2. FORCAS HIDROSTATICA

7/18/2019 2. FORCAS HIDROSTATICA

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Universidade Estadual do Maranhão – UEMACentro de Ciências Tecnológicas – CCTDepartamento de Hidráulica e aneamentoDisciplina! Mec"nica dos #luidosData! $%&'(&)'$$

São Luís, 2011

Estática dos #luidosEstática dos #luidosDetermina*ão de #or*as em

uper+,cies u-mersas

Profº Fernando [email protected]



!ão de fluidos sobre su"erfícies submersas. #$.% barra&ens.

#'uilíbrio de cor"os flutuantes. #$.% embarca!(es.

!ão do vento sobre constru!(es civis.

#studos de lubrifica!ão.

)rans"orte de s*lidos "or via "neum+tica ou idr+ulica. #$.% elevadores

idr+ulicos.

-+lculo de instala!(es idr+ulicas. #$.% instala!ão de recal'ue.

-+lculo de m+'uinas idr+ulicas. #$.% bombas e turbinas.

nstala!(es de va"or. #$.% caldeiras.

!ão de fluidos sobre veículos /erodinmica.

Aplica*.es da Mec"nica dos #luidos



Estática dos #luidos

o estudo em 'ue os fluidos estão na aus3ncia de movimentosrelativos, o 'ue im"lica na aus3ncia de tens(es de cisalamentos.

Portanto, os fluidos tanto em movimento 'uanto em re"ouso sãoca"a4es de su"ortar a"enas tens(es normais.

Aplica*ão da estática!

-alcular for!as sobre ob5etos submersos6

7esenvolver instrumentos "ara medi!ão de "ressão6

7edu4ir "ro"riedades da atmosfera e dos oceanos6 7esenvolver as for!as desenvolvidas "elos sistemas idr+ulicosem a"lica!(es como "rensas industriais ou freios de autom*veis.




$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos

)i"os de for!as a serem consideradas%

For!as de cam"o% &ravidade dF8

For!as de su"erfícies% "ressão 9 dFS




$& 1ressão num 1onto Estático





#or*as de campo% &ravidade

"licando a 2: Lei de ;e<ton a um elementofluido diferencial de massa

de lados d$d=d4.

dxdydz d =∀ Onde > o vetor &ravidade, s > a massa es"ecífica e dv > o volume doelemento. #m coordenadas cartesianas, de modo 'ue%

dxdydz d =∀

Para um elemento diferencial, a for!a de cam"o >%

g





#or*a de super+,cie% Pressão

Se5a a "ressão " a "ressão no "onto O, do elemento da Fi&ura 1. trav>sda s>rie de )a=lor da "ressão em torno do "onto 0, as "ress(es resultanteserão%

;um fluido est+tico, nenuma tensão cisalante "ode estar"resente.

for!a lí'uida de "ressão num fluido est+tico fa49se somando asfor!as em todas as faces do elemento fluido.





As força resultante de pressão que atuam na

superfície na face X do elemento diferencial,

é dado:

dydz dx x p P dydz dx

x p P s F d

∂∂+−

∂∂−=

22

dxdz dy y p P dxdz dy

y p P s F d

∂∂+−

∂∂−=

22

Dire*ão 2!

7e modo an+lo&o nas faces ? e %

dxdydz

z

p P dxdy

dz

z

p P s F d

∂∂

+−

∂∂

−=22





&ru"ando e sim"lificando os termos em um cam"o vetorial, temos 'ue%

dxdydz k z

p j

y

pi

x

p s F d

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= ˆˆˆ

Onde os termos entre "ar3nteses > um o"erador &radiente, "odendo serre"resentado da se&uinte forma%

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂k

z

p j

y

pi

x

p ˆˆˆ p∇ A

pdxdydz s F d −∇=

#ntão%

∀−∇= pd s F d , "odendo ser escrita%



∀== d adma F d ρ


Para uma "artícula fluida, a se&unda lei de ;e<ton fornece 'ue%

0=aPara um fluido est+tico, 0==∀

ad

F d ρ #ntão%

Fa4endo as devidas substitui!(es, "odemos finalmente obter%

0)( =+−∇ g p ρ





0)( =+−∇ g p ρ


e'ua!ão "ode ser ainda ser escrita em fun!ão de seus com"onentesescalares, lo&o%

#sta e'ua!ão si&nifica 'ue as for!as resultantes "or unidade de volume em um "onto 33 as for!as de cam"o /&ravidade"or unidade de volume em um "onto > i&ual a 4ero.

