FACENS FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA

TEORIA DAS ESTRUTURAS

O PROCESSO DOS ESFOROS

Prof. JOS LUIZ F. de ARRUDA SERRA

SUMRIO

01. Introduo 01

02. Conceitos fundamentais ...........................................................................................01

03. Exemplos de estruturas hiperestticas .....................................................................02

3.1 Trelias 02

3.2 Estruturas aporticadas .....................................................................................02

04. Soluo de estruturas hiperestticas pelo Processo dos Esforos ...........................04

05. Exemplo nmero 1 ...............................................................................................05

06. Exemplo nmero 2 ...............................................................................................09

07. Exemplo nmero 3 variao de temperatura ........................................................12

08. Exemplo nmero 4 estrutura atirantada ................................................................14

09. Exemplo nmero 5 trelia hiperesttica ...............................................................16

10. Exerccios propostos ................................................................................................18

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O PROCESSO DOS ESFOROS (edio beta abril de 2000)

1. Introduo

O Processo dos Esforos, tambm chamado Mtodo das Foras, um processo de clculo para a determinao dos esforos em estruturas hiperestticas. Este processo, assim como o Processo de Cross e o Processo dos Deslocamentos que sero vistos oportunamente, baseiam-se nas hipteses de clculo do Mtodo Clssico, fornecendo portanto os mesmos resultados aps a anlise.

As hipteses fundamentais do Mtodo Clssico para soluo de problemas referentes s estruturas reticulares - formadas por barras - so:

1) Validade das equaes de equilbrio da Mecnica Geral;

2) Continuidade da estrutura, caracterizada pelo fato de no apresentarem pontos angulosos as linhas elsticas das barras cujos eixos tambm no tenham pontos angulosos (estes, se houver, sero considerados como ns) e de se conservarem constantes os ngulos entre as tangentes s linhas elsticas nos ns;

3) Aplicabilidade das hipteses da Resistncia dos Materiais para materiais elsticos (proporcionalidade entre tenses e deformaes, conservao das sees planas);

4) Superposio de efeitos, isto , o efeito produzido por um conjunto de aes (cargas, temperatura, etc.) igual a soma dos efeitos destas aes atuando isoladamente.

2. Conceitos fundamentais

Estrutura isosttica ......... : aquela para a qual as equaes de equilbrio da Mecnica Geral so suficientes para a determinao de todos os esforos externos e internos.

Estrutura hiperesttica ... : aquela para a qual as equaes de equilbrio da Mecnica Geral no so suficientes para a determinao de todos os esforos externos e internos; h necessidade de se estabelecer equaes de compatibilidade de deslocamentos.

Incgnitas hiperestticas : so os esforos externos ou internos que existem a mais do que aqueles que podem ser determinados com as equaes de equilbrio. Tambm recebem o nome de redundantes.

Grau de hiperestaticidade: o nmero de incgnitas hiperestticas ou redundantes da estrutura.

Hiperestaticidade externa: o nmero de reaes de apoio superior a trs.

Hiperestaticidade interna: o nmero de incgnitas hiperestticas supondo conhe-cidas todas as reaes. Ocorre em geral quando um conjunto de barras no todas articuladas entre si, formam uma poligonal fechada.

Naturalmente o grau de hiperestaticidade (total) a soma do externo mais o interno, e o que influi na soluo.

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3. Exemplos de estruturas hiperestticas

3.1 Trelias

Chamando de b o nmero de barras e n o nmero de ns, e lembrando que um apoio mvel pode ser substitudo por uma barra e o apoio fixo por duas, tem-se a relao (exceto os casos excepcionais):

b < 2n sistema mvel ou cadeia cinemtica

b = 2n trelia isosttica

b > 2n trelia hiperesttica

O grau de hiperestaticidade da trelia o nmero de barras que supera 2n.

