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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr.
http://www.ufrgs.br/~viali/
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ColeColeçção de não de núúmeros = estatmeros = estatíísticassticas
� O nO núúmero de carros vendidos no pamero de carros vendidos no paíís s
aumentou em 30%. aumentou em 30%.
�� A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês,
7,5%.7,5%.
�� As aAs açções da Telebrões da Telebráás subiram R$ 1,5, hoje. s subiram R$ 1,5, hoje.
�� Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145
mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.
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EstatEstatíística: stica: uma definição
A ciência de coletar, organizar,
apresentar, analisar e interpretar dados
com o objetivo de tomar melhores
decisões.
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Estatística (divisão)
Descritiva
Indutiva
Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados.
A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.
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População
Uma coleção de todos os
possíveis elementos, objetos ou
medidas de interesse.
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Censo
Um levantamento efetuado sobre
toda uma população é denominado de
levantamento censitário ou
simplesmente censo.
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Amostra
Uma porção ou parte de
uma população de interesse.
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Amostragem
O processo de escolha de uma
amostra da população é denominado
de amostragem.
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PROBABILIDADE(Matemática) Univariada
ESTATÍSTICA(Matemática
Aplicada)Multivariada
Trabalha com uma
única característica
dos dados
Trabalha com duas ou
mais características
dos dados
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POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
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Estatística Descritiva
Probabilidade
Estatística Indutiva
Amostragem
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Estatística x Probabilidade
120Total1Total
1761/66
2251/65
2541/64
2331/63
1821/62
1511/61
FreqüênciasFacesProbabilidadesFaces
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Arredondamento
Todo arredondamento é um erro.
O erro deve ser evitado ou então
minimizado.
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Regra básica:
Arredondar sempre para o mais
próximo.
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Exemplos:
1,456 1,46
1,454 1,45
1,475 1,48
1,485 1,49
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V
A
R
I
Á
V
E
I
S
QualitativasQualitativas
Quantitativas
OrdinalOrdinal
NominalNominal
DiscretaDiscreta
ContContíínuanua
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NOMINAL
ORDINAL
SexoReligião
Estado civil Curso
Conceito
Grau de Instrução
Mês
Dia da semana
Variável Qualitativa
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Variável Quantitativa
Número de faltas
Número de irmãos
Número de acertos
Altura
Área
Peso
Volume
CONTÍNUA
DISCRETA
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Organização;
Resumo;
Apresentação.
Conjunto de dados:
�Amostra
ou
�População
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Um conjunto de dados éresumido de acordo com as seguintes características:
Tendência ou posição central
Dispersão ou variabilidade
Assimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra ouPopulação
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Tendência ou Posição Central
(a) As médias
Simples
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
Interna
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A média Aritmética
n
xx
n
1
n
x...xxx i
in21 ∑
=∑=+++
=
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A média Geométrica
ni
nn21g xx ... .x.xm ∏==
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A média Harmônica
∑
=
+++
=
=
+++
=
x
1n
x
1...
x
1
x
1n
nx
1...
x
1
x
11
m
in21
n21
h
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A média Quadrática
n
x
n
x...xxm
2i
2n
22
21
q∑
=++
=
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A mA méédia Internadia Interna
É a mesma média aritmética só
que aplicada sobre o conjunto onde
uma parte dos dados (extremos) é
descartada.
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4,84,954 6
1,8351 9
mhmgConjuntos x
Médias
Exemplo
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Relação entre as médias
Dado um conjunto de dados
qualquer, as médias aritmética,
geométrica e harmônica mantém a
seguinte relação:
mmx hg ≥≥
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Tendência ou Posição Central
(a) As médias
Ponderadas
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
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A média Aritmética Ponderada
∑
∑=
=+++
+++=
w
w.x
w...ww
w.x...w.xw.xm
i
ii
k21
kk2211ap
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A média Geométrica Ponderada
∑w w
∑w www
i i
i k21
∏ x =
=x ... .x.x=m
i
k21gp
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A média Harmônica Ponderada
∑
∑=
=
+++
++=
x
ww
x
w...
