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AVALIAÇÃO DE METODOLOGIAS DE

DIMENSIONAMENTO DE SISTEMAS COM LAJES

FUNGIFORMES SUJEITOS À ACÇÃO SÍSMICA

João Manuel Borges Alves

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador:

Professor Doutor António José da Silva Costa

Júri

Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Professor Doutor António José da Silva Costa

Vogal: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Outubro 2014

iii

Agradecimentos

Esta dissertação, embora seja fruto de um trabalho pessoal desenvolvido durante mais um ano,

beneficiou do apoio de algumas pessoas sem as quais teria sido impossível atingir os objetivos

estabelecidos. Por esta razão lhes expresso os meus profundos agradecimentos.

Ao Professor António Costa, orientador científico desta dissertação, agradeço o incentivo, a

exigência e o apoio que sempre demonstrou, bem como a simpatia e a disponibilidade para o

esclarecimento de dúvidas.

Aos meus amigos e colegas de curso, em especial à Teresa Hazel, ao Pedro Jorge, ao Nuno

Brandão, ao Rodrigo Borges, à Mariana Gonçalves, ao João Cardoso, ao João Serra, ao João

Rocha, ao João Santana e ao Tomás Peixoto, que me acompanharam na conclusão desta etapa,

agradeço a amizade e o incentivo que sempre demonstraram, não só nesta fase mas ao longo

de todo o meu percurso académico.

Ao Pedro Silvério, Jorge Gomes, Hugo Neves, Paulo Quartilho, Miguel Gomes, Pedro Mouta e

agradeço a companhia e a amizade que tão importantes foram ao longo dos anos.

Ao meu irmão e aos meus pais agradeço a amizade e o apoio incondicional que sempre

demonstraram, mesmo nas alturas mais difíceis.

Aos Professores José Câmara, João Almeida e José Oliveira Pedro por terem contribuído para

a motivação que possuo no estudo de estruturas em betão armado.

À Cristina Ventura pela constante simpatia e disponibilidade demonstrada ao longo do meu

percurso académico.

v

Resumo

A utilização de sistemas estruturais com laje fungiforme em edifícios é relativamente frequente

em Portugal por se tratar de um sistema económico e atrativo em termos de arquitetura. Contudo,

o comportamento de sistemas estruturais deste tipo relativamente à ação sísmica ainda não está

suficientemente estudado. Os presentes códigos não contemplam este sistema estrutural como

sistema primário na resistência a esta ação em zonas com moderada e elevada sismicidade,

pelo que deve ser dimensionado como sistema estrutural secundário. Todavia, é necessário que

este sistema mantenha a sua capacidade resistente para as ações gravíticas quando sujeito aos

deslocamentos impostos pelos sismos.

Trata-se de um dimensionamento que levanta algumas dificuldades pois, em geral, é necessário

assumir um comportamento elástico para este tipo de estrutura ao qual poderá está associado o

desenvolvimento de esforços muito significativos na ligação laje-pilar. Um aspeto que tem uma

importância relevante na quantificação destes esforços é a rigidez da laje a considerar na análise

estrutural, assunto que se reveste de alguma complexidade.

A presente dissertação tem por objetivo principal a avaliação das metodologias de

dimensionamento da ligação laje-pilar sujeita à ação sísmica. Analisou-se um edifício tipo com

laje fungiforme localizado numa zona com moderada sismicidade, de modo a permitir a avaliação

deste problema.

Para simular o comportamento do sistema fungiforme adotou-se um modelo de viga com largura

efetiva para a avaliação do esforço de corte e a capacidade de transferência de momentos das

ligações laje-pilar sujeitas a cargas laterais.

Discutem-se e apresentam-se 3 metodologias de análise do edifício em estudo. Em cada análise

o tipo de modelação e os valores de rigidez efetiva atribuídos a cada elemento estrutural variam.

Caso a segurança ao punçoamento não se verifique, procura-se discutir e equacionar uma

solução a nível global e a nível local que evite a rotura por punçoamento desta ligação.

Verificou-se que os esforços obtidos na ligação laje-pilar são significativamente influenciados

pela rigidez de flexão considerada para a laje e para a estrutura sísmica primária. A consideração

de uma rigidez efetiva devidamente aferida para simular o comportamento estrutural sob a ação

dos sismos é essencial para um dimensionamento adequado da laje ao punçoamento.

Palavras-chave:

Dimensionamento sísmico, Laje Fungiforme, Rigidez efetiva, Punçoamento

vii

Abstract

Flat-slab buildings are very popular in Portugal due to the economy of the structural system and

the architectural versatility. Though the behavior of this systems under seismic action is not well

known. The present codes do not contemplate this system as a primary lateral resisting system

in moderate and high seismic regions. However it is necessary that this system maintain his

capacity for gravity loads while lateral displacements are induced during an earthquake.

In the design of this systems, normally it is necessary the assumption of an elastic behavior, which

increase the stresses in the slab-column connection. Also, a relevant aspect in the quantification

of the stresses in the slab, is the stiffness considered in the analysis being done.

The main objective of this study is to evaluate the design methodologies of the slab-column

connection for lateral loading. To evaluate this problem a flat-slab building under high seismic

loading was analyzed.

To simulate the behavior of the flat-slab system an effective slab width method was chosen to

predict the shear and unbalanced moment-transfer capacities of the slab-column connections

under lateral loading.

It is discussed and presented three approaches for analyzing the building. Each analysis differ on

the way of modeling and the values of the effective stiffness given for each structural member of

the building. In case of punching failure, a global and local solution is developed.

It is noted that the stresses in the slab-column connection are extremely influenced by the flexure

stiffness adopted for the slab and the primary seismic structure. An accurate effective stiffness

estimative to simulate the behavior of the structure under seismic loading is essential for a good

slab design against punching failure.

Keywords:

Seismic design, Flat Slab, punching, effective stiffness.

ix

Índice geral

Agradecimentos ........................................................................................................................... i

Resumo ........................................................................................................................................ v

Palavras-chave: ........................................................................................................................... v

Abstract ...................................................................................................................................... vii

Keywords: .................................................................................................................................. vii

Índice geral .................................................................................................................................. ix

Índice de figuras ....................................................................................................................... xiii

Índice de tabelas ..................................................................................................................... xvii

Simbologia ................................................................................................................................ xix

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 1

1.1 Enquadramento Geral ................................................................................................... 1

1.2 Objetivo da dissertação ................................................................................................. 2

1.3 Organização do documento .......................................................................................... 2

2 Revisão da literatura .......................................................................................................... 5

2.1 Introdução ...................................................................................................................... 5

2.2 Resistência ao Punçoamento ........................................................................................ 5

2.2.1 Resistência ao Punçoamento de Lajes Fungiformes sob Carregamento Cíclico . 9

2.3 Modelos de Análise de Lajes Fungiforme ................................................................... 12

2.3.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318) ...................................................... 14

2.3.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva ................................................... 16

2.3.2.1 Fator de largura efetiva ............................................................................... 16

2.3.3 Análise por Pórticos Equivalentes (EC2) ............................................................ 20

2.3.4 Rigidez ................................................................................................................. 21

2.3.4.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318) .............................................. 21

2.3.4.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva ........................................... 22

2.3.5 Modelo utilizado ................................................................................................... 29

2.4 Ligações Laje-Parede ................................................................................................. 31

3 Descrição do Caso de Estudo ......................................................................................... 33

3.1 Introdução .................................................................................................................... 33

x

3.2 Caracterização da Estrutura ........................................................................................ 33

3.2.1 Definição das ações ............................................................................................ 35

3.2.1.1 Ações permanentes ..................................................................................... 35

3.2.1.2 Ações variáveis ........................................................................................... 35

3.2.1.3 Ação sísmica ............................................................................................... 35

3.2.2 Combinação de ações ......................................................................................... 36

4 Modelação e Análise do Edifício ..................................................................................... 39

4.1 Introdução .................................................................................................................... 39

4.2 Metodologia 1 .............................................................................................................. 40

4.3 Metodologia 2 .............................................................................................................. 44

4.3.1 Fator de Largura Efetiva de Laje ......................................................................... 44

4.3.2 Fator de Redução de Rigidez .............................................................................. 47

4.4 Metodologia 3 .............................................................................................................. 54

4.4.1 Pilares .................................................................................................................. 55

4.4.2 Paredes ............................................................................................................... 59

4.4.2.1 Paredes da zona de escadas. ..................................................................... 59

4.4.2.2 Núcleo de Elevadores ................................................................................. 61

4.4.3 Viga de bordo ...................................................................................................... 66

4.4.4 Síntese ................................................................................................................ 67

5 Resultados ........................................................................................................................ 69

5.1 Introdução .................................................................................................................... 69

5.2 Resistência .................................................................................................................. 69

5.3 Resultados ................................................................................................................... 71

6 Solução Geral e Dimensionamento Local ...................................................................... 77

6.1 Introdução .................................................................................................................... 77

6.2 Reforço ........................................................................................................................ 77

6.3 Resultados ................................................................................................................... 79

7 Conclusões ....................................................................................................................... 85

8 Referências bibliográficas ............................................................................................... 87

ANEXOS ..................................................................................................................................... 89

ANEXO A .................................................................................................................................... 90

xi

ANEXO B .................................................................................................................................... 94

ANEXO C .................................................................................................................................... 95

xiii

Índice de figuras

Figura 2.1 – Laje sujeita ao fenómeno do punçoamento (Marchão e Appleton [10]). .................. 6

Figura 2.2 – Perímetros de controlo de lajes fungiformes para alguns pilares (Marchão e Appleton

[10]). .............................................................................................................................................. 6

Figura 2.3 – Distribuição de tensões tangenciais devido a um momento não equilibrado na ligação

laje-pilar interior (EC2-1-6.4.3). ..................................................................................................... 7

Figura 2.4 – Esquema da distribuição da armadura de punçoamento (Marchão e Appleton) ..... 8

Figura 2.5 – Comportamento pós-punçoamento da ligação laje-pilar (Pan e Moehle 1992). ...... 9

Figura 2.6 – Modelo de degradação da resistência ao corte proposto por Kang e Wallace (2006)

em ligações laje-pilar interiores sem reforço com armadura de punçoamento. ......................... 11

Figura 2.7 – Efeito do carregamento gravítico no nível de deslocamentos entre pisos (Pan e

Moehle 1992)............................................................................................................................... 12

Figura 2.8 – Evolução da capacidade de deformação de 4 ligações laje-pilar com o aumento do

carregamento (Pan e Moehle 1992). .......................................................................................... 13

Figura 2.9 – Largura do pórtico equivalente de acordo com o ACI 318. .................................... 15

Figura 2.10 – Exemplo de um membro torsional de acordo com o ACI 318. ............................. 15

Figura 2.11 – Aplicação do fator de largura efetiva da laje. ........................................................ 16

Figura 2.12 – Modelo de viga com largura efetiva (Luo e Durrani 1993). .................................. 17

Figura 2.13 – Sumário do fator de largura efetiva da laje para cargas laterais por Vanderbilt e

Corley, 1983. ............................................................................................................................... 17

Figura 2.14 – Secção efectiva da viga de bordo de acordo com ACI 318 (2005) [4]. ................ 19

Figura 2.15 – Análise por pórticos equivalentes (EC2). .............................................................. 20

Figura 2.16 – Comparação entre o modelo dos pórticos equivalentes e os resultados

experimentais (Pan e Moehle 1992). .......................................................................................... 21

Figura 2.17 – Comparação entre o modelo de viga com largura efetiva e os resultados

experimentais (Pan e Moehle 1992). .......................................................................................... 23

Figura 2.18 – Secção crítica de esforço transverso para um pilar (ACI 318). ............................ 24

Figura 2.19 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva proposto por Luo e Durrani (1995)

..................................................................................................................................................... 25

Figura 2.20 – Fatores de redução de rigidez da laje (β) para ligações interiores obtidos pelos

resultados de testes analisados e pelas fórmulas (Han e Park 2009) ........................................ 27

Figura 2.21 – Fatores de redução de rigidez da laje (β) para ligações exteriores obtidos pelos

resultados de testes analisados e pelas fórmulas (Han e Park 2009) ........................................ 27

Figura 2.22 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva de Han e Park ........................ 28

Figura 2.23 – Curvas envolventes e curvas obtidas com as equações para o fator de redução de

rigidez de duas ligações laje-pilar testadas (espécime RI – 50 interior e espécime RE – 50

exterior) sujeitas a cargas laterais (Han e Park 2009). ............................................................... 28

Figura 2.24 – Curvas envolventes e curvas obtidas com as equações para o fator de redução de

rigidez de duas lajes fungiformes com dois vãos sujeitas a cargas laterais sujeitas a cargas

laterais (Han e Park 2009). ......................................................................................................... 29

xiv

Figura 2.25 – Cálculo de viga com largura efetiva para pórticos de laje com vão perpendicular ao

comprimento da parede. ............................................................................................................. 31

Figura 2.26 – Cálculo de viga com largura efetiva para pórticos de laje com vão paralelo ao

comprimento da parede. ............................................................................................................. 32

Figura 3.1 – Planta geral do edifício usado caso de estudo. ...................................................... 34

Figura 3.2 – Espectros de resposta do sismo tipo 1 com coeficientes de comportamento 2,0 e

1,5. ............................................................................................................................................... 36

Figura 4.1 – Visão 3D dos elementos verticais e viga de bordo do edifício. .............................. 40

Figura 4.2 – Largura efetiva do banzo da viga de bordo segundo as considerações do Eurocódigo

8. .................................................................................................................................................. 41

Figura 4.3 – Planta do edifício com as recomendações da análise por pórticos equivalentes

presente no Eurocódigo 2. .......................................................................................................... 42

Figura 4.4 – Largura elástica dos pórticos laje segundo a direção x recorrendo às recomendações

do Eurocódigo 2. ......................................................................................................................... 42

Figura 4.5 – Largura elástica dos pórticos laje segundo a direção y recorrendo às recomendações

do Eurocódigo 2. ......................................................................................................................... 43

Figura 4.6 – Esquema de divisão dos elementos retangulares no membro torsional para o cálculo

da constante C. ........................................................................................................................... 46

Figura 4.7 – Planta do edifício em estudo com as vigas de largura efetiva (β*α*l2) calculadas

segundo a metodologia proposta por Han e Park (2009). .......................................................... 49

Figura 4.8 – Valores da largura efetiva (β*α*l2) para os pórticos de laje na direção X. .............. 51

Figura 4.9 – Valores da largura efetiva (β*α*l2) para os pórticos de laje na direção Y. .............. 52

Figura 4.10 – Metodologia de cálculo da rigidez efetiva para vigas. .......................................... 54

Figura 4.11 – Metodologia de cálculo da rigidez efetiva para pilares e paredes. ....................... 55

Figura 4.12 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares centrais (piso 0). ........................................ 55



Figura 4.15 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de bordo (piso 0). ...................................... 57

Figura 4.16 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de bordo (piso 4). ...................................... 57

Figura 4.17 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de canto (piso 0). ...................................... 58

Figura 4.18 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de canto (piso 4). ...................................... 58

Figura 4.19 – Parede da zona de escadas. ................................................................................ 59

Figura 4.20 – Cálculo da rigidez efetiva da parede da zona de escadas. .................................. 60

Figura 4.21 – Direções principais de momentos no núcleo. ....................................................... 61

Figura 4.22 – Parede de maior inércia na direção de momentos M33. ...................................... 61

Figura 4.23 - Paredes de maior inércia na direção de momentos M22. ..................................... 62

Figura 4.24 – Secção equivalente do núcleo de elevadores para a direção de momentos M33.

