AMOSTRAGEM PREFERENCIAL EM PROCESSOS ESPACIAIS DISCRETOS: CASOS BERNOULLI … · 2015-12-01 ·...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE MATEMATICA

DEPARTAMENTO DE METODOS ESTATISTICOS

AMOSTRAGEM PREFERENCIAL EM PROCESSOS

ESPACIAIS DISCRETOS: CASOS BERNOULLI E POISSON

Dissertacao de mestrado

por

Ingrid Christyne Luquett de Oliveira

2015

Amostragem Preferencial em Processos EspaciaisDiscretos: casos Bernoulli e Poisson

Ingrid Christyne L. de Oliveira

Dissertacao de Mestrado submetida ao Programa de Pos-Graduacao em Estatıstica do Ins-

tituto de Matematica da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos

requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre em Estatıstica.

Aprovada por:

Profa. Alexandra Mello Schmidt

Ph.D. - IM - UFRJ - Presidente

Prof. Gustavo da Silva Ferreira

D.Sc. - ENCE - IBGE

Prof. Helio dos Santos Migon

Ph.D. - IM - UFRJ

Rio de Janeiro, RJ - Brasil

2015

ii

Oliveira, Ingrid Christyne Luquett de

O48i Amostragem Preferencial em Processos Espaciais Discretos:

casos Bernoulli e Poisson / Ingrid Christyne Luquett de

Oliveira. - - Rio de Janeiro, 2015.

64f.

Orientadora: Alexandra Mello Schmidt.

Dissertacao (mestrado) - Universidade Federal do

Rio de Janeiro, Instituto de Matematica, Programa de

Pos-Graduacao em Estatıstica, 2015.

1. Estatıstica Espacial. 2. Amostragem Preferencial

3. Processos Espaciais Discretos. I. Schmidt, Alexandra

Mello, orient. II. Tıtulo.

iii

Agradecimentos

Sempre me encanto com uma frase que diz “Deseje ter asas, mas tambem raızes”. E sua

traducao mostra-se clara em minha vida: ainda que eu va, sempre retornarei ao meu porto

seguro, que e a minha famılia. Agradeco a eles por todo amor a mim dedicado e em nenhum lugar

me sentirei tao querida quanto em casa. Sou imensamente grata pela dedicacao, inspiracao,

educacao e todos os valores que me foram passados. Se hoje estou aqui, defendendo minha

dissertacao de mestrado, com toda certeza devo grande parte a eles. Agradeco aos meus pais,

Jorge e Valeria, pelo incentivo e por me fazerem acreditar que sempre posso dar um passo

adiante. Sei que minha mae, onde estiver, sorri pelo meu sucesso. Agradeco ao meu irmao,

Douglas, pelas incontaveis discussoes e por me motivar a ter um olhar mais crıtico sobre o

mundo. Ao meus avos, tios e primos agradeco por sempre se fazerem presentes e serem parte

tao fundamental de mim. Aos mais distantes agradeco por integrarem essa linda famılia.

Aos meus amigos gostaria de gritar ”obrigada”. Obrigada pela paciencia, pela parceria, por

me ouvirem e me consolarem quando precisei, por me incentivarem e por tantas outras atitudes

que me fazem sentir especial por ter pessoas maravilhosas ao meu lado. Aos que dividiram

muitas aulas de Estatıstica e agora dividem minha vida, obrigada! Aos que compartilhavam

somente momentos de lazer e sem os quais hoje nao vivo, obrigada! Aos amigos de infancia, com

os quais partilhei todas as fases, obrigada! Aos que mesmo a quilometros de distancia se fazem

presentes, obrigada! Agradeco a todos que, a sua maneira, torcem pela minha felicidade. Em

especial, agradeco a elas que acompanharam de perto esses anos de mestrado: Anyta, Evelyn,

Haydda, Isabel, Juliana F., Juliana G., Marcela, Sabrina e Sarah.

Aos queridıssimos Carlos, Mariana e Rafael agradeco pelas horas de estudo, por me moti-

varem, por compartilharem seu conhecimento, por dividirem comigo boa parte dos dias nesses

ultimos dois anos, pelas risadas e, principalmente, por me inspirarem. Ficarei feliz por cada

conquista de voces porque conheco o empenho e comprometimento devotados. Obrigada por

tornarem essa longa caminhada tao mais leve!

A minha orientadora Alexandra M. Schmidt dedico imensa gratidao. Obrigada pela opor-

tunidade de entrar nesse projeto, pela paciencia, pelos conselhos profissionais e pessoais, pela

disposicao em ajudar, pela calma em momentos em que o estresse me imobilizava e por ser uma

grande inspiracao.

Agradeco aos professores do DME/UFRJ pelo compromisso com o conhecimento e pelo

esforco em manter um programa de pos graduacao de excelencia. Agradeco tambem aos alunos

do programa que, de alguma maneira, contribuıram para que essa dissertacao tomasse forma.

iv

Resumo

Nos ultimos anos, grande destaque tem sido dado ao estudo de eventos georeferenciados.

Como consequencia, percebe-se uma rapida expansao das metodologias aplicadas a Estatıstica

Espacial. Em particular, problemas geoestatısticos, que consideram fixas as estacoes de coleta

de dados, ganham notoriedade em diferentes areas do conhecimento como, por exemplo, na

analise do nıvel de poluentes na atmosfera e em estudos climaticos.

A escolha dos locais de observacao do processo espacial de interesse e comumente norteada

por questoes praticas, nem sempre obedecendo a criterios rıgidos de amostragem. Por essa

razao, modelos que nao considerem informacoes sobre a selecao da amostra podem conduzir a

conclusoes erroneas na inferencia e na previsao do processo espacial. Nesse contexto, Diggle

et al. (2010) propoem uma classe de modelos que admite a possibilidade de dependencia

estocastica entre o processo espacial que determina as estacoes de monitoramento e o processo

espacial em estudo.

Em virtude da diversidade dos problemas encontrados, a presente dissertacao se propoe a

estender a metodologia abordada em Diggle et al. (2010) para situacoes onde as observacoes

sao de natureza discreta. Em especial, serao explorados cenarios para os quais as distribuicoes

de probabilidade Poisson e Bernoulli parecem descrever bem os dados. A analise dos modelos

propostos sera conduzida atraves de dados artificiais, verificando as consequencias da omissao

de informacoes sobre a amostragem das estacoes de monitoramento.

Palavras-Chave: Amostragem Preferencial; Processos Espaciais Discretos; Processo Pon-

tual; Geoestatıstica;

v

Abstract

In recent years, great emphasis has been given to the study of georeferenced events. As a

result, a rapid expansion of the methodologies applied to Spatial Statistics became notorious.

In particular, geostatistical problems, those that consider fixed stations to data collection, gain

notoriety in different knowledge areas such as in the climate analysis or in researches about the

level of pollutants into the atmosphere.

The choice of observation spots to the spatial process is commonly guided by practical

issues, not always according to strict sampling criteria. Due to this reason, models that do not

consider information about the sample selection can lead to erroneous conclusions over inference

and prediction of the spatial process. In this context, Diggle et al. (2010) proposed a class of

models that admits the possibility of stochastic dependence between the spatial process that

establishes the monitoring stations and the spatial process under investigation.

Due to the diversity of problems encountered, this dissertation proposes to extend the

methodology discussed in Diggle et al. (2010) for situations where the observations are discrete.

In particular, will be explored scenarios in which Poisson and Bernoulli probability distributions

seems to describe the data properly. The analysis of the proposed models will be conducted

through artificial data by checking the consequences of omitting information about the sampling

process of monitoring stations.

Keywords: Preferential Sampling; Discrete Spatial Processes; Point Process; Geoestatistics;

vi

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Inferencia Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Estimacao Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Estimacao Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Previsao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Inferencia via simulacao estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Metodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Amostrador de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Modelos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Modelos Lineares Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Organizacao da dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Processos Espaciais 11

2.1 Geoestatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Inferencia Bayesiana em Geoestatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Processos Pontuais Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Modelos para Processos Pontuais Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Inferencia via discretizacao espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Amostragem Preferencial 24

3.1 Estudo de Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Amostragem Preferencial em Processos Espaciais Discretos 33

4.1 Modelos Lineares Espaciais Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Modelo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Estudo de Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Modelo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Estudo de simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Discussao e conclusoes 60

vii

Referencias Bibliograficas 63

viii

Lista de Tabelas

3.1 Estimativas de θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Funcoes de ligacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Estimativas de θ - Modelo Poisson (cenario 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



4.5 Erro de previsao global - Modelo Poisson (cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6 Estimativas de θ - Modelo Bernoulli (cenario 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7 Estimativas de θ - Modelo Bernoulli (cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.8 Erro de previsao global - Modelo Bernoulli (cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . 58

ix

Lista de Figuras

2.1 Exemplos de arranjos pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Histograma a posteriori de µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Histogramas a posteriori de σ2, τ2 e φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Histogramas a posteriori de α e β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Previsao de S em D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Histogramas a posteriori de µ, σ2 e φ - Modelo Poisson (cenario 1). As linhas ver-

ticais tracejadas correspondem aos respectivos valores verdadeiros dos parametros. 40

4.2 Previsao de S em D - Modelo Poisson (cenario 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Histogramas a posteriori de µ, σ2 e φ - Modelo Poisson (cenario 2). As linhas ver-

ticais tracejadas correspondem aos respectivos valores verdadeiros dos parametros. 43

4.4 Histogramas a posteriori de α e β - Modelo Poisson (cenario 2) . . . . . . . . . . 43


4.6 Intervalos de 95% de credibilidade de θ para o modelo sob amostragem preferen-

cial com M = 400 sub-regioes (modelo 1) e com M = 225 sub-regioes (modelo

2). As linhas tracejadas correspondem aos respectivos valores verdadeiros dos

parametros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.7 Histogramas a posteriori para o modelo sem considerar a amostragem preferencial

(modelo ) - Modelo Poisson (cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


4.9 Histogramas a posteriori de µ, σ2 e φ - Modelo Bernoulli (cenario 1) . . . . . . . 53

4.10 Histogramas a posteriori de α e β - Modelo Bernoulli (cenario 1) . . . . . . . . . 53

4.11 Previsao de S em D - Modelo Bernoulli (cenario 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.12 Histogramas a posteriori para o modelo com 400 sub-regioes - Modelo Bernoulli

(cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.13 Histogramas a posteriori para o modelo com 225 sub-regioes - Modelo Bernoulli

(cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.14 Histogramas a posteriori para o modelo sem considerar a amostragem preferencial

- Modelo Bernoulli (cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.15 Previsao de S em D para os modelos I e II - Modelo Bernoulli (cenario 3) . . . . 58

x

4.16 Previsao de S em D - Modelo Bernoulli (cenario 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

xi

Capıtulo 1

Introducao

A analise de eventos espacialmente referenciados ganhou bastante destaque nos ultimos

anos. A area da Estatıstica que abrange o estudo desses eventos e conhecida como Estatıstica

Espacial e engloba diversos metodos quantitativos para inferencia e previsao de processos cuja

localizacao de observacao dos dados e relevante.

Em particular, a Geoestatıstica e uma sub-area da Estatıstica Espacial na qual os dados sao

obtidos pela observacao do processo espacial contınuo S = S(x) : x ∈ Rd em um conjunto

de localizacoes x = (x1, . . . , xn) finito e fixo numa regiao de interesse D ⊂ Rd. Em geral, os

principais objetivos da Geoestatıstica sao inferir sobre processos contınuos em D e prever tais

processos para uma nova localizacao x0 ∈ D, baseados na amostra x.

A escolha de x e comumente guiada por questoes de ordem pratica como, por exemplo,

em estudos de poluentes atmosfericos onde pode haver a necessidade de alocar estacoes de

monitoramento proximas a provaveis fontes de poluicao e/ou em areas de maior densidade

populacional. Desta forma, alocar x de maneira a capturar valores altos (ou baixos) de S pode

levar a estimativas e previsoes viesadas.

Em grande parte da literatura em Geoestatıstica, os modelos para S tratam as localizacoes

xi como fixas de acordo com um desenho amostral ou assumem que o processo pontual X

que determina x e estocasticamente independente de S. Assim, modelos geoestatısticos assu-

mem, implicitamente, que a escolha das localizacoes xi ocorre de maneira nao preferencial, nao

havendo beneficiamento de nenhuma sub-regiao em D.

Recentemente, muita atencao tem sido dada ao tema. Diggle et al. (2010) admitem de-

pendencia entre o processo pontual X e o processo espacial S, que esta sendo modelado. Mais

especificamente, assume-se que X, condicional a S, e um processo de Poisson nao homogeneo

com funcao de intensidade λ(x) = expα + βS(x). A dependencia estocastica entre X e S

define o conceito de amostragem preferencial.

Motivados por contextos em que a variavel de interesse Y nao segue distribuicao de proba-

bilidade normal, mesmo sob tranformacoes, nosso estudo se propoe a estender a metodologia

apresentada em Diggle et al. (2010) para cenarios onde Y tem natureza discreta e seu valor

esperado E[Y ] esta associado a S por uma funcao de ligacao g. Abordaremos os casos onde

1

Y tem distribuicao de probabilidade Poisson e em que Y e binaria, apresentando estudos com

dados artificiais para as duas situacoes.

Neste capıtulo introdutorio sera apresentada uma breve revisao dos conceitos necessarios a

compreensao da presente dissertacao. As secoes nele contidas estao organizadas da seguinte ma-

neira: na Secao 1.1 encontra-se descrito o procedimento de inferencia sob o enfoque bayesiano;

a Secao 1.2 aborda metodos computacionais aplicados a inferencia Bayesiana; em particular

apresentaremos os Metodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov ao longo da Secao 1.3;

na Secao 1.4 estao descritos os conceitos fundamentais sobre modelos lineares generalizados;

finalmente, a Secao 1.5 descreve a organizacao dos capıtulos da dissertacao.

1.1 Inferencia Bayesiana

Nesta secao serao apresentados os principais conceitos relacionados ao procedimento de

inferencia Bayesiana.

Considere Y uma variavel aleatoria (ou vetor aleatorio) cuja funcao de probabilidade e

denotada por p(Y | θ), onde θ e um parametro (ou um vetor de parametros) que caracteriza

a distribuicao de probabilidade de Y . O valor de θ nao e conhecido e, em geral, desejamos

estima-lo. Sob o enfoque bayesiano, podemos atribuir nossa incerteza acerca de θ associando a

ele uma distribuicao de probabilidade p(θ), chamada distribuicao a priori.

Uma vez obtida uma amostra de Y , denotada por y = (y1, . . . , yn), podemos combinar,

via teorema de Bayes, a informacao da funcao de verossimilhanca p(y | θ) com a distribuicao

a priori de θ, obtendo a distribuicao a posteriori de θ, p(θ | y). Pelo teorema de Bayes, a

atualizacao da informacao sobre θ e obtida pela expressao

p(θ | y) =p(y | θ)p(θ)

p(y), (1.1)

com

p(y) =

∫Θp(y, θ)dθ =

∫Θp(y | θ)p(θ)dθ,

onde Θ e o conjunto de todos os possıveis valores para θ.

Como p(y) nao depende de θ, podemos reescrever (1.1) como

p(θ | y) ∝ p(y | θ)p(θ). (1.2)

A influencia dos componentes p(y | θ) e p(θ) sobre a distribuicao a posteriori p(θ | y)

depende do peso dado a distribuicao a priori bem como do tamanho da amostra. Em resumo,

quanto maior o valor de n mais peso e dado a p(y | θ) e, em contrapartida, quanto mais

informativa for a distribuicao a priori mais peso sera dado a p(θ) na distribuicao a posteriori

de θ.

A inferencia sobre o parametro θ e baseada fundamentalmente nas informacoes contidas na

distribuicao a posteriori, distribuicao esta que contem toda a informacao probabilıstica acerca

2

de θ. Entretanto, existem situacoes em que deseja-se resumir a informacao contida em p(θ | y), o

que pode ser feito atraves de medidas resumo como mediana e variancia ou atraves de intervalos

de probabilidade. Nas Subsecoes 1.1.1 e 1.1.2 estao descritos os procedimentos de estimacao

pontual e intervalar, respectivamente.

1.1.1 Estimacao Pontual

A estimacao pontual e o caso mais simples e e utilizado quando se deseja sintetizar toda a

informacao contida na distribuicao a posteriori em um unico valor.

Podemos entao pensar na estimacao pontual como um problema de decisao, onde os ele-

mentos que compoem esse problema sao:

• espaco de parametros Θ;

• espaco de possıveis resultados do experimento Ω;

• espaco das possıveis acoes A;

Uma regra de decisao δ e uma funcao definida em Ω que assume valores em A, ou seja,

δ : Ω→ A. Para cada regra de decisao δ(y), y ∈ Ω, e para cada θ ∈ Θ associamos uma funcao

perda, L(δ, θ), que pode ser interpretada como uma medida de punicao ao tomarmos a decisao

δ(y), quando o verdadeiro valor do parametro e θ.

O risco associado a δ corresponde ao valor esperado da perda com respeito a distribuicao a

posteriori, e e dado por

R(δ) = Eθ|y[L(δ, θ)].

Um estimador pontual otimo de θ e aquele que minimiza, segundo uma funcao perda L(δ, θ),

o risco esperado de δ. Em particular, temos a seguir algumas funcoes perda que sao largamente

utilizadas:

• Perda absoluta: L(δ(y), θ) =| θ − δ(y) |

• Perda quadratica: L(δ(y), θ) = (θ − δ(y))T (θ − δ(y))

• Perda 0-1: L(δ(y), θ) =

1, se || θ − δ(y) ||≥ ε0, se || θ − δ(y) ||< ε

, para ε > 0 arbitrario.

3

Os estimadores otimos obtidos com a minimizacao de R(δ) para cada funcao de perda dada

anteriormente sao:

• Perda absoluta: θ tal que∫ θ−∞ p(θ | y)dθ = 0.5 (mediana a posteriori)

• Perda quadratica: θ = E(θ | y) (media a posteriori)

• Perda 0-1: θ tal que p(θ | y) = supθ∈Θp(θ | y) (moda a posteriori)

O valor obtido para θ apos a observacao da amostra y e chamado de estimativa de θ.

1.1.2 Estimacao Intervalar

Uma desvantagem inerente ao processo de estimacao pontual encontra-se no fato dele resu-

mir toda a informacao disponıvel na distribuicao a posteriori em um unico valor. Desta forma

nao e possıvel mensurar o quao precisa e a estimativa pontual. Uma alternativa e associar

alguma medida de incerteza a essa estimativa. Podemos, por exemplo, associar a variancia

amostral ao estimador dado pela media amostral.

