8522106614_Sumario

SUMRIOTESTES DE VERIFICAOMMXVII UMA APRESENTAO DO CLCULOMMXXII

9

EQUAES DIFERENCIAISMM5369.1 9.2 9.3

Modelagem com Equaes DiferenciaisMM537 Campos de Direes e o Mtodo de EulerMM542 Equaes SeparveisMM549 Projeto Aplicado Projeto AplicadoI I

Quo Rapidamente um Tanque Esvazia?MM557 O Que Mais Rpido: Subir ou Descer?MM559

9.4

Modelos para Crescimento PopulacionalMM560 Projeto Aplicado I Clculo e BeisebolMM569 Equaes LinearesMM571 Sistemas Predador-PresaMM576 RevisoMM583

9.5 9.6

Problemas QuentesMM586

10

EQUAES PARAMTRICAS E COORDENADAS POLARESMM58810.1

Curvas Definidas por Equaes ParamtricasMM589 Projeto de Laboratrio I Rolando Crculos ao Redor de CrculosMM597 Clculo com Curvas Parametrizadas MM598 Projeto de Laboratrio I Curvas de BzierMM606 Coordenadas PolaresMM607 reas e Comprimentos em Coordenadas PolaresMM617 Sees CnicasMM621 Sees Cnicas em Coordenadas PolaresMM628 RevisoMM635

10.2

10.3 10.4 10.5 10.6


XIII

XIVM||||MCLCULO

11

SEQUNCIAS E SRIES INFINITASMM64011.1 11.2 11.3

SequnciasMM641 Projeto de Laboratrio

I

Sequncias LogsticasMM652

SriesMM652 O Teste da Integral e Estimativas de SomasMM661 11.4 Os Testes de ComparaoMM668 11.5 Sries AlternadasMM673 11.6 Convergncia Absoluta e os Testes da Razo e da RaizMM678 11.7 Estratgia para Testar as SriesMM684 11.8 Sries de PotnciasMM687 11.9 Representaes de Funes como Sries de PotnciasMM692 11.10 Sries de Taylor e de MaclaurinMM698 Projeto de Laboratrio I Um Limite ElusivoMM711 Projeto Escrito I Como Newton Descobriu a Srie BinomialMM71111.11 Aplicaes de Polinmios de TaylorMM712

Projeto Aplicado

I

Radiao Proveniente das EstrelasMM720

RevisoMM721


12

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAOMM72812.1 12.2 12.3 12.4

LONDRES

Sistema de Coordenadas TridimensionaisMM729 VetoresMM734 O Produto EscalarMM742 O Produto VetorialMM749 Projeto de Descoberta I A Geometria do TetraedroMM756 Equaes de Retas e PlanosMM756 Projeto de Laboratrio I Pondo 3D em PerspectivaMM765 Cilindros e Superfcies QudricasMM766 RevisoMM773

12.5PARIS

12.6


13

FUNES VETORIAISMM77813.1 13.2 13.3 13.4

Funes Vetoriais e Curvas EspaciaisMM779 Derivadas e Integrais de Funes VetoriaisMM785 Comprimento de Arco e CurvaturaMM791 Movimento no Espao: Velocidade e AceleraoMM799 Projeto Aplicado I Leis de KeplerMM807 RevisoMM809


SUMRIOM||||M XV

14

DERIVADAS PARCIAISMM81414.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

Funes de Vrias VariveisMM815 Limites e ContinuidadeMM829 Derivadas ParciaisMM836 Planos Tangentes e Aproximaes LinearesMM848 Regra da CadeiaMM857 Derivadas Direcionais e o Vetor GradienteMM865 Valores Mximo e MnimoMM877 Projeto Aplicado I Projeto de uma CaambaMM887 Projeto de Descoberta I Aproximao Quadrtica e Pontos CrticosMM887 Multiplicadores de LagrangeMM888 Projeto Aplicado I Cincia dos FoguetesMM895 Projeto Aplicado I Otimizao de uma Turbina HidrulicaMM896 RevisoMM897

