7 - Forcas Distribuidas - CG, CM e C
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Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Mecnica dos Slidos 1 Cdigo: Cdigo ECIV018 Professor: Eduardo Nobre Lages
Foras Distribudas: Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centride
Macei/AL
GeneralidadesQ Quais as formas de interao entre os corpos?Contato diretoF/L2
Gravitacional, centrfuga ou eletromagntica
F/L3
GeneralidadesMudana dos domnios de transmisso de forasPossvel: Possvel quando dimenso(es) caracterstica(s) da regio de transmisso de fora pequena comparada com as dimenses caractersticas do elemento estrutural.Ex: Ex F/L2 F/L e F/L2 F
Necessria: Necessria forada pela considerao de um modelo do elemento estrutural onde dimenso(es) (so) simplificada(s). di ( ) ( ) i lifi d ( )Ex: Ex F/L3 F/L2; F/L3 F/L e F/L2 F/L
GeneralidadesCargas pontuais existem? g pCargas pontuais so abstraes de cargas distribudas em domnios com dimenses caractersticas pequenas comparadas com as do elemento estrutural ao qual esto d d l t t t l l t aplicadas ou de representao de um sistema resultante equivalente de foras distribudas.
ObjetivoConsiderao de aes distribudas nos problemas de equilbrio.
Ao do vento Ao gravitacional
Ao hidrosttica
Centro de Gravidade ou BaricentroO centro de gravidade ou baricentro de um corpo a posio onde pode ser considerada a aplicao d i d d id d li da fora de gravidade resultante equivalente de todo o corpo.
De uma forma geral, quando se considera a no uniformidade de campos gravitacionais, a determinao da fora de gravidade total e do seu ponto de aplicao ficam dependentes da posio e orientao do corpo. Portanto, o centro de gravidade ou baricentro no g pode ser considerada uma caracterstica especfica de um corpo rgido.
Centro de Gravidade ou Baricentro
Centro de Gravidade ou BaricentroPlacas planas
EquivalnciaFora resultante Momento em torno do eixo y M d Momento em torno do eixo x
P = P xP = xP yP = yP
Centro de Gravidade ou BaricentroPlacas planasdP
Equivalncia
P = dP xP = xdP
yP = ydP
Centro de Gravidade ou BaricentroArames planos
EquivalnciaFora resultante Momento em torno do eixo y M d Momento em torno do eixo x
P = P xP = xP yP = yP
Centro de Gravidade ou BaricentroArames planosdP
Equivalncia
P = dP xP = xdP
yP = ydP
Centro de MassaPlacas planasdP
Equivalncia
P = dP xP = xdP
yP = ydP
Considere a placa imersa em um campo gravitacional constante. Com isso, onde neste caso fica definido o centro de massa. Vale o mesmo resultado para os arames planos.
M = dm xM = xdm
yM = ydm
Centride ou Centro GeomtricoPlacas planasdP
Equivalncia
P = dP xP = xdP
yP = ydP
Considere a placa apresentando peso especfico e espessura constantes. Com isso, onde neste caso fica definido o centride da placa.
A = dA
xA = xdA
yA = ydA
Centride ou Centro GeomtricoArames planosdP
Equivalncia
P = dP xP = xdP
yP = ydP
Considere o arame apresentando peso especfico e seo transversal constantes. Com isso, onde neste caso fica definido o centride do arame.