x
w
x
wwww
m
i
i
i
k
k
2
2
1
1
k21h P
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12,952,10Limão
15,004,50Carvão
21,801,50Pão
67,526,80Carne
qp02p01Produtos
121,251,10Ceva
14,955,20Cana
Exemplo
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1,000095,20Total0,03153,0021,801,50Pão
0,02212,1012,952,10Limão
0,416039,60361,251,10Ceva
0,04734,5015,004,50Carvão
0,05465,2014,955,20Cana
0,428640,8067,526,80Carne
Pesosp1.qqp2p1Produtos
Ponderações
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1,00000,0315
0,0221
0,4160
0,0473
0,0546
0,4286
Pesos
95,20Total1,20003,001,801,50Pão
1,40482,102,952,10Limão
1,136439,601,251,10Ceva
1,11114,505,004,50Carvão
0,95195,204,955,20Cana
1,105940,807,526,80Carne
Relativosp1.qp2p1Produtos
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Solução
Média aritmética ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de
12,00%.
112,00%=1,1200 =
=03,0+02,0+42,0+05,0+05,0+43,0
03,0.20,1+02,0.40,1+42,0.140,1+05,0.11,1+05,0.95,0+43,0.11,1=map
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Média geométrica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de
11,83%.
%83,111=1183,1 =
=20,1.40,1.13,111,195,011,1 =
=20,1.40,1.13,111,195,011,1=m03,002,042,005,005,043,0
1 03,002,042,005,005,043,0gp
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Média harmônica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de
11,67%.
%67,111=1167,1=86,0
1=
=
20,1
03,0+
40,1
02,0+
14,1
42,0+
11,1
05,0+
95,0
05,0+
11,1
43,01
=m h P
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Tendência ou Posição Central
(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
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Tendência ou Posição Central
(b) Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de
dados pode ser levada adiante. Se ele for
repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS,
se em 10 os DECIS e se em 100 os
PERCENTIS.
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Considere o seguinte conjunto:
1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4
Ordenando o conjunto, tem-se:
-1 0 1 2 3 4 5
Então: me = x4 = 2
Exemplo
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Se o conjunto for:
1 -1 0 4 2 5 3 -2Tem-se: n = 8 (par)
Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2
Ordenando o conjunto, tem-se:
-2 -1 0 1 2 3 4 5
me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50
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Tendência ou Posição Central
(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que
mais se repete(m).
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Considere o conjunto
0 1 1 2 2 2 3 5
Então: mo = 2
Pois, o dois é o que mais se repete
(três vezes).
Exemplo 1
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Considere o conjunto:
0 1 1 2 2 3 5
Então: mo = 1 e mo = 2
Conjunto bimodal
Exemplo 2
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Considere o conjunto:
0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois
todos os valores apresentam a mesma
freqüência.
Exemplo 3
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(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade
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h = xmáx - xmín
A Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
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A média é:
15
5
5
53021x ==
+++−−=
O dma (average deviation)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
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Calculando os desvios: xxi −
Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3
d2 = -1 – 1 = -2
d3 = 0 – 1 = -1
d4 = 3 – 1 = 2
d5 = 5 – 1 = 4
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Como pode ser visto a soma éigual a zero. Tomando o módulo vem:
40,25
125
|4||2||1||2||3|n
|xx|dma i
==
=++++−+−+−
=
=∑ −
=
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Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:
80,65
34
5
1641495
42)1()2()3(
n
)xx(s
22222
i2
2
==++++
=
=++−+−+−
=
=∑ −
=
A variância (variance)
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n
)xx(
n
)xx(....)xx()xx(s
i2
n2
22
12
2
∑ −=
=−++−+−
=
A variância de um conjunto de dados será:
xn
xs 2
2i2 −
∑=
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É a raiz quadrada da variância
xn
x
n
)xx(s 2
2ii
2
−∑
=∑ −
=
O Desvio Padrão (standard deviation)
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Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos:
61,280,6n
)xx(s i
2
==∑ −
=
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A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
x
sg2
22
=
x
sg =
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O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,2601
6077,2
x
sg ===
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Organização;
Resumo;
Apresentação. Amostra
ou População
Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados
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.......................................