Nesta subsecao sera apresentada uma outra abordagem, que consiste em encontrar um

intervalo de valores extraıdos da distribuicao a posteriori que mantenha um equilıbrio entre a

amplitude do intervalo e a probabilidade a ele associada. A esse intervalo chamamos intervalo

de credibilidade. Migon et al. (2014) definem um intervalo de credibilidade da seguinte maneira:

Seja θ uma quantidade desconhecida definida em Θ. A regiao C ⊂ Θ consiste em uma

regiao de 100(1 − α)% de credibilidade para θ se a probabilidade P (θ ∈ C | y) ≥ 1 − α. Nesse

caso, 1− α e dito o nıvel de credibilidade ou confianca.

A amplitude do intervalo nos informa sobre a dispersao dos valores de θ. Desta forma,

deseja-se que α e C sejam pequenos. Quanto menor C mais concentrada e a distribuicao a

posteriori. Em alguns casos, a desigualdade P (θ ∈ C | y) ≥ 1 − α pode ser substituıda pela

igualdade, o que implica que a regiao C sera a menor possıvel.

Cabe a ressalva que os intevalos de credibilidade sao invariantes a transformacoes um a

um. Assim, se C e um intervalo de 100(1 − α)% de credibilidade para θ e φ = g(θ) e uma

tranformacao biunıvoca, entao g(C) e um intervalo de 100(1− α)% de credibilidade para φ.

1.1.3 Previsao

Sob a otica Bayesiana, o processo de previsao de observacoes futuras e conduzido atraves

da obtencao da distribuicao preditiva.

Suponha que desejamos prever uma nova observacao y0 condicionalmente ao vetor de ob-

4

servacoes y. A distribuicao preditiva de y0 e dada por

p(y0 | y) =

∫Θp(y0, θ | y)dθ (1.3a)

=

∫Θp(y0 | θ,y)p(θ | y)dθ (1.3b)

=

∫Θp(y0 | θ)p(θ | y)dθ, (1.3c)

com a ultima igualdade valida somente se y0 e y forem independentes condicionais a θ.

Note que a equacao (1.3c) corresponde a esperanca de p(y0 | θ) com respeito a distribuicao

a posteriori. Desta forma, podemos reescrever a distribuicao preditiva avaliada em y0 como

p(y0 | y) = Eθ|y[p(y0 | θ)].

1.2 Inferencia via simulacao estocastica

Todo o procedimento de inferencia sob a abordagem Bayesiana e conduzido com base na

distribuicao a posteriori. Existem, porem, situacoes onde p(θ | y) pode ser complexa a ponto

de nao ser possıvel obte-la analiticamente. Entretanto, esse problema pode ser contornado

obtendo-se amostras da distribuicao a posteriori atraves de metodos de simulacao estocastica.

Entre os metodos de simulacao mais utilizados em inferencia Bayesiana encontram-se os

metodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC). Enquanto a Secao 1.3 consiste em

uma breve introducao ao metodos MCMC, as Subsecoes 1.3.1 e 1.3.2 apresentam o algoritmo

de Gibbs e o algoritmo de Metropolis-Hastings, respectivamente. Ambos sao casos particulares

destes metodos e sao amplamente empregados em inferencia Bayesiana.

1.3 Metodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov

Um metodo de Monte Carlo via Cadeias de Markov para simulacao de uma distribuicao

p e definido como qualquer metodo que produza uma cadeia de Markov ergodica (θt) cuja

distribuicao estacionaria seja p (Robert e Casella, 2004).

Uma cadeia de Markov (θt) e uma sequencia de variaveis aleatorias θ0,θ1, ...,θt, ... tal que

a distribuicao de θk+1 dados todos os valores anteriores θ0, . . . ,θk depende apenas de θk.

Matematicamente escreve-se

P (θk+1 ∈ A|θ0,θ1, ...,θk) = P (θk+1 ∈ A|θk),

para qualquer k. Cadeias de Markov sao ditas ergodicas se sao aperiodicas e recorrentes posi-

tivas. Resumidamente, uma cadeia de Markov e

5

• aperiodica: se, com probabilidade 1, nenhum dos seus estados e visitado apos d passos,

para qualquer d > 0 inteiro;

• recorrente positiva: quando o numero medio de passos para que uma cadeia retorne a

qualquer estado e finito;

Considere θ = (θ1, . . . , θp) o vetor de parametros do modelo em estudo, com funcao de

densidade conjunta p(θ) = p(θ1, . . . , θp). Considere, ainda, que q(θ,θ∗) define a distribuicao

condicional das transicoes entre os estados θ e θ∗. Alem da condicao de ergodicidade, a cadeia de

Markov deve ter probabilidades de transicao invariantes no tempo (condicao de homogeneidade)

e probabilidade positiva de transicao de um estado para qualquer outro estado em um numero

finito de iteracoes (condicao de irredutibilidade).

Satisfeitas todas as condicoes explicitadas acima, garantimos a existencia da distribuicao

estacionaria p e, apos um numero finito de iteracoes, podemos tomar os estados como uma

amostra aproximada de p. Em especial, em inferencia Bayesiana a distribuicao estacionaria da

qual desejamos amostrar e a distribuicao a posteriori de um vetor parametrico de interesse θ.

Nas subsecoes que seguem estao descritos os dois metodos MCMC mais utilizados: Amos-

trador de Gibbs e Algoritmo de Metropolis Hastings.

1.3.1 Amostrador de Gibbs

O amostrador de Gibbs foi originalmente proposto por Geman e Geman (1984) e, poste-

riormente, popularizado por Gelfand e Smith (1990). Trata-se de um esquema iterativo de

amostragem de uma cadeia de Markov cujas probabilidades de transicao sao formadas pelas

distribuicoes marginais condicionais dos elementos θi do vetor parametrico θ.

Denote por p(θi | θ−i) a funcao de densidade condicional de θi, onde θ−i = (θ1, θ2, . . . , θi−1,

θi+1, . . . , θp). A ela chamamos densidade condicional completa de θi, sendo obtida a partir da

funcao de densidade conjunta p(θ).

Podemos, entao, descrever o algoritmo da seguinte forma:

1. Inicialize o contador de iteracoes em j = 1 e atribua valores iniciais

θ(0) = (θ(0)1 , ..., θ(0)

p );

6

2. Obtenha um novo valor θ(j) a partir de θ(j−1) sucessivamente usando

θ(j)1 ∼ p(θ1 | θ(j−1)

2 , . . . , θ(j−1)p )

θ(j)2 ∼ p(θ2 | θ(j)

1 , θ(j−1)3 , . . . , θ(j−1)

p )

θ(j)3 ∼ p(θ3 | θ(j)

1 , θ(j)2 , θ

(j−1)4 , . . . , θ(j−1)

p )

...

θ(j)p ∼ p(θp | θ(j)

1 , θ(j)2 , . . . , θ

(j)p−1);

3. Mude o contador de j para j + 1 e retorne ao passo 2. Repita os passos 2 e 3 ate obter a

convergencia da cadeia.

Este algoritmo destaca-se quando as distribuicoes condicionais completas sao distribuicoes

de probabilidade conhecidas e assume-se que e possıvel amostrar dessas distribuicoes facilmente.

1.3.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings

Outro metodo de Monte Carlo via Cadeias de Markov bastante utilizado e o algoritmo

de Metropolis-Hastings (proposto em Metropolis et al. (1953) e Hastings (1970)), usualmente

aplicado a situacoes onde nao conhecemos a distribuicao condicional completa p(θi | θ−i). Este

algoritmo e baseado no uso de uma distribuicao auxiliar, conhecida como distribuicao proposta,

da qual e mais facil obter uma amostra. Em linhas gerais, o procedimento consiste em amostrar

um valor da distribuicao proposta e aceita-lo ou nao de acordo com uma probabilidade α.

Considere uma densidade p(·) da qual desejamos simular e uma densidade proposta q(·). O

algoritmo de Metropolis - Hastings produz uma cadeia de Markov (θt) atraves dos seguintes

passos:

1. Inicialize o contador de iteracoes em j = 1 e atribua valores iniciais

θ(0) = (θ(0)1 , ..., θ(0)

p );

2. Sorteie um valor proposto θprop da densidade proposta q(θprop | θ(j−1));

3. Tome

θ(j) =

θprop, com probabilidade α

θ(j−1), com probabilidade 1− α,

onde

α = min

1,p(θprop)q(θ(j−1) | θprop)p(θ(j−1))q(θprop | θ(j−1))

;

7

4. Mude o contador de j para j + 1 e retorne ao passo 2. Repita sucessivamente ate obter a

convergencia da cadeia.

Nao ha unanimidade quanto a taxa de aceitacao otima para o algoritmo de Metropolis-

Hastings. A sintonizacao da variancia da distribuicao proposta q sera baseada no metodo

apresentado em Roberts e Rosenthal (2009), procurando manter a taxa de aceitacao em torno

de 44%.

Uma caracterıstica interessante do algoritmo de Metropolis-Hastings e que a distribuicao

da qual desejamos amostrar so precisa ser conhecida a menos de uma constante de proporci-

onalidade, uma vez que componentes constantes da funcao de densidade serao canceladas emp(θprop)q(θ(j−1)|θprop)

p(θ(j−1))q(θprop|θ(j−1)).

Dizemos que a convergencia da cadeia de Markov foi atingida quando a partir de determi-

nada iteracao K a cadeia aproxima-se de um estado de estacionariedade. Existem diferentes

formas disponıveis na literatura para avaliacao da convergencia das cadeias. Uma delas e ba-

seada na inspecao visual da amostra, onde analisamos se a trajetoria da cadeia de Markov

torna-se homogenea a partir de determinada iteracao. Neste estudo, a convergencia das cadeias

sera avaliada somente via inspecao visual.

Passadas as K primeiras iteracoes, denominado perıodo de aquecimento, podemos tomar

as iteracoes restantes como uma amostra da funcao de densidade p(·). Por se tratar de uma

cadeia de Markov, nossa amostra e aleatoria mas nao independente. Em alguns casos onde a

autocorrelacao das cadeias e alta, e possivel retirar uma subamostra sistematica para compor

uma nova amostra e lidar com o problema de autocorrelacao.

Metodos MCMC sao, portanto, uma ferramenta de grande importancia para amostragem

de distribuicoes de probabilidade complexas, permitindo a inferencia acerca dos parametros.

1.4 Modelos Lineares

Em diversos contextos estamos interessados em estudar se o comportamento de uma deter-

minada variavel e influenciado por outra variavel ou mesmo por um conjunto de variaveis. A

estrutura desta relacao pode assumir diferentes formas e, em alguns casos, apresenta compor-

tamento linear. Os modelos que assumem estrutura linear entre variavel resposta e variaveis

explicativas sao chamados modelos de regressao ou modelos lineares e sao descritos por

Yi = Ziβ + εi,

onde i ∈ 1, . . . , n, Yi e a variavel resposta, εi o erro do modelo, Z a matriz de dimentsao

n× (p+ 1) cujas colunas Zi correspondem as p variaveis explicativas, incluindo uma coluna de

uns associada ao intercepto do modelo, e β e o vetor com os coeficientes de regressao.

Usualmente assume-se que εi ∼ N(0, τ2). Deste modo, condicionado aos coeficientes de

8

regressao temos que

Yi ∼ N(Ziβ, τ2).

O problema em assumir que a variavel resposta Yi segue uma distribuicao de probabilidade

normal e que dificilmente em situacoes reais encontramos dados que sigam de fato esta dis-

tribuicao. Existem ainda problemas em que a variavel resposta assume valores discretos ou

esta definida somente para um subconjunto de R e, portanto, a distribuicao normal nao corres-

pondera a distribuicao dos dados. Para casos em que a distribuicao de probabilidade normal

nao pode ser assumida para descrever o comportamento de Yi utilizamos modelos mais gerais,

que admitem que Yi assuma outra distribuicao de probabilidade, aos quais chamamos modelos

lineares generalizados (MLG).

1.4.1 Modelos Lineares Generalizados

Modelos lineares generalizados sao uma classe de modelos estatısticos que compreendem

modelos lineares e nao lineares com a distribuicao de Yi pertencente a famılia exponencial.

Nessa secao daremos uma introducao a esses modelos, todavia maior aprofundamento sobre o

tema pode ser encontrado em McCullagh e Nelder (1989).

Uma famılia de distribuicoes com funcao de densidade p(y | θ) pertence a famılia exponencial

com r parametros se p(y | θ) puder ser escrito como

p(y | θ) = a(y) exp

r∑j=1

Uj(y)ψj(θ) + b(θ)

, y ∈W ⊂ R,

onde W nao depende de θ.

A famılia exponencial engloba diversas distribuicoes conhecidas, como, por exemplo, a Bi-

nomial, Normal, Poisson, Exponencial entre outras e e de grande importancia.

Os modelos lineares generalizados sao estruturados em tres componentes:

• Componente aleatoria: especifica a distribuicao de probabilidade de Yi condicional aos

valores das variaveis explicativas Xji, com E(Yi) = µi. A distribuicao de probabilidade

de Yi deve pertencer a famılia exponencial.

• Componente sistematica: consiste numa funcao linear das variaveis explicativas da

forma

νi = Ziβ,

sendo νi conhecida como preditor linear.

• Funcao de ligacao: funcao monotona e derivavel g que transforma a esperanca E(Yi)

em um preditor linear:

9

g(µi) = νi = Ziβ.

Como g e monotona e derivavel, existe a funcao inversa g−1 dada por

µi = g−1(νi) = g−1(Ziβ).

Deste modo, os MLGs podem ser pensados como um modelo linear para uma transformacao

de E(Yi) = µi ou como uma regressao nao linear da variavel resposta.

1.5 Organizacao da dissertacao

Este texto e composto por mais 4 capıtulos. O Capıtulo 2 apresenta uma revisao de Es-

tatıstica Espacial, em particular, Processos Pontuais e Geoestatıstica. Nele sao descritos os

conceitos fundamentais para a compreensao do tema central desta dissertacao que e a amos-

tragem preferencial, abordada no Capıtulo 3. Estudos simulados com dados de contagem sob

efeito de amostragem preferencial encontram-se no capıtulo 4. Por fim, o Capıtulo 5 apresenta

as conclusoes e aponta possıveis caminhos para extensao deste estudo.

10

Capıtulo 2

Processos Espaciais

Diferentes areas do conhecimento, como arqueologia, meio-ambiente, geografia, entre outras,

estudam processos que sao observados em localizacoes fixas de uma regiao de interesse. Estudos

dessa natureza visam compreender os processos espacias que governam as variaveis de interesse,

buscando padroes significativos na regiao estudada. Tambem e de grande interesse a previsao

desses processos em localizacoes nao observadas. Com o grande crescimento da literatura de

modelos estatısticos para analise de processos espaciais nos ultimos anos, nos tornamos capazes

de lidar com problemas cada vez mais complexos.

Um processo estocastico e definido por um conjunto Wkk∈K de variaveis aleatorias, in-

dexado por K. Processos espaciais sao processos estocasticos onde K e uma regiao no espaco

Rd.Considere D ⊂ Rd uma regiao de interesse e xi ∈ D certa localizacao onde um processo

espacial Y (x) : x ∈ D sera observado. Na maioria das aplicacoes a regiao D e bidimensional,

porem encontramos tambem aplicacoes na reta e, com o avanco tecnologico, e possıvel obter

observacoes em que d = 3.

Como abordado em Cressie (1993) , os processos espaciais podem ser classificados em tres

tipos:

• Dados de area: a regiao de interesse D ∈ Rd e fixa, mas particionada em um numero

finito de areas com fronteiras bem definidas. Neste caso, xi corresponde a uma sub-

regiao de D e Y (xi) e a variavel aleatoria a ela associada. Com este tipo de observacao e

possıvel investigar a relacao entre as diversas particoes de D. Exemplos: dados economicos

agregados por municıpios, numero de casos de uma doenca por estados.

• Geoestatıstica: Y (xi) e a variavel aleatoria de interesse observavel na localizacao xi ∈D. Nesse contexto, o conjunto de localizacoes x = (x1, . . . , xn) e fixo e discreto. E comum

assumir que o vetor Y = (Y (x1), . . . , Y (xn))T tem distribuicao de probabilidade normal,

sendo esses modelos amplamente utilizados em virtude das propriedades da distribuicao

gaussiana. Exemplos: medicoes de temperatura e medicoes do nıvel de dioxido de carbono

(CO2) em estacoes de monitoramento.

11

• Processos Pontuais: processos onde a localizacao da ocorrencia do evento e aleatoria,

ou seja, o conjunto de pontos x e aleatorio. Estamos interssados, com esse tipo de

observacao, em estudar se o processo espacial tende a formar regioes no espaco onde haja

aglomeracao de ocorrencias ou se ele se comporta homogeneamente ao longo de D. Na

pratica, e possıvel encontrar contextos onde uma variavel Y (xi) seja observada em xi,

i = 1, . . . , n. Exemplos: localizacoes de ocorrencia de crimes, localizacoes de foco de

incendio.

Concentraremos nosso estudo em modelos geoestatısticos e modelos para processos pontuais.

2.1 Geoestatıstica

Seja S(x) um processo espacial de interesse. A colecao de variaveis aleatorias S(x) :

x ∈ D ⊂ Rd consiste em um processo estocastico indexado por x. Como exemplo de dados

geoestatısticos para d = 2, suponha que S(xi) e a pressao atmosferica medida em uma estacao

de monitoramento xi = (x1i, x2i), onde x1i e a latitude e x2i e a longitude.

Observaremos S(x) em um conjunto finito de localizacoes x = x1, ..., xn, ou seja, os

dados serao uma realizacao parcial do processo espacial S(x) em x. Baseados nessa realizacao,

podemos inferir sobre esse processo alem preve-lo em um ponto arbitrario x0 ∈ D.

Assuma que a media do processo aleatorio S(x) existe para todo x ∈ D e denote-a por

E[S(x)] = µ(x). Suponha que a variancia de S(x), V ar[S(x)], tambem existe para todo x ∈ D.

Um processo estocastico S(x) : x ∈ D ⊂ Rd e dito gaussiano se para todo conjunto finito

de pontos x = (x1, . . . , xn), x ∈ D, e qualquer n = 1, 2, . . . , o vetor (S(x1), . . . , S(xn)) tem

distribuicao normal multivariada. O processo gaussiano S(x) e completamente especificado

por sua media µ(x) e por sua funcao de covariancia Cov(S(xi), S(xj)), para todo xi, xj ∈ x.

Denotamos por S(x) ∼ PG µ(x),Σ, o processo gaussiano com vetor de medias µ(x) e matriz

de covariancias Σ com entrada (i, j) dada por Cov(S(xi), S(xj)).

