67792623 4 Analise Estrutural de Navios
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Naval e Oceânica Especialização em Engenharia Naval Módulo 4: Análise Estrutural de Navios Prof. Dr. Oscar Brito Augusto Material de apoio ao curso oferecido na Universidade de Pernambuco – UPE 2007
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Naval e Oceânica
Especialização em Engenharia Naval Módulo 4: Análise Estrutural de Navios Prof. Dr. Oscar Brito Augusto Material de apoio ao curso oferecido na Universidade de Pernambuco – UPE 2007
1 24/03/2007 Texto completo Versão Data Observações
Apostila: ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA NAVAL
Módulo 4: Análise Estrutural de Navios Dept./Unidade Data Autor PNV/EPUSP 2007 Prof. Dr. Oscar Brito Augusto
Curso oferecido pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo na Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco
Programação das aulas:
Data Período Horários Assunto
18:30h – 19:20h Apres.: Professor, alunos e módulo 4
19:20h – 20:10h As ações das cargas e do ambiente
20:10h – 21:00h
29/0
3/20
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Qui
nta-
feira
Noi
te
21:00h – 21:50hArranjo estrutural
18:30h – 19:20h
19:20h – 20:10hBreve revisão de Mec. Sólidos
20:10h – 21:00h
30/0
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Sex
ta-f
eira
Noi
te
21:00h – 21:50hO navio como viga flutuante. Estrutura Primária
08:00h – 08:50h
08:50h – 09:40hTensões normais primárias
09:40h – 10:10hMan
hã
10:10h – 11:00hTensões de cisalhamento primárias
13:00h – 13:50h Estrutura Secundária
13:50h – 14:40h Distribuição de cargas
31/0
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Sáb
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Tar
de
14:40h – 15:30h Chapa Colaborante
Data Período Horários Assunto
18:30h – 19:20h Estrutura Secundária
19:20h – 20:10h Perfis leves
20:10h – 21:00h Perfis pesados
14/1
2/20
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feira
Noi
te
21:00h – 21:50h Grelhas
18:30h – 19:20h A Estrutura Terciária
19:20h – 20:10h Pequenas Deflexões
20:10h – 21:00h Chapas Longas
15/1
2/20
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Sex
ta-f
eira
Noi
te
21:00h – 21:50h Soluções
08:00h – 08:50h Flambagem
08:50h – 09:40h Chapeamento
09:40h – 10:10h Perfis leves Man
hã
10:10h – 11:00h Painéis
13:00h – 13:50h
13:50h – 14:40hComposição de tensões: Primária+Secundária+Terciária
16/1
2/20
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ado
Tar
de
14:40h – 15:30h Sociedades Classificadoras
Índice
1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................................1
1.1. Carregamentos estruturais em navios ..............................................................................1 1.2. Cargas estáticas ...............................................................................................................2 1.3. Cargas dinâmicas .............................................................................................................3 1.4. Cargas ocasionais ............................................................................................................6 1.5. Arranjo Estrutural ............................................................................................................8 1.6. Chapeamento reforçado ...................................................................................................9 1.7. Tipos de cavernamento ...................................................................................................11
2. ESTRUTURA PRIMÁRIA ........................................................................................................22 2.1. O Navio como uma viga flutuante ..................................................................................22 2.2. Relações básicas entre esforços solicitantes e cargas....................................................26 2.3. Aplicação da teoria de vigas ..........................................................................................27 2.4. Tensões de flexão............................................................................................................29 2.5. Módulo de Seção ............................................................................................................32 2.6. Tensões cisalhantes ........................................................................................................35
3. ESTRUTURA SECUNDÁRIA ..................................................................................................43 3.1. Introdução ......................................................................................................................43 3.2. Distribuição de Cargas ..................................................................................................51 3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa Colaborante..............................53 3.4. Grelhas ...........................................................................................................................64 3.5. Grelha Simples ...............................................................................................................65 3.6. Grelha Múltipla ..............................................................................................................67 3.7. Flambagem de painéis reforçados..................................................................................68
4. ESTRUTURA TERCIÁRIA ......................................................................................................77 4.1. Introdução ......................................................................................................................77 4.2. Nomenclatura .................................................................................................................78 4.3. Hipóteses simplificadoras e suas limitações...................................................................79 4.4. Teoria das pequenas deflexões .......................................................................................82 4.5. Relações entre momentos fletores e curvaturas..............................................................83 4.6. Relações entre momentos torçores e curvaturas ............................................................86 4.7. Equação de equilíbrio, desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio........90 4.8. Solução do problema de flexão de placas.......................................................................91 4.9. Placas simplesmente apoiadas .......................................................................................92 4.10. Soluções em forma de Gráficos ......................................................................................96 4.11. Placa longa...................................................................................................................100 4.12. Comportamento elasto-plástico....................................................................................103 4.13. Equação das placas para pequenas deflexões, incluindo-se o efeito de cargas paralelas ao plano médio............................................................................................................................113 4.14. Flambagem de placas ...................................................................................................119 4.15. Flambagem de placas no regime elástico.....................................................................120 4.16. Efeito de uma curvatura ...............................................................................................129 4.17. Flambagem por cisalhamento ......................................................................................131 4.18. Momento fletor no plano da placa................................................................................133 4.19. Carregamentos combinados .........................................................................................134 4.20. Comportamento de placas após a flambagem ..............................................................137
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA E REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................142
1
1. Introdução
Para as estruturas flutuante, tão importante quanto a segurança à
estabilidade e à sobrevivência, devido a perda de flutuabilidade oriunda de
um alagamento, é a segurança à falhas estruturais. Este assunto em todos os
seus detalhes é extenso e complexo o suficiente para completar diversos
volumes e muitas horas de curso, mais do que teremos disponíveis, pois
envolve a previsão das cargas impostas a estrutura em serviço, a análise das
tensões causadas por aqueles carregamentos em milhares de componentes
estruturais, a especificação dos materiais a serem utilizados com base em
suas propriedades de resistência, custo, soldabilidade, facilidade de
manutenção e a escolha do arranjo estrutural.
Apesar de todas estas considerações, tratando-se de um curso
introdutório de análise de estruturas de embarcações, vai-se focar os
fundamentos do comportamento destas em suas componentes primária,
secundária e terciária. Espera-se, com isso, que o estudante tenha uma
compreensão destes fenômenos e possa aprofundá-los em etapas
posteriores de sua vida profissional ou acadêmica.
1.1. Carregamentos estruturais em navios
Uma embarcação deve possuir resistência estrutural suficiente para
suportar as cargas sem sofrer falhas ou deformações permanentes. O mesmo
poderia ser dito para qualquer estrutura, máquina ou dispositivo projetado
pela engenharia. Como qualquer outro objeto de engenharia, o projeto
estrutural de embarcações depende da avaliação precisa das cargas, ou das
forças, impostas à estrutura durante sua vida útil. Para embarcações, no mar,
as cargas resultam de uma ampla variedade de fontes inerentes a natureza,
com amplitudes que não são determinadas de maneira determinística.
2
1.2. Cargas estáticas
São aquelas relacionadas com a flutuação, estabilidade e trim. Existem
os pesos do próprio navio (estrutura, máquinas e equipamentos) e o devido à
carga embarcada (carga, óleo combustível, óleos lubrificantes, água
potável....) que geram as forças gravitacionais (mg), verticais e apontando
para baixo, e cuja soma integraliza o deslocamento do navio. Equilibrando o
total das forças de peso do navio flutuando estão as forças de flutuação
(ρg∇), com sentido oposto às de peso, que são as componentes verticais da
pressão da água que atuam na parte imersa do casco. O total das forças de
flutuação também é igual ao deslocamento da embarcação. Pressões
externas e internas nas paredes de tanques que carregam líquidos também
geram forças estáticas que solicitam a estrutura.
Figura 1.1 – Cargas em uma seção típica de embarcação. Tupper, E, 1996.
Efeitos térmicos podem gerar tensões na estrutura do navio devido a
contração e expansão de membros estruturais que estão acoplados a outros
membros estruturais e que não estão sujeitos a extremos de temperatura.
Para fins de análise e projeto estrutural, os carregamentos
anteriormente descritos são considerados estáticos, embora de fato, eles
mudem de viagem para viagem, uma vez que a distribuição de cargas e de
óleo combustível nem sempre seja a mesma.
3
1.3. Cargas dinâmicas
Somando-se às cargas estáticas há uma grande quantidade de cargas
dinâmicas que variam constantemente enquanto o navio está em operação. A
mais obvia destas é o carregamento variável imposto à estrutura causado
pela combinação de ondas irregulares e dos movimentos do próprio navio
resultante ao navegar nestas condições. As forças de onda geram variações
contínuas da flexão do navio nos planos vertical e horizontal e também a
torção.
Figura 1.2 – Carregamento devido a ondas. Alquebramento e
Tosamento.
4
Figura 1.3 – Carregamentos devido a ondas
As ondas e o movimento do navio ao longo destas também são
responsáveis pela carga da água que embarca nos conveses, figura 1.3 ou
que impacta no costado. Outras mais severas ocorrem quando a embarcação
sofre slamming, situação em que a proa emerge totalmente da água para, na
seqüência, reentrar, gerando uma breve, mas intensa pressão na estrutura do
fundo da embarcação e que provoca um movimento vibratório de alta
freqüência que se propaga ao longo da estrutura.
5
Figura 1.4 – Registro de Slamming.
Os movimentos do navio também provocam forças em tanques que
contém líquidos e que estão parcialmente cheios devido ao impacto, sloshing,
que a superfície gera sobre suas paredes.
Figura 1.5 - Registro de pressões dinâmicas devido ao movimento de líquidos
em tanques. ABS, 2000.
6
A operação do sistema de propulsão também gera forças periódicas e
de alta freqüência nas estruturas de suporte das máquinas e propulsores que
se transmitem para a estrutura da embarcação provocando as vibrações
forçadas.
Figura 1.6 – Fontes de vibrações em navios. Veritec, 1985.
1.4. Cargas ocasionais
Somando-se às cargas mencionadas é comum acontecer de uma
embarcação estar sujeita a cargas em operações especiais. Navios que
navegam no gelo estão sujeitos a cargas diferenciadas ao quebrar o gelo.
Estas cargas induzem um acréscimo da flexão do navio enquanto navega
ondas e causam forças localizadas de grande magnitude nos pontos de
contato do casco com o gelo.
7
Figura 1.7 – Navio operando em regiões geladas.
Navios de guerra estão sujeitos a cargas de impacto severas geradas
por pouso de aeronaves, disparo de mísseis e explosões, sob ou acima
d’água. Cargas severas também são impostas ao navio durante o lançamento
e a docagem e mesmo durante a atracação. Finalmente, cargas acidentais e
não intencionais são causadas por albaroamentos e encalhes e as situações
de alagamento provenientes de tais acidentes.
Figura 1.8 – Lançamento lateral
8
Figura 1.9 – Encalhe. Benford, 2006.
Um cenário completo das situações de cargas impostas à estrutura de
uma embarcação para um dado momento é extremamente complexo, como a
lista de fontes mencionada pode indicar. Por isso, é comum entre os
engenheiros navais arbitrarem um cenário hipotético de cargas equivalentes
que é concebido de sorte que se a estrutura se mostra adequada a estes, ela
terá um bom desempenho durante sua vida útil.
1.5. Arranjo Estrutural
Para servir ao seu propósito, um navio deve ser: um objeto flutuante e
impermeável, capaz de transportar cargas e de resistir a ações do ambiente e
de sua própria operação sem sofrer falhas por fratura ou por deformações
permanentes. A estrutura pode ser imaginada como uma viga, isto é,
apresenta uma dimensão muito maior que as outras, suportada pelas forças
de flutuação e sendo solicitada pelas forças provenientes da carga, do próprio
peso e outros itens que transporta, enquanto sofre flexão e torção ao longo de
sua rota. A “viga navio”, como passaremos a designar tal estrutura, deve ser
projeta para resistir ao momento fletor longitudinal, o esforço solicitante
9
primário da embarcação. Logo esta estrutura deve consistir de material
contínuo no sentido longitudinal, de proa a popa. Enquanto a maioria das
estruturas é constituída de vigas sujeitas à flexão, a estrutura do navio é única
neste universo, pois seu chapeamento deve ser estanque. A combinação dos
requisitos de resistência longitudinal e de estanqueidade em uma única viga,
enquanto se tenta conseguir o mínimo peso da estrutural, tem sido, há
décadas, a principal tarefa dos engenheiros de estruturas.
1.6. Chapeamento reforçado
A configuração da unidade estrutural típica a que se chegou no
desenvolvimento do projeto da estrutura de embarcações é o chapeamento
reforçado. Um exemplo de chapeamento reforçado é mostrado na figuraxx.
Os reforçadores podem ser perfis laminados (cantoneiras, perfil T, bulbo, etc.)
soldados no chapeamento, ou perfis fabricados, soldados a partir de chapas e
posteriormente soldado ao chapeamento. Por razões de eficiência (menor
peso para resistir à carga), os reforçadores devem ser dispostos em direções
ortogonais, conforme o mostrado na figura. Perfis leves, separados por menor
espaçamento, agem como suporte para o chapeamento e os perfis pesados,
separados por maiores espaçamentos, suportam o chapeamento e os perfis
leves que neles se apóiam.
Figura 1.10 - Painel estrutural
10
Figura 1.11 - Tipos de reforços. Eyres, D. J., 2001
O Projetista estrutural deve escolher a orientação (longitudinal ou
transversal, vertical ou horizontal) de cada tipo de reforço em cada região da
estrutura, como fundo, costados, conveses e anteparas. A escolha é
baseada, na maioria das vezes, com base nas seguintes considerações:
1. Eficiência estrutural. Esta é determinada comparando-se os pesos
de alternativas de arranjo com a mesma resistência estrutural. Em
geral, o arranjo que resulta em mínimo peso para uma dada
resistência é o melhor. Há exceções quando a solução de menor
peso for a de custo elevado quando comparadas às demais
alternativas.
2. Custos de material e de fabricação. Alternativas de arranjo
estrutural devem ser comparadas tanto no custo quanto no peso e
uma relação de compromisso deve ser analisada, considerando-se
quanto o custo adicional se justifica em função da redução do peso
da estrutura e, portanto, no aumento da receita com o aumento da
11
capacidade de carga da embarcação, mantendo-se o mesmo
deslocamento.
3. Continuidade estrutural. Os membros estruturais como os
reforçadores devem suportar as cargas na estrutura e as
transmitirem aos membros adjacentes sem lhes gerar mudanças
abruptas nos níveis de tensões. Para garantir que tais
“concentrações de tensões” sejam evitadas, os membros
estruturais concebidos contínuos, perfeitamente alinhados, se são
cortados e soldados, ao encontrarem os painéis principais, como
anteparas, costados e conveses.
4. Utilização do espaço. Em painéis reforçados em duas direções,
geralmente tem-se perfis leves, em espaçamento estreito entre
eles, em uma delas e perfis pesados, em espaçamento largo, na
outra, uma vez que os pesados suportam os leves. A escolha da
orientação dos reforçadores pode, em muitas vezes, ser ditada pela
necessidade de evitar que membros estruturais avancem no
compartimento de carga e interfiram com a utilização do espaço.
1.7. Tipos de cavernamento
Embora todo navio possua reforços nas direções longitudinais e
transversais, o tipo de cavernamento em cada um é caracterizado pelo
número, tamanho e espaçamento, dos reforçadores transversais
relativamente ao número, tamanho e espaçamento, dos reforçadores
longitudinais. A evolução do projeto estrutural de embarcações resultou em
dois sistemas de cavernamento: o cavernamento transversal e o
cavernamento longitudinal. E como não poderia deixar de ser, aproveitando-
se os benefícios de cada um deles, há embarcações que apresentam um
sistema misto.