L = dL xL = xdL
yL = ydL
Centro de Gravidade, Centro de Massa e CentrideCampo Gravitacional
Campo Gravitacional CG=CM=C
Campo Gravitacional
C CG=CM Madeira Granito G it
C CM CG
Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e Curvasz y
Momento de 1 ordem da superfcie em relao ao eixo x
x
Momento de 1 ordem da superfcie 1 em relao ao eixo y
Q x = ydA = yA
Q y = xdA = xAy
z
Momento de 1 ordem da curva em relao ao eixo x
Momento de 1 ordem da curva em relao ao eixo y l ix
Q x = ydL = yL
Q y = xdL = xL
Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e CurvasQ x = yA (ou yL)Q y = xA (ou xL)
As coordenadas do centride de uma superfcie ou curva podem ser obtidas dividindo-se os momentos de primeira ordem pela rea da superfcie ou comprimento da curva, respectivamente curva respectivamente. Se o centride de uma superfcie ou curva estiver localizado sobre um eixo de coordenadas, o momento de primeira ordem em relao a esse eixo ser nulo e vice-versa. vice versa
Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e CurvasP B
Regio simtrica e eixo de simetriaP B
Se S uma superfcie ou curva apresenta um eixo de f i t i d simetria, o centride dessa regio est contido sobre esse eixo de simetria.y -x dA x C dA x
Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e CurvasUma regio que apresenta dois eixos de simetria, o centride d mesma encontra-se na interseo id da i desses eixos.
C
C
Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e Curvasy
Regio com centro de simetria
x dA
y x
C -y dA -x
Se uma superfcie ou curva apresenta um p p cento de simetria, esse corresponde ao centride da regio.
Centrides de Superfcies Planas de Formatos Usuais
Centrides de Superfcies Planas de Formatos Usuais
Centrides de Superfcies Planas de Formatos Usuais
Centrides de Curvas Planas de Formatos Usuais
Placas e Fios CompostosQuando se estiver interessado na determinao de propriedades integrais (rea, comprimento e momentos de primeira ordem) de regies que no esto tabeladas, mas identifica-se que a regio em questo formada pela composio g q p p de regies elementares cujas propriedades integrais so conhecidas, aplica-se essa composio na avaliao das integrais referentes s propriedades de interesse.
Placas e Fios CompostosA
A=
R1 + R 2 + R 3
dA = dA + dA + dA = AR1 R2 R3
R1
+ AR2 + AR3
Qx = Qy =
R1 + R 2 + R 3
ydA = ... = QdA xdA
x R1
+ Qx R2 + Qx R32 3
R1 + R 2 + R 3
= ... = Q y R + Q y R + Q y R1
Qx Y = A Qy X= A
Placas e Fios CompostosExemplo: Exemplo: pDetermine o centride da superfcie composta mostrada mostrada.
Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )1 composio
1 2
Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )1 composio1 2
Regio 1 2 Total
Ai(cm2)
(cm)
xi
(cm)
yi
(cm3)
Qxi
(cm3)
Qyi
300 1200 1500
-10 10 20 -
22,5 22 5 15 -
6750 18000 24750
-3000 3000 24000 21000
21000 x= = = 14 cm A 1500 Qy
y=
Q x 24750 = = 16 ,5 cm A 1500
Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )2 composio
1 2
Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )2 composio1 2
Regio 1 2 Total
Ai(cm2)
(cm)
xi
(cm)
yi
(cm3)
Qxi
(cm3)
Qyi
1800 -300 1500
10 -10 -
15 7,5 -
27000 -2250 24750
18000 3000 21000
21000 x= = = 14 cm A 1500 Qy
y=
Q x 24750 = = 16 ,5 cm A 1500
Determinao de Centride por IntegraoQ x = yA = ydA Q y = xA = xdA