14.8


15

INTEGRAIS MLTIPLASMM90415.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9

Integrais Duplas sobre RetngulosMM905 Integrais IteradasMM913 Integrais Duplas sobre Regies GeraisMM918 Integrais Duplas em Coordenadas PolaresMM926 Aplicaes das Integrais DuplasMM931 Integrais TriplasMM940 Projeto de Descoberta I Volumes de HiperesferasMM950 Integrais Triplas em Coordenadas CilndricasMM950 Projeto de Descoberta I A Interseco de Trs CilindrosMM954 Integrais Triplas em Coordenadas EsfricasMM954 Projeto Aplicado I Corrida na RampaMM960 Mudana de Variveis em Integrais MltiplasMM961 RevisoMM969


16

CLCULO VETORIALMM97416.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8

Campos VetoriaisMM975 Integrais de LinhaMM981 Teorema Fundamental das Integrais de LinhaMM992 Teorema de GreenMM1000 Rotacional e DivergenteMM1007 Superfcies Parametrizadas e Suas reasMM1015 Integrais de SuperfcieMM1025 O Teorema de StokesMM1036 Projeto Escrito I Trs Homens e Dois Teoremas 1041

XVIM||||MCLCULO

16.9

O Teorema do DivergenteMM1041 RevisoMM1048

16.10 Resumo dos TeoremasMM1047


17

EQUAES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM105217.1 17.2 17.3 17.4

Equaes Lineares de Segunda OrdemMM1053 Equaes Lineares No HomogneasMM1058 Aplicaes das Equaes Diferenciais de Segunda OrdemMM1065 Solues em SriesMM1072 RevisoMM1076

APNDICESA B C D E F G H I

Nmeros, Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2 Geometria Analtica e RetasMMA10 Cnicas: Grficos das Equaes de Segundo GrauMMA16 TrigonometriaMMA23 Notao de Somatria (ou Notao Sigma)MMA32 Demonstraes dos TeoremasMMA37 O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47 Nmeros ComplexosMMA54 Respostas dos Exerccios de Nmeros mparesMMA61

NDICE REMISSIVOMMA93

TESTES DE VERIFICAOO sucesso no clculo depende em grande parte do conhecimento da matemtica que precede o clculo: lgebra, geometria analtica, funes e trigonometria. Os testes a seguir tm a inteno de diagnosticar falhas que voc possa ter nessas reas. Depois de fazer cada teste, possvel conferir suas respostas com as respostas dadas e, se necessrio, refrescar sua memria consultando o material de reviso fornecido.

A

TESTES DE VERIFICAO: LGEBRA1.

Calcule cada expresso sem usar uma calculadora. (a) ( 3)4 (b) 34 (c) 3 4 23 5 2 2 (d) 21 (e) (f) 16 3/4 5 3

( )

2.

Simplifique cada expresso. Escreva suas respostas sem expoentes negativos. (a) 200 32 3 3 (b) (3a b )(4ab2)2 3/2 3 3x y 2 (c) 2 1/2 xy

(

)

3.

Expanda e simplifique. (a) 3(x 6) 4(2x 5) (c) (a b )(a b ) (e) (x 2)3 Fatore cada expresso. (a) 4x2 25 (c) x3 3x2 4x 12 (e) 3x3/2 9x1/2 6x 1/2 Simplifique as expresses racionais. x2 3x 2 (a) 2 x x 2

(b) (x 3)(4x (d) (2x 3)2

5)

4.

(b) 2x2 5x (d) x4 27x (f) x3y 4xy 2x2 x y2

12

5.

(b)

x 9 x y 1 x

1

x 2x

3 1

(c)

x x2

2

x 4 x

1 2

x (d) 1 y

XVII

XVIIIM||||MCLCULO

6.

Racionalize a expresso e simplifique. 10 4 h (a) (b) 5 2 h Reescreva, completando o quadrado. (a) x2 x 1 (b) 2x2

2

7.

12x

11

8.

Resolva a equao. (Encontre apenas as solues reais.) 2x 2x 1 1 (a) x 5 14 x (b) 2 x 1 x 2 2 x 12 0 (d) 2x 4x 1 0 (c) x (e) x4

3x2 x)

21/2

0

(g) 2x(49.