Cavernamento transversal. Na figura 1.12, mostra-se a seção mestra de um
navio com cavernamento transversal. Tal sistema apresenta muitos
reforçadores leves, dispostos na direção transversal, sendo suportado por
12
poucos reforçadores pesados na direção longitudinal. Os reforçadores leves
estão dispostos, em espaçamentos curtos, de 600mm a 1000mm, em forma
de anéis, ao longo de todo o comprimento do navio. No mapeamento do anel
ao longo do contorno da baliza do navio mostrado na figura, nota-se que ele é
composto do vau do convés, que suporta o chapeamento do convés, caverna,
que suporta o chapeamento do costado, e a hastilha, que suporta o
chapeamento do fundo e do teto do duplo fundo. A cada transição ao longo
do anel, há as borboletas conectando os membros estruturais. Estes anéis de
cavernas garantem a resistência transversal da estrutura, mantendo o
desenho da forma do casco, mas eles em nada contribuem para a resistência
longitudinal do navio.
A resistência longitudinal em navios com cavernamento transversal é
garantida pelo chapeamento do casco, teto do duplo fundo, dos conveses,
fora das regiões de aberturas e de escotilhas, e pelos reforçadores
longitudinais pesados, como quilhas e longarinas, no fundo, sicordas nos
conveses e escoas nos costados.
Cavernamento longitudinal. No sistema de cavernamento longitudinal,
os reforçadores leves estão dispostos na direção longitudinal da embarcação.
Na figura 1.13 mostra-se a seção mestra de um navio tanque onde tal sistema
é freqüentemente empregado. Tais reforçadores, espaçados entre 600mm e
900mm, além de darem suporte ao chapeamento também contribuem para a
resistência longitudinal da viga navio, conferindo a tal arranjo mais eficiência
do que o anterior. Anéis de cavernas gigantes, dispostos a cada 3 a 5 metros,
fornecem resistência transversal e suporte para os longitudinais leves.
13
Figura 1.12. Cavernamento transversal. Zubaly, R. B., 2000.
Figura 1.13 - Cavernamento longitudinal. Zubaly, R. B., 2000.
Cavernamento misto. Como resultado das lições aprendidas na aplicação
dos dois arranjos típicos apresentados, alguns tipos de navios apresentam
uma combinação de cavernamento longitudinal e de carregamento
transversal. Na figura 1.14 mostra-se um exemplo.
14
Figura 1.15 – Cavernamento misto. Zubaly, R. B., 2000.
Figura 1.16 – Cavernamento misto. Navio graneleiro de casco simples. Porão de carga. IACS, 1982.
15
PROBLEMAS
Propriedades de Área
Os momentos de área são grandezas dependentes da geometria de uma
figura plana e tem grande influência nos cálculos referentes a propriedades
hidrostáticas e de resistência estrutural de embarcações.
Momento de primeira ordem: (momento estático de área)
x
y
G
∫=A
y xdAm (P1)
∫=A
x ydAm (P2)
Momento de segunda ordem: (momento de inércia de área)
∫=A
y dAxI 2 (P3)
∫=A
x dAyI 2 (P4)
16
Define-se também o produto de inércia
∫=A
xy xydAI (P5)
O produto de inércia dá a idéia da assimetria da figura em relação ao par de
eixos.
(*)1
1) Havendo uma translação de eixos, como se mostra na figura, como
se modificam as relações (P1) a (P5)
B
1 Nível: (B)ásico; (I)ntermediário; (A)vançado
x
y
G
ba
17
2) Havendo uma rotação de eixos, como se mostra na figura, como se
modificam as relações (P1) a (P5)
I
3) Na seção mostrada na figura, qual é o ângulo α do eixo ξ de forma
que o momento de inércia relativo ao Centro de Área seja mínimo
seja mínimo?
I
4) Retomando a questão anterior, quanto vale produto de inércia para
este ângulo?
I
x
y
G
0.5
32
0.5
0.3
5
x
y
G
18
5) Ainda em relação as duas questões anteriores, qual é o ângulo que o
torna máximo? O que pode se concluir disto?
I
6) Qual a área A que torna as duas figuras como momentos de inércia
iguais? Em outras palavras, se uma chapa h fosse reduzida a duas
áreas A nos seus extremos, com mesmo valor do seu momento de
inércia, qual o valor de A? Ache A em porcentagem da área total h*t.
I
7) Utilizando a mesma técnica do exercício anterior, deduza expressões
analíticas para o cálculo da posição do centro de área e do momento
de inércia para a figura composta pelos três retângulos.
I
G
A
A
t
a
a
h
Ah + Ac
Ah + Ab
tw
linha neutra
h
tbb
ctc
hc
hb
19
8) Deduzir as expressões das propriedades de área para os perfis
laminados T e HP, ou Bulbo, mostrados em detalhes nas figuras.
Deduzir as expressões para os momentos de inércia em relação ao
centro de área.
A
30 graus
d
R2
tw
R1
x x
y
y
R3
b
8 graus
d
R2
b
tw
R1
= =
tb
x x
y
y
20
9) Alguns aplicativos computacionais para o cálculo de estrutura só
trabalham com perfis do tipo T fabricado, isto é composto por dois
retângulos. Para superar este obstáculo podemos simular os perfis
laminados do tipo T, e HP, como T fabricado, adequando-se as
dimensões do flange, largura e espessura, preservando-se a altura total
do perfil e a espessura da alma, de sorte a manterem-se a área e o
momento de inércia relativo ao centro de área da seção. Como isto
poderia ser feito?
b
twX
tb
Perf il H P Perfil T equi valente
HT
tw
YLN
Procura-se b e tb de sorte que a Inércia e Área do perfil T fabricado
sejam idênticas às do perfil Laminado. A altura total do perfil é mantida
constante.
Área do flange:
bf tbA ⋅=
Área da alma:
wbTw ttHA ⋅−= )(
Área total:
A
21
fw AAA +=
Altura da Linha Neutra:
AttHtHA
Y wbTbTfLN
2)(5.0)5.0( −+−=
Inércia de área relativa a linha neutra:
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−+−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+= 2
22
2
)(5.012
)()5.0(
12 LNbTbT
wLNbTb
fLN YtHtH
AYtHt
AI
22
2. Estrutura Primária
Na descrição dos arranjos estruturais, a estrutura do navio foi comparada
com a de uma viga, suportada por baixo, pela flutuação, carregando seu
próprio peso mais os pesos de máquinas e outros equipamentos, peso das
cargas e dos itens de consumo.
Na disciplina de arquitetura naval, nos cálculos de flutuação são
consideradas apenas as magnitudes do peso e da flutuação. Nos cálculos de
estabilidade, banda e trim, são necessários, além da magnitude, as posições
dos centros de peso e de flutuação.
Nos cálculos da resistência longitudinal da estrutura, ou resistência da
viga navio, serão necessários o conhecimento destes itens e também de
como peso e flutuação se distribuem ao longo do comprimento do navio.
Diferentemente dos estudos de arquitetura naval, neste caso, o navio não é
mais tratado como um corpo rígido, e sim um corpo que se deforma na
presença dos esforços devido a pesos e flutuação. A deformação é causada
pelas tensões impostas aos componentes estruturais do casco, da mesma
forma que um corpo de prova se deforma no ensaio uniaxial de tração.
Embora as previsões mais realistas das forças, tensões e deformações
associadas à flexão longitudinal do navio em serviço requeiram um
tratamento estatístico por conta da imprevisibilidade dos carregamentos
impostos pela natureza do mar não serem conhecidos de maneira precisa,
muito se pode inferir a partir do estudo da teoria simples de viga.
2.1. O Navio como uma viga flutuante
A maioria das estruturas em serviço em terra está sujeita a cargas que
podem variar de tempos em tempos, mas raramente invertem a curvatura da
estrutura deformada. O piso de um armazém no porto, por exemplo, irá fletir
por ação de seu próprio peso e o peso variável dos produtos que nele são
23
empilhados. Embora esse carregamento possa variar no tempo, não se
espera que ele gere a flexão do piso para cima.
No caso do navio suportado pelas forças de flutuação e carregado pelo
próprio peso, o peso da carga e o de outros itens que transporta, no entanto,
deve-se esperar que, em alguns instantes, a viga navio apresente a tendência
de fletir para baixo, a semelhança do piso do armazém, mas em outras, ele é
forçado a fletir para cima, quando as forças de flutuação se rearranjam.
Essa reversão no sentido da flexão não é de ocorrência rara. Na
verdade, ela acontece continuamente ao longo de uma rota de navegação.
Estima-se que durante um período de vida de 20 anos, um navio típico sofre
100 milhões destas reversões.
Os dois sentidos de flexão da viga navio, ilustrados nas figuras 2.1 e
2.2, são denominados de alquebramento, quando a viga se arqueia para
cima, e de tosamento, quando o arco se dá no sentido oposto.
Figura 2.1 - Alquebramento a quilha se curva para cima
Figura 2.2 - Tosamento: a quilha se curva para baixo
Nível médio da superfície do mar (águas tranqüilas)
24
Estas curvaturas atingem seus valores extremos quando o navio se
move de encontro ou no mesmo sentido das ondas, e estas possuem
comprimento, de crista a crista, da mesma ordem do comprimento da
embarcação, conforme se mostra na figura. Quando as cristas suportam os
extremos da embarcação, o casco tende a tosar, devido à diminuição da
flutuação a meio navio. O alquebramento ocorre na seqüência, quando a
crista se localiza a meio navio e os vales se encontram na proa e na popa.
As reversões de sentido na flexão também invertem as tensões e
deformações dela resultantes no fundo e no convés da viga navio. Tosamento
gera tensões de compressão no convés e tensões de tração no fundo. Já o
alquebramento gera tensões de tração no convés e de compressão no fundo.
Nem sempre as embarcações navegam na direção das ondas com
comprimentos da ordem de grandeza do próprio. Portanto, os ciclos de
tosamento e de alquebramento nem sempre serão extremos. No entanto,
essas reversões de carga ocorrerão continuamente em outras condições de
mar, gerando níveis de tensões menores.
Figura 2.3 – A diferença entre as distribuições de peso e flutuação gerando a
flexão da viga navio. Eyres, D. J., 2001.
25
Importa destacar que inevitavelmente a distribuição de pesos e a
distribuição da flutuação ao longo do comprimento do navio raramente serão
iguais uma à outra. Assim, a viga navio estará sujeita a forças cortantes e
momentos fletores e as tensões e deformações oriundas destes esforços,
como serão vistas na solução do problema a seguir.
Figura 2.4 Tensões primárias na viga navio. Hughes, 1983.
Problema.
Uma barcaça retangular de 80m de comprimento, 10m de boca e 6m
de pontal flutua em água salgada apresentando um calado de 0.5m quando
vazia. O peso da embarcação leve pode ser considerado como
uniformemente distribuído ao longo do comprimento da barcaça. Ela possui 5
porões de carga, cada um 16m de comprimento. As condições de
carregamento da barcaça estão mostradas na figura. Pode-se adotar a
hipótese de que as cargas estão distribuídas uniformemente ao longo do
26
comprimento de seus porões. Vai-se calcular e desenhar os diagramas de
pesos, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor.
400 t
700 t
80 m
700 t
400 t
16 m 16 m 16 m 16 m 16 m
800 t
2.2. Relações básicas entre esforços solicitantes e cargas
Como se mostra na figura 2.4, o equilíbrio vertical estático do navio, requer
que o total das forças de flutuação equilibre o total das forças devido ao peso.
Utilizando a notação da figura 2.4, tal requisito pode ser escrito como:
Δ== ∫∫l
o
l
odxxmgdxxag )()(ρ (2.1)
onde
a(x) área imersa da seção transversal
m(x) intensidade da massa distribuída
ρ densidade da água do mar
g aceleração da gravidade
Δ deslocamento da embarcação.
O fator g foi mantido em ambos os membros da equação 2.1 para enfatizar
que se trata de forças os termos envolvidos.
27
Figura 2.4 – Resumo da flexão da viga navio. Hughes, 1983.
De modo análogo, o equilíbrio de momentos requer que:
g
l
o
l
olxdxxmgxdxxag Δ== ∫∫ )()(ρ (2.2)
onde lg é a distância longitudinal do centro de gravidade do peso do navio.
2.3. Aplicação da teoria de vigas
Na teoria simples de vigas, pode-se caracterizar a distribuição do
carregamento vertical atuante como sendo f(x), sendo x a direção do eixo da
28
viga. Para uma embarcação, tal distribuição deve ser a força líquida
resultante da superposição do empuxo b(x) e do peso w(x), conforme se
mostra na figura 2.4c. Na convenção de sinais adotada, as forças verticais
positivas apontam para cima. Portanto, a força liquida resultante é f(x) =b(x)-
w(x).
)()()( xgmxgaxf −= ρ (2.3)
O equilíbrio de forças resulta em relações interessantes entre os esforços
solicitantes e o carregamento atuante nas vigas em flexão. Impondo-se o
equilíbrio a um elemento diferencial, conforme mostrado na figura 2.4d e com
as convenções de sinais ali mostradas, obtém-se:
0=−−+ dQQfdxQ
ou
dxdQf = (2.4)
da qual, por integração, obtém-se
CdxxfxQx
+= ∫0)()( (2.5)
Para navios, a constante de integração é sempre nula porque a viga navio é
uma viga com condições de contorno, livre-livre, ou seja, não há a presença
de forças cortantes ou de momentos fletores em suas extremidades, de proa
e de popa.
0)()0( == LQQ
Impondo-se o equilíbrio de momentos em torno de um pólo na extremidade
direita do elemento e considerando-se momentos positivos aqueles que
tendem a girar o elemento no sentido horário, obtém-se:
=0
29
02
=−−++ dMMdxfdxQdxM
observando que o termo dx2 é de segunda ordem a equação se simplifica
para:
dxdMQ = (2.4)
da qual se obtém:
CdxxQxMx
+= ∫0)()( (2.5)
As convenções de sinais estão mostradas na figura 2.4e, para as forças
cortantes, e 2.4f, para os momentos fletores. A força cortante em qualquer
ponto é positiva se a integral, ou a soma acumulada do carregamento, até
aquele ponto, for positiva. De modo similar, o momento fletor é positivo se a
integral, ou a soma acumulada, das forças cortantes até o ponto for positiva.
2.4. Tensões de flexão
A análise estrutural da viga navio utiliza a Teoria Simples de Viga, que se
pauta nas seguintes hipóteses:
1. Seções planas permanecem planas.
2. A viga é prismática sem aberturas e descontinuidades.
3. Outras formas de resposta estrutural aos carregamentos não
afetam a flexão no plano vertical e podem ser tratadas
separadamente.
4. O material é homogêneo e permanece no regime elástico.
=0
30
Figura 2.5 – Elemento diferencial em flexão
A primeira hipótese está ilustrada na figura 2.5. Sob a ação do momento
fletor, a viga sofre uma curvatura, com raio local R e, se as seções planas
permanecem planas, a deformação longitudinal εx varia linearmente na
direção vertical e está relacionada com o raio de curvatura, R, como:
Ry
RdRddyR
x =−+
=θ
θθε )( (2.1)
A superfície horizontal onde y e, portanto, a deformação é zero, é chamada de
superfície neutra ou de eixo neutro. O material, por hipótese, homogêneo,
elástico, com módulo de elasticidade E, apresenta a tensão normal na direção
longitudinal:
RyEE xx == εσ (2.2)
A ausência de força externa axial requer, por equilíbrio:
y
dθ
31
0== ∫A
xx dAF σ (2.3)
Que se reduz a
0=∫A
ydA (2.4)
e indica que a superfície neutra coincide com o centróide da seção
transversal da viga.
