Dinamica Estructural_Saez

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Capítulo 2

Elementos de Dinámica Estructural

2.1 Introducción

Ante acciones de tipo dinámico una estructura responde modi…cando su con…guración alrededorde una posición de equilibrio estable. Estos cambios de con…guración pueden alcanzar grandesamplitudes incluso para valores pequeños de la acción excitadora, pudiendo conducir al colapsode la estructura.

En este capítulo se revisan algunos de los conceptos básicos del análisis dinámico de estruc-turas que son de aplicación en las normativas sismorresistentes. Así, en la sección 2 se realizaun breve repaso de los sistemas lineales de un grado de libertad. Se estudian los casos de lasvibraciones tanto libres como forzadas y el caso de vibraciones producidas por una excitaciónde base. A continuación, en la sección 3, se introduce uno de los conceptos clave del cálculosísmico: la de…nición de la acción por medio de espectros sísmicos de respuesta. La sección 4se dedica al estudio de sistemas elásticos lineales con varios grados de libertad. Se plantean lasecuaciones del movimiento y se presentan las propiedades de los modos y frecuencias propiasde la estructura. La respuesta máxima del sistema ante una solicitación sísmica se obtiene uti-lizando el análisis modal espectral, i.e., expresando dicha respuesta mediante superposición demodos, obteniendo la respuesta máxima asociada a cada uno de estos modos en base a la acciónsísmica de…nida por su espectro de respuesta, y combinando las respuestas máximas modalesasí calculadas. Finalmente, se hace un breve apunte de los métodos de integración directa delas ecuaciones del movimiento.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 10

2.2 Sistemas de un grado de libertad

2.2.1 Vibraciones libres

Vibraciones libres de sistemas no amortiguados

Se estudia la vibración del sistema que se esquematiza en la …gura 2.1, formado por una masay un muelle de comportamiento elástico y lineal.

mk

x(t)

mk x

m x

Figura 2.1: Sistema de un g.d.l.. Equilibrio de fuerzas

Si se desplaza la masa desde su posición de equilibrio y a continuación se deja vibrar libre-mente, la masa oscilará alrededor de dicha posición. Aislando la masa y planteando el equilibriode fuerzas, se obtiene

mÄx+ kx = 0 (2.1)

La solución a la ecuación (2.1) es de la forma

x(t) = A1 cos !nt+A2 sen !nt ; !n =

sk

m(2.2)

donde !n es la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por segundo)y es la frecuencia a que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con sus características. A1 y A2son dos constantes arbitrarias que se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Amortiguamiento

El amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya su am-plitud con el tiempo. Su origen puede ser diverso: por rozamiento de dos super…cies, comoconsecuencia de la fricción interna o histéresis del propio material, etc.

Para aproximar las distintas formas de amortiguamiento es habitual en dinámica estructuralemplear un amortiguamiento viscoso. En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a lavelocidad

Fa = c _x (2.3)

donde la constante c de amortiguamiento equivalente es tal que origina la misma disipación deenergía que la producida por el amortiguamiento real de la estructura.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 11

Vibraciones libres de sistemas amortiguados

La …gura 2.2 esquematiza un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso. Laecuación del movimiento viene de…nida en este caso por

mÄx+ c _x+ kx = 0 (2.4)

La solución a esta ecuación tiene la forma

x(t) = e¡c

2mtnA1e

r1t +A2er2to

; r1 =

sc2

4m2¡ k

m= ¡r2 (2.5)

donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales.

m

kx(t)

mk x

m x

c c x

Figura 2.2: Sistema de un g.d.l. con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas.

La respuesta del sistema depende del valor de r1 y r2 en la ecuación (2.5). Se puedendistinguir dos casos:

² Si c2

4m2 ¸ km las raíces r1 y r2 son reales. El sistema está sobreamortiguado y tiende

exponencialmente a su posición de equilibrio sin oscilar (…gura 2.3). En el caso particularen que r1 = r2 = 0 se dice que el sistema está críticamente amortiguado, ya que tiende ala posición de equilibrio en el menor tiempo posible. Esto sucede para un valor crítico dela constante de amortiguamiento, ccr, dado por

c2cr4m2

=k

m) ccr =

p4km = 2m!n (2.6)

La relación entre la constante de amortiguamiento de un sistema y la constante de amor-tiguamiento crítico se denomina factor de amortiguamiento »:

» =c

ccr=

c

2m!n(2.7)

² Si c2

4m2 <km , i.e., si c < ccr, como sucede habitualmente en estructuras de edi…cación, las

raíces r1 y r2 son complejas y el sistema vibra con amplitud decreciente hacia su posiciónde equilibrio (…gura 2.4). La respuesta del sistema adopta entonces la forma

x(t) = e¡c

2mt fA1 cos !dt+A2 sen !dtg ; !d =

sk

m¡ c2

4m2= !n

q1¡ »2 (2.8)

donde !d es la frecuencia de vibración amortiguada. Dado que en edi…cación el factor deamortiguamiento de las estructuras suele ser inferior a 0.1, se veri…ca que !d ' !n, i.e., lafrecuencia de oscilación libre del sistema no va a depender de su amortiguamiento.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 12

t

x(t)

Figura 2.3: Respuesta de un sistema sobreamortiguado

tx(t)

Figura 2.4: Respuesta de un sistema amortiguado

2.2.2 Vibraciones forzadas

Se estudia el caso de un sistema amortiguado de un grado de libertad sometido a una fuerzaexcitadora de tipo armónico

F (t) = Fo sen!t (2.9)

según se muestra en la …gura 2.5. Planteando el equilibrio de fuerzas se obtiene la ecuación delmovimiento

mÄx+ c _x+ kx = Fo sen!t (2.10)

cuya solución es la suma de la solución de la ecuación homogénea y una solución particular dela completa, i.e.,

x(t) = xh(t) + xp(t) (2.11)

donde la solución homogénea viene dada por

xh(t) = e¡c

2mt fA1 cos !dt+A2 sen !dtg (2.12)

y una solución particular de la ecuación completa por

xp(t) =Fo=ks·

1¡³!!n

´2¸2+h2» !!n

i2 sen (!t¡ ') (2.13)

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 13

m

kx(t)

mk x

m x

c c xF(t) F(t)

Figura 2.5: Sistema de un g.d.l. sometido a carga armónica. Equilibrio de fuerzas.

= Xsen (!t¡ ')

El comportamiento del término xh(t) ya se ha descrito al estudiar las vibraciones libres, ycorresponde a la respuesta transitoria del sistema. En sistemas amortiguados esta vibracióndesaparece al cabo de un cierto tiempo y depende de las condiciones iniciales de velocidad ydesplazamiento.

El término xp(t) de…ne la respuesta en régimen permanente. En este caso la vibraciónno desaparece hasta que cesa la excitación exterior. Puesto que en la ecuación (2.13) Fo=kcorresponde a la respuesta del sistema para una carga estática de amplitud Fo, se de…ne elcoe…ciente de ampli…cación dinámica o factor dinámico de carga como la relación entre lasrespuestas dinámica y estática del sistema (a una excitación de la misma amplitud)

X

Fo=k=

X

Xest=

1s·1¡

³!!n

´2¸2+h2» !!n

i2 (2.14)

En la …gura 2.6 se muestra la evolución con la frecuencia excitadora de este coe…ciente. Sedistinguen tres zonas:

² ! < !n : cuando ! ' 0 la fuerza aplicada es cuasi-estática y por tanto la respuesta coincidecon la estática. A medida que ! aumenta, el sistema comienza a vibrar en respuesta a lafuerza aplicada, aumentando la ampli…cación según la frecuencia excitadora se aproxima alvalor de la frecuencia natural del sistema. El papel que juega el amortiguamiento es doble:por un lado disminuye la ampli…cación de la respuesta y por otro produce un incrementoen el desfase '.

² ! ' !n : en esta zona se produce la máxima ampli…cación de la respuesta. Esto ocurrepara una frecuencia de excitación

! = !n

q1¡ 2»2 (2.15)

que prácticamente coincide con !n para los valores habituales del amortiguamiento (» <0:1). La ampli…cación obtenida para esta frecuencia es

X

Xest

¯̄̄̄max

=1

2»q1¡ 2»2

' 1

2»(2.16)

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 14

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

2

4

6

8

10

ω/ωn

X/X

est

ξ=0

ξ=0.05

ξ=0.1

ξ=0.2

ξ=0.5

Figura 2.6: Coe…ciente de ampli…cación dinámica

mk

x(t)

m

k (x-y)

m x

c c (x-y)

y(t)

Figura 2.7: Sistema de un g.d.l. sometido a excitación en su base. Equilibrio de fuerzas.

² ! > !n : según aumenta el valor de la frecuencia de excitación (! ! 1) al sistema leresulta imposible seguir las oscilaciones inducidas por la acción exterior, por lo que tiendea permanecer en reposo

X

Xest

¯̄̄̄!!1

! 0 (2.17)

2.2.3 Vibraciones producidas por una excitación de la base

Las vibraciones producidas por los terremotos están asociadas a un movimiento en la base delsistema (…gura 2.7). A continuación se estudia el caso en que este movimiento es de tipo armónico

y(t) = Y sen!t (2.18)

Al igual que en los casos anteriores la ecuación del movimiento se obtiene planteando elequilibrio de fuerzas para la masa aislada

mÄx+ c( _x¡ _y) + k(x¡ y) = 0 (2.19)

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 15

Considerando el movimiento relativo entre la masa y la base, z = x¡y, la ecuación (2.19) queda

mÄz + c _z + kz = ¡mÄy = mY !2 sen!t (2.20)

que tiene la misma forma que la ecuación del movimiento obtenida al estudiar las vibracionesforzadas con Fo = mY !2, por lo que para este caso son aplicables todas las conclusiones extraidasen el apartado anterior.