Convm recordar aqui que a condio b = 2n necessria mas no suficiente para que a trelia seja isosttica. Assim, podem ocorrer casos excepcionais em que esta expresso satisfeita mas a trelia no isosttica. A maioria dos casos excepcionais podem ser percebidos intuitivamente, enquanto que os casos mais sutis podem ser determinados por no apresentarem soluo, ou o sistema de 2n equaes obtido pela aplicao das equaes de equilbrio SX = 0 e SY = 0 para cada n no tem soluo definida, isto , o determinante dos coeficientes nulo.

3.2 Estruturas aporticadas

A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas a tcnica da rvore. A rvore uma estrutura em balano, ou seja, engastada na terra (engastamento dado atravs das razes = trs vnculos) e com galhos (barras) ligadas por ns rgidos sem formar anel, isto , sem fechar. Como a rvore isosttica, deve-se procurar atravs de trocas e retiradas de vnculos transformar a estrutura em uma ou vrias rvores separadas.

Quando estiver formando um anel, h necessidade de abrir o anel atravs de um corte. Uma chapa ao ser cortada perde trs barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Uma barra interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra vincular. Cada articulao para se transformar em n rgido precisa receber mais uma barra vincular.

Aps transformar a estrutura em uma ou vrias rvores, o nmero de barras vinculares retiradas que no foram repostas para transformar as eventuais articulaes em ns rgidos, o grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade o nmero de barras vinculares que supera trs.

A figura 3.1 mostra vrios exemplos e tipos de estruturas indicando o respectivo grau de hiperestaticidade.

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Figura 3.1 Exemplos de graus de hiperestaticidade

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4. Soluo de estruturas hiperestticas pelo Processo dos Esforos

A soluo de estruturas hiperestticas utilizando o Processo dos Esforos feita atravs de uma superposio de efeitos e estabelecimento de um sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos. O primeiro passos determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura e transform-la em uma estrutura isosttica pela retirada dos vnculos em excesso, definindo-se as incgnitas hiperestticas. A estrutura isosttica obtida denominada Estrutura Isosttica Fundamental (EIF).

Vrios exemplos sero resolvidos com comentrios quando se fizerem necessrios para a compreenso do processo que pode ser resumido como segue:

Caso se tenha uma estrutura n vezes hiperesttica, adota-se n incgnitas hiperestticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isosttica Fundamental (E.I.F.). A aplicao conveniente do Princpio de Superposio de Efeitos conduz equao de superposio:

(r) = (0) + X1 (1) + X2 (2) + ... + Xn (n)

na qual: (r) = problema real

(0) = problema zero: Estrutura Isosttica Fundamental (E.I.F.), submetida apenas ao carregamento dado.

(1) = problema um: E.I.F. submetida apenas a um esforo unitrio na direo e sentido de X1.

(2) = problema dois: E.I.F. submetida apenas a um esforo unitrio na direo e sentido de X2.

M

(n) = problema ene: E.I.F. submetida apenas a um esforo unitrio na direo e sentido de Xn.

Como a equao de superposio de efeitos (r) = (0) + X1(1) + X2(2) + ... + Xn(n) vale para qualquer esforo ou deslocamento, pode-se aplic- la para os deslocamentos nas direes e sentido das incgnitas hiperestticas, obtendo-se um sistema linear de equaes de grau n, conhecido como sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos:

D1real = D10 + d11X1 + d12X2 + ... + d1nXn

D2real = D20 + d21X1 + d22X2 + ... + d2nXn

M

Dnreal = Dn0 + dn1X1 + dn2X2 + ... + dnnXn

Notao: Direal = deslocamento na direo e sentido de Xi no problema real. Em geral igual a zero, exceto se houver recalque correspondente incgnita Xi.

Di0 = deslocamento na direo e sentido de Xi na E.I.F. devido ao carregamento (deslocamentos no problema zero).