..................................................................................................................................................... 63


..................................................................................................................................................... 64

xv

Figura 4.26 - Curva momento-curvatura para os momentos M33 do núcleo. ............................ 64

Figura 4.27 - Curva momento-curvatura para os momentos negativos M22 do núcleo. ............ 65

Figura 4.28 - Curva momento-curvatura para os momentos positivos M22 do núcleo. ............. 65

Figura 4.29 – Secção equivalente da viga de bordo. .................................................................. 66

Figura 4.30 – Cálculo da rigidez efetiva da viga de bordo (momentos negativos). .................... 66

Figura 4.31 – Cálculo da rigidez efetiva da viga de bordo (momentos positivos). ..................... 67

Figura 5.1 – Deslocamentos máximos no topo de um pórtico obtidos sem a participação dos

elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2). ............................................................... 70

Figura 5.2 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia

1 (direção X). ............................................................................................................................... 72

Figura 5.3 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a

Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção X). ........................................ 73


1 (direção Y). ............................................................................................................................... 74


Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção Y). ........................................ 75

Figura 6.1 –Planta do edifício com paredes de reforço (solução de reforço geral). ................... 77


1 (direção X). ............................................................................................................................... 80


Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção X). ........................................ 81


1 (direção Y). ............................................................................................................................... 82


Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção Y). ........................................ 83

xvii

Índice de tabelas

Tabela 3.1 - Dimensões dos pilares e vigas de bordo. ............................................................... 34

Tabela 3.2 – Materiais considerados no caso de estudo. ........................................................... 34

Tabela 3.3 – Valores do carregamento gravítico do edifício. ...................................................... 37

Tabela 4.1 - Fatores de rigidez de laje para ligações interiores do caso de estudo calculadas com

as fórmulas de Banchick e Luo e Durrani. .................................................................................. 45

Tabela 4.2 - Fatores de largura efetiva de laje (α), fatores de redução de rigidez (β) e larguras

efetivas das vigas (β*α*l2) para as ligações interiores e exteriores segundo a direção de análise

X. ................................................................................................................................................. 49

Tabela 4.3 - Fatores de largura efetiva de laje (α), fatores de redução de rigidez (β) e larguras

efetivas das vigas (β*α*l2) para as ligações interiores e exteriores segundo a direção de análise

Y. ................................................................................................................................................. 50

Tabela 4.4 - Relação EIeff/EI dos pilares centrais, de bordo e de canto da estrutura. ................ 58

Tabela 4.5 - Dimensões da parede. ............................................................................................ 59

Tabela 4.6 - Condições para o comprimento do pilar fictício. ..................................................... 60

Tabela 4.7 - Relação EIeff/EI da parede da zona de escadas da estrutura. ............................... 60

Tabela 4.8 - Dimensões da parede de maior dimensão do núcleo. ........................................... 61

Tabela 4.9 - Condições para o comprimento do pilar fictício. ..................................................... 62

Tabela 4.10 - Dimensões da parede de maior dimensão do núcleo. ......................................... 62

Tabela 4.11 - Condições para o comprimento do pilar fictício. ................................................... 63

Tabela 4.12 - Relação EIeff/EI do núcleo de elevadores da estrutura. ........................................ 65

Tabela 4.13 - Relação EIeff/EI do núcleo de elevadores da estrutura. ........................................ 67

Tabela 4.14 - Relação EIeff/EI dos elementos da estrutura primária do edifício. ........................ 67

Tabela 5.1 – Valores para o perímetro de controlo u1 e altura útil d da laje. .............................. 69

Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos sem a participação dos

elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2) para as diferentes metodologias. .......... 71

Tabela 5.3 - Tensão de punçoamento resistente e atuante para as diferentes Metodologias

(direção X). .................................................................................................................................. 72

Tabela 5.4 - Tensão de punçoamento resistente e atuante para as diferentes Metodologias

(direção Y). .................................................................................................................................. 74

Tabela 6.1 - Deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos sem a participação dos

elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2) para as diferentes metodologias. .......... 79

Tabela 6.2 - Tensão de punçoamento resistente e atuante e área total de armadura de

punçoamento para as diferentes Metodologias (direção X). ...................................................... 80

Tabela 6.3 - Tensão de punçoamento resistente e atuante e área total de armadura de

punçoamento para as diferentes Metodologias (direção Y). ...................................................... 82

xix

Simbologia

1c Dimensão do pilar na direção do carregamento.

2c Dimensão do pilar na direção perpendicular ao carregamento.

1l Dimensão do vão da laje na direção do carregamento.

2l Dimensão do vão da laje na direção perpendicular ao carregamento.

sdv Tensão atuante de punçoamento (MPa).

max,Rdv Tensão limite máxima de punçoamento.

d Altura útil da laje.

cRdC ,

Parâmetro do cálculo da resistência ao punçoamento com valor

recomendado ccRdC /18,0, , 5,1c (EC2).

k Parâmetro do cálculo da resistência ao punçoamento dk /2001 .

ckf Tensão característica do betão à compressão (em MPa).

iu Perímetro de controlo considerado para a laje.

sdV Esforço de corte atuante na ligação laje-pilar.

zb ,yb Dimensões do perímetro de controlo considerado em cada direção.

ye , ze Excentricidades em cada direção, dadas pela relação entre sdsd VM / .

sdM Variação de momentos desequilibrados na ligação laje-pilar.

gV Nível de esforço de corte na ligação (simbologia ACI 318 (2005)).

oV Resistência ao corte por punçoamento (ACI 318 (2005)).

'

cf Tensão característica de resistência do betão á compressão (simbologia

ACI 318).

0b Perímetro de controlo (ACI 318 (2005)).

sK Rigidez de flexão da laje.

tK Rigidez de torsão dada pelo ACI 318 (2005).

dK Fator que estima a degradação da viga com largura efetiva de acordo com o

nível de deslocamento entre pisos.

h Altura da laje.

FPK Fator que tem em conta o tipo de ligação em causa (1,0 para ligações

interiores, 0,8 para ligações exteriores e 0,6 para ligações de canto)

cA Área da secção crítica da laje dada pelo produto do perímetro de controlo

pela altura útil da laje db 0 (ACI 318).

xx

eI Momento de inercia efetivo de vigas especificado no ACI 318 (2005).

aM Momento aplicado nas vigas.

crM Momento de fendilhação da secção da viga.

gI Momento de inercia da secção.

crI Momento de inercia da secção fendilhada.

β Fator de redução da rigidez em lajes fungiformes.

Fator de redução da resistência ao corte do betão fendilhado, podendo ser

calculado através da expressão 250/16,0 ckf .

l Taxa média de armadura na laje.

cp Tensão normal no betão na secção crítica/perímetro de controlo (MPa).

Coeficiente de Poisson.

Fator de redução de rigidez devido à presença de cargas gravíticas.

1 Deslocamento máximo no topo do edifício obtidos na estrutura sem a

participação dos elementos secundários.

2 Deslocamento máximo no topo do edifício obtidos na global.

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Enquadramento Geral

A utilização de sistemas estruturais com laje fungiforme em betão armado em edifícios é

relativamente frequente em Portugal. As lajes fungiformes possuem muitas vantagens em termos

de flexibilidade arquitetural, uso de espaço, cofragem e tempo de construção, tornando-as muito

competitivas relativamente às restantes opções.

Para cargas verticais as lajes fungiformes possuem um funcionamento que está bem

estabelecido e documentado. Contudo o seu comportamento relativamente à ação sísmica ainda

não é plenamente compreendido existindo algumas incertezas. O Eurocódigo 8 (EC8-1) [8] não

contempla este sistema estrutural como sistema primário na resistência à ação sísmica em zonas

com moderada e elevada sismicidade, pelo que deve ser dimensionado como sistema estrutural

secundário. Todavia, é necessário que este sistema mantenha a sua capacidade resistente para

às ações gravíticas quando sujeito aos deslocamentos impostos pelos sismos. A zona de ligação

laje-pilar tem assim de possuir suficiente resistência ao corte para conseguir suportar uma grande

deformação sem que ocorra rotura por punçoamento. Outras recomendações da atual norma

são o uso de elementos resistentes para cargas laterais (paredes resistentes e pórticos), de

modo a permitir a limitação dos esforços nestas zonas, e o reforço com armadura longitudinal

inferior junto ao pilar, de modo a criar um mecanismo secundário de resistência para que no caso

de ocorrer rotura por punçoamento num dos pilares, e assim evitar um colapso progressivo da

laje. Grande parte dos edifícios antigos não verifica nenhum destes três aspetos, em especial o

último. O desconhecimento do comportamento das lajes fungiformes relativamente a cargas

sísmicas pode então levar a graves consequência em termos de segurança, reforçando assim a

necessidade de se entender bem a resistência sísmica destes sistemas e adotar técnicas que

melhorem a sua análise e desempenho.

Um problema com que os projetistas se deparam é a forma como devem abordar o

dimensionamento deste tipo de estrutura sob a ação dos sismos. Trata-se de um

dimensionamento que levanta algumas dificuldades pois, em geral, é necessário assumir um

comportamento elástico para este tipo de estrutura ao qual poderá está associado o

desenvolvimento de esforços muito significativos na ligação laje-pilar. Um aspeto que tem uma

importância relevante na quantificação destes esforços é a rigidez da laje a considerar na análise

estrutural, assunto que se reveste de alguma complexidade.

2

1.2 Objetivo da dissertação

A presente dissertação tem por objetivo principal analisar os resultados de diferentes

metodologias de dimensionamento da ligação laje-pilar sujeita à ação sísmica. Para isso, foi

modelado um edifício tipo com laje fungiforme maciça recorrendo a elementos finitos de barra e

sujeito a um sismo de elevada intensidade, de modo a permitir uma boa avaliação deste

problema.

O estudo efetuado envolve a revisão dos modelos existentes na literatura que permitam a

modelação e avaliação correta do esforço de corte e da capacidade de transferência de

momentos das ligações laje-pilar sujeitas a cargas laterais. Estes modelos têm por base o

trabalho feito até à data por vários investigadores nesta matéria.

Pretende-se apresentar e comparar 3 metodologias de análise do edifício em estudo. Em cada

análise o tipo de modelação e os valores de rigidez efetiva atribuídos a cada elemento estrutural

variam.

Procura-se discutir o efeito que as abordagens consideradas apresentam na verificação da

segurança à rotura por punçoamento da laje. Caso a segurança ao punçoamento não se

verifique, discute-se e equaciona-se uma solução a nível global e a nível local que evite a rotura

por punçoamento da ligação laje-pilar.

1.3 Organização do documento

A presente dissertação encontra-se dividida em sete capítulos:

No primeiro capítulo é feita uma breve introdução ao tema em estudo nesta dissertação. São

referidos os principais objetivos que se pretendem alcançar.

No segundo capítulo efetua-se uma revisão bibliográfica sobre as considerações de resistência

das ligações laje-pilar face ao fenómeno do punçoamento. É feita referência também à

degradação da resistência ao punçoamento para ações cíclicas. Neste capítulo são ainda

enunciados os modelos práticos de análise de ligações laje-pilar em estruturas com lajes

fungiformes sob ação sísmica existentes, dando-se especial destaque aos conceitos de viga com

largura efetiva e rigidez efetiva. Por último faz-se referência ao tema da ligação laje-parede.

No terceiro capítulo é apresentado em pormenor o edifício usado como base para o estudo

realizado.

3

No quarto capítulo são apresentadas as metodologias usadas para a avaliação e análise do

edifício. Descreve-se detalhadamente as considerações de rigidez para cada elemento

estrutural.

No quinto capítulo são apresentados os resultados obtidos para os esforços nas ligações laje-

pilar em cada metodologia descrita no capítulo anterior. Efetua-se uma análise comparativa dos

resultados das diferentes metodologias.

No sexto capítulo são descritas as soluções a nível global e local que foram adotadas para evitar

a rotura por punçoamento das ligações laje-pilar.

No quinto capítulo é feita uma síntese das principais conclusões da dissertação.

5

2 Revisão da literatura

2.1 Introdução

Como ponto de partida para este estudo, as considerações de resistência das ligações laje-pilar

face ao fenómeno do punçoamento dos códigos atuais são revistas. São avaliadas as condições

de verificação de segurança destas ligações e apresentadas as metodologias de

dimensionamento disponíveis para aplicação. É ainda feita referência à degradação da

resistência ao punçoamento para ações cíclicas.

De seguida faz-se a contextualização dos modelos atuais e usados na prática para a análise da

laje, apresentando os aspetos mais relevantes da pesquisa bibliográfica. Enunciam-se vários

estudos de diferentes autores que contribuíram para o desenvolvimento e conhecimento do

tema. É dada especial atenção aos conceitos de viga com largura efetiva e rigidez efetiva da laje.

Por fim é referido qual o modelo escolhido para modelar a laje e justificado o porquê da sua

escolha quando comparado com os restantes modelos. O tema da ligação laje-parede é também

abordado.

2.2 Resistência ao Punçoamento

Uma das principais condicionantes no dimensionamento de lajes fungiformes é o estado limite

último de punçoamento. Este fenómeno está associado a uma rotura frágil da laje quando esta

está sujeita a forças distribuídas em pequenas áreas. No caso de ocorrência de rotura por

punçoamento num dos pilares da estrutura, irá haver a transferência do carregamento deste pilar

para os pilares vizinhos, podendo dar origem a um colapso progressivo da estrutura. Esta

ocorrência põe seriamente em causa a segurança da estrutura, justificando-se a necessidade de

uma avaliação correta da resistência e dos esforços atuantes na ligação laje-pilar. A Figura 2.1

ilustra a formação de fendas durante o fenómeno do punçoamento de uma laje fungiforme.

6

Figura 2.1 – Laje sujeita ao fenómeno do punçoamento (Marchão e Appleton [10]).

Segundo o Eurocódigo 2, a resistência ao punçoamento deverá ser verificada no perímetro de

contorno do pilar e no perímetro de controlo u1. Por definição, o perímetro de controlo u1

corresponde à linha fechada que envolve a área carregada a uma distância não inferior a 2d e

cujo perímetro é mínimo (Marchão e Appleton [10]), em que d corresponde à altura útil da laje. A

Figura 2.2 ilustra alguns exemplos de perímetros de controlo para alguns pilares.

Figura 2.2 – Perímetros de controlo de lajes fungiformes para alguns pilares (Marchão e Appleton [10]).

O valor de cálculo da resistência ao punçoamento é dada pela seguinte expressão (2.1) presente

no Eurocódigo 2 (EC2-1-6.4.4) [7]:

cpcklcRdcRd kfkCv 1

3/1

,, )100(

(2.1)

Onde ccRdC /18,0, ( 5,1c ); dk /2001 , sendo d a altura útil da laje; ckf é a tensão

característica do betão à compressão (em MPa); lzlyl . , sendo ly e lz as taxas

médias de armadura de flexão em cada direção; cp é dado pela expressão

2/)( czcycp , onde czcy , são as tensões normais no betão na secção crítica nas

direções y e z (MPa).

7

A tensão de punçoamento atuante no perímetro de controlo é dada pela expressão (2.2) presente

no Eurocódigo 2 (EC2-1-6.4.3).

du

Vv

i

sd

sd.

(2.2)

Onde iu corresponde ao perímetro de controlo considerado, d representa a altura útil da laje e

sdV é o esforço de corte atuante na ligação. Existem várias expressões para o cálculo do

parâmetro . O valor de é igual a 1,0 para cargas solicitantes centradas em relação ao pilar.

Para pilares retangulares interiores em que a carga é excêntrica em relação aos dois eixos da

ligação, a expressão (2.3) é a recomendada pelo Eurocódigo 2 (EC2-1-6.4.3).

22

8,11

y

z

z

y

b

e

b

e

(2.3)

Onde zb e yb representam as dimensões do perímetro de controlo considerado e

ye e ze

correspondem às excentricidades dadas por sdsd VM / em cada eixo. A Figura 2.3 ilustra a

distribuição de tensões tangenciais devido a um momento não equilibrado na ligação laje-pilar

interior (EC2-1-6.4.3).

Figura 2.3 – Distribuição de tensões tangenciais devido a um momento não equilibrado na ligação laje-pilar interior (EC2-1-6.4.3).