2.3 Espectro de respuesta

Cuando la base de un oscilador de un grado de libertad sufre un terremoto caracterizado por unacelerograma a(t), i.e., por una historia de aceleraciones del terreno, el movimiento del sistemaviene de…nido por la ecuación

mÄz + c _z + kz = ¡ma(t) (2.21)

o, dividiendo por m,Äz + 2»!n _z + !2nz = ¡a(t) (2.22)

Esta ecuación puede integrarse fácilmente utilizando diversos procedimientos que no se van adetallar aquí1. En particular, para cualquier sistema caracterizado por su amortiguamiento »y por su frecuencia natural !n es posible determinar el valor máximo de su respuesta a unacelerograma dado. Si estos valores máximos de respuesta se calculan para todos los posiblessistemas de un grado de libertad, i.e., para todos los posibles valores de » y !n de interés y segra…can, se habrá obtenido el denominado espectro sísmico de respuesta del acelerograma a(t).Esta respuesta puede expresarse en desplazamientos, velocidades o aceleraciones, de…niendo encada caso un espectro de desplazamiento (Sd), velocidad (Sv) o aceleración (Sa).

En general, y dado que se trata de obtener la solución de la ecuación (2.22), el espectro seobtiene para un amortiguamiento pre…jado » y una historia de aceleraciones a(t) conocida y segra…ca en función de la frecuencia !n (o del período T )

Sd(!n; ») = jz(t)jmax (2.23)

Sv(!n; ») = j _z(t)jmax para un acelerograma a(t) determinado (2.24)

Sa(!n; ») = jÄz(t) + a(t)jmax (2.25)

donde Sd y Sv son valores relativos y Sa se re…ere al valor total de la aceleración.

Estos espectros veri…can las siguientes relaciones2

Sv = !nSd (2.26)

Sa = !2nSd (2.27)

lo que permite representar los tres espectros en una misma grá…ca empleando una escala trilo-garítmica (…gura 2.8). En general:

1véase, e.g., Chopra (1995).2Esto es así cuando lo que se están manejando son seudoespectros de respuesta (véase, e.g., Barbat y Canet,

1994). Los seudoespectros se obtienen a partir de los espectros de respuesta introduciendo algunas simpli…cacioneshabituales en Ingeniería Estructural (» < 0:2 ...), que permiten una mayor facilidad de tratamiento sin pérdidade precisión para el rango de valores de T y » de interés.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 16

² Para estructuras de períodos muy bajos (T ! 0), i.e., muy rígidas, Sa ! jÄy(t)jmax, siendojÄy(t)jmax la máxima aceleración del terreno (del acelerograma a(t)).

² Para estructuras de períodos muy largos (T ! 1), i.e., muy ‡exibles, Sd ! jy(t)jmax,siendo jy(t)jmax el desplazamiento máximo del terreno.

Figura 2.8: Espectro sísmico de respuesta del terremoto de San Fernando (EE.UU., febrero de1971). Representación trilogarítmica (»=0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20).

Por tanto, un espectro sísmico de respuesta resume la respuesta máxima de cualquier sistemade un grado de libertad a un acelerograma determinado a(t). Puesto que para una determinadaregión geográ…ca es de esperar que los terremotos tengan una serie de características comunes,puede obtenerse un espectro de respuesta tipo (espectro suavizado de diseño) para esa regiónutilizando para ello los procedimientos desarrollados al efecto en Sismología.

La importancia de los espectros radica en que generalmente el proyectista sólo está interesadoen los valores máximos de la respuesta a la hora de diseñar el sistema para que resista la acciónde un terremoto.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 17

2.4 Sistemas con varios grados de libertad

2.4.1 Ecuaciones del movimiento

En el caso de estructuras de edi…cación el análisis dinámico puede simpli…carse considerando unmodelo de masas concentradas, sin que ello resulte en una pérdida de precisión signi…cativa. Lamasa total del sistema se concentra sobre algunos elementos del mismo -fácilmente identi…cables-y la capacidad de deformación sobre otros.

mn

xn(t)

x1(t)

x2(t)

xi(t)

m1

m2

mi

xn(t)

x1(t)

x2(t)

xi(t)

mn

m1

m2

mi

k1

ki+1

ki

k2

a(t) a(t)

Figura 2.9: Edi…cio de cortante

Un modelo ampliamente utilizado en el análisis de pórticos planos corresponde al denominado”edi…cio de cortante” (…gura 2.9). La masa se concentra a nivel de los forjados, que se consideranin…nitamente rígidos en su plano. Los pilares sólo aportan rigidez, pero no masa. Se admite quelos giros en las cabezas de los pilares son nulos y que su deformación por axil es despreciable.De esta forma el sistema queda de…nido por un grado de libertad por planta, asociado a latraslación horizontal respecto a la cimentación del edi…cio.

Para completar el modelo de edi…cio de cortante se deben incluir de alguna manera las fuerzasde amortiguamiento asociadas a la disipación de energía que se produce durante la vibracióndel sistema (…gura 2.10). Esto se realiza habitualmente, y al igual que ya se describiera paralos sistemas de un grado de libertad, mediante la de…nición de unas fuerzas de amortiguamientoviscoso (i.e., proporcionales a la velocidad), lo que equivale a admitir que existe un mecanismo

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 18

xn(t)

x1(t)

x2(t)

xi(t)

mn

m1

m2

mi

k1

ki+1

ki

k2

a(t)

c1

ci

c2

cn

mi

ki+1

kimi (xi+a(t))

ci xi

ki (xi-xi-1)

ki+1 (xi+1-xi)

0 mH

i

Figura 2.10: Edi…cio de cortante con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas

de disipación de energía homogéneo en toda la estructura. Planteando el equilibrio dinámicopara cada una de las masas mi (…gura 2.10), se obtiene

miÄxi + ci _xi + (ki + ki+1)xi ¡ ki+1xi+1 ¡ kixi¡1 = ¡mia(t) (2.28)

o, en forma matricial para todo el sistema,

MÄx+C_x+Kx = ¡MJa(t) (2.29)

donde J es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad (J = 1), M es lamatriz de masa (diagonal)

M =

0BBBBBBBBB@

m1

m2 0

. . .

mi

0. . .

mn

1CCCCCCCCCA(2.30)

siendo n el número total de plantas -y por tanto de grados de libertad considerados-; K esla matriz de rigidez, que coincide con la del problema estático (cada uno de sus términos kijrepresenta la fuerza que aparece en la coordenada i al dar un desplazamiento estático unidad

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 19

según el grado de libertad j)

K =

0BBBBBBBBB@

k1 + k2 ¡k2¡k2 k2 + k3 ¡k3 0

. . .

¡ki ki + ki+1 ¡ki+10

. . .

kn

1CCCCCCCCCA(2.31)

donde ki es la rigidez al desplazamiento transversal del conjunto de pilares situado en el nivel i,i.e., entre las plantas i¡ 1 e i. La rigidez de cada uno de esos pilares viene dada por

kp =12EIpH3i

siendo Hi la altura de los pilares del nivel i (2.32)

C es la matriz de amortiguamiento (diagonal)

C =

0BBBBBBBBB@

c1c2 0

. . .

ci

0. . .

cn

1CCCCCCCCCA(2.33)

x, _x y Äx son vectores conteniendo, respectivamente, los desplazamientos, velocidades y acele-raciones de cada planta; y a(t) es el acelerograma que de…ne la acción sísmica (en la base deledi…cio).

Para analizar estructuras tridimensionales caben dos opciones:

² Si el edi…cio es ”razonablemente” regular, puede analizarse a través de dos modelos orto-gonales independientes. Los resultados obtenidos para cada una de las direcciones deberáncombinarse de acuerdo a unas reglas que, en general, vienen dadas en las normativas sis-morresistentes, y que en el caso de la NCSE-94 establecen que ”para cada hipótesis sísmicase combinarán las acciones pésimas de cada modelo con el 30% de las acciones pésimas delotro modelo ortogonal”.

² En el caso de estructuras tridimensionales generales, tanto de barras como continuas,es posible obtener un modelo dinámico3 cuyo comportamiento queda descrito por unaecuación del tipo (2.29), siendo el vector de in‡uencia J en este caso un vector que realiza ladescomposición de la excitación a(t) según las direcciones (grados de libertad) consideradasen el análisis, i.e., sus componentes son los desplazamientos de sólido rígido experimentadospor los grados de libertad de la estructura cuando la base sufre un desplazamiento unidaden la dirección del sismo. En estos casos puede emplearse una matriz de amortiguamientoproporcional (o de Rayleigh) obtenida como combinación lineal de las matrices de masa yrigidez

C =AM+BK (2.34)

3Veánse, e.g., las formulaciones del Método de los Elementos Finitos dadas en Bathe (1982)

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siendo A y B dos constantes escalares. Generalmente la matriz de masa sólo incluyegrados de libertad de traslación y, en cualquier caso, se suele emplear una matriz de masadiagonalizada obtenida a partir de la matriz de masa congruente.