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d ij = deslocamento na direo e sentido de Xi na E.I.F. devido a um esforo unitrio na direo e sentido de Xj (deslocamentos no problema jota)

O sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos usando a notao matricial pode ser escrito:

[d i j] {Xi} = {Direal - Di0}

Os deslocamentos d ij so denominados coeficientes de flexibilidade e [d ij] a matriz de flexibilidade.

Os deslocamentos so calculados atravs do P.T.V.:

++=D dsEANN

dsGA

QcQds

EIMM 101010

10

++=d dsEANN

dsGA

QcQds

EI

MM jijijiij

Para os casos usuais de estruturas lineares de ns rgidos, as parcelas dos deslocamentos causados pelos esforos cortantes (Q) e foras normais (N) so desprezveis em face da parcela devido ao momento fletor.

As integrais so estendidas a toda a estrutura e o sistema de equaes simtrico, pois d ij = d ji (teorema da reciprocidade de Maxwell).

Aps resolvido o sistema [d i j] {Xi} = {D ireal - Di0}, os valores dos esforos obtidos para as incgnitas X1 , X2 , ... , Xn , alm do carregamento original, devem ser aplicados na E.I.F. para a soluo final dos itens desejados.

5. Exemplo nmero 1

Determinar os diagramas de M e Q da viga contnua da figura 5.1. O produto de rigidez flexo EI constante e como usual nos clculos manuais das estruturas reticulares formadas por barras, o efeito do esforo cortante nas deformaes ser desprezado.

Figura 5.1 Exemplo nmero 1

A viga da figura 5.1 uma vez hiperesttica. Teoricamente existem infinitas alternativas para transform-la em uma estrutura isosttica com a retirada de um vnculo

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externo ou interno. Naturalmente deve-se procurar uma estrutura isosttica bsica ou fundamental simples, via de regra simplesmente apoiada ou eventualmente articulada nos ns intermedirios.

A figura 5.2 mostra quatro opes para a Estrutura Isosttica Fundamental (EIF). As opes a) e c) foram obtidas pela retirada de um vnculo externo reaes de apoio. As opes b) e d) mantiveram intactas as vinculaes da viga, retirando vnculos internos correspondentes ao momento fletor, ou seja, introduzindo articulaes. As opes a) e b) so mais aconselhveis por manter a simetria da estrutura.

Figura 5.2 Opes para estrutura isosttica fundamental

Vamos adotar a opo a). Separando o carregamento aplicado da incgnita X1, podemos aplicar a superposio de efeitos conforme ilustra a figura 5.3.

Figura 5.3 Superposio de efeitos

Substituindo-se o apoio B pelo valor da reao, que por ser incgnita chamamos de X1, continuamos a ter a mesma situao do problema real. O sentido adotado para a incgnita define o sentido positivo para os esforos e deslocamentos naquela direo. Assim, os

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deslocamentos D1real, D10 e d11, so medidos na direo da incgnita e sero positivos se estiverem no mesmo sentido adotado para X1.

Convm notar que D1real, ou seja, o deslocamento na direo e sentido de X1 no problema real nulo, sendo diferente de zero apenas se houver recalque no apoio B, cujo valor deve ser conhecido. D10 o deslocamento na direo e sentido de X1 no problema zero estrutura isosttica fundamental submetida ao carregamento dado - e no caso analisado certamente dever resultar atravs dos clculos negativo, pois sabe-se que a elstica da viga do problema (0) se desenvolve para baixo e o sentido positivo do deslocamento D10, imposto pela orientao adotada para X1 para cima. O conhecimento prvio do sentido dos deslocamentos no necessrio, sendo conveniente avali- los nos casos simples apenas com o intuito de controle dos clculos, evitando erros grosseiros.