Duas suposicoes usualmente atribuıdas aos processos espaciais sao estacionariedade e iso-

tropia. Um processo e dito estritamente estacionario se suas distribuicoes finito-dimensionais

sao invariantes a translacoes. Matematicamente, estacionariedade significa que

[S(x1), . . . , S(xn)] = [S(x1 + h), . . . , S(xn + h)] ,

para quaisquer xi e xi + h ∈ D, i = 1, . . . , n e [·] representando uma distribuicao de probabi-

lidade. Quando essa suposicao e verificada, tem-se media e variancia constantes para todas as

distribuicoes unidimensionais, ou seja, µ(x) = µ e V ar[S(x)] = σ2, ∀x ∈ D.

Alem disso, um processo e dito intrinsicamente estacionario se

E[S(x+ h)] = E[S(x)]

12

V ar[S(x+ h)− S(x)] = 2γ(h),∀x, x+ h ∈ D,

onde γ(h) e uma funcao condicionalmente negativa definida chamada de semivariograma.

Menos restritiva, a estacionariedade de segunda ordem ou estacionariedade fraca pressupoe

que a media do processo e constante para todo x ∈ D, ou seja,

µ(x) = µ, x ∈ D,

e a covariancia entre dois pontos xi e xj ∈ D quaisquer, condicionada ao vetor parametrico ψ,

e dada por

Cov(S(xi), S(xj);ψ) = C(| xi − xj |;ψ),

somente dependendo da diferenca entre as duas localizacoes. No contexto de processos gaussi-

anos, a estacionariedade de segunda ordem implica em estacionariedade estrita visto que esses

processos estao completamente especificados por seu primeiro e segundo momentos.

Se a funcao de correlacao entre dois pontos xi e xj em D nao depender da direcao de

| xi − xj |, ou seja, for invariante a rotacoes no espaco, dizemos que o processo e isotropico.

Desta forma, podemos escrever a funcao de correlacao C(xi, xj ;ψ) em funcao do comprimento

do vetor de diferenca entre os pontos xi e xj , denotado por ‖ xi − xj ‖. Caso contrario, o

processo e dito anisotropico.

Quando um processo e intrinsicamente estacionario e isotropico, diz-se que o processo e

homogeneo (Smith, 1996). Por outro lado, se pelo menos uma dessas suposicoes nao e satisfeita

o processo e dito heterogeneo. Processos homogeneos tem funcao de covariancia entre S(xi) e

S(xj), xi, xj ∈ D dada por

Cov(S(xi), S(xj)) = C(‖ xi − xj ‖;ψ),

e, portanto, a variancia do processo e constante ao longo de D. Deste modo, podemos escrever

a funcao de covariancia de S(x) como

C(xi, xj ;ψ) = σ2ρ(‖ xi − xj ‖;ψ),

onde V ar[S(x)] = σ2 e ρ(·;ψ) e uma funcao de correlacao valida.

Dizemos que uma funcao de correlacao e valida se for positiva definida, o que significa que

devemos ter

ΣiΣjcicjρ(si, sj ;ψ) ≥ 0

para quaisquer ci, cj ∈ R.

Nota-se a conveniencia de processos homogeneos, uma vez que a estrutura de covariancia

de S(x) apenas necessita dos parametros σ2 e ψ para ser modelada.

Verificar a validade de uma funcao de correlacao nao e uma tarefa facil e, por essa razao, e

13

comum a opcao por aquelas ja conhecidas. Existem diversas famılias de funcoes de correlacao

na literatura, sendo alguns dos principais modelos parametricos de funcoes de correlacao apre-

sentados em Diggle e Ribeiro (2007). Exemplos de funcoes de correlacao largamente usadas

encontram-se a seguir.

(a) Famılia Matern:

ρ(dij ;ψ) =1

2λ−1Γ(λ)

(2√λdijφ

)κλ

(2√λdijφ

),

onde ψ = (φ, λ), φ > 0 e o parametro de escala, λ > 0 e o parametro de forma e

dij =‖ xi−xj ‖ e a distancia euclidiana entre xi e xj . A funcao κλ e a funcao modificada

de Bessel do terceiro tipo de ordem λ e Γ(·) e a funcao gama. Casos particulares da funcao

Matern ocorrem para λ = 0.5, quando encontramos a funcao de correlacao exponencial,

e para λ→∞ para o qual temos a funcao de correlacao gaussiana.

(b) Famılia Exponencial Potencia:

ρ(dij ;ψ) = exp

(−dκijφ

),

onde ψ = (φ, κ) com φ > 0 e κ ∈ (0, 2], dij e a distancia euclidiana entre os pontos xi e

xj . Quando k = 1 temos o caso particular da funcao de correlacao exponencial enquanto

para k = 2 temos a funcao de correlacao exponencial potencia quadratica ou gaussiana.

O grau de suavidade de um processo espacial e um aspecto importante, sendo matema-

ticamente descrito pelo grau de diferenciabilidade do processo. Em processos gaussianos, a

especificacao da famılia de funcao de correlacao deve ser cautelosa, pois nesse contexto a suavi-

dade do processo esta diretamente relacionada a diferenciabilidade da estrutura de covariancia.

Processos espaciais com funcao de correlacao gaussiana sao extremamente suaves uma vez que

ρ(·;φ, κ) e infinitamente diferenciavel para κ = 2. Para a famılia Matern, o parametro λ controla

a suavidade do processo.

Em particular, em nosso estudo utilizaremos a funcao de correlacao exponencial definida

por

ρ(dij ;φ) = exp

−dijφ

,

onde dij =‖ xi − xj ‖.

2.1.1 Inferencia Bayesiana em Geoestatıstica

Suponha que um processo espacial Y (x) : x ∈ D e observado em um conjunto de loca-

lizacoes x = (x1, . . . , xn) fixadas emD, resultando em uma amostra aleatoria y = (y(x1), . . . , y(xn))T .

Seja o modelo para Y (x) escrito como

14

Y = 1µ+ S(x) + ε, (2.1)

onde Y = (Y (x1), . . . , Y (xn))T e a realizacao de do processo Y em x, 1 = (1, . . . , 1)T de di-

mensao n×1 e µ uma media global para o processo Y (x). O componente ε = (ε(x1), . . . , ε(xn))T

e uma realizacao do processo espacial ε(x) : x ∈ D, independente de S, e cuja variancia e

usualmente chamada efeito pepita. O processo S consiste em um efeito aleatorio, fornecendo

ajuste local para a media e e interpretado como o componente que captura a estrutura espacial

em D, enquanto ε pode ser interpretado como um erro de medicao ou erro de microescala, com

E[ε(xi)] = 0 e V ar[ε(xi)] = τ2. Podemos interpretar Y como uma versao de S(x) com ruıdo.

Para simplicar a notacao, denotaremos Y (xi) por Yi.

E comum encontrarmos problemas geoestatısticos que associem S(x) e ε a processos gaussi-

anos ou a uma mistura de processos gaussianos devido as facilidades e a ampla literatura sobre

eles. Em nosso estudo assumiremos que S(x) ∼ Nn

0, σ2Rn

e ε ∼ Nn

0, τ2In

, onde os

elementos da matriz de correlacoes de S(x) sao dados por Rn(i, j) = ρ(dij ; θ), dij e a distancia

euclidiana entre xi e xj , In e a matriz identidade de dimensao n × n e 0 = (0, . . . , 0)T uma

matriz de zeros com dimensao n× 1.

Sob o enfoque Bayesiano, traduzimos nossa incerteza acerca dos parametros especificando a

distribuicao a priori para o vetor parametrico θ = (µ, φ, σ2, τ2), nos tornando capazes de inferir

sobre o mesmo. Combinamos, entao, a informacao contida na funcao de verossimilhanca com

a distribuicao a priori p(θ) atraves do teorema de Bayes e obtemos a funcao de densidade a

posteriori p(θ | y). Assumiremos que p(θ) = p(µ)p(φ)p(σ2)p(τ2).

Usualmente, atribui-se distribuicao Gama para o parametro de alcance φ, a variancia de S

σ−2 e ao efeito pepita τ−2 enquanto para µ a distribuicao Normal e assumida. E interessante

dar pouco peso as distribuicoes a priori e, por essa razao, especificam-se distribuicoes pouco

informativas para θ.

O modelo e completamente especificado por

Y | S(x), µ, τ2 ∼ N(1µ+ S(x), τ2In

)S(x) | σ2, φ ∼ N

(0, σ2Rn

)φ ∼ Gama (aφ, bφ)

σ−2 ∼ Gama (aσ, bσ)

τ−2 ∼ Gama (aτ , bτ )

µ ∼ N(0, σ2

µ

),

onde Rn(i, j) = ρ(dij ;φ). Ocasionalmente sera usada a notacao Σn = σ2Rn.

15

A funcao de verossimilhanca para esse modelo e dada por

l(y;θ, S(x)) = p(y | S(x), µ, τ2)

= (2π)−n2 | τ2In |

12 exp

−1

2(y − 1µ− S(x))T (τ2In)−1 (y − 1µ− S(x))

∝ (τ2)−

n2 exp

− 1

2τ2(y − 1µ− S(x))T (y − 1µ− S(x))

.

Pelo teorema de Bayes, combinando l(y; θ, S(x)) com p(θ) obtemos a densidade a posteriori

para o modelo na equacao (2.1) como

p(θ | y) ∝ l(y;θ, S(x)) p(S(x) | σ2, φ) p(θ)

(τ2)−n2 exp

− 1

2τ2(y − 1µ− S(x))T (y − 1µ− S(x))

(σ2)−

n2 | Rn |−

12 exp

− 1

2σ2S(x)TR−1

n S(x)

φaφ−1 exp −bφφ (σ2)−aσ+1 exp

− bσσ2

(τ2)−aτ+1 exp

− bττ2

exp

−µ

2

σ2µ

,

da qual simularemos atraves de Metodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov.

Usando distribuicoes Gama para τ−2 e σ−2 temos distribuicoes a posteriori conjugadas, ou

seja, temos que as distribuicoes condicionais completas desses parametros tambem sao distri-

buicoes Gama. O mesmo ocorre para µ ao atribuirmos uma distribuicao normal para p(µ).

Deste modo, temos as seguintes distribuicoes condicionais completas:

[σ−2 | y, S(x)] ∼ Gama

(n

2+ aσ,

S(x)TR−1n S(x)

2+ bσ

)

[τ−2 | y, µ, S(x)] ∼ Gama

(n

2+ aτ ,

(y − 1µ− S(x))T (y − 1µ− S(x))

2+ bτ

)

[µ | y, τ2, S(x)] ∼ N

σ2µ

n∑i=1

yi − S(xi)

nσ2µ + τ2

,σ2µτ

2

nσ2µ + τ2

.

Como S e normalmente distribuıdo, temos que a condicional completa de S conjuga com

sua distribuicao a priori, sendo normalmente distribuıda com matriz de covariancias

ΣS|· =

(τ2In)−1 + (σ2Rn)−1−1

16

e vetor de media

(τ2In)−1(yT − µ)ΣS|·.

Amostras das condicionais completas de τ−2, σ−2, µ e S podem ser obtidas via Amostrador

de Gibbs. A distribuicao a posteriori de φ, entretanto, nao possui forma analıtica fechada e

para amostrar φ a posteriori precisaremos do algoritmo de Metropolis-Hastings. A condicional

completa de φ e dada por

p(φ | y, S(x), σ2) ∝| Rn |−12 φaφ−1 exp

−S(x)TR−1

n S(x)

2σ2− bφφ

,

onde Rn(i, j) = exp−dij

φ

e dij =‖ xi − xj ‖.

O algoritmo de Metropolis-Hastings exige a especificacao de uma funcao de densidade pro-

posta. Seguindo Ferreira e Gamerman (2015), adotaremos a seguinte densidade proposta

φprop | φ ∼ Lognormal ( log(φ) + δ/2, δ ),

onde δ representa o quao distante o valor proposto pode estar do valor corrente de φ. Devemos

escolher δ de forma a obtermos uma taxa de aceitacao razoavel para φ.

Suponha que, alem de inferir sobre S, estamos interessados na previsao desse processo em um

conjunto de pontos x∗ = (x∗1, . . . , x∗N ) nao observados em D. Denotaremos por S∗ a realizacao

de S em x∗, ou seja, S∗ = (S(x∗1), . . . , S(x∗N )). Devemos obter a distribuicao preditiva de

p(S∗ | y), que e dada por

p(S∗ | y) =

∫Θ

∫Sp(S∗, S,θ | y) dS dθ

=

∫Θ

∫Sp(S∗ | S,y,θ) p(S | θ) p(θ | y) dS dθ

=

∫Θ

∫Sp(S∗ | S,θ) p(S | θ) p(θ | y) dS dθ.

(2.2)

Podemos escrever p(S∗ | S,θ,y) = p(S∗ | S,θ), pois S∗ e independente de Y para S e θ dados.

Note que, por se tratar de uma realizacao do processo Gaussiano S, a distribuicao de S∗

tambem e normal multivariada com media 0 e matriz de covariancia ΣN = σ2RN . Assim, temos

que (S∗

S

∣∣∣∣∣ θ)

= N

(0

0

),

[ΣN ΣN,n

Σn,N Σn

],

onde ΣN,n e a matriz de covariancias entre os pontos de x e x∗ cujos elementos sao dados por

17

ΣN,n(i, j) = ρ(x∗i , xj ;φ), para i = 1, . . . , N e j = 1, . . . , n.

Por propriedades da distribuicao normal multivariada e por contas provenientes da algebra

linear, temos que [S∗ | y] segue uma distribuicao normal multivariada com vetor de medias e

matriz de covariancias dados, respectivamente, por

E[S∗ | y] = ΣN,n(τ2In + Σn)−1(y − 1µ) (2.3)

e

V ar[S∗ | y] = ΣN − ΣN,n(τ2 + Σn)−1Σn,N . (2.4)

Apesar da integral em (2.2) nao possuir solucao analıtica, podemos aproxima-la usando

metodos de Monte Carlo. Uma vez obtida uma amostra da posteriori de θ usando as distri-

buicoes condicionais completas descritas anteriormente, podemos calcular p(S∗ | y) como

p(S∗ | y) ≈K∑k=1

p(S∗ | Sk,θk),

onde k corresponde a k-esima iteracao do MCMC.

2.2 Processos Pontuais Espaciais

Um processo pontual espacial X e um mecanismo estocastico que governa o conjunto de

localizacoes de ocorrencia de um fenomeno em determinada regiao D do espaco. Uma realizacao

desse processo x = (x1, x2, ..., xn) e chamado arranjo pontual ou padrao de pontos e cada

localizacao xi e dita um evento.

Usualmente lidamos com processos espaciais que satisfazem as suposicoes de estacionarie-

dade e isotropia. Processos isotropicos e estacionarios consistem em processos que sao, respecti-

vamente, invariantes sob rotacao e translacao. Na pratica, essas suposicoes sao menos rigorosas

pois nem sempre sao realistas.

Os conceitos de media e covariancia de processos pontuais espaciais sao definidos em funcao

dos efeitos de primeira e segunda ordens. As propriedades de primeira ordem sao descritas pela

funcao intensidade λ(x) e estao relacionadas ao numero esperado de eventos por unidade de

area no ponto x. A funcao intensidade e definida por

λ(x) = lim|dx|→0

E[N(x)]

| dx |

, (2.5)

onde | dx | e a area de uma regiao infinitesimal dx em torno de x e E[N(dx)] denota o valor

esperado de N(dx), o numero de eventos em dx. Para processos estacionarios temos que λ(x) =

λ.

Similarmente, a funcao de intensidade de segunda ordem mensura os efeitos de segunda

ordem e e definida por

18

λ2(xi, xj) = lim|dxi|,|dxj |→0

E[N(dxi)N(dxj)]

| dxi || dxj |

.

A funcao λ2(xi, xj) pode ser interpretada como uma medida de dependencia entre localizacoes.

No contexto de processos estacionarios e isotropicos, a funcao de intensidade de segunda

ordem se resume a λ2(xi, xj) = λ2(‖xi − xj‖), onde ‖xi − xj‖ e a distancia euclidiana entre as

localizacoes xi e xj .

Em Diggle (2003), os padroes de pontos sao divididos em basicamente tres categorias: re-

gulares, agregados ou aleatorios, ilustrados na Figura 2.1.

No padrao aleatorio, tambem conhecido como aleatoriedade espacial completa, nao ha ne-

nhuma associacao entre os eventos, sendo uma realizacao aleatoria do processo espacial na regiao

de estudo D. Na Figura 2.1(a) observa-se a ausencia de estrutura espacial das localizacoes.

A Figura 2.1(b) exemplifica o padrao regular de pontos. Neste arranjo, existe uma distancia

entre os pontos que sugere a presenca de um mecanismo onde a ocorrencia de um evento xi em

determinada regiao repele a ocorrencia de eventos proximos.

Um arranjo agregado caracteriza-se pela presenca de agrupamentos de eventos no espaco.

Observa-se que a ocorrencia de um evento em uma localizacao xi torna mais provavel a ob-

servacao de outros eventos na vizinhanca de xi. Este comportamento de agregacao esta claro

na Figura 2.1(c).

(a) Aleatorio

(b) Regular

(c) Agregado

Figura 2.1: Exemplos de arranjos pontuais

Desejamos, portanto, compreender o mecanismo estocastico gerador dos arranjos pontu-

ais em estudo. Um caminho e atraves de modelos parametricos. Os principais modelos sao

apresentados na Subsecao 2.2.1.

2.2.1 Modelos para Processos Pontuais Espaciais

O processo de Poisson homogeneo representa o mecanismo estocastico mais simples para a

geracao de arranjos pontuais espaciais e trata-se da base da construcao da teoria de processos

19

pontuais espaciais. Esta secao descreve o processo de Poisson homogeneo e os processos pontuais

espaciais que sao originados diretamente neste processo, com enfase nos processos de Cox log

gaussiano que constituem parte fundamental na metodologia de amostragem preferencial.

Processo de Poisson homogeneo

O processo de Poisson caracteriza-se por possuir uma funcao de intensidade constante no

espaco e por nao haver interacao espacial entre eventos. Este processo e definido pelas seguintes

propriedades (Diggle, 2003):

• Para algum λ > 0 e uma regiao D ⊂ Rd, a variavel aleatoria N(D), correspondente ao

numero de eventos na regiao D, segue uma distribuicao Poisson com media λ | D |.

• Dado N(D) = n, os n eventos em D formam uma amostra aleatoria independente de uma

distribuicao uniforme em D.

• Para quaisquer duas regioes disjuntas D e D∗ ⊂ Rd, as variaveis aleatorias N(D) e N(D∗)

sao independentes.

O parametro λ correponde a intensidade do Processo de Poisson. Como nao existe associacao

espacial entre eventos, a funcao de intensidade de segunda ordem torna-se

λ2(xi, xj) = λ2.

Pelas propriedades do modelo, a funcao de verossimilhanca nao depende da localizacao dos

eventos x = (x1, x2, . . . , xn) em D resumindo-se a

p(x | λ) ∝ exp −λ |D| (λ |D|)n .

