A Dinamica Da Turbulencia em escoamentos

7/24/2019 A Dinamica Da Turbulencia em escoamentos

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PME2418-08 Modelagem de Turbulncia para CFD

Prof. Dr. M. Pimenta 1

A Dinmica da Turbulncia

A Dinmica da Vorticidade

Os escoamentos turbulentos so caracterizados por nveis elevados de flutuaes devorticidade. Este aspecto que caracteriza e distingue turbulncia de outros

movimentos de fluidos aleatrios, tais como ondas do oceano, ondas gravitacionais da

atmosfera. O estudo destas flutuaes passa ento a ser importante na compreenso da

turbulncia.

As equaes de Navier -Stokes instantneas se trabalhadas com a decomposio de

Reynolds, tem seus termos inerciais produzindo correlaes chamadas de tenses de

Reynolds. Estas tenses de Reynolds esto associadas a turbilhes (eddies), que na

hiptese de Boussinesq, esto alinhados com os eixos principais do tensor taxa de

deformao do escoamento mdio esto associados com o transporte e estiramento da

vorticidade. Ser mostrado que a vorticidade pode ser amplificada pelo estiramentolinear de linhas de fluido devido taxa de deformao. A equao para a vorticidade

mdia num escoamento cisalhante simples ser analisada. Nesta equao para a

vorticidade verificaremos que existem mecanismos de transporte e de produo por

estiramento, que viro explicar as iteraes entre flutuaes de velocidade e vorticidade.

Considerando que a escala dos turbilhes devido ao estiramento pela deformao mdia

diminui, a transferncia de energia dos turbilhes maiores para os menores pode ser

justificada pelo estiramento. O valor rms (root mean square value) das flutuaes de

vorticidade ter uma equao a ser analisada (i i ). A converso de energia

mecnica em energia trmica ser, para nmeros de Reynolds elevados, da ordem de

( i i ).

Vetor vorticidade e Tensor Taxa de Rotao

A vorticidade dada pelo rotacional do vetor velocidade :

ki ijk

j

u

x

=

%% (1)

Esta relao est mostrando que o vetor i% relacionado com a taxa de deformao

i

j

ux

%. A taxa de deformao pode ser separada em dois termos : um simtrico e

outro anti-simtrico,

iij ij

j

us r

x

= +

% % (2)

Onde definimos,


2/6



1

2

ji

ij

j i

uus

x x

= +

%%% (3)

e,

1

2

jiij

j i

uur

x x

=

%%% (4)

O primeiro podemos mostrar que simtrico, e o segundo sabemos ser anti-simtrico,

i.e. ,ij ji

r r= % % .

Definimos agora o tensor permutao, que de terceira ordem, e dado por :

ijk , onde i,j,k variam de 1 a 3, e se esto na ordem cclica vale 1 , e se na ordem

acclica vale -1.

Conclumos pois que a vorticidade s pode se relacionar com o tensorij

r% tambm

conhecido como tensor taxa de rotao. Note que os tensores de deformao e de

rotao so de segunda ordem. Da conclumos que :

i ijk kjr =% % , ou ento , 1 2ij ijk k r = %% . Relao esta que importante nas anlises entre

rotao e vorticidade.

Podemos perceber que a relao entre tensor e vetor possvel porquw o tensor taxa derotao s tem trs componentes no nulos.

Termos de Vorticidade na Equao do Movimento

A equao da vorticidade pode ser obtida tomando-se o rotacional das equaes de

Navier- Stokes. Parte-se destas equaes e rearranja-se as mesmas para o caso de

propriedades constantes e escoamento incompressvel.

21

( )i ii ji j j j

u upu u

t x x x x

= +

% %%% % (5)

Percebe-se uma ambigidade aparente: as tenses de Reynolds (termo entre parnteses)

so esforos que aparecem no movimento das partculas fluidas que podem dar um

efeito resultante na fora aplicada nas mesmas, ou so contribuies das flutuaes de

velocidade nos termos convectivos da equao do movimento.

O termo convectivo pode ser rearranjado para :


3/6



( )

1 2 ( )

2

1 ( )

2

j ji ii j j j j

j j j i i

j ij j j

i

ijk j k j j

i

u uu uu u u u u

x x x x x

u r u ux

u u ux

= = + =

= + =

= +

% %% %% % % % %

% % % %

%% % %

(6)

O termo viscoso pode ser expresso em termos de vorticidade :

2

2 0i kij ijk j j j j

ur

x x x x

= + =

%%% (7)

Nossa equao de Navier Stokes :

21

( )i ii ji j j j

u upu u

t x x x x

= +

% %%% % (5)

Pode ser re-escrita como :

1( ( ))

2

i k

j j ijk j k ijk

j j

u pu u u

t x x

= + +

%% %%% % % (8)

Caso o escoamento seja irrotacional o termo viscoso e o inercial que envolve a

vorticidade desaparecem, e ficamos com a equao de Bernoulli. Num escoamentoturbulento, isto no ocorre e a simplificao no ser possvel.