3 4 x

(f) 3| x 02

4|

10

Resolva cada desigualdade. Escreva suas respostas usando a notao de intervalos. (a) 4 5 1)(x 3 1 q)2 p2 a q2 b (b) ab 1 a b TC C 1 x y 1 y 1 x 1 a/x b/x a 1 b 1 T 3x 2) 1 17 0 (b) x 2x 4| 8 3 (c) x(x 2x (e) x (a) (p (d) | x

10. Diga se cada equao verdadeira ou falsa.

(c) a2 b2

(d)

(e)

(f)

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAO A: LGEBRA1.

(a) 81 (d) 25

(b) (e) 9 4

815 7

1 (c) 81 1 (f) 8

6.

(a) 5 2 (a) (x (a) 6 (d) (g) 12 5

2 10 )1 2 2

(b)

2. (a) 6 23.

(b) 48a b (b) 4x2 (d) 4x2 12x 8

(c)

x7. 8.

1 4 h 3)2

2 7

9y7

(b) 1 (e) 1,

3 4

(b) 2(x 2 (c)

(a) 11x 2 (c) a b (e) x3 6x2

7x 15 12x 9 (b) (2x (d) x(x (f) xy(x (b) x x 3)(x 3)(x2 2)(x 1 3 4) 3x 2)

1

21 2

3, 4 (f) , 22 32 3

4.

(a) (2x 5)(2x 5) (c) (x 3)(x 2)(x 2) (e) 3x 1/2(x 1)(x 2) (a) x x 1 x 2 2 2

9)

9.

(a) [ 4, 3) (c) ( 2, 0) (e) ( 1, 4] (1, )

(b) ( 2, 4) (d) (1, 7)

5.

10. (a) Falso

(b) Verdadeiro (e) Falso

(c) Falso (f) Verdadeiro

(d) Falso y)

(c)

(d)

(x

TESTES DE VERIFICAOM||||MXIX

B

TESTES DE VERIFICAO: GEOMETRIA ANALTICA1.

Encontre uma equao para a reta que passa pelo ponto (2, (a) tem inclinao 3 (b) paralela ao eixo x (c) paralela ao eixo y (d) paralela reta 2x 4y 3

5) e

2.

Encontre uma equao para o crculo que tem centro ( 1, 4) e passa pelo ponto (3, 2). Encontre o centro e o raio do crculo com equao x2 y2 6x 10y 9 0.

3. 4.

Sejam A( 7, 4) e B(5, 12) pontos no plano. (a) Encontre a inclinao da reta que contm A e B. (b) Encontre uma equao da reta que passa por A e B. Quais so as interseces com os eixos? (c) Encontre o ponto mdio do segmento AB. (d) Encontre o comprimento do segmento AB. (e) Encontre uma equao para a mediatriz de AB. (f) Encontre uma equao para o crculo para o qual AB um dimetro. Esboce a regio do plano xy definidas pelas equaes ou inequaes. (a) 1 y 3 (b) | x | 4 e | y | 2 1 x (d) y x2 1 (c) y 1 2 (e) x2 y2 4 (f) 9x2 16y2 144

5.

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAO B: GEOMETRIA ANALTICA1.

(a) y (c) x (x

3x 2 1)2 (y

1 4)2 52

(b) y (d) y

5 1 x 2

5. (a)

y 3

(b)

y 2

(c)

y 1

6

y2

1

1 2x

2. 3. 4.

0 1 x 4 0 2 4x 0 x

Centro (3,4 3

5), raio 5(d)y

(a) (b) 4x 3y 16 0; interseco com o eixo x, interseco com o eixo y, 16 3 (c) ( 1, 4) (d) 20 (e) 3x 4y 13 2 (y 4)2 100 (f) (x 1)

(e)

y 2

(f)x22

y 3

4;0 1 1 x 0

y2x

4

0

4 x

y

x2

1

Se voc teve dificuldade com estes problemas, consulte a reviso de geometria analtica, nos Apndices B e C.