Em grande parte das aplicacoes o processo de Poisson se mostra pouco realıstico. Ainda que

os eventos nao possuam associacao espacial, o pressuposto de homogeneidade em D raramente

e satisfeito. Podemos permitir que a intensidade do processo varie deterministicamente no

espaco, caracterizando o chamado processo de Poisson nao homogeneo, que e descrito a seguir.

Processo de Poisson Nao Homogeneo

Um processo de Poisson nao homogeneo e um processo nao estacionario obtido pela subs-

tituicao da intensidade constante λ do processo de Poisson homogeneo por uma funcao de

intensidade que varia ao longo do espaco, denotada por λ(x). Definimos esse processo pelas

propriedades:

• A variavel aleatoria N(D) segue uma distribuicao Poisson com media∫D λ(x)dx.

20

• Dado N(D) = n, o numero de eventos n em A formam uma amostra aleatoria indepen-

dente de uma distribuicao em D com funcao de densidade de probabilidade proporcional

a λ(x).

Como no processo de Poisson homogeneo, regioes disjuntas possuem contagens independen-

tes.

A funcao de verossimilhanca associada ao processo de Poisson nao homogeneo, baseada em

um conjunto de n eventos x = (x1, x2, . . . , xn) e dada por

p(x) ∝ exp

−∫Dλ(x)dx

n∏i=1

λ(xi).

A aglomeracao de eventos pode ocorrer devido a interacao espacial entre eventos, carac-

terizando a existencia de efeitos de segunda ordem, mas tambem devido a heterogeneidade

da regiao em estudo. Do ponto de vista estatıstico, a distincao entre agrupamento segundo

um mecanismo de atracao/repulsao de evento e heterogeneidade somente pode ser sustentada

se houver informacao adicional disponıvel, por exemplo, na forma de covariaveis. Pela forma

como sao definidos, os processos de Poisson nao homogeneos com funcao de intensidade λ(x)

produzem grupos de eventos em regioes com intensidade relativamente alta.

Um metodo para simular uma realizacao de um Processo de Poisson com intensidade λ(x)

em uma regiao D foi apresentado em Lewis e Shedler (1979), onde os autores sugerem um

algoritmo baseado em amostragem por rejeicao. Em sua forma mais simples, este algoritmo

consiste em gerar um processo de Poisson em A com intensidade λ0 = maxx∈Dλ(x) e reter

um evento xi com probabilidade λ(xi)/λ0.

Processos pontuais espaciais podem apresentar intensidades que sejam estocasticas por na-

tureza. Um processo definido dessa forma e chamado processo de Cox e sera apresentado a

seguir.

Processo de Cox

Processos de Cox pertencem a classe de processos “duplamente estocasticos” formada por

processos de Poisson nao homogeneos com funcao de intensidade λ(x) aleatoria.

Considere Λ = Λ(x) : x ∈ D ⊂ Rd um processo estocastico nao-negativo. Formalmente,

dizemos que X e um processo de Cox se para Λ(x) = λ(x) : x ∈ Rd, X e um processo de

Poisson nao homogeneo com funcao de intensidade λ(x).

O processo pontual sera estacionario se, e somente se, o processo de intensidade Λ for

estacionario. O mesmo ocorre em relacao a isotropia.

As propriedades de primeira e segunda ordens sao obtidas das propriedades dos processos

de Poisson nao homogeneos tomando-se a esperanca com respeito a Λ(x). No caso estacionario

a intensidade de primeira ordem e dada por

21

λ(x) = E [Λ(x)]

enquanto a intensidade de segunda ordem e

λ2(xi, xj) = E [Λ(Xi)Λ(Xj)] .

Em especial, dizemos que X e um processo de Cox log-gaussiano (Moller at al., 1998) ao

assumirmos que a funcao de intensidade de X e dada por

Λ(x) = expW (x),

onde W (x) : x ∈ D ⊂ Rd e um processo Gaussiano.

As propriedades de segunda ordem desses processos seguem das propriedades das distri-

buicoes log-gaussianas.

Neste caso, a funcao de verossimilhanca do processo de Cox log-gaussiano segue diretamente

da funcao de verossimilhanca do processo de Poisson nao homogeneo, e e dada por

p(x |W ) ∝ exp

−∫D

expW (x)dx n∏i=1

exp(W (xi)), (2.6)

onde x = (x1, . . . , xn).

Note que a integral em (2.6) nao e tratavel analiticamente, pois depende de um numero

infinito de variaveis aleatorias W (x) : x ∈ D em todo D. Uma solucao para esse problema

de intratabilidade e discretizar a regiao D. Abordaremos esse assunto na Subsecao 2.2.2.

Em princıpio, qualquer processo de Cox pode ser simulado primeiro gerando Λ(x) e depois

usando o algoritmo de amostragem por rejeicao para processos de Poisson nao homogeneos

descrito anteriormente.

2.2.2 Inferencia via discretizacao espacial

Processos espaciais estao definidos, usualmente, em espacos contınuos. Por esse motivo,

a inferencia baseada na funcao de verossimilhanca e complicada devido a integral presente na

equacao (2.6). Na pratica, entretanto, podemos aproximar W segmentando D por uma particao

ζ = ζ1, . . . , ζM onde cada sub-regiao ζj tem centroide cj , j = 1, . . . ,M .

A particao ζ pode ser obtida de diferentes formas. Uma maneira, adotada em Møller et al.

(1998) e Benes et al. (2002), consiste em sobrepor uma grade regular a regiao de estudo e,

entao, considerar o numero de pontos observados, Nj , em cada sub-regiao ζj . Por definicao do

processo de Cox log-gaussiano, Nj pode ser considerado uma variavel aleatoria com distribuicao

Poisson(λj). A regiao discretizada sera a intersecao da regiao D com a grade regular. As sub-

regioes que contem as bordas de D possuem areas menores, o que deve ser incorporado na

modelagem.

22

Apesar do uso de particoes regulares de D ser amplamente utilizado, encontramos na li-

teratura outras formas de discretizacao. Um exemplo aparece em Heikkinen e Arjas (1999),

onde os autores usam uma particao denominada tesselagem de Voronoi. Em linhas gerais, essa

tesselagem origina-se na construcao de um polıgono ao redor do ponto observado xi que consiste

da regiao de D mais proxima a xi do que a qualquer outro ponto, para i = 1, . . . , n. Particionar

o espaco usando essa tesselagem e interessante quando os arranjos pontuais sao agregados, pois

ao usar a discretizacao regular muitas subregioes nao contem nenhum evento.

Waagepetersen (2004) demonstra que as posterioris aproximadas dos processos de Cox log-

gaussianos convergem para as posterioris exatas quando o tamanho das sub-regioes que parti-

cionam o espaco tendem a zero.

23

Capıtulo 3

Amostragem Preferencial

Grande parte dos modelos geoestatısticos tratam as localizacoes xi, onde os dados sao obser-

vados, como fixadas de acordo com um desenho amostral ou estocasticamente independentes do

processo espacial S = S(x) : x ∈ D (para maior aprofundamento ver, por exemplo, Banerjee

et al. (2004)). Nota-se, porem, que em algumas situacoes a disposicao dessas localizacoes e

feita de maneira a favorecer regioes em D ⊂ Rd que sejam mais informativas. A preferencia

por certas regioes surge em decorrencia de inumeros fatores, podendo ser citados os empecilhos

economicos e polıticos, os interesses particulares do estudo, entre outros. Nesses casos, o uso

do modelo geoestatıstico usual apresentado na Secao 2.1 nao parece adequado por nao levar

em consideracao que o conjunto de localizacoes observadas x = (x1, x2, . . . , xn) foi escolhido

preferencialmente.

Nesse contexto, Diggle et al. (2010) caracterizaram o efeito da escolha preferencial por certas

sub-regioes de D atraves da adocao de um modelo para o processo pontual X que determina as

localizacoes x. O artigo apresenta um modelo conjunto para X e S, utilizando o mesmo processo

gaussiano tanto na intensidade do processo pontual X, λ(x), quanto na media da distribuicao

de Y , processo espacial de interesse. Posteriormente, Pati et al. (2011) generalizaram essa

abordagem sob a perspectiva Bayesiana, introduzindo covariaveis em λ(x) e na media de Y .

O modelo por eles proposto assume processos gaussianos distintos para a intensidade de X

e para a media de Y . Assumindo uma abordagem diferente, Gelfand et al. (2012) procuram

corrigir o vies introduzido pela preferencialidade admitindo conhecimento substancial sobre os

mecanismos que geram o processo espacial Y . Zidek et al. (2014) apresentam uma metodologia

para a correcao desse vies em estudos de monitoramento ambiental. Mais recentemente, Ferreira

e Gamerman (2015) exploraram a alocacao otima de uma nova estacao de monitoriamento

levando em consideracao a amostragem preferencial.

Ao admitirmos a possibilidade de dependencia estocastica entre X e S, devemos especificar a

distribuicao conjunta [Y, S,X]. Como descrito em Diggle et al. (2010), dizemos que uma amos-

tragem e nao-preferencial quando os processos S e X sao independentes e, como consequencia,

a distribuicao conjunta e dada por [Y, S,X] = [S][X][Y | S(X)].

No modelo em (2.1), X e tratado como determinıstico e [Y, S,X] = [Y, S] = [Y | S(x)][S].

24

No caso em que associamos a S um processo Gaussiano, a distribuicao [Y | S(x)] na equacao

(2.1) e normal multivariada com media 1µ+ S(x) e matriz de covariancias τ2In.

Em contrapartida, definimos como amostragem preferencial aquela onde [S,X] 6= [S][X].

Deste modo, o modelo sob amostragem preferencial assume a existencia de um processo pontual

X que governa as localizacoes onde o processo S sera observado com ruıdo, sendo a distribuicao

de X dependente de S. O interesse principal continua sendo compreender as propriedades de S,

com base nos dados (X,Y ), e nao diretamente em [S,X]. Entretanto, desejamos nos precaver

contra incorrecoes na inferencia de S ao nao considerarmos a dependencia estocastica entre S

e X.

Diggle et al. (2010) especificam uma classes de modelos adicionando as seguintes suposicoes

ao modelo geoestatıstico apresentado na equacao (2.1):

1. Condicional a S, X e um processo de Poisson nao homogeneo com intensidade

λ(x) = exp (α+ βS(x)) .

2. Condicional a S e X, Y e um conjunto de variaveis normais mutuamente independentes

com Yi ∼(µ+ S(xi), τ

2).

Segue da suposicao 1 e do fato de S ser um processo Gaussiano que, incondicional a S, X

e um processo de Cox log-gaussiano.

A funcao de verossimilhanca do modelo proposto por Diggle et al. (2010) pode ser escrita

como

L(y,x;θ, S) = p(y,x | θ, S) = p(y | S, µ, τ2) p(x | S, α, β),

onde θ = (µ, τ2, σ2, α, β) representa o vetor de parametros do modelo, y = (y(x1), . . . , y(xn)) o

vetor de valores observados e x = (x1, . . . , xn) o conjunto de localizacoes onde Y e observado.

A obtencao da densidade p(x | S, α, β) requer que S esteja disponıvel para todo x ∈ D.

Sendo impossıvel observar S continuamente em D, aproximaremos a regiao D utilizando uma

discretizacao fina. Deste modo, D sera particionada em M sub-regioes com centroides cj ,

j = 1, . . . ,M . Diggle et al. (2010) adotam uma particao de D onde as sub-regioes contem no

maximo um ponto observado, aproximando L(y,x;θ, S) a partir da particao S = (S0, S1), onde

S0 denota os valores de S em cada um dos pontos observados xi ∈ x e S1 denota os valores

de S nos M − n centroides restantes. Generalizando essa abordagem, Ferreira e Gamerman

(2015) permitem que as sub-regioes contenham mais de um ponto observado. Em nosso estudo,

adotaremos a segunda abordagem.

Assumindo que a intensidade e constante dentro das sub-regioes, temos um processo de

Poisson homogeneo dentro de cada sub-regiao com intensidade em funcao do valor de S(cj),

realizacao de S no centroide da j-esima sub-regiao. O procedimento de inferencia sera imple-

mentado a partir dessa particao de D.

25

Substituiremos as localizacoes exatas x pelo centroide mais proximo, ou seja, pelo centroide

da sub-regiao que contem a localizacao xi. Assim, Sy e o vetor que contem os valores de S

referentes as sub-regioes onde observa-se algum ponto xi e SM denota a realizacao de S em

todos os M centroides. Portanto, o modelo completo e escrito como

[Y | Sy, µ, τ2] ∼ N(1µ+ Sy, τ2In)

p(n | SM , α, β) ∝M∏j=1

exp(α+ βSM (cj)nj exp

−M∑j=1

∆jexp(α+ βSM (cj))

(3.1)

SM | φ, σ2 ∼ N(0, σ2RM ),

onde ∆j denota o comprimento, area ou volume da sub-regiao j, de acordo com a dimensao de

D, nT = (n1, n2, . . . , nM ) com nj representando o numero de pontos observados contidos na

sub-regiao j eM∑j=1

nj = n. Supondo que a particao de D seja regular, temos que ∆j = ∆. Os

elementos da i-esima linha e da j-esima coluna de RM sao dados por RM (i, j) = ρ(xi, xj ;φ).

Simplificando a expressao de p(n | S, α, β), encontramos

p(n | S, α, β) ∝ exp(nα+ βnTS) exp

−eαM∑j=1

∆j exp(βSM (cj))

.

Sob o enfoque Bayesiano, devemos arbitrar uma densidade de probabilidade para θ que

represente nossa incerteza sobre os parametros do modelo. Combinada a funcao de verossimi-

lhanca L(y,x;θ, S) obtemos, via teorema de Bayes, a densidade a posteriori

p(SM ,θ | y,x) ∝ L(y,x;θ, SM ) p(θ, SM )

∝ p(y | SM , µ, τ2) p(x | SM , α, β) p(SM | φ, σ2) p(θ).

Assumindo independencia a priori entre os parametros em θ, temos que as distribuicoes a

priori sao

µ ∼ N(0, σ2µ)

τ2 ∼ InversaGama(aτ , bτ )

σ2 ∼ InversaGama(aσ, bσ)

α ∼ N(0, σ2α)

β ∼ N(0, σ2β)

26

φ ∼ Gama(aφ, bφ).

Os hiperparametros escolhido foram: σ2µ = 100, aσ = bσ = 2, σ2

α = σ2β = 200, aφ = 2 e

bφ = 0.05.

As distribuicoes condicionais completas para µ, τ2, σ2 sao dadas pelas mesmas expressoes

obtidas para o modelo geoestatıstico e estao descritas na Secao 2.1.1. Como essas distribuicoes

possuem forma analıtica fechada e sao conhecidas, a simulacao desses parametros sera feita via

Amostrador de Gibbs. O mesmo ocorre com a distribuicao condicional completa de φ e sua

expressao tambem esta descrita na Secao 2.1.1. Porem, como p(φ | ·) nao possui forma fechada,

o algoritmo de Metropolis-Hastings sera empregado para obter amostras de φ a posteriori.

Por outro lado, a distribuicao condicional completa de S se altera devido a presenca do

processo pontual X, que depende de S, sendo dada por

p(SM | µ, σ2, τ2, φ, α, β,y,x) ∝ exp

− 1

2τ2

[(y − 1µ− Sy)T (y − 1µ− Sy)

]

exp

βnTS −∆ eαM∑j=1

exp (βSM (cj))

exp

− 1

2σ2STMR

−1M SM

.

Alem disso, devemos obter as distribuicoes condicionais completas para os parametros α e

β do processo pontual X. Essas distribuicoes tambem nao possuem forma analıtica fechada e

podem ser escritas como

p(α | SM , β,x,y) ∝ exp

nα−∆eαM∑j=1

exp (βSM (cj))−α2

2σ2α

e

p(β | SM , α,x,y) ∝ exp

βSTn−∆eαM∑j=1

exp (βSM (cj))−β2

2σ2β

.

O algoritmo de Metropolis-Hastings tambem sera empregado para simular valores das dis-

tribuicoes condicionais completas de S, α e β.

Uma vez obtida uma amostra a posteriori para θ atraves de metodos de Monte Carlo via

cadeias de Markov, podemos resumir a informacao nela contida com o emprego de medidas

resumo. Sob funcao perda quadratica, por exemplo, temos que a estimativa de θ que minimiza

o risco esperado e

27

θ =1

T

T∑t=1

θ(t),

onde t e a t-esima iteracao do MCMC, ja eliminadas as iteracoes de “aquecimento ”e dado o

espacamento entre iteracoes.

Na proxima secao apresentaremos um estudo com dados artificiais buscando avaliar se ha di-

ferencas significativas ao usarmos um modelo sem considerar a amostragem preferencial quando,

de fato, estamos em um contexto onde a amostra foi preferencialmente escolhida.

3.1 Estudo de Simulacao

Nessa secao conduziremos um estudo simulado com o objetivo de analisar o comportamento

do modelo sob amostragem preferencial e compara-lo com o modelo sem usar amostragem

preferencial, o qual chamaremos ao longo do texto de modelo nao preferencial. A regiao em

estudo e bidimensional e compreende o quadrado D = [0, 100]2. Os parametros do modelo

foram escolhidos de maneira que a intensidade do processo pontual X nao fosse muito alta,

resultando em uma amostra pequena. O vetor parametrico arbitrado foi

(µ, σ2, τ2, φ, α, β) = (5, 0.8, 0.1, 20, −6.5, 1.5).

Na Figura 3.4(a) temos uma realizacao do processo gaussiano S juntamente com os pontos

observados. A simulacao da amostra (y,x) se deu em quatro etapas:

1. Particao da regiao D em sub-regioes usando uma grade regular de tamanho M = 225;

2. Seja cj o centroide da j-esima regiao. Obtenha a matriz de covariancias de S nesses

centroides dada por ΣM (i, j) = σ2 exp−‖ci−cj‖φ

;

3. Simule SM ∼ N (0,ΣM );

4. Para cada sub-regiao j, simule um processo de Poisson homogeneo com intensidade

λ(cj) = expα+ βSM (cj). O conjunto de localizacoes decorrentes desse passo formam a

amostra x = (x1, x2, . . . , xn);

5. Amostre de Y | x, S, µ, τ2 ∼ N(1µ+ Sy(x), τ2In), obtendo a amostra y = (y1, . . . , yn);

Como esperado, os pontos observados concentram-se em regioes de D onde o processo gaus-

siano S atinge valores maiores. Isso se deve ao fato de S governar a log-intensidade do processo

de Poisson nao homogeneo em D e a escolha de β > 0.