0=+∂

∂− x g

x

p ρ

0=+∂∂− y g y p ρ

0=+∂

∂− z g

z

p ρ

7ire!ão $

7ire!ão =

7ire!ão =





Para sim"lificar iremos escoler um sistema de coordenada em 'ue ovetor &ravidade este5a alinado com um de seus ei$os. ;este caso%

0=∂

∂−

x p

0=

∂

∂−

y

p

g z

p ρ −=

∂

∂

0= x g

0= y g

)(↑−= g g z





-om as sim"lifica!(es a e'ua!ão finalmente se redu4 a%

g z

p ρ −=

∂

∂

Podendo ser escrita na se&uinte forma%

γ ρ =−= g dz

dp

Cuando%

$& #luidos est+tico6

)& A &ravidade for a Dnica for!a de cam"o6

%& 4 ei$o 4 > vertical e "ara cima.

Esta é a equação que relaciona pressão e altura da estática dos fluidos.




$& 5aria*ão de 1ressão com #luido 6ncompress,vel

varia!ão da massa es"ecífica normalmente "ode ser des"re4ível,neste caso "odemos inte&rar a e'ua!ão da est+tica dos fluidos entre duaseleva!(es diferentes. Lo&o, %

∫ ∫ −=2

1

2

1

Z

Z P

dz

p

dp γ

Podendo ser reescrita da forma%

h P P γ −=− 12

)( 1212 Z Z P P −−=− γ

ou h P P γ += 21





Onde > i&ual a dista 2 E 1 /"rofundidade medida a "artir de P2

h P P γ += 21

Se considerarmos a "ressão de su"erfície livre como a "ressão derefer3ncia P0 /esta "ressão usualmente > a "ressão atmosf>rica. Seconsiderarmos P2 A P0 a e'ua!ão anterior ficar+.

h P P γ +=

01

Onde a "ressão em 'ual'uer "rofundidade abai$o da su"erfície livre "odeser escrita como%

h P P γ += 0




h P P γ += 0


e'ua!ão informa 'ue a distribui!ão de "ressão num fluido omo&3neo,incom"ressível e em re"ouso > fun!ão a"enas da "rofundidade do fluido /emrela!ão a um "lano de refer3ncia e > inde"endente da forma do reci"iente.

#igura % #'uilíbrio de um fluido em reci"iente arbitr+rio



)& Determina*ão de #or*as em uper+,cies

u-mersas 1lanas

"ossível detectar a "resen!a de for!as na su"erfícies dos cor"os 'ueestão submersos nos fluidos.. determina!ão destas for!as são im"ortantes no"ro5eto de tan'ues de arma4enamento de fluidos, navios, barra&ens e outrasestruturas idr+ulicas.

Sabe9se 'ue a for!a com 'ue os fluidos atua nas su"erfícies "recisa ser"er"endicular a ela 'uando o fluido est+ em re"ouso/ "ois t são nulas.

for!a de "ressão 'ue atua sobre um elemento d de uma su"erfície"lana > dada "or%

h p γ =

pA Fr =

Onde pp > a "ressão na su"erfície inferior e AA > a +rea destasu"erfície.

Para uma su"erfície "lana não inclinada a "ressão relativa 'ueatua na su"erfície ser+%

hA Fr γ =⇒



Para uma superfície inclinada, "recisaremos somar as for!as diferenciais'ue atuam sobre a su"erfície 'ual'uer de +rea d.