O problema um a aplicao de uma carga unitria na direo e sentido da incgnita que foi colocada em evidncia multiplicando o carregamento unitrio. A notao tradicional para os deslocamentos usar-se letras gregas maisculas para os deslocamentos dos problemas real e zero e gregas minsculas nos outros problemas. Os ndices dos deslocamentos seguem o padro: o primeiro ndice indica o local do deslocamento e o segundo a causa (ou problema); em outras palavras (deslocamento)ij o deslocamento na direo e sentido de Xi, no problema j.

A equao que retrata a superposio da figura 5.3, :

(r) = (0) + X1 (1) ................................................................................ (5.1)

Esta equao de superposio vale para qualquer esforo ou deslocamento. Aplicando para os deslocamentos na direo da incgnita hiperesttica, temos:

D1real = D10 + X1 d11 ........................................................................... (5.2)

Esta equao recebe o nome de equao de compatibilidade de deslocamento. A nica incgnita nesta equao X1, pois D1real nulo neste problema e os deslocamentos D10 e d11 so deslocamentos em estrutura isosttica com carregamentos conhecidos, podendo ser determinados atravs do PTV, utilizando a tcnica da carga unitria.

Para o clculo de D10, o problema (0) o estado de deslocamento e o estado de carregamento unitrio correspondente ao deslocamento D10 o problema (1). Analogamente, para o clculo de d11, o problema (1) o estado de deslocamento e tambm o estado de carregamento unitrio. Assim, D10 ser determinado combinando-se M0 com M1 e d11 resultar da combinao de M1 com M1.

A figura 5.4 mostra os diagramas de momento fletor M0 e M1, correspondentes aos problemas (0) e (1), respectivamente.

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Figura 5.4 Diagramas de momento fletor

A aplicao da tcnica da carga unitria fornece, desprezando-se os efeitos da fora cortante nas deformaes:

=d=d

=D=D

dsMMEIdsEIMM

dsMMEIdsEI

MM

111111

11

101010

10

................................................ (5.3)

Ou,

24p5

2p

2125

2EI42

10lll

l -=-=D .......................................................... (5.4)

ll

l p45

431

2EI2

11 ==d ........................................................................... (5.5)

A equao de compatibilidade de deslocamentos fica:

11

1011111011110real1 XX0X d

D-=d+D=d+D=D .......................... (5.6)

lp45

X 1 = .......................................................................................... (5.7)

Com o valor de X1 conhecido, qualquer esforo ou deslocamento na estrutura hiperesttica real pode ser determinado atravs da superposio do problema (0) mais X1 vezes o problema (1):

Zr = Z0 + X1 Z1 (Z esforo ou deslocamento qualquer)................................ (5.8)

Alternativamente, pode-se resolver a estrutura isosttica fundamental adotada, carregada com as cargas dadas mais a incgnita aplicada como carga externa. Usando este procedimento, tem-se os diagramas de M e Q conforme figura 5.5.

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Figura 5.5 Diagramas finais

6. Exemplo nmero 2

Resolver o prtico da figura 6.1 de EI constante.

Figura 6.1 Exemplo nmero 2

Trata-se de uma estrutura duas vezes hiperesttica. A figura 6.2 mostra trs opes para escolha das incgnitas hiperestticas e as respectivas estruturas isostticas fundamentais resultantes. Naturalmente o resultado final ser o mesmo qualquer que seja a opo escolhida, variando apenas os clculos durante o desenvolvimento da soluo. A incgnita X1 ter o mesmo valor nas opes a) e c), assim como a incgnita X2 ser igual nas opes a) e b), pois so os valores finais das reaes respectivas no problema real.

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Figura 6.2 Opes para estrutura isosttica fundamental

Adotando-se a opo a), temos o esquema esttico ou superposio de efeitos apresentado na figura 6.3, a qual inclui os diagramas de momento fletor dos problemas (0), (1) e (2).