XXM||||MCLCULO

C

TESTES DE VERIFICAO: FUNES1.y

1 0 1 x

O grfico de uma funo f dado esquerda. (a) Diga o valor de f ( 1). (b) Estime o valor de f (2). (c) Para quais valores de x vale que f (x) 2? (d) Estime os valores de x tais que f (x) 0. (e) Diga qual o domnio e a imagem de f. Se f (x) x , calcule o quociente da diferena sua resposta. Encontre o domnio da funo 2x 1 (a) f (x) (b) t(x) 2 x x 23 x 3

2.

f (2

h) h

f (2)

e simplifique

FIGURA PARA O PROBLEMA 1

3.

x

2

(c) h(x) 1

4 x

x2 1

4.

Como os grficos das funes so obtidos a partir do grfico de f ? (a) y f (x) (b) y 2 f (x) 1 (c) y f (x 3) Sem usar uma calculadora, faa um esboo grosseiro do grfico. 3 (b) y (x 1)3 (c) y (x 2)3 (a) y x (d) y 4 x2 (e) y x (f) y 2 x (g) y 2x (h) y 1 x 1 Seja f (x)

2 3

5.

6.

{ 2x1 x2

x21

se xse x

0 0 (b) Esboce o grfico de f. 3, encontre cada uma das seguintes funes. (c) t t t

(a) Calcule f ( 2) e f (1).7.

Se f (x) (a) f t

2x

1 e t(x) 2x (b) t f

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAO C: FUNES1.

(a) 2 (c) 3,1 (e) [ 3, 3], [ 2, 3] 12 6h h2 ( 2, 1) [1, 4]

(b) 2,8 (d) 2,5, 0,3

(d)

y 4

(e)

y

(f )

y

0

2. 3.

2

x

0

1

x

0

1

x

(a) ( , 2) (b) ( , ) (c) ( , 1]

(1, )(g)y

(h)

y 1

4.

(a) Refletindo em torno do eixo x. (b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir transladando 1 unidade para baixo. (c) Transladando 3 unidades para a direita e duas unidades para cima.(a)y

0 1 1 x 0 1 x

6.

5.

(a) (b)

3, 3y 1 1 0 x

7. (a) ( f t)(x)

(b)

y

(c)

y (2, 3)

4x2 8x 2 (b) (t f )(x) 2x2 4x 5 (c) (t t t)(x) 8x 21

1 0 1 x 1

1 0 x 0

x

Se voc teve dificuldade com estes problemas, consulte as Sees 1.1 a 1.3 deste livro.

TESTES DE VERIFICAOM||||MXXI

D

TESTES DE VERIFICAO: TRIGONOMETRIA1.

Converta de graus para radianos. (a) 300 (b) 18 Converta de radianos para graus. (a) 5p/6 (b) 2 Encontre o comprimento de um arco de um crculo de raio 12 cm cujo ngulo central 30. Encontre os valores exatos. (a) tg(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3)

2.

3.

24 a u bFIGURA PARA O PROBLEMA 5

4.

5. 6. 7.

Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de u. Se sen x1 e sec y 3 5 , onde x e y esto entre 0 e p/2, calcule sen(x 4

y).

Demonstre as identidades. (a) tg u sen u cos u sec u (b) 1 2 tg x tg2x sen 2x sen x e 0 x 2p.

8. 9.

Encontre todos os valores de x tais que sen 2x Esboce o grfico da funo y 1

sen 2x sem usar uma calculadora.

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAO D: TRIGONOMETRIA1. 2. 3.

(a) 5p/3 (a) 150

(b)

p/10 114,6

1 6. 15 (4

6 2)

(b) 360/p

8. 9.

0, p/3, p, 5p/3, 2py 2

2p cm 4. (a) 35.

(b)

1 2

(c) 2p 0 p x

(a) 24 sen u

(b) 24 cos u

Se voc teve dificuldade com estes problemas, consulte o Apndice D deste livro.

UMA APRESENTAO DO CLCULO

O clculo fundamentalmente diferente da matemtica que voc j estudou. O clculo menos esttico e mais dinmico. Ele trata de variao e de movimento, bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Por essa razo, pode ser til ter uma viso geral do assunto antes de comear um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais ideias do clculo, mostrando como surgem os limites quando tentamos resolver diversos problemas.