)&$ Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas



Somando todas as for!as 'ue a&em sobre a +rea e considerando 'ue

θ ysenh =

∫ = hdA Fr γ

s for!as diferenciais 'ue atuam sobre a su"erfície 'ual'uer de +rea d

"odem ser re"resentadas "or%

⇒

Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas



θ ysenh =

∫ = hdA Fr γ

Somando todas as for!as 'ue a&em sobre a +rea e considerando 'ue

∫ ∫ == dA ysenhdA Fr )( θ γ γ →

-onsiderando 'ue e são constantes.θ ρ

∫ = ydA sen Fr θ γ

inte&ral da e'ua!ão anterior > o momento de "rimeira ordem em rela!ãoa x . 7este modo "odemos escrever%

A y ydA c=∫ Onde =c > a coordenada do centr*ide medido a"artir do ei$o x x 'ue "assa atrav>s de

∫ ∫ == dA ysenhdA Fr )( θ γ γ

∫ = ydA sen Fr θ γ

θ




Lo&o a determina!ão da for!a resultante "ode ser escrita%

θ sen Ayγ Fr c!

-onsiderando a altura como teremos 'ue%

Ah Fr cg γ =#sta e'ua!ão indica 'ue o m*dulo da for!a resultante > i&ual a "ressão no

centr*ide multi"licada "ela +rea total da su"erfície submersa.

Neste caso a força somente do peso específico, da área total e da profundidadeNeste caso a força somente do peso específico, da área total e da profundidade

do centróide da área da superfíciedo centróide da área da superfície.


θ sen yh ccg =



)&$&$ Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9

Para locali4ar esta for!a F, "rocedemos como na mecnica est+tica considerandoos momentos.




Para su"erfícies "lanas a "artir da e'ua!ão Fr A " "ode9se dedu4ir 'ue Fr

atravessa o centr*ide.

;o entanto, no caso mais &eral, "ara superfícies inclinadassuperfícies inclinadas, a su"erfície

submersa forma um n&ulo Θ com a su"erfície do fluido, onde a "ressão >

linearmente vari+vel, e a resultante dessa "ressão "assa obri&atoriedade, "eloseu centro de &ravidade e > "er"endicular su"erfície submersa, uma ve4 'ue

não + nenuma for!a de cisalamento "resente.

;a fi&ura, o centr*ide de "lano inclinado est+ deslocado da "osi!ão do

centr*ide /-G do "lano ori4ontal devido a varia!ão da "ressão com a

"rofundidade. ssim, o "onto de a"lica!ão da for!a resultante ser+ o seu centro

de "ressão /-P.




Momento da for!a resultante em rela!ão a um ei$o : Momento das for!asdistribuídas em rela!ão a um mesmo ei$o.

for!a resultante F não atua no centr*ide, mas abai$o dele, na "arte de maiores"ress(es.

Sua lina de a!ão "assa atrav>s do centro de "ressão -P da "laca.

7etermina!ão do centro de "ressão /lina de a!ão, Hc" e ?c".

Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9

Considera*.es!


∫ = ydF F y R

r

Agora precisa;se determinar a #or*a em rela*ão aos dois ei<os= ou se>a=

29 e ?9



∫ = ydF F y R

r θ γ sen Ay Fr c=onde hdAdF γ =∫

∫ = ydF sen sen Ayc θ γ θ γ

e'ua!ão ficar+%

∫ = dA y A yY cr "


Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a Y relação a Y

Lo&o%



e'ua!ão ficar+% A y

dA yY

c

r ∫ ="

x I dA y =∫ " inte&ral

> o se&undo momentose&undo momento ou momento de inérciamomento de inércia da +rea em rela!ão ao ei$o $. Lo&o,"ode9se escrever a rela!ão%

A y

I Y

c

xr =



yc xc x A I I +=

determina!ão do valor de $ "ode ser determinado atrav>s dos Eixos Paralelos.

Para isso, fa!amos uma transla!ão em torno do ei$o $ de modo 'ue ele "asse pelocentróide da su"erfície submersa.