Figura 6.3 Superposio de efeitos

Os deslocamentos, multiplicados pelo produto EI = constante valem:

20110 tm915,431

6dsMMEI -=-==D

30220 tm3645,431

6dsMMEI -=-==D

11

m6131

614dsMMEI 221111 =+==d

3222222 m3160

431

6431

4dsMMEI =+==d

2212112 m164131

64121

4dsMMEIEI =+==d=d

O sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos [d ij] {Xi} = {Direal - Di0}, fica, lembrando que Direal = 0:

10212111 XX D-=d+d 6 X1 + 16 X2 = 9 ou 20222121 XX D-=d+d 16 X1 + 160/3 X2 = 36

Resolvendo, temos:

X1 = - 1,500 tm

X2 = + 1,125 t

A figura 6.4 mostra a estrutura isosttica fundamental com o carregamento dado e as incgnitas aplicadas. As reaes de apoio foram determinadas e os diagramas dos esforos solicitantes M, Q e N desenhados (exceto para N por ser constante nos trechos), concluindo a soluo.

Figura 6.4 Resultados finais

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7. Exemplo nmero 3 variao de temperatura

Supondo que o prtico do exemplo anterior (figura 6.1) ao invs do carregamento sofra um acrscimo de temperatura nas fibras externas de 40o C, determinar os diagramas de M, Q e N.

O coeficiente de dilatao trmica vale 1,2 10-5 oC-1, o mdulo de elasticidade E vale 2 106 tm2 e a seo transversal das barras retangular com base b = 0,30m e altura h = 0,50m (h sempre no plano da figura).

Adotando-se a mesma estrutura isosttica fundamental usada para a soluo do exemplo anterior, no haver alterao na matriz de flexibilidade da estrutura, ou seja, os deslocamentos d ij no se alteram, pois os problemas (1) e (2) da superposio so os mesmos. Apenas o problema (0) alterado; agora os deslocamentos e deformaes so devido a uma variao no uniforme de temperatura ao invs do carregamento. A figura 7.1 mostra a superposio de efeitos e os diagramas das deformaes no problema (0) e dos esforos solicitantes nos problemas (1) e (2).

Figura 7.1 Exemplo nmero 3 variao de temperatura

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Neste caso, a variao de temperatura mdia no eixo da barra vale 20o C e o gradiente de temperatura (dt/h), vale 40/0,5 = 80 oC/m. As deformaes diferenciais du e dj, na direo da normal e do momento no problema (0) valem respectivamente:

du = aDt mdiods = 24 10-5 m

dj = agradienteds = 96 10-5 radianos

Os deslocamentos D10 e D20 no problema (0) e nas direes de X1 e X2 respectivamente, valem:

j+=D dMduN 1110

j+=D dMduN 2220 Cuidado especial deve ser tomado na avaliao do sinal resultante das integrais acima; elas sero positivas quando as deformaes du e dj forem concordantes com os esforos correspondentes N e M. Para evitar confuso, na figura 7.1 foram desenhados os diagramas de du - considerado positivo se h aumento de temperatura e portanto alongamento da barra e de dj - desenhado do lado da fibra distendida, em concordncia com a conveno adotada para o grfico de M. Assim, os valores de D10 e D20 podem ser avaliados normalmente atravs das tabelas do produto de duas funes:

m106561096121

6109614102461

4 555510---- =++-=D

m1017121096421

)64(102416102432

4 555520---- =++--=D

Os valores de d11, d22 e d12 = d21 a menos do produto EI j foram calculados no exemplo anterior. Assim, multiplicando-se os valores de D10 e D20 por EI, tem-se:

E = 2 106 t/m2

I = bh3/12 = 3,125 10-3 m4

EI = 6250 tm2 10212111 EIXEIXEI D-=d+d 6 X1 + 16 X2 = - 41 ou 20222121 EIXEIXEI D-=d+d 16 X1 + 160/3 X2 = - 107

Resolvendo, obtm-se:

X1 = - 7,417 tm

X2 = + 0,219 t

A figura 7.2 mostra os esforos finais na estrutura e os diagramas pedidos.