As amostras a posteriori para SM e θ foram obtidas via MCMC, sendo computacionalmente

custosa a amostragem em virtude da discretizacao de D. A simulacao estocastica foi feita em

500 mil iteracoes, sendo retiradas as 300 mil primeiras iteracoes e dado um espacamento de 50

28

iteracoes entre elementos da amostra a posteriori. Esse processo resultou em uma amostra com

4 mil observacoes. As Figuras 3.1-3.3 mostram os histogramas das amostras a posteriori para

cada um dos parametros em θ, tanto para amostras do modelo sob amostragem preferencial

quanto para o modelo nao preferencial.

Comecando pela amostra a posteriori de µ, temos na Figura 3.1 os histogramas correspon-

dentes ao modelo sob amostragem preferencial (3.1(a)) e ao modelo sem considerar a amostra-

gem preferencial (3.1(b)). As linhas verticais tracejadas correspondem ao µ verdadeiro, a saber

µ = 5. Observa-se que a amostra a posteriori para o modelo preferencial esta centrada no valor

verdadeiro de µ enquanto o modelo nao preferencial parece superestimar esse parametro.

(a) µpref (b) µ

Figura 3.1: Histograma a posteriori de µ

(a) σ2pref (b) τ2pref (c) φpref

(d) σ2 (e) τ2 (f) φ

Figura 3.2: Histogramas a posteriori de σ2, τ2 e φ

29

Na Figura 3.2 apresentamos o comportamento das amostras a posteriori de (σ2, τ2, φ). Aqui,

a linha superior (3.2(a), 3.2(b), 3.2(c)) corresponde aos histogramas da posteriori para o mo-

delo considerando amostragem preferencial enquanto os graficos inferiores (3.2(d), 3.2(e), 3.2(f))

ilustram os resultados para o modelo nao preferencial. A linha tracejada representa o respec-

tivo valor verdadeiro do parametro, ou seja, σ2 = 0.8, τ2 = 0.1 e φ = 20. Comparando os

resultados para σ2, verificamos a similaridade entre as amostras da posteriori para o modelo

sob amostragem preferencial (Figura 3.2(a)) e para o modelo nao preferencial (Figura 3.2(d)),

sendo ambas centradas no valor real de σ2. Conclusoes semelhantes ocorrem ao analisarmos

τ2 e φ, os que nos leva a crer que nao houve ganho significativo com respeito a inferencia ao

introduzirmos um processo pontual X para explicar a disposicao de x para o presente estudo

simulado.

Para o modelo sob amostragem preferencial temos ainda os histogramas das distribuicoes a

posteriori de α (Figura 3.3(a)) e de β (Figura 3.3(b)). Note que o modelo parece subestimar

ligeiramente o valor de α. Por outro lado, β e superestimado pelo modelo preferencial, ainda

que o vies pareca pequeno. O fato do histograma a posteriori de β nao apresentar valores

muito proximos a zero sugere que a probabilidade a posteriori de β assumir valor zero e nula,

indicando preferencialidade na amostragem das localizacoes x.

(a) α (b) β

Figura 3.3: Histogramas a posteriori de α e β

Na Tabela 3.1 constam as estimativas dos parametros tanto sob amostragem preferencial

quanto sem considera-la. Sob funcao perda absoluta, as estimativas sao dadas pela mediana

a posteriori para cada um dos parametros. Tambem sao fornecidos os intervalos de 95% de

credibilidade para θ, sendo q0.025 e q0.975 os respectivos quantis 2.5% e 97.5% das amostras a

posteriori. Podemos notar que as estimativas fornecidas para os parametros sao ligeiramente

divergentes entre os modelos. Alem disso, os intervalos de credibilidade para o modelo nao

preferencial possuem amplitude um pouco maior do que para o modelo sob amostragem prefe-

rencial para a maioria dos parametros, indicando que o modelo nao preferencial e mais incerto.

Cabe destacar que o intervalo de 95% de credibilidade para β nao inclui o valor zero, nos

levando a concluir que ha presenca de preferencia na escolha da amostra x e nao leva-la em

consideracao pode nos conduzir a conclusoes erroneas.

30

ParametroValor Amostragem Preferencial Amostragem Nao Preferencial

Verdadeiro Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975

µ 5 4.92 3.74 5.91 5.40 4.00 6.32σ2 0.8 0.77 0.35 2.05 0.74 0.34 1.89τ2 0.1 0.16 0.07 0.35 0.17 0.08 0.41φ 20 31.49 10.75 90.40 35.71 8.18 103.71α -6.5 -6.99 -9.47 -5.22 - - -β 1.5 1.89 1.12 3.18 - - -

Tabela 3.1: Estimativas de θ

A previsao do processo S em novas localizacoes S∗ tambem e de grande interesse em es-

tudos espaciais. Deste modo, torna-se interessante investigar se existe diferenca significativa

na previsao de S ao usarmos o modelo sem considerar amostragem preferencial em lugar do

modelo sob amostragem preferencial. Gelfand et al. (2012) sugerem que o efeito da amostragem

preferencial e mais destacado na superfıcie de predicao do que na estimacao dos parametros.

A Figura 3.4 mostra a previsao de S nos centroides das M subregioes usando o modelo

que considera a amostragem preferencial (Figura 3.4(b)) e o modelo sem considera-la (Figura

3.4(c)). Observa-se que a superfıcie predita pelo modelo sob amostragem preferencial diferencia

melhor as regioes onde existem pontos observados e, consequentemente, identifica regioes em

D onde o processo S assume valores maiores. Como a informacao do processo pontual que

governa o arranjo de pontos amostrados nao e levada em consideracao no modelo geoestatıstico

usual, as predicoes em novas localizacoes baseiam-se somente em Sy.

(a) Realizacao de S em D (b) Modelo Preferencial (c) Modelo Nao Preferencial

Figura 3.4: Previsao de S em D

Formalmente, podemos comparar os modelos por meio de criterios que levem em consi-

deracao o erro de previsao do modelo. Seguindo Gelfand et al. (2012), adotaremos o erro

quadratico de predicao, que nos fornecera medidas de desvio local e global.

Definimos, primeiramente, o erro de predicao local para cada x∗0 como

EPL(x∗0) = E[S(x∗0)− S(x∗0)

]2,

31

onde S(x∗0) e o preditor de S em x∗0.

O segundo passo e calcular uma medida global de erro baseada nos erros locais de predicao.

Essa medida e chamada erro de predicao global e tem forma

EPG =1

|D|

∫DEPL(x)dx,

com |D| correspondendo a area de D = [0, 100]2.

Para a previsao de S nos centroides c = (c1, . . . , cM ), o EPG e calculado como

EPG =1

M

M∑j=1

(S(cj)− S(cj))2.

O modelo sob amostragem preferencial apresentou erro de predicao global igual a 0.31

enquanto para o modelo sem considerar amostragem preferencial encontramos EPG igual a

0.60. Deste modo, parece haver vantagem do modelo sob amostragem preferencial em relacao

ao modelo geoestatıstico usual com respeito a previsao de S.

A comparacao entre o modelo sob amostragem preferencial e o modelo que nao considera esse

efeito, realizada nessa secao, nos fornece embasamento para concluir que e importante assumir

dependencia estocastica entre os processos S e X quando os dados sugerirem que a amostra foi

escolhida preferencialmente. O fato de β ter sido significativo nos sugere que devemos considerar

um processo gerador das localizacoes observadas. Alem disso, o modelo que considera que a

amostra e preferencial fornece previsoes que acompanham melhor o verdadeiro processo S,

identificando regioes em D onde S assume valores altos.

32

Capıtulo 4

Amostragem Preferencial em

Processos Espaciais Discretos

A suposicao de que a variavel aleatoria Y tem distribuicao gaussiana nao e sempre realista.

Na pratica, encontramos, por exemplo, observacoes que sao contagens de eventos, variaveis di-

cotomicas ou dados que tenham natureza contınua porem que sejam extremamente assimetricos.

Para esses cenarios, assumir que a distribuicao de probabilidade normal e a que melhor carac-

teriza Y nao parece razoavel.

Na Secao 4.1 apresentaremos as formulacoes gerais sobre modelos lineares espaciais gene-

ralizados (MLEG). Em particular, as Secoes 4.2 e 4.3 descrevem o procedimento de inferencia

Bayesiana para os modelos lineares espaciais generalizados para variaveis aleatorias com dis-

tribuicao Poisson e Bernoulli, respectivamente. Ainda nessas secoes, estendemos o modelo sob

amostragem preferencial proposto por Diggle et al. (2010) para ambos os contextos e apresen-

tamos estudos com dados artificiais objetivando validar tais modelos. Finalmente, na secao

?? discutimos os resultados obtidos para os estudos simulados e apresentamos as conclusoes

relacionadas a metodologia proposta.

4.1 Modelos Lineares Espaciais Generalizados

A Secao 1.4 apresentou os conceitos associados aos modelos lineares generalizados (MLG).

Na presente secao estenderemos esses modelos para o caso onde a variavel de interesse Y varia

ao longo de uma regiao D ⊂ Rd. Tais modelos sao referidos como modelos lineares espaciais

generalizados (MLEG).

Denotaremos a variavel aleatoria Y em dada localizacao xi ∈ D como Yi, por simplicidade,

e seu valor esperado por E[Yi]. O MLEG possui estrutura semelhante ao MLG, entretanto

no primeiro caso introduzimos um processo espacial S na expressao de E[Yi]. O processo

S = S(x) : x ∈ D determina a relacao espacial do vetor Y = (Y1, . . . , Yn), o qual sera

observado em um conjunto de localizacoes x = (x1, . . . , xn).

33

A funcao de ligacao g estabelece a forma como E[Yi] se relaciona a um preditor linear

com estrutura espacial. Exige-se que essa funcao seja monotona e derivavel, acarretando na

existencia da funcao inversa g−1 tal que E[Yi] = g−1(νi). Cabe a ressalva que devemos ter Yi

com distribuicao de probabilidade pertencente a famılia exponencial, para todo i = 1, . . . , n.

Assumiremos que E[Yi] e da forma

E[Yi] = µ+ S(xi),

onde µ e um nıvel comum a todas as localizacoes xi e S(xi) consiste na realizacao de S em

xi. E pratica comum adotar um processo gaussiano para S. Em particular, em nosso estudo

consideraremos S ∼ PG0,ΣS, com ΣS(i, j) = σ2ρ (‖ xi − xj ‖;φ), ‖ xi − xj ‖ a distancia

euclidiana entre xi e xj e ρ(·) e uma funcao de correlacao valida.

Os modelos lineares generalizados mais comumente encontrados na literatura sao aqueles

onde a variavel aleatoria Yi segue distribuicao Poisson, Bernoulli ou Binomial. A Tabela 4.1

expoe as funcoes de ligacao canonicas g correspondentes a essas distribuicoes de probabilidade.

Distribuicao Suporte da distribuicao Funcao de ligacao

Bernoulli 0, 1log(

µi1−µi

)Binomial NPoisson ln(µi)

Tabela 4.1: Funcoes de ligacao

Formalmente, o modelo linear espacial generalizado para Yi e escrito como

Yi ∼ p(Yi |µi), i = 1, . . . , n

µi = g−1(νi), onde νi = µ+ S(xi) (4.1)

S | σ2, φ ∼ Nn(0,ΣS),

com ΣS(i, j) = σ2ρ(dij ;φ) e dij =‖ xi − xj ‖.Sob o ponto de vista da construcao de modelos, ainda verificamos um numero reduzido

de trabalhos que levem em consideracao o efeito de amostragem preferencial na modelagem

de dados com estrutura espacial. Nosso estudo se propoe a explorar essa abordagem em con-

textos para dados que fogem a natureza gaussiana. Em particular, desejamos compreender o

comportamento de processos espaciais com distribuicao de probabilidade discreta.

A especificacao do modelo preferencial deve, portanto, levar em consideracao a densidade

do processo de Cox log-gaussiano X. Acrescentando essa densidade p(x) na Equacao (4.1)

obtemos

34

Yi ∼ p(Yi | µi),

µi = g−1(νi), onde νi = µ+ S(xi) (4.2)

p(x | α, β, S) ∝n∏i=1

exp (α+ βS(xi)) exp

−∫D

exp (α+ βS(x))

S | σ2, φ ∼ PG(0,ΣS),

onde ΣS(i, j) = σ2ρ (‖ xi − xj ‖;φ).

Note que na Equacao (4.2) a integral presente na densidade do processo pontual X precisa

ser avaliada para todo x ∈ D. Como nao e possıvel obter x para D contınuo, particionaremos

essa regiao em grade regular com M celulas de centroides cj , j = 1, . . . ,M .

Denotaremos por SM a realizacao de S nos M centroides, sendo o conjunto de todos os

centroides dado por c = (c1, . . . , cM ). Nao utilizaremos S nas localizacoes xi diretamente,

ao inves disso, construiremos um vetor Sy cujo i-esimo elemento representa a realizacao de S

no centroide da sub-regiao que contem xi. Por exemplo, se xi pertencer a sub-regiao j entao

Sy(xi) equivale a SM (cj). Note que, permitindo que mais de um ponto observado caia em cada

sub-regiao, Sy podera conter valores repetidos.

Adotando essa notacao e aproximando p(x | α, β, S) como descrito acima, reescrevemos o

modelo em (4.2) como

Yi ∼ p(Yi | µi)

µi = g−1(νi), onde νi = µ+ Sy(xi) (4.3)

p(n | α, β, SM ) ∝M∏j=1

exp (α+ βSM (cj))nj exp

−M∑j=1

∆j exp (α+ βSM (cj))

SM | σ2, φ ∼ N(0,ΣSM ),

onde ∆j e a area da j-esima sub-regiao (se d = 2), nj corresponde ao numero de localizacoes

em x que pertencem a sub-regiao j e ΣSM (i, j) = σ2ρ (‖ ci − cj ‖;φ).

O contexto Bayesiano exige que arbitremos distribuicoes de probabilidade para os parametros

35

do modelo que reflitam nossas informacoes a priori sobre eles. Manteremos as distribuicoes es-

colhidas para θ = (µ, σ2, φ, α, β) como nos capıtulos anteriores.

Note que o modelo apresentado em (4.3) e essencialmente o mesmo apresentado em (3.1),

porem a relacao entre Yi e µi nao e linear como anteriormente. A generalizacao do modelo

em (3.1), permitindo que Yi nao seja normalmente distribuıdo, implica no aumento do custo

computacional relacionado a simulacao da distribuicao a posteriori. Para os modelos lineares

espaciais generalizados nao teremos distribuicao conhecida para a condicional completa de µ.

Nas secoes que seguem sao descritos os procedimentos de inferencia em MLEG para variaveis

com distribuicao Poisson e Bernoulli. Apresentaremos tambem estudos simulados que validem

os metodos de simulacao estocastica implementados e discutiremos os resultados obtidos para

diferentes cenarios.

4.2 Modelo Poisson

O modelo linear espacial generalizado com variavel resposta Poisson, citado eventualmente

como MLEG Poisson ao longo do texto, aplica-se a situacoes onde o processo espacial de inte-

resse Y (x) : x ∈ D ⊂ Rd tem natureza discreta e consiste em contagens de eventos. E comum

obtermos essas contagens ao longo de uma regiao, caracterizando o que chamamos na Secao

2.1 de dados de area. Problemas como numero de casos de dengue em municıpios no estado

do Rio de Janeiro ou o numero de roubos de carro em bairros de Sao Paulo sao exemplos de

observacoes dessa natureza. Entretanto, problemas geoestatısticos tambem englobam variaveis

que possuam distribuicao Poisson, como e o caso do estudo conduzido em Rongelap, nas ilhas

Marshall, onde foram examinados os nıveis de 137Cs in situ atraves da contagem de raios γ em

157 localizacoes ao longo da ilha.

O modelo para dados dessa natureza esta descrito na equacao (4.3) assumindo que o pro-

cesso Y na localizacao xi, denotado por Yi, tem distribuicao Poisson com intensidade µi. Sob

amostragem preferencial, o MLEG Poisson e dado por

Yi | µi ∼ Poisson(µi)

log(µi) = µ+ Sy(xi)

p(n | α, β, SM ) ∝M∏j=1


−M∑j=1

∆i exp (α+ βSM (cj))

SM | σ2, φ ∼ NM (0,ΣSM ),

com a entrada (i, j) da matriz de covariancias ΣSM dada por σ2ρ(dij ;φ), para dij a distancia

36

euclidiana entre ci e cj e ρ uma funcao de correlacao valida. A localizacao cj corresponde ao

centroide da j-esima sub-regiao usada na aproximacao de p(x).

Seja x = (x1, x2, . . . , xn) o vetor de localizacoes e y = (y1, y2, . . . , yn) o vetor com os valores

observados de Y . Sendo g inversıvel, obtemos µi = exp(µ+Sy(xi)). A funcao de verossimilhanca

para o MLEG Poisson e dada por

l (y,n; θ, SM ) =

n∏i=1

e−µiµyiiyi!

p(c | α, β, S)

∝n∏i=1

e− exp(µ+Sy(xi)) exp(µ+ Sy(xi))yi p(c | α, β, S)

∝n∏i=1

e− exp(µ+Sy(xi)) exp(µ+ Sy(xi))yi

M∏j=1


−M∑j=1

∆i exp (α+ βSM (xj))

.

O procedimento computacional sera realizado como funcao do logaritmo natural, deno-

tado por log, para reduzir o risco de valores extremamente altos que possam conduzir a er-

ros numericos. Deste modo, para todas as contas usaremos a log-verossimilhanca dada por

L (y,n; θ, SM ) = log(l (y,n; θ, SM )) e escrita como

L (y,n; θ, SM ) ∝−n∑i=1

exp µ+ Sy(xi)+n∑i=1

yi(µ+ Sy(xi))

+

M∑j=1

nj(α+ βSM (cj))−M∑j=1

∆j exp(α+ βSM (cj)).

A inferencia bayesiana para esses modelos segue as mesmas etapas descritas ao longo dos

capıtulos anteriores. Devemos arbitrar prioris para o vetor parametrico θ = (µ, σ2, φ, α, β)

para, em conjunto com a funcao de verossimilhanca, obtermos a distribuicao a posteriori de θ,

que nos permitira inferir sobre os parametros. Manteremos a distribuicao a priori para θ usada

ate agora, portanto

µ ∼ N(0, σ2µ)

σ2 ∼ InversaGama(aσ, bσ)

α ∼ N(0, σ2α)

β ∼ N(0, σ2β)

φ ∼ Gama(aφ, bφ).

37

Os hiperparametros escolhido foram: σ2µ = 100, aσ = bσ = 2, σ2

α = σ2β = 200, aφ = 2 e

bφ = 0.05.

As distribuicoes condicionais completas de σ2, φ, α e β permancem as mesmas ja calculadas

no Capıtulo 3, uma vez que esses parametros nao aparecem na distribuicao de Yi. A distribuicao

condicional completa de µ nao possui forma analıtica fechada, em contraste ao modelo cuja

variavel resposta tem distribuicao gaussiana, sendo dada por

p(µ | SM ,y,x) ∝ µn∑i=1

yi −n∑i=1

exp(µ+ Sy(xi))−µ2

2σ2µ

.