O equilíbrio de momentos requer que o momento externo Mz seja equilibrado
pelo momento resultante das forças internas
∫=A
xz dAyM σ (2.5)
que, após a utilização da equação 2.2, se reduz a:
REIM z = (2.6)
onde I é o momento de inércia da seção transversal, definido por:
02 == ∫A
dAyI (2.7)
A equação 2.6 relaciona a curvatura com o momento fletor e se ela for
utilizada para eliminar R da equação 2.2, o resultado é a familiar expressão
para o calculo das tensões em função da distância y relativa ao eixo neutro:
IyM z
x =σ (2.8)
32
2.5. Módulo de Seção
A equação 2.8 indica que σx é máximo quando y é máximo, isto é nos
extremos, superior e inferior, da seção transversal. Quando y corresponde a
um destes extremos a quantidade I/y é chamada de módulo de seção e é
usualmente denotado por Z. Como o eixo neutro não se localiza, geralmente,
a meia altura da seção, existe, então, dois valores extremos de y: yD para o
convés resistente mais distante da linha neutra e yK para a quilha, resultando
dois valores para o módulo Z: ZD e ZK. Na maioria das embarcações, estrutura
do fundo é mais robusta que a do convés, resultando uma localização abaixo
do meio pontal para o eixo neutro. Uma altura de 0.4D acima da quilha é
típica, mas tal localização varia entre os diferentes tipos de navios. Assim, as
máximas tensões de flexão ocorrem tanto no convés quanto no fundo.
O cálculo dos módulos reduz-se ao cálculo das propriedades de área e
de inércia da seção transversal em questão. Como a estrutura longitudinal da
viga navio é uma composição de diversos elementos, a marcha de cálculo
destas propriedades é simples, porém dependendo da quantidade de
elementos pode ser trabalhosa. Nestes casos, o uso de planilhas eletrônicas
auxilia sobremaneira o trabalho.
33
1.25
m
1.25m
20 mm
10 mm
7 mm
22 mm
20 mm
18 mm
20 mm
17 mm
Bojo 22 mm
30 mm
S1
S2
S3
20 mm
25 mm
25 mm
1.25
m
45o
800x450x25 mm
Espaçamento de cavernas 700 mmDistância entre anteparas 14 m
4.00
m3.
25m
3.25
m3.00m3.00m
9.75m
6.50m
Figura 2.9 – Seção transversal de uma embarcação com cavernamento
transversal
34
Tabela 2.1 – Cálculo das propriedades de área da seção mostrada na figura 2.9
Á R E A T R A N S V E R S A L DIST À MOMENTO MOMENTO DE INÉRICA ELEMENTO CHAPEAMENTO PERFIS PAINEL LINHA ESTÁTICO DE ÁREA
ESP. COMPR. ÁREA N° ÁREA ÁREA TOTAL BASE DE ÁREA PRÓPRIO TRANSFERÊNCIA (unidades) m m m2 m2 m m3 m4 m4
convés 1 0.020 6.50 0.1300 0.1300 11.750 1.5275 0.000 17.948costado 1-2 0.022 3.25 0.0715 0.0715 10.125 0.7239 0.063 7.330convés 2 0.010 6.50 0.0650 0.0650 8.500 0.5525 0.000 4.696costado 2-3 0.020 3.25 0.0650 0.0650 6.875 0.4469 0.057 3.072convés 3 0.007 6.50 0.0455 0.0455 5.250 0.2389 0.000 1.254costado 3-f 0.018 2.75 0.0495 0.0495 3.875 0.1918 0.031 0.743bojo 0.022 3.93 0.0865 0.0865 0.907 0.0785 0.051 0.071teto do DF 0.017 8.50 0.1445 0.1445 1.250 0.1806 0.000 0.226fundo 0.020 7.25 0.1450 0.1450 0.000 0.0000 0.000 0.000quilha 0.015 1.25 0.0188 0.0188 0.625 0.0118 0.002 0.007longarina 1 0.025 1.25 0.0313 0.0313 0.625 0.0196 0.004 0.012longarina 2 0.025 1.25 0.0313 0.0313 0.625 0.0196 0.004 0.012p. marginal 0.020 0.73 0.0146 0.0146 0.732 0.0107 0.003 0.008
∑ 0.8985 4.0023 0.215 35.379
Altura da Linha Neutra yLN = ∑ me/∑ a = 4.0023/0.8985 = 4.454 m
Inércia em relação a Linha de Base Iz = ∑ Ipróprio + ∑ Itransf = 0.215 + 35.379 = 35.594 m4
Mudança para Linha Neutra = - (∑ a) yLN2 = -17.825 m4
Meia Inércia em relação a LN I/2 = Iz - (∑ a) yLN2 = 35.594 - 17.825 = 17.769 m4
Módulo de resistência no fundo Zfundo = I/yLN = (2*17.769)/4.454 = 7.979 m3
Módulo de resistência no convés Zconvés = I/(D-yLN) = (2*17.769)/(11.750-4.454) = 4.871 m3
35
2.6. Tensões cisalhantes
Devido a variação do momento fletor ao longo do comprimento do navio,
as tensões σA e σB em duas faces, de um elemento diferencial ao longo do
comprimento, não serão idênticas. Portanto, ao isolarmos uma porção deste
elemento por meio de dois cortes, um na linha de centro e outro na distância
s, ao longo do perímetro medido a partir da linha de centro, as forças
resultantes da diferença de tensões devem ser equilibradas por uma
distribuição de tensões cisalhantes no sentido longitudinal, ao longo das
superfícies de corte. Por questões de simetria, as tensões de cisalhamento ao
longo do corte na linha de centro não devem existir e o equilíbrio, portanto,
deve ser totalmente obtido pela presença de tensões cisalhantes τ na outra
seção de corte.
Figura 2.10 – Tensões de cisalhamento na flexão. Hughes, 1983.
∫∫ −=s
A
s
B tdstdstdx00
σστ (2.9)
36
Substituindo I
yM zx =σ em ambas as faces:
∫∫ =−
=ssAB ytds
IdMytds
IMM
tdx00
τ (2.10)
Substituindo dM=Qdx:
∫=sytds
IQdxtdx
0 τ (2.11)
A integral na equação 2.10 é função da geometria da seção e da posição s ao
longo desta. Por conveniência, associa-se o símbolo m para essa grandeza:
∫=sytdsm
0 (2.12)
e, pode-se notar que m é o momento estático, em relação a linha neutra, da
área da área acumulada, iniciando-se em um corte livre de tensões
cisalhantes. (ou livre ou no plano de simetria).
Substituindo m em 2.11 e isolando τ, obtém-se:
ItQm
= τ (2.13)
O produto τt possui significado especial tanto no cisalhamento quanto na
torção de vigas de paredes finas. Ele é denominado como fluxo de
cisalhamento, como analogia ao escoamento de um fluido ideal contido em
uma rede de tubulações. Guarda as mesmas características, ou seja, em um
entroncamento, se preserva a conservação da massa, “a soma dos fluxos que
chegam deve ser igual a soma dos fluxos de saem”. O produto τt,
denominado de fluxo de cisalhamento, é representado pelo símbolo q
37
IQmq = (2.14)
Como, tanto Q quanto I, são constantes ao longo da seção, o fluxo de
cisalhamento é diretamente proporcional a distribuição de m. De fato a
relação Q/I pode ser interpretada como um fator de escala e uma vez
calculada a distribuição de m, a distribuição do fluxo de cisalhamento é
idêntica, a menos das unidades. Outra vantagem do cálculo de q é a não
existência de mudanças abruptas com as variações de espessuras, o que já
ocorre com a distribuição de τ.
38
PROBLEMAS
1. Uma embarcação com 10.000t de deslocamento e 100m de
comprimento apresenta máximo momento fletor de alquebramento da
ordem de ΔL/100 (t.m). O pontal na Seção Mestra é de 12m e o eixo
neutro se localiza a 4m acima da quilha. O momento de inércia da
Seção Mestra é 48m4. Calcule os valores máximos de tensão de tração
e de compressão e o local onde ocorrem.
2. Considere uma embarcação prismática com 130 m de comprimento,
cujos pesos do casco, de máquinas e de carga sejam: 3200t, 800t e
6400t, respectivamente. O peso do casco é uniformemente distribuído
ao longo do comprimento. O das máquinas se estende uniformemente
ao longo de 1/5 do comprimento a meio navio, e o da carga se estende
uniformemente sobre 2/5 do comprimento a partir da popa e 2/5 a
partir da proa. Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de
carregamento, de força cortante e de momento fletor, e determine seus
valores nas descontinuidades e nos máximos.
3. Um navio hipotético possui a curva de pesos que varia linearmente de
zero, na proa e na popa, a um máximo na seção mestra (meio navio), e
a curva de flutuação que varia linearmente de zero, na seção mestra, a
um máximo nas extremidades, proa e popa. Desenhe as curvas de
peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento
fletor e determine os valores extremos em função do deslocamento Δ e
do comprimento L.
4. Os valores médios de peso por unidade de comprimento e de flutuação
por unidade de comprimento de uma embarcação de 180m,
representadas em seis segmentos iguais ao longo do comprimento da
embarcação, são:
39
Segmento w (t/m) b (t/m)
1 78 33
2 150 126
3 88 145
4 75 141
5 63 78
6 93 18
Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força
cortante e de momento fletor e determine os valores em cada
segmento e os valores máximos.
5. Uma barcaça tipo caixa, com 43m de comprimento, 10m de boca e 6m
de pontal, pesa 544t quando vazia. O peso leve da barcaça pode ser
considerado uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento.
Ela é compartimentada em 4 porões de carga, todos de igual
comprimento. Em uma de suas operações, ela foi carregada com
grãos, de maneira uniforme, conforme a tabela seguinte:
Porão Carga (t)
1 192
2 224
3 272
4 176
Construir a curva de pesos, de flutuação, de carregamento, de força
cortante e de momento fletor para a barcaça carregada e calcule os
valores em cada antepara e os valores máximos.
6. Calcule o mínimo módulo requerido para a barcaça do problema
anterior de sorte que a máxima tensão para aquela condição de
carregamento não exceda 100 MPa.
40
7. Uma barcaça possui a vista em planta conforme mostrado na figura.
Todos os planos de flutuação são idênticos. As cargas estão
carregadas uniformemente nos porões, conforme indicado.
Desprezando o peso próprio da barcaça, desenhe as curvas de peso,
de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor
para a barcaça flutuando em águas tranqüilas. Indique os valores em
cada antepara e identifique os valores máximos da força cortante e do
momento fletor.
vazio 400 t
80 m
950 t 400 t
14 m 14 m 14 m 14 m 14 m
950 t vazio
14 m
10 m
8. Uma embarcação de 200m possui obras vivas prismática ao longo do
comprimento. O peso do casco, de 2400t, pode ser adotado como
uniforme ao longo do comprimento. Ela possui 6 porões de carga,
idênticos, que estão carregados (em toneladas), começando pela proa,
conforme a tabela a seguir:
Porão Carga Combustível Máquinas
1 400 100
2 700 200
3 800 300
4 800 300
5 100 800
6 500
41
Os pesos estão uniformemente distribuídos em seus respectivos
porões. Desenhar as curvas de peso, de flutuação, de carregamento,
de força cortante e de momento fletor, indicando os valores em cada
ponto de mudança ou de inflexão e os valores de máximo.
9. Uma barcaça, do tipo caixa, com 100m de comprimento, 15m de boca
e 15m de pontal, possui o peso de 1920t distribuídos uniformemente
ao longo do comprimento. Ela é carregada com 1200t ao longo de
30m, em cada uma de suas extremidades, proa e popa (carga total de
2400t). Determine o máximo momento fletor para essa condição de
carga e calcule as máximas tensões primárias, no convés e no fundo,
admitindo que a seção mestra possua inércia de 4,61 m4.e altura da
linha neutra de 2.25m acima da quilha.
10. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo para seção
mostrada na figura. Todas as chapas possuem 6.34mm de espessura.
Quais serão as tensões no chapeamento do convés se a embarcação
está sujeita a um momento fletor de 1980tm?
4.5 m
1.5
m
1.5
m
1.5
m
1.5 m
0.35 m
0.35 m
0.35 m
0.70
m
Todas as espessuras6.35 mm
42
11. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo da seção
mostrada na figura. Se o aço possui tensão de escoamento de
240MPa, qual é o fator de segurança ao escoamento para esta
estrutura quando submetida a um momento fletor de 3960tm?
4.5 m
3.5
m
3.0 m
Placa de 3/4"
Placa de 1/4"
Placa de 1/2"
300mm x 3/4"
12. Um navio de 184m de comprimento e pontal de 14m está submetido a
um máximo momento fletor de 50.000tm. O eixo neutro, na seção
mestra, se localiza a 6m acima da quilha. Para a máxima tensão
primária de 80MPa, determine o momento de inércia requerido para
essa seção. A tensão máxima ocorre no convés ou no fundo? Qual o
valor da tensão para a outra extremidade?
43
3. Estrutura secundária
3.1. Introdução
A estrutura secundária de uma embarcação consiste de um chapeamento
reforçado por:
1. perfis leves, que limitando as dimensões das unidades de
chapeamento o enrijecem, tais como cavernas, vaus de conveses,
longitudinais, etc.
2. perfis pesados, que sempre servem de apoio aos perfis leves,
recebendo destes a carga que lhes foi transmitida pelas unidades de
chapeamento. São perfis pesados os anéis gigantes, as sicordas, as
hastilhas, as quilhas, as longarinas e as escoas.
Esse conjunto de chapeamento, perfis leves e perfis pesados,
considerado entre duas anteparas estruturais, é que se costuma designar por
estrutura secundária. Vê-se que, como a estrutura secundária contém
unidades de chapeamento, nela também está contida a própria estrutura
terciária, a qual nada mais é do que o conjunto de unidades de chapeamento,
sem que nele se considerem os perfis. Entretanto as tensões secundárias
estão associadas com as deformações secundárias e as tensões terciárias
com as deformações terciárias.
Convém lembrar as seguintes definições:
3. unidade de chapeamento: é a porção de chapa limitada por dois perfis
adjacentes na direção longitudinal e outros dois na direção transversal.
4. painel: é uma porção da estrutura secundária, formada de
chapeamento, perfis leves e perfis pesados, no caso mais geral, que
44
se toma para estudo. Contém, portanto, pelo menos duas unidades de
chapeamento.
5. grelha: é um conjunto de vigas que se interceptam. Caso elas sejam
ortogonais diz-se que a grelha é ortogonal.
6. grelha chapeada: quando se tem um conjunto de perfis que se
interceptam, soldados a chapeamento em um lado (caso do convés)
ou em dois lados (caso do duplo fundo), diz-se que tem-se uma grelha
chapeada. Nesse caso supõe-se que o chapeamento, em lugar de ser
contínuo, como realmente é, constitui-se de tiras de chapa que se
soldam aos perfis, servindo-lhes de flanges. Desta forma, em lugar de
um chapeamento reforçado, supõe-se que se tem uma verdadeira
grelha, na qual cada viga é formada por um perfil com a tira de chapa
que se lhe supõe soldada. Essa tira é chamada chapa colaborante e
essa grelha fictícia designa-se por grelha chapeada.
Observando-se as figuras 3.1 a 3.3, nota-se que todos os
enrijecedores leves ou pesados estão sujeitos à flexão devida às cargas
laterais no chapeamento e, como possuem ligações entre si, formam um
conjunto para resistir a estas cargas, tornando assim a análise deste tipo de
estrutura bastante difícil em face ao grande número de elementos que a
envolve.
45
Figura 3.1 - Estrutura do fundo de um navio tanque de casco singelo
46
Figura 3.2 - Detalhe de um painel do fundo 1-Quilha. 2-Chapeamento. 3-Hastilha.
4-Longitudinal leve. 5-Antepara transversal. 6-Antepara longitudinal
47
Figura 3.3 - Deflexões secundárias leves e pesadas
48
Pode ser utilizado o seguinte esquema para análise preliminar das tensões
secundárias e sua superposição com as terciárias:
1. cálculo das tensões terciárias σ3 nas unidades de chapeamento (abcd
na Figura 3.4a), devido a pressão lateral, considerando esta unidade
limitada por perfis leves e/ou pesados, desprezando qualquer deflexão
dos perfis. Esta unidade deve ser verificada quanto à estabilidade sob a
ação da tensão primária.