O termo do produto cruzado entre velocidade e vorticidade determinante no estudo da

turbulncia. O termo ijk j k u %% similar a uma fora de Coriolis 2 ijk j k u %% que

apareceria na equao do movimento se o sistema de coordenadas estivesse rodando

com a velocidade angular k% , com o fator 2 no aparente pois a vorticidade o dobro

da velocidade angular de um elemento de fluido. O termo vortical est tambm

relacionado fora de sustentao , efeito Magnus, experimentada pela linha vortical

exposta ao campo de velocidadesj

u% .

Tenses de Reynolds e Vorticidade

Num escoamento turbulento as foras devido a produtos cruzados aparecem devido aos

termos :

( )e i jij

j j

u uUU

x x

.

A decomposio do vetor vorticidade em sua componente mdia e flutuante :


4/6



, com 0i i i i = + =%% .

Se agora assumirmos que o escoamento mdio permanente (na mdia) , e

empregando-se as mdias , a equao do campo mdio poder ser escrita como :

21 10 ( ( ) ) ( )

2 2

ij j j j ijk j k j k

j j j

UPU U u u U u

x x x

= + + + + +

(9)

Observamos que os gradientes das tenses de Reynolds contem termos de gradientes de

presso dinmica e de iteraes entre flutuaes de vorticidade e velocidade. Na

maioria dos escoamentos a contribuio das flutuaes turbulentas na presso dinmica

muito pequena e desprezvel. Isto porque1 1

2 2j j j j

u u U U < . Segue que o efeito

principal das tenses de Reynolds est na iterao entre flutuaes de vorticidade e

velocidade. No caso de camadas finas, localmente bidimensionais, temos :

1 2 3

1 2

3 2 1 1 2 1 2

, 0

j

U U U

x x

U x U x U x

>> =


5/6



de uma anlise de ordem de grandeza, somente os termos viscosos podem ser

desprezados. Os termos que ficam so de ordem 3 3/u l .

A equao simplificada passa a ser :

1( ) ( )2

ii i i i j j i i j ij i j ij

j j j

u u S sx x x

+ + +

(12A )

Que mostra que os efeitos inerciais redistribuem vorticidade, amplificam ou atenuam

por seus estiramentos do campo mdio e do campo de flutuaes. Parte da energia de

rotao transferida para os movimentos turbilhonares (2. Termo do lado direito).

A Dinmica de i i

A equao para o valor mdio quadrtico das flutuaes de vorticidade obtida da

mesma forma que a empregada para a equao da energia cintica turbulenta.

2

1 1( ) ( )2 2

1 ( )

2

ij i i j i j i i i j ij i j ij

j j j

i ij i ij i i

i j j j

U u u s S x x x

sx x x x

= + +

+ +

(13)

Nesta equao uma anlise de ordem de grandeza mostra que os termos do lado

esquerdo e os termos do lado direito : 1. , 2. , 4. , 5. , 6. So de ordem

3 3

3 3ou menor.u

l Resulta que para nmeros de Reynolds elevados : i j ijs =

i ii j ij

j j

sx x

=

. A energia associada com os movimentos de pequena escala so

quase independentes dos movimentos de grande escala . As flutuaes turbulentas de

vorticidade , diferentemente das flutuaes turbulentas de velocidade , no necessitam

de fontes para se manterem , associadas ao escoamento mdio.

Podemos avaliar algumas ordens de grandeza por termo :

1( )2

j i i

j

Ux

=

3

3

1( ) ( * )

u u uu

=

l l

3 3

3 3

1 ( ) ( )ij i

j

u u uu u

x

= =

l l l l que resulta da equao

( )i j j k k jj

u u u ux


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2 3

2 3 ( ) ( *1)i j ij

u u us

= =

Analisando-se todos os termos chegamos concluso enunciada no pargrafo anterior :

i ii j ij

j j

sx x

=

(13A )

Podemos agora a partir da anlise de ordem de grandeza e usando as regras de :

homogeneidade tensorial, ordem de tensor, propriedades (simetria, isotropia, etc. ) e

dimenses fsicas , exercitar o que conhecemos por modelagem :

2

2( ...)i j ij ij

ua b

= + +l

, onde a um escalar, eij ijb so tensores de ordem 2 e

simtricos.

O termo i j ijS pode ser modelado por

2

2( ...)i j ij ij ij ij

uS aS b S

= + +

l.

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