ÓtimoMuito BomMuito BomÓtimo
ÓtimoBom ÓtimoRegularMuito BomInsuficienteBomInsuficienteRegularRegularInsuficienteBom
Muito BomMuito BomRegularÓtimo
Conceitos em Matemática – Escola VirgulinaTravessão - Segundo Bimestre de 2007
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100200Total15,030Insuficiente
18,036Regular
32,064Bom
21,543Muito Bom
13,527Ótimo
%AlunosConceito
DistribuiDistribuiçção de freqão de freqüüênciasências
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Simples
Acumuladas
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
Apresentação
FREQÜÊNCIAS Percentual
Apresentação
Percentual
Decimal
Decimal
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1,00
0,02
0,03
0,05
0,15
0,20
0,25
0,30
fri
100
2
3
5
15
20
25
30
fri
—
200
196
190
180
150
110
60
Fi
—
100
98
95
90
75
55
30
Fri
200Total
46
65
104
303
402
501
600
fiValores
FreqFreqüüências: representaências: representaççãoão
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Conceitos em Matemática
14%
20%
19%14%
17%
11%5%
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Número de irmãos dos alunos da turma C -
Estatística - UFRGS - 2007/02
0103211201
2234120114
6551111213
1422011154
0113136110
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Distribuição de freqüências por ponto
ou valores da variável: “Número de irmãos
dos alunos da turma C” da disciplina:
Estatística UFRGS - 2007/02.
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50∑263544538221170
N0 de alunosN0 de irmãos
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Diagrama de colunas simples da
variável: Número de irmãos dos alunos da
turma C, Disciplina: Estatística, UFRGS -
2007/02
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ff
x.f...x.fxfx ii
k21
kk2211 ∑=
+++
+++=
A mA méédia Aritmdia Aritmééticatica
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9550∑1226153516441553168221211070
fixifixi
ExemploExemplo
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A média será, então:
irmãos 90,150
95
nx.f x ii ==
∑=
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Como n = 50 é par, tem-se:
irmão
2 me
xx
xxxx )/(/)/n(/n
12
11
2
2
2625
1250250122
=+
=+
=
=+
=+
=++
A Mediana
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Total de dados n = 50 (par)
—50∑∑∑∑5026483545444153368228211770Fifixi
Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25
Exemplo
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mo = valor(es) que mais se repete(m)
A Moda
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50∑263544538221170fixi
A moda A moda ééigual aigual a1 (um)1 (um)
Pois ele se repete mais
vezes
Exemplo
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h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos
A AmplitudeA Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n
|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio
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64,4050∑
2.|6 – 1,90| = 8,20263.|5 – 1,90| = 9,30 354.|4 – 1,90| = 8,40445.|3 – 1,90| = 5,50538.|2 – 1,90| = 0,8082
21.|1 – 1,90| = 18,90 2117.|0 – 1,90| = 13,3070
fi|xi - | fixi x
ExemploExemplo
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O dma será, então:
irmãos 29,150
40,64
n
|xx|.f dma ii==
−∑=
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xn
xfn
)xx(f
n
)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2
i
2k
22
2
2
i
k211
−∑
=∑ −
=
=−++−+−
=
Neste caso, a variância será:
A VariânciaA Variância
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29950∑
62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 328212.21 = 2121102.7 = 070
fixi2fixi
ExemploExemplo
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A variância será, então:
irmãos 3700,2
90,150
299 x
nxf
s
2
22
2
i2 i
=
=−=−∑
=
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O desvio padrão será dado por:
irmãos 1,54 1,5395
3700,2xn
xfs 22ii
≅=
==−∑
=
O Desvio Padrão O Desvio Padrão
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Dividindo o desvio padrão pela média,
tem-se o coeficiente de variação:
%03,8190,1
539480,1g ==
O Coeficiente de VariaO Coeficiente de Variaçção ão
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Idade (em meses) dos alunos da
turma C da disciplina Estatística -
UFRGS - 2007/02
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276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
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Distribuição por classes ou
intervalos da variável “idade dos alunos
da turma C” da disciplina: Estatística da
UFRGS - 2007/02
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50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250
Número de alunosIdades
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Histograma de freqüências da
variável “Idade dos alunos da turma
C” de Estatística da UFRGS -
2007/02.