2. cálculo das tensões secundárias σ2'' , nos perfis leves, supondo que
estes se apoiam sem recalque nos perfis pesados. Associa-se aos perfis
leves uma certa largura de chapa, para funcionar como um de seus
flanges. Essa porção de chapa, como se viu, denomina-se chapa
colaborante e será discutida adiante. Emprega-se a teoria simples de
viga e adotam-se hipóteses adequadas sobre as rotações nas
extremidades de cada tramo da viga constituída do perfil mais sua chapa
colaborante. Assim o problema se reduz ao da análise de uma viga com
um só tramo. Atribui-se a essa viga uma certa fração da carga lateral
que age sobre o chapeamento, daí se transmitindo ao perfil. A estima
dessa fração de carga será discutida posteriormente.
f
h
c
t
t
f
th
c
chapacolaborante
alma
flange
Figura 3.4 - Perfil + Chapa Colaborante
49
1
2
4
65
chapa colaborante
3 (LN)
Figura 3.5 - Cálculo dos perfis Leves
3. cálculo das tensões σ2', atuantes na grelha formada pelo chapeamento
com os perfis mais pesados. Existem diversos métodos para o cálculo de
σ2' com diferentes graus de complexidade e precisão. No mais simples,
método da teoria simples de viga com um só tramo, procura-se estimar
σ2' ignorando-se o comportamento de grelha e imaginando-se que ela
pode ser suficientemente bem representada analisando-se cada um
daqueles perfis separadamente, como se desligado estivesse dos
demais, e com chapas colaborantes, cargas e condições de extremidade
arbitradas. Embora esse método simplifique muito o cálculo, é por
demais subjetivo e impreciso, sendo inviável estimar bem aquelas
condições que nele devem ser arbitradas, a não ser para certos casos
convencionais. Apesar disto é o mais adequado para fases iniciais de
análise.
50
A título de exemplo suponha-se que se deseja aplicar tal método para
calcular o valor máximo de σ2' na longarinas2 QL, Figura 3.6, com o navio em
águas tranqüilas e sem carga no porão e duplo fundo. De acordo com o
método, imagina-se que QL esteja desligada das hastilhas B, C e D. Arbitram-
se, então, condições de extremidades para QL, nos pontos em que ela
intercepta as anteparas. Estas, pela rigidez que apresentam a deslocamentos
no seu próprio plano, podem ser consideradas, com razoável precisão, como
apoios irrecalcáveis para QL. É difícil, porém, estimar a rigidez à rotação de QL
nas suas interseções com as anteparas, pois ela dependerá muito da geometria
antepara
longarina
quilha
costado
costado
longarina
antepara
L1L2L3QLL4L5L6QL6'L5'L4'QL'L3'L2'L1'
B C D
hastilha
A
A
c d
ba
Figura 3.6a - Esquema do fundo de um navio, entre anteparas
teto do duplo fundo
L5 fundo bojo
Figura 3-6b - Corte A-A
2As longarinas também são chamadas de quilhas laterais.
51
e do carregamento nos porões adjacentes. Como se visa a simplificar os
cálculos neste método, deve-se arbitrar uma das condições extremas: restrição
total à rotação (engastamento) ou restrição nula à rotação (apoio simples). A
seguir estima-se a largura da chapa colaborante, tema que será estudado
adiante. Resta, por arbitrar, a carga sobre QL. Na realidade QL recebe cargas
de duas formas:
1. cargas distribuídas, provindas do chapeamento que sobre ela se apóia,
ao longo de todo o seu vão;
2. cargas concentradas, provenientes das ações de cisalhamento com as
hastilhas, nos pontos em que com elas se intercepta.
Embora o primeiro tipo de carga se possa estimar com razoável precisão, o
segundo dificilmente se estimará bem, pois depende basicamente da rigidez à
flexão de cada elemento da grelha, bem como da distribuição das cargas sobre
o porão, caso as haja. Sensíveis alterações nesses parâmetros farão com que
uma carga na interseção possa mudar não apenas de valor, mas também de
sentido. O propósito do método é, porém, o de propiciar estimativas de σ2' com
cálculos deveras simples, para arranjos e carregamentos convencionais. Por
isso, costuma-se arbitrar um carregamento distribuído que, espera-se,
produzirá um valor máximo de σ2' próximo daquele que o carregamento real de
QL acarreta. No caso que ora tratamos poder-se-ia adotar, como carregamento,
a pressão sobre o fundo, ao longo de todo o vão de QL, entre L2 e L5. Isto
significaria admitir que supomos ser a rigidez à flexão de QL bem maior que as
das hastilhas, de sorte que essas últimas tendam a ter flechas maiores que as
de QL e, por conseqüência, em QL apoiarem-se.
3.2. Distribuição de Cargas Ao isolarmos um elemento reforçador de um painel requer que se façam
hipóteses sobre a distribuição de cargas entre as várias vigas em que se
considera o chapeamento reforçado. Cada uma dessas vigas é constituída de
um perfil e de uma parte de chapeamento a ele associada, a chapa
52
colaborante. A distribuição de cargas pode ser efetuada de diversas maneiras,
umas mais simples e outras mais elaboradas:
1. Cada reforço recebe toda a carga aplicada sobre a largura s e a
transmite aos reforços mais rígidos que lhe servem de apoio. A situação
está esquematizada na região AEBDFC da Figura 3.7, onde se
representa um painel estrutural de um costado de um navio. Aí a caverna
C1, no trecho entre a escoa e o fundo, estaria recebendo a carga
hidrostática da região hachurada e transmitindo-a à escoa e ao fundo
nos pontos E e F, respectivamente. Essa distribuição é superestimada
para a caverna a não ser que a distância s seja muito pequena quando
comparada a distância b.
2. Cada reforço recebe a carga do losango determinado pelas diagonais de
cada unidade de chapeamento. A região GHIJKL, da Figura 3.7, ilustra
essa distribuição. A caverna C2, entre o convés e a escoa, receberia a
carga distribuída sobre o losango KMHN, e a escoa entre L e K
receberia a carga distribuída sobre o losango LMKO.
3. Os reforços recebem a carga distribuída na região cujo centro ficam e
que é limitada por linhas em ângulos de 45 graus. A distribuição está
ilustrada na região PQRS da Figura 3.7. A caverna C3, no trecho entre o
fundo e a escoa, receberia a carga distribuída sobre a área 1,2,3,4,5,6 e
a escoa entre 2 e Q receberia a carga que se distribui sobre 2,7,Q e 3.
Esta distribuição é a que mais se aproxima da realidade. Apesar de esta
distribuição gerar um carregamento trapezoidal sobre o elemento
desconsidera-se a diminuição nos extremos, adotando-se carregamento
constante, uniformemente distribuído.
53
45ocaverna C2
caverna C2
convés
fundo
antepara
antepara
A B
C D
escoa
E
F
1
2
3
4
5
6
G H I
M N
L K J
O
caverna C3
b
s
P Q
RS
7
H K
E F 2 5
Figura 3.7 - Esquemas de distribuição de cargas sobre os perfis
3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa Colaborante
Uma das hipóteses básicas na teoria simples de vigas é que secções
planas permanecem planas após a flexão e, por conseguinte, as tensões de
flexão são diretamente proporcionais à distância do eixo neutro. Portanto em
qualquer viga formada por alma e flanges, as tensões devem ser constantes ao
longo dos flanges. No entanto, a maioria dos problemas a flexão não é causada
por um binário de forças nas extremidades da viga e sim causada por cargas
transversais que são absorvidas pela alma da viga e não pelos flanges. Sob o
efeito das cargas, a alma da viga é curvada induzindo deformações máximas
nos flanges. Como eles suportam a máxima deformação e, conseqüentemente,
54
as máximas tensões, os flanges são os elementos da secção transversal da
viga que mais contribuem para a rigidez à flexão. Mas é importante notar que
estas máximas deformações se originam na alma e somente atingem o flange
por causa do cisalhamento. Este fenômeno é ilustrado na Figura 3.8 onde se
mostra uma seção de uma viga tipo caixa, engastada em uma das
extremidades e com uma carga concentrada na outra.
F/2
F/2
eixo neutro
F
a alma arrastao flange por ci-salhamento
no plano de sime-tria a tensão cisa-lhante é nula.
máxima distorção
mínima distorção
Figura 3.8 - Efeito shear lag em vigas tipo caixa
A força é resistida pelas almas, que se curvam de forma a alongar e a
encurtar os extremos superior e inferior da viga. Por simplicidade, a curvatura
não está ali representada. O contorno alongado da alma traciona consigo o
chapeamento do flange através de forças de cisalhamento, o que resulta em
tensões de cisalhamento. Estas tensões de cisalhamento distorcem o flange e
esta distorção é tal que o lado mais afastado da alma do elemento retangular
não deve se "esticar" tanto quanto o lado mais próximo; isto é, a deformação no
sentido longitudinal é menor no lado interno e, portanto, também o é a tensão
normal longitudinal. Este mesmo fenômeno ocorrerá em cada elemento, do
55
canto, junto à alma, até a linha de centro, embora ele, paulatinamente, diminua
até desaparecer na linha de centro, porque a tensão de cisalhamento neste
ponto cai para zero. O resultado disto é que o flange sofre uma distorção no
plano longitudinal e, portanto, as secções planas não permanecem planas
quando as tensões cisalhantes estão presentes. Esta distorção é comumente
chamada de empenamento ou warping. O aspecto significativo da distorção
pelo cisalhamento é que as regiões mais afastadas do flange apresentam
menores tensões de flexão e são, portanto, menos efetivas do que as regiões
mais próximas. Isto é, devido aos efeitos do cisalhamento, as tensões de flexão
longe da alma "atrasam" (lags behind) em relação às tensões próximas a alma.
O fenômeno foi então batizado de efeito de shear lag. Este efeito ocorre em
qualquer viga com flanges largos sob cargas laterais.
σmax
CL
distribuição de tensões normaisno flange do perfil
Figura 3.9 - Efeito shear lag em vigas com flanges
A distribuição exata das tensões em vigas com flanges largos pode ser
encontrada usando a teoria da elasticidade ou o método dos elementos finitos,
mas o uso destas ferramentas, em fases iniciais de projeto, para computar este
tipo de fenômeno é de pouco senso prático. Um estudo pela teoria da
elasticidade mostra que a magnitude do efeito shear lag (isto é, o quanto a
distribuição de tensões difere daquela originada pela teoria simples de viga)
depende :
1. da relação largura do flange pelo comprimento da viga.
2. do tipo de carregamento lateral.
3. das proporções relativas entre alma e flange.
56
4. do tipo de seção transversal da viga.
5. da posição ao longo da viga. O efeito shear lag em geral varia de ponto
a ponto ao longo do comprimento da viga e é máximo onde existem altos
gradientes de forças de cisalhamento.
A melhor maneira de considerar o efeito shear lag em painéis reforçados é
fazendo uso do conceito de largura efetiva do chapeamento, b1, definida
como:
a largura de chapa que, quando utilizada no cálculo do
momento de inércia da seção transversal do perfil, resultará
no valor correto de tensão normal de flexão na junção
alma-flange, quando se faz uso da teoria simples de viga
para o cálculo dessa tensão.
A largura efetiva deve ser tal que a força longitudinal no flange seja igual tanto
no modelo simples quanto no modelo complexo. Igualando as forças
b dzmax x
b
1 0 σ σ= ∫
ou
bdzx
b
max1
0=∫ σ
σ
O modelo que apresentaremos a seguir, sugerido por W. Muckle, 1967,
se baseia na teoria de Shear Lag desenvolvida por Taylor, 1964.
Considere a viga fabricada mostrada na Figura 3.3. A tensão de
cisalhamento longitudinal em um plano vertical utilizando a relação da
resistência dos materiais pode ser escrita como:
57
B B
z
y eixo neutro
Figura 3.10 - Tensões cisalhantes em vigas com flanges largos
τ = =−Qm
ItQ b z y
I( )
(3.1)
com a correspondente deformação angular, ou de cisalhamento
γ τ= =
−G
Q b z yGI
( ) (3.2)
Conforme se vê na Figura 3.11, as deformações angulares provocam um
movimento longitudinal das fibras
dx
dz
γ
τ
τ
τ
τ
de
Figura 3.11 - Deformação de cisalhamento no flange da viga
de dz= ⋅γ (3.3)
Somando todos os elementos, da origem à uma posição genérica z, obtém-se:
58
e de Q b z yGI
dzQ bz z y
GIz z
= =−
=−
∫ ∫0 0
2
2( ) ( ) (3.4)
A variação no sentido longitudinal deste movimento leva a uma deformação
linear e uma conseqüente tensão normal longitudinal, que é de relaxamento:
Δσ∂∂
∂∂
= =−⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
=−
E ex
Ex
Q bz z y
GIE
q bz z y
GI
( ) ( )2 2
2 2 (3.5)
onde se fez uso da hipótese da viga ser prismática, homogênea e o fato da
variação da força cortante ao longo do eixo da viga ser igual ao carregamento
distribuído, q.
Se o momento fletor, em uma particular secção for designado por M,
então a tensão de flexão no centro do flange é calculada como:
σ fMI
y= (3.6)
e a tensão modificada, pelo efeito de cisalhamento, para
σ xMI
yEq bz z y
GI= −
−( )2
2 (3.7)
Como conseqüência desta composição, a equação de equilíbrio entre
momentos externo e interno não mais fica satisfeita, ou seja, a integral dos
momentos devido as forças internas deve ter como resultado o momento fletor
M. O segundo termo da equação acima resulta no que chamamos de perda de
resistência fletora que é obtida como:
ΔMEq bz z y tdz
GIEG
qb y tI
b=
−=∫2 2 2
3
2 2
0
3 2( ) (3.8)
59
O equilíbrio pode ser então restabelecido se imaginarmos que - aqui se
encontra a hipótese fundamental dessa teoria - as tensões de flexão na viga
são geradas por um momento fletor:
M M+ Δ (3.9)
o que corresponde ao momento real adicionado da parcela devido ao
relaxamento das tensões de flexão devido ao cisalhamento. A distribuição de
tensões resultante no flange da viga será:
σ x
M EG
qb y tI
Iy E
Gq bz z y
I=
+−
−23 2
3 22
( ) (3.10)
σ max
CLσ max
CL
2b
2b12b1
Figura 3.12 - Largura efetiva de flanges
Na junção alma-flange, quando z=0 o valor da tensão é
σ max
M EG
qb y tI
Iy=
+23
3 2
(3.11)
60
Tomando este valor como constante ao longo de uma largura b1, largura
da chapa colaborante, então a força longitudinal suportada pelo flange é:
F b t b tM E
Gqb y t
II
yflange max= =+
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2 2
23
1 1
3 2
σ (3.12)
No entanto, esta força deve ser igual àquela obtida pela integração da
equação 3.10, ou seja:
F tdz btM E
Gqb y t
II
y EG
qb ytI
b tM E
Gqb y t
II
y
flange x
b= =
+⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
=+
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
∫2 2
23 2
3
2
23
0
3 2
3
1
3 2
σ
(3.13)
o que resulta na relação entre a largura efetiva e a largura do flange como
sendo
bb
EG
qb
M EG
qb y tI
1
2
3 21
1323
= −+
(3.14)
Fica evidente que a largura da chapa colaborante é função da
distribuição da carga e das condições de contorno da viga. No caso de uma
viga simplesmente apoiada e com carga uniformemente distribuída, o momento
fletor é dado por:
M qlx qx= −
2 2
2
(3.15)
e a chapa colaborante
61
bb
EG
b
lx x EG
b y tI
1
2
2 3 21
13
2 223
= −− +
(3.16)
Para uma viga bi-engastada sob a mesma condição de carga
M qlx qx q= − −
2 2 12
2 2l (3.17)
e a chapa colaborante
bb
EG
b
lx x EG
b y tI
1
2
2 2 3 21
13
2 2 1223
= −− − +
l (3.18)
Observando em mais detalhe as equações 3.16 e 3.18, nota-se que as
quantidades:
7. momento de inércia I, e
8. y , distância do flange ao centróide da secção da viga;
são funções da largura b1, que esta sendo calculada no primeiro membro de
ambas as equações, de onde se conclui que o processo deve ser iterativo.
