16
2φ20+2φ16
1.5
4.5
Est. φ8//0,20
N
N'
M
M'
1.5
Corte LL'
Escala 1:50
2φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte MM'
Escala 1:25
2φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte NN'
Escala 1:25
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:
Armaduras superiores e inferiores e respetivos cortes para painel central
de laje vigada V20 de 7 metros de vão.
No desenho
Descrição:
Instituto Superior Técnico
B.1.2 - Pormenorização para Laje Vigada V20
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
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OD
ES
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PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
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CE
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N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
B.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
B.2.1 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ12//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/4
,0
m
φ8//0,10
c/ 4 ramos
Armadura Inferior
2.0 3.0 4.0 3.0 4.0 1.5
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ16//0,20+φ12//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ20//0,20+φ10//0,20
φ20//0,20+φ10//0,20
φ20//0,20+φ12//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ12//0,20
φ16//0,20
φ10//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/4
,0
mc/4
,0
m
φ8//0,10
c/ 4 ramos
Armadura Superior
2.0 3.0 4.0 3.0 4.0 1.5
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:1:100
Descrição:
Armaduras superiores e inferiores para paineis de bordo e de canto para
a solução fungiforme F22 com 7 metros de vão.
Instituto Superior Técnico
B.2.1 - Pormenorização para Laje Fungiforme F22
PR
OD
UC
ED
B
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N A
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ES
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PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
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ES
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L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
B.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
B.2.2 – Pormenorização para Laje Fungiforme F22*
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
c/3
,0
m
φ12//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ8//0,10
c/ 4 ramos
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ12//0,20
φ12//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
c/5
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20+φ8//0,20
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/5
,0
m
c/3
,0
m
φ12//0,20
Armadura Inferior
φ10//0,20
2.0 3.0 4.0 3.0 4.0 1.5
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ16//0,20+φ12//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
φ10//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ20//0,20
φ20//0,20+φ10//0,20
φ20//0,20
φ10//0,20
φ10//0,20
φ12//0,20
φ16//0,20
c/4
,0
m
c/4
,0
m
c/5
,0
m
c/4
,0
m
φ8//0,10
c/ 4 ramos
Armadura Superior
2.0 3.0 4.0 3.0 4.0 1.5
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:1:100
Descrição:
Armaduras superiores e inferiores para paineis de bordo e de canto para
a solução fungiforme F22* com 7 metros de vão.
Instituto Superior Técnico
B.2.2 - Pormenorização para Laje Fungiforme F22*
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
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NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
DU
CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
B.2 – Pormenorização para painéis Laterais e de Canto
B.2.3– Pormenorização para Laje Vigada V20
c/ 4
,0
m
φ8//0,20
c/ 4
,0
m
φ10//0,20
φ8//0,20
Armadura Superior
OO'
Escala 1:100
2φ20+2φ16
3φ20+2φ16
3φ20+2φ16
2φ162φ16
2φ16
2φ20+2φ16
1.5
4.5
5.5
3.0
Est. φ8//0,20 Est. φ8//0,20
P
P'
Q
Q'
N
N'M'
M
Corte OO'
Escala 1:50
3φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte QQ'
Escala 1:25
2φ16
Est. φ8//0,20
3φ20+2φ16
Corte PP'
Escala 1:25
2φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte NN'
Escala 1:25
Corte MM'
Escala 1:25
2φ20+2φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:No desenho
Descrição:
Armaduras superiores para paineis de bordo e de canto para a solução
vigada V20 com 7 metros de vão
Instituto Superior Técnico
B.2.3 - Pormenorização para Laje Vigada V20
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
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NA
L P
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DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
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CE
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N A
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OD
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K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
φ8//0,20
φ8//0,20
c/ 6
,0
m
c/ 6
,0
m
φ8//0,20
Armadura Inferior
Escala 1:100
R
R'
4.0 4.0
3φ16 4φ16
4φ16
2φ162φ16
2φ16
3φ16
4.5
1.5
3.0
5.5
Est. φ8//0,20 Est. φ8//0,20
Corte RR'
Escala 1:50
U
U'
V
V'
T
T'S'
S
4φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte VV'
Escala 1:25
4φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte UU'
Escala 1:25
3φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte SS'
Escala 1:25
3φ16
Est. φ8//0,20
2φ16
Corte TT'
Escala 1:25
Requerente:
Anexo:
Nuno Bandarrinha Brandão
Escala:No desenho
Descrição:
Armaduras inferiores para paineis de bordo e de canto para a solução
vigada V20 com 7 metros de vão
Instituto Superior Técnico
B.2.3 - Pormenorização para Laje Vigada V20
PR
OD
UC
ED
B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCTP
RO
DU
CE
D B
Y A
N A
UT
OD
ES
K E
DU
CA
TIO
NA
L P
RO
DU
CT
PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT