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
2 3 0 | - - - 2 50 250 | - - - 270 2 70 | - - - 29 0 2 9 0 | - - - 3 10 310 | - - - 3 30 3 30 | - - - 350 3 50 |- - - 3 70
fi / hi
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Antes de apresentar as medidas, i.
é, representantes do conjunto, é
necessário estabelecer uma notação
para alguns elementos da distribuição.
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xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
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—50∑∑∑∑
3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifixi
O Ponto MO Ponto Méédio da Classe dio da Classe
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5035678912fi
∑
360340320300280260240xi
142601080170019202100224023402880fi.xi
A MA Méédia da Distribuidia da Distribuiçção ão
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A média será:
meses 20,28550
14260
nx.f x ii
==∑
=
ExemploExemplo
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Neste caso, utilizam-se as
freqüências acumuladas para
identificar a classe mediana, i. é, a
que contém o(s) valor(es) central(is).
A Mediana A Mediana
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Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)
Metade dos dados n/2 = 25—50∑
503350 |--- 370475330 |--- 350426310 |--- 330367290 |--- 310298270 |--- 290219250 |--- 2701212230 |--- 250Fifixi
ExemploExemplo
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Portanto, a classe mediana é a
terceira. Assim i = 3. A mediana será
obtida através da seguinte expressão:
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meses 2808
420 270
8
212
50
20702
8
212
50
20702 f
F2n
hli mi
1i
iie
=+=
−
+=
=
−
+=
−
+=−
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Neste caso é preciso inicialmente
apontar a classe modal, i. é, a de maior
freqüência. Neste exemplo é a
primeira com fi = 12. Assim i = 1.
A Moda A Moda
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Classe Classe modal, pois modal, pois
ffii = 12. = 12.
—7654321i
50∑∑∑∑
3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250fixi
ExemploExemplo
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Portanto a moda poderá ser
obtida através de uma das
seguintes expressões:
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Critério de King:
meses 250 9
9.20023
90
9.20302
ff
fhli m
1i 1i
1iiio
=
+=
=
++=
++=
− +
+
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Critério de Czuber:
meses 246 16230
924
12.20023
)90(12.2
012.20302
)ff(f.2
ffhli m
1ii
i
1i
1iiio
=+=
=
−+=
=
+−
−+=
=
+−
−+=
− +
−
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h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
A Amplitude A Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n
|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio MO Desvio Méédio Absoluto dio Absoluto
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x
50
35
67
89
12fi
∑
360340
320300
280260
240xi
1621,603.|360 – 285,20| = 224,405.|340 – 285,20| = 274,00
6.|320 – 285,20| = 208,807.|300 – 285,20| = 103,60
8.|280 – 285,20| = 41,609.|260 – 285,20| = 226,80
12.|240 – 285,20| = 542,40
fi.|xi - |
ExemploExemplo
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O dma será, então:
meses 32,43
5060,1621
n|xx|.f dma ii
=
==−∑
=
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xn
xfn
)xx(f
n
)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
2
2
i
k211
−∑
=∑ −
=
=−++−+−
=
Neste caso, a variância será:
A Variância A Variância
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503
56
78
912
fi
∑
360
340320
300280
260240
xi
4 138 0003.3602 = 388800
5.3402 = 5780006.3202 = 614400
7.3002 = 6300008.2802 = 627200
9.2462 = 60840012.2402 = 691200
fi.xi2
ExemploExemplo
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A variância será, então:
meses 420,961
20,28550
4138000
xn
xfs
2
2
2
2
i2 i
=
=−=
=−∑
=
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O desvio padrão será dado por:
meses 37,70 37,6956
96,1420xn
xfs 22ii
≅=
==−∑
=
O Desvio Padrão O Desvio Padrão
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Dividindo a média pelo desvio
padrão, tem-se o coeficiente de
variação:
%22,1320,285
695623,37g ==
O Coeficiente de VariaO Coeficiente de Variaçção ão
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Skewness
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Primeiro Coeficiente ( de Pearson)Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão
Segundo Coeficiente ( de Pearson)Segundo Coeficiente ( de Pearson)
a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão
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Coeficiente QuartCoeficiente Quartíílicolico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do MomentoCoeficiente do Momento
a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(X - )3/nx
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Coeficiente = 0Conjunto Simétrico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Jornalismo