2.4.2 Modos de vibración y frecuencias naturales

Obtención de modos y frecuencias naturales

Al igual que sucedía en los sistemas de un grado de libertad, las características dinámicasintrínsecas de una estructura de n grados de libertad se obtienen considerando sus vibracioneslibres no amortiguadas. En este caso las ecuaciones del movimiento (2.29) se reducen a

MÄx+Kx = 0 (2.35)

Esta ecuación admite soluciones no triviales, i.e., compatibles con un movimiento sin fuerzasexteriores aplicadas, de la forma

x(t) = Xei(!t+') (2.36)

siendo X un vector formado por las amplitudes de los movimientos.

Sustituyendo (2.36) en (2.35) se obtiene

(K¡ !2M)X = 0 (2.37)

Las ecuaciones (2.37) corresponden a un problema de obtención de autovalores y autovectores.Para que haya soluciones distintas de la trivial debe cumplirse que el determinante de la matrizde coe…cientes sea nulo ¯̄̄

K¡ !2M¯̄̄= 0 (2.38)

Como solución de este polinomio característico se obtienen n autovalores !2i que correspondena las n frecuencias naturales o frecuencias propias !i con las que la estructura puede vibrarlibremente. A la frecuencia más baja del sistema se le denomina frecuencia fundamental, !1, ytiene asociado un período fundamental

T1 =2¼

!1(2.39)

Cada autovalor !2i lleva asociado un autovector Xi, denominado modo de vibración, que indicala forma de la deformada que adquiere el sistema vibrando con la correspondiente frecuencianatural !i. Dado que (2.35) es un sistema de ecuaciones homogéneas con determinante nulo, sóloes posible determinar n¡1 componentes deXi en función de una de ellas, i.e., puede determinarsela forma con que vibra el sistema libremente pero no su amplitud. Resulta habitual normalizarestos modos, e.g., asignando un valor unidad a su primera componente

Ái =Xi

Xi1=

8>>>>>><>>>>>>:

1Ái2Ái3...Áin

9>>>>>>=>>>>>>;(2.40)

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o aplicando cualquier otro criterio para obtener los modos normalizados Ái.

En general la estructura vibrará libremente o bien según uno de los modos y su frecuenciapropia asociada, o bien según una combinación lineal de dichos modos.

Propiedades de los modos de vibración

Se puede demostrar fácilmente que los modos de vibración de una estructura satisfacen lassiguientes condiciones de ortogonalidad respecto a las matrices de masa y rigidez

ÁTi MÁi = Mi ; ÁTi MÁj = 0 i 6= j (2.41)

ÁTi KÁi = !2iMi = Ki ; ÁTi KÁj = 0 i 6= j (2.42)

donde Mi y Ki son escalares. En caso de que la matriz de amortiguamiento sea de la forma(2.34), los modos también serán ortogonales respecto a ella

ÁTi CÁi = ÁTi (AM+BK)Ái = AMi +BKi = Ci ; ÁTi CÁj = 0 i 6= j (2.43)

Por tanto, ordenando todos los modos de vibración en una matriz modal ©

© = [Á1Á2::::::Án] (2.44)

las condiciones de ortogonalidad anteriores resultan en

©M© = M (2.45)

©C© = C (2.46)

©K© = K (2.47)

donde M , C y K son matrices diagonales cuyos términos vienen de…nidos por las relaciones(2.41), (2.42) y (2.43).

En el caso poco habitual de que existan raíces dobles !2i , se puede demostrar que hay in…nitosautovectores asociados a este autovalor contenidos en un plano que es ortogonal al resto de modosde vibración.

2.4.3 Superposición modal

Coordenadas generalizadas

En la sección anterior se ha visto como los n modos de vibración de un sistema de n grados delibertad son independientes y ortogonales entre sí, por lo que forman una base completa. Portanto, cualquier movimiento del sistema puede expresarse como combinación lineal de dichosmodos

x(t) =nXi=1

Ái³i(t) = ©³ (2.48)

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 22

donde ³i(t) son funciones escalares del tiempo. Las coordenadas ³i se denominan coordenadasgeneralizadas y describen la posición del sistema referido a un sistema de coordenadas cuyosvectores directores son los modos de vibración.

Premultiplicando (2.48) por ÁTi M se obtiene

ÁTi Mx = ÁTi M

0@ nXj=1

Áj³j(t)

1A = ÁTi MÁi³i (2.49)

dadas las condiciones de ortogonalidad (2.41). De esta forma, los valores de las coordenadasgeneralizadas ³i se pueden obtener a partir de las coordenadas xi a partir de

³i =ÁTi Mx

ÁTi MÁi(2.50)

Método de superposición modal

El movimiento de una estructura de n grados de libertad sometida a vibraciones forzadas estáregido por las ecuaciones (2.29). Haciendo el cambio de coordenadas cartesianas x a coordenadasgeneralizadas ³ se obtiene

M

0@ nXj=1

Ájijj

1A+C0@ nXj=1

Áj_³j

1A+K0@ nXj=1

Áj³j

1A = ¡MJa(t) (2.51)

ya que las formas modales no dependen del tiempo. Premultiplicando esta ecuación por ÁTi yteniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad (2.41-2.43) se obtiene

Miiji +Ci _³i +Ki³i = ¡ÁTi MJa(t) (2.52)

i.e., el sistema de n ecuaciones diferenciales acopladas (2.29) se ha transformado en un conjuntode n ecuaciones independientes, resolubles cada una de ellas por cualquiera de los métodosaplicables a sistemas de un grado de libertad.

Dividiendo la ecuación (2.52) por ÁTi MÁi =Mi se obtiene

iji + 2»i!i_³i + !2i ³i = ¡

ÁTi MJ

ÁTi MÁia(t) = ¡¿ ia(t) (2.53)

donde ¿ i se denomina coe…ciente de participación del modo i

¿ i =ÁTi MJ

ÁTi MÁi(2.54)

y re‡eja la relación entre la masa total asociada al modo i (ÁTi MÁi) y la masa asociada al modoi que moviliza el sismo (ÁTi MJ)

4. En la ecuación (2.53) se ha introducido la de…nición

Ci

Mi=

Ci

Ccri

Ccri

Mi= 2»i!i (2.55)

4Por lo tanto el coe…ciente de participación modal ¿ i cuanti…ca de alguna manera qué parte de la fuerzaexcitadora total es la encargada de excitar, exclusivamente, el modo i.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 23

donde Ccri = 2qKiM i es el amortiguamiento crítico del modo i. Para resolver la ecuación

(2.53) es habitual evaluar directamente un factor de amortiguamiento para cada modo »i en vezde partir de la matriz de amortiguamiento C.

Una vez calculadas a partir de (2.53) las coordenadas generalizadas ³i(t), se obtiene laevolución en el tiempo de los desplazamientos x(t) mediante la ecuación (2.48). Las fuerzassegún cada uno de los grados de libertad considerados en cada instante de tiempo, F(t), secalculan de manera análoga al análisis estático, i.e.,

F(t) =Kx(t) (2.56)

donde K es la matriz de rigidez de la estructura.

La desventaja de este tipo de análisis es que proporciona un exceso de información innece-saria, ya que a la hora de diseñar el proyectista está generalmente interesado en la respuestamáxima del sistema (más concretamente en mantener dicha respuesta dentro de unos límitespre…jados), y no en la evolución a lo largo del tiempo de los valores de esa respuesta. Por estemotivo, la acción sísmica de diseño suele de…nirse en la mayoría de las normativas sismorresis-tentes en base a un espectro de respuesta y no en base a acelerogramas, empleándose el análisismodal espectral como procedimiento de cálculo.

En general, los modos de vibración correspondientes a las frecuencias propias más bajas (i.e.,a los períodos más altos) son los que contienen menor energía de deformación elástica, por loque son los que condicionan en mayor medida la respuesta del sistema. Por este motivo, paraobtener dicha respuesta bastará con considerar las aportaciones de los r primeros modos devibración

x(t) =rXi=1

Ái³i(t) ; r¿ n (2.57)

Además, los modos asociados a las frecuencias más elevadas son los que incorporan un mayorerror numérico en su obtención, debido a aspectos tales como la propia discretización de laestructura (se requiere una discretización más detallada para capturar adecuadamente las fre-cuencias y los modos más altos de la estructura) o el procedimiento numérico empleado para sudeterminación, por lo que su no inclusión en (2.57) no repercute en una pérdida de precisión enla respuesta.

El criterio para decidir el número r de modos cuya aportación al resultado es signi…cativaviene generalmente de…nido en las normativas sismorresistentes, y en el caso de la NCSE-94se establece que deben considerarse ”aquellos para los que la suma de las masas efectivas seasuperior al 90% de la masa movilizada en el movimiento sísmico”. El concepto de masa modalefectiva se presenta en el siguiente apartado.

2.4.4 Análisis Modal Espectral

Dada su sencillez de aplicación y los buenos resultados que proporciona, el método de cálculorecomendado por la mayoría de las normas sísmicas es el análisis modal espectral. La respuestamáxima del sistema se obtiene combinando las respuestas máximas calculadas para cada uno

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 24

de sus modos más signi…cativos, en base a una acción sísmica caracterizada por su espectro derespuesta.

La idea es simple: dado que, en análisis lineal, cualquier sistema de n grados de libertad puedeexpresarse como superposición de n sistemas de un grado de libertad –asociados a sus modosde vibración–, y puesto que el espectro sísmico de respuesta permite determinar la respuestamáxima de cada uno de estos sistemas de un grado de libertad a la acción sísmica, es posibleobtener la respuesta máxima de la estructura completa –con n grados de libertad– superponiendolas aportaciones de los n sistemas de un grado de libertad en que se ha descompuesto el sistemaoriginal.