O ideal no dimensionamento da laje fungiforme é que as dimensões do pilar e a espessura da

laje sejam tal, que não seja necessário o uso de armaduras de punçoamento. Em muitos casos,

recorre-se ao uso de capitéis caso não seja verificada a segurança ao punçoamento com uma

espessura de laje económica. Contudo, é sabido que as ações sísmicas, em sistemas estruturais

com lajes fungiformes, aumentam a excentricidade da carga a transmitir ao pilar, agravando as

características resistentes por punçoamento (Marchão e Appleton). Nestes casos não existe

8

alternativa senão usar armadura de punçoamento. A área total de armadura transversal de

punçoamento é dada pela expressão (2.4) presente no Eurocódigo 2:

dusenf

vvA

efywd

cRdcsRd

sp .)75,0(

1

,

,,

(2.4)

Onde df efywd 25,0250, (MPa), com d em mm; é a inclinação dos estribos. No caso de

se adotar armadura de punçoamento, é necessário que a tensão de punçoamento atuante no

contorno do pilar não ultrapasse valor máximo estabelecido pela expressão (2.5).

cdRdsd fvv ..5,0max, (2.5)

Onde é um fator de redução da resistência do betão fendilhado, podendo ser calculado através

da expressão 250/16,0 ckf , onde ckf é a tensão característica do betão à compressão

(em MPa). Este limite máximo serve para limitar as compressões no betão no modelo de escoras

e tirantes de resistência ao esforço transverso (idêntico ao que se realiza nas vigas com a

verificação da tensão máxima de compressão no betão). A Figura 2.4 apresenta um esquema

da distribuição da armadura de punçoamento retirado do documento Estruturas de Betão 2 por

Marchão e Appleton [10].

Figura 2.4 – Esquema da distribuição da armadura de punçoamento (Marchão e Appleton)

Existe ainda uma outra armadura que é de boa prática adotar como mecanismo secundário de

resistência ao punçoamento. Pan e Moehle [23] em 1992 apresentaram um estudo no qual 4

ligações laje-pilar foram ensaiadas sob a ação combinada de carregamento gravítico e lateral. O

comportamento pós-rotura por punçoamento foi investigado de modo a provar a adequabilidade

do uso de armadura inferior sobre o pilar. O estudo foi conclusivo de que a armadura inferior

junto ao pilar suspende eficazmente a laje após a rotura por punçoamento e permite que a ligação

9

laje-pilar sustenha as cargas gravíticas para ciclos de carregamento lateral posteriores. A Figura

2.5 apresenta o comportamento pós-punçoamento da ligação laje-pilar publicado no estudo de

Pan e Moehle. Nesta figura é evidenciada o mecanismo de resistência do tipo ferrolho da

armadura inferior.

Figura 2.5 – Comportamento pós-punçoamento da ligação laje-pilar (Pan e Moehle 1992).

Esta armadura deve ser colocada diretamente acima do pilar na laje fungiforme de modo a

prevenir o colapso progressivo no caso de ocorrência de rotura por esforço transverso da ligação

laje-pilar.

2.2.1 Resistência ao Punçoamento de Lajes Fungiformes sob

Carregamento Cíclico

Os requisitos de dimensionamento ao punçoamento de lajes fungiformes sujeitas a cargas

gravíticas e laterais em regiões de baixa sismicidade estão bem estabelecidos no Eurocódigo 2.

A rotura por punçoamento na ligação laje-pilar ocorre quando a tensão de corte dentro do

perímetro de controlo, devido ao esforço de corte direto (cargas gravíticas) e esforço de corte

excêntrico (desequilíbrio de momentos), excede a tensão de corte resistente definida pela

equação (2.1). Contudo, para lajes fungiformes em regiões de elevada sismicidade é possível

ocorrer a rotura por punçoamento mesmo que a tensão de corte atuante no perímetro de controlo

não exceda a tensão de corte resistente relativa a ações monotónicas.

Nestes casos é posta a hipótese da degradação da resistência ao corte da laje no perímetro de

controlo causada pelo carácter cíclico da ação. A rotura por punçoamento irá ocorrer quando

existe degradação da tensão de corte resistente até um certo valor que iguala a tensão de corte

10

atuante no perímetro de controlo. Esta degradação da resistência ao corte nas lajes fungiformes

não está contemplada nos requisitos de dimensionamento presentes no Eurocódigo 2.

De modo a ultrapassar esta dificuldade, em 1996 Moehle [20] propôs a utilização de um modelo

de degradação da resistência ao corte na avaliação da capacidade de deformação lateral de

ligações laje-pilar levadas à rotura por punçoamento. A deformação lateral é traduzida pelo

deslocamento relativo entre pisos. Nesta abordagem assume-se que o deslocamento entre pisos

é igual à rotação da laje. A rotação da laje é determinada por )( yu , onde a rotação da

laje na cedência (y ) é aproximadamente )2400/(1 hl , sendo 1l e h o vão e espessura da laje

respetivamente, e é obtido a partir da relação cg VV / usando o modelo de degradação da

resistência ao corte para pilares de pontes em betão armado proposto por Aschheim e Moehle

(1992) [1], onde gV corresponde ao nível de esforço de corte atuante na ligação, e cV

corresponde à resistência nominal do betão ao punçoamento sem armaduras de punçoamento

para cargas monotónicas (ACI 318 2005 [4]). O modelo foi aplicado a 23 ligações laje-pilar

interiores isoladas e a 3 ligações laje pilar interiores isoladas com pré-esforço. O modelo proposto

por Aschheim e Moehle usa dois parâmetros, o valor da ductilidade em deslocamento para a

qual se inicia degradação da resistência ao corte (1, ) e a taxa a que a resistência ao corte se

degrada (m ).

Em 2006 Kang e Wallace (2006) [15] reviram os resultados obtidos por Moehle (1996) ao aplicar

o modelo de Aschheim e Moehle (1992) a 45 ligações laje-pilar interiores isoladas sem reforço

com armadura de punçoamento (testadas anteriormente a 2006). Usando os dados dos testes

das diferentes ligações, foram obtidos valores para a ductilidade de deslocamento para a qual

se inicia degradação da resistência ao corte ( 11, ) e para a taxa a que a resistência ao corte

se degrada ( 3/1m ). A Figura 2.6 apresenta o modelo de degradação da resistência ao corte

obtido.

11

Figura 2.6 – Modelo de degradação da resistência ao corte proposto por Kang e Wallace (2006) em ligações laje-pilar interiores sem reforço com armadura de punçoamento.

nV corresponde à resistência nominal ao punçoamento dada pela expressão do ACI 318 (2005)

[4] scn VVV onde

sV é a resistência nominal ao punçoamento dada pela armaduras de

reforço ao punçoamento. Neste caso como as ligações laje-pilar usadas não possuem armadura

de reforço ao corte, sV é nulo.

De referir que os parâmetros obtidos por Kang e Wallace para ligações laje-pilar interiores sem

armadura de reforço ao corte são bastante similares aos usados ( 11, , 5,3/1m ) no

modelo para os pilares de pontes proposto por Aschheim e Moehle, não havendo assim alteração

na tendência geral do modelo.

Este modelo apresenta grande utilidade no dimensionamento de novas construções ao permitir

avaliar a resistência ao punçoamento de ligações laje-pilar interiores sem reforço com armadura

de corte sujeitas à ação sísmica.

12

2.3 Modelos de Análise de Lajes Fungiforme

Vários métodos analíticos incluindo o método dos elementos finitos, métodos dos pórticos

equivalentes e o modelo de viga com largura efetiva têm sido usados para analisar edifícios com

laje fungiforme sujeitos a cargas gravíticas e laterais estáticas. Contudo a sua utilização é muitas

vezes incorreta, não havendo preocupação na calibração precisa da rigidez da laje, o que pode

levar a resultados que se afastam da realidade.

Pan e Moehle [22] e [23], nos seus estudos publicados em 1989 e 1992 provaram que o nível de

carregamento gravítico é uma das principais variáveis a afetar o comportamento lateral de lajes

fungiformes em betão armado. Foi observado que à medida que o esforço de corte devido a

cargas gravíticas aumenta, a resistência, rigidez e capacidade para suportar deslocamentos das

lajes testadas diminuía. A Figura 2.7 mostra a relação entre as cargas gravíticas e capacidade

de deformação lateral traduzida pelo deslocamento entre pisos apresentado pelos autores para

ligações laje-pilar testadas anteriormente a 1989 e para as 4 ligações testadas pelos autores em

1992 (detalhes dos espécimes testados estão presentes no Anexo A deste documento).

Figura 2.7 – Efeito do carregamento gravítico no nível de deslocamentos entre pisos (Pan e Moehle 1992).

Onde gV corresponde ao nível de esforço de corte na ligação. Atualmente no ACI 318 (2005) [4]

oV foi substituído por cV que corresponde à resistência nominal do betão ao punçoamento sem

a existência de armadura de punçoamento. No estudo realizado por Pan e Moehle foi usada a

expressão presente no ACI 318 (2005) para lajes sem pré-esforço: '4 coc fdbV , onde

'

cf

corresponde ao valor característico da resistência do betão á compressão, 0b é o perímetro de

controlo e d é a altura útil da laje. O gráfico apresentado mostra claramente uma tendência na

13

diminuição da capacidade da ligação laje-pilar para suportar deslocamentos com o aumento do

nível de esforço de corte.

Foi também provado no estudo realizado por Pan e Moehle em 1992 que para carregamentos

laterais biaxiais (carregamento com múltiplas direções que simula a ação do sismo/vento) a

rigidez da laje é bastante afetada. A Figura 2.8 mostra a capacidade de deslocamento das 4

ligações testadas com o aumento do carregamento lateral, apresentado nesse estudo.

Figura 2.8 – Evolução da capacidade de deformação de 4 ligações laje-pilar com o aumento do carregamento (Pan e Moehle 1992).

Do gráfico é possível concluir que à medida que o carregamento lateral aumenta, o

comportamento da estrutura afasta-se do comportamento em regime elástico (β=1). Além disso,

foi também provado que para carregamentos biaxiais correspondentes às ligações 2 e 4, a

redução da rigidez é superior à obtida para carregamentos uniaxiais correspondendo às ligações

1 e 3 (iguais a 2 e 4 respetivamente mas diferindo no tipo de carregamento lateral).

Mesmo para sismos de moderada intensidade, os esforços a que a laje está sujeita ultrapassam

os valores para os quais ocorre fendilhação do betão, fator que influencia muito a rigidez da laje.

O uso de uma análise elástica linear leva à obtenção de esforços muito superiores aos que na

realidade a laje está sujeita. Os edifícios com laje fungiforme comportam-se inelasticamente, e o

uso de uma análise tridimensional não linear para cargas sísmicas não é praticável no presente.

14

De modo a reduzir a complexidade e o elevado custo associado ao uso de análises com

elementos finitos não lineares, recorre-se muitas vezes aos conceitos dos pórticos equivalentes

(equivalente frame model) (retratado no capítulo 13 do ACI 318 (2005) [4]) e modelo analítico de

viga com largura efectiva (effective beam width model) (Pecknold, 1975 [24])

Na prática corrente, as recomendações presentes na ASCE/SEI 41 (American Society of Civil

Engineers e Structural Engineering Institute) [3] e na FEMA 274 (Federal Emergency

Management Agency) [9] referem que estruturas com laje fungiforme sujeitas à ação combinada

de cargas gravíticas e sísmicas podem ser analisadas recorrendo a três tipos de procedimentos:

modelo de elementos finitos; análise por pórticos equivalente (equivalente frame model); modelo

analítico de viga com largura efetiva (effective beam width model). Estes procedimentos diferem

principalmente na forma como a rigidez da laje é incorporada no modelo analítico.

No Eurocódigo 2 [7] também existe referência a um modelo de análise simplificado que pode ser

utilizado em estruturas com lajes fungiformes sob ações horizontais. Esta análise é feita por

pórticos equivalentes, e assemelha-se ao modelo analítico de viga com largura efetiva.

Estes modelos revestem-se de grande utilidade para a determinação dos esforços na laje em

sistemas estruturais fungiformes sujeitos à ação sísmica e que apresentem uma distribuição

regular de pilares.

2.3.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318)

O modelo dos pórticos equivalentes ou viga equivalente (equivalent frame model) envolve a

simulação do sistema tridimensional da laje por uma série de pórticos equivalentes

bidimensionais que são analisados para forças no plano do pórtico (ACI 318 (2005) [4]). Este

método tem por base os estudos levados a cabo por Vanderbilt e Corley [29] (1983).

O modelo em causa compreende a existência de três elementos:

i) A laje é substituída por um elemento de viga equivalente com momento de inércia

efetivo igual ao momento de inércia da largura da laje original. A largura de cada viga

equivalente é delimitada pela linha que passa a meio dos vãos adjacentes. A Figura

2.9 ilustra a definição do pórtico equivalente.

15

Figura 2.9 – Largura do pórtico equivalente de acordo com o ACI 318.

ii) O segundo elemento corresponde às colunas ou outro tipo de suporte vertical, com

extensão acima e abaixo da laje.

iii) As vigas equivalentes e as colunas estão ligadas por elementos torsionais que

possibilitam a transferência de momentos entre estes. São compostos por partes da

laje e da viga (caso exista) ligadas à face transversa da coluna. Estes elementos são

normalmente modelados com molas que reduzem a rigidez elástica do elemento de

viga usado para representar a laje.

A Figura 2.10 apresenta um esquema que exemplifica os elementos que compõem o modelo

dos pórticos equivalentes presente no ACI 318.

Figura 2.10 – Exemplo de um membro torsional de acordo com o ACI 318.

16

2.3.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva

O modelo analítico de viga com largura efetiva (effective beam width model) foi desenvolvido

originalmente por Pecknold [24] em 1975 para a análise de um sistema de dois vãos de laje

fungiforme sujeito a cargas estáticas laterais.

Neste modelo a laje é modelada como um elemento de viga com uma largura efetiva α.l2 (fator

de largura efetiva da laje (α)x largura da laje perpendicular à direção do carregamento sísmico

(l2)) e com vão com o mesmo valor que na laje original. O fator de largura efetiva α representa o

rácio entre a largura da viga efetiva e a largura original da laje. Este fator é aplicado de modo a

representar a rigidez elástica equivalente da laje, ou seja, representa a rigidez da laje antes de

qualquer fenómeno de fendilhação ocorrer. A Figura 2.11 ilustra a aplicação do fator de largura

efetiva da laje.

Figura 2.11 – Aplicação do fator de largura efetiva da laje.

Quando uma ligação laje-pilar interior é sujeita a um deslocamento lateral no topo da coluna, a

rotação da laje ao longo da sua largura varia desde um máximo próximo da coluna até um valor

mínimo próximo do meio vão.

2.3.2.1 Fator de largura efetiva

Pecknold [24] apresentou um estudo em 1975 sobre o modelo de largura efetiva de um painel

de laje interior típico. Pondo em prática a teoria elástica de placas e a solução tipo de Levy

padrão, chegou a uma equação para o cálculo do fator de largura efetiva α. O fator de largura

efetiva é obtido da análise elástica de placas admitindo que a viga de largura efetiva sujeita a

17

uma rotação uniforme no apoio de valor θ permite que a coluna tenha o mesmo valor de rotação

que a coluna original ligada à laje original com largura l2 e rotação variável (Durrani 1992 [17]).

A Figura 2.12 apresenta um esquema apresentado por Luo e Durrani (1992) do funcionamento

do modelo de viga com largura efetiva.

Figura 2.12 – Modelo de viga com largura efetiva (Luo e Durrani 1993).

Em 1977, Allen e Darvall [2] chegaram aos mesmos resultados de Pecknold com recurso a séries

de Fourier. A Figura 2.13 apresenta um sumário proposto por Vanderbilt e Corley [30] para os

valores de fatores de largura efetiva até 1983.

Figura 2.13 – Sumário do fator de largura efetiva da laje para cargas laterais por Vanderbilt e Corley, 1983.