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Figura 7.2 Resultados finais

8. Exemplo nmero 4 estrutura atirantada

No caso de estruturas atirantadas, a deformao por fora normal no tirante naturalmente deve ser considerada, pois a nica que atua nesta pea da estrutura.

A figura 8.1 mostra uma viga em balano AB, de rigidez flexo EI = 103 tm2, reforada por um tirante de rigidez axial EA = 2,5 103 t. A mesma figura ilustra o esquema esttico ou superposio de efeitos adotando-se como incgnita hiperesttica o esforo normal no tirante. Mostra tambm os diagramas de momento fletor M0 e M1 na barra AB correspondentes aos problemas (0) e (1) e o valor constante da fora normal N1 = 1 no tirante apenas no problema (1), pois no problema (0) o valor do esforo normal N0 no tirante nulo. Os efeitos da fora cortante e fora normal na deformao da viga AB sero desprezados conforme o procedimento usual adotado para as barras com flexo.

Os deslocamentos D10 e d11 valem:

=D=D viga 10viga 1010

10 dsMMEIoudsEIMM

+=d+=d viga tirante viga tirante2111

21

21

11 EAEI

dsMEIoudsEAN

dsEIM

l

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Figura 8.1 Exemplo nmero 4 Estrutura atirantada

Efetuando-se os clculos:

310 tm52,114,28,441

4EI -=-=D

33

32

11 m68,95105,210

4,231

4EI =

+=D

Aplicando-se a equao de compatibilidade de deslocamentos:

D1real = D10 + X1 d11

0 = - 11,52 + X1 9,68

da, X1 = 1,19 t

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A figura 8.2 apresenta os diagramas finais obtidos.

Figura 8.2 Exemplo nmero 4 Resultados finais

9. Exemplo nmero 5 trelia hiperesttica

A figura 8.1 mostra uma trelia uma vez hiperesttica internamente (b=13, n=6), de barras com rigidez axial EA constante. Como a estrutura isosttica externamente h necessidade de adotar-se como incgnita hiperesttica um esforo interno, tendo sido escolhida a fora normal na barra 5-6 conforme ilustra a mesma figura, mostrando tambm a respectiva superposio de efeitos.

Os deslocamentos D10 e d11 valem:

=D=D ll 10101010 NNEAouEANN

=d=d ll 211121

11 NEAouEAN

A tabela 8.1 organiza os valores necessrios para o calculo dos somatrios.

t944,050,1375,12

EAEA

X,dai11

10

11

101 -=

-=

dD-

=dD-

=

Com X1 determinado, obtm-se Nr = N0 - 0,944 N1, conforme consta na tabela 8.1. A figura 8.2 apresenta os resultados finais.

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Figura 8.1 Exemplo nmero 5 - Trelia

Tabela 8.1

Barra l N0 N1 N0 N1 l N12 l Nr=N00,944N1

1-2 2,0 + 4,00 0 0 0 + 4,000 2-3 2,0 + 4,00 + 1,00 + 8,00 + 2,00 + 3,056 3-4 2,0 + 3,00 0 0 0 + 3,000 1-5 2,5 - 1,25 0 0 0 - 1,250 5-6 2,0 0 + 1,00 0 + 2,00 - 0,944 4-6 2,5 - 3,75 0 0 0 - 3,750 2-5 1,5 0 + 0,75 0 + 0,84375 - 0,708 3-5 2,5 - 1,25 - 1,25 + 3,90625 + 3,90625 - 0,069 2-6 2,5 0 - 1,25 0 + 3,90625 + 1,181 3-6 1,5 + 0,75 +0,75 + 0,84375 + 0,84375 + 0,042

S 12,75 +13,50

Figura 8.2 Exemplo nmero 5 Resultados finais

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10. Exerccios propostos

Para as estruturas das figuras abaixo, traar M, Q e N (respostas ao lado). 01)

02)

03)

19

04)

05)

06)

07)

20