Respuesta máxima modal a un espectro sísmico de respuesta

La acción sísmica se de…ne por medio de su espectro de respuesta en aceleraciones, Sa, i.e., porla aceleración máxima de un oscilador de un grado de libertad cuyo movimiento está de…nidopor la ecuación (2.22). Comparando (2.22) con la ecuación del movimiento desacoplada parael modo i de un sistema de n grados de libertad (2.53), se deduce que la aceleración máximaasociada a la coordenada generalizada ³i viene dada por¯̄̄

iji(t)¯̄̄max

= ¿ iSa(!i; »i) = ¿ i Saji (2.58)

El desplazamiento máximo asociado a ³i se determina a partir de (2.27)

j³i(t)jmax = ¿ iSaji!2i

(2.59)

A continuación se obtienen una serie de características modales máximas de especial interés:

Desplazamientos modales máximos: Para el modo de vibración i se obtienen los despla-zamientos máximos como

xijmax =

8>>>><>>>>:xi1xi2...xin

9>>>>=>>>>;max

= Ái j³i(t)jmax = Ái¿ iSaji!2i

= ´iSaji!2i

(2.60)

donde ´i es un vector que contiene los denominados factores de distribución del modo i

´i = ¿ iÁi (2.61)

Fuerzas estáticas equivalentes: Una vez conocidos los desplazamientos modales máximospueden obtenerse las fuerzas sísmicas estáticas equivalentes, Fi, correspondientes al modo devibración i como

Fi =K xijmax =KÁi¿ iSaji!2i

=MÁi¿ i Saji =M´i Saji (2.62)

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 25

En el caso de un edi…cio de cortante la ecuación (2.62) se reduce a

Fik = mk´ik Saji = ´ikSajig

Pk = sikPk (2.63)

que proporciona la fuerza equivalente correspondiente a la planta k (i.e., al grado de libertad k)y modo de vibración i. En (2.63) sik se denomina coe…ciente sísmico, g es la aceleración de lagravedad y Pk es el peso correspondiente a la masa mk de la planta k.

mn

Fin

Fi1

Fi2

Fik

m1

m2

mk

Vik

Figura 2.11: Obtención del cortante modal Vik

A partir de las fuerzas equivalentes Fik se obtiene por equilibrio de fuerzas (…gura 2.11) elcortante Vik de cada planta k en el modo i, i.e., como suma de las Fik existentes entre la últimaplanta y la planta k considerada

Vik =nXj=k

Fij (2.64)

Análogamente, el cortante modal en la base del edi…cio se obtiene como

Vi1 =nXj=1

Fij =nXj=1

mj´ij Saji (2.65)

Masa modal efectiva: Para un edi…cio de cortante la masa modal efectiva del modo devibración i, M¤

i , se de…ne como aquella que veri…ca la relación

Vi1 =M¤

i Saji (2.66)

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 26

i.e., como aquella que asociada a un oscilador de un grado de libertad cuya frecuencia naturalcoincide con la del modo i, produce el mismo cortante en la base de la estructura que el corres-pondiente al cortante modal máximo del modo i. Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.65) y(2.61)

i =nXj=1

mj´ij = ¿ i

nXj=1

mjÁij (2.67)

Para el caso de una estructura general se obtendría

i = ¿ iÁTi MJ (2.68)

i.e., el producto del coe…ciente de participación del modo i por la masa asociada al modo i quemoviliza el terremoto.

Se puede demostrar, como era esperable, que la suma de las masas efectivas de todos losmodos de vibración es igual a la masa total de la estructura movilizada en el sismo.

La importancia de este concepto radica en que permite establecer un criterio para determinarel número de modos de vibración que se deben incluir en el análisis. Tal como se apuntó ante-riormente, la NCSE-94 establece que ”pueden considerarse modos con contribución signi…cativaaquellos para los que la suma de las masas efectivas de los r primeros modos considerados seasuperior al 90% de la masa movilizada en el movimiento sísmico”

rXi=1

i =rXi=1

¿ iÁTi MJ =

rXi=1

¿2iÁTi MÁi ¸ 0:90JTMJ (2.69)

En el caso de edi…cios de cortante esta condición puede expresarse en la forma

rXi=1

Pnk=1 (mkÁik)

2Pnk=1mkÁ

2ik

¸ 0:90nXk=1

mk (2.70)

Respuesta máxima total: Combinación de modos

Sea S la variable (desplazamientos, tensiones ...) cuyo valor máximo se quiere determinar, ySi su valor máximo en el modo i. Dado que el máximo de cada modo no se produce para losdistintos grados de libertad en el mismo instante de tiempo y puesto que, además, dicho máximose ha obtenido en valor absoluto, S no se podrá calcular como suma directa de los máximos decada modo.

Se han propuesto distintos métodos para calcular S a partir de los valores modales Si. Quizásla regla de combinación más extendida es la que propone la NCSE-94 en su articulado

S =

vuut rXi=1

S2i (2.71)

que proporciona resultados razonablemente válidos siempre y cuando los períodos de los r modosconsiderados di…eran entre sí más de un 10%, i.e., cuando no se produzca acoplamiento entre

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 27

ellos. En caso contrario, se proponen o bien

S =rXi=1

jSij (2.72)

que proporciona un valor excesivamente conservador, o bien

S =

vuut rXi=1

rXj=1

SiSj¼ij (2.73)

donde ¼ij es un factor que depende de los valores de las frecuencias naturales y del amortigua-miento de la estructura.

2.4.5 Integración directa de las ecuaciones del movimiento

Una alternativa al análisis modal es la integración directa, mediante un algoritmo paso a paso,de las ecuaciones del movimiento (2.29)

² En primer lugar es necesario dividir el intervalo de tiempo a analizar en pequeños subin-tervalos ¢t. Este proceso de…ne los instantes de tiempo t = ti en que se va a obtener larespuesta (discreta) del sistema.

² En cada instante t = ti+1 se expresan aceleraciones (Äxi+1) y velocidades ( _xi+1) en funciónde los valores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos en instantes previos (yaconocidos).

² Estas ecuaciones junto con las ecuaciones del movimiento (2.29) particularizadas para elinstante t = ti (métodos explícitos: diferencias centrales...) o t = ti+1 (métodos implícitos:Newmark, Houbolt...) permiten obtener los desplazamientos en t = ti+1 (xi+1) y pasar alinstante de tiempo siguiente.

Hay toda una gama de métodos diferentes para llevar a cabo este proceso. Cada uno de ellospropone una forma de aproximar aceleraciones y velocidades en un instante en función de lasvariables en instantes anteriores, con el objetivo de mejorar la precisión y la estabilidad de losresultados.

La gran ventaja de estos algoritmos frente a los métodos basados en el análisis modal es queson válidos tanto para problemas lineales como no lineales. A cambio, su coste computacionales mucho mayor y frente al análisis modal espectral presentan los mismos inconvenientes quela obtención de la respuesta en el tiempo mediante análisis modal en lo referente al exceso deinformación proporcionada y a la de…nición de la acción sísmica.

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Capítulo 3

Conceptos Generales del

Comportamiento Sísmico de

Estructuras

3.1 Introducción

La …losofía del proyecto sismorresistente de estructuras de edi…cación que recogen las normativasse basa en de…nir unos niveles de daño admisible en función de la intensidad de los terremotosque la estructura puede sufrir durante su vida útil:

² Las construcciones deben resistir, en régimen elástico y por tanto sin ningún tipo dedaño estructural, los sismos de probabilidad apreciable de ocurrencia durante su vida útil,entendiendo por estos los que tienen un período de retorno1 del mismo orden del períodode vida útil de la estructura.

² Ante sismos severos con probabilidad razonable de ocurrencia (a los que la NCSE-94 asignaun período de retorno de quinientos años) se admite que la estructura va a entrar en elrango anelástico. Se acepta por tanto que se produzcan deformaciones permanentes, yconsecuentemente daños, más o menos importantes pero que nunca lleguen a provocar elcolapso de la estructura. Realmente, a este nivel deberían considerarse dos estados límitediferentes. Ante sismos relativamente severos el daño estructural debe mantenerse dentrode unos límites que permitan la reparación de la estructura con un coste razonable. Encambio, ante el sismo de mayor intensidad que pueda tener lugar el objetivo es evitar elcolapso, aunque los daños producidos en la estructura sean irreparables.

El objetivo de esta …losofía es diseñar construcciones razonablemente económicas pero segu-ras, aun a costa de admitir que la acción de un terremoto severo sea muy superior a la acción

1Se de…ne como período de retorno de un terremoto el intervalo de tiempo medio entre dos sucesos sísmicosde características similares.

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CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 29

de diseño obtenida de las normativas. Esta diferencia sólo resulta admisible si los elementosestructurales y sus conexiones poseen una capacidad de deformación anelástica adecuada, quegarantice que la estructura es capaz de disipar ese exceso de energía deformándose plásticamente.Estas ideas entroncan directamente con el concepto de ductilidad, que se discute en la segundasección de este capítulo.

Otros aspectos que afectan la respuesta sísmica de una estructura y que se tratan en lassiguientes secciones son el de los efectos de interacción suelo-estructura, la consideración detorsiones globales de la estructura o la necesidad de incorporar en el análisis los efectos desegundo orden. En todos los casos se hace una breve mención a cómo abordan estos aspectoslas vigentes normativas sismorresistentes.

