A otimização é o processo de · De 11 de março a 06 de maio de 2016 – prof. Lori Viali, Dr....

M É T O D O S Q U A N T I T A T I V O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A SD e 1 1 d e m a r ç o a 0 6 d e m a i o d e 2 0 1 6 – p r o f . L o r i V i a l i , D r .

A otimização é o processo de

encontrar a melhor solução (ou

solução ótima) para um problema.

Existe um conjunto particular

de problemas nos quais é decisivo

a aplicação de um procedimento de

otimização.


Muitos processos podem se

beneficiar de uma alocação otimizada

de recursos. Esses recursos podem

incluir capital, equipamentos, tarefas,

e devem ser corretamente alocados nas

quantidades, nos tempos e na

seqüência para a obtenção do melhor

resultado possível.


São problemas complexos, muitas

vezes de difícil solução e que envolvem

significativas reduções de custos,

melhorias de tempos de processos, ou

uma melhor alocação de recursos em

atividades.


As técnicas de otimização devem

ser utilizadas quando não existe uma

solução simples e diretamente

calculável para o problema. Isso

geralmente ocorre quando a estrutura

do problema é complexa, ou existem

milhões de possíveis soluções.


( )

( )

( )

( ) b ) ou ,( x...,xxg

... ............ ........ b ) ou ,( x...,xxg b ) ou ,( x...,xxg tq

x...,xxf z (min) Max

mn,2,1m

2n,2,12

1n,2,11

n,2,1

≥=≤

≥=≤

≥=≤

=

Um problema de Programação Não Linear(PNL) pode ser colocado da seguinte forma:Encontre valores de x1, x2, ..., xn que:


Da mesma forma que na Programação

Linear (PL) na PNL f(x1, x2, ..., xn) é a função

objetivo (FO) e gi(x1, x2, ..., xn) (≤, = ou ≥) bi com

i = 1, 2, ..., m são as restrições.

Quando não existirem restrições teremos a

PNL irrestrita.


O conjunto de todos os pontos

(x1, x2, ..., xn) tal que xi é um número real é

representado por Rn. Assim R1 é o

conjunto de todos os números reais.


O conjunto de todos os pontos

(x1, x2, ..., xn) que satisfazem as restrições de um

PPNL é denominada de Região Viável (RV).

Um ponto na região é denominado de Ponto

Viável (PV) e um ponto fora da região é

denominado de Ponto Inviável.


Um ponto x* na região viável tal que

f(x*) ≥ f(x) é uma solução ótima do PPNL. (Se o

problema for de minimização x* é uma solução

ótima se f(x*) ≤ f(x) para todos os pontos x da

região).


Se f, g1, g2, ..., gm forem funções

lineares então o problema será de PL e

poderá ser resolvido pelo algoritmo

Simplex.


(1) O custo de fabricação de um produto de uma

empresa é c reais e a demanda pelo mesmo é

D(p). Se a empresa quer maximizar o lucro

qual deve ser o preço final do produto.


(2) Se c unidades de capital e l unidades de mão

de obra são utilizadas uma empresa pode

produzir cl unidades de um produto. O custo

do capital por unidade é de R$ 4,00 e o do

trabalho é de R$ 1,00. Se o total disponível é

de R$ 8,00 como a empresa pode maximizar a

quantidade de bens a ser manufatura?


Lembrar que:

A região viável de um PPL é um

conjunto convexo, isto é, se A e B são pontos

viáveis então todos os pontos do segmento

ligando A e B são também viáveis.

Também que, se um PPL tem uma

solução ótima então ela é um ponto extremo

da região viável.


Para um PPNL um ponto ótimo não é

necessariamente um ponto extremo da região

viável.

De fato para um PPNL a solução ótima

pode nem sequer ser um ponto de fronteira.


Um PPNL cuja

solução ótima não é

um ponto extremo.

D é a solução

ótima sobre a região

viável formada pelo

triângulo ABE.

l

max z = cls. a 4c + l ≤ 8

c, l ≥ 0

c

8

4

2

D

BA

E

1

cl = 4cl = 4cl = 2cl = 1


Um PPNL cuja

solução ótima não está

na fronteira da região

viável. A solução ótima

é z = 1 quando x = ½. E

x não está na fronteira

da região viável.

max z = f(x)s. a 0 ≤ x ≤ 1

1/2

1


Para um PPNL (maximização), um

ponto viável x = (x1, x2, ..., xn) é um

máximo local se para um ε suficientemente

pequeno, qualquer ponto viável

x’ = (x’1, x’2, ..., x’n) tal que |x – x’| < ε

satisfaz f(x) ≥ f(x’).


De outro modo, um ponto x é um

máximo local se f(x) ≥ f(x’) para todo x’

viável que está próximo de x.

Um ponto que é um mínimo ou

máximo local é denominado de local,

relativo ou extremo.


Para um PPL (maximização), qualquer

mínimo local é uma solução ótima do

problema (Porquê?).

Para um PPNL isso não é

necessariamente verdadeiro. Por exemplo,

considere o seguinte PPNL:


max z = f(x)

s.a 0 ≤ x ≤ 10

onde f(x) é apresentada na figura

seguinte (próxima lâmina).