XXII

UMA APRESENTAO DO CLCULOM||||MXXIII

A1 A2 A3 A A1 A2 A4 A3 A4 A5 A5

O PROBLEMA DA REA As origens do clculo remontam Grcia antiga, pelo menos 2.500 anos atrs, quando foram encontradas reas usando o chamado mtodo da exausto. Naquela poca, os gregos j sabiam encontrar a rea de qualquer polgono dividindo-o em tringulos, como na Figura 1 e, em seguida, somando as reas obtidas. muito mais difcil achar a rea de uma figura curva. O mtodo da exausto dos antigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polgonos e ento aumentar o nmero de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial de um crculo, com polgonos regulares inscritos.

FIGURA 1

A3

A4

A5

A6

A7

A12

FIGURA 2

Seja An a rea do polgono inscrito com n lados. medida que aumentamos n, fica evidente que An ficar cada vez mais prxima da rea do crculo. Dizemos ento que a rea do crculo o limite das reas dos polgonos inscritos, e escrevemos A lim Ann m

Os gregos, porm, no usaram explicitamente os limites. Todavia, por um raciocnio indireto, Eudoxo (sculo V a.C.) usou a exausto para demonstrar a conhecida frmula da rea do crculo: A pr2. Usamos uma ideia semelhante no Captulo 5 para encontrar a rea de regies do tipo mostrado na Figura 3. Vamos aproximar a rea desejada A por reas de retngulos (como na Figura 4), fazer decrescer a largura dos retngulos e ento calcular A como o limite dessas somas de reas de retngulos.

y (1, 1)

y (1, 1)

y (1, 1)

y (1, 1)

y

x2 A

0

1

x

0

1 4

1 2

3 4

1

x

0

1

x

0

1 n

1

x

FIGURA 3

FIGURA 4

O problema da rea central no ramo do clculo chamado clculo integral. As tcnicas que desenvolvemos no Captulo 5 para encontrar reas tambm possibilitam o clculo do volume de um slido, o comprimento de um arco, a fora da gua sobre um dique, a massa e o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear a gua para fora de um tanque.

XXIVM||||MCLCULO

O PROBLEMA DA TANGENTEy

t y P (x)

0 FIGURA 5 A reta tangente em P

x

Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equao y f (x), em um dado ponto P. (Demos uma definio precisa de reta tangente no Captulo 2. Por ora, voc pode pens-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encontrar a equao de t se conhecermos sua inclinao m. O problema est no fato de que, para calcular a inclinao, necessrio conhecer dois pontos sobre t, e temos somente o ponto P. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximao para m, tomando sobre a curva um ponto prximo Q e calculando a inclinao mPQ da reta secante PQ. Da Figura 6 vemos que1

mPQ

f (x) x

f (a) a

y

t Q (x, f (x)) P(a, f (a)) x a f (x) f (a)

Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direo a P, como na Figura 7. Voc pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como sua posio-limite. Isso significa que a inclinao mPQ da reta secante fica cada vez mais prxima da inclinao m da reta tangente. Isso denotado por mQ mP

lim mPQ

0

a

x

x

e dizemos que m o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vez que x tende a a quando Q tende a P, tambm podemos usar a Equao 1 para escrever2

FIGURA 6 A reta secante PQ y

m

lim

f (x) x

f (a) a

x ma

t

Q P

0 FIGURA 7 Retas secantes aproximando-se da reta tangente

x

Exemplos especficos desse procedimento foram dados no Captulo 2. O problema da tangente deu origem ao ramo do clculo chamado clculo diferencial, que no foi inventado at mais de 2 mil anos aps o clculo integral. As principais ideias por trs do clculo diferencial devem-se ao matemtico francs Pierre Fermat (1601-1665) e foram desenvolvidas pelos matemticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemtico alemo Gottfried Leibniz (1646-1716). Os dois ramos do clculo e seus problemas principais, o da rea e o da tangente, apesar de parecerem completamente diferentes, tm uma estreita conexo. O problema da rea e o da tangente so problemas inversos, em um sentido que foi explicado no Captulo 5.

