Bernoulli Def

5/11/2018 Bernoulli Def - slidepdf.com

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Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli

• estreitamente relacionada à equação da energia para escoamento permanente

• relação entre pressão, velocidade e elevação para um fluido sem atrito

• estabelecida em 1738 (vagamente), em palavras, em um livro-texto, por DanielBernoulli. Uma dedução completa da equação foi dada em 1755 por Leonhard Euler.

• muito famosa e muito usada, mas é necessário estar atento às suas restrições - todos

os fluidos são viscosos e, portanto, todos os escoamentos apresentam algum atrito.Para usar corretamente a equação de Bernoulli, devemos restringi-la a regiões deescoamento aproximadamente sem atrito.

• considere-se, na Fig. 1, um volume de controle formado por um tubo de correnteelementar, fixo, de área variável A(s) e comprimento ds, onde s é uma coordenadanatural na direção das linhas de corrente.

• as propriedades (ρ, V, p) podem variar com s e com o tempo, mas admite-se que sãouniformes sobre a seção transversal A.

• orientação θ do tubo de corrente é arbitrária, com uma variação de elevação dz = ds

sen θ.

Fig. 1: Equação de Bernoulli para um escoamento sem atrito ao longo de uma linha decorrente: (a) forças e fluxos; (b) forças líquidas de pressão após a subtração de p.

• conservação da massa, ( ) ( )0r

VC SC sist

dm d dv V n dA

dt dt ρ ρ

= = + ⋅ ∫ ∫ , para esse volume de

controle elementar, conduz a ( ) md dvt

mmdvdt

d ent sai

VC +

∂∂≈=−+∫ ρ

ρ 0 onde AV m ρ = e

Adsdv ≈ . Logo, nossa forma desejada para a conservação de massa é

Adst

AV d md ∂∂

−==ρ

ρ )( (1)

• relação de quantidade de movimento linear na direção das linhas de corrente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )V md AdsV t

V mV mdvV dt

d dF ent sai

VC s

+∂∂

≈−+= ∫ ∑ ρ ρ onde Vs = V (s está na

direção da própria linha de corrente)

• desprezando a força cisalhante nas paredes (escoamento sem atrito), as forças sedevem à pressão e à gravidade.

• a força de gravidade na direção da linha de corrente é igual ao correspondentecomponente do peso do fluido dentro do volume de controle Adz AdssendPsendF grav s γ θ γ θ −=−=−=,



• força de pressão é mais facilmente visualizada, na Fig. 1b, subtraindo-se antes umvalor uniforme p de todas as superfícies, lembrando-se que isso não altera a força depressão resultante. A força de pressão ao longo da lateral inclinada do tubo decorrente tem um componente na direção das linhas de corrente, que atua não sobre A,mas sobre o anel externo correspondente à variação de área dA. A força de pressão

resultante é, portanto ( ) AdpdA AdpdpdAdF press s

−≈+−=2

1,

• substituindo esses dois termos de força na relação de quantidade de movimento

( ) ( ) mVd dV m Adst

V VAds

t V md AdsV

t Adp Adz dF s ++

∂

∂+

∂

∂=+

∂

∂=−−=∑ ρ

ρ ρ γ

• o primeiro e o último termos da direita se cancelam, em virtude da relação decontinuidade (1). Dividindo-se o que resta por ρA e rearrumando, obtém-se a relaçãofinal desejada:

0=+++∂

∂ gdz VdV

dpdst

V

ρ (2)

essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, não-permanente, aolongo de uma linha de corrente. Ela está em uma forma diferencial e pode ser integrada entre dois pontos 1 e 2 quaisquer sobre a linha de corrente:

( ) ( )∫ ∫ =−+−++∂

∂2

1

2

112

2

1

2

2 02

1 z z g V V

dpds

t

V

ρ (3)

• para avaliar as duas integrais restantes, devemos estimar o efeito não-permanente

(∂v/∂t) e a variação da massa específica com a pressão. A essa altura, consideramosapenas o caso de escoamento permanente (∂v/∂t = 0) e incompressível (densidadeconstante), para o qual a Eq. (3) fica

( ) ( ) 02

112

2

1

2

2

12 =−+−+−

z z g V V p p

ρ

ou const gz V p

gz V p

=++=++2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

ρ ρ (4)

Essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, permanente,

incompressível, ao longo de uma linha de corrente.

