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1 A. P. Ramos Out. 2006 ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fct fct - - UNL UNL Estruturas de Betão Armado II 10 – Lajes Fungiformes – Análise Estrutural

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL

Estruturas de Betão Armado II10 – Lajes Fungiformes –

Análise Estrutural

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL10 – Lajes Fungiformes – Análise Estrutural

Breve Introdução Histórica

1907 – Turner & Eddy (???)50

2pblM =−

1914 – Nichols 832 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=clpb

MTOTAL

1920 - ACI2

3209.0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= clpbMTOTAL

1969 – CP11410

32 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=clpb

MTOTAL

1972 – CP110 e BS81108

32 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=clpb

MTOTAL

1989 – ACI318-89

( )8

2clpbMTOTAL−

=

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOSAnálise Elástica

Malha: mais discretizada junto aos pontos com singularidades, tais como pilares, extremidades de paredes, cantos reentrantes, zonas de cargas pontuais, etc..

Intrepetação dos resultados:não considerar os momentos obtidos nos cantos reentrantes, nas zonas de cargas pontuais e nas zonas de apoio simuladadaspontualmente.

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOSApoios pontuais

Na interpretação dos resultados junto de apoios pontuais deveráproceder-se a uma redução do momento de “pico” sobre o apoio.

BS8110

6cpblM ≈Δ

ACI 318-89

4cpblM ≈Δ

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOSDimensionamento de Armaduras em Lajes Maciças

Os momentos obtidos num ponto pelo MEF são (mEdx, mEdy, mEdxy). Para utilizarmos uma malha ortogonal de armaduras temos que calcular os momentos flectores segundo x e y da seguinte forma:

Armadura inferior

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

EdxyEdyEdy

EdxyEdxEdx

mmmmmm

´

´

00:0 ´´´´ ==< EdyEdxEdyEdx mementãomemSe

Edy

EdxyEdyEdyEdxEdx m

mmmementãomSe

2´´´ 0:0 +==<

Edx

EdxyEdxEdxEdyEdy m

mmmementãomSe

2´´´ 0:0 +==<

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOSDimensionamento de Armaduras em Lajes Maciças

Armadura superior

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

EdxyEdyEdy

EdxyEdxEdx

mmmmmm

´

´

00:0 ´´´´ ==> EdyEdxEdyEdx mementãomemSe

Edy

EdxyEdyEdyEdxEdx m

mmmementãomSe

2´´´ 0:0 −==>

Edx

EdxyEdxEdxEdyEdy m

mmmementãomSe

2´´´ 0:0 −==>

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOSLajes Nervuradas

Equação de Lagrange para lajes ortotrópicas:

px

Dx

Hx

D yx −=∂∂

+∂∂

+∂∂

4

4

4

4

4

4

2 ωωω

xyxyyyxx DDD

DDH +=+

+= ´

2υυcom:

É necessário dispor de um programa de elementos finitos com elementos de laje ortotrópicas:

aIEDD cc

yx ==

00 =⇒= xyxy mD

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Lajes Nervuradas

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ANALOGIA DE GRELHA

Modelação da laje com elementos de “barra”.

Discretização:

Rigidez dos elementos:

12

3haI =

Se considerarmos equilíbrio só por flexão

00 =⇒= TJ

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ANALOGIA DE GRELHACargas:

Momentos dos elementos:

• elementos segundo x – My mx = My/a

Cargas nas barras Cargas nas nós

• elementos segundo y – Mx my = Mx/a

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES

Utilizar somente em estruturas regulares.

Divisão da estrutura em pórticos ortogonais:

A estrutura é dividida longitudinal e transversalmente em pórticos constituídos por pilares por troços de lajes compreendidos entre as linhas médias de painéis adjacentes.

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES

Modelação dos painéis:

Os painéis de laje são modelados através de elementos do tipo barra (elementos lineares) equivalentes.

Situação real

Situação “simulada”

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES

Rigidez da ligação laje-pilar

A rigidez da ligação laje-pilar real é menor do que a simulada pelo método dos pórticos equivalentes, se for considerada toda a largura da banda para cálculo desta.

Laje apoiada em toda a sua largura

00 θKM =

lbDK 12

0 =

( )2

3

112 υ−=

hED c

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESRigidez da ligação laje-pilar

Laje apoiada em pilar

ssKM θ=

Para laje maciças:

0

1503KKbbD

lcK s

es =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

A largura efectiva elástica a utilizar deveria ser: 117.425.0 clbe +=

Os regulamentos tem este facto em conta, recomendando o REBAP um be=0.5b enquanto que o EC2 recomenda be=0.4b.