Por outro lado, em regiões onde o momento fletor possui valores muito
maiores que o segundo termo no denominador das equações 3.16 e 3.18, este
pode ser desprezado, resultando para:
62
• vigas engastadas:
bb
b12
21 8 1= − +( )μl
no engastamento (3.19)
bb
b12
21 16 1= − +( )μl
no centro da viga (3.20)
• vigas apoiadas:
bb
b12
21 163
1= − +( )μl
no centro (3.21)
onde o carregamento é uniformemente distribuído.
É de interesse uma comparação entre estes resultados e os obtidos pelo
trabalho de Schade, apud Hugues, 1983. Schade fornece os resultados para
chapas colaborantes em função do parâmetro cL/B, onde cL é a distância entre
pontos, ao longo do comprimento da viga, onde são nulos os momentos e B é o
espaçamento entre reforçadores do painel, ou a largura total do flange da viga.
Portanto chamando cL= l1 , B=2b e adotando (1+μ)=5/4 a equação 3.21 para
vigas apoiadas, na região de máximo momento fletor se transforma para 3
bb
B12
121 5
3= −
l
Para finalizar deve-se ressaltar que para secções transversais cujo eixo
neutro estão muito próximos do chapeamento, como é o caso de painéis
reforçados usualmente aplicados na construção naval, as propriedades da
3 Segundo Muckle, 1987, utilizando teoria da elasticidade Schade, chega a seguinte relação para
chapeamentos reforçados, bb
B12
12
1
11 1 2= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
.l
, válido para valores de l1 2B
≥ e mostra que para
certas circunstâncias é possível ter-se uma relação de chapa colaborante espaçamento de perfis maior do que a unidade.
63
secção não são significativamente afetadas pela largura de chapa colaborante
utilizada, de modo que a largura efetiva não possui a importância que pode
parecer a uma primeira vista, veja exercício 1.
As principais conclusões destas investigações são:
1. a largura efetiva varia de ponto para ponto ao longo do comprimento da
viga. Em contrapartida, não há efeito shear lag na flexão pura (força
cortante nula).
2. shear lag ocorre tanto em tração quanto em compressão de forma
idêntica, desde que não ocorra a flambagem do flange.
Na figura 3.13, extraída de Hughes, 1983, apresentam-se as curvas para o
cálculo de largura de chapa colaborante em função do arranjo dos perfis e do
tipo de carregamento.
Figura 3.13 – Largura de chapa colaborante. Hughes, 1983.
64
perfil +chapa colaborante
unidades de chapeamentodistribuição de tensões de flexãono chapeamento
distribuição de momentos fletoresao longo do comprimento do perfilpara carga uniforme
vão L
distância entre momentosfletores nulos = 0.578 L
l1
1
2
1 /2
2 /2
BB
BB
1 /2
2 /2cc
Largura da chapa colaborantec = (c + c )/2
1 2
q L /122 q L /242
l1
Sentido do comprimento
Figura 3.14 – Largura de chapa colaborante em painéis reforçados
3.4. Grelhas
Muitas estruturas se constituem de uma rede de vigas que se estendem
em duas direções, geralmente ortogonais. Nas estruturas navais e oceânicas o
uso deste arranjo é comum, podendo-se citar os conveses de navios,
reforçados na direção transversais pelos vaus e, na longitudinal, pelos
longitudinais leves e sicordas. Conforme se mencionou anteriormente, uma das
formas de se analisar este tipo de estrutura é considerar que o carregamento é
absorvido por um grupo de reforços, enquanto que o outro, agindo como
suporte para o primeiro, não se deforma. De acordo com esse principio e
retomando o exemplo do convés, admite-se que os vaus se apóiam no costado
e em uma sicorda, ambos os apoios considerados irrecalcáveis. Um modelo
melhor reconheceria que o segundo conjunto de reforços atua como apoio
65
elástico para primeiro. O estudo das grelhas contempla este tipo de problema, e
define-se a grelha com uma estrutura onde existem vigas ou reforços em duas
direções.
Nas estruturas navais e oceânicas o problema de grelhas é complicado
pelo fato de os reforços estarem ligados a um chapeamento, ou em outras
palavras, a grelha é chapeada. A dificuldade aqui se refere a qual valor de
chapa colaborante que deverá ser associado à secção reta dos perfis para
formar as vigas ou reforços nas duas direções.
3.5. Grelha Simples Uma introdução ao problema de grelhas pode ser feito considerando
apenas duas vigas que se interceptam em ângulos retos, sendo solidárias no
ponto de interseção. Na Figura 3.15 mostra-se uma estrutura, na qual uma
viga, simplesmente apoiada, com comprimento l 1 e momento de inércia I1, é
ligada, em seu ponto central, a uma segunda viga, também simplesmente
apoiada, comprimento l 2 e momento de inércia I2. As cargas atuantes em cada
uma delas seriam q1 e q2 respectivamente e para o propósito deste problema
serão consideradas uniformes ao longo do comprimento das vigas.
O efeito da ligação entre as duas vigas será a geração de uma força
concentrada F no ponto de interseção e essa agirá para cima em uma das
vigas e para baixo na outra, de modo que a reação de apoio na primeira viga
será:
Qq F
11 1
2 2= −
l (3.22)
e na segunda viga
Qq F
22 2
2 2= +
l (3.23)
Segue que os momentos fletores para estas duas vigas serão:
66
M Q xq x
1 11
2
2= − (3.24)
M Q yq y
2 22
2
2= − (3.25)
q
q
viga 1
viga 2
l1
l2
centro das vigas
2
1
2I
I1
y
x
Figura 3.15 - Grelha simples apoiada
Uma vez conhecida a força F os distribuições de momentos M1(x) e M2(y)
podem ser calculadas para cada uma das vigas. O procedimento é simples.
Como as vigas estão ligadas em seus pontos centrais, as deflexões delas neste
ponto devem ser a mesma. Considerando apenas a influência do momento
fletor no cálculo dos deslocamentos, tem-se:
δ11 1
4
1
13
1
5384 48
= −qEI
FEI
l l (3.26)
e
δ 22 2
4
2
23
2
5384 48
= +qEI
FEI
l l (3.27)
Igualando as duas expressões obtém-se:
67
F
qI
qI
I I
=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
58
1 14
1
2 24
2
13
1
23
2
l l
l l (3.28)
É educativo examinar-se os valores limites na equação 3.28. Se a viga 2
for muito rígida (comprimento pequeno e/ou inércia grande), o segundo termo
em ambos, numerador e denominador, tendem a zero, resultando para a força
F = 5/8 q1 l 1 , que seria o resultado para uma viga contínua sobre três apoios. A
Figura 3.16 ilustra a solicitação de momentos para a viga 1. Se, por outro lado,
a viga 2 for muito flexível e admitir-se que nela atue uma carga desprezível, a
força F será nula e a viga 1 se comportaria como uma viga sobre dois apoios.
l3 /4
2l9 q
128
equivalente a umaviga engastada-apoiada
2lq
8
Figura 3.16 - Momentos Fletores para a viga 1 supondo que a viga 2 seja muito
rígida
3.6. Grelha Múltipla
Quando existem mais de um reforçador em cada direção, a solução do
problema da grelha é mais complicada, pois ao invés de ter-se somente uma
incógnita hiperestática (força concentrada no ponto de interseção das vigas)
surgirá uma série delas. Em outras palavras, haverá tantas reações
hiperestáticas quantas forem as intersecções entre reforços. O problema se
68
transforma de uma equação a uma incógnita para n equações a n incógnitas
se for utilizado o mesmo método do item anterior. Obviamente, em termos
práticos, isso limita a umas poucas vigas o problema que pode ser resolvido
sem o auxilio de um computador.
Existem alguns métodos aproximados para a solução do problema de
grelhas. Um deles, muito difundido na década de 70, antes da popularização
dos Métodos Matriciais, era o Método da Chapa Ortotrópica, onde a grelha é
substituída por uma placa com características ortotrópicas fictícias de rigidez.
Os resultados dessa teoria, úteis nas fases iniciais de qualquer projeto, são
apresentados em forma de gráficos, que podem ser encontrados em Freitas, E.
S., 1977.
Porém o problema de grelha pode ser facilmente resolvido através de
Métodos Matriciais de Cálculo de Estruturas, objeto de estudo não abordado
neste curso.
3.7. Flambagem de painéis reforçados
Embora a flambagem de painéis reforçados seja objeto de estudo do
capítulo de estrutura secundária, ele é mais bem compreendido após o estudo
da estrutura terciária. Assim, sugere-se que o leitor prossiga seus estudos
focalizando a estrutura terciária e, posteriormente, retorne a este item para
compreender o cálculo da instabilidade de painéis reforçados.
Ao se estudar a flambagem de uma unidade de chapeamento, estrutura
terciária, se supõe que seus contornos permanecem estáveis. Na realidade isso
pode não acontecer. Os reforços longitudinais e transversais podem flambar
antes mesmo de uma unidade de chapeamento chegar à sua tensão crítica.
Os painéis reforçados podem flambar de duas formas diferentes. Na
flambagem global, os reforços flambam junto com o chapeamento; na
flambagem local ou o reforço flamba prematuramente, por insuficiente rigidez
ou estabilidade, ou as unidades de chapeamento flambam entre reforços,
69
sobrecarregando desta maneira os reforços de tal forma que estes flambam de
modo semelhante às colunas.
Para a maioria dos painéis, de aplicação em engenharia naval e
oceânica, as dimensões são tais que a flambagem - seja de qual tipo for - é
inelástica, e assim sendo o termo falha é mais adequado de ser usado ao invés
de flambagem. No entanto, a flambagem elástica nos dá uma boa indicação de
como serão os modos de falha e servem, também, como um balizamento inicial
para estudos mais complexos envolvendo a flambagem inelástica.
Como já fora feito anteriormente na flambagem de placas, o cálculo das
tensões criticas de flambagem são, em geral, feitas adotando-se contornos
simplesmente apoiados, não obstante a presença de forças laterais, pois na
maioria dos casos estes carregamentos podem estar ausentes ou podem não
ser grandes o suficiente para prover uma total restrição a rotação. Além disso,
as cargas laterais têm pouca influência na flambagem elástica. Portanto, a
menos que se diga o contrário, será adotado que os lados do painel estão
simplesmente apoiados.
Uma maneira prática de calcular a tensão crítica de flambagem de um
painel reforçado consiste em considerar cada reforçador, associado a uma
largura de chapeamento, como uma viga sendo comprimida. A tensão crítica de
flambagem é então obtida pelas fórmulas de Euler, ou qualquer outra
envolvendo a flambagem de colunas, e esta tensão, assim obtida, deve ser
inferior à tensão crítica de flambagem da unidade de chapeamento.
O que acontece então quando a unidade de chapeamento flamba antes
de se atingir o valor da tensão acima mencionada? Obviamente o valor de b,
vide figura 3.18, tomado como largura de flange para a secção do perfil, deverá
ser menor, uma vez que a unidade de chapeamento sofrera flambagem e uma
conseqüente redistribuição de tensões.
Uma vez que no bom projeto estrutural de um painel esbelto tal condição
deva ser verificada, ou seja, a flambagem do chapeamento deve preceder a
70
flambagem dos reforços, ocorre que a chapa colaborante para o reforçador não
será totalmente efetiva sobre toda largura b. Ao invés, é necessário tomar uma
largura efetiva reduzida, digamos, be. Note que esta largura não é a mesma
deduzida como chapa colaborante à flexão de modo a corrigir o efeito shear
lag. Naquele caso a perda de efetividade era devido a deformações no plano do
chapeamento em função do cisalhamento. No presente caso ela é devido a
deformações para fora do plano, causadas pela flambagem.
b e
b e
b
a
unidade de chapeamento σ a
σ e
tensão uniforme no painel antes da flambagem da unidade de chapeamento
tensão máxima no perfil após a flambagem da unidade de chapeamento
σ a tensão média no painel após a flambagemda unidade de chapeamento
redistribuição de tensões após a flambagem da unidade de chapeamento
Figura 3.18 - Flambagem de uma unidade de chapeamento
A largura efetiva devido a flambagem é uma questão difícil de ser
resolvida, principalmente porque, na maioria dos casos, ela é discutida e
aplicada em um difícil contexto onde os painéis não flambam de forma
puramente elástica. Para a flambagem elástica uma teoria satisfatória foi
apresentada por von Karman, 1932. A proposta de von Karman é, além de
elegante, simples e prática, e fornece uma ferramenta útil na previsão da
flambagem elástica de painéis reforçados.
71
Ele idealizou o estado de tensões na placa após a flambagem adotando
que, devido a flambagem a região central da placa não sofre tensões de
compressão, enquanto que as regiões dos extremos permanecem totalmente
efetivas e apresentando tensões uniformes σe, como se mostra na figura, 3.18.
Em outras palavras, a região flambada da placa é descontada completamente
da placa original de largura b e substituída por uma placa de menor largura, não
flambada e com largura efetiva be.
Do equilíbrio estático fica claro que σe e σa estão relacionadas por:
σ σeA
aAe
dA dA∫ ∫= (3.29)
Para simular a progressão da flambagem é também adotado que a
(ainda não flambada) largura efetiva está sempre na eminência de sofrer a
flambagem, isto é, a largura efetiva é aquela largura na qual a placa
equivalente sofreria flambagem quando submetida a tensão σe. Isto implica em
σπ
ee
k Db t
=2
2 (3.30)
e, para a placa original
( )σ πa cr k D
b t=
2
2 (3.31)
Pressupondo-se que o valor de k seja o mesmo para ambos os casos,
tem-se que:
( )bbe a cr
e
=σ
σ (3.32)
72
Esta última hipótese não é estritamente correta porque, embora as
condições de contorno possam ser consideradas como similares em ambos os
casos, as razões de aspecto são diferentes. No entanto, foi mostrado, quando
do estudo da flambagem de placas, que para razões de aspecto maiores do
que a unidade, k pode ser tomado como sendo 4. A substituição desse valor,
juntamente com o coeficiente de Poisson ν = 0.3, na expressão para (σa)cr,
transforma a equação (3.31) para
bb
tb
Ee
e
= 19.σ
(3.33)
De posse de uma expressão para o cálculo de be podemos prosseguir e
obter uma expressão para a carga de colapso de um painel reforçado, isto é,
para o colapso do painel em modo elástico. A largura efetiva be é associada ao
perfil de área A e inércia I, atuando como uma chapa colaborante no cálculo da
inércia Ie da área transversal Ae do novo perfil. A tensão normal axial, σe , que
atua no reforço mais chapa colaborante, tem seu valor crítico é dado por:
σπ
ee
e
EIA L
=2
2 (3.34)
Note que nesta equação se refere a σe ao invés de σa .A tensão axial no
reforçador é maior do que a tensão externa aplicada σa por causa da largura
reduzida da chapa. A quantidade de interesse é o valor de σa correspondente a
σe . pois este é o valor da carga de flambagem do painel reforçado. Do
equilíbrio estático, ambos se relacionam:
σ σa e ebt A b t A( ) ( )+ = + (3.35)
e, por conseqüência
σ σae
eb t Abt A
=++
(3.36)
73
Por causa da presença de σe na equação (3.33) o cálculo deve ser
iterativo. Um procedimento adequado seria:
1. Adota-se um valor inicial para be (suponha-se be =0.8 b).
2. Calcula-se o momento de inércia do perfil associado à sua chapa
colaborante.
3. Calcula-se σe através da equação (3.34).
4. De posse deste valor, recalcula-se be através da equação (3.33).
5. Repete-se os passos de 2 a 4 ate que be tenha convergido.
6. Calcula-se σa através da equação (3.36).
7. Pode-se observar, através do exercício 6, que com este procedimento,
obtém-se a carga crítica de flambagem do painel em poucas iterações.
74
PROBLEMAS
1. Para o perfil mostrado na figura, calcular o momento de inércia, os
módulos de resistência, no flange e na chapa, utilizando larguras de
chapa colaborante, conforme as relações b1 /b=(1.0;0.8;0.6;0.4);
Para b1/b=1 calcular a distribuição das tensões de cisalhamento no perfil.