Relação entre a equação de Bernoulli e as equações da energia para escoamentopermanente

• a Eq. (4) é uma forma largamente usada da equação de Bernoulli para o escoamentosem atrito, permanente, incompressível, em uma linha de corrente. Ela estáclaramente relacionada à equação da energia para o escoamento permanente em umtubo de corrente (escoamento com uma entrada e uma saída), que escrevemos assim:

( ) ve wwquu gz V p

gz V p

++−−+++=++122

2

222

1

2

111 ˆˆ22

α

ρ

α

ρ (5)

• essa relação é muito mais geral que a equação de Bernoulli, pois leva em conta (1)atrito, (2) troca de calor, (3) trabalho de eixo e (4) trabalho viscoso (outro efeito do



atrito).

• se comparamos a equação de Bernoulli (4) com a equação da energia (5), vemos quea equação de Bernoulli contém ainda mais restrições do que se poderia imaginar deinício. A lista completa de hipóteses para a Eq. 4 é a seguinte:

1. Escoamento permanente - uma hipótese comum, aplicável a muitos escoamentos.

2. Escoamento incompressível - aceitável, se o número de Mach do escoamento for menor que 0,3.

3. Escoamento sem atrito - muito restritiva, as paredes sólidas introduzem efeitos deatrito.

4. Escoamento ao longo de uma única linha de corrente - linhas de corrente diferentes

podem ter diferentes "constantes de Bernoulli" gz V pw =+= 22

0ρ , dependendo das

condições do escoamento.5. Ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2 - sem bombas ou turbinas sobre a linha de

corrente.6. Ausência de troca de calor entre 1 e 2 - seja calor adicionado, seja calor removido.

• Obs.: apenas um certo conjunto limitado de escoamentos satisfaz a essas seishipóteses. A dedução usual da equação de Bernoulli, baseada em quantidade demovimento, ou "força mecânica", não chega a revelar os itens 5 e 6, que sãolimitações termodinâmicas. A razão básica para as restrições 5 e 6 é que astransferências de calor e trabalho, em fluidos reais, estão casadas com os efeitos deatrito, o que, portanto, invalida a hipótese de escoamento sem atrito.

• A Fig. (2) ilustra algumas limitações práticas para a aplicação da equação de Bernoulli(4). Para o teste do modelo em túnel de vento, Fig. 2a, a equação de Bernoulli é válidano núcleo do escoamento do túnel, mas não nas camadas-limite das paredes do túnel,nas camadas-limite da superfície do modelo, nem na esteira do modelo, regiões essas

todas com grande atrito.

Fig. 2: Exemplos ilustrativos de regiões de validade e não-validade da equação deBernoulli: (a) modelo em um túnel, (b) propulsor, (c) chaminé.

• no escoamento através do propulsor a hélice da Fig. 2b, a equação de Bernoulli é

válida tanto a montante como a jusante, mas com diferentes constantes gz V pw =+= 2

2

0ρ , em virtude do trabalho transferido pelo propulsor. A equação de

Bernoulli (4) não é válida nas proximidades das pás do propulsor nem nos vórtices



helicoidais emitidos a jusante a partir das bordas das pás. Além disso, as constantesde Bernoulli são maiores nas correntes através da hélice do que na atmosferaambiente, por causa da energia cinética dessas correntes.

• para o escoamento na chaminé da Fig. 2c, a Eq. (4) é válida antes e depois dafornalha, mas com uma mudança na constante de Bernoulli, causada pela adição decalor. A equação de Bernoulli não é válida na zona de combustão propriamente, nem

nas camadas-limite das paredes da chaminé.• moral da história: aplicar a Eq. (4) apenas quando todas as seis restrições puderem

ser satisfeitas: escoamento permanente incompressível, ao longo de uma linha decorrente, sem perdas por atrito, sem troca de calor e sem trabalho de eixo entre asseções 1 e 2.

Linhas piezométricas e de energia

• uma interpretação visual proveitosa da equação de Bernoulli consiste em traçar duaslinhas de carga para um escoamento. A linha de energia (LE) mostra a altura da

"constante" de Bernoulli ( ) g V p z h 22

0++= γ . No escoamento sem atrito, sem

trabalho de eixo e sem troca de calor, Eq. (4), a LE tem altura constante. A linhapiezométrica (LP), ou hidráulica, mostra a altura correspondente à elevação mais a

altura de pressão, γ p z + , ou seja, a LE menos a altura de velocidade ( ) g V 22 . A LP

é a altura a que se elevaria o líquido em um tubo piezométrico ligado ao escoamento.No escoamento em um canal aberto, a LP é idêntica à superfície livre da água.