Note que os pontos A, B e C são

máximos locais mas C é a única solução

ótima do problema.


Um máximo

local pode não

ser uma solução

ótima de um

PPNL.x

z

10

z = f(x)

A

B

C


Seja f(x1, x2, ..., xn) uma função que

é definida para todos os pontos (x1, x2,

..., xn) em um conjunto convexo S.


A função f(x1, x2, ..., xn) é uma função

convexa em um conjunto convexo se para

qualquer x’ ∈ S e x”∈ S.

f[cx’ + (1 – c)x”] ≤ cf(x’) + (1 – c)f(x”)

para 0 ≤ c ≤ 1.


A função f(x1, x2, ..., xn) é uma função

côncava em um conjunto convexo S se

para qualquer x’ ∈ S e x”∈ S.

f[cx’ + (1 – c)x”] ≥ cf(x’) + (1 – c)f(x”)

para 0 ≤ c ≤ 1.


Considerando as definições

anteriores pode-se verificar que uma

função f(x1, x2, ..., xn) é convexa se e

somente -f(x1, x2, ..., xn) é côncava e vice-

versa.


x’

y = f(x)

x”cx’ + (1–c)x”B

D

AC

Ponto A = (x’, f(x’))

Ponto D = (x”, f(x”))

Ponto C = (cx’+(1 - c)x”, cf(x’)+(1 - c)f(x”))

Ponto B = (cx’+(1-c)x”, f(cx’+(1-c)x”))

Da figura f(cx’+(1-c)x”)) ≤ cf(x’)+(1-c)f(x”))

A f(x) é convexa se e só se osegmento unindo doispontos quaisquer da curvanunca está abaixo dela.


x’

y = f(x)

x”cx’ + (1–c)x”

B

D

A

C

Ponto A = (x’, f(x’))

Ponto D = (x”, f(x”))Ponto C = (cx’+(1-c)x”, f(cx’+(1-c)x”))

Ponto B = (cx’+(1-c)x”, cf(x’)+(1-c)f(x”))

Da figura f(cx’+(1-c)x”) ≥ cf(x’)+(1-c)f(x”)

A f(x) é côncava se e só se osegmento unindo doispontos quaisquer da curvanunca está acima dela.


Para x ≥ 0, f(x) = x2 e g(x) = ex são funções

convexas e f(x) = x1/2 é uma função côncava.

Favor verificar (graficamente e

analiticamente)!


Pode ser mostrado que a soma de duas

funções convexas é convexa e que a soma de

duas funções côncavas é côncava.

Assim considerando o exemplo anterior a

função h(x) = f(x) + g(x) = x2 + ex é convexa.


Uma vez que o segmento AB está abaixo

de y = f(x) e o segmento BC está acima da

y = f(x) , f(x) não é côncava nem convexa.

x

y

y = f(x)

AB

C


Uma função linear da forma f(x) = ax + b é

tanto convexa quanto côncava. Isso é uma

conseqüência de:

f[cx’ + (1 – c)x”] = a[cx’ + (1 – c)x”] + b =

= c(ax’ + b) + (1 – c)(ax” + b) =

= cf(x’) + (1 - c)f(x”)


Antes de discutir como determinar se

uma função é convexa ou côncava vai-se

provar um resultado que ilustra a importância

desse tipo de função.


Considere um PPNL de maximização

(minimização) e suponha que a região viável S

seja um conjunto convexo. Se f(x) é côncava

(convexa) em S, então qualquer máximo

(mínimo) local do PPNL é uma solução ótima

do PPNL.


Se o teorema é falso então deve existir um

máximo local x’ que não é uma solução ótima.

Seja S a região viável para o PPNL (por

hipótese S é convexo). Então para algum x ∈ S,

f(x) > f(x’). Pela definição de função côncava,

tem-se que para qualquer 0 < c < 1,


f(cx’ + (1 – c)x) ≥ cf(x’) + (1 – c)f(x) >

cf(x’) + (1 – c)f(x’) pois f(x) > f(x’)

= f(x’)

Agora observe que para c arbitrariamente

próximo de 1, cx’ + (1 – c)x é viável (S é

convexo) e é próximo de x’. Assim, x’ não pode

ser um máximo local, que é uma contradição e

assim o teorema fica provado.


Seja f(x) uma função de uma única

variável. Suponha que f”(x) existe para todo x

num conjunto convexo S. Então f(x) é uma

função convexa (côncava) em S se e somente

se f”(x) ≥ 0 (f(x“) ≤ 0) para todo x em S.

A prova é dada por um raciocínio

semelhante ao Teorema 1.


Como é possível determinar se uma

função f(x1, x2, ..., xn) de “n “ variáveis é

convexa (côncava) em um conjunto S ⊂ Rn.

Vamos assumir que a f tem derivadas parciais

de segunda ordem contínuas. Antes do critério

para determinar se f é côncava ou convexa são

necessárias três definições.