VELOCIDADE Quando olhamos no velocmetro de um carro e vemos que ele est a 48 km/h, o que essa informao indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, aps uma hora o carro ter percorrido 48 km. Porm, se a velocidade do carro variar, qual o significado de a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h? Para analisar essa questo, vamos examinar o movimento de um carro percorrendo uma estrada reta e suponha que possamos medir a distncia percorrida por ele (em metros) em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir: t d Tempo decorrido (s) Distncia (m) 0 0 2 2 4 10 6 25 8 43 10 78

UMA APRESENTAO DO CLCULOM||||MXXV

Como primeiro passo para encontrar a velocidade aps 4 segundos de movimento, calcularemos qual a velocidade mdia no intervalo de tempo 4 t 8: velocidade mdia distncia percorrida tempo decorrido 43 8 10 4 t 6 7,5 m/s

8,25 m/s Analogamente, a velocidade mdia no intervalo 4 velocidade mdia 25 5 10 4

Nossa intuio de que a velocidade no instante t 4 no pode ser muito diferente da velocidade mdia durante um pequeno intervalo de tempo que comea em t 4. Assim, imaginaremos que a distncia percorrida foi medida em intervalos de 0,2 segundo, como na tabela a seguir: t d 4,0 10,00 4,2 11,02 4,4 12,16 4,6 13,45 4,8 14,96 5,0 16,80

Ento, podemos calcular, por exemplo, a velocidade mdia no intervalo de tempo [4, 5]: velocidade mdia 16,80 5 10,00 4 6,8 m/s

Os resultados desses clculos esto mostrados na tabela: Intervalo de tempo Velocidade mdia (m/s) [4, 6] 7,5 [4, 5] 6,8 [4, 4,8] 6,2 [4, 4,6] 5,75 [4, 4,4] 5,4 [4, 4,2] 5,1

d

As velocidades mdias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez mais prximas de 5; dessa forma, esperamos que exatamente em t 4 a velocidade seja cerca de 5 m/s. No Captulo 2 definimos a velocidade instantnea de um objeto em movimento como o limite das velocidades mdias em intervalos de tempo cada vez menores. Na Figura 8 mostramos uma representao grfica do movimento de um carro traando a distncia percorrida como uma funo do tempo. Se escrevermos d f (t), ento f (t) o nmero de metros percorridos aps t segundos. A velocidade mdia no intervalo de tempo [4, t] velocidade mdiaQ (t, f (t))

distncia percorrida tempo decorrido

f (t) t

f (4) 4

que a mesma coisa que a inclinao da reta secante PQ da Figura 8. A velocidade v quando t 4 o valor-limite da velocidade mdia quando t aproxima-se de 4; isto ,20 10 0 FIGURA 8 2 4

vP(4, f (4))6 8 10 t

limt m4

f (t) t

f (4) 4

e, da Equao 2, vemos que isso igual inclinao da reta tangente curva em P. Dessa forma, ao resolver o problema da tangente em clculo diferencial, tambm estamos resolvendo problemas relativos velocidade. A mesma tcnica aplica-se a problemas relativos taxa de variao nas cincias naturais e sociais.

XXVIM||||MCLCULO

O LIMITE DE UMA SEQUNCIA No sculo V a.C., o filsofo grego Zeno props quatro problemas, hoje conhecidos como Paradoxos de Zeno, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua poca sobre espao e tempo. O segundo paradoxo de Zeno diz respeito a uma corrida entre o heri grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zeno argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele comeasse em uma posio a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a2 t1 a tartaruga estaria adiante, em uma posio t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a tartaruga estaria sempre frente! Todavia, isso desafia o senso comum.a1 a2 t1 a3 t2 a4 t3 a5 t4 ... ...

Aquiles tartarugaFIGURA 9

Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequncia. As posies sucessivas de Aquiles e da tartaruga so respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhecidas como sequncias. Em geral, uma sequncia {an} um conjunto de nmeros escritos em uma ordem definida. Por exemplo, a sequncia1 1 1 1 {1, , , , , . . .} 2 3 4 5

pode ser descrita pela seguinte frmula para o n-simo termo: an 1 n

a4 a 30

a2

a11

Podemos visualizar essa sequncia marcando seus termos sobre uma reta real, como na Figura 10(a), ou desenhando seu grfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas as figuras que os termos da sequncia an 1/n tornam-se cada vez mais prximos de 0 medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos to pequenos quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos ento que o limite da sequncia 0 e indicamos isso por lim Em geral, a notao lim ann m