• Fig. 3 ilustra as LE e LP para um escoamento sem atrito entre as seções 1 e 2 de umduto. Os tubos piezométricos medem a altura da pressão estática γ p z + , delineando

então a LP. Os tubos de Pitot medem a altura total g V p z 22++ γ , que corresponde à

LE. Nesse caso particular, a LE é constante, e a LP se eleva devido a uma queda navelocidade.

Fig. 3: Linhas piezométrica e de energia para o escoamento sem atrito em um duto.

• Em condições mais gerais de escoamento, a LE irá cair suavemente em virtude dasperdas por atrito, e irá cair rapidamente no caso de uma perda substancial (umaválvula ou obstrução) ou no caso de uma extração de trabalho (por uma turbina). A LEsó poderá se elevar se houver acréscimo de trabalho (caso de uma bomba ou de um

propulsor). A LP geralmente segue o comportamento da LE no que se refere àsperdas ou à transferência de trabalho, elevando-se e/ou caindo se a velocidadediminui e/ou aumenta.



• em todos os problemas-tipo de Bernoulli, sugere-se tomar o ponto 1 a montante e oponto 2 a jusante, sistematicamente.

EXEMPLO 1Encontre uma relação entre a velocidade de descarga do bocal, V2, e a altura h dasuperfície livre do reservatório, Fig. E1.

Fig. E1

Solução

• escolhemos o ponto 1 a montante, na superfície do reservatório, onde a elevação e apressão são conhecidas, e o ponto 2 a jusante, na saída do bocal, onde a pressão e aelevação também são conhecidas. As duas incógnitas são V1 e V2.

• normalmente, a conservação da massa é uma parte vital das análises tipo Bernoulli.Sendo A1 a seção transversal do reservatório e A2 a área do bocal, esse escoamento é

aproximadamente unidimensional e incompressível,

2211V AV A = R1

• a equação de Bernoulli (4) fornece

2

2

22

1

2

11

2

1

2

1 gz V

p gz V

p++=++

ρ ρ

• mas, como as seções 1 e 2 estão ambas submetidas à pressão atmosférica, p1= p2 =

pa, os termos de pressão se cancelam, ficando

( ) gh z z g V V 22 21

2

1

2

2 =−=− R2

• eliminado V1 entre as Eqs. (1) e (2), obtemos o resultado desejado:

2

1

2

2

2

21

2

A A

ghV

−

= R3

• geralmente, a área A2 do bocal é muito menor que a área do reservatório A1, de modo

que a razão ( ) ( ) 212

2 A A é desprezível, e uma aproximação precisa para a velocidade

na saída é



( ) 21

22 ghV ≈ R4

• fórmula descoberta por Evangelista Torricelli em 1644, estabelecendo que avelocidade de descarga do fluido é igual à velocidade de uma partícula em queda livre,sem atrito, do ponto 1 ao ponto 2

• resumindo, a energia potencial da superfície do fluido é inteiramente convertida emenergia cinética de fluxo

• a Eq. (4) é independente da densidade do fluido, característica dos escoamentosregidos pela gravidade

• exceto para as camadas-limite da parede, todas as linhas de corrente 1 a 2comportam-se da mesma maneira, e podemos pressupor que a constante de Bernoullih0 é a mesma para todo o núcleo do escoamento

• todavia, o escoamento na saída tende a ser não-uniforme, não-unidimensional, tal quea velocidade média apenas se aproxima do resultado de Torricelli.

• para se ajustar a fórmula, inclue-se um coeficiente de descarga adimensional, cd

( ) ( ) 21

2

22 ghc

AQV d m

== R5

• o coeficiente de descarga de um bocal varia em tomo de 0,6 a 1,0, em função dascondições (adimensionais) do escoamento e da forma do bocal.

EXEMPLO 2Refaça o Ex. 1, levando em conta, pelo menos aproximadamente, as condições deescoamento não-permanente causadas pelo esvaziamento do reservatório.

Solução• essencialmente, somos levados a incluir o termo integral, não-permanente,envolvendo t V ∂∂ na Eq. (3). Isso irá resultar em um novo termo adicionado à Eq.(2) do Ex. 1:

∫ =−+∂∂2

1

2

1

2

2 22 ghV V dst

V R1

• já que o escoamento é incompressível, a equação da continuidade retém a forma

simples 2211V AV A = do Ex. 1. Para integrar o termo não-permanente, devemos

estimar a aceleração ao longo de toda a linha de corrente. A maior parte da linha de

corrente está na região do reservatório, onde dt dV t V 1≈∂∂ . O comprimento da

linha de corrente média é ligeiramente maior que a profundidade h. Uma estimativagrosseira para a integral é, portanto,