A consideração de uma largura elástica efectiva, para traduzir a maior flexibilidade das ligações entre os pilares e as lajes fungiformes (quando comparada com a ligação pilares-vigas), éprincipalmente importante para cargas horizontais.

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESRigidez da ligação laje-pilar

Lajes nervuradas:25.075.0

15025.6 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

lb

lb

ll

lcK ssss

s

( )25.075.0

117.452.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

lb

lb

llclb ssss

e

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESRigidez da ligação laje-pilar

Largura Efectiva tendo em conta a Fendilhação

Lajes maciças: 125.2 cbe =

Lajes nervuradas:25.075.0

125.2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

lb

lb

llcb ssss

e

In “Punçoamento Excêntrico em Lajes Fungiformes de Betão Armado”,

J.M. Pinheiro Soares

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESRigidez da ligação laje-pilar

Menor rigidez da ligação laje fungiforme-pilar implica menores momentos transmitidos entre a laje e o pilar.

Implicações:

• Na verificação do punçoamento;

• No dimensionamento dos pilares e rigidez da estrutura às acções horizontais;

• Na quantificação dos efeitos de 2ª ordem nos pilares;

• No dimensionamento da laje à flexão.

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESRigidez da ligação laje-pilar

Cargas verticais:

122

31 ccIc =

12

3

0hbI =

Cargas horizontais:

122

31 ccIc =

12

3

00

hbKKII es

s ==

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESGeometria

REBAP:

bc = b/2

BS8110:

bc = menor de b/2 ou l/2

EC2:

bc = b/2

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESDistribuição dos momentos na laje

Os momentos flectores totais obtidos na análise devem ser distribuídos por toda a largura da laje. Na análise elástica, os momentos negativos tendem a concentrar-se na vizinhança dos eixos dos pilares.

REBAP

cbMm −− = 75.01

( )cbbMm −= −− 25.02

BS8110

( )cbMm 5.005.03−− =

( )cbMm 5.025.04−− =

cbMm ++ = 55.01

( )cbbMm −= ++ 45.02

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESDistribuição dos momentos na laje segundo o EC2

O EC2 recomenda uma distribuição simplificada de momentos de acordo com o seguinte quadro, com a condição adicional de que o total dos momentos negativos e positivos, aos quais devem resistir conjuntamente as faixas sobre os pilares e as faixas centrais, deve ser igual a 100%:

50 – 30% (45%)40 – 20% (25%)Faixa central

50 – 70% (55%)60 – 80% (75%)Faixa sobre pilares

Momentos positivos

Momentos negativos

Em pilares interiores, a não ser que se efectuem cálculos rigorosos para as condições de utilização, deve adoptar-se uma armadura superior com uma área de 0.5At distribuída numa largura de cada lado do pilar igual a 0.125 vezes a largura do painel de laje. At representa a área das armaduras necessárias para resistir ao momento negativo total resultante da soma dos dois semi-painéis de cada lado do pilar. Esta recomendação equivale a utilizar uma pormenorização de armaduras idêntica à da BS8110.

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESDistribuição dos momentos na laje segundo o EC2

Utilizando os valores entre parêntesis do quadro apresentado na página anterior:

EC2

( )cbbMm −= −− 25.02

( )cbMm 5.005.03−− =

( )cbMm 5.025.04−− =

cbMm ++ = 55.01

( )cbbMm −= ++ 45.02

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MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTESDistribuição dos momentos na laje

PROPOSTA PARA LAJES NERVURADAS

( ) xssss

ss

DbbDbDb−+

( )2

3

112 υ−=

hED c

aIE

D ccx =

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Pilares de bordo e de canto

A não ser que haja vigas de bordo, devidamente dimensionadas àtorção, os momentos transferidos pela laje para os pilares de bordo ou de canto devem ser limitados a:

Mmax = 0,17 be d2 fck

As armaduras perpendi-culares a um bordo livre, necessárias à transmissão de momentos flectores da laje para um pilar de bordo ou de canto, devem ser colocadas na largura efectiva be.

O momento positivo no tramo de extremidade deve ser calculado em conformidade com o momento negativo.