18

O limite assinalado com “pilares muito flexivei” não modela um sistema estrutural realista, apenas

fornece um limite inferior de rigidez de uma ligação linear elástica.

Em 1987 Banchik [5] usou o método dos elementos finitos para calcular os valores de fatores de

largura efetiva. A variação deste fator para um pórtico interior, que inclui ligações interior e de

bordo com vão perpendicular ao bordo está representada na equação (2.6). Os coeficientes para

os pórticos exteriores, que incluem as ligações de bordo e canto, estão representados pela

equação (2.7)

2

1

2

1

1

1)

4

15(

c

l

l

ci (para pórticos interiores) (2.6)

2

2

1

2

1

1

1)

8

13(

l

l

l

ce (para pórticos exteriores) (2.7)

Onde 1c e 1l correspondem à dimensão do pilar e do vão na direção do carregamento

respetivamente; 2l corresponde à dimensão do vão perpendicular à direção do carregamento;

é o coeficiente de Poisson.

Luo e Durrani [18] e [18] em 1995 propôs novos fatores de largura efetiva para ligações interiores

e ligações de exteriores. De notar que neste caso, ao contrário da ligação exterior proposta por

Banchik, a ligação exterior refere-se às ligações com vão a fletir perpendicularmente ao bordo

da laje. Ao calibrar os resultados obtidos na investigação de Pecknold, foi obtida uma equação

mais simples que a proposta por este para o cálculo de ligações interiores (2.8).

)(1,1)(8,2)(2)(002,005,0

)(

1

12

1

13

1

14

2

1

2

2

12

l

c

l

c

l

c

l

l

l

cR

i

(2.8)

Onde 2c corresponde à dimensão do pilar perpendicular à direção do carregamento; 1c e 1l

correspondem à dimensão do pilar e do vão na direção do carregamento respetivamente; R12

toma o valor de 1,02 para 1l / 2l entre 0,5 e 2,0 e 1c / 2c entre 0,5 e 2,0. Para ligações exteriores,

a equação (2.9) foi proposta, tendo por base modificações no modelo dos pórticos equivalentes.

22 lKK

Kl

st

t

e

(2.9)

19

Onde

1

4

l

IEK c

s é a rigidez de flexão da laje; 2l corresponde à dimensão do vão perpendicular

à direção do carregamento.

A equação (2.9) tem conta com o facto de parte do momento na ligação laje-pilar exterior ser

transferido em flexão por parte da laje e outra parte é indiretamente transferida em torsão por um

elemento composto pela viga de bordo, caso exista, e parte da laje (elemento torsional referido

em 2.2.1). A rigidez de torsão deste elemento é dada pela fórmula (2.10) indicada no ACI 318

(2005) [4].

3

2

2

2 )1(

9

l

cl

CEK c

t

(2.10)

Onde cE é o módulo de elasticidade do betão usado na laje; 2c e 2l correspondem à dimensão

do pilar e do vão perpendicular à direção do carregamento; C corresponde à constante de torsão

dada pela expressão (2.11) presente no ACI 318.

363,01

3 yx

y

xC

(2.11)

A constante C , no caso de secções em T, é obtida dividindo a secção em elementos

retangulares com dimensões x e y e somando os valores de C de cada um destes elementos.

A Figura 2.14 ilustra este cálculo para a viga de bordo.

Figura 2.14 – Secção efectiva da viga de bordo de acordo com ACI 318 (2005) [4].

20

De referir ainda que, as recomendações presentes na ASCE/SEI 41 [3] para o valor do fatores

de largura efetiva são as propostas pelas fórmulas apresentadas por Hwang e Moehle (2000)

[14] que dão valores na ordem de 0,5.

2.3.3 Análise por Pórticos Equivalentes (EC2)

Segundo a análise por pórticos equivalentes presente no Eurocódigo 2 (EC2-1) [7], as estruturas

com laje fungiforme podem ser analisadas dividindo a estrutura longitudinal e transversalmente

em pórticos constituídos por pilares e por troços de lajes compreendidos entre as linhas médias

de painéis adjacentes. A Figura 2.15 ilustra a divisão dos painéis de laje fungiforme presente no

Eurocódigo 2 (EC2-1).

Figura 2.15 – Análise por pórticos equivalentes (EC2).

De referir que neste modelo, apesar de apresentar o mesmo nome que o modelo de pórticos

equivalentes do ACI 318, estes não são idênticos. A rigidez da laje pode ser calculada a partir

das secções transversais brutas dos pórticos. Para cargas gravíticas, a rigidez a considerar para

o painel de laje corresponde à largura total do painel. Para carregamento lateral, o recomendado

é utilizar 40% da largura total do painel. Esta redução serve para traduzir a maior flexibilidade

das ligações pilar-laje em estruturas fungiforme quando comparada com as ligações pilar-viga.

Este tipo de análise assemelha-se muito ao modelo analítico de viga com largura efetiva na

avaliação de lajes fungiformes sob cargas laterais.

21

2.3.4 Rigidez

Em todos os modelos referidos atrás, a rigidez elástica deve ser corrigida para ter em conta o

efeito da fendilhação, típico do comportamento inelástico de sistemas fungiformes sob a ação de

cargas gravíticas e sísmicas. Devido à complexidade do mecanismo de transferência de

momentos entre a laje e o pilar sob carregamento horizontal, as suposições relativas à redução

que se deve fazer na rigidez elástica da laje são muito subjetivas. Contudo estão disponíveis

certas diretrizes para assistir o projetista a tomar essa decisão.

2.3.4.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318)

Para ter em conta o efeito da fendilhação, as recomendações da ASCE/SEI 41 [3] e FEMA 274

[9] são as de que a rigidez do elemento torsional deverá ser reduzida por um fator de 1/3, valor

que tem por base os estudos levados a cabo por Vanderbilt e Corley [30] (1983) e mais tarde por

Pan e Moehle [21] (1988). No artigo publicado em 1992 no ACI journal, Pan e Moehle [23] provam

que, para um valor de 0,2% de deslocamento entre pisos, a melhor estimativa para o fator de

redução de rigidez dos elementos torsionais é 1/3 (Figura 2.16).

Figura 2.16 – Comparação entre o modelo dos pórticos equivalentes e os resultados experimentais (Pan e Moehle 1992).

22

2.3.4.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva

A eficácia do uso do modelo analítico de viga com largura efetiva (effective beam width model)

está fortemente dependente da aferição da rigidez da laje a considerar no modelo que é traduzida

pela definição da largura efetiva da viga equivalente. Uma viga com largura efetiva, algures entre

os valores de um terço a um meio da largura transversal original, é tida como uma boa estimativa

e assume-se compensar todas as incertezas relativas à rigidez de uma laje fungiforme sob ação

de cargas devidas ao sismo. Estas estimativas são referidas pela ASCE/SEI 41 [3] e FEMA 274

[9] e têm por base o estudo levado a cabo por Hwang e Moehle (1990) [13], que envolveu o teste

de um pórtico com 9 painéis de laje à escala 4/10 sujeito a cargas gravíticas e laterais. Uma

expressão (2.12) foi proposta para cálculo do fator de redução da rigidez (β) em lajes fungiformes,

cujos valores variam entre 1/3 e 1/2.

3

11

401,05

L

l

c

(2.12)

Onde c é a dimensão da coluna (quadrada); l é a dimensão da laje (quadrada); L corresponde

à sobrecarga de serviço (em lb/ft2). Tais estimativas não são questionadas desde que resultem

num dimensionamento do lado da segurança. Para ter em conta o efeito da fendilhação afeta-se

a rigidez elástica das lajes com este fator de redução de rigidez (β). Este fator é assim tido como

o rácio entre a rigidez da laje fendilhada e a rigidez da laje sem fendas.

Em 1992 os estudos levados a cabo por Pan e Moehle [23] para 4 ligações laje-pilar sujeitas a

carregamento gravítico e lateral comprovaram que, para um valor de 0,2% de deslocamento

entre pisos, a melhor estimativa seria uma redução de 1/3 do coeficiente de largura efetiva

elástica (com valor calculado igual a 0,65). A comparação entre o modelo de viga com largura

efetiva e os resultados experimentais está apresentada na Figura 2.17.

Contudo, embora simples de aplicar, as estimativas de redução da rigidez da laje apresentadas

podem a conduzir a estimativas que podem resultar em previsões desapropriadas da resposta

do edifício. Existe a necessidade de se desenvolver um processo racional de análise que se

aproxime do verdadeiro comportamento de estruturas com laje fungiforme.

23

Figura 2.17 – Comparação entre o modelo de viga com largura efetiva e os resultados experimentais (Pan e Moehle 1992).

Em 1997 Grossman [11] propôs a expressão (2.13) para o cálculo da viga com largura efetiva

(l2’) tendo em conta o fator dK que estima a degradação da rigidez da viga com largura efetiva

de acordo com o nível de deslocamento entre pisos.

FPd Kh

dcc

l

lclKl

9,023,0 12

1

2

11

'

2

(2.13)


respetivamente; 2c e 2l correspondem à dimensão do pilar e do vão perpendicular à direção do

carregamento; d representa a altura útil da laje; h corresponde à altura da laje; FPK é um fator

que tem em conta o tipo de ligação em causa (1,0 para ligações interiores, 0,8 para ligações

exteriores e 0,6 para ligações de canto). Contudo nesta expressão, é verificado que dK

representa a degradação de rigidez lateral, que não é o mesmo que degradação da rigidez da

viga com largura efetiva (Han e Park 2009 [12]).

24

Luo e Durrani [18] e [20] apresentaram em 1995 uma metodologia diferente para a obtenção da

rigidez efetiva da laje. De modo a ter em conta a redução de rigidez devido à presença de cargas

gravíticas, foi criado um fator (2.14) que multiplica pela largura elástica da laje:

'44,01

cc

g

fA

V

(2.14)

Onde '4 cc

g

fA

V corresponde ao rácio entre o valor do esforço total de corte na ligação devido

a cargas gravíticas e a resistência ao corte da laje dada pelo ACI 318 (2005) já apresentada atrás

em 2.3. cA é a área da secção crítica da laje dada pelo produto do perímetro de controlo pela

altura útil da laje db 0. O perímetro de controlo ou secção crítica de esforço transverso em

lajes (Figura 2.18) é dada pelos segmentos de reta distanciados a d/2 da área efetiva de carga

(ACI 318).

Figura 2.18 – Secção crítica de esforço transverso para um pilar (ACI 318).

De modo a ter em conta com a redução de rigidez da laje devido a cargas laterais, Luo e Durrani

usaram o momento de inércia efetivo de vigas especificado no ACI 318. Conforme especificado

no ACI 318, a inércia efetiva dada pela expressão (2.15) têm em conta a relação entre o nível de

momento aplicado na viga ( aM ) e o momento de fendilhação da secção da viga ( crM ).

cr

a

cr

g

a

cr

e IM

MI

M

MI

33

1 (2.15)

25

Aplicado às lajes, gI corresponde ao momento de inércia da secção

2li na metodologia de

Luo e Durrani, crI corresponde ao momento de inércia dessa mesma secção fendilhada, crM é

o momento de fendilhação da secção referida e aM é o momento máximo na laje. A Figura 2.19

apresenta o modelo de viga com largura efetiva proposto por Luo e Durrani (1995) [28].

Figura 2.19 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva proposto por Luo e Durrani (1995)

Contudo, a expressão anterior apresenta uma particularidade pouco prática. Para o cálculo de

eI é necessário saber à partida a quantidade de armadura na laje, nomeadamente no cálculo

de crI (momento de inercia da secção 2li fendilhada). Numa fase inicial de dimensionamento,

não é possível saber a quantidade de armadura existente na laje.

Face à complexidade existente na determinação de uma redução de rigidez apropriada em lajes

fungiformes usando o modelo de viga com largura efetiva, Han e Park [12] em 2009 publicaram

um estudo sobre o do fator de redução da rigidez (β), com maior simplicidade de aplicação. O

modo de aplicação deste fator é idêntico ao fator proposto por Hwang e Moehle (1990) e Pan e

Moehle (1992) apresentados anteriormente nesta secção. O estudo realizado por Han e Park

envolve o desenvolvimento de equações para o fator de redução de rigidez da laje (β) através

de uma análise com regressão não linear, usando os resultados obtidos em testes realizados em

26

ligações laje-pilar interiores e exteriores em estudos anteriores realizados por outros autores. Os

detalhes referentes às ligações usadas como base ao estudo de Han e Park estão disponíveis

para consulta no Anexo B.

Concluiu-se que o principal fator que afeta a redução de rigidez da laje é o nível de momento

atuante aM face ao momento de fendilhação crM , tendo os autores proposto as expressões

(2.16) e (2.17) para quantificar a redução de rigidez em função da relação aM / crM .

5,05,0

32,04,0cr

a

cr

a

M

M

M

M (2.16)

(para ligações laje-coluna interiores)

5,05,0

14,021,0cr

a

cr

a

M

M

M

M (2.17)

(para ligações laje-coluna exteriores)

Os fatores de redução de rigidez da laje (β) definidos por Han e Park obtidos por análise de

resultados experimentais estão apresentados nas Figuras 2.20 e 2.21. A Figura 2.22 apresenta

um esquema representativo do modelo de viga com largura efetiva proposto por Han e Park.

De modo a verificar as equações propostas, Han e Park compararam as curvas reais envolventes

(carga lateral vs. deslocamento entre pisos) de duas ligações laje-pilar testadas (espécime RI –

50 interior e espécime RE – 50 exterior testadas pelos autores) sujeitas a cargas laterais, com

as curvas obtidas através do modelo de viga com largura efetiva proposto (Figura 2.23). Nestes

gráficos estão também representados os modelos anteriores a este estudo presentes na

literatura. Estas curvas envolventes reais foram obtidas através das curvas histeréticas das duas

ligações laje-pilar. As curvas histeréticas das duas ligações laje-pilar singulares estão disponíveis

em anexo para consulta (Anexo B).

Foram também apresentadas duas curvas envolventes de lajes fungiformes com dois vãos

sujeitas a cargas laterais (espécimes 6LL e 2C analisadas por Robertson e Durrani [26] em 1990)

e comparadas com o modelo apresentado (Figura 2.24).

27

Figura 2.20 – Fatores de redução de rigidez da laje (β) para ligações interiores obtidos pelos resultados de testes analisados e pelas fórmulas (Han e Park 2009)

Figura 2.21 – Fatores de redução de rigidez da laje (β) para ligações exteriores obtidos pelos resultados de testes analisados e pelas fórmulas (Han e Park 2009)

28

Figura 2.22 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva de Han e Park

Figura 2.23 – Curvas envolventes e curvas obtidas com as equações para o fator de redução de rigidez de duas ligações laje-pilar testadas (espécime RI – 50 interior e espécime RE – 50 exterior) sujeitas a

cargas laterais (Han e Park 2009).

29

Figura 2.24 – Curvas envolventes e curvas obtidas com as equações para o fator de redução de rigidez de duas lajes fungiformes com dois vãos sujeitas a cargas laterais sujeitas a cargas laterais (Han e Park

2009).

2.3.5 Modelo utilizado

Todos os modelos descritos acima são considerados aceitáveis na modelação analítica de

pórticos laje-pilar e são correntemente usados na prática (ASCE/SEI 41, FEMA 274 e EC2).

Como já foi referido, os edifícios com laje fungiforme comportam-se inelasticamente, e o uso de

uma análise tridimensional não linear para cargas sísmicas não é praticável no presente devido

à complexidade e elevado custo associado.

O modelo dos pórticos equivalentes (equivalente frame model) do ACI 318, o modelo analítico

de viga com largura efetiva (effective beam width model) e o uso de uma análise por pórticos

equivalentes do Eurocódigo 2 revestem-se assim de grande utilidade.