(a)1

1 n

n m

0

L

1 2 3 4 5 6 7 8

n

(b)FIGURA 10

ser usada se os termos an tendem a um nmero L quando n torna-se grande. Isso significa que podemos tornar os nmeros an to prximos de L quanto quisermos escolhendo n suficientemente grande. O conceito de limite de uma sequncia ocorre sempre que usamos a representao decimal de um nmero real. Por exemplo, se a1 3,1

UMA APRESENTAO DO CLCULOM||||MXXVII

a2 a3 a4 a5 a6 a7

ento

. . . lim ann m

3,14 3,141 3,1415 3,14159 3,141592 3,1415926

p

Os termos nessa sequncia so aproximaes racionais de p. Vamos voltar ao paradoxo de Zeno. As posies sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequncias {an} e {tn}, nas quais an tn para todo n. Podemos mostrar que ambas as sequncias tm o mesmo limite: lim ann m

p

lim tnn m

precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.

A SOMA DE UMA SRIE Outro paradoxo de Zeno, conforme nos foi passado por Aristteles, o seguinte: Uma pessoa em certo ponto de uma sala no pode caminhar at a parede. Para tanto ela deveria percorrer metade da distncia, depois a metade da distncia restante, e ento novamente a metade da distncia que restou e assim por diante, de forma que o processo pode ser sempre continuado e no ter um fim. (Veja a Figura 11.)

1 2

1 4

1 8

1 16

FIGURA 11

Como, naturalmente, sabemos que de fato a pessoa pode chegar at a parede, isso sugere que a distncia total possa ser expressa como a soma de infinitas distncias cada vez menores, como a seguir:3

1

1 2

1 4

1 8

1 16

...

1 2n

...

Zeno argumentava que no fazia sentido somar um nmero infinito de nmeros. Porm, h situaes em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notao de cimal, o smbolo, 0,3 = 0,3333 significa 3 10 3 100 3 1.000 3 10.000 ...

dessa forma, em algum sentido, deve ser verdade que 3 10 3 100 3 1.000 3 10.000 ... 1 3

XXVIIIM||||MCLCULO

Mais geralmente, se dn denotar o n-simo algarismo na representao decimal de um nmero, ento 0,d1d2 d3 d4. . . d1 10 d2 102

d3 103

...

dn 10n

...

Portanto, algumas somas infinitas, ou, como so chamadas, sries infinitas, tm um significado. Todavia, necessrio definir cuidadosamente o que a soma de uma srie. Retornando srie da Equao 3, denotamos por sn a soma dos n primeiros termos da srie. Assim s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 . . . . . .1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0,5 1 0,75 4 1 1 0,875 4 81 4 1 8

1 4 1 4 1 4

1 8 1 8 1 8

1 16 1 16 1 16 1 16

0,9375 1 0,96875 321 32 1 64

1 32

1 64

0,984375 1 0,9921875 128

s10

1 2

1 4

...

1 1024

1

0,99902344

s16

1 2

1 4

...

216

0,99998474

Observe que medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais prximas de 1. De fato, pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande (isto , adicionando um nmero suficientemente grande de termos da srie), podemos tornar a soma parcial sn to prxima de 1 quanto quisermos. Parece ento razovel dizer que a soma da srie infinita 1 e escrever 1 2 1 4 1 8 ... 1 2n ... 1

Em outras palavras, a razo de a soma da srie ser 1 que lim snn m

1

No Captulo 11 discutiremos mais essas ideias. Usaremos ento a ideia de Newton de combinar sries infinitas com clculo diferencial e integral.

RESUMO Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a rea de uma regio, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma srie infinita. Em cada um dos casos, o tema comum o clculo de uma quantidade como o limite de outras quantidades mais facilmente calculveis. essa ideia bsica que coloca o clculo parte de outras reas da matemtica. Na realidade, poderamos definir o clculo como aquele ramo da matemtica que trata de limites. Depois de inventar sua verso de clculo, sir Isaac Newton a usou para explicar o movimento dos planetas em torno do Sol. Hoje, o clculo usado na determinao de rbitas de satlites e naves espaciais, na predio do tamanho de uma populao, na estimativa

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