(Faça os cálculos para o perfil analiticamente, pois estes resultados
serão úteis para todo o seu futuro dentro do cálculo das estruturas
navais e oceânicas).
b=500; tb=6.3; h=105; th=5; f=45; tf=9.5 (em mm)
f
h
b
t
t
f
th
b
2. Admitindo que a viga com o perfil acima possua 1030 mm de
comprimento e b=500 mm está submetida a uma carga com distribuição
triangular (q=500 N/m) e lados simplesmente apoiados, calcular a chapa
colaborante na posição de momento máximo.
q=N/m
75
3. Para o painel mostrado na figura, calcular as tensões secundarias,
admitindo espaçamento de cavernas de 1030 mm e vão livre da sicorda
de 4 espaçamentos de cavernas. Qual é a máxima tensão no perfil e em
que posição do painel ela ocorre.
p=1.0 mca
P=280x6.3x200x12.5L=105x5x45x9.5
2000espes. = 7
med
ida
s em
mm
4. Na figura mostra-se um painel do fundo de um petroleiro que está
submetido a uma pressão hidrostática de 25 mca. O chapeamento
possui 20 mm de espessura, o espaçamento entre hastilhas é de 3700
mm, e o de longitudinais, 880 mm. Os longitudinais leves possuem
dimensões, 400x12x150x18 (almaxflange), as hastilhas 800x20x400x30
e a quilha 1000x20x300x30. Calcular as máximas tensões secundárias.
Levantar o diagrama de momentos fletores na estrutura pesada.
76
5. Calcular, para as duas direções, as tensões críticas de flambagem do
painel reforçado mostrado na figura.
3000 3000
600
7~
L90x60x6
T300x8x100x12
Aço Naval2
77
4. Estrutura Terciária
4.1. Introdução
Em navios e em algumas estruturas oceânicas encontramos como
componente estrutural básico o painel estrutural ou chapeamento reforçado. O
painel estrutural é composto pelo chapeamento, que assegura a
estanqueidade, ao qual são soldados reforçadores - perfis - em uma única
direção ou em direções ortogonais. Chamamos de unidade de chapeamento de
um painel a porção de placa limitada por quatro reforçadores, ou outras
descontinuidades geométricas, adjacentes. Em navios, quando o lado maior da
unidade de chapeamento é paralela ao eixo proa-popa, diz-se que o sistema de
cavernamento é longitudinal. Quando o lado maior está em direção ortogonal
ao eixo proa-popa, diz-se que o cavernamento é transversal. Na figura 4.1
mostramos, de forma esquemática, a região do fundo de duas embarcações,
uma com cavernamento longitudinal e outra com o cavernamento transversal. É
fácil localizar ali, num painel do duplo fundo, uma unidade de chapeamento4.
Figura 4.1 - Tipos de duplo fundo
4Para os engenheiros navais a unidade de chapeamento também é denominada de estrutura terciária.
78
Ao contrário das vigas nas quais a flexão ocorre apenas ao longo do
comprimento, a flexão de placas geralmente ocorre ao longo de duas direções.
Para equacionarmos o problema da flexão de placas, partimos da teoria geral
da elasticidade, introduzindo hipóteses simplificadoras, baseadas na
observação pura e simples, a fim de facilitar o manuseio matemático do
problema.
4.2. Nomenclatura
No decorrer do presente capítulo, ao tratarmos de placas planas,
usaremos os sistema de referência da figura 4.2, no qual o plano Oxy coincide
com o plano médio, não deformado, da placa.
xy
z
a b
t
O
Figura 4.2 - Placa e sistema de referência
Os deslocamentos nas direções dos eixos x,y e z serão u,v e w,
respectivamente.
Os esforços solicitantes: forças normais, forças cortantes e momentos
fletores, serão sempre dados por unidade de comprimento ou largura e não
serão necessariamente constantes ao longo do comprimento ou largura
(diferente das vigas onde os esforços solicitantes são constantes ao longo da
seção).
79
4.3. Hipóteses simplificadoras e suas limitações
Das simplificações a que se recorrem, as quatro seguintes são parcial ou
totalmente usadas nas teorias mais usuais de placas planas.
1. O material permanece elástico.
2. O plano de meia espessura não se deforma pela flexão. Note-se
que é a flexão que, supostamente, não deforma o plano médio. Este poderá
deformar-se, em realidade, pela própria flexão e, ainda, pelas causas a seguir:
a) forças externas aplicadas ao plano médio da placa, em seu contorno,
como exemplifica a figura 4.3a5.
b) reação de apoios que se opõem a mutua aproximação dos contornos
(figura 3b).
(a) forças normais externas
R R
(b) reações de apoio
n
n
Figura 4.3 - Forças no plano médio da placa
5Poderia haver também forças de cisalhamento, apesar de não aparecerem na figura 4.3.
80
3. Na expressão dos raios de curvatura, pode-se desprezar a
contribuição da derivada primeira, isto é
2
2
23
2
2
2
1
1n
w
nw
nw
rn ∂∂
∂∂
∂∂
−≅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−= (4.1)
onde rn é o raio da curva de interseção de um plano perpendicular a Oxy
com o plano médio defletido ("superfície média").
4. Nas deformações de flexão podem ser desprezadas as
contribuições de σz, τxz e τyz, isto é:
( )yxx νσσε −≅E1
( )xyy νσσε −≅E1
( )yxz σσνε +−
≅E
γτ
xyxy=
G
(4.2)
0≅xzγ
γ yz ≅ 0
81
As duas últimas das equações (4.2) equivalem a dizer que seções
perpendiculares ao plano médio assim permanecem, aproximadamente, após a
flexão6.
A primeira hipótese deixa de ser válida, para estruturas de navios, nos casos
seguintes:
a) em algumas partes da estrutura projetadas para trabalhar, sob as
condições mais desfavoráveis, em regime plástico; exemplo: as regiões mais
solicitadas de anteparas estanques;
b) em pequenas regiões da estrutura que, apesar de projetadas para
o regime elástico, passam ao regime plástico por efeito de tensões residuais7 e
de imperfeita estima das cargas e modelo de cálculo.
A segunda hipótese pode ser considerada válida quando a máxima
deflexão é pequena, comparada com a espessura da placa. Quando a pressão
é uniforme costuma-se utilizar a segunda hipótese até8 wmax/t = 0.5, pois para
deflexões maiores a reação dos lados (figura 4.3) pode tornar considerável a
deformação do plano médio pela flexão.
A terceira hipótese pode ser considerada válida para pequenas
deflexões, sendo, porém usada mesmo para grandes deflexões.
A quarta hipótese produz resultados insatisfatórios para placas grossas e
próximo a contornos. Por placa grossa entenda-se aquela em que as razões a/t
e b/t não são suficientemente grandes. Delas não cogitaremos por não
existirem em estruturas oceânicas.
6Portanto, se admitirmos a hipótese 4, uma linha perpendicular ao plano médio, como Oz, assim continuará após a deformação. 7Tensões remanescentes dos processos de fabricação, principalmente a soldagem. 8Alguns autores sugerem wmax/t = 0.75.
82
4.4. Teoria das pequenas deflexões
A teoria das pequenas deflexões é formulada para um modelo que
incorpora as quatro hipóteses simplificadoras mencionadas. Ela apresenta duas
ramificações, resultantes da inclusão, ou não, do efeito das forças paralelas ao
plano médio da placa9. A não inclusão de tal efeito é razoável quando a razão
wmax/t é pequena e as forças paralelas ao plano médio, aplicadas no contorno
da unidade, não são elevadas. Frequentemente tais condições se satisfazem
em estruturas oceânicas. Como conseqüência obtém-se uma teoria linear.
As forças a serem consideradas, em um elemento da placa, com
dimensões t, dx e dy, são as que se representam na figura 4.3. Para não
sobrecarregar a figura estão mostradas as forças que atuam nos lados visíveis
do elemento. Nas faces opostas às visíveis existem as mesmas forças em
sentidos opostos e sem os termos devido a variação dx e dy, conforme se vê
representado no canto superior direito da figura 4.4(a).
xy
z
dxdy
n + dndxx
xdx
n + dxx y dxdn x y
n + dyy x dydn y x
dxdy
n + xdndx
xdxn x
n + dy y dydn y
Figura 4.4(a) - Forças de membrana em um elemento de placa
9Essas forças, denominadas de forças (que geram tensões) de membrana, estão representadas na figura 4.4, como sendo nx, ny, e nxy.
83
xy
z
q + dqdxx
xdx
m + dmdxx
x dx
m + x yx ydm
dxdx
q + dqdyy
y dym + dmdyy x
y x dy
m + dmdyy
ydy
p dx dy
Figura 4.4(b) - Forças de flexão em um elemento de placa
4.5. Relações entre momentos fletores e curvaturas
Consideremos um elemento de dimensões t, dx e dy, isolado de uma
placa, e representado na figura 4.5 apenas com os momentos fletores que
sobre ele atuam, simplesmente para não sobrecarregar a figura.
xy
z
dxdy
z
dz
m x
m y bc
d
σx
σy
t/2 a
Figura 4.5 - Momentos fletores em um elemento de placa
84
Focalizemos a lâmina abcd. Utilizemos:
a) quarta hipótese, isto é γ γxz yz= ≅ 0 ,
b) segunda hipótese, isto é, indeformabilidade do plano médio.
Podemos escrever10
εxx
zr
= ; ε yy
zr
= (5.1)
onde z é uma coordenada perpendicular ao plano médio deformado, medida a
partir dele, e no mesmo sentido de Oz.
Usando a quarta hipótese temos:
( )yxx νεεν
σ +−
= 21E
(5.2)
( )xyy νεεν
σ +−
= 21E
Usando as equações (5.1), temos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
yxx rr
111
Ez2
νν
σ
(5.3)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
xyy rr
111
Ez2
νν
σ
e os momentos resultantes em cada uma das faces da figura 5
10A dedução é a mesma que se faz na teoria simples de vigas.
85
∫−= 2
2
t
tdydzzdym xx σ
(5.4)
∫−= 2
2
t
tdxdzzdxm yy σ
Usando as equações (5.3) e ainda a terceira hipótese,
2
21xw
rx ∂∂
−= ; 2
21y
wry ∂
∂−=
podemos expressar σx e σy em função de w nas equações (5.4), obtendo:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−= 2
2
2
2
2
3
112E
yw
xwtmx ∂
∂ν∂∂
ν
(5.5)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−=
2
2
2
2
2
3
112E
xw
ywtm y ∂
∂ν∂∂
ν
Definindo módulo de rigidez à flexão11 de placas como
( )2
3
112ED
ν−=
t (5.6)
resulta:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
2
2
2
2
Dy
wx
wmx ∂∂ν
∂∂
(5.7)
11É equivalente ao produto de rigidez EI nos problemas de fexão de vigas.
86
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
2
2
2
2
Dx
wy
wm y ∂∂ν
∂∂
As equações (5.7) são as desejadas relações entre momentos fletores e
curvaturas.
4.6. Relações entre momentos torçores e curvaturas
Isolemos o mesmo elemento considerado no ítem anterior,
representando-o na figura 6.1 apenas com os momentos torçores que sobre ele
atuam. Sobre a lâmina abcd estarão presentes as tensões de cisalhamento τxy
e τyx.
xy
z
dxdy
z
dz
m xym yx
a
bc
d
σxy
σyx
t/2
Figura 6.1 - Momentos torçores em um elemento de placa
Observando a figura 6.2 notamos que, se um ponto a na placa,
localizado a uma distância z da superfície neutra é deslocado de uma
quantidade v na direção y, o deslocamento de um ponto vizinho, localizado em
x + dx será de v + (∂v/∂x)dx, de forma a mudar a inclinação da linha ab de
87
v vx
dx v
dxvx
+ −=
∂∂ ∂
∂
(6.1)
De modo análogo a mudança na inclinação da linha ad será ∂u/∂y.
O retângulo abcd se transforma no paralelogramo a'b'c'd' e a deformação
por cisalhamento é definida como:
γ ∂∂
∂∂xy
vx
uy
= +
(6.2)
τ γxy xy= G
m dy z dydzxy xyt
t
= −−∫ τ
2
2
(6.3)
∫−+= 2
2
t
tdxdzzdxm yxyx τ
De (6.3) vem : m mxy yx= −
É necessário expressar u e v em função de w. Consideremos a figura
6.2.
Para um dado valor do par (x,y), podemos escrever:
u u u z= +0 '( ) (6.4)
v v v z= +0 '( ) (6.5)
u0 e v0 são deslocamentos u e v para z = 0.
88
Então
γ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
γ
xyvx
uy
vx
uy y
u zx
v z
xy
= + = + + +0 0
0( )
' ( ) ' ( )6 74 84
( )γ xy 0 é a deformação de cisalhamento γ xy no plano médio, que, por hipótese, é
indeformável.
Logo:
( ) '( ) '( )γ γ ∂∂
∂∂xy xy y
u zx
v z0 0= ∴ = +
(6.6)
Observando a figura 6.2, satisfeita a hipótese γ xz ≅ 0 , verifica-se que
u z z wx
' ( ) = −∂∂
(6.7)
e, analogamente
v z z wy
' ( ) = −∂∂
(6.8)
89
a b
c d
a'
b'
c'
d'
v + (d v /d x) d xv
u
u + (d u /d y) d y
dx
dy
= d w / d x
t
u = - z ( d w / d x )w
x
z
z
sin θ
tan θ
pequenas deflexões
θ sin θ~~ ~~
θ
tan θ
Figura 6.2 - Deformação por cisalhamento e deflexão da placa
Substituindo as duas últimas equações na equação (6.6) obtém-se:
90
γ ∂∂ ∂xy z wx y
= −22
(6.9)
Substituindo (6.9) nas equações (6.2) e estas em (6.3) vem:
m m wx yxy yx= − = D(1- )2
ν ∂∂ ∂
(6.10)
A equação (6.10) é a desejada relação entre momentos torçores e
torções na flexão de placas.
4.7. Equação de equilíbrio, desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio.
Vamos desenvolver uma equação que relacione a função incógnita do
problema, w, com o valor da carga lateral aplicada. Poderemos utilizar todas as
relações já desenvolvidas. O elemento de placa a considerar é o da figura 4.1,
em que desprezamos, logo de inicio, os esforços nx , ny e nxy .
Estabeleceremos as condições de equilíbrio na direção de Oz e em torno de Ox
e Oy. As três condições restantes não serão consideradas pois desprezaremos
o efeito das forças paralelas ao plano da placa.
Equilíbrio de forças na direção de Oz:
∂∂
∂∂
qx
qy
px y+ + = 0 (7.1)
Equilíbrio de momentos em torno de Ox:
∂∂
∂∂
mx
my
qxy yy− + = 0 (7.2)
91
Equilíbrio de momentos em torno de Oy:
∂∂
∂∂
my
mx
qyx xx+ − = 0 (7.3)
Substituindo as equações (7.3) e (7.2) em (7.1) obtém-se:
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
2
2
2 2
22mx
mx y
my
px xy y
− + = − (7.4)
Substituindo as equações (5.7) e (6.10) em (7.4) obtem-se:
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
4
4
4
2 2
4
42wx
wx y
wy
p D
+ + = (7.5)
ou
∇ =4w pD
(7.6)
4.8. Solução do problema de flexão de placas
O problema estará resolvido quando, dadas as condições de contorno e
a distribuição p(x,y), obtermos uma solução para a equação (7.6),e daí, as:
• tensão máxima na direção x:
σxxm
tmax=
62
• tensão máxima na direção y:
σ yym
tmax=
62 (8.1)
92
• tensão máxima de cisalhamento no plano xy12:
τxyxym
tmax=
62
4.9. Placas simplesmente apoiadas
O problema em pauta foi resolvido para várias condições de contorno e
de carregamento. Um estudo completo das soluções da equação (7.6), com
seus desenvolvimentos, pode ser encontrado na referência Timoshenko,
Theory of Plates and Shells. Vamos tratar aqui dos casos comumente
encontrados em estruturas navais e oceânicas, placas retangulares com os
contornos ou simplesmente apoiados ou engastados sob pressão lateral
uniforme.