O uso de um modelo com pórticos equivalentes presente no ACI 318 para a avaliação de um

edifício de vários andares é um pouco incerto. Vanderbilt [29] propôs uma metodologia de

modelação na qual os elementos torsionais presentes no modelo dos pórticos equivalentes do

ACI 318 são modelados com molas concentradas ligadas às extermidades da viga (equivalente

à laje) e do pilar. Esta metodologia proposta é complexa e inconveniente para implementar num

programa de análise elástica de pórticos.

30

Por sua vez, o modelo analítico de viga com largura efetiva (equivalente à análise por pórticos

equivalentes do Eurocódigo 2) é uma metodologia onde a laje é modelada como uma simples

viga, cuja análise de momentos é idêntica à avaliação de um pórtico. Em comparação com o

modelo de pórticos equivalentes, esta metodologia é mais simples de aplicar num programa de

elementos finitos como o SAP 2000.

No presente estudo é usada uma modelação da laje recorrendo ao modelo de viga com largura

efetiva (effective beam width model) e ao uso de uma análise por pórticos equivalentes descrita

no Eurocódigo 2.

31

2.4 Ligações Laje-Parede

Apesar de existir alguma investigação sobre a análise e modelação de ligações laje-pilar sujeitas

a carregamento lateral, existe ainda alguma falha no conhecimento do comportamento de

ligações laje-parede. De um ponto de vista prático, a modelação deste tipo de ligação também

não é clara. As equações para o cálculo de vigas com largura efetiva foram obtidas para ligações

laje-pilar. A aplicação direta destas equações em ligações laje-parede, por substituição das

dimensões do pilar pelas dimensões da parede, pode levar a uma modelação desapropriada da

rigidez da laje nestas ligações.

Shin e Kang [28] em 2009 apresentaram um estudo sobre a modelação prática de um edifício

com laje fungiforme onde se depararam com a mesma dificuldade. Neste estudo foi aplicada a

fórmula (2.13) de Grossman [11] para modelar o sistema fungiforme. Na ligação laje-parede

também foi usada a fórmula de Grossman tendo em conta as seguintes considerações:

i) Para pórticos de laje com vão perpendicular ao comprimento da parede, a viga com

largura efetiva de laje é calculada considerando um pilar imaginário que substitui a

parede. Este pilar apresenta as mesmas dimensões que o pilar localizado no lado

oposto do vão em análise. A Figura 2.25 ilustra este procedimento.

Figura 2.25 – Cálculo de viga com largura efetiva para pórticos de laje com vão perpendicular ao comprimento da parede.

ii) Para pórticos de laje com vão paralelo ao comprimento da parede, a viga com largura

efetiva é calculada substituindo as dimensões da parede por um rácio comprimento-

espessura de valor 2,5, correspondendo ao rácio que, segundo os autores, é

considerado o limite para diferenciar uma parede de um pilar. A Figura 2.26

esquematiza este procedimento.

32

Figura 2.26 – Cálculo de viga com largura efetiva para pórticos de laje com vão paralelo ao comprimento da parede.

Ao usar dimensões inferiores para a parede obtém-se vigas com larguras efetivas baixas, que

se traduz numa menor rigidez da laje neste tipo de ligação. Esta abordagem de modelação

conservativa é justificada por algumas investigações anteriores a este estudo, que revelam que

a rigidez de lajes ligadas a paredes sob cargas laterais tende a ser bastante baixa (ver

Schwaigofer e Collins (1977) [27] e Qadeer and Smith (1969) [25]).

33

3 Descrição do Caso de Estudo

3.1 Introdução

De modo a permitir estudar as metodologias de dimensionamento de estruturas com laje

fungiforme, desenvolveu-se para esse fim um edifício com laje fungiforme adaptado a partir de

um projeto real. O principal objetivo deste edifício usado como caso de estudo é que este permita

extrair resultados consistentes sobre o problema que se aborda nesta dissertação e que ao

mesmo tempo seja fácil de por em prática os modelos apresentados e descritos no capítulo 2.

Neste capítulo apresentam-se as características principais do edifício usado para o estudo em

causa.

3.2 Caracterização da Estrutura

A estrutura analisada é relativa a um edifício de escritórios em betão armado localizado em

Lisboa, com 8 pisos elevados e 2 caves. Ao escolher um edifício comum e com altura dentro da

média consegue-se aumentar o leque de edifícios para os quais este estudo pode fornecer

informação.

A estrutura é constituída por lajes fungiformes no interior, pórticos no contorno, um núcleo onde

se localizam as escadas e um núcleo correspondente aos elevadores que servem todos os pisos.

O núcleo das escadas é constituído por duas paredes paralelas de 3 metros centradas na planta

do edifício. Foi adotada uma solução com laje fungiforme sem capitéis, com vigas de bordadura

para todos os pisos. O edifício apresenta fundações diretas.

A Figura 3.1 ilustra esquematicamente a planta da estrutura em estudo onde se identificam as

paredes, pilares e vigas. São também apresentados os valores dos vãos de laje considerados e

as orientações dos eixos X e Y. Para simplificar o modelo optou-se por usar a mesma planta em

todos os pisos, o que faz com que o edifício seja regular em altura. A geometria dos pilares e

viga de bordo da estrutura está simplificada na Tabela 3.1. A laje fungiforme apresenta espessura

de 0,20 m e foi pré-dimensionada para transferir as cargas gravíticas aos elementos verticais

verificando a segurança ao punçoamento sem necessidade de armaduras transversais.

34

Figura 3.1 – Planta geral do edifício usado caso de estudo.

Tabela 3.1 - Dimensões dos pilares e vigas de bordo.

Elementos Dimensões (cm2)

Pilares centrais 55x55

Pilares bordo 50x25

Vigas bordo 50x25

Os materiais considerados foram betão C30/37 e aço A500 NR SD. A Tabela 3.2 indica as

características dos materiais escolhidos.

Tabela 3.2 – Materiais considerados no caso de estudo.

Betão C30/37 Aço A500 NR SD

fcd [MPa] fck [MPa] fctm [MPa] Ec [GPa] ν fyd [MPa] Es [GPa]

20,0 30,0 2,9 33,0 0,2 435,0 200,0

35

3.2.1 Definição das ações

3.2.1.1 Ações permanentes

As ações permanentes englobam o peso próprio dos elementos estruturais e as restantes cargas

permanentes, contendo estas últimas parcelas devidas aos revestimentos de pavimento e tetos

falsos e às paredes divisórias. De modo simplificativo considerou-se 2,5 kN/m2 para as restantes

cargas permanentes.

3.2.1.2 Ações variáveis

As sobrecargas de utilização foram definidas de acordo com o EN1991-1 [6]. Considerou-se 3,0

kN/m2 para a sobrecarga de utilização, típica de um edifício de categoria B (escritórios).

Simplificadamente foi admitido este valor para todos os pisos.

3.2.1.3 Ação sísmica

O edifício encontra-se localizado na zona sísmica 1.3 e 2.3 e está fundado num terreno

classificável como do tipo C (areia compacta). Escolheu-se a zona sísmica 1.3 por ser uma zona

com sismicidade moderada. O tipo de terreno escolhido prende-se pelas mesmas razões

anteriores. O dimensionamento da estrutura do edifício é realizado considerando a classe de

ductilidade média (DCM), normalmente aplicada em Portugal. A Figura 3.2 representa os

espectros de resposta do sismo tipo 1 com coeficientes de comportamento 2,0 e 1,5.

36

Figura 3.2 – Espectros de resposta do sismo tipo 1 com coeficientes de comportamento 2,0 e 1,5.

3.2.2 Combinação de ações

i) Combinação fundamental

Para a combinação de estado limite último, majoraram-se as sobrecargas com um fator parcial

de segurança de 1,5 e o peso próprio e restantes cargas permanentes com um fator parcial de

segurança de 1,35. Esta combinação de ações é importante para verificar o pré-

dimensionamento e calcular as armaduras longitudinais da laje.

(3.1)

ii) Combinação quase permanente

Para a combinação quase permanente, que corresponde à situação que se verifica em mais de

50% da vida da estrutura, foi adotada a expressão (3.2), com 𝜓2=0,3 (edifício de escritórios).

(3.2)

A tabela (3.3) resume o carregamento gravítico considerado na estrutura.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

q=2,0

q=1,5

37

Tabela 3.3 – Valores do carregamento gravítico do edifício.

sc

[kN/m2]

rcp

[kN/m2]

psd

[kN/m2]

pcqp

[kN/m2]

3 2,5 14,63 8,40

iii) Combinação sísmica

A combinação de ações envolvendo o sismo apresenta-se na expressão abaixo. O valor

adotado para 𝜓2 foi simplificadamente 0,3.

(3.3)

39

4 Modelação e Análise do Edifício

4.1 Introdução

Nesta secção são apresentadas e descritas as três metodologias utilizadas para a análise do

edifício. Em cada uma destas metodologias a determinação dos efeitos do sismo foi analisada a

partir de uma análise modal por espectro de resposta comtemplada no Eurocódigo 8 (EC8 - 1)

[8]. A modelação foi executada recorrendo ao programa de elementos finitos para estruturas SAP

2000.

Numa primeira secção é descrita a modelação da estrutura seguindo as recomendações do

Eurocódigo 8 e Eurocódigo 2. Estas normas serviram de base de comparação para as

metodologias presentes neste capítulo. Nesta metodologia é usado o conceito de pórtico

equivalente abordado na secção (2.3.3) para modelar a laje.

De seguida é exposta a segunda metodologia usada. Nesta abordagem utiliza-se o modelo de

viga com largura efetiva descrito em (2.3.2) para a modelação das lajes mantendo as

considerações de rigidez do Eurocódigo 8 para a estrutura primária. São apresentadas as

fórmulas para o fator de largura efetiva da laje e fator de redução da rigidez da laje utilizadas,

justificando as razões que levaram à sua escolha.

Por fim, a última metodologia utilizada difere da anterior pela consideração de uma rigidez da

estrutura primária mais precisa, que corresponde à rigidez correspondente ao início da cedência

da armadura. Apresentam-se os valores obtidos para esta rigidez.

O uso destas 3 metodologias serve para averiguar em que medida as considerações de rigidez

da laje e da estrutura primária influenciam os esforços de corte na ligação laje-pilar.

40

4.2 Metodologia 1

Esta primeira metodologia corresponde à modelação do sistema fungiforme com pórticos

equivalentes seguindo as indicações do Eurocódigo 8 e Eurocódigo 2.

A modelação das paredes da zona de escadas e do núcleo de elevadores foi feita com elementos

de barra, ligados por elementos rígidos ao nível de cada piso. A modelação das vigas de bordo

e dos pilares foi também feita com elementos de barra. A Figura 4.1 apresenta uma imagem 3d

dos elementos verticais e viga de bordo do edifício.

Figura 4.1 – Visão 3D dos elementos verticais e viga de bordo do edifício.

No caso das vigas considerou-se a contribuição da laje para a largura do banzo (beff), tendo em

conta as recomendações do Eurocódigo 8 (EC8-1) [1]. A Figura 4.2 ilustra a largura efetiva do

banzo considerado.

41

Figura 4.2 – Largura efetiva do banzo da viga de bordo segundo as considerações do Eurocódigo 8.

A modelação das lajes é feita recorrendo ao modelo dos pórticos equivalentes descrito no

Eurocódigo 2 (EC2-1 Anexo I) [7] e já atrás referido no Capitulo 2 deste documento. Neste tipo

de análise, as lajes fungiformes sob a ação de cargas horizontais podem ser convenientemente

modeladas por pórticos equivalentes. De notar mais uma vez que este modelo, apesar de

apresentar o mesmo nome, é bastante diferente do modelo de pórticos equivalentes do ACI 318

(2.2.1). No Eurocódigo 2 não existe referência a elementos torsionais. A laje é modelada

considerando 40% da largura total do vão perpendicular à direção do carregamento (l2). Esta

redução de largura é muito semelhante à que se considera com o fator de largura efetiva (α) no

modelo de viga com largura efetiva (2.2.2) para representar a laje em regime elástico antes de

fendilhar.

A modelação da laje foi assim feita recorrendo a um elemento de barra com a mesma espessura

e vão da laje original, e com a largura calculada consoante a recomendação do Eurocódio 2

descrita acima. A Figura 4.3 ilustra a largura efetiva de laje no primeiro modelo.

Contudo, não existe no Eurocódigo 2 nem no Eurocódigo 8 recomendações para a redução da

rigidez da laje em estado fendilhado. Considerou-se a rigidez efetiva de todos os elementos,

incluindo a laje correspondente a 50% da rigidez elástica de acordo com a recomendação

simplificada do Eurocódigo 8 (EC8-1) [1].

Na zona de ligação da laje com as paredes foi tomada uma largura efetiva elástica superior ao

valor adotado para as zonas correntes. A alteração foi feita de modo a traduzir de melhor forma

o comportamento da ligação laje-parede e permitir assim uma melhor modelação da rigidez da

laje nestas zonas.

42

Figura 4.3 – Planta do edifício com as recomendações da análise por pórticos equivalentes presente no Eurocódigo 2.

As Figuras 4.4 e 4.5 resumem os cálculos para a largura elástica da laje segundo as

recomendações do Eurocódigo 2 nas duas direções de análise. São apresentados também os

valores da largura de laje adotada nas ligações laje-parede.

Figura 4.4 – Largura elástica dos pórticos laje segundo a direção x recorrendo às recomendações do Eurocódigo 2.

43

Figura 4.5 – Largura elástica dos pórticos laje segundo a direção y recorrendo às recomendações do Eurocódigo 2.

44

4.3 Metodologia 2

Nesta metodologia a modelação das paredes, pilares e vigas foi feita da mesma forma que na

metodologia anterior. A rigidez efetiva da estrutura primária foi considerada igual a 50% da rigidez

elástica tal como no caso anterior.

Como foi referido no Capitulo 2 deste documento, a laje fungiforme sob ação sísmica pode ser

modelada recorrendo ao modelo de viga com largura efetiva (effective beam width model). Como

foi referido na secção 2.3, esta metodologia é muito mais simples de aplicar num programa de

elementos finitos e por isso é aplicada neste estudo.

As considerações de rigidez efetiva da laje foram tomadas com base no modelo proposto Han e

Park (2009) [12]. Os estudos experimentais apresentados por estes autores mostram que este

modelo simula razoavelmente bem a rigidez lateral e a transferência de momentos entre a laje e

os pilares recorrendo a uma análise elástica (ver secção (2.3.4) deste documento).

4.3.1 Fator de Largura Efetiva de Laje

Como abordado anteriormente, no modelo analítico de viga com largura efetiva a laje é modelada

por uma viga com largura dada por αi.l2 para ligações laje-pilar interiores e αe.l2 para ligações

laje-pilar exteriores (largura da laje perpendicular à direção do carregamento sísmico (l2) x fator

de largura efetiva da laje (α)). A altura desta viga apresenta o mesmo valor que a espessura

original da laje. Este fator traduz o rácio entre a largura elástica da laje antes de a fendilhação

ocorrer e a largura original (l2) da laje.

Como foi visto no capítulo 2, existem várias fórmulas propostas para o cálculo do fator α. Neste

estudo optou-se por usar as fórmulas propostas por Banchick (1987) [5], cuja expressões são

(4.1) e (4.2). A razão desta escolha está relacionada com sua facilidade de aplicação e pelo facto

de terem sido as fórmulas usadas no estudo realizado por Han e Park, cujo modelo foi o

escolhido.

2

2

1

2

1

1

1)

4

15(

l

l

l

ci (para pórticos laje-pilar interiores) (4.1)

2

2

1

2

1

1

1)

8

13(

l

l

l

ce (para pórticos laje-pilar exteriores) (4.2)

45


respetivamente; 2l corresponde à dimensão do vão perpendicular à direção do carregamento;

é o coeficiente de Poisson.

A primeira expressão para o fator de largura efetiva de laje (α) de ligações interiores foi

comparada com a fórmula proposta por Luo e Durrani (1995) [18] (4.3) que é baseada na antiga

investigação levada a cabo por Pecknold (1975) [24].