A amostra a posteriori de µ na iteracao k sera obtida via algoritmo de Metropolis-Hastings,

com funcao de densidade proposta µk ∼ N(µk−1, γ), com γ a variancia do passeio aleatorio

para µ, fixada de modo que a taxa de aceitacao fique em torno de 44%.

A distribuicao condicional completa de SM tambem sofre alteracao no contexto de variaveis

Poisson, visto que SM compoe a funcao de verossimilhanca. Analogamente ao modelo prefe-

rencial apresentado no Capıtulo 3, temos que

p(SM | σ2, φ) ∝n∑i=1

Sy(xi)yi −n∑i=1

exp(µ+ Sy(xi))

M∑j=1

βnjSM (cj)−M∑j=1

exp(α+ βSM (cj))

−STMΣ−1

SMSM

2.

Para simular de p(SM | σ2, φ) utilizaremos uma reparametrizacao de SM , apresentada em

Papaspiliopoulos et al. (2007). Em linhas gerais, escrevemos SM = Σ1/2SMS∗M e sorteamos S∗M

ao inves de sortearmos diretamente SM , onde Σ1/2SM

e a decomposicao de Cholesky da matriz de

covariancias ΣSM . Esse procedimento gerou cadeias mais estaveis que a simulacao sem utilizar

a reparametrizacao, indicando convergencia da cadeia em um numero menor de iteracoes.

Elucidado o procedimento de inferencia, podemos avancar para o estudo desses modelos

com base em dados artificiais. Na Subsecao 4.2.1 serao apresentados diferentes cenarios a fim

de compreender o comportamento dos MLEGs com resposta Poisson para algumas combinacoes

de parametros e configuracoes da particao de D.

4.2.1 Estudo de Simulacao

Nessa secao serao apresentados estudos simulados com o objetivo de compreender o compor-

tamento do modelo sob amostragem preferencial com resposta Poisson. Diferentes configuracoes

para o vetor parametrico θ = (µ, σ2, φ, α, β) serao testadas a fim de explorar se existem mu-

dancas significativas ao considerar a amostragem preferencial em comparacao com o modelo

38

condicionado a localizacoes fixas.

A simulacao dos dados artificiais envolve, em todos os cenarios considerados, as seguintes

etapas:

1. Particao da regiao D em sub-regioes usando uma grade regular de tamanho M ;

2. Seja cj o centroide da j-esima sub-regiao. Obtenha a matriz de covariancia de SM nesses

centroides dada por ΣSM (i, j) = σ2 exp−‖ci−cj‖φ

;

3. Simule SM ∼ N (0,ΣSM );


λ(cj) = expα+ βSM (ck). O conjunto de localizacoes decorrentes desse passo formam a

amostra x = (x1, x2, . . . , xn);

5. Amostre de Yi | x, SM , µ ∼ Poisson(µi), com µi = expµ + S(xi), obtendo a amostra

y = (y1, . . . , yn);

De posse da amostra (y,x) podemos inferir sobre o vetor parametrico θ a partir da distri-

buicao a posteriori. A amostra de θ foi obtida atraves da distribuicao a posteriori via MCMC

com 500 mil iteracoes, das quais retiramos as 100 mil ultimas com espacamento de 50 iteracoes,

originando uma amostra com 2 mil observacoes. Cabe a ressalva que, apesar de nao terem sido

apresentadas, todas as cadeias apresentaram um comportamento que sugere convergencia.

Para cada configuracao utilizaremos o modelo sob amostragem preferencial bem como o

modelo que nao considera o efeito da amostragem preferencial e faremos consideracoes acerca

da estimacao dos parametros e da previsao da superfıcie S.

Cenario 1:

Para o primeiro cenario, os parametros do modelo foram escolhidos de forma que a amostra

contivesse um grande numero de observacoes iguais a zero. O vetor parametrico escolhido foi

(µ, σ2, φ, α, β) = (−2, 0.7, 20, −8, 2).

A amostra contem n=17 localizacoes dentre as quais 11 possuem valor observado Yi = 0.

Como β > 0 espera-se que as regioes onde a realizacao de S assume valores mais altos sejam

regioes preferenciais para alocacao de estacoes de monitoramento. De fato, a Figura 4.2(a)

corrobora essa crenca. Nela temos uma realizacao do processo S em [0, 100]2 juntamente aos

pontos observados, notando-se que as regioes mais claras do grafico (regioes onde S tem os mai-

ores valores) possuem maior concentracao de pontos observados. Em face da preferencialidade

da amostra x por determinadas regioes, gostarıamos de comprovar que o uso de um modelo

39

(a) µpref (b) σ2pref (c) φpref

(d) µ (e) σ2 (f) φ

Figura 4.1: Histogramas a posteriori de µ, σ2 e φ - Modelo Poisson (cenario 1). As linhasverticais tracejadas correspondem aos respectivos valores verdadeiros dos parametros.

que considere esse efeito e superior no sentido de estimacao e previsao do que um modelo que

nao leva em consideracao a amostragem preferencial.

Os histogramas da Figura 4.1 ilustram amostras da distribuicao a posteriori para os parametros

µ, σ2 e φ tanto considerando a amostragem preferencial (4.1(a), 4.1(b) e 4.1(c)) quanto para o

modelo que considera as localizacoes fixas (4.1(d), 4.1(e) e 4.1(f)).

Analisando os histogramas percebemos que as amostras a posteriori para o modelo que

nao considera a amostragem preferencial sugerem certo vies em relacao ao valor verdadeiro dos

parametros. Ainda que os intervalos de 95% de credibilidade contenham seus respectivos valores

reais, as amostras a posteriori de µ e φ para o modelo nao preferencial concentram-se em valores

mais distantes dos verdadeiros se comparado ao modelo sob amostragem preferencial. Para esse

segundo modelo notamos que grande parte dos valores da amostra a posteriori encontram-se

proximos aos valores reais dos parametros, indicando que a inferencia forneceu boas estimativas

no sentido de estimativas pouco viesadas.

A Tabela 4.2 contem as estimativas dos parametros usando funcao perda absoluta, sendo

dadas pela mediana da respectiva amostra a posteriori para cada parametro. Alem disso, nessa

tabela encontramos os limites do intervalo de 95% de credibilidade para θ, onde qε corresponde

ao quantil 100ε% da amostra a posteriori do mesmo.

A estimativa de µ para o modelo sob amostragem preferencial e mais proxima do valor real

do que para o modelo nao preferencial bem como seu respectivo intervalo de 95% de credibili-

40

dade possui menor amplitude. O vies para a estimativa de σ2 tambem e menor para o modelo

sob amostragem preferencial. Sendo as amplitudes dos intervalos de 95% de credibilidade simi-

lares para ambos os modelos, concluımos que o modelo que considera a amostragem preferencial

possui ligeira vantagem contra o modelo que nao a considera. Para φ, o comportamento das

estimativas pontuais e intervalares tambem se mostra bastante semelhante nos dois modelos.

Como esperado, o verdadeiro valor de α esta incluıdo no intervalo de 95% de credibilidade asso-

ciado. Finalmente, a estimativa de β encontra-se bem proxima ao seu valor real e o respectivo

intervalo de 95% de credibilidade nao contem o zero, sugerindo que a amostra e preferencial e

nao considerar essa particularidade pode conduzir a conclusoes incorretas sobre o modelo.


verdadeiro Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975

µ -2 -2.31 -4.15 -1.03 -1.16 -2.85 0.14σ2 0.7 0.78 0.31 3.04 1.00 0.35 3.90φ 20 25.24 6.90 86.81 15.01 0.63 78.95α -8 -8.18 -11.40 -6.07 - - -β 2 2.39 1.08 4.85 - - -

Tabela 4.2: Estimativas de θ - Modelo Poisson (cenario 1)

As analises ate esse momento consideraram somente as divergencias entre os modelos sob

o ponto de vista da inferencia dos parametros. Grande interesse esta voltado a previsao do

processo S, uma vez que ele explica a relacao espacial da variavel Y . As superfıcies preditas de

S nos M centroides das sub-regioes que particionam D encontram-se na Figura 4.2.

(a) Realizacao de S em D (b) Preferencial (c) Nao Preferencial

Figura 4.2: Previsao de S em D - Modelo Poisson (cenario 1)

Analogo as conclusoes do estudo simulado para o modelo sob amostragem preferencial com

resposta gaussiana apresentado na Secao 3.1, verificamos que as previsoes do modelo sob amos-

tragem preferencial aproximam-se da superfıcie S verdadeira em regioes onde ha pontos obser-

vados. Em regioes onde nao ha eventos ambos os modelos tem dificuldade em prever S, o que

era esperado uma vez que nao ha ganho de informacao atraves da amostra nessas regioes.

41

No cenario 1, ainda que a amostra y contenha muitos zeros, o modelo que considera a amos-

tragem preferencial se mostrou superior ao modelo que nao considera esse efeito de preferencia.

O modelo preferencial se destaca, principalmente, na previsao da superficie S, sendo capaz de

detectar melhor regioes onde S e alto uma vez que considera na previsao o vetor observado

(x,y) enquanto o modelo nao preferencial baseia-se somente em y, visto que x e suposto fixo.

Como medida formal de comparacao entre as previsoes dos dois modelos usamos, novamente,

o erro de previsao global (EPG). O modelo sob amostragem preferencial apresentou EPG igual

a 0.39 enquanto o EPG para o modelo sem considerar o efeito da amostragem preferencial foi

igual a 0.61, ratificando a conclusao de que e interessante introduzir um processo pontual X na

modelagem de Y em contextos onde existe suspeita de preferencia por certas regioes de D na

alocacao da amostra.

Cenario 2:

Neste segundo estudo simulado, desejamos explorar as mudancas ocorridas na estimacao dos

parametros e na previsao de S numa grade regular quando a variancia do processo gaussiano

S, a saber σ2, e aumentada em comparacao ao cenario anterior. O vetor parametrico escolhido

mantem os parametros φ, α e β inalterados, somente apresentando modificacoes em µ e σ2,

sendo dado por (µ, σ2, φ, α, β) = (1.2, 1.5, 20, −8, 2).

A escolha de µ foi feita para que a amostra de Y nao contivesse uma proporcao alta de

valores iguais a zero. A simulacao dos dados seguiu os passos apresentados no inıcio dessa

secao, produzindo uma amostra y com 26 elementos.

Nas Figuras 4.3 e 4.4 observamos os histogramas das amostras a posteriori dos parametros,

obtidas atraves de metodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov. As linhas tracejadas repre-

sentam o valor arbitrado de cada parametro.

Na linha superior da Figura 4.3 estao dispostos os histogramas da amostra a posteriori de µ

(4.3(a)), σ2 (4.3(b)) e φ (4.3(c)) considerando o efeito da amostragem preferencial na modelagem

de Y , enquanto a linha inferior (Figuras 4.3(d), 4.3(e) e 4.3(f)) apresenta os histogramas a

posteriori para o modelo geoestatıstico com resposta Poisson. O modelo preferencial parece

subestimar µ enquanto o modelo nao preferencial parece superestima-lo, entretanto a estimativa

para o primeiro modelo aproxima-se mais do valor verdadeiro do parametro. A amostra a

posteriori de σ2 para o modelo preferencial encontra-se centrada no valor verdadeiro, enquanto

o modelo nao preferencial subestima esse parametro. Nesse aspecto, a modelagem que considera

o processo pontual ganha destaque quando comparada ao modelo que nao o considera. O

parametro φ apresenta comportamento similar para ambos os modelos. Por fim, na Figura 4.4

estao os histogramas a posteriori para α e β, tambem centrados nos valores corretos.

A Tabela 4.3 contem as estimativas dos parametros dos dois modelos em analise. Nela

encontramos, ainda, o valor real do parametro e os quantis 2.5% (q0.025) e 97.5% (q0.975) da

distribuicao a posteriori, que formam um intervalo de 95% de credibilidade de θ. Como obser-

vado na analise dos histogramas, com respeito a estimacao de µ o modelo que nao considera a

42


(d) µ (e) σ2 (f) φ

Figura 4.3: Histogramas a posteriori de µ, σ2 e φ - Modelo Poisson (cenario 2). As linhasverticais tracejadas correspondem aos respectivos valores verdadeiros dos parametros.

(a) α (b) β

Figura 4.4: Histogramas a posteriori de α e β - Modelo Poisson (cenario 2)

amostragem preferencial apresenta desempenho pior que o modelo sob amostragem preferencial,

superestimando o parametro. Ambos os modelos apresentam desempenho ruim na estimacao

tanto de µ quanto de σ2, porem as estimativas pontuais para o modelo sob amostragem pre-

ferencial sao as que mais se aproximam do valor real do respectivo parametro, nos levando a

considerar ligeira vantagem para o modelo que considera o processo pontual X na modelagem

de Y . A estimativa de φ foi mais proxima ao real valor para o modelo sem considerar amos-

tragem preferencial, no entanto, o intervalo de 95% de credibilidade e mais amplo para esse

modelo indicando maior incerteza acerca dessa estimativa. Os parametros α e β foram bem

43

estimados e a ausencia do valor zero no intervalo de 95% de credibilidade para β sugere que a

preferencialidade da amostra de X nao deve ser ignorada.


verdadeiro Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975

µ 1.2 0.85 -0.22 1.90 2.68 1.72 3.80σ2 1.5 1.62 0.67 4.06 0.80 0.38 2.16φ 20 15.63 6.59 45.47 19.01 6.19 57.63α -8 -8.12 -10.35 -6.38 - - -β 2 1.90 1.37 2.62 - - -


Sob a perspectiva de inferencia verificamos que considerar que as localizacoes foram escolhi-

das preferencialmente acarreta em melhoria na estimacao dos parametros do modelo. Grande

parte dos problemas encontrados, entretanto, estao interessados em avaliar a capacidade predi-

tiva dos modelos.

Na Figura 4.5(a) temos uma realizacao do processo gaussiano S em D. Note que a superfıcie

simulada de S apresenta um comportamento bastante irregular ao longo da regiao, refletindo

a maior variabilidade de S devido ao aumento de σ2. As Figuras 4.5(b) e 4.5(c) mostram a

previsao de S nos M = 225 centroides da grade regular que aproxima p(x), para o modelo sob

amostragem preferencial e para o modelo sem considerar esse efeito, respectivamente.

Analisando as superfıceis preditas percebe-se que ao considerar o processo pontual X na

modelagem de Y ganhamos mais informacao em regioes onde observamos eventos, o que per-

mite ao modelo identificar melhor regioes onde S assume valores altos. Isso decorre do fato de

escolhermos β > 0, implicando que regioes onde S assume maiores valores possuem funcao de

log intensidade maior e, consequentemente, espera-se que mais localizacoes sejam observadas

nessas regioes que em outras regioes de D. Ainda que a previsao de S em regioes de D onde

nao houve observacao de eventos nao se mostre muito proxima a superfıcie verdadeira, a di-

ferenca fundamental na capacidade preditiva dos dois modelos aparece claramente em regioes

com ocorrencia de eventos sugerindo melhor desempenho preditivo para a modelagem sob amos-

tragem preferencial.

Formalmente, podemos avaliar a previsao de ambos os modelos usando como medida de

comparacao o erro de previsao global. Nesse contexto, o modelo que nao considera o efeito da

amostragem preferencial possui EPG igual a 1.08. Em contrapartida, assumir que as localizacoes

x sao uma realizacao de um processo pontual reduz o EPG em cerca de 50%, sendo igual a 0.62

para o modelo sob amostram preferencial.

Neste cenario, observamos que o aumento na variabilidade de S atraves de σ2 provocou

estimativas viesadas para ambos os modelos, porem vies maior foi encontrado nas estimativas de

µ e σ2 para o modelo geoestatıstico com resposta Poisson. Ao avaliarmos a capacidade preditiva

do processo espacial S para ambos os modelos percebemos que o modelo sob amostragem

preferencial captura melhor regioes onde S assume valores mais elevados, oferecendo melhores

44



previsoes nessas regioes. Em vista dessas comparacoes, concluımos que assumir a presenca

de um processo pontual nao homogeneo para modelar a disposicao dos eventos em D e de

grande valia quando x sugere preferencialidade, uma vez que melhora o desempenho inferencial

e preditivo do modelo geoestatıstico.

Cenario 3:

No cenario 3 desejamos avaliar se o aumento do numero de sub-regioes usadas na apro-

ximacao da densidade do processo pontual X, presente no modelo sob amostragem preferencial,

influencia significativamente a estimacao dos parametros e a previsao de S. Analisaremos duas

grades regulares em [0, 100]2, uma com 400 sub-regioes com areas iguais a 25 unidades metricas

ao quadrado e outra grade com 225 sub-regioes cada uma com area igual a 44.44 unidades

metricas ao quadrado. Analisaremos tambem o desempenho do modelo que nao considera a

amostragem preferencial.

O vetor parametrico e dado por (µ, σ2, φ, α, β) = (1.2, 0.7, 20, −6, 1.5). A amostra,

composta por 41 observacoes, foi novamente simulada a partir no algoritmo descrito no inıcio

dessa secao, para M = 400 e M = 225.

Na Figura 4.6 temos intervalos de 95% de credibilidade da amostra a posteriori de θ para o

modelo cuja particao de D usada na aproximacao de p(x) contem 225 sub-regioes (Modelo 1)

e para aquele que considera somente 400 celulas na divisao da regiao de interesse (Modelo 2).

Analisando os intervalos percebemos similaridade entre as amostras a posteriori de ambos

os modelos, com o modelo 1 mais incerto para σ2 enquanto para o restante dos parametros

o modelo 2 exibiu maior incerteza. Ainda que tenhamos identificado diferencas na amplitude

dos intervalos, tal discrepancia nao e de grande magnitude. Parece, entao, nao haver ganhos

substanciais em aumentar M de 225 para 400. Nesse sentido, optamos pela particao de D

em 225 sub-regioes devido ao custo computacional associado a estimacao dos parametros via

MCMC.

45

(a) µ (b) σ2 (c) φ (d) α (e) β

Figura 4.6: Intervalos de 95% de credibilidade de θ para o modelo sob amostragem preferencialcom M = 400 sub-regioes (modelo 1) e com M = 225 sub-regioes (modelo 2). As linhastracejadas correspondem aos respectivos valores verdadeiros dos parametros.

Os histogramas da amostra a posteriori para o modelo que nao considera o efeito da amos-

tragem preferencial (modelo 3) estao na Figura 4.7. A amosta a posteriori de σ2, apesar de

nao estar centrada no valor verdadeiro, apresenta vies relativamente pequeno em relacao ao

parametro real. Para o parametro φ obtivemos uma amostra a posteriori bem concentrada

ao redor do verdadeiro valor do parametro. O parametro µ e o unico para o qual a amostra

a posteriori parece se distanciar do valor correto, sendo esse modelo ligeiramente inferior ao

modelo sob amostragem preferencial no que se refere a estimacao dos parametros.