3.2 Ductilidad

La energía que un terremoto aporta a la estructura se disipa por el efecto combinado del amor-tiguamiento y, sobre todo, de las deformaciones anelásticas de sus elementos. Esta capacidad delos elementos estructurales para disipar energía mediante deformaciones cíclicas en el dominioanelástico, sin que se produzca su colapso, es lo que se denomina ductilidad de la estructura.

F

xxmax

xmaxxe

xe

Fe

Fe

Figura 3.1: Comportamiento elastoplástico ideal de un sistema de un grado de libertad

Para centrar ideas se considera el comportamiento elastoplástico de un sistema de un gradode libertad, tal como ilustra la …gura 3.1, en la que se representa la evolución de la fuerza apli-cada, F , frente al desplazamiento producido, x. El área encerrada dentro del ciclo de histéresisresultante mide la energía disipada en cada ciclo de carga/descarga. El criterio más extendidopara cuanti…car la ductilidad de este sistema consiste en de…nir un coe…ciente de comportamientopor ductilidad

¹ =xmaxxe

(3.1)

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CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 30

que relaciona el máximo desplazamiento plástico del modelo con el máximo desplazamientoelástico y lineal. Cuanto mayor sea ¹, mayor será la capacidad de disipar energía del sistema enrégimen plástico y por tanto mayor será la diferencia admisible entre las fuerzas sísmicas realesy las fuerzas consideradas para el diseño (…gura 3.2).

DIFERENCIA PERMITIDA POR DUCTILIDAD

F

PERÍODO

FUERZA REAL DURANTE UN SISMO SEVERO

FUERZA DE DISEÑO SEGÚN

NORMATIVAS SISMORRESISTENTES

Figura 3.2: Fuerzas sísmicas reales vs Fuerzas consideradas en el diseño

En el caso de una estructura con varios grados de libertad, un comportamiento dúctil adecua-do deberá permitir la disipación de buena parte de la energía que el sismo aporta a la estructuramediante mecanismos de histéresis estables y bien distribuidos por toda ella, que aseguren queno se produce el colapso global de la estructura por el fallo de alguno de sus elementos.

La ductilidad global de la estructura depende de la ductilidad de sus materiales por un ladoy de la tipología estructural y los detalles constructivos (más concretamente de las solucionesconstructivas adoptadas en los nudos de conexión entre elementos) por otro:

² En general el acero proporciona mayor ductilidad que el hormigón y éste más que la obrade fábrica.

² La ductilidad es mayor en las estructuras desplazables -como pórticos- que en las rígidas-como las apantalladas-, pero siempre que en los nudos exista la capacidad su…ciente parapermitir importantes deformaciones.

² A nivel de sección, la capacidad de disipación de energía es mayor en las secciones ‡ectadasque en las comprimidas, por lo que se debe potenciar que sean las ‡ectadas las que se agotenantes.

En base a la ductilidad las normativas sismorresistentes permiten minorar las acciones decálculo (…gura 3.2), y es por ello que muchas de las prescripciones constructivas y recomenda-ciones de diseño re‡ejadas en tales normativas están orientadas a garantizar precisamente que laestructura tenga la ductilidad esperada. En cualquier caso, el proyectista debe ser consciente delcompromiso que adquiere en el diseño y detalle de los elementos estructurales para asegurar el

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CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 31

Figura 3.3: Espectro de respuesta en aceleraciones (componentes horizontales). Terremoto deGrecia (7/09/99).

nivel de ductilidad previsto en el análisis. La limitación al valor de ¹ considerada en la NCSE-94(¹ = 4 para estructuras de ductilidad muy alta) se impone para establecer un tope sobre dichaminoración de las acciones de diseño y así garantizar que la edi…cación sea capaz de resistir sindaño estructural los sismos de probabilidad apreciable de ocurrencia.

La …gura 3.3 ilustra claramente estos conceptos sobre un caso real: el reciente terremoto deGrecia (7 de septiembre de 1999; intensidad 5.9 en la escala de Richter). En ella se representael espectro de aceleraciones propuesto por la normativa griega vigente, de 1993, y el espectrorealmente registrado durante dicho terremoto. En este caso particular se puede observar comolos edi…cios más afectados fueron los de períodos fundamentales por debajo de 0.4 segundos, i.e.,edi…cios de entre dos y cuatro plantas de altura aproximadamente.

En el caso de adoptar valores elevados del coe…ciente de comportamiento por ductilidad, ¹,la NCSE-94 establece en sus comentarios que deberá comprobarse que las deformaciones corres-pondientes son admisibles para la estructura, elementos secundarios y juntas con edi…cacionescontiguas. En este sentido, uno de los aspectos de diseño que otras normativas sí controlan, casodel EC-8, y que sin embargo la NCSE-94 sólo menciona en este comentario -sin …jar unos límitesmáximos- es el importante papel que el corrimiento horizontal relativo entre plantas juega en elcontrol del daño no estructural (tabiquerías, instalaciones, etc.).

Finalmente, cuando los elementos resistentes a fuerzas horizontales sean de diferente ducti-lidad, la NCSE-94 señala que deberá comprobarse la compatibilidad de sus deformaciones.

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CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 32

3.3 Interacción suelo-estructura

Las condiciones del terreno y los posibles fenómenos de interacción suelo-estructura son uno delos factores que mayor in‡uencia pueden tener sobre la respuesta estructural.

En particular, cuando la estructura se asienta en un terreno rígido, los fenómenos de inte-racción son despreciables. Las frecuencias propias de la estructura no se ven alteradas por suinteracción con el suelo. Igualmente, las características de las ondas sísmicas prácticamente nose ven alteradas por la presencia de la estructura. En este caso el contenido en frecuencias altasdel terremoto suele ser signi…cativo, por lo que se ha observado, en términos generales, un mayornivel de daño en estructuras rígidas que en estructuras ‡exibles.

Cuando la estructura se asienta en un terreno blando, los fenómenos de interacción sueloestructura cobran importancia, debiéndose incorporar en el análisis. Las frecuencias naturalesdel sistema suelo-estructura disminuyen respecto a las de la estructura cimentada en suelo rígido.De igual manera, las ondas sísmicas sufren modi…caciones apreciables debido a la presenciade la estructura. Un suelo blando tiende a …ltrar el contenido en frecuencias del terremoto,ampli…cando los períodos largos. En general se ha observado un mayor daño en estructuras‡exibles cuando las condiciones son de suelo blando.

La NCSE-94 incorpora el efecto de las condiciones locales del terreno modi…cando el espectroelástico de diseño en función de dichas condiciones, distinguiendo tres tipos de suelo en base ala velocidad de propagación de las ondas transversales2 Vs:

² Terreno Tipo I: Vs > 750 m=s

² Terreno Tipo II: 400 m=s < Vs · 750m=s

² Terreno Tipo II: Vs · 400 m=s

3.4 Efectos de torsión global de la estructura

Cuando no coinciden el centro de masas y el centro de torsión o de rigidez en una planta de unaedi…cación, aparece en dicha planta un momento torsor que debe ser absorbido por los soportesde la planta. Este fenómeno suele ser debido a una falta de simetría de la edi…cación o a unadistribución no uniforme de las masas.

En cualquier caso, la NCSE-94 estipula un incremento de la excentricidad del centro detorsión con respecto al de masa para cubrir los efectos de una torsión accidental, estableciendoen su articulado que en las estructuras de edi…cación se deberá considerar una excentricidadadicional de la acción sísmica en cada planta, no menor de 1/20 de la mayor dimensión de laplanta en el sentido perpendicular a la dirección del sismo, siempre que las cargas -supuestas dedistribución uniforme en el cálculo- pudieran ocupar sólo una parte de la super…cie (…gura 3.4).

2Resultan destacables las diferencias entre esta clasi…cación y la que realiza el EC-8 en lo referente a lasvelocidades de corte Vs consideradas

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CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 33

Figura 3.4: Excentricidad mínima para masas uniformemente repartidas.

En caso de modelar la estructura tridimensionalmente para su análisis dinámico, la inclusiónde los efectos de torsión resulta automática.

Sin embargo, en el caso más habitual de que el modelo de la estructura corresponda al de unedi…cio de cortante en dos direcciones ortogonales, la torsión se incluye en el análisis de maneradesacoplada, superponiendo a los esfuerzos producidos por las fuerzas sísmicas equivalentes(obtenidas considerando sólo un grado de libertad de traslación por planta) los esfuerzos queaparecen en los soportes de la estructura a causa de la torsión. El valor del torsor en cada plantaviene dado por el momento que producen dichas fuerzas sísmicas equivalentes -aplicadas en elcentro de masa- respecto al centro de rigidez de la planta.

3.5 Efectos de segundo orden

Si los desplazamientos laterales provocados por la acción sísmica son elevados, se hace necesarioconsiderar los efectos de segundo orden. Así, al cobrar importancia el cambio de geometría dela estructura debido a la aplicación de las cargas horizontales, se produce un momento adicionalen los soportes causado por los descentramientos de las cargas verticales.