Em princpio, para quantificao dos momentos p p ,p q de 1 ordem de superfcie (ou momentos estticos de rea), esses so calculados a partir de integrais duplas no domnio p ti d int is d pl s n d mni representativo da regio estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de rea m f m dA de acordo com a convenincia das coordenadas de descrio da d regio tratada. d
Determinao de Centride por Integrao DuplaD = { (x, y ) | a x b e c y d}y d dy dx c a b x dA=dxdy
Q x = ydA = ydxdyc a
d b
= [xy ] dy = (b a )ydyb a c c
d
d
y = (b a ) 2 c 2
d
=
(b a )(d 2 c 2 )2
Determinao de Centride por Integrao DuplaD = { (x, y ) | a x b e c y d}y d dy dx c a b x dA=dxdy
Q y = xdA = xdxdyc a
d b
b2 a 2 x dy = dy = 2 2 a c c d 2
b
d
b a = y 2 c2 2
d
=
(b
2
a
2
)(d c)
2
Determinao de Centride por Integrao Duplab D = (x, y ) | 0 x a e 0 y x a y dA=dxdy bb x a a
Q x = ydA = ydydx0 0
dy d dx a x
y b2 2 = dx = 2 x dx 2a 2 0 0 0 a 2 a
b x a
b x ab 2 = 2 = 6 2a 3 02 3
a
Determinao de Centride por Integrao Duplab D = (x, y ) | 0 x a e 0 y x a y dA=dxdy bb x a a
Q y = xdA = xdydx0 0
dy d dx a x
= [xy ]0 3
a
b x a 0
b 2 dx = x dx a 0
a
b x a 2b = = 3 a 3 0
a
Determinao de Centride por Integrao Dupla D = (rcos, rsin ) | a r b e 6 y dA=rddr b
2 b 2 a 6
= r 2 sin ddr Q x = ydA dA = r cos dr = 2 a a b
a 30 x
[
]
2 6
b
3 2 r dr 2
3 3 3 3 3 r = = b a 6 6 a
b
(
)
Determinao de Centride por Integrao Dupla D = (rcos, rsin ) | a r b e 6 y dA=rddr b
2 b 2 a 6 2 6
= r 2 cos ddr Q y = xdA dA =a b
a 30 x
[
r r sin dr = dr 2 a2
]
b
2
r b3 a 3 = = 6 6 a3
b
Determinao de Centride por Integrao de FatiasQ x = yA = ydA = dQ el xQ y = xA = xdA = dQ el yA idia desta sistemtica considerar que a regio de interesse formada pela composio de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regies cujas propriedades geomtricas j so conhecidas. Sendo conhecidas assim, esta sistemtica pode ser entendida como uma aplicao p do mtodo j apresentado para regies compostas.
Determinao de Centride por Integrao de Fatiasy (x,y(x))
A = dA = dA el = y(x)dxa
b
x ela dxel
Q x = ydA = dQ el xy elb x
y(x) 2 ( ) el el dx = y dA = 2 a
b
dA = y( x )dxx el = x y( x ) y el = 2
Q y = xdA = dQ el y
= x ell dA ell = xy(x)dxa
b
Determinao de Centride por Integrao de Fatiasy (r()cos(),r()sin())
x el y el
r ( ) 2 d A = dA = dA el = 2 i
f
Q x = ydA = dQ el xx2
i f
r ( ) dA el = d 2 2 x el = r ( ) cos 3 2 y el = r ( )sin 3
r () 3 sin d = y el dA el = 3 i
f
Q y = xdA = dQ el yf
r ( ) el l el l cos d = x dA = 3 i3
Determinao de Centride por IntegraoExemplo: Exemplo: pDetermine por integrao o centride da superfcie mostrada em termos de a e h.
a
h k= 3 a
hy( x ) = kx 3
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao dupla
A=a
a
0 h x3 a3
dydx d dh
h
a dy dx h
= [y] h 3 dx0 a3 x
h 3 = h 3 x dx a 0
a
h y( x ) = 3 x 3 ah D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a
h x = hx 3 a 4 0 3 = ah 44
a
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao dupla (cont.)
Qx = a
a
0 h x3 a3
ydydx2 h
h
a dy dx h
y = dx 2 h x3 0 3a
1 2 h2 6 = h 6 x dx 2 a 0a
h y( x ) = 3 x 3 ah D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a
1 2 h x = h x 6 2 a 7 0 3 2 = ah 72 7
a
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao dupla (cont.)