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Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Eng. Elétrica
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(Kurtosis)
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Coeficiente de Curtose (momentos)Coeficiente de Curtose (momentos)
xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n
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Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000
Curso: Matemática
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Coeficiente < 3 ou (< 0)
Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999Curso: Eng. Civil
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Então:
Se y = y = axax +b+b
b+xa=y
sa=s 2x
22y
s|a| =s xy
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PosiPosiçções Relativasões Relativas
A média e o desvio padrão são as duas
principais medidas utilizadas para descrever
um conjunto de dados. Elas, também,
podem ser utilizadas para comparações, isto
é, para fornecer a posição relativa de um
valor em relação ao conjunto como um todo.
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O escore “z”
Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”
observações. Sejam e “s” a média e o
desvio padrão da amostra. Então o escore zi
é o valor que fornece a posição relativa de
cada xi da amostra, tendo como ponto de
referência a média e como medida de
afastamento o desvio padrão.
x
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O escore “z”
s
x-xz i
i=
O escore z fornece o número de
desvios padrão que cada valor está acima
ou abaixo da média. O escore –1,5,
significa que este valor está um desvio e
meio abaixo da média.
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O escore Z é também uma variável,
que é obtida pela transformação da amostra
original. Ela apresenta média igual a zero e
desvio padrão igual a um.
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ExemploExemplo
Considere o seguinte amostra:
38
40
35
39
35 404835444541383936
34
44
42
40
4347393640374036
3837434146423845
4041394142433942
4439373837413640
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0
1
2
3
4
5
6
7
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
37,0-Curtose
33,0Assimetria
=
=
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Calcular os escores “zz” para cada valor
da amostra. Representar os valores da
amostras e os escores em diagramas para
verificar se houve alteração no formato da
distribuição dos dados.
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SoluSoluçção: ão: A média e o desvio padrão da amostra são:
40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:
0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131
-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,5328
1,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,0000
0,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197
-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,2263
0,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,6131
0,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,0000
1,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000
-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197
-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394
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0
1
2
3
4
5
6
7
-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45
31,0-Curtose
37,0Assimetria
=
=
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Propriedades
A média do escore padronizado é zero;
O desvio padrão do escore padronizado
é um.
A forma da distribuição do escore
padronizado é a mesma dos dados
originais.
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EscalasEscalas
O escore Z não é utilizado
normalmente da forma como é calculado. É
comum a utilização de uma escala linear de
transformação. As duas mais utilizadas são:
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EscalasEscalas
A escala T que é obtida através da
seguinte transformação
T = 10.Z + 50T = 10.Z + 50
A escala “A” que é utilizada nos
vestibulares é obtida por:
A = 100.Z + 500
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Teorema de Teorema de ChebyshevChebyshev
O teorema de Chebyshev permite
verificar qual é o percentual mínimo de
valores de um conjunto de dados que deve
estar um “certo número” de desvios em
torno da média.
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Em qualquer conjunto de dados com
desvio padrão “s”, pelo menos
(1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem
estar entre “z” desvios em torno da média,
onde “z” é um valor tal que z > 1.
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Exemplos:Exemplos:
Assim pelo menos:
75% dos valores estão dentro de z = 2desvios a partir da média;
89% dos valores estão dentro de z = 3
desvios a contar da média;
94% dos valores estão dentro de z = 4
desvios a contar da média.
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1 - 1/4 = 75%.
S2<X-X
Graficamente