A solução para placas com os contornos simplesmente apoiados,
desenvolvida por Navier (1820), admite que o carregamento p(x,y) possa ser
representado por uma série de Fourier. Nestas condições, a expressão geral do
carregamento seria:
p P m xb
n yamn
nm
==
∞
=
∞
∑∑11
sin sinπ π (9.1)
onde o coeficiente Pmn pode ser obtido, por análise de Fourier, para qualquer
tipo de carregamento. Por exemplo, para o caso de pressão uniforme p0
pode-se demonstrar que o coeficiente Pmn é dado por
12Note que utilizando a hipótese de que γxz e γyz são nulos ficam desconhecidas as distribuições das tensões de cisalhamento τxz e τyz advindas das forças cortantes qx e qy respectivamente. Admitindo-se uma distribuição parabólica para τyz e τxz , calcularía-se as tensões máximas:
τ xzxq
t= 1 5. e τ yz
yqt
= 1 5.
93
P pmnmn =
16 02π
(9.2)
onde m e n assumem valores impares somente pois, devido a simetria do
problema, os valores pares resultam em Pmn nulos.
A distribuição de carregamento bi-harmônica resultará em deflexão
também senoidal. Isto é, a solução geral da equação (7.6) e que satisfaz as
condições de contorno é da forma:
w W m xb
n yamn
nm
==
∞
=
∞
∑∑11
sin sinπ π (9.3)
Para achar o valor do coeficiente Wmn em (9.3), esta, juntamente com
(9.1) e (9.2), é substituída em (7.6). Após alguma manipulação obtém-se:
2
2
2
2
26
0
D
16
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
an
bmmn
pWmn
π
(9.4)
Encontrado w(x,y) obtemos os momentos fletores e destes as tensões de
flexão utilizando as equações (8.1) e (8.2)
∂∂
π π π2
211
2 2
2w
xW m
bm x
bn yamn
nm
= −=
∞
=
∞
∑∑ sin sin
(9.5)
∂∂
π π π2
211
2 2
2w
yW n
am x
bn y
amnnm
= −=
∞
=
∞
∑∑ sin sin
Como exemplo, calculamos
94
ayn
bxm
an
bmW
yw
xwm
m nmnx
ππνπ∂∂ν
∂∂ sinsin
D
2
2
2
22
1 12
2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∑∑
∞
=
∞
=
(9.6)
A curvatura, e portanto o momento fletor, será sempre maior ao longo do
lado curto da placa. Por convenção, o símbolo b é sempre utilizada para a
dimensão deste lado, fazendo com que a razão de aspecto a/b seja sempre
maior que a unidade.
Para se ter uma idéia da influência do número de termos retidos no
cálculo de mx na equação acima, consideremos uma placa com razão de
aspecto a/b=4 e tomemos os três primeiros termos em cada uma das séries
para o cálculo das deflexões e tensões no centro da placa, isto é, x = b/2 e y =
a/2. Neste ponto, os termos em seno da equação (9.3) valem 1 ou -1,
dependendo do valor de m e n. O coeficiente em (9.3) se reduz a
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+
2
2
222
2
222
4
2016
abnmmn
abnmbp ν
π (9.7)
Adotando ν = 0.3, obtém-se:
( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+
+222
22
4
20
0625.0
01875.016
nmmn
nmbpπ
(9.8)
A tabela T1 mostra os cálculos do coeficiente entre chaves da equação (9.8).
95
Tabela T1 Amplitude dos termos de Fourier
n m mn m2 n2 m2+0.01875n2 mn(m2+0.0625n2)2 Coeficiente
1 1 1 1 1 1.01875 1.1289 0.90240
1 3 3 9 1 9.01875 246.3867 0.03660
1 5 5 25 1 25.01875 3140.6445 0.00796
3 1 3 1 9 1.16875 7.3242 0.15957
3 3 9 9 9 9.16875 822.9726 0.01114
3 5 15 25 9 25.16875 9801.6210 0.00257
5 1 5 1 25 1.46875 32.8320 0.04473
5 3 15 9 25 9.46875 1673.5260 0.00566
5 5 25 25 25 25.46875 17 639.1600 0.00014
O valor do momento fletor a meio vão é:
m p bx = − + −16 0 90240 0 03660 0 007960
42
π( . . . ...)
= 0 125 02. p b
Timoshenko obtém, para o problema resolvido, 0 1235 02. p b , o que
mostra a precisão dos resultados obtidos com apenas 3 termos na série.
M = 0.125 q bb
max
q
2
a
q = p a
Embora a placa com contornos simplesmente apoiados tenha aplicação
prática restrita, o exemplo calculado mostra que o que chamamos de efeito
painel diminui rapidamente com crescimento da razão de aspecto, pois se
96
pensássemos que na direção curta a placa fosse uma viga larga (viga com
comprimento b e seção transversal a x t), o máximo momento fletor, no centro
da viga (placa), será
M qbmax =
2
8
Dividindo pelo comprimento a
m Ma
qba
pbmaxmax .= = =
22
80 125
que, aproximadamente, é o mesmo valor obtido para a placa com razão de
aspecto 4.
4.10. Soluções em forma de Gráficos
A solução para placas com os lados engastados é um pouco mais
elaborada e pode ser vista com mais detalhe em Timoshenko, 1966. Para uso
em engenharia a solução em forma de gráfico é mais conveniente e,
visualmente, garante maior sensibilidade. Os gráficos mostrados nas figuras
10.1 e 10.2 fornecem a solução, em termos de tensões e deflexões, para os
dois casos mais utilizados em engenharia naval e oceânica.
97
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
= 5 k p b / ( 384 D )ω4
a / b
k
Lados apoiados
= k p b / ( 384 D )ω4
Lados engastados
1
2
D = E t
12 ( 1 - )
3
2μ
k
k1
2
Figura 10.1 - Deflexão máxima em placas retangulares sob pressão uniforme
98
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
K
PLACA RETANGULAR axbxt
PRESSÃO p
TENSÃO
TEORIA DAS PEQUENAS DEFLEXÕES COM COEFICIENTE DE POISSON = 0.3
σ = k p ( b / t ) 2
0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
a / b
lados engastados
a
b
lados apoiados
μ
0.75
0.50
0.34
0.225
(a/b) oo
Figura 10.2 - Tensões em placas retangulares sob pressão uniforme13
13Para os engenheiros especializados em Estruturas, formados pelo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica da USP, este gráfico ficou conhecido como GIII-7, índice este dado pelo prof. Elcio de Sá Freitas em suas Notas para projeto, Tabelas e Índices de Cuvas, uma coletânea de trabalhos úteis ao projeto estrutural de navios.
99
Exemplo
800
2500
x
y
#12.5
b b b
pressão
painel estrutural
unidade de chapeamento
rotação nula nos apoios
Calculemos qual a pressão que causaria o inicio do escoamento de uma
unidade de chapeamento de aço, E = 210.000 MPa, σe = 250 MPa e
coeficiente de Poisson ν=0.3, lados engastados, com dimensões
2500x800x12.5 mm. Utilizando o gráfico da figura 10.2, com razão de aspecto
2500/800 = 3.1, na direção do lado curto, no centro do lado longo, obtemos
kx=0.5. Neste ponto, como em todos os outros pertencentes a esta aresta, não
existe deformação na direção longa, ou seja εy = 0 e, consequentemente, σy =
νσx. Dentro da teoria de placas, a terceira tensão principal, σz é nula,
resultando, pelo critério devido a von Mises,
( ) ( ) ( )[ ]2222
21
yzzxyxe σσσσσσσ −+−+−= ,
escoamento quando:
σ σ σ σ σe x y x y= + −2 2
100
Substituindo as definições de σx e σy
σ ν νe x ek p bt
= − +( )2 21
e a pressão procurada
p bt
ke
e
x
=− +
σ
ν ν( )2 21
Substituindo os valores numéricos, obteremos
pe = 0.1372 MPa = 14 mca (metros de coluna d'água)
4.11. Placa longa
Em termos teóricos uma placa longa é aquela em que a razão entre o
comprimento a e a largura b é "infinita". As relações a seguir são derivadas
mantendo esta hipótese. Estudando-se porém, placas com razão de aspecto
finito, verifica-se que, dependendo do tipo de carregamento e das condições de
apoio, a solução deduzida para placa longa é aplicável, com pequena
percentagem de erro, à placa com razão de aspecto superior a um determinado
valor limite. A tabela 2 apresenta alguns resultados.
Tabela T2 - Resultados comparativos entre TPD e Teoria de placas longas
Carga Condições de apoio a/b Erro em %
Pressão uniforme apoio simples 3 6.5
Pressão uniforme apoio simples 5 0.5
Pressão hidrostática apoio simples 4 1.5
TPD: Teoria das pequenas deflexões
101
As equações para placas longas podem ser obtidas particularizando-se
aquelas anteriormente deduzidas, fazendo com que a razão de aspecto a/b
tenda a infinito.
Com a/b →∞ segue que:
ry → ∞ (11.1)
∂∂wy
→ 0 (11.2)
∂∂ ∂
2
0wx y
→ (11.3)
∂∂
2
2 0wy
→ (11.4)
Introduzindo essas relações em (5.7), (6.10), (7.6) e (8.3) obtemos:
m wx = −D d
dx
2
2 (11.5)
m my x= ν (11.6)
σ νσy x= (11.7)
γ xy = 0 ⇒τ xy = 0 (11.8)
d wdx
p t d wdx
p4
4
3 4
412= ∴ =
DE
1- 2ν (11.9)
102
σxxm
tmax
max=6
2 ; (11.10)
σ νσy xmax max= (11.11)
As equações (11.5) e (11.10) mostram que as flechas e as tensões
longitudinais são as mesmas que se obteriam se considerássemos a placa
longa composta de vigas justapostas, de larguras unitárias, comprimento b e
módulo de elasticidade iguais a
E E'=−1 2ν
(11.12)
Nestas condições podemos utilizar as tabelas de resistência dos
materiais, substituindo-se E por E’, para determinarmos as solicitações nas
placas.
Para uma viga prismática de comprimento b, bi-engastada e com carregamento
uniformemente distribuido, q, o máximo momento fletor é dado por
M qmax /= l2 12 . Admitindo que a seção transversal seja um retângulo com
dimensões a x t, a máxima tensão flexão é
σmaxmax ( / ) / ( / )
/. ( / )= = =
M tI
qb tat
p b t2 12 212
0 52
32
M = q b / 12max
q
2
at
seção transversal
b
Figura 11.1 - Viga bi-engastada sob carregamento uniforme
103
Observando o gráfico 10.2 vamos verificar que para uma placa com os
lados engastados e razão de aspecto superior a 2, a tensão, na direção curta é
exatamente igual a equação acima.
O deslocamento no meio do vão para a viga é δ = (qb4)/(384EI). Fazendo
as devidas substituições, calculamos para a placa longa:
w qb pbat
= =−
4
1 12
4
384 3842
3E Dν
Observando o gráfico da figura 10.1, verificamos que, para placas engastadas o
máximo deslocamento é dado por
w k pbmax = 2
4
384D
com k2 tendendo a 1 para a/b > 2.
4.12. Comportamento elasto-plástico14
Quando o material de uma placa possui elevada ductilidade, como em
aços navais, frequentemente ela pode suportar cargas muito mais elevadas do
que aquela que produz inicio de escoamento, antes de romper-se. É
conveniente, então, despender algum tempo em um breve estudo do
comportamento elasto-plástico das placas.
Nas discussões a seguir admite-se que o material apresenta um
diagrama idealizado de ensaio uniaxial, conforme esquematizado na figura
12.1.
14 Tópico dispensável em uma primeira abordagem
104
σ
ε
eσescoamento
carregamento
descarregamento
Figura 12.1 - Diagrama idealizado de tensão-deformação
A seqüência de diagramas mostrado na figura 12.2 ilustra o desenvolvimento
das tensões normais em uma seção onde existe flexão simples, à medida em
que a carga aumenta.
+ + + + + +
- - - - - -
σ σ σσσ2σ1
( i ) ( i i ) ( i i i ) ( i v ) ( v ) ( v i )
+
-
σ
zonas escoadas
seção
xe xe
xe
xe xe
Figura 12.2 - Desenvolvimento das tensões normais de flexão pura com
carga crescente
O momento fletor do caso VI é o máximo que se pode desenvolver em
uma seção cujo material tem a curva idealizada mostrada na figura 12.1. Para
uma seção retangular, de largura unitária, ele vale
105
m tp xe= σ
2
4 (12.1)
No caso VI toda a seção está plastificada. Qualquer carga adicional não
poderá ser resistida por flexão, já que o momento atingiu seu limite máximo.
Logo, daí para diante, a seção pode ser representada por uma articulação
submetida a um momento constante mp. A tensão de membrana ou tensão
média,
01=⋅= ∫
Am dA
Aσσ (12.2)
é nula.
Examinemos, agora, como se desenvolvem as tensões normais em uma
seção onde existe flexão composta.
Note-se que a tensão média, ou tensão de membrana, pode ser
composta pela adição de três termos:
• tensões devidas à aplicação direta de forças paralelas ao plano médio
(forças ativas);
• tensões devidas ao aparecimento das forças reativas dos vínculos,
impedindo os lados de se aproximarem;
• tensões devidas à deformação do plano médio pela própria flexão.
Consideremos o caso em que a força axial varia, juntamente com o
momento. A seqüência de diagramas na figura 12.3 ilustra o desenvolvimento
das tensões normais em uma seção onde existe flexão composta, à medida em
que a carga aumenta. O exemplo apresentado refere-se a um dado
carregamento e dada geometria. A seqüência de diagramas é, pois
esquemática, para estas condições, mas as conclusões são gerais.
106
+ + + + ++
- - -
σ σ σσσ2σ1
( i ) ( i i ) ( i i i ) ( i v ) ( v ) ( v i )
xe xe xe xe
Figura 12.3 - Desenvolvimento das tensões normais de flexão composta com
carga crescente
Verifica-se agora que, ao se plastificarem todas as "fibras" da seção,
temos:
m mp<
(12.3)
σm ≠ 0
Observa-se que o momento fletor atinge um máximo e decresce,
enquanto a tensão de membrana cresce continuadamente até igualar-se à
tensão máxima no escoamento (caso VII). A partir daí a seção não terá
capacidade para resistir a cargas adicionais.
Vamos aplicar as idéias anteriores, examinando o que ocorre a uma
placa longa, com lados livres para se aproximarem, sob o efeito de crescente
pressão uniforme.
107
p
m = p b C
2/24m = p b
A
2/12
b/2 b/2
A B
C
Figura 12.4 - Placa longa
Nos engastamentos temos:
σxa
t
t
m p bt
= =( ) ( )2
12
23 2
;
(12.4)
σ νσy x=
A terceira tensão principal é nula e portanto, utilizando o critério de von Mises,
o valor de σx para o qual ocorre inicio de escoamento nas "fibras" externas da
placa é
σ σν ν
xee=
− +1 2 (12.5)
Este resultado mostra que, devido a presença da tensão σy , o
escoamento não ocorre até depois que σx tenha excedido a tensão de
escoamento σe de aproximadamente 13% (foi admitido um coeficiente de
Poisson igual a 0.3).
A pressão que ocasiona o inicio do escoamente, pe , vale
108
σ ν ν σν ν
ee
eep b
tp t
b= − + ∴ =
− +21 2
12 2
22( ) ( ) (12.6)
Aumentando-se a pressão além e pe, chegaremos à total plastificação nos
engastamentos, com
m m ta p
e= =− +
σν ν1 42
2
(12.7)
A estrutura equivalerá então a
C
b
pmpm
Figura 12.5 - Rótulas plásticas formadas nos engastes
Aumentando-se ainda mais a pressão haverá inicio de escoamento nas
"fibras" extremas do ponto C até que, a um dado valor da pressão p = pc ,
haverá plastificação total em C. Teremos neste instante:
C
pmpm
b/2
Figura 12.6 - Rótula plástica formada no centro
109
m p b ma c p= ∴ =∑ 08
22
(12.8)
pm
b
t
btbc
p
e
e= = − + =− +
16 161 4 4
12
2
2
2 22
σν ν σ
ν ν( ) (12.9)
Portanto
p pc e= 2 (12.10)
A partir daí não mais pode haver equilíbrio diante de cargas adicionais.