Qy = a
a
0 h x3 a3
d d xdydxh
h
a dy dx h
= [xy] h 3 dx0 a a3 x
h 3 = x h 3 x dx a 0
h y( x ) = 3 x 3 ah D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a
x h x = h 3 2 a 5 0 3 2 = a h 102 5
a
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatias
a hy( x ) = h 3 x 3 a
h 3 A = h 3 x dx a 0 h x = hx 3 a 4 0 3 = ah 44 a
a
h D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatias (cont.)
a hy( x ) = h 3 x 3 a
1 2 h2 6 Q x = h 6 x dx a 2 0a
1 2 h x = h x 6 2 a 7 0 3 2 = ah 72 7
a
h D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatias (cont.)
a hy( x ) = h 3 x 3 a
h 3 Q y = x h 3 x dx a 0 x h x = h 3 2 a 5 0 3 2 = a h 102 5 a
a
h D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )
ayCy( x ) =
2 x= = a A 5
Qy
hh 3 x 3 a
y=
Qx 4 = h A 7
x
Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatiasComo tratar o problema com fatias horizontais?
a h y x ( y) = a h h y( x ) = 3 x 3 a1 3
y 3 A = a dy h 0 y 3 Q x = ya dy h 0 1 y Q y = a 2 h 0 h 1 3 h 1
h
1
h
1 y 3 D = (x, y ) | 0 y h e 0 x a h
dy
2
Teoremas de Pappus-Guldin PappusClculo de rea de superfcie de revoluo p e volume de slido de revoluo.
Formulados inicialmente pelo gemetra grego Pappus (sculo III d.C.)
Restabelecidos posteriormente p pelo matemtico suo Guldinus, ou Guldin (1577-1643).
Teoremas de Pappus-Guldin PappusSuperfcie de revoluoCurva geratriz
y
Curva geratriz
y
Eixo de revoluo
z
xSuperfcie de revoluo
x
Eixo de revoluo
Teoremas de Pappus-Guldin Pappus1 Teorema de Pappus-GuldinA rea de uma superfcie de revoluo dada pelo produto do comprimento da curva geratriz pela distncia percorrida pelo centride da mesma durante a gerao da superfcie em pauta.L C
yx
d
A = 2 ydL
A = dA
dA = 2ydL dL
A = 2ydL dL
A = 2yL
A = dL
Teoremas de Pappus-Guldin PappusSlido de revoluoSuperfcie geratriz Superfcie geratriz
y
y
z
xEixo de revoluo
xSlido de revoluo Eixo de revoluo
Teoremas de Pappus-Guldin Pappus2 Teorema de Pappus-GuldinO volume de um slido de revoluo dado pelo produto da rea da superfcie geratriz pela distncia percorrida pelo centride da mesma durante a gerao do slido em pauta.
C A
yx
d
V = 2 ydA
V = dV
dV = 2ydA dA
V = 2ydA dA
V = 2yA
V = dA
Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo: Exemplo: pDetermine o volume e a rea superficial do slido mostrado mostrado.
Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo do volume pelo 2 Teorema de Pappus-Guldin20mm 20mm B D 50mm E
C
Eixo de revoluoA 20mm
c
60mm
Superfcie geratriz
V SR = cA SG = QSG ER
Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo do volume pelo 2 Teorema de Pappus-Guldin (cont.)20mm 20mm B D 50mm ED E B E B D
C60mm m
c
=A SG A 1
_A 2
A 20mm
QSG = Q1 Q 2 ER ER ERQSG = ER 70 60 70 20 60 20 + 20 + 20 2 2 3 3
QSG = 75000 mm 3 ER
V SR = 75000 mm 3
Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo da rea pelo 1 Teorema de Pappus-Guldin20mm 20mm B D 50mm E
C
Eixo de revoluoA 20mm
c
60mm
Curva geratriz
A S = A SR + 2A ADE = cLCG + 2A ADE = Q CG + 2A ADE ER
Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo da rea pelo 1 Teorema de Pappus-Guldin (cont.)20mm 20mm B D 50mm ED E D 3 2 A CG A A D 1 E E
C60mm m
c
=
A 20mm
Q CG = Q1 + Q 2 + Q 3 ER ER ER ERQ CG = 50 ER 40 + 90 90 + 20 40 + 20 + 70 2 + 60 2 + 20 2 + 60 2 2 2 2
Q CG = 10218,1 mm 2 ER
A S = 10218,1 + 50 60 = 35101,2 mm 2