)(1,1)(8,2)(2)(002,005,0

)(

1

12

1

13

1

14

2

1

2

212

l

c

l

c

l

c

l

l

l

cR

i

(4.3)

Com c2 correspondendo à dimensão do pilar perpendicular à direcção do carregamento e R12

tomando o valor de 1,02 para l1/l2 entre 0,5 e 2,0 e c1/c2 entre 0,5 e 2,0.

A Tabela 4.1 apresenta alguns exemplos de fatores de largura efetiva de laje para ligações

interiores, calculados com as duas fórmulas anteriores (4.1) e (4.3). De referir que para ligações

interiores as dimensões c1 e c2 são sempre constantes (pilares centrais com 0,55x0,55 m2).

Tabela 4.1 - Fatores de rigidez de laje para ligações interiores do caso de estudo calculadas com as fórmulas de Banchick e Luo e Durrani.

Pilar C3 Pilar D2 Pilar C2 Pilar B2

l1 (m) 5 3,4 4,1 5

l2 (m) 5 4,55 5 4,55

αi (Banchick) 0,833 0,824 0,786 0,916

αi (Luo e Durrani) 0,822 0,840 0,783 0,898

Constata-se que os valores obtidos pelas equações para o fator de largura efetiva de laje (α) de

ligações interiores, propostas pelos dois autores, são muito próximos. Nota-se no entanto que os

valores obtidos pela fórmula de Banchick são um pouco mais elevados no geral. Esta pequena

diferença traduz-se numa maior rigidez da laje e consequentemente maiores esforços. Contudo,

por se tratar de pequenas diferenças não são relevantes na análise do edifício e avaliação de

esforços na ligação laje-pilar.

46

A expressão apresentada por Banchick para ligações exteriores (4.2) não pode ser usada no

caso de estudo. O edifício em causa possui vigas de bordo e a expressão (4.2) é usada para

ligações exteriores sem viga de bordo. Além disso esta fórmula é aplicável apenas em pórticos

exteriores e não em ligações exteriores. De modo a ultrapassar esta dificuldade optou-se usar a

expressão (4.6) proposta por Luo e Durrani [18], que tem em conta com o facto de parte do

momento na ligação laje-pilar exterior ser transferido em flexão por parte da laje e outra parte é

indiretamente transferida em torsão por um elemento composto pela viga de bordo e parte da

laje (elemento torsional descrito em 2.2.1). A rigidez de torsão deste elemento é assim dada pela

fórmula (4.4) indicada no ACI 318 (2005):

3

2

22 )1(

9

l

cl

CEK c

t

(4.4)

Onde Ec é o módulo de elasticidade do betão da laje; c2 e l2 correspondem à dimensão do pilar

e do vão perpendicular à direção do carregamento; C corresponde a constante de torsão:

363,01

3 yx

y

xC (4.5)

A constante C, no caso de secções em T, é obtida dividindo a secção em elementos retangulares

com dimensões x e y e somando os valores de C de cada elemento. A Figura 4.6 ilustra este

cálculo para a viga de bordo.

Figura 4.6 – Esquema de divisão dos elementos retangulares no membro torsional para o cálculo da constante C.

Conhecendo a rigidez de flexão e de torsão, a largura efetiva da laje para ligações exteriores é

dada pela expressão (4.6).

22 lKK

Kl

st

t

e

(4.6)

47

Onde

1

4

l

IEK c

s é a rigidez de flexão da laje.

De referir que na zona de ligação da laje com as paredes estas equações relativas à ligação laje-

pilar não são aplicáveis. De modo a resolver esta questão, o cálculo do fator de largura efetiva

das lajes ligadas a paredes, foi obtido usando pilares fictícios obtidos segundo as considerações

propostas por Shin e Kang [28] em 2009 apresentadas na secção (2.4) deste documento. Este

procedimento permite obter valores para a largura efetiva da laje que traduzem a baixa rigidez

característica das ligações laje-parede.

4.3.2 Fator de Redução de Rigidez

Uma das causas que afeta significativamente a rigidez da laje é a fendilhação. Para ter em conta

o efeito da fendilhação afeta-se a rigidez elástica das lajes com um fator de redução de rigidez

(β). Da investigação levada a cabo por Han e Park [12], concluiu-se que o principal fator que

influência a redução de rigidez da laje é o nível de momento atuante aM face ao momento de

fendilhação crM , tendo os autores proposto as expressões (4.7) e (4.8) para quantificar a

redução de rigidez em função da relação aM / crM , sendo aM o momento máximo aplicado na

laje. No presente estudo são usadas estas equações.

5,05,0

32,04,0cr

a

cr

a

M

M

M

M (4.7)


5,05,0

14,021,0cr

a

cr

a

M

M

M

M (4.8)


É importante referir que, comparado com a metodologia apresentada por Luo e Durrani, a

utilização deste fator apresenta uma maior vantagem no cálculo da viga com largura efetiva.

Luo e Durrani adotaram o momento de inercia efetivo de vigas ( eI ) (4.9), especificado no ACI

318 (2005) [4] para calcular a rigidez efetiva de lajes fungiformes sujeitas à ação sísmica.

48

cr

a

cr

g

a

cr

e IM

MI

M

MI

33

1 (4.9)

Em comparação com as fórmulas (4.7) e (4.8), a fórmula (4.9) exige a obtenção de mais dois

parâmetros (gI - momento de inércia da secção

2li ; crI - momento de inercia da secção

2li fendilhada). Além disso, no cálculo do parâmetro crI é necessário saber à partida a

quantidade de armadura na laje, aspeto que numa fase inicial de dimensionamento da laje não

é possível saber.

Em ambos os estudos, para a obtenção do fator de redução de rigidez ( ) e do momento de

inercia efetivo ( eI ) é necessário saber do momento máximo aplicado na laje ( aM ) para ação

combinada de cargas gravíticas em serviço e cargas devidas à ação sísmica.

A obtenção deste parâmetro reveste-se de alguma complexidade uma vez que o nível de

momento na laje devido à ação sísmica depende da rigidez da laje considerada. Como a rigidez

da laje é traduzida pela aplicação do fator ( ), a obtenção da viga com largura efetiva real

implica um processo iterativo. Numa fase inicial de modelação é impossível assim saber qual o

valor da viga com largura efetiva para qualquer ligação laje-pilar. Este processo iterativo é

impraticável de um ponto de vista prático, principalmente se se tiver um edifício com vários

pórticos de laje sujeitos a sismos em duas direções, como é o caso do edifício em estudo.

De modo a contornar esta dificuldade, considerou-se numa primeira iteração do cálculo da viga

com largura efetiva os momentos aplicados na laje devidos à combinação fundamental.

Seguidamente, por haver alguma discrepância entre os valores dos momentos da combinação

fundamental e da combinação sísmica (esforços 40% superiores na combinação sísmica),

otimizou-se a largura efetiva da viga com os momentos obtidos para sismo. Após algumas

iterações chegou-se aos valores finais do fator de redução de rigidez (β) para as diferentes

ligações do edifício.

A Figura 4.7 ilustra o aspeto da planta do edifício com as larguras finais dos pórticos da laje. Os

valores obtidos para os fatores de largura efetiva (α), os fatores de redução de rigidez (β) finais

e as larguras efetivas das vigas (β*α*l2) para as várias ligações laje-pilar do edifício estão

apresentadas nas Tabelas 4.2 e 4.3.

49

Figura 4.7 – Planta do edifício em estudo com as vigas de largura efetiva (β*α*l2) calculadas segundo a metodologia proposta por Han e Park (2009).

Tabela 4.2 - Fatores de largura efetiva de laje (α), fatores de redução de rigidez (β) e larguras efetivas das vigas (β*α*l2) para as ligações interiores e exteriores segundo a direção de análise X.

DIRECÇÃO X

Pilares l2 (m) l1 (m) αi αe β β*α*l2 (m)

Pilar A4 (→) 5,00 5,00 0,736 0,243 0,90

Pilar A3 (→) 5,00 5,00 0,736 0,239 0,88

Pilar A2 (→) 4,55 5,00 0,760 0,229 0,79

Pilar B4 (←) 5,00 5,00 0,833 0,266 1,11

Pilar B4 (→) 5,00 5,00 0,833 0,266 1,11

Pilar B3 (←) 5,00 5,00 0,833 0,260 1,08

Pilar B3 (→) 5,00 5,00 0,833 0,260 1,08

Pilar B2 (←) 4,55 5,00 0,916 0,245 1,02

Pilar B2 (→) 4,55 5,00 0,916 0,245 1,02

Pilar C4 (←) 5,00 5,00 0,833 0,293 1,22

Pilar C4 (→) 5,00 5,00 0,833 0,293 1,22

Pilar C3 (←) 5,00 5,00 0,833 0,260 1,08

Pilar C3 (→) 5,00 5,00 0,833 0,260 1,08

Pilar C2 (←) 4,55 5,00 0,916 0,240 1,00

Pilar C2 (→) 4,55 5,00 0,916 0,240 1,00

Pilar D2 (←) 4,55 5,00 0,916 0,278 1,16

Pilar D2 (→) 4,55 3,40 0,824 0,278 1,04

Legenda: (←) e (→) são as orientações dos vãos l1 relativas ao pilar

50

Tabela 4.3 - Fatores de largura efetiva de laje (α), fatores de redução de rigidez (β) e larguras efetivas das vigas (β*α*l2) para as ligações interiores e exteriores segundo a direção de análise Y.

DIRECÇÃO Y

Pilares l2 (m) l1 (m) αi αe β β*α*l2 (m)

Pilar B5 (↓) 5,00 5,00 0,736 0,230 0,85

Pilar B4 (↑) 5,00 5,00 0,833 0,254 1,06

Pilar B4 (↓) 5,00 5,00 0,833 0,254 1,06

Pilar B3 (↑) 5,00 5,00 0,833 0,261 1,09

Pilar B3 (↓) 5,00 5,00 0,833 0,261 1,09

Pilar B2 (↑) 5,00 5,00 0,833 0,271 1,13

Pilar B2 (↓) 5,00 4,10 0,786 0,271 1,07

Pilar B1 (↑) 5,00 4,10 0,736 0,239 0,88

Pilar C5 (↓) 5,00 5,00 0,736 0,231 0,85

Pilar C4 (↑) 5,00 5,00 0,833 0,254 1,06

Pilar C4 (↓) 5,00 5,00 0,833 0,254 1,06

Pilar C3 (↑) 5,00 5,00 0,833 0,261 1,09

Pilar C3 (↓) 5,00 5,00 0,833 0,261 1,09

Pilar C2 (↑) 5,00 5,00 0,833 0,271 1,13

Pilar C2 (↓) 5,00 4,10 0,786 0,271 1,07

Pilar C1 (↑) 5,00 4,10 0,736 0,239 0,88

Pilar D5 (↓) 4,20 3,00 0,934 0,188 0,74

Pilar D2 (↑) 4,20 5,00 0,992 0,234 0,97

Pilar D2 (↓) 4,20 4,10 0,936 0,234 0,92

Pilar D1 (↑) 4,20 3,40 0,951 0,215 0,86

Legenda: (↑) e (↓) são as orientações dos vãos l1 relativas ao pilar

As Figuras 4.8 e 4.9 apresentam um esquema ilustrativo da planta do edifício com os valores

das larguras efetivas das vigas apresentados nas tabelas anteriores.

51

Figura 4.8 – Valores da largura efetiva (β*α*l2) para os pórticos de laje na direção X.

52

Figura 4.9 – Valores da largura efetiva (β*α*l2) para os pórticos de laje na direção Y.

53

Conclui-se que para ligações interiores a largura efetiva (β*α*l2) obtida na metodologia 2

apresenta valores muito próximos dos obtidos para as mesmas ligações na metodologia1, onde

a laje é modelada considerando 40% da largura total do vão perpendicular à direção do

carregamento (l2) e a rigidez é reduzida em 50%.

Para vãos exteriores o valores da largura efetiva (β*α*l2) são mais baixos que os obtidos para a

largura dos pórticos de laje equivalentes na metodologia 1. Nas iterações realizadas para a

obtenção de (β) constatou-se que os momentos nas ligações laje-pilar exteriores para a

combinação sísmica de ações apresentam valores da ordem e grandeza de 50% dos valores

obtidos para as ligações interiores para a mesma combinação de ações. Contudo, a fórmula (β)

para ligações exteriores (4.8) dá no geral origem a valores mais baixos para (β), e por essa razão

a largura efetiva (β*α*l2) é mais baixa.

No caso das ligações laje-parede, as fórmulas usadas para o cálculo de (β) em ligações laje-pilar

não podem ser aplicadas. Contudo, de modo a encontrar uma ordem de grandeza para o valor

da largura efetiva da laje nestas ligações optou-se por aplicar a fórmula de (β) para ligações

exteriores. Os valores do momento na ligação laje-parede obtidos para combinação sísmica são

muito elevados dando origem a valores de (β) baixos. Esta ordem de grandeza dos momentos

nas ligações laje-parede foi também constatado na metodologia 1 para a largura de laje adotada.

A investigação realizada por Han e Park (2009) prova que o nível de momento na laje influencia

bastante a rigidez na laje. Além disso estudos realizados nesta área que demonstram que a

rigidez de lajes ligadas a paredes sob cargas laterais tende a ser bastante baixa (ver Schwaigofer

e Collins (1977) [27] e Qadeer and Smith (1969) [25]). Tendo em conta as considerações

apresentadas foi tomada uma largura efetiva de laje inferior à tomada para a metodologia 1 nas

ligações laje-parede da metodologia 2.

O procedimento de cálculo de (β) para as ligações laje-pilar, com as várias iterações realizadas

pode ser encontrado no Anexo C deste documento.

54

4.4 Metodologia 3

Esta secção sumariza a modelação e a rigidez efetiva usada nos vários elementos da estrutura

correspondente à terceira análise feita. A modelação das paredes, pilares, vigas e lajes foi feita

da mesma forma que na metodologia 2. As considerações de modelação da rigidez da laje são

as mesmas que as consideradas na metodologia anterior (usando o fator de redução β). A

diferença reside no facto de se considerar uma rigidez efetiva da estrutura primária (paredes,

pilares e vigas) correspondente ao início da cedência da armadura conforme indicado no

Eurocódigo 8. Isto é, a rigidez da estrutura primária é, nesta metodologia, determinada de uma

forma mais precisa que no caso anterior. Para o efeito é necessário calcular as armaduras da

estrutura primária.

Realizando uma análise modal por espectro de resposta ao modelo utilizado na metodologia 2,

considerando um coeficiente de comportamento igual a 2 (o edifício em estudo respeita todos os

critérios de regularidade em altura mas não apresenta regularidade em planta por ser

torsionalmente flexível), calcularam-se as armaduras para os elementos da estrutura primária do

edifício e as relações momento-curvatura a partir das quais se determinaram os valores para a

rigidez efetiva da estrutura primária. O cálculo das relações momento-curvatura foi obtido a partir

do programa Response 2000. A Figura 4.10 exemplifica a metodologia de cálculo para a rigidez

efetiva para vigas.

Figura 4.10 – Metodologia de cálculo da rigidez efetiva para vigas.

A Figura 4.11 exemplifica a metodologia de cálculo para elemento verticais com esforço normal

(paredes e pilares).

55

Figura 4.11 – Metodologia de cálculo da rigidez efetiva para pilares e paredes.

4.4.1 Pilares

Existem três tipos de pilares a ter em conta: centrais, de bordo e de canto. Para determinar a

armadura dos pilares foi considerado um esforço médio para a combinação de ações sísmica.

Contudo, em todos os tipos de pilar foi considerado a percentagem mínima de armadura

recomendada pelo Eurocódigo 8 (1%). Por existirem diferentes valores de esforço normal em

altura, o cálculo da rigidez efetiva dos pilares centrais foi feito para três pisos diferentes (piso 0,

piso 3 e piso 5) e para os pilares de bordo e de canto para dois pisos diferentes (piso 0 e piso 4).