∫ ∫ ≈≈∂

∂2

1

2

1

11 hdt

dV ds

dt

dV ds

t

V R2

• mas, como A1 e A2 são constantes, ( )( )dt dV A Adt dV 2121 ≈ . Substituindo na Eq. (1),

temos

gh A

AV

dT

dV

A

Ah 212

2

1

2

22

22

1

2 ≈

−+ R3



• essa é uma equação diferencial de primeira ordem para V2(t). Ela é complicada pelofato de a profundidade h ser variável; a relação h = h(t) deve ser determinada pelavariação em V1(t)

( ) ∫ −=t

dt V ht h0

10 R4

• Eqs. (3) e (4) devem ser resolvidas ao mesmo tempo, mas o problema está bemcolocado e pode ser tratado analiticamente ou numericamente. Podemos ainda

estimar a grandeza do primeiro termo da Eq. (3) usando a aproximação ( ) 21

2 2 ghV ≈do exemplo prévio. Após diferenciação, obtemos

2

2

2

1

22

1

22 V A

A

dt

dV

A

Ah

−≈ R5

que é desprezível se A2 «A1, como postulamos originalmente.

EXEMPLO 3Uma contração de seção em um tubo provocará um aumento de velocidade e uma quedade pressão na seção 2 da garganta. A diferença de pressão é uma medida da vazãovolumétrica do escoamento através do tubo. O dispositivo convergente e suavementedivergente mostrado na Fig. E3 é chamado tubo venturi. Encontre uma expressão para ofluxo de massa no tubo em função da queda de pressão.

Fig. E3

Solução

• admite-se a validade da equação de Bernoulli ao longo da linha de corrente central

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1 gz V

p gz V

p++=++

ρ ρ

• se o tubo for horizontal, z1 = z2, e podemos escrever

ρ

pV V

∆=− 22

1

2

2 21 p p p −=∆ R1

• relacionamos as velocidades pela relação de continuidade incompressível

2211V AV A =

ou 2

2

1 V V β =1

2

D

D=β R2

• combinando (1) e (2), obtemos uma fórmula para a velocidade na garganta



( )

21

421

2

−∆

=β ρ

pV R3

• o fluxo de massa é dado por

21

422212

−∆==β

ρ ρ p AV Am R4

• esse é o fluxo de massa ideal, sem atrito. Na prática, medimos ideal d real mcm = e

correlacionamos o coeficiente de descarga cd.

EXEMPLO 4Uma mangueira de incêndio de 10 cm com um bocal de 3 cm descarrega 1,5 m3/min deágua para a atmosfera. Considerando o escoamento sem atrito, encontre a força Fp

exercida pelos parafusos dos flanges para prender o bocal na mangueira.

Solução

• aplicam-se as equações de Bernoulli e da continuidade para encontrar a pressão p 1 amontante do bocal, e em seguida efetua-se uma análise de quantidade de movimentopara um volume de controle a fim de calcular a força nos parafusos, conforme a Fig.E4.

• o escoamento de 1 a 2 tem uma contração de seção de efeito exatamente similar à doEx. 3, cuja Eq. (1) fornece

( )2

1

2

2212

1V V p p −+= ρ R1

• velocidades determinadas a partir da vazão dada, Q = 1,5 m3/min ou 0,025 m3/s:

( )( )sm

m

sm

A

QV 4,35

03,04

025,02

3

2

2 ===π

• sabe-se que p2 = pa = 0 (manométrica). Logo, a Eq. (1) fica

( ) ( )[ ] ( ) amanométric Pa smkg smmkg p 6200006200002,34,3510002

1 222223

1=⋅=−=

• balanço de forças no volume de controle é mostrado na Fig. E4b:

11 A p F F p x +−=∑

Fig. E3.24



• pressão manométrica nula sobre todas as outras superfícies não contribui para a

força. O fluxo de quantidade de movimento x é 2V m+ na saída e 1

V m− na entrada.

A relação de quantidade de movimento para regime permanente fornece então

( )1211 V V m A p F p −=+−

ou ( )1211 V V m A p F p −−= R2

• substituindo os valores numéricos dados, encontramos

( )( ) skg smmkg Qm 25025,0100033 === ρ

( ) 222

1100785,01,0

44mm D A ===

π π

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) N smkg N sm skg mm N F p 406780548722,34,352500785,0620000222 =⋅−=−−=

• esse valor dá uma idéia de por que é preciso mais de um bombeiro para operar umamangueira de incêndio a plena descarga.

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