(a) µ (b) σ2 (c) φ

Figura 4.7: Histogramas a posteriori para o modelo sem considerar a amostragem preferencial(modelo ) - Modelo Poisson (cenario 3)

A Tabela 4.4 traz as estimativas dos parametros para os tres modelos explorados no presente

cenario e seus respectivos intervalos de 95% de credibilidade. Observe que o aumento do numero

de sub-regioes usadas para aproximar a densidade do processo pontual X nao melhora, necessa-

riamente, a inferencia sobre os parametros. Com excecao de φ, para todos os outros parametros

obtivemos estimativas similares tanto ao considerarmos 400 sub-regioes quanto com a particao

de D em 225 sub-regioes. Para o parametro φ, a estimativa encontrada via MCMC para o

modelo 1 e mais proxima ao verdadeiro valor de φ e seu intervalo de 95% de credibilidade tem

amplitude menor que o encontrado utilizando o modelo 2. As estimativas pontuais apresentadas

na Tabela 4.4 reiteram a conclusao de que o refinamento da particao de D nao acarreta em

grandes vantagens quando comparado a grade regular com 225 sub-regioes.

46

Comparando as estimativas do vetor parametrico para o modelo 1 com as estimativas para

o modelo 3, observa-se que aquelas para o modelo 1 se aproximam mais dos valores verdadeiros.

Ja os intervalos de 95% de credibilidade incluem os valores verdadeiros e possuem amplitude

semelhante entre os modelos para todo θ, indicando nao haver grandes discrepancias nas esti-

mativas intervalares dos parametros.

Amostragem Preferencial Amostragem Preferencial AmostragemValor Real (400 sub-regioes) (225 sub-regioes) Nao Preferencial

Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975

µ = 1.2 1.27 0.21 2.21 1.24 0.42 2.04 1.90 0.91 2.76σ2 = 0.7 0.64 0.3 1.60 0.71 0.34 1.72 0.56 0.27 1.32φ = 20 32.24 8.93 84.62 24.85 6.48 80.09 30.93 7.67 89.10α = −6 -6.27 -8.14 -4.64 -6.25 -8.01 -5.01 - - -β = 1.5 1.74 0.97 2.91 1.73 0.97 2.70 - - -


Desejamos modelos que tenham boa capacidade tanto de inferencia quanto de previsao.

Como medida de qualidade da previsao do processo S nos centroides de uma grade regular

com 400 sub-regioes para os tres modelos abordados nesse cenario, apresentamos na Tabela 4.5

o erro de previsao global, ou EPG, de cada modelo. Como pode ser observado, a capacidade

preditiva do modelo sob amostragem preferencial e semelhante para M = 400 e M = 225

particoes. Note, tambem, que a capacidade preditiva dos modelos sob amostragem preferencial

e ligeiramente maior que para o modelo 3, sugerindo que a presenca do processo pontual X na

modelagem dos dados resulta em pequena melhora na previsao de S.

Amostragem Preferencial Amostragem Preferencial Amostragem(400 sub-regioes) (225 sub-regioes) Nao Preferencial

EPG 0.4048 0.4020 0.5608

Tabela 4.5: Erro de previsao global - Modelo Poisson (cenario 3)

Em vista dos resultados mostrados na Tabela 4.5, parece nao haver vantagens significativas

em particionar D em 400 sub-regioes ao inves de 225 sub-regioes que justifiquem o elevado custo

computacional envolvido na obtencao da amostra a posteriori para essa primeira particao.

Assim, na Figura 4.8 nao apresentaremos a previsao de S para o modelo sob amostragem

preferencial com 400 particoes de D.

A Figura 4.8(a) ilustra uma realizacao de S nos centroides de uma grade regular com 400

celulas, enquanto as Figuras 4.8(b) e 4.8(c) mostram a previsao de S nessa grade regular tanto

para o modelo 1 e 3, respectivamente. Em conformidade com a conclusao feita pela analise

dos erros de previsao globais, observamos que a previsao de S pelo modelo sob amostragem

preferencial detecta melhor as nuances de S ao longo de D. Em regioes onde nao ha eventos

ambos os modelos se mostram ineficazes na previsao de S, porem em regioes com pelo menos

um evento observado notamos que o modelo sob amostragem preferencial capta melhor valores

47

elevados de S se aproximando do valor verdadeiro nesse ponto.



Os resultados observados para o cenario 3 nos levam a conclusao que o modelo 1 apresentou

equilıbrio entre capacidade preditiva, custo computacional e estimacao de θ, sugerindo ser

importante a suposicao do processo pontual X.

4.3 Modelo Bernoulli

Encontramos situacoes praticas onde a variavel Y (x), em estudo, somente assume valores

no conjunto 0, 1, sendo observada em uma colecao de localizacoes x = (x1, . . . , xn). Suponha,

por exemplo, que desejamos compreender o comportamento pluviometrico no estado do Parana,

entretanto as informacoes disponıveis somente informam se choveu ou nao em uma determinada

estacao de monitoramento. Variaveis como esta sao caracterizadas como sucesso ou falha. Por

exemplo, a presenca de determinada caracterıstica em xi pode ser interpretada como sucesso,

implicando em Y (xi) = 1. Ainda, quaisquer dados de natureza contınua podem ser separados

em duas classes, com uma classe representando falha e a outra sucesso.

A distribuicao de probabilidade Bernoulli representa bem o comportamento de Y (xi). As-

sumindo que em cada localizacao xi temos Y (xi) ∼ Bernoulli(pi), com pi a probabilidade de

sucesso, escrevemos o modelo espacial para Y (xi), com funcao de ligacao canonica, como

Y (xi) | pi ∼ Bernoulli(pi)

log

(pi

1− pi

)= µ+ Sn(xi) (4.4)

Sn | σ2, φ ∼ Nn(0,ΣSn),

48

com a entrada (i, j) da matriz de covariancias ΣSn dada por σ2ρ(dij ;φ), para dij a distancia

euclidiana entre xi e xj e ρ uma funcao de correlacao valida. Note que

pi =expµ+ Sn(xi)

1 + expµ+ Sn(xi).

Por simplicidade denotaremos Y (xi) = Yi, cujo valor observado sera representado por y(xi) =

yi.

Sob amostragem preferencial devemos considerar o efeito do processo pontual X que governa

a disposicao das localizacoes em D. Precisamos, entao, incluir a densidade de X no modelo

em (4.4). Como apontado na secao 2.2.2, nao e possivel tratar p(x) analiticamente devido

a natureza contınua de D. Uma solucao e particionar D em M sub-regioes com centroides

c = (c1, . . . , cM ) e avaliar p(c) ao inves de p(X). Em consequencia dessa particao, nao mais

teremos Sn. Ao longo dessa secao denotaremos por SM a realizacao de S em c enquanto Sy

e construıdo de forma que Sy(xi) corresponde a realizacao de S no centroide da sub-regiao a

qual xi pertence. Logo, o vetor Sy compreende a realizacao de S nos centroides das sub-regioes

que contem pelo menos um ponto observado. Portanto, sob amostragem preferencial, quando

Yi ∼ Bernoulli(pi), a especificacao completa do modelo e dada por

Yi | pi ∼ Bernoulli(pi)

log

(pi

1− pi

)= µ+ Sy(xi) (4.5)

p(n | α, β, SM ) ∝M∏j=1


M∑j=1


SM | σ2, φ ∼ NM (0,ΣSM ),

onde a matriz de covariancias de SM tem elementos ΣSM (i, j) = σ2ρ (‖ ci − cj ‖;φ).

Em posse de uma amostra de X em D, denotada por x = (x1, . . . , xn), observaremos Yi

para cada localizacao xi ∈ x para, finalmente, obtermos uma amostra y = (y1, . . . , yn). Deste

modo, a funcao de verossimilhanca para o modelo da equacao (4.5) sera dada por

49

l (y,n; θ, SM ) ∝n∏i=1

[exp(µ+ Sy(xi))]yi

1 + exp(µ+ Sy(xi))×

M∏j=1


M∑j=1


.

Assumiremos uma particao regular de D, de forma a todas as sub-regioes possuırem area

∆i = ∆.

A inferencia sob abordagem bayesiana demanda a especificacao de distribuicoes de probabi-

lidade a priori para o vetor de parametros, a saber θ = (µ, σ2, φ, α, β) para o modelo em (4.5).

Atribuiremos a θ as mesmas distribuicoes a priori descritas no capıtulo 3.

As distribuicoes condicionais completas de σ2, φ, α e β permanecem as mesmas encontradas

para os modelos sob amostragem preferencial para dados com distribuicao Normal e Poisson.

Para simular da condicional completa de µ e SM , porem, devemos calcular novamente as

respectivas distribuicoes condicionais completas uma vez que a funcao de verossimilhanca e

diferente para os modelos Normal, Poisson e Bernoulli. O algoritmo MCMC, neste caso, consiste

em simular das seguintes distribuicoes:

p(µ | SM ,y) ∝

exp

µ

n∑i1

yi

n∏i=1

1 + exp [µ+ Sy(xi)]

exp

− µ2

2σ2µ

e

p(SM | σ2, φ,y) ∝

exp

n∑i1

yiSy(xi)

n∏i=1

1 + exp [µ+ Sy(xi)]

×

expβnTSM

exp

−∆M∑j=1

exp (α+ βSM (cj))

×exp

−STMΣ−1

SMSM

2

,

onde nT = (n1, . . . , nM ) cujo elemento nj representa o numero de eventos observados na j-esima

sub-regiao.

Uma vez esclarecido o procedimento de inferencia aplicado aos modelos que consideram o

efeito da amostragem preferencial para variaveis aleatorias com distribuicao Bernoulli usando a

50

funcao de ligacao canonica, nos dedicaremos na Subsecao 4.3.1 a investigacao do comportamento

desses modelos com o auxılio de dados artificiais.

4.3.1 Estudo de simulacao

Ao longo da presente secao nos concentraremos na analise comparativa entre modelos que

ignoram a presenca de um processo pontual X que governa a disposicao de x em D e modelos

que consideram o efeito da amostragem preferencial, no ambito de variaveis aleatorias com

distribuicao Bernoulli. O primeiros modelos serao, ocasionalmente, referidos ao longo do texto

como modelos nao preferenciais enquanto os ultimos serao ditos modelos preferenciais.

Exibiremos algumas possibilidades para a escolha do vetor parametrico θ e estudaremos o

desempenho dos modelos acima citados, averiguando se diferencas significativas na estimacao

ou previsao surgem ao optarmos pelo modelo preferencial ao inves do modelo nao preferencial.

Analogamente aos estudos simulados apresentados anteriormente, com excecao do cenario

2, a simulacao dos dados envolvera os seguintes passos:

1. Particao da regiao D = [0, 100]2 em sub-regioes usando uma grade regular com M sub-

regioes;

2. Seja cj o centroide da j-esima regiao. Obtenha a matriz de covariancia de SM nesses

centroides dada por ΣSM (i, j) = σ2 exp−dij

φ

, dij =‖ ci − cj ‖;

3. Simule SM ∼ N (0,ΣSM );


λ(cj) = expα+ βSM (cj). O conjunto de localizacoes decorrentes desse passo formam a

amostra x = (x1, x2, . . . , xn);

Observe que esse passo se deve ao fato da particao de D em M celulas resultar em um

processo de Poisson homogeneo em cada sub-regiao.

5. Para i = 1, 2, . . . , n, amostre de Yi | x, Sy, µ ∼ Bernoulli(pi), com log(

pi1−pi

)= µ+Sy(xi),

obtendo a amostra y = (y1, . . . , yn);

Obtida a amostra (y,x) seremos capazes de inferir sobre θ pela simulacao de p(θ | y,x).

Para cada cenario analisaremos o modelo preferencial e o modelo nao preferencial sob a luz da

estimacao e da previsao, fazendo consideracoes acerca do desempenho de cada modelo.

Para todos os estudos simulados que seguem serao usadas 500 mil iteracoes para o MCMC,

das quais somente as ultimas 100 mil serao utilizadas na amostra. Ainda, optou-se por retirar

uma amostra sistematica dessas 100 mil iteracoes com espacamento de 50 iteracoes, resultando

em uma amostra da posteriori com 2 mil elementos.

A comparacao da capacidade preditiva sera conduzida analisando-se a previsao de cada

modelo para os centroides das M sub-regioes que dividem D, tendo como medida comparativa

o erro de previsao global (EPG) apresentado na Secao 3.1.

51

Cenario 1:

Desejamos estudar o efeito da amostragem preferencial em dados com natureza discreta, em

particular que so assuma valores em 0, 1. Inicialmente, particionaremos a regiao [0, 100]2 em

225 sub-regioes e simularemos nossos dados segundo o esquema descrito no inıcio da presente

secao com vetor de parametros

(µ, σ2, φ, α, β) = (−1.5, 1.5, 20, −8, 2),

resultando em uma amostra com 31 observacoes.

Na Figura 4.9 sao exibidos os histogramas das amostras a posteriori de µ, σ2 e φ para ambos

os modelos em analise. O comportamento a posteriori de µ para os modelos sob amostragem

preferencial (modelo 1) e sem considera-la (modelo 2) sao apresentados nas Figuras 4.9(a)

e 4.9(d), respectivamente. Note que, apesar de nenhuma das duas amostras a posteriori se

concentrar ao redor do valor verdadeiro de µ, a amostra de µ para o modelo 2 esta centrada

em um valor mais distante de 2 se comparado ao primeiro modelo. Alem disso, o fato de

µ = 2 estar na cauda da distribuicao a posteriori de µ para o modelo 2 indica que a densidade

de probabilidade a posteriori e baixa para esse valor. Os modelos nao parecem, entretanto,

capturar bem esse parametro uma vez que os intervalos de credibilidade de 95% contem o valor

zero para os dois modelos.

Para o paramatro σ2 sao apresentados os histogramas a posteriori para os modelos 1 e

2 respectivamente nas Figuras 4.9(b) e 4.9(e). Observa-se que ambas as amostras parecem

centradas no valor verdadeiro de σ2, entretanto, o modelo 2 se mostra muito mais incerto que

o modelo 1 tendo como base a variabilidade da amostra a posteriori.

O parametro φ tem seus histogramas a posteriori retratados nas Figuras 4.9(c) e 4.9(f),

com o primeiro representando o modelo 1 e o segundo o modelo 2. Novamente, a amostra a

posteriori para o modelo 1 tem maior concentracao de valores proximos ao verdadeiro valor de

φ do que a amostra a posteriori para o modelo 2. Todavia, pontualmente nenhum dos dois

modelos forneceu boas estimativas para φ. O intervalo de credibilidade, por sua vez, parece

semelhante em ambos os modelos e reproduz a grande incerteza acerca de φ.

Por fim, os histogramas das amostras a posteriori de α e β estao ilustrados nas Figuras

4.10(a) e 4.10(b), respectivamente. A amostra a posteriori de α encontra-se bem centrada no

valor verdadeiro do parametro, porem apresenta grande variabilidade. Para β a correspondente

amostra a posteriori tambem se concentra aproximadamente ao redor do valor real, apresen-

tando poucos valores muito distantes de 2. A exclusao de 0 pelo intervalode 95% de credibilidade

para β indica que o efeito do processo pontual X nao deve ser desprezado na modelagem dos

dados.

Para os parametros do processo pontual X, observamos estimativas pontuais proximas aos

correspondentes valores verdadeiros. Olharemos agora para o desempenho preditivo dos mode-

los. A Figura 4.11(a) traz uma realizacao de S em D = [0, 100]2, que sera considerada como a

52


(d) µ (e) σ2 (f) φ

Figura 4.9: Histogramas a posteriori de µ, σ2 e φ - Modelo Bernoulli (cenario 1)

(a) α (b) β

Figura 4.10: Histogramas a posteriori de α e β - Modelo Bernoulli (cenario 1)

superfıcie verdadeira de S. Como β > 0, os pontos observados encontram-se, em sua maioria,

reunidos em uma pequena regiao de D onde S assume valores maiores. Na Figura 4.11(b) temos

a previsao do modelo sob amostragem preferencial para os centroides das 225 sub-regioes que

dividem D. Em regioes onde nao ha nenhuma localizacao xi o modelo tem dificuldade de prever

corretamente, porem em regioes com pontos observados vemos uma melhora no desempenho

preditivo do modelo, como esperado. O mesmo acontece para a previsao do modelo que nao

considera a amostragem preferencial, como pode ser visto na Figura 4.11(c). Entretanto mesmo

em regioes com presenca de observacoes esse modelo nao consegue capturar bem valores mais

elevados de S. Comparando as superfıcies preditas, podemos perceber ganhos significativos na

53

adocao de um processo pontual X na modelagem de Y .


Figura 4.11: Previsao de S em D - Modelo Bernoulli (cenario 1)

Complementando a comparacao grafica das superfıcies de previsao, podemos calcular os

erros de previsao globais para os modelos. Considerando o efeito da amostragem preferencial,

encontramos um EPG igual a 0.7847 enquanto sem consideramos tal efeito obtemos EPG cor-

respondente a 1.1364. O calculo do EPG reforca as conclusoes obtidas anteriormente de que

levar em consideracao um processo pontual que norteia a disposicao das localizacoes xi em D

aumenta a capacidade tanto preditiva quanto de estimacao do modelo descrito na equacao 4.4.

Cenario 2:

Nesse segundo cenario adotaremos uma abordagem distinta dos cenarios apresentados ate

agora. Nele, simularemos de um processo de Poisson homogeneo em D = [0, 100]2 com funcao

de intensidade igual a 0.0025. Como descrito na secao 2.2.1, o numero esperado de eventos

em D e calculado pela multiplicacao da area de D pela intensidade do processo de Poisson

homogeneo, ou seja, esperamos observar 25 eventos em D. A simulacao desse processo originou

uma amostra com n = 18 observacoes.

Em seguida, obtivemos uma amostra de Sn em x = (x1, . . . , xn) usando Sn ∼ Nn(0,ΣSn),

onde ΣSn e a matriz de covariancias de Sn com entradas dadas por ΣSn = σ2 exp(−‖xi−xj‖φ

).

Em posse da amostra de Sn podemos simular de Yi ∼ Bernoulli(pi) com log(

pi1−pi

)= µ+Sn(xi).

Formamos, assim, uma amostra de Y em x denotada por y = (y1, . . . , yn). O procedimento de

simulacao se baseou no vetor parametrico (µ, σ2, φ) = (1.5, 0.5, 20).