La NCSE-94 permite despreciar dichos efectos cuando el desplome de la cabeza del edi…ciono supere el dos por mil de la altura, o cuando en cada planta se veri…que

Pd < 0:10Fh (3.2)

siendo P el peso total por encima de la planta; d el desplazamiento relativo entre la base y lacabeza de los soportes de la planta considerada, según un análisis lineal; F la acción horizontaltotal por encima de la planta y h la altura entre plantas. Esta última condición equivale adespreciar los efectos de segundo orden cuando el momento adicional inducido por la deformaciónde la estructura (…gura 3.5) sea menor que el 10% del momento de primer orden provocado porla acción horizontal.

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CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 34

PMB

7,40

cm

3,60 cm

V

A

PMA

V

B

h

d

Figura 3.5: Momentos de segundo orden

Sin embargo, en caso de que estas condiciones no se cumplan, la NCSE-94 no proponeninguna alternativa para incluir los efectos de segundo orden.

En este sentido, el EC-8 también plantea una relación del tipo (3.2), aunque en su caso eldesplazamiento d relativo entre plantas debe estimarse en régimen no lineal (i.e., afectado por elcoe…ciente de ductilidad considerado en el análisis), lo cual parece más coherente con la realidaddel problema. Adicionalmente, en el caso en que

0:1 < µ =Pd

Fh< 0:2 (3.3)

el EC-8 permite la inclusión de los efectos de segundo orden incrementando las solicitacionessísmicas de la planta considerada mediante el factor

1

1¡ µ(3.4)

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Capítulo 4

De…nición de la Acción Sísmica y

Métodos de Cálculo en la NCSE-94

4.1 Introducción

En este capítulo se presentan los aspectos prácticos del cálculo sísmico de estructuras según lavigente normativa sismorresistente NCSE-94. Se abordan por tanto la de…nición de la acciónsísmica y los métodos de análisis para determinar la respuesta estructural a dicha acción. Ambosaspectos están íntimamente relacionados: mientras que en un análisis paso a paso en el dominiodel tiempo la excitación deberá de…nirse por un acelerograma, en un análisis modal espectralla acción deberá caracterizarse mediante su espectro sísmico de respuesta, tal como se vio en elsegundo capítulo.

En cualquier caso las normativas deben ser capaces de proponer procedimientos de análisis lomás claros y simples posibles y que, por supuesto, permitan evaluar de manera su…cientementeaproximada la respuesta de la estructura. Este es el motivo por el cual el análisis modal espectralgoza de tan amplia aceptación en las normativas sismorresistentes: su aplicación resulta sencillay directa y proporciona los valores máximos de la respuesta.

De una forma rigurosa, la teoría de los espectros sísmicos de respuesta sólo permitiría lade…nición de la acción sísmica en estructuras de comportamiento elástico y lineal. Sin embargo,las normativas admiten incursiones de la estructura en el rango anelástico ante sismos severos. LaNCSE-94, al igual que gran parte de las normativas existentes en el mundo, extiende el conceptode espectro sísmico de respuesta al análisis de sistemas no lineales. Aunque esta extensión noestá claramente fundamentada desde un punto de vista teórico, los resultados que proporcionason su…cientemente razonables y de fácil obtención.

Para terminar el capítulo se presenta el procedimiento de cálculo simpli…cado recomendadopor la NCSE-94 para los casos más usuales de edi…cación y se comparan en un ejemplo losresultados obtenidos por este método y por el método general de análisis.

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 36

4.2 De…nición de la acción sísmica

4.2.1 Consideraciones generales

En la introducción se ha puesto de mani…esto la ”dependencia” entre el procedimiento de análisisdinámico empleado y la de…nición de la acción sísmica. Si bien la NCSE-94 observa la posibilidadde efectuar un estudio dinámico directo, establece como método usual de cálculo el análisis modalde la estructura. Por este motivo de…ne la acción mediante su espectro sísmico de respuesta y,aunque permita también su de…nición mediante acelerogramas reales o arti…ciales -que deberánser compatibles con los espectros dados en la normativa-, no proporcionan ningún procedimientode obtención de tales acelerogramas, dejando este tema pendiente del criterio del proyectista.

Partiendo de una información sísmica básica sobre el emplazamiento geográ…co de la edi…-cación, las características locales del terreno de cimentación, la importancia estratégica de laconstrucción (e.g., hospitales e infraestructuraas básicas se consideran construccionees de espe-cial importancia) y la vida útil de la estructura, la NCSE-94 de…ne la acción sísmica mediante suespectro elástico de respuesta en aceleraciones. Posteriormente, dicho espectro es corregido deacuerdo a las características de amortiguamiento y ductilidad de la estructura, obteniéndose deesta manera el espectro de diseño en base al que calcular los desplazamientos modales máximosy, a partir de ellos, el resto de las variables (esfuerzos, tensiones...).

4.2.2 Información sísmica básica

La NCSE-94 proporciona un mapa de peligriosidad sísmica del territorio nacional que suministra,para cada punto del territorio, la aceleración sísmica básica, ab, y el denominado coe…ciente decontribución sísmica K. La aceleración de cálculo, ac, se obtiene en función de ab y de la vidaútil (o la importancia) de la construcción.

El espectro también depende de las característcas del terreno de cimentación. La in‡uenciade este factor se introduce a través de un coe…ciente de suelo C.

De…nidos estos parámentros se está en condiciones de obtener el espectro elástico de respues-ta.

4.2.3 Espectro elástico de respuesta

La NCSE-94 de…ne el espectro de respuesta de la aceleración absoluta de un sistema de un gradode libertad con un factor de amortiguamiento respecto al crítico » = 0:05 como

S¤a = ®(T )ac (4.1)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 37

siendo ®(T ) una función del período propio del sistema (considerado en segundos) de…nida por

®(T ) =

8>>>>><>>>>>:

1 + [®(To)¡ 1]T=To para T < To

®(To) para To · T · T1

®(To)T1=T para T > T1

(4.2)

donde®(To) = (3C ¡ 3:8)(K ¡ 1:25) + 2:3 (4.3)

To = 0:125C + 0:2K ¡ 0:175 (4.4)

T1 =0:215K(5C ¡ 1)

®(To)(4.5)

En la …gura 4.1 se gra…ca ®(T ) para los distintos tipos de terreno considerados en la norma yun coe…ciente de contribución sísmica K = 1:0.

Figura 4.1: Espectro elástico de respuesta

Para obtener el espectro de diseño tan sólo resta ajustarlo a las características de la estructuraque se va a calcular, incorporando mediante un coe…ciente empírico  -dado en la NCSE-94- elefecto del amortiguamiento (si » 6= 0:05) y de la ductilidad de la estructura

Sa = Â(º; ¹)S¤a = Â(º; ¹)®(T )ac (4.6)

donde  es función del coe…ciente corrector por amortiguamiento

º =

µ0:05

»

¶0:4(4.7)

y del coe…ciente de comportamiento por ductilidad ¹.

4.3 Métodos de cálculo

La NCSE-94 establece como método habitual de cálculo el análisis modal espectral de la estruc-tura. Adicionalmente, desarrolla un método simpli…cado de cálculo para los casos usuales enedi…cación. También permite el estudio dinámico directo de la estructura.

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 38

4.3.1 Estudio dinámico directo

Sólo está justi…cado en casos especiales, como pueden ser centrales nucleares u otras edi…cacionessingulares o de especial importancia. Su aplicación presenta inconvenientes a nivel de de…niciónde la acción y a nivel del esfuerzo de cálculo implicado:

² La acción debe de…nirse en base a un acelerograma que la normativa no especi…ca y queexige por tanto un análisis previo y un mayor conocimiento sobre la sismología de la zona.

² El proceso de obtención de la respuesta es mucho más costoso. Proporciona mucha másinformación que el análisis espectral (respuesta para toda una serie de frecuencias o evo-lución detallada a lo largo del tiempo), pero este exceso de información suele resultarinnecesario ya que generalmente basta con conocer la respuesta máxima de la estructurapara su correcto diseño.

En el caso del EC-8 se permite también la posibilidad de un análisis estocástico basado enla teoría de vibraciones aleatorias, para lo cual la acción debe de…nirse mediante una densidadespectral de potencia compatible con el espectro sísmico de respuesta proporcionado por lanormativa.

4.3.2 Análisis modal espectral

El modelo discreto de la estructura cuyo comportamiento dinámico se va a analizar ya fuediscutido en la sección 2.4.1. Básicamente se pueden considerar o bien un modelo con tresgrados de libertad por planta (dos traslaciones y una rotación), o bien -si el edi…cio es deplanta regular y con excentricidad de masas respecto al centro de torsión inferior al 10% dela dimensión en planta- dos modelos planos ortogonales independientes con un solo grado delibertad de traslación por planta (edi…cio de cortante).

El procedimiento a seguier coincide con los principios generales expuestos en el segundocapítulo:

² Cálculo de los periodos propios (Ti) y modos de vibración (Ái) de la estructura. Se deberánincluir en el análisis los r primeros modos con contribución signi…cativa en el resultado(ecuaciones (2.69) o (2.70)) y como mínimo

– Tres modos en el caso de modelos planos de la estructura (…gura 4.2).

– Cuatro modos en el caso de modelos espaciales de la estructura, dos traslacionales yotros dos rotacionales.

– Todos los modos de período superior a To (ecuación (4.4)).