;este caso o valor do momento de in>rcia ser+%



#ntão "odemos e$"ressar 'ue%

A y

Ay I

Y c

c xcr

"+

= → c

c

xcr

y A y

I

Y +=

40.%#sta e'ua!ão mostra 'ue Fr não "assa "elo centr*ide, mas sem"re atua

abai$o dele /$c I =c J 0. Ou ainda% ?B E ?- J 0, "ois =c > sem"re "ositivo.



4 valor de 66<c<c > o momento de se&unda ordem em rela!ão ao ei$o 'ue passa passa

no centróideno centróide e > "aralelo ao ei$o $.



Para determinar a coordenada Hc o "rocedimento > an+lo&o, de modo 'ue%

∫ = xdF X F cr

A y

xydA Xc xdA y X

c

cc

∫ ∫ =→=onde

Ktili4ando o )eorema do #i$os Paralelos%

Iy xydA∫ =

cc xy y y Ax I I +=

Prosse&uindo%

#ntão "odemos escrever da se&uinte forma%

c

c

xy

c

cc xy xy x

A y

I

A y

y Ax I X +=

+=


Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a X relação a X



40. 7e acordo com estas e'ua!(es um aumento de =c "rovoca uma

a"ro$ima!ão do centro de "ressão "ara o centr*ide da +rea. )amb>m temos

'ue =c A cIsen0 aumentar+, ou se "ara uma dada "rofundidade, a +rea for

rotacionada de modo 'ue o n&ulo diminua.


Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a X relação a X

4 valor de 66<@<@ > o "roduto de in>rcia em rela!ão ao sistema de coordenadasorto&onal 'ue "assa no centr*ide e > "aralelo ao ei$o $.

c

c

xy xy x

A y

I X +=



rea e Momento de 6nBrcia de #iguras Diversas




A +or*a hidrostática e o centro de press.es so-re uma super+,cie curva B

e<pressado do seguinte modo!

Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas

CurvasCurvas



Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas

CurvasCurvas

#or*a hori8ontal

F F H 2= W F F V +=

1

#or*a vertical

F F F V H R

22

+=

Então a +or*a resultante será!



;esta se!ão ser+ desenvolvida a for!a 'ue os fluidos e$ercem

sobre cor"os /"odem ser de dimens(es e formas variados

-onceitos e determina!ão de for!as de em"u$o6

-onceitos e considera!(es sobre flutua!ão6

#stabilidade de cor"o submersos ou "arcialmente submerso.

%& #or*as de #lutua*ão Empu<o



Determina*ão das #or*as de Empu<o

for!a vertical sobre um cor"o, devida "ressão idrost+tica, "ode serencontrada mais facilmente considerando elemento de volume cilíndricossimilares, mostrado na fi&ura abai$o.




varia!ão da massa es"ecífica normalmente "ode ser des"re4ível, nestecaso "odemos inte&rar a e'ua!ão da est+tica dos fluidos entre duaseleva!(es diferentes.

Lo&o, inte&rando a e'ua!ão anterior, ficar+%

Se considerarmos a "ressão de su"erfície livre como a "ressão derefer3ncia P0 /esta "ressão usualmente > a "ressão atmosf>rica. Seconsiderarmos P2 A P0 e 2 E 1A , a e'ua!ão anterior ficar+.

h P P γ += 01

Onde a "ressão relativa em 'ual'uer "rofundidade abai$o dasu"erfície livre "ode ser escrita como%

h P γ =


∫ ∫ −=2

1

2

1

Z

Z P

dz

p

dp γ )( 1212 Z Z P P −−=− γ




O em"u$o vertical sobre o elemento ser+%


γ


% #or*as de #lutua*ão Empu<o



)omando como a altura relativa entre a su"erfície

su"erior e inferior do cor"o imerso.

#ntão "ode finalmente e$"ressar 'ue%

Onde > o volume do ob5eto e "eso es"ecífico do fluido






7efini!ão da #'ua!ão%

e'ua!ão define 'ue a for!a lí'uida vertical devida "ressão, ou em"u$o,

sobre o ob5eto, i&ual a for!a da &ravidade atuante sobre o lí'uido deslocado"elo ob5eto.