As Figuras seguintes resumem as relações momento curvatura para os diferentes pilares da

estrutura.

Figura 4.12 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares centrais (piso 0).

56



57

Figura 4.15 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de bordo (piso 0).

Figura 4.16 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de bordo (piso 4).

58

Figura 4.17 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de canto (piso 0).

Figura 4.18 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de canto (piso 4).

A Tabela 4.4 resume os valores da relação EIeff/EI finais considerados nos pilares centrais, de

bordo e de canto da estrutura.

Tabela 4.4 - Relação EIeff/EI dos pilares centrais, de bordo e de canto da estrutura.

Elemento EIeff/EI

Pilar central 0,24

Pilar de bordo 0,23

Pilar de canto 0,20

59

4.4.2 Paredes

4.4.2.1 Paredes da zona de escadas.

Para o cálculo da armadura de flexão das paredes das escadas foi considerado um modelo

simples no qual se considera a existência de pilares fictícios sob a ação de forças de tração e

compressão provocadas pelos momentos fletores globais. O efeito do esforço axial global foi

também tido em conta uma vez que se trata de um problema de flexão composta. A Figura e as

tabelas seguintes resumem os cálculos relativos a esta parede para o calculo da armadura

longitudinal no pilar fictício.

Figura 4.19 – Parede da zona de escadas.

Tabela 4.5 - Dimensões da parede.

Dimensões

lw 3,00 m

bw 0,20 m

60

Tabela 4.6 - Condições para o comprimento do pilar fictício.

lc>min(0,15lw;a,5bw)

0.15lw 0,45m

1.5bw 0,30m

lc<max(2bw;0,2lw)

2bw 0,40m

0.2lw 0,60m

A dimensão adotada para o comprimento do pilar fictício foi simplificadamente considerada

lc=0,60 m. A armadura mínima da alma foi considerada simplificadamente ρ=0,002 e como

solução adotado φ8//0,20. A Figura 4.20 resume o cálculo da rigidez efetiva para a parede da

zona de escadas.

Figura 4.20 – Cálculo da rigidez efetiva da parede da zona de escadas.

A Tabela 4.7 resume o valors da relação EIeff/EI final considerado para a parede da zona de

escadas.

Tabela 4.7 - Relação EIeff/EI da parede da zona de escadas da estrutura.

Elemento EIeff/EI

Paredes da zona de

elevadores 0,21

61

4.4.2.2 Núcleo de Elevadores

Como se modelou o núcleo com três elementos tipo barra, por simplificação admitiu-se que o

momento fletor em cada direção era equilibrado pela parede do núcleo de maior inércia nessa

direção. Para o cálculo dos momentos fletores globais considerou-se ainda o efeito do esforço

axial sob a forma de binários de forças. O núcleo foi armado tendo em conta a existência de

pilares fictícios sob a ação de forças de tração provocadas pelos momentos fletores globais. O

efeito do esforço axial global foi também tido em conta pois trata-se mais uma vez de um

problema de flexão composta.

Figura 4.21 – Direções principais de momentos no núcleo.

i) Parede do núcleo de maior inércia na direção de momentos M33

Figura 4.22 – Parede de maior inércia na direção de momentos M33.

Tabela 4.8 - Dimensões da parede de maior dimensão do núcleo.

Dimensões

lw 3,40 m

bw 0,20 m

62



0.15lw 0,51m

1.5bw 0,30m

lc<max(2bw;0,2lw)

2bw 0,40m

0.2lw 0,70m


lc=0,70 m. A armadura mínima da alma foi considerada simplificadamente ρ=0,002 e como

solução adotado φ8//0,20.

i) Paredes do núcleo de maior inércia na direção de momentos M22

A metodologia de cálculo que se usa para as armaduras de flexão é a mesma que a usada no

cálculo da parede anterior. A única diferença prende-se no facto de se tratarem de duas paredes

a trabalharem em conjunto para os momentos totais. A Figura 4.23 ilustra as paredes

consideradas.

Figura 4.23 - Paredes de maior inércia na direção de momentos M22.

Tabela 4.10 - Dimensões da parede de maior dimensão do núcleo.

Dimensões

lw 2,0m

bw 0,20m

63



0.15lw 0,30m

1.5bw 0,30m

lc<max(2bw;0,2lw)

2bw 0,40m

0.2lw 0,40m


lc=0,40 m. As Figura 4.24 e 4.25 representam as secções equivalentes do núcleo de elevadores

para as duas direções de momentos.


64


A Figura 4.26 corresponde à curva momento-curvatura para os momentos M33 do núcleo.

Figura 4.26 - Curva momento-curvatura para os momentos M33 do núcleo.

As Figuras 4.27 e 4.28 ilustram o cálculo da rigidez efetiva do núcleo para momentos M22

negativos e positivos.

65

Figura 4.27 - Curva momento-curvatura para os momentos negativos M22 do núcleo.

Figura 4.28 - Curva momento-curvatura para os momentos positivos M22 do núcleo.

A Tabela 4.12 resume o valores da relação EIeff/EI final considerados para o núcleo.

Tabela 4.12 - Relação EIeff/EI do núcleo de elevadores da estrutura.

Elemento EIeff/EI

Núcleo 0,37

66

4.4.3 Viga de bordo

Na avaliação dos esforços das vigas de bordo, tal como nos pilares, considerou-se os esforços

de valor médio para o cálculo das armaduras. A Figura 4.29 representa a secção equivalente da

viga de bordo. As Figuras 4.30 e 4.31 sintetizam o cálculo da rigidez efetiva realizado e a Tabela

4.13 resume o valor da relação EIeff/EI final considerados para a viga de bordo da estrutura.

Figura 4.29 – Secção equivalente da viga de bordo.

Figura 4.30 – Cálculo da rigidez efetiva da viga de bordo (momentos negativos).

67

Figura 4.31 – Cálculo da rigidez efetiva da viga de bordo (momentos positivos).

Tabela 4.13 - Relação EIeff/EI do núcleo de elevadores da estrutura.

Elemento EIeff/EI

Viga de bordo 0,27

4.4.4 Síntese

A Tabela 4.14 resume a relação entre a rigidez efetiva EIeff e a rigidez elástica EI para os

elementos da estrutura primária do edifício:

Tabela 4.14 - Relação EIeff/EI dos elementos da estrutura primária do edifício.

Elemento EIeff/EI

Vigas de bordo 0,27

Pilar central 0,24

Pilar de bordo 0,23

Pilar de canto 0,20

Paredes escada 0,21

Núcleo 0,37

69

5 Resultados

5.1 Introdução

Apresentam-se neste capítulo os resultados obtidos relativos às três metodologias de análise.

Dado que o comportamento sísmico do sistema fungiforme é determinado, essencialmente,

pelos esforços de corte desenvolvidos na ligação laje-pilar, analisam-se seguidamente os

esforços de punçoamento atuantes para cada uma das metodologias apresentadas na secção

anterior. Efetua-se uma análise e comparação dos resultados de todas as metodologias

executadas.

5.2 Resistência

Os valores da tensão de punçoamento excêntrico atuantes para todas as ligações laje-pilar foram

obtidas de acordo com a expressão (2.2) apresentada no capítulo 2 presente no Eurocódigo 2

(EC2-1) [7].

du

Vv sd

sd.1

(5.1)

Onde 1u corresponde ao perímetro de controlo admitido para os pilares quadrados centrais do

edifício em estudo, d representa a altura útil da laje. A Tabela 5.1 apresenta os valores de 1u e

d usados nos cálculos. β é dado pela expressão (5.2).

Tabela 5.1 – Valores para o perímetro de controlo u1 e altura útil d da laje.

u1 (m) d (m)

4,34 0,17

22

8,11

y

z

z

y

b

e

b

e

(5.2)

70

Onde zb e yb representam as dimensões do perímetro de controlo considerado e

ye e ze

correspondem às excentricidades dadas por sdsd VM / em cada eixo. Os valores sdM foram

obtidos em cada modelo usando uma análise modal por espectro de resposta com coeficiente

de comportamento igual a 1,5 dado que a ligação laje-pilar é dimensionada em fase elástica.

Estes valores são posteriormente majorados por um fator obtido pela relação entre

deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos na estrutura sem a participação dos

elementos secundários e na estrutura global (δ1 e δ2 respetivamente). A Figura 5.1 ilustra os

deslocamentos descritos para um pórtico onde os elementos secundários são as vigas.

Figura 5.1 – Deslocamentos máximos no topo de um pórtico obtidos sem a participação dos elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2).

Este fator destina-se a corrigir os esforços nos elementos secundários obtidos no modelo global

de forma a ter em conta que o deslocamento para o qual esses elementos devem ser

dimensionados é o obtido no modelo da estrutura primária. Este cálculo é exemplificado pela

expressão (5.3).

2

1

sd

,

sd .MM

(5.3)

A tensão resistente de punçoamento foi calculada de acordo conta expressão (5.4) presente no

Eurocódigo 2 (EC2-1) [7] para lajes sem esforço axial (pré-esforço).

3/1

,, )100( cklcRdcRd fkCv

(5.4)

71

Onde ccRdC /18,0, ( 5,1c ); dk /2001 , sendo d a altura útil da laje; ckf é a

tensão característica do betão à compressão (em MPa); lzlyl . , sendo ly e lz as

taxas médias de armadura de flexão em cada direção.

5.3 Resultados

Os valores dos deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos na estrutura sem a

participação dos elementos secundários e na estrutura global (δ1 e δ2 respetivamente) para as

diferentes metodologias estão apresentados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos sem a participação dos elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2) para as diferentes metodologias.

Sismo δ1 (m) δ2 (m)

Metodologia 1 X 0,112 0,092

Y 0,153 0,096


Y 0,146 0,096


Y 0,167 0,111

As Tabelas 5.3 e 5.4 sumarizam os valores obtidos da tensão de punçoamento resistente e

atuante nas ligações laje-pilar do efidicio, para os sismos em cada direção (X e Y), para as

diferentes metodologias. As Figuras 5.2 à 5.5 ilustram a informação contida nas Tabelas

referidas.

72

Tabela 5.3 - Tensão de punçoamento resistente e atuante para as diferentes Metodologias (direção X).

Resistência Metodologia 1 Metodologia 2 Metodologia 3

vrd,c (Mpa) vsd (Mpa) vsd (Mpa) vsd (Mpa)

Pilar B4 0,642 1,038 1,079 1,134

Pilar B3 0,642 1,058 1,090 1,153

Pilar B2 0,642 1,032 1,063 1,130

Pilar C4 0,642 0,969 0,981 1,056

Pilar C3 0,601 1,243 1,141 1,248

Pilar C2 0,601 1,044 1,110 1,203

Pilar D2 0,601 1,106 1,208 1,307

Figura 5.2 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção X).

73

Figura 5.3 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção X).

74

Tabela 5.4 - Tensão de punçoamento resistente e atuante para as diferentes Metodologias (direção Y).


vrd,c (Mpa) vsd (Mpa) vsd (Mpa) vsd (Mpa)

Pilar B4 0,642 1,342 1,318 1,345

Pilar B3 0,642 1,395 1,410 1,460

Pilar B2 0,642 1,373 1,369 1,383

Pilar C4 0,642 1,319 1,295 1,332

Pilar C3 0,601 1,410 1,406 1,465

Pilar C2 0,601 1,365 1,362 1,387

Pilar D2 0,601 1,327 1,293 1,329

Figura 5.4 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção Y).

75

Figura 5.5 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção Y).

76

Os resultados obtidos mostram que os esforços de punçoamento são significativamente afetados

pela rigidez considerada para modelar o sistema fungiforme e a estrutura primária.

Verifica-se que a modelação realizada com base nas metodologias simplificadas do Eurocódigo

8 e Eurocódigo 2 (metodologia 1) pode conduzir a resultados contra a segurança ao subestimar

significativamente os esforços de corte na ligação laje-pilar. Comparando com a metodologia 3,

onde a rigidez dos elementos foi considerada de forma mais precisa, verifica-se que os esforços

de corte atuantes obtidos na metodologia 1 são inferiores em cerca de 10% dos valores obtidos

na metodologia 3 na direção X e Y.

De referir que na obtenção do fator de rigidez ( ) foram usados os esforços da ligação mais

esforçada em cada pilar e não um valor médio. Caso se tivesse usado um valor médio os valores

de ( ) seriam maiores, dando origem a vigas com largura efetiva maiores, e consequentemente

maiores esforços. Este aspeto iria diminuir a ordem de grandeza dos esforços obtidos na

metodologia 1 em relação à metodologia 3.

Estes aspetos mostram a necessidade do dimensionamento do sistema fungiforme ser realizado

com prudência, tentando quanto possível aferir corretamente a rigidez quer das lajes fungiformes

quer dos elementos sísmicos primários.

Na metodologia 2 obtiveram-se valores da mesma ordem de grandeza que na metodologia 1 na

direção X e Y. Era de esperar, uma vez que, para ligações interiores a largura efetiva (β*α*l2)

obtida na metodologia 2 apresenta valores muito próximos dos obtidos para a largura dos

pórticos equivalentes nas mesmas ligações da metodologia1.

De notar que no Pilar C3 na direção X e no Pilar D2 na direção Y existem no geral maiores

esforços de corte na metodologia 1. Na metodologia 1, o facto de se ter considerado maiores

larguras de laje nas zonas de ligação da laje com as paredes do núcleo faz com que a rigidez da

laje e consequentemente os esforços nesta ligação aumentem. Os pilares imediatamente ao lado

do núcleo (neste caso os pilares C3 e D2), que partilham a mesma viga de laje, irão estar sujeitos

também a maiores esforços de corte.

77

6 Solução Geral e Dimensionamento Local

6.1 Introdução

Como se pode verificar pelos resultados obtidos no capítulo anterior, não é satisfeita a verificação

da segurança ao punçoamento nas 3 metodologias. Existem diversas formas de diminuir as

exigências de resistência ao corte da ligação laje-pilar. Neste capítulo são apresentadas as

soluções escolhidas a nível global e local. Os resultados para as tensões de punçoamento após

este reforço são apresentados.

6.2 Reforço

Uma forma eficaz de reduzir as exigências de resistência ao corte da ligação laje-pilar consiste

baixar o valor dos deslocamentos laterais do edifício, diminuindo o momento fletor transmitido da

laje para o pilar, por via do aumento da rigidez da estrutura primária. Assim, com o objetivo de

reduzir os deslocamentos e esforços devido ao sismo nas ligações laje-pilar, optou-se por

acrescentar à estrutura 4 paredes com 5 metros de largura e 25 centímetros de espessura como

mostra a Figura 6:

Figura 6.1 –Planta do edifício com paredes de reforço (solução de reforço geral).

78

Contudo, ao acrescentar estes novos elementos, verifica-se que o problema da verificação ao

punçoamento continua a não ficar totalmente resolvido, sendo necessário adotar armadura

transversal de punçoamento. A área total de armadura transversal é dada pela expressão (6.1)

retirada do Eurocódigo 2 [7].

dusenf

vvA

efywd

cRdcsRd

sp .)75,0(

1

,

,,

(6.1)

Onde df efywd 25,0250, (MPa), com d em mm; (α) é a inclinação dos estribos. No caso

de se adotarem armaduras de punçoamento é necessário verificar se a tensão de corte no

contorno do pilar é menor que tensão de punçoamento atuante máxima, calculada segundo a

expressão (6.2).

cdRdsd fvv ..5,0max, (6.2)

Onde é um fator de redução da resistência do betão fendilhado, podendo ser calculado através

da expressão 250/16,0 ckf . O valor da tensão de punçoamento atuante máxima para

os pilares do edifício em estudo é MPavRd 28,5max, .