Apresentamos as estimativas pontuais e intervalares para o vetor parametrico de ambos

os modelos na Tabela 4.6. Para µ e φ as estimativas pontuais aproximam-se do verdadeiro

valor dos respectivos parametros, tendo como diferenca mais destacada a inclusao do zero no

intervalo de 95% de credibilidade para µ usando o modelo preferencial. A estimativa de σ2

pelo modelo sob amostragem preferencial encontra-se mais proxima ao seu verdadeiro valor,

alem da amplitude do intervalo de 95% ganhar notoriedade por ser muito menor que para o

54

modelo nao preferencial. Constatamos que o intervalo de 95% de credibilidade para β inclui o

valor zero, sugerindo que β nao fornece mudancas significativas no modelo. Essa conclusao era

esperada pela construcao do estudo simulado, uma vez que o processo pontual X e homogeneo

ao longo de D. Note que se tomarmos a funcao exponencial na amostra a posteriori de α e

obtivermos os limites do intervalo de 95% de credibilidade para essa transformacao, encontramos

o intervalo de 95% de credibilidade para a funcao de intensidade de X. Esse intervalo e dado

por [0.00062, 0.00321], contendo o verdadeiro valor da funcao de intensidade que e 0.0025.


Verdadeiro Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975

µ 1.5 1.46 -0.19 3.20 1.64 0.07 3.98σ2 0.5 0.79 0.30 3.22 1.31 0.38 13.17φ 20 17.73 0.41 83.81 12.72 0.52 65.68α - -6.43 -7.38 -5.74 - - -β - 0.15 -1.61 1.69 - - -

Tabela 4.6: Estimativas de θ - Modelo Bernoulli (cenario 2)

A analise da capacidade preditiva dos dois modelos foi feita comparando-se a previsao de

S nas localizacoes x. O erro de previsao global para o modelo sob amostragem preferencial

foi de 0.2926, enquanto para o modelo que nao considera o efeito da amostragem preferencial

obtivemos EPG igual a 0.3037. Como pode ser observado, ambos os modelos apresentam

capacidades de previsao similares.

Cenario 3:

Como para o modelo Poisson, nesse cenario realizaremos uma analise do impacto do aumento

do numero de sub-regioes que particionam D. Desejamos verificar se particionar D em 400 sub-

regioes melhora significativamente o desempenho do modelo Bernoulli no que tange a inferencia

de θ e a previsao de S em D.

Para esse cenario, simulamos os dados segundo o algoritmo apresentado no inıcio dessa secao

com M = 400, M = 225 e vetor de parametros (µ, σ2, φ, α, β) = (−1.5, 1.5, 20, −7, 1.5). A

amostra resultante contem 32 observacoes.

As amostras a posteriori para θ via MCMC para o modelo sob amostragem preferencial

com resposta Bernoulli com 400 sub-regioes particionando D esta ilustrado pelos histogramas

na Figura 4.12. As amostras a posteriori de φ e α concentram-se proximas aos seus respec-

tivos valores verdadeiros, sugerindo que o modelo e capaz de estimar razoavelmente bem tais

parametros. Para µ, a amostra apresenta pequeno vies em relacao ao valor verdadeiro. O

histograma de µ sugere que o modelo o superestima. O mesmo ocorre para o parametro β,

componente da intensidade do processo de Cox log-gaussiano X. Na Figura 4.12(e) observa-se

que a amostra a posteriori de β esta concentrada em valores proximos a 3, quando o verdadeiro

valor de β e 1.5. Por fim, na direcao oposta, o modelo parece subestimar o valor de σ2. Note que

55

o histograma da amostra a posteriori para σ2 apresenta um vies em relacao ao valor verdadeiro

desse parametro, concentrando-se ao redor de 1. De maneira geral, o modelo sob amostragem

preferencial Bernoulli apresenta estimativas pontuais para θ relativamente proximas aos valores

corretos quando usamos 400 sub-regioes na divisao de D, ainda que para alguns parametros

observemos a presenca de vies.

(a) µ (b) σ2 (c) φ (d) α (e) β

Figura 4.12: Histogramas a posteriori para o modelo com 400 sub-regioes - Modelo Bernoulli(cenario 3)

Com o intuito de analisar o impacto da escolha do numero de sub-regioes, M , em D so-

bre a inferencia dos parametros, reduzimos M de 400 para 225 sub-regioes. Na Figura 4.13

encontram-se os histogramas da amostra a posteriori para cada um dos parametros em θ. Para

todos os parametros, os histogramas concentram-se ao redor do valor verdadeiro, indicando que

o modelo possui boa capacidade de inferencia sobre θ. Nao intuitivamente, o modelo sob amos-

tragem preferencial com 225 sub-regioes parece apresentar desempenho melhor na estimacao

dos parametros. Uma justificativa pode estar na estimacao de SM , pois o aumento do numero

de sub-regioes tambem aumenta a complexidade do modelo visto que o vetor SM , realizacao

de S nos centroides cj das M sub-regioes, passara a ter mais elementos enquanto o numero de

pontos observados permanece o mesmo. Em situacoes com grande quantidade de localizacoes

observadas e presumıvel que o desempenho de ambos os modelos se mostre semelhante.

(a) µ (b) σ2 (c) φ (d) α (e) β

Figura 4.13: Histogramas a posteriori para o modelo com 225 sub-regioes - Modelo Bernoulli(cenario 3)

Analisamos a presente configuracao, inclusive, para o modelo sem considerar a amostragem

preferencial. A Figura 4.14 mostra os histogramas a posteriori para o modelo apresentado

na equacao (4.4). Na Figura 4.14(a) percebe-se que a maior parte da amostra possui valores

56

distantes de −1.5, valor verdadeiro de µ, indicando que a distribuicao a posteriori para µ

atribui baixa probabilidade para valores num intervalo pequeno ao redor de −1.5. O modelo

em questao parece superestimar o parametro µ. Para φ e σ2 as amostras a posteriori concentram

seus valores relativamente proximos ao valor verdadeiro dos respectivos parametros.

(a) µ (b) σ2 (c) φ

Figura 4.14: Histogramas a posteriori para o modelo sem considerar a amostragem preferencial- Modelo Bernoulli (cenario 3)

Na Tabela 4.7 estao expostos os valores das estimativas pontuais assumindo funcao perda

absoluta para os modelos sob amostragem preferencial usando 400 sub-regioes de D (modelo

I), bem como 225 sub-regioes (modelo II) e para o modelo que nao considera a presenca do

processo pontual X na modelagem dos dados (modelo III). Tambem sao apresentados os quantis

2.5% (q0.025) e 97.5% (q0.975) como os limites do intervalo de 95% de credibilidade para os tres

modelos em analise. Examinando as estimativas para µ, observa-se que o modelo que mais se

aproximou do real valor foi o modelo II. Entretanto, para todos os modelos, os intervalos de 95%

de credibilidade contem o valor zero, indicando que eles nao foram capazes de capturar o efeito

comum a todas as localizacoes, µ, presente em pi, i = 1, . . . , n. Para σ2, a estimativa pontual

para o modelo III foi a mais proxima ao valor real. Porem, comparativamente ao segundo

modelo, o modelo III apresenta maior incerteza acerca dessa estimativa. Os intervalos de 95%

de credibilidade para φ sao bastante amplos em todos os modelos, sendo a estimativa pontual

muito incerta nos tres casos. Essa incerteza pode surgir devido a dificuldade de estimacao

dos parametros da funcao de correlacao em modelos espaciais. Pontualmente, o modelo III

apresenta a estimativa mais proxima ao valor verdadeiro φ = 20, alem de possuir o intervalo de

95% de credibilidade de menor amplitude.

Para os parametros do processo pontual X, temos que os resultados para ambos α e β

foram melhores para o modelo II. As estimativas pontuais desses parametros encontram-se

mais proximas ao reais valores para ambos os modelos, bem como os intervalos de 95% de

credibilidade sao mais estreitos para o modelo II do que para o modelo I. Em concordancia

com as conclusoes obtidas pela analise dos histogramas a posteriori, a estimacao de θ forneceu

melhores resultados para o modelo II do que para o modelo I.

Analisando a previsao S nos centroides das M = 400 sub-regioes da grade regular que

57

Amostragem Preferencial Amostragem Preferencial AmostragemValor Real (400 sub-regioes) (225 sub-regioes) Nao Preferencial

Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975 Mediana q0.025 q0.975

µ = −1.5 -0.89 -2.77 0.28 -1.18 -3.09 0.26 0.23 -1.44 1.70σ2 = 1.5 0.68 0.28 2.73 1.26 0.44 4.51 1.30 0.37 6.38φ = 20 30.63 10.75 95.55 24.93 8.96 81.51 16.70 0.65 71.05α = −7 -7.78 -12.19 -5.51 -7.08 -10.30 -5.45 - - -β = 1.5 2.99 1.14 5.60 1.52 0.67 3.54 - - -

Tabela 4.7: Estimativas de θ - Modelo Bernoulli (cenario 3)

particiona D, obtemos os erros de previsao globais apresentados na Tabela 4.8. Pela tabela

percebemos que os modelos I e II apresentam desempenho preditivo similares, com o modelo I

se mostrando um pouco superior. Ambos os modelos foram superiores ao modelo III, levando

em consideracao o EPG como medida de comparacao. Em virtude da diferenca entre os EPGs

dos modelos I e II ser pequena, concluımos que o modelo II e preferıvel devido a reducao do

custo computacional ao optarmos por 225 ao inves de 400 sub-regioes em D.

Amostragem Preferencial Amostragem Preferencial Amostragem(400 sub-regioes) (225 sub-regioes) Nao Preferencial

EPG 0.9050 0.9512 1.3461

Tabela 4.8: Erro de previsao global - Modelo Bernoulli (cenario 3)

Apoiando essa decisao, apresentamos na Figura 4.15 as previsoes para os modelos I e II.

Note que as superfıcies preditas sao bastante parecidas. As previsoes para algumas sub-regioes

de D diferem entre modelos, porem, de maneira geral os modelos conseguem captar regioes

onde S assume valores mais elevados, que sao aquelas onde sao observados eventos xi.

(a) M = 400 (b) M = 225

Figura 4.15: Previsao de S em D para os modelos I e II - Modelo Bernoulli (cenario 3)

Apresentamos em 4.16(a) uma realizacao de S nos centroides cj , j = 1, . . . , 400, da particao

deD, superfıcie que sera considerada como verdadeira em nosso estudo. Apresentamos, tambem,

58

a realizacao do processo pontual X, que sao os pontos observados xi. Escolhido o modelo II

para representar a modelagem sob amostragem preferencial, temos na Figura 4.16(b) a pre-

visao do processo espacial S nesses centroides considerando o efeito do processo pontual X na

modelagem de Y . Ja a Figura 4.16(c) corresponde a superfıcie de S predita para o modelo III.


Figura 4.16: Previsao de S em D - Modelo Bernoulli (cenario 3)

Em decorrencia da escolha de σ2 = 1.5, percebe-se grande variabilidade da superfıcie verda-

deira. Ainda, como esperado devido a β > 0, observamos eventos em regioes onde S apresenta

maiores valores em D. Pelo modo como o modelo preferencial e formulado, os pontos observa-

dos tendem a concentrar-se em algumas sub-regioes de D. Ao analisarmos as Figuras 4.16(b) e

4.16(c) percebemos a clara ineficiencia na previsao de S para os modelos II e III onde nao ha

pontos observados. Em contrapartida, em regioes com presenca de eventos, o modelo II conse-

gue adaptar melhor as variacoes de S, ou seja, a consideracao do processo pontual X aprimora

a previsao de S nessas regioes. Nesse sentido, o modelo sob amostragem preferencial se mostra

superior que o modelo que nao leva em conta o processo X na modelagem dos dados.

59

Capıtulo 5

Discussao e conclusoes

A presente dissertacao se dispos a discutir os efeitos da amostragem preferencial em variaveis

cuja distribuicao de probabilidade pertence a famılia exponencial. Nesse sentido, estendemos a

classe de modelos proposta por Diggle et al. (2010) para os casos onde, condicionado a S, θ e

X, Yi ∼ Poisson(λi) ou Yi ∼ Bernoulli(pi).

No capıtulo 3 encontra-se descrita a metodologia apresentada em Diggle et al. (2010), englo-

bando somente variaveis gaussianas. Em seguida, avaliamos as discrepancias entre os modelos

preferencial e nao preferencial, com respeito a inferencia dos parametros e a previsao, atraves

da simulacao de um conjunto de localizacoes escolhidas preferencialmente. Apesar das amos-

tras a posteriori de ambos os modelos se mostrarem semelhantes, os valores obtidos para o

intervalo de credibilidade de β nos fornecem evidencias de favoritismo na escolha da amostra,

como esperado. Alem disso, a previsao baseada no modelo que considera o processo X capta

melhor as nuances de S, principalmente em regioes proximas as estacoes de monitoramento.

Com o intuito de abranger uma variedade maior de problemas praticos, no Capıtulo 4

propusemos uma extensao do modelo em Diggle et al. (2010) para processos espaciais discretos.

Nele apresentamos os modelos sob amostragem preferencial para variaveis bem caracterizadas

pelas distribuicoes de probabilidade Poisson e Bernoulli.

Estudos com dados artificiais foram conduzidos para uma gama de possıveis cenarios, permi-

tindo uma melhor compreensao do procedimento de inferencia e previsao do modelo proposto.

Na Secao 4.2 exploramos tres situacoes distintas: na primeira o vetor y continha grande quan-

tidade de observacoes iguais a zero; na segunda analisamos o comportamento do modelo em

contextos de maior variabilidade de S, ocasionada pelo aumento no valor de σ2; e na ultima

avaliamos as diferencas decorrentes de mudancas no numero de sub-regioes da particao de D

empregada na aproximacao de p(x). Para processos com distribuicao Bernoulli, cujo modelo

preferencial foi exposto na Secao 4.3, tambem foram estudados tres contextos: no cenario 1

apresentamos um exemplo generico; o segundo cenario seguiu uma direcao distinta das demais,

com a geracao de um processo de Poisson homogeneo em D; finalmente, o cenario 3 verificou

a influencia da escolha da particao de D nos resultados do modelo preferencial. Em todos os

casos foram implementados os dois modelos, sob amostragem preferencial e sem considera-la,

60

levantando questoes acerca do vies introduzido pela omissao do processo pontual X.

Os resultados obtidos foram consistentes com os encontrados na Secao 3.1. O modelo

preferencial foi capaz de recuperar satisfatoriamente os valores verdadeiros dos parametros,

apresentando estimativas mais proximas ao valor correto do que aquelas encontradas para o

modelo geoestatıstico. Ainda, o modelo proposto resultou em intervalos de credibilidade de me-

nor amplitude, sugerindo reducao da incerteza na estimacao de θ. Portanto, a consideracao de

X, processo que governa a disposicao das localizacoes onde os dados serao coletados, melhorou

a inferencia dos parametros para a maioria dos estudos abordados.

A maior influencia da amostragem preferencial, entretanto, surge na previsao do processo

espacial S, como pontuado em Gelfand et al. (2012). Previsoes que consideram o processo pon-

tual X, quando a disposicao de x sugere influencia de S, parecem mais corretas, apresentando

menores desvios que as previsoes sem considera-lo.

Ainda a respeito da previsao de S, destacam-se as diferencas entre as abordagens frequentista

e bayesiana. Sob o enfoque frequentista, a previsao de S em Diggle et al. (2010) se da por meio

da avaliacao da distribuicao preditiva p(S | y), imputando as estimativas de θ nas expressoes

da media e da variancia de krigagem. Note que p(S | y), para esse contexto, nao considera a

informacao contida na amostra das localizacoes, x. Em contrapartida, adotando a abordagem

Bayesiana para o modelo sob amostragem preferencial, apresentada nos Capıtulos 3 e 4, a

distribuicao preditiva e de fato p(S | y,x), a correta distribuicao preditiva para S assumindo

que a amostra e informativa.

A metodologia proposta foi aplicada a dados de contagens de pragas coletados na fazenda

Bjetorp, no sudoeste da Suecia. A regiao consiste em um campo de trigo de 30 hectares e os

dados constituem o numero de ervas daninhas em janelas de 0.5 x 0.7 metros, com a informacao

de cada janela resumida em uma unica localizacao, num total de 100 localizacoes. Embora os

estudos com dados artificiais comportem-se de maneira adequada, a aplicacao a dados reais

levanta questoes acerca da convergencia do algoritmo de MCMC. Em face da forte correlacao

entre µ e S o algoritmo encontra dificuldade em convergir, apresentando cadeias que se movem

lentamente pelo espaco parametrico alem de autocorrelacao elevada. Metodos alternativos

foram experimentados, como o proposto em Gamerman (1997), entretanto sem sucesso. Como

etapa futura, desejamos estudar algoritmos que explorem o espaco parametrico de forma mais

eficiente, resultando na convergencia das cadeias e consequente estimacao dos parametros e

previsao de Y .

Apesar dos resultados obtidos indicarem que a suposicao de um processo pontual X, deter-

minante do conjunto de localizacoes, melhora a estimacao dos parametros e a previsao de S em

situacoes onde o arranjo de x sugere preferencia por determinadas regioes de D, nao devemos

empregar o modelo sob amostragem preferencial sem crıticas iniciais. Alguns pesquisadores

argumentam que a preferencialidade poderia ser explicada por covariaveis comuns a X e S ou

mesmo inserida atraves de prioris informativas e que o uso de um processo estocatico para carac-

terizar a disposicao de x nao parece intuitivo. Nesse sentido, Diggle et al. (2010) argumentam

61

que a metodologia apresentada mostra-se util como um teste da preferencialidade da amostra

e tambem para uma melhor compreensao das consequencias quando ela nao e adequada, mas

concordam que a insercao de informacoes sobre a escolha da amostra deve ser considerada.

Outra discussao sobre a metodologia abordada em Diggle et al. (2010) esta relacionada a

aproximacao da densidade do processo pontual X, p(x). Os autores optam pela discretizacao

de D em uma grade regular, todavia, outras particoes podem ser investigadas, como a tessela-

gem de Voronoi. Reis (2008) descreve alguns metodos de discretizacao espacial, apresentando

suas caracterısticas e vantagens especıficas. Alternativamente, Omiros Papaspiliopoulos e Paul

Fearnhead propoem que a verossimilhanca da classe de modelos em Diggle et al. (2010) seja

aproximada por um algoritmo baseado em metodos de Monte Carlo para estimacao de verossi-

milhancas para difusoes (Beskos et al. (2006), Fearnhead et al. (2008)).

Por fim, cabe destacar que, apesar dos resultados satisfatorios, os estudos aqui apresentados

reproduzem somente parte da sorte de cenarios plausıveis na pratica. Devemos, portanto, ser

cautelosos na aplicacao da metodologia uma vez que situacoes muito discrepantes do discutido

em nosso estudo podem apresentar resultados nao consistentes.

62

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