² Determinación de la ordenadas espectrales ®(Ti) correspondientes a los periodos propiosde cada uno de los r modos (i = 1; 2 : : : r)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 39

Figura 4.2: Modos de vibración para un edi…cio de cortante

² Obtención de los desplazamientos modales máximos equivalente (ecuación (2.60)) paracada uno de los r modos.

uijmax = ´iSaji!2i

(4.8)

donde el vector ´i contiene los factores de distribución del modo i (ecuación (2.61)), !i esla frecuencia natural del modo i y Saji es el valor del espectro de diseño para el períododel modo i, i.e., el valor del espectro de aceleraciones incluyendo las correcciones poramortiguamiento y ductilidad (ecuación (4.6))

Saji = Âi(º; ¹)®(Ti)ac (4.9)

siendoÂi(º; ¹) =

º·i¹= ¯·i (4.10)

donde ·i es un coe…ciente que adopta los siguientes valores

·i =

8>>>>><>>>>>:

¹=º para Ti = 0

1 para Ti ¸ To

1¯®(Ti)

f1 + [¯®(To)¡ 1]Ti=Tog para 0 < Ti < To

(4.11)

² Conocidos los deplazamientos modales en cada grado de libertad podemos calcular el restode las variables modales y así obtener los valores máximos de la respuesta de la estructurapara cada uno de los r modos.

² La respuesta total de la estructura se calcula ponderando las aportaciones de cada uno delos modos de acuerdo a los procedimientos descritos en las ecuaciones (2.71-2.73).

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 40

De esta manera, y en el caso particular de los modelos habitualmente empleados para analizarestructuras de edi…cación, se obtienen unas solicitaciones de planta (dos fuerzas y un torsor si elmodelo incluye tres grados de libertad por planta; una fuerza en el caso del edi…cio de cortante)para cada modo i que se deberán repartir entre los elementos estructurales:

² En proporción a las componentes utilizadas para la determinación del centro de torsión enel caso de haber considerado tres grados de libertad por planta, o

² Teniendo en cuenta la torsión accidental de planta provocada por la excentricidad de masasmínima …jada en la NCSE-94 para el caso del edi…cio de cortante.

Dado que el anterior es un cálculo elástico y lineal que incorpora la realidad del comporta-miento anelástico de la estructura a través de su coe…ciente de comportamiento por ductilidad, ¹,los desplazamientos dinámicos máximos que realmente se producen según los grados de libertadconsiderados en el modelo se deberán obtener como

umax = ¹ue (4.12)

siendo ue el desplazamiento lineal equivalente calculado en régimen elástico.

4.3.3 Método simpli…cado de cálculo para los casos más usuales de edi…cación

Este método sólo es aplicable a las construcciones que cumplan la totalidad de los siguientesrequisitos:

² El número de plantas es inferior a 20.

² La altura del edi…cio sobre rasante es inferior a 60 metros.

² Existe regularidad en planta, sin entrantes ni salientes importantes.

² Dispone de soportes continuos hasta cimentación, uniformemente distribuidos en planta ysin cambios bruscos en su rigidez.

² Dispone de regularidad geométrica en planta y altura (…guras 4.3 y 4.4) y de regularidadmecánica en la distribución de rigideces, resistencias y masas, de modo que los centros demasas, rigidez y torsión de todas la plantas están situados, aproximadamente, en la mismavertical.

² La excentricidad del centro de las masas que intervienen en el cálculo sísmico respectoal de torsión es inferior al 10% de la dimensión en planta del edi…cio en cada una de lasdirecciones principales.

Bajo estas circunstancias la estructura se puede analizar mediante un modelo de edi…cio decortante para dos direcciones ortogonales independientes.

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 41

Figura 4.3: Estructuras regulares en planta

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Figura 4.4: Estructuras regulares en alzado

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 43

Períodos propios y modos de vibración

La NCSE-94 proporciona fórmulas empíricas que permiten obtener de manera simpli…cada estascaracterísticas dinámicas de la estructura, así como el número de modos a incluir en el análisis.

El período de cada modo i se obtiene como

Ti =TF

(2i¡ 1) (4.13)

donde TF es el período fundamental de la estructura, que se estima a partir de expresionessimpli…cadas que la NCSE-94 incluye. Así, e.g., para el caso de edi…cios de hormigón armadosin la colaboración de pantallas rigidizadoras

TF = 0:09n (4.14)

siendo n el número de plantas sobre rasante.

Las componentes del modo de vibración Ái se obtienen como

Áik = sen

µ(2i¡ 1)¼hk

2H

¶(4.15)

donde hk es la altura sobre rasante de la planta k y H es la latura total de la edi…cación sobrerasante.

En el caso del EC-8 sólo se considera el primer modo de vibración, i.e., el correspondiente alperíodo fundamental TF . La forma modal se estima como

Á1k =hkH

(4.16)

y la fórmula propuesta para el cálculo de TF en el caso de pórticos de hormigón armado di…erede la proporcionada por la NCSE-94, especialmente para edi…cios de poca altura

TF = 0:075H3=4 (4.17)

Fuerzas sísmicas

La fuerza sísmica estática equivalente, Fik, correspondiente a la planta k y modo de vibración ise obtiene a partir de la ecuación (2.63) como

Fik = sikPk (4.18)

siendo el coe…ciente sísmico sik

sik = ´ikSajig

(4.19)

donde el espectro de diseño viene dado en este caso por

Saji = ®1(Ti)¯ac (4.20)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 44

donde¯ =

º

¹(4.21)

es el denominado coe…ciente de respuesta y ®1(Ti) se determina a partir de las ordenadas espec-trales ®(Ti) como

®1(Ti) =

8><>:®(To) si T < To

®(T ) si T ¸ To

(4.22)

en el caso de los edi…cios de cortante, la expresión de los factores de distribución ´ik se simpli…caa (ecuaciones (2.61) y (2.64))

´ik = ¿ iÁik = Áik

Pnk=1mkÁikPnk=1mkÁ

2ik

(4.23)

siendo mk la masa de la planta k.

Sistema de fuerzas estáticas equivalentes

Las fuerzas Fk con las que se va a proceder al cálculo de la estructura se determinan a partir delas fuerzas modales Fik como sigue:

² Obtención de los cortantes Vik de cada planta k en el modo i

Vik =nXj=k

Fij (4.24)

² Obtención del cortante combinado Vk de la planta k ponderando las contribuciones decada modo (ecuaciones (2.71-2.73))

Vk =

vuut rXi=1

V 2ik (4.25)

² Obtención de fk por diferencias entre cortantes de plantas

Fk = Vk ¡ Vk+1 (4.26)

Efectos de torsión por excentricidad accidental

El análisis de la estructura debe tener en cuenta la compatibilidad de deformaciones en planta detodos los elementos estructurales, incorporando el efectos de una posible excentricidad accidental

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 45

Figura 4.5: Excentricidad en planta de la acción sísmica

de las masas. En edi…cios simétricos la NCSE-94 permite sustituir este análisis por la aplicacióna cada elemento estructural de un coe…ciente de mayoración adicional °n (…gura 4.5)

°nx = 1 + 0:6y=by para sismo en dirección y (4.27)

°ny = 1 + 0:6x=bx para sismo en dirección x (4.28)

siendo bx y by las dimensiones de la planta en direcciones x e y respectivamente y x e y lasdistancias del elemento considerado a los ejes de simetría.

4.4 Ejemplos

A continuación se calcula el cortante en la base de una estructura sencilla de edi…cación em-pleando tanto el procedimeinto general como el método simpli…cado propuestos en la NCSE-94.

La …gura 4.6 muestra un esquema del edi…cio considerado. Consta de cinco plantas y sutipología estructural responde a un edi…cio con pórticos de hormigón armado sin la colaboraciónde pantallas rigidizadoras y planta compartimentada. Se ubica en Sevilla, sobre un terreno detipo II según la clasi…cación de la NCSE-94. Se trata de una construcción de normal importancia.La estructura es simétrica y totalmente regular, tanto en planta como en alzado, coincidiendolos centros de masa y torsión. En consecuencia, el edi…cio puede analizarse a través de dosmodelos planos ortogonales independientes, cada uno de ellos con un sólo grado de libertad–de traslación– por planta (…gura 4.6). La estructura cumple la totalidad de los requisitosestablecidos en la NCSE-94 para que el método simpli…cado sea de aplicación.