O Hessiano da função f(x1, x2, ..., xn) é a

matriz “nxn“ cujo elemento aij é dado por:

aij = ∂2f/∂xi∂xj

Por exemplo o Hessiano da função:

xxx2x)x,x(f 2221

3121 ++= é:


∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

=

xx

f

xx

fxx

f

xx

f

)x,x(H

22

2

12

221

2

11

2

21

O Hessiano, nesse caso, será:

Resolvendo, tem-se:

=

22

2x6)x,x(H

121


Um i-ésimo menor principal de uma

matriz nxn é o determinante de qualquer ixi

matriz obtida eliminando n – i linhas e n – i

colunas da matriz nxn.

Assim para a matriz:

−−

−−

41

12

Os primeiros menores principais são -2

e -4 e o segundo é -2(-4)-(-1)(-1) = 7


O k-ésimo menor principal líder

de uma matriz nxn é o determinante da

matriz kxk obtida eliminando as

últimas n – k linhas e colunas da

matriz.


xxx2x)x,x(f 2221

3121 ++=

Se Hk(x1, x2, ..., xn) representar o k-ésimo

menor principal líder da matriz Hessiana

avaliada no ponto (x1, x2, ..., xn), da função:

Os menores principais líderes serão:

H1(x1, x2) = 6x1

H2(x1, x2) = 2.6x1 -2.2 = 12x1 - 4


Suponha f(x1, x2, ..., xn) tem derivadas

parciais de segunda ordem contínuas em cada

ponto (x1, x2, ..., xn) ∈ S. Então f é uma função

convexa em S se e somente se para cada x ∈ S,

todos os menores principais de H são não

negativos.


Mostre que

xxx2x)x,x(f 2221

2121 ++=

É uma função convexa em S = R2.


Os primeiros menores principais do Hessiano

são as entradas da diagonal principal (ambas

igual a 2 ≥ 0). O segundo menor principal é

2.2 - 2.2 = 0 ≥ 0. Assim para qualquer ponto

todos os menores principais de H são não

negativos. Portanto f(x1, x2) é convexa.

Tem-se que:

=

22

22)x,x(H 21


Suponha que f(x1, x2, ..., xn) tem derivadas

parciais de segunda ordem contínuas em cada

ponto (x1, x2, ..., xn) ∈ S. Então f é uma função

côncava em S se e somente se para cada x ∈ S

e k = 1, 2, ..., n, todos os menores principais

não nulos tem o mesmo sinal que (-1)k.


Mostre que

x2xx2x)x,x(f 2221

2121 −−−=

É uma função côncava em S = R2.


Os primeiros menores principais do Hessiano

são as entradas da diagonal (-2 e -4) que são

ambos negativos - (-1)k = (-1)1 = -1 . O

segundo menor principal é o determinante de

H que é igual a -2.-4 – (-1).(-1) = 7 > 0 - (-1)k =

(-1)2 = 1. Assim f(x1, x2) é côncava.

Tem-se que:

−−

−−=

41

12)x,x(H 21


Mostre que a função

x2xx3x)x,x(f 2221

2121 +−=

Não é côncava e nem convexa.


Os primeiros menores principais do Hessianosão 2 e 4 ambos positivos assim f não podeser côncava. O segundo menor principal é odeterminante de H que é igual 2.4 – (-3).(-3) =-1 < 0. Assim f(x1, x2) não pode ser convexa.Desse modo essa função não é nem côncava enem convexa

Tem-se que:

−

−=

43

32)x,x(H 21


Verifique se a função:

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz,

é côncava, convexa ou nem côncava e nem

convexa.


Eliminando linhas (e colunas) 1 e 2 obtém-se o

primeiro menor principal de primeira ordem

4 > 0. Eliminado as linhas (e colunas) 1 e 3 do

Hessiano obtém-se o segundo menor principal

de primeira ordem que é 2 > 0.

Tem-se que:

−−

−−

−−

=

411

121

112

)x,x,x(H 321


Eliminado as linhas (e colunas) 2 e 3 do

Hessiano obtém-se o terceiro menor principal

de primeira ordem que é 2 > 0.

Eliminando a coluna 1 e linha 1 do

Hessiano encontra-se o primeiro menor

principal de segunda ordem:


Eliminando a linha 2 e a coluna 2 obtém-

se o segundo menor principal de segunda

ordem:

0714.241

12>=−=

−

−

0714.241

12>=−=

−

−


Eliminando a linha 3 e a coluna 3 obtém-

se o terceiro menor principal de segunda

ordem:0312.2

21

12>=−=

−

−

O menor principal de terceira ordem é o

próprio determinante da matriz Hessiana:


Como para todos os pontos (x1, x2, x3) todos os

menores principais do Hessiano são não

negativos mostrou-se que a f(x1, x2, x3) é uma

função convexa em R3.

063514)]1.(2)1)(1)[(1(

)]1)(1(4).1)[(1()]1).(1(4.2[2

411

121

112

>=−−=−−−−−+

+−−−−−−−−−=

=

−−

−−

−−


BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear

Programming. Belmont (MA): Athena

Scientific, 1995.

WISTON, Wayne L. Operations Research:

Applications and Algorithms. 3 ed.

Belmont (CA): Duxbury Press, 1994.

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