Portanto pc é a pressão de colapso para a placa longa, de lados engastados
mas que podem se aproximar.
Examinemos, a seguir, o que ocorreria com a mesma placa longa caso
seus lados, também engastados, não pudessem se aproximar. Verifica-se,
então a seqüência mostrada na figura 12.7. As áreas escurecidas denotam a
ocorrência de plastificação, em tração ou compressão.
A BC
A B
A B
A B
A BA B
inicio do escoamentop1
p2
p
p3
p4
Figura 12.7 – Seqüência de formação de rótulas plásticas
110
Observe-se que agora, quando ocorre plastificação total em A e em C,
embora os momentos agentes sejam nulos, existe a força de membrana nc
que, multiplicada por wm, produzirá um momento adicional capaz de equilibrar
uma pressão maior que pc, valor que levava ao colapso quando os lados
podiam se aproximar. Além disso, como vimos inicialmente, a força de
membrana pode crescer até o limite σxe t, anulando neste instante o momento
fletor. Nesta situação teremos:
A
C
b / 2
wm
cn
p
Figura 12.8
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A, obtemos:
( )σxe mt w pb =2
8 (12.11)
de onde calculamos a pressão atuante p relacionada a deflexão no centro da
placa wm
p t wb
xe m=8
2( )σ
(12.12)
Substituindo (12.5) em (12.12) e utilizando a equação e dividindo o
resultado pela equação (12.9) obteremos:
pp
wtc
m= 2 (12.3)
111
inicio do escoamento região escoada
inicio do escoamento
( i ) ( i i )
região escoada
( i i i ) ( i v )
Figura 12.9
Concluindo, se no projeto de uma placa caracterizarmos como falha15 o inicio
de escoamento no ponto de máxima solicitação, após a referida falha a placa
resistirá a adição de uma apreciável quantidade de carga antes de sofrer a
ruptura propriamente dita. É claro que os estágios mais avançados de
plastificação somente serão possíveis se houver a indispensável dose de
dutilidade do material. A figura 12.9 esquematiza o processo de escoamento de
uma placa até o estágio em que nesta só atuam tensões de membrana. A
pressão lateral que levou a placa atingir este estágio, dependendo da dutilidade
do material, é inúmeras vezes superior àquela que iniciou o escoamento no
ponto de máxima solicitação. No projeto de estruturas navais, a maioria das
unidades de chapeamento do casco é projetada prevendo-se o comportamento
elástico apenas. Somente em anteparas de subdivisão permite-se a
deformação plástica permanente, naturalmente com pressões inferiores àquela
15Falha é qualquer ocorrência indesejável na estrutura.
112
que transformaria a placa em uma membrana plástica, estágio IV na figura
12.9.
113
4.13. Equação das placas para pequenas deflexões, incluindo-se o efeito de cargas paralelas ao plano médio.
Mesmo que as deflexões sejam pequenas, poderemos obter resultados
insatisfatórios se desprezarmos, na flexão, o efeito de forças paralelas ao plano
médio e que tenham considerável magnitude. Em navios, dependendo da
geometria e da tensão primária16, a tensão máxima devido a flexão das
unidades de chapeamento poderá aumentar em cerca de seis por cento, se
incluirmos nesta flexão a ação da tensão primária.
Figura 13.1 - Flexão da viga navio gerando tensões uniformes paralelas 16Define-se tensão primária como sendo aquela decorrente da flexão do casco do navio como sendo uma viga , a chamada viga navio, conforme a figura 13.1 (a), em tosamento, e 13.1(b), alquebramento.
114
ao plano médio da unidade de chapeamento
Modificaremos a formulação do item 7, Equação de equilíbrio,
desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio, estabelecendo as
condições de equilíbrio nas direções de Ox e Oy, e incluindo, na direção Oz, o
efeito de nx , ny , nxy e nyx. Considerando a figura 13.2 e lembrando que
estamos utilizando a hipótese de pequenas deflexões (senθ ≅ tanθ ≅ θ ; cosθ ≅
1), podemos escrever:
F nx
nyx
x yx= → + =∑ 0 0∂∂
∂∂
(13.1)
Fnx
nyy
xy y= → + =∑ 0 0∂∂
∂∂
nxy x
y
n
yx
n
n
nx
y
x
z
t
115
n + (d n /dx)dxx x
nx
dx
z
x
θθ + (d /dx)dxθ
= tan = dw/dxθ w θ ~
Figura 13.2 - Forças de membrana
Note-se que agora, quando não desprezamos nx , ny e nyx , podemos
escrever mais 3 equações de equilíbrio do tipo ΣFx = 0 e ΣFy = 0 (equações
13.1) e ΣMz = 0, completando as 6 equações de equilíbrio. A última equação Σ
Mz = 0 nos dá, porém, apenas nxy = nyx.
A projeção das forças nx na direção de Oz, veja a figura 13.2 vale,
{dydx
xw
xwdx
xnn
xwdyn
dxx
sen
xx
sen
x44 344 21)
(
2
2
)
() (
∂θ∂
θθ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+
+++− (13.2)
ou, após simplificação,
n wx
dxdy nx
wx
dxdyxx∂
∂∂∂
∂∂
2
2 + (13.3)
116
Analogamente obtem-se, para a projeção de ny e nxy na direção de Oz
n wy
dxdyny
wy
dxdyyy∂
∂∂∂
∂∂
2
2 + (13.4)
n wx y
dxdynx
wy
dxdyxyxy∂
∂ ∂∂∂
∂∂
2
+ 13.5)
Obtém-se expressão análoga a (13.5) para a projeção de nyx na direção de
Oz. A projeção, sobre Oz, das forcas de cisalhamento é
22
n wx y
dxdynx
wy
dxdyny
wx
dxdyxyxy yx∂
∂ ∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+ + (13.6)
A equação de equilíbrio na direção de Oz (equação 7.1) será, então acrescida,
no primeiro membro, das projeções calculadas acima, com as simplificações
decorrentes da equação (13.1), resultando em
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2mx
mx y
my
p n wx
n wy
n wx y
x xy yx y xy
− + = − + + +( ) (13.7)
Nos casos de pequenas deflexões, de que ora tratamos, é possível
desprezar a deformação do plano médio causada pela flexão e considerar nx ,
ny , nxy e nyx como decorrentes apenas de forças aplicadas no contorno da
unidade de chapeamento. Elas serão, portanto, funções conhecidas, em (13.7),
que também se pode escrever na forma:
∇ = + + +42
2
2
2
21 2w p n wx
n wy
n wx yx y xyD
( )∂∂
∂∂
∂∂ ∂
(13.8)
A Equação (13.8) é a equação para a teoria de pequenas deflexões que
inclui o efeito das forças aplicadas ao plano médio da placa.
117
A resolução do problema consistirá em determinar a função w que
safistaz às condições de contorno e à equação (13.8) para um dado
carregamento p(x,y). Alguns casos estão resolvidos na referência [3]. O gráfico
da figura 13.3 apresenta o caso típico de engenharia naval, onde o
carregamento paralelo ao plano médio da unidade de chapeamento é
conhecido (advém das tensões de flexão da viga navio) e seu valor influencia o
valor das tensões de flexão da placa. Tal influência é apresentada sob a forma
de um fator de ampliação φ. Portanto na resolução de placas com cargas
laterais e paralelas ao plano médio, podem-se utilizar os mesmos gráficos
anteriormente descritos, figuras 10.1 e 10.2, e a eles aplicar-se o fator de
ampliação φ encontrado no gráfico13.3. No gráfico, o coeficiente k é definido
como:
• lados engastados: k ab
ba
= + +4 83
42
2
2
2
• lados apoiados: k ab
ba
= + +2
2
2
22
• lados B engastados, lados A apoiados: k ab
ba
= + +34
2 42
2
2
2
• lados B apoiados, A engastados: k ab
ba
= + +163
83
2
2
2
2
118
A
AB B
a
by
0 1 2 3 4
a / b
k
10
20
30
40
50
60
70
80
A - engastadosB - apoiados
todos os ladosengastados
todos os lados apoiados
B - engastadosA - apoiados
i
ii
iii
iv
σm σm
w wf
x x f
y y f m
max
max
max
=
=
= +
φ
σ φσ
σ φσ σ
1
22 )/()D(1
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
tbkm
πσ
φ
Figura 13.3 - Placa sob carga lateral e compressão nos contornos17
17f representa valores obtidos através da teoria das pequenas deflexões (Gráficos 10.1 e 10.2)
119
4.14. Flambagem de placas
Em várias partes da estrutura de um navio encontramos unidades de
chapeamento sobre cujos lados atuam cargas paralelas ao plano da placa, de
compressão ou de cisalhamento, simultaneamente, ou não, com cargas
laterais. Assim é que no convés, por exemplo, uma unidade de chapeamento
pode sofrer a ação das tensões primárias de compressão, além de cargas
laterais, conforme já visto na figura 13.1. O mesmo se poderia dizer de uma
unidade de chapeamento do fundo do navio. Já no costado, a cerca de um
quarto do comprimento do navio e na altura do eixo neutro, uma unidade de
chapeamento apresenta tensões de cisalhamento atuantes sobre os seus
lados, e que correspondem, em geral, a um máximo das tensões de
cisalhamento da viga navio. Sabe-se que, para certos valores dessas cargas
atuantes no plano da placa, pode ocorrer uma brusca mudança de deflexão da
unidade, causando deformações permanentes ou não, e que possivelmente
não serão toleráveis pelos critérios de projeto. É possível, pois, ocorrer
instabilidade na unidade de chapeamento.
Se considerarmos, agora, um painel completo de chapeamento, formado
por placas e seus perfis longitudinais e transversais, entre duas anteparas
consecutivas, poderemos fazer considerações análogas notando, porém, que
as conseqüências da instabilidade, por afetarem parte bem maior da estrutura,
são mais graves. Caso fixemos a atenção em uma parte de um painel, apenas,
envolvendo algumas unidades de chapeamento e certos perfis, poderemos
repetir mais uma vez aquelas apreciações, o que também acontecerá se
considerarmos apenas perfis. Diante disto, ao examinarmos uma parte
qualquer da estrutura onde existem esforços de compressão ou cisalhamento
no plano do chapeamento, é razoável indagarmos:
• quais as possíveis formas de instabilidade, desde as mais locais às mais
globais?
• caso uma parte da estrutura flambe, como se redistribuirão os esforços
sobre as demais partes da estrutura? Haverá colapso?
120
• como dimensionar cada membro para evitar qualquer tipo de
instabilidade?
4.15. Flambagem de placas no regime elástico
O conceito de instabilidade já fora introduzido quando do estudo de
flambagem de vigas e cuja revisão é aconselhável. O problema de flambagem
de placas pode ser formulado em termos da equação diferencial de equilíbrio,
desenvolvida no ítem 13, onde se inclui o efeito das forças de membrana na
flexão. O procedimento consiste em, partindo da equação diferencial de
equilíbrio, pesquisar o menor valor da carga que pode levar à situação
caracterizada pela instabilidade. Já vimos que a derivação da equação
diferencial de equilíbrio envolve simplificações que dependem do refinamento
da formulação. Como partiremos agora da equação de equilíbrio, é claro que
essas mesmas hipóteses estarão envolvidas na formulação de instabilidade.
121
a
b
σy
x
y
os contornos atuam com rigidez a rotação aproximadamente nula - apoio simples
painel estrutural
unidade de chapeamento
reforçadores
antes de flambar
após flambar
Figura 14.1 - Flambagem das unidades de chapeamento de um painel
Ilustraremos o processo delineando a formulação e resolução do
problema de instabilidade de uma placa fina, plana, retangular, comprimida
uniformemente em uma direção e simplesmente apoiada nos quatro lados.
Conforme já mencionado anteriormente, o chapeamento da estrutura de um
navio é dividido em pequenas unidades de chapeamento por meio de
reforçadores longitudinais e transversais. Estes reforçadores garantem uma
elevada rigidez aos deslocamentos transversais da placa, porém o mesmo não
se pode dizer quanto à rigidez à rotação. Considerando a seção longitudinal de
um convés cavernado transversalmente, conforme o mostrado na figura
122
14.1(a), quando ocorrer flambagem o chapeamento tomara a configuração
mostrada na figura 14.1(b), com os vaus rodando conforme lá indicado. A
rotação dos vaus faz com que estes imponham, nos contornos da unidade de
chapeamento, um momento fletor que é função das propriedades de torção
dos perfis. Porém sabe-se que a rigidez a torção de perfis abertos é muito
pequena, fazendo com que os momentos nos contornos da placa assumam
valores desprezíveis, garantindo o simples apoio como condição de contorno
para a unidade de chapeamento.
Não sabemos, de antemão, qual a configuração da placa ao flambar.
Entretanto uma série de Fourier em x e em y será suficientemente genérica
para representá-la. Portanto adotaremos como solução:
w W m xb
n yamn
nm
==
∞
=
∞
∑∑11
sin sinπ π (14.1)
Vê-se que (14.1) satisfaz às condições de contorno para quaisquer
valores de Wmn, pois resulta:
w e wx
para x e x b
w e wy
para y e y a
=
=
0 0 0
0 0 0
2
2
2
2
= , = =
= , = =
∂∂∂∂
(14.2)
Adotaremos a equação de equilíbrio para o caso de pequenas deflexões
e de cargas atuando paralelamente ao plano médio. Ela é a equação (13.8),
desenvolvida anteriormente:
∇ = + + +42
2
2
2
21 2w p n wx
n wy
n wx yx y xyD
( )∂∂
∂∂
∂∂ ∂
(13.8)
No presente caso temos: nx = nxy = p = 0. Substituindo em (13.8)
obtemos:
123
D
∇ − =42
2 0w n wyy
∂∂
(14.3)
Substituindo (14.1) em (14.3) obtemos:
0sinsinD1 1
2
222
2
2
2
24 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑∑
∞
=
∞
= ayn
bxmW
ann
an
bm
mnm n
yππππ (14.4)
A equação (14.4) é satisfeita quando Wmn = 0, caso em que a placa
continua plana. Logo Wmn = 0 não caracteriza instabilidade. As demais
soluções para (14.4) ocorrem quando se tem
0D 2
222
2
2
2
24 =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ann
an
bm
yππ (14.5)
que nos dá
22
2
2D-= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
nbam
anb
bn y
π (14.6)
Como m e n somente assumem valores inteiros, a equação (14.6)
mostra que somente se obtem formas de equilíbrio não planas quando ny
assume certos valores discretos. Logo (14.6) corresponde às cargas de
instabilidade. A menor delas corresponde a m=1 e um um valor de n que será
função da razão de aspecto a/b.
124
Figura 14.2 - Forma flambada de uma placa com razão de aspecto=3
Seja
knba
anb
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2
minimo
(14.7)
Então
n kby = - Dπ2
2 (14.8)
O sinal negativo em (14.8) denota que a força ny deve ser de
compressão. Já que a flambagem somente ocorre na presença de tensões de
compressão, vamos, por convenção, adotar, em se tratando de flambagem, as
tensões de compressão como positivas e negativas as de tração. Designemos
por nycr e σcr os módulos da carga e da tensão crítica de compressão. Logo
σ πcrit k
b t= D 2
2 (14.9)
O gráfico de k em função da razão de aspecto a/b tem a forma
125
Figura 14.3 - Coeficiente k na flambagem de placas
Na ilustração precedente consideramos a placa com todos os lados
simplesmente apoiados. Para outras condições de contorno, agiríamos de
forma semelhante, adotando porém expressão trigonométrica, em (13.8), capaz
de satisfazer automaticamente à condição de contorno considerada.
Chegaríamos sempre à mesma equação (14.9), onde k teria, para cada caso,
uma expressão diferente de (14.7), mas que também dependeria de m, n, a e
b. Da figura 14.4 extraída da Freitas, 1976, tém-se o