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 46

1,04

cm

1,04

cm

1,04

cm

1,56 cm 1,65 cm 1,73 cm 1,73 cm

u1

u2

u4

m=134.4 t

k1

k5

k4

k2

m=134.4 t

m=134.4 t

m=134.4 t

m=134.4 t

k3

u3

u5

2 cm

2,16

cm

2,16

cm

2,16

cm

2,16

cm

3 m

3 m

3 m

3 m

4 m

35x35 cm

35x35 cm

40x40 cm

40x40 cm

45x45 cm

5 m 5 m5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

Figura 4.6: Edi…cio de 5 plantas y modelo dinámico empleado

Información sísmica básica

Puesto que la estructura se localiza en Sevilla capital, la aceleración sísmica básica y el coe…cientede contribución vienen dados por

ab = 0:07g = 0:69 m=s2 ; K = 1:0 (4.29)

Al tratarse de una construcción de normal importancia, el coe…ciente de riesgo y, por consi-guiente, la aceleración sísmica de cálculo se obtienen como

½ = 1 =) ac = ½ab = 0:69 m=s2 (4.30)

El coe…ciente de suelo para un terreno de tipo II es

C = 1:4 (4.31)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 47

Espectro elástico de respuesta

Los parámetros para de…nir las ordenadas espectrales vienen dados por

®(To) = (3C ¡ 3:8)(K ¡ 1:25) + 2:3 = 2:28 (4.32)

To = 0:125C + 0:2K ¡ 0:175 = 0:24 s (4.33)

T1 =0:215K(5C ¡ 1)

®(To)= 0:68 s (4.34)

obteniéndose el espectro elástico ®(t) que se muestra en la …gura 4.7. En el caso del métodosimpli…cado se de…nen unas ordenadas espectrales ®1(t), que coinciden con las anteriores salvoen el tramo de períodos cortos (0 · T < To), según se muestra en la …gura 4.8.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3,0

T0=0.24 s T

1=0.68 s

1+[α(T0)-1]T/T

0

α(T0)

α(T)=α(T0)T

1/Tα (

T)

T

Figura 4.7: Espectro elástico de respuesta

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3,0

T1=0.68 s

T

α(T)=α(T0)T

1/T

α(T0)

α (T

)

Figura 4.8: Espectro elástico de respuesta. Método simpli…cado

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 48

Masas de cálculo

Se considera una única planta tipo (incluyendo la cubierta):

² carga permanente (incluyendo sobrecarga de tabiquería): G = 500 Kg=m2

² sobrecarga de utilización: Q = 200 Kg=m2

Resultando una masa de cálculo

mk = (20 m£ 12 m)£h500 Kg=m2 + 0:3£ 200 Kg=m2

i= 134400 Kg (4.35)

4.4.1 Método simpli…cado

Períodos propios y modos de vibración

El período fundamental viene dado por

TF = 0:09£ n = 0:45 s (4.36)

Puesto que TF · 0:75 s basta con considerar el primer modo de vibración

Á1k = sen

µ¼hk2H

¶=) Á1 =

8>>>>><>>>>>:

0:3830:6340:8310:9571:000

9>>>>>=>>>>>;(4.37)

siendo hk la altura sobre rasante de la planta k y H = 16m.

Cálculo de las fuerzas sísmicas

Para el primer modoF1k = s1kPk (4.38)

donde Pk es el peso correspondiente a la masa mk (Pk = 134400 Kp) y s1k es el coe…cientesísmico correspondiente a la planta k en el primer modo

s1k =

µacg

¶®1(TF )¯´1k (4.39)

donde ®1(T ) es la ordenada espectral considerada en el método simpli…cado (…gura 4.8)

®1(TF ) = 2:28 (4.40)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 49

Suponiendo que la estructura es de ductilidad alta (¹ = 3) se tiene

¯ = 0:29 (4.41)

obteniéndose los factores de distribución como

´1k = Á1k

P5j=1mjÁ1jP5j=1mjÁ

21j

) ´1 =

8>>>>><>>>>>:

0:4620:7651:0021:1541:206

9>>>>>=>>>>>;(4.42)

y por tanto

s1 =

8>>>>><>>>>>:

0:0210:0350:0460:0530:056

9>>>>>=>>>>>;) F1 =

8>>>>><>>>>>:

28224704618271237526

9>>>>>=>>>>>;Kp (4.43)

Dado que basta con incluir el primer modo en el análisis, el sistema de fuerzas estáticas equiva-lentes coincide con F1

F = F1 (4.44)

Cortante en la base

El cortante total en la base es directamente el del único modo considerado

V1 =5Xj=1

F1j = 28357 Kp ¼ 28:4 t (4.45)

4.4.2 Procedimiento general

Períodos propios y modos de vibración

La rigidez equivalente al desplazamiento transversal de los pilares se obtiene para las distintasentreplantas como

k1 = 20£ kp1 = 20£ 12EIp1L3p1

= 2:56£ 108 N=m (4.46)

k2 = k3 = 20£ kp2 = 20£ 12EIp2L3p2

= 3:79£ 108 N=m (4.47)

k4 = k5 = 20£ kp4 = 20£ 12EIp4L3p4

= 2:22£ 108 N=m (4.48)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 50

proporcionando una matriz de rigidez

K =

0BBBBB@k1 + k2 ¡k2 0 0 0¡k2 k2 + k3 ¡k3 0 00 ¡k3 k3 + k4 ¡k4 00 0 ¡k4 k4 + k5 ¡k50 0 0 ¡k5 k5

1CCCCCA =0BBBBB@6:35 ¡3:79 0 0 0¡3:79 7:58 ¡3:79 0 00 ¡3:79 6:01 ¡2:22 00 0 ¡2:22 4:44 ¡2:220 0 0 ¡2:22 2:22

1CCCCCA£ 108 (4.49)

La matriz de masa es diagonal y viene dada por

M =

0BBBBB@134400 0 0 0 00 134400 0 0 00 0 134400 0 00 0 0 134400 00 0 0 0 134400

1CCCCCA (4.50)

Las frecuencias naturales se obtienen a partir de la ecuación característica¯̄̄K¡ !2M

¯̄̄= 0 ) !21 = 180:1 ; !

22 = 1253:8 ;

!23 = 3601:4 ; !24 = 5518:2 ; !25 = 9257:4 (4.51)

lo que proporciona los siguientes períodos propios de la estructura

T1 = 0:468 s ; T2 = 0:177 s ; T3 = 0:105 s ; T4 = 0:085 s ; T5 = 0:065 s (4.52)

Los modos de vibración se obtienen como los autovalores del sistema

Á1 =

8>>>>><>>>>>:

0:1990:3210:4220:5490:616

9>>>>>=>>>>>;; Á2 =

8>>>>><>>>>>:

0:4400:5420:403¡0:139¡0:576

9>>>>>=>>>>>;; Á3 =

8>>>>><>>>>>:

¡0:528¡0:2110:3750:558¡0:474

9>>>>>=>>>>>;

Á4 =

8>>>>><>>>>>:

0:529¡0:148¡0:5350:590¡0:252

9>>>>>=>>>>>;; Á5 =

8>>>>><>>>>>:

0:457¡0:7330:482¡0:1430:031

9>>>>>=>>>>>;(4.53)

Modos de vibración a considerar en el análisis

Dado que la estructura se está analizando mediante un modelo plano, se deberán considerar almenos tres modos de vibración.

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 51

Adicionalmente, se deben considerar los r primeros modos con contribución signi…cativa, i.e.,aquellos para los que la suma de las masas efectivas sea superior al 90% de la masa movilizadaen el movimiento sísmico

rXi=1

i ¸ 0:90nXi=1

mi = 604800 Kg (4.54)

donde las masas modales efectivas se calculan como

1 =nXi=1

mi´1i = 596602 Kg (4.55)

2 =nXi=1

mi´2i = 60346 Kg (4.56)

por lo que según este criterio bastarían dos modos (r = 2).

Por tanto, deben considerarse los tres primeros modos de vibración. Los factores de distri-bución asociados a estos tres modos son

´1 =

8>>>>><>>>>>:

0:4190:6760:8891:1571:298

9>>>>>=>>>>>;; ´2 =

8>>>>><>>>>>:

0:2950:3630:270¡0:093¡0:386

9>>>>>=>>>>>;; ´3 =

8>>>>><>>>>>:

0:1480:059¡0:105¡0:1560:133

9>>>>>=>>>>>;(4.57)

Desplazamientos modales máximos

Los desplazamientos modales máximos se obtienen como

uijmax = ´iSaji!2i

(4.58)

dondeSaji = Âi(º; ¹)®(Ti)ac (4.59)

siendoÂi(º; ¹) =

º·i¹= ¯·i (4.60)

Para una estructura de ductilidad alta y un amortiguamiento del 7% respecto al crítico

º =

µ5¶0:4

=

µ5

7

¶0:4= 0:874 ; ¹ = 3 ) ¯ = 0:29 (4.61)

Las ordenadas espectrales adoptan los valores

®(T1) = 2:28 ; ®(T2) = 1:94 ; ®(T3) = 1:56 (4.62)

Los valores de ·i se calculan a partir de (4.11), obteniéndose

·1 = 1 ; ·2 = 1:33 ; ·3 = 1:88 (4.63)

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CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 52

De esta manera, se obtienen los factores correctores Âi por ductilidad y amortiguamiento como

Â1 = 0:29 ; Â2 = 0:39 ; Â3 = 0:55 (4.64)

y los valores del espectro de aceleraciones como

Saj1 = 0:46 ; Saj2 = 0:52 ; Saj3 = 0:59 (4.65)

Por tanto, los desplazamientos modales máximos son

u1jmax = 2:55£ 10¡3 £ ´1 (4.66)

u2jmax = 4:15£ 10¡4 £ ´2 (4.67)

u3jmax = 1:64£ 10¡4 £ ´3 (4.68)

Cortante en la base

El valor del cortante modal máximo en la base del edi…cio para cada uno de los tres primerosmodos se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio del conjunto de pilares de planta bajacomo

modo 1 :

V11 = k1 £ u11jmax =³2:56£ 108

´£³2:55£ 10¡3

´£ 0:419

= 273523 N (4.69)

modo 2 :

V21 = k1 £ u21jmax =³2:56£ 108

´£³4:15£ 10¡4

´£ 0:295

= 31341 N (4.70)

modo 3 :

V31 = k1 £ u31jmax =³2:56£ 108

´£³1:64£ 10¡4

´£ 0:148

= 6214 N (4.71)

El cortante en la base total se obtiene ponderando las aportaciones de cada uno de los tresmodos

V1 =

vuut 3Xi=1

V 2i1 = 275383 N ¼ 27:5 t (4.72)

Puede observarse el buen grado de aproximación proporcionado por el método simpli…cado.

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