1rinc,pio de Ar/uimedes!

Se um cor"o estiver flutuando ou estiver total ou "arcialmente imersonum fluido, sobre este a&e uma for!a vertical de bai$o "ara cima, cu5a

intensidade > i&ual ao "eso do volume de fluido deslocado.

for!a resultante &erada "elo fluido e 'ue atua nos cor"os >

denominada força de flutuação ou empuxo.

#sta for!a li'uida vertical, com sentido "ara cima, > o resultado do

&radiente de "ressão /a "ressão aumenta com a "rofundidade e estafor!a > determinada de modo similar s e'ua!(es da est+tica dos fluidos.





O em"u$o, "ara cima, > e$ercida "elo fluído e deve9se ao fato das"ressão nas re&i(es inferiores do cor"o /F in+ ser su"erior "ressão nas

re&i(es su"eriores /F sup6 O em"u$o não tem com"onente ori4ontal "or'ue as for!as e$ercidas

"elo fluído em cada lado do cor"o são i&uais /e'uilibram9se6

Considera*.es de empu<o so-re corpos imersos num +lu,do em repouso





%&$#lutua*ão de corpos su-mersos

nalisaremos a'ui o com"ortamento de um cor"o associado a suaestabilidade 'uando est+ submerso e "arcialmente submerso /flutuando.

;ormalmente 'uando um cor"o > abandonado em um meio lí'uido,ocorre tr3s diferentes situa!(es de com"ortamento do cor"o.

$& e o peso do corpo B maior /ue o empu<o

)& e o peso e o empu<o são iguais

%& e o peso do corpo +or menor /ue o empu<o&





$& e o empu<o #0 +or menor /ue o peso do corpo F&

O cor"o afunda at> encontrar um obst+culo.

<#ntão o cor"o afundar+ se

<

W F B ≤<





%& e o peso do corpo +or menor /ue o empu<o,

o cor"o > im"elido at> a su"erfície, da 'ual emer&e, ficando mer&uladanuma "or!ão M do seu volume deslocado (volume de carena)(volume de carena), tal 'uemulti"licado "elo "eso es"ecifico do li'uido > i&ual ao "eso do cor"o.

W F B ≥G

G

G






Força resultanteForça resultante= #r de corpos su-mersos

for!a resultante > i&ual ao "eso do cor"o menos o "eso do lí'uido

deslocado /em"u$o.

F P F Bc R −=

∀∀ −= c c! R F γ γ




Km cor"o est+ numa "osi!ão de e'uilíbrio est+vel se, 'uando "erturbado,retorna a "osi!ão de e'uilíbrio ori&inal.

$& E/uil,-rio Estável

%&) Esta-ilidade de corpos su-mersos

* * p




7e modo inverso, o cor"o est+ numa "osi!ão de e'uilíbrio inst+vel se elese move "ara uma nova "osi!ão de e'uilíbrio a"*s ser "erturbado /mesmo'ue a "erturba!ão se5a bastante "e'uena.

$& E/uil,-rio 6nstável


* * p




$& E/uil,-rio eutro

#'uilíbrio neutro ou indiferente E 'uando su5eito a um deslocamento ede"ois abandonado, "ermanece na nova "osi!ão /não re&ressa "osi!ãoori&inal e nem se afasta.


* * p




%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes

* * p




Para cor"os flutuantes se torna sensível, "ois, a locali4a!ão do centrode em"u$o /'ue coincide com o centr*ide do volume de carena "odemudar 'uando o cor"o rotaciona.


* * p





* * p





#or*as de #lutua*ão Empu<o




Cálculo da Altura Metacêntrica! MI




Conclus.es

O estudo sobre as for!as de flutua!ão e estados de e'uilíbrio são

im"ortantes em v+rias +reas da en&enaria. #m es"ecial na #n&enaria

;aval.

Esse estudo pode ser aplicados para pro>etos de!

;avios,

embarca!(es,

submarinos, etc.


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