79

6.3 Resultados

Após o reforço com paredes no contorno do edifico, os valores dos deslocamentos máximos no

topo obtidos na estrutura sem a participação dos elementos secundários e na estrutura global

(δ1 e δ2 respetivamente) para as diferentes metodologias estão apresentados na Tabela 6.1.

Tabela 6.1 - Deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos sem a participação dos elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2) para as diferentes metodologias.

Sismo δ1 (m) δ2 (m)


Y 0,087 0,071


Y 0,084 0,071


Y 0,106 0,085

As Tabelas 6.2 e 6.3 sumarizam os valores obtidos do edifício, para os sismos em cada direção

(X e Y), para as diferentes metodologias. É apresentado também nestas tabelas a área total de

armadura de punçoamento necessária para que se verifique a segurança ao punçoamento. As

Figuras 6.2 à 6.5 ilustram a informação das tensões de punçoamento resistente e atuante nas

ligações laje-pilar contida nas Tabelas anteriores.

80

Tabela 6.2 - Tensão de punçoamento resistente e atuante e área total de armadura de punçoamento para as diferentes Metodologias (direção X).


v rd,c (Mpa) v sd (Mpa) Asp (cm2) v sd (Mpa) Asp (cm2) v sd (Mpa) Asp (cm2)

Pilar B4 0,642 0,868 9,73 0,877 9,96 0,939 11,52

Pilar B3 0,642 0,877 9,96 0,877 9,97 0,958 12,01

Pilar B2 0,642 0,789 7,76 0,796 7,93 0,846 9,19

Pilar C4 0,642 0,822 8,59 0,809 8,25 0,882 10,09

Pilar C3 0,601 0,994 13,69 0,896 11,22 0,983 13,41

Pilar C2 0,601 0,812 9,10 0,838 9,77 0,904 11,42

Pilar D2 0,601 0,844 9,91 0,887 11,00 0,962 12,89

Figura 6.2 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1

(direção X).

81

Figura 6.3 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção X).

82

Tabela 6.3 - Tensão de punçoamento resistente e atuante e área total de armadura de punçoamento para as diferentes Metodologias (direção Y).


v rd,c (Mpa) v sd (Mpa) Asp (cm2) v sd (Mpa) Asp (cm2) v sd (Mpa) Asp (cm2)

Pilar B4 0,642 0,890 10,29 0,880 10,03 0,945 11,69

Pilar B3 0,642 0,893 10,37 0,906 10,70 0,998 13,03

Pilar B2 0,642 0,880 10,05 0,882 10,08 0,947 11,74

Pilar C4 0,642 0,860 9,53 0,854 9,39 0,922 11,09

Pilar C3 0,601 0,898 11,27 0,900 11,32 0,995 13,73

Pilar C2 0,601 0,863 10,39 0,871 10,58 0,937 12,26

Pilar D2 0,601 0,794 8,66 0,732 7,10 0,821 9,34

Figura 6.4 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção Y).

83

Figura 6.5 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção Y).

84

Constata-se para a ligação laje-pilar mais esforçada (Pilar C3 na metodologia 3 para o sismo em

Y) não é ultrapassado o valor de cálculo máximo da tensão de punçoamento atuante no contorno

do pilar: MPavv Rdsd 28,581,1 max,

Os resultados obtidos mostram que a quantidade de armadura transversal de punçoamento

difere substancialmente nas diferentes metodologias consideradas, tal como verificado no

capitulo 5 para o esforço de corte atuante. A introdução de paredes no contorno é positiva para

a redução do esforço de corte atuante e, deste modo, da armadura transversal, conduzindo a

pormenorizações de armaduras mais adequadas. Caso contrário, podem ser necessárias

quantidades de armadura muito elevadas com as respetivas dificuldades de pormenorização.

Um aspeto que interessa ainda referir é relativo ao valor do coeficiente de comportamento

considerado e o seu efeito no dimensionamento da ligação pilar-laje. No dimensionamento da

estrutura do edifício com as paredes localizadas no contorno poder-se-ia tomar um coeficiente

de comportamento igual a 3. Este valor conduziria a uma redução das quantidades de armadura

nos elementos sísmicos primários e, consequentemente, a uma redução da sua rigidez efetiva.

Este aspeto traduzir-se-ia num agravamento das tensões de corte atuantes na ligação laje-pilar

pelo facto de os deslocamentos laterais na estrutura sob a ação sísmica aumentarem.

85

7 Conclusões

O comportamento dos sistemas fungiformes sob ações cíclicas não está ainda suficientemente

estudado e a regulamentação é, em geral, omissa quanto ao seu dimensionamento para a ação

sísmica.

Os requisitos de dimensionamento ao punçoamento de lajes fungiformes sujeitas a cargas

gravíticas e laterais em regiões de baixa sismicidade estão bem estabelecidos no Eurocódigo 2.

Contudo, para lajes fungiformes em regiões de elevada sismicidade é possível ocorrer a rotura

por punçoamento mesmo que a tensão de corte atuante no perímetro de controlo não exceda a

tensão de corte resistente relativa a ações monotónicas. Nestes casos é posta a hipótese da

degradação da resistência ao corte da laje no perímetro de controlo causada pelo carácter cíclico

da ação. Esta degradação da resistência ao corte nas lajes fungiformes não está contemplada

nos requisitos de dimensionamento presentes no Eurocódigo 2.

De modo a reduzir a complexidade e elevado custo associado ao uso de análises tridimensionais

não lineares, recorre-se muitas vezes a modelos de análise mais simples para analisar lajes

fungiformes sujeitas à ação sísmica. Na presente dissertação foram usados o modelo analítico

de viga com largura efetiva (effective beam width model - ASCE/SEI 41 [3], FEMA 274 [9]) e a

análise por pórticos equivalentes do Eurocódigo 2. A eficácia do uso destes modelos está

dependente da correta aferição da rigidez da laje, que tem em conta a fendilhação que ocorre na

laje devido a ações sísmicas e gravíticas.

No modelo de viga com largura efetiva usado nesta dissertação (Han e Park 2009 [12]), a aferição

da rigidez efetiva da laje, traduzida pelo fator de redução da rigidez da laje ( ), reveste-se de

alguma complexidade. A obtenção deste fator implica a realização de um processo, impraticável

de um ponto de vista prático. Numa fase inicial de modelação é impossível saber qual as

dimensões da viga com largura efetiva para qualquer ligação laje-pilar. É reforçada assim a

necessidade da existência de uma metodologia prática de aferição da rigidez de lajes fungiformes

sob a ação sísmica.

Existe ainda alguma falha no conhecimento sobre a ligação laje-parede. De um ponto de vista

prático, a modelação deste tipo de ligação também não é muito clara. Alguns estudos mostram

que a rigidez da laje nestas ligações é baixa. É necessário o desenvolvimento de mais estudos

nesta matéria.

Nos casos de estudo analisados, verifica-se que o nível de momento transmitido pela laje ao pilar

sob a ação dos sismos influencia significativamente o esforço de corte desenvolvido nessa

ligação. Este esforço é muito superior à resistência ao punçoamento que a laje do edifício possui,

mesmo após o aumento da rigidez do edifício com paredes sismo-resistentes no contorno do

edifício.

86

A análise dos resultados dos esforços de corte desenvolvidos na ligação laje-pilar para as 3

metodologias de análise do edifício mostram que estes são significativamente influenciados

pelas considerações de rigidez atribuídas à laje e à estrutura primária do edifício. Na avaliação

dos momentos atuantes na ligação laje-pilar é assim importante aferir adequadamente a rigidez

do sistema fungiforme para cargas laterais.

Na metodologia de análise do edifício nº 3, onde a rigidez dos elementos foi considerada de

forma mais precisa, verifica-se que os esforços de corte atuantes são cerca de 10% superiores

aos obtidos para a metodologia 1, onde a modelação foi realizada com base nas recomendações

simplificadas do Eurocódigo 8 e Eurocódigo2. Estes resultados mostram que a consideração

simplificada de uma rigidez efetiva da estrutura igual a 50% da rigidez elástica pode conduzir ao

dimensionamento contra a segurança da laje fungiforme.

Para um mesmo sistema estrutural, quanto maior for a exploração da ductilidade da estrutura

primária (maiores valores do coeficiente de comportamento adotado no dimensionamento)

maiores serão as exigências de resistência ao corte na ligação laje-pilar;

Os resultados obtidos no estudo recomendam prudência no dimensionamento das lajes

fungiformes, nomeadamente na verificação da segurança ao punçoamento. Recomenda-se que

seja realizada uma avaliação adequada da rigidez efetiva quer da estrutura primária quer do

sistema fungiforme na modelação estrutural.

87

8 Referências bibliográficas

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88

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[23] Pan, A. P., and Moehle, J. P. – “An experimental study of slab-column connections.” ACI

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[29] Vanderbilt, M. Daniel. "Equivalent Frame Analysis for Lateral Loads." Proceedings,

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[30] Vanderbilt M. D., and Corley, W. G. – “Frame analysis for concrete buildings.” Concr Int.:

Des. Constr, p. 33–43, 1983

89

ANEXOS

90

ANEXO A

Espécimes testadas por Pan, A. P., e Moehle, J. P. em “Lateral displacement ductility of

reinforced concrete” (1989):

91

Efeito das cargas gravíticas na ductilidade das ligações laje-pilar usadas por Pan, A. P., e

Moehle, J. P.em “Lateral displacement ductility of reinforced concrete” (1989):

92

Configuração dos testes executados por Pan, A. P., e Moehle, J. P. em “An experimental study

of slab-column connections.” (1992)

93

Detalhes das 4 espécimes testadas por Pan, A. P., e Moehle, J. P. em “An experimental study of

slab-column connections.” (1992)

Disposição do reforço na laje das 4 espécimes testadas por Pan, A. P., e Moehle, J. P. em “An

experimental study of slab-column connections.” (1992)

94

ANEXO B

Detalhes das ligações laje-pilar interiores usadas no estudo realizado por Han e Park (2009):

Detalhes das ligações laje-pilar exteriores usadas no estudo realizado por Han e Park (2009):

95

ANEXO C

Iterações realizadas para o cálculo do fator de redução de rigidez usando as fórmulas de Han e

Park (2009):

5,05,0

32,04,0cr

a

cr

a

M

M

M

M


5,05,0

14,021,0cr

a

cr

a

M

M

M

M


EIXOS USADOS NO CÁLCULO DOS PILARES

96

MOMENTO DE FENDILHAÇÃO

Mcr (Momento de Fendilhação DirecçãoX) [kNm] Mcr (Momento de Fendilhação DirecçãoX)

[kNm]

EIXOS A B C D EIXOS B C D

4 135,3 135,3 135,3 135,3 5 135,3 135,3 113,7

3 135,3 135,3 135,3 135,3 4 135,3 135,3 113,7

2 123,2 123,2 123,2 123,2 3 135,3 135,3 113,7

2 135,3 135,3 113,7

1 135,3 135,3 113,7

97

1º CÁLCULO

(Momentos Ma devidos à combinação fundamental)

Ma (Comb. Fundamental DirecçãoX) (kNm)

Ma (Comb. Fundamental DirecçãoY) (kNm)


4 66,5 191,0 180,1 112,9 5 66,2 66,2 23,3

3 66,2 191,6 164,3 169,3 4 195,0 197,0 91,8

2 63,6 173,4 154,0 112,5 3 167,0 167,0 142,5

2 160,0 161,0 131,0

1 38,6 38,6 36,2

Factor de Redução de Rigidez β (DirecçãoX)

Factor de Redução de Rigidez β ( (DirecçãoX)


4 0,312 0,289 0,308 0,235 5 0,312 0,312 0,456

3 0,312 0,288 0,338 0,179 4 0,282 0,279 0,240

2 0,304 0,290 0,328 0,429 3 0,333 0,333 0,178

2 0,346 0,344 0,355

1 0,397 0,397 0,379

Viga com Largura Efetiva β*α.l2 (m) (DirecçãoX) Viga com Largura Efetiva β*α.l2 (m)

(DirecçãoY)

EIXOS A B C

D (esq)

D (dir) EIXOS B C D

4 1,15 1,21 1,28 0,98 5 1,15 1,15 1,79

3 1,15 1,20 1,41 0,74 4 1,18 1,16 0,47

2 1,05 1,21 1,37 1,79 1,61 3 1,39 1,39 0,74

2 (esq) 1,44 1,43 1,48

2 (dir) 1,36 1,35 1,39

1 1,46 1,46 1,51

98

1ª ITERAÇÃO

(Momentos Ma devido à combinação sísmica)

Ma (Comb. Sísmica DirecçãoX) (kNm) Ma (Comb. Sísmica DirecçãoY) (kNm)


4 97,8 196,0 191,0 64,5 5 101,5 100,8 123,3

3 99,8 203,3 218,5 216,3 4 205,4 205,1 177,4

2 98,4 197,4 202,2 215,0 3 200,0 201,0 210,0

2 196,9 196,9 203,0

1 100,8 100,4 99,4




4 0,256 0,281 0,289 0,235 5 0,250 0,251 0,199

3 0,253 0,269 0,245 0,144 4 0,266 0,266 0,147

2 0,242 0,248 0,240 0,219 3 0,274 0,273 0,123

2 0,279 0,279 0,212

1 0,251 0,252 0,229


(DirecçãoY)

EIXOS A B C D (esq)

D (dir) EIXOS B C D

4 0,94 1,17 1,21 0,98 5 0,92 0,93 0,78

3 0,93 1,12 1,02 0,60 4 1,11 1,11 0,29

2 0,84 1,03 1,00 0,91 0,82 3 1,14 1,14 0,51

2 (esq) 1,16 1,16 0,88

2 (dir) 1,10 1,10 0,83

1 0,93 0,93 0,91

99

2ª ITERAÇÃO




4 110,8 211,0 192,0 64,5 5 124,1 123,2 113,6

3 113,2 211,3 204,2 195,0 4 227,6 226,8 170,6

2 110,0 199,3 194,4 177,0 3 226,9 226,6 172,0

2 216,9 216,6 176,9

1 118,4 117,9 108,2

Factor de Redução de Rigidez β (DirecçãoX) Factor de Redução de Rigidez β (

(DirecçãoX)


4 0,238 0,257 0,288 0,235 5 0,222 0,223 0,210

3 0,235 0,256 0,267 0,159 4 0,232 0,233 0,153

2 0,226 0,244 0,253 0,283 3 0,233 0,233 0,152

2 0,248 0,248 0,257

1 0,229 0,229 0,217


(DirecçãoY)

EIXOS A B C D (esq)

D (dir) EIXOS B C D

4 0,88 1,07 1,20 0,98 5 0,82 0,82 0,82

3 0,87 1,07 1,11 0,66 4 0,97 0,97 0,30

2 0,78 1,02 1,05 1,18 1,06 3 0,97 0,97 0,63

2 (esq) 1,03 1,03 1,07

2 (dir) 0,97 0,98 1,01

1 0,84 0,84 0,87

100

3ª ITERAÇÃO




4 106,8 205,0 188,5 64,5 5 117,1 116,8 133,3

3 109,9 208,8 208,8 198,0 4 212,8 212,7 153,4

2 107,6 199,1 202,0 180,0 3 208,0 208,0 191,0

2 201,8 201,9 190,0

1 110,0 110,0 109,7




4 0,243 0,266 0,293 0,235 5 0,230 0,231 0,188

3 0,239 0,260 0,260 0,156 4 0,254 0,254 0,168

2 0,229 0,245 0,240 0,278 3 0,261 0,261 0,137

2 0,271 0,271 0,234

1 0,239 0,239 0,215


(DirecçãoY)

EIXOS A B C D (esq)

D (dir) EIXOS B C D

4 0,90 1,11 1,22 0,98 5 0,85 0,85 0,74

3 0,88 1,08 1,08 0,65 4 1,06 1,06 0,33

2 0,79 1,02 1,00 1,16 1,04 3 1,09 1,09 0,57

2 (esq) 1,13 1,13 0,97

2 (dir) 1,07 1,07 0,92

1 0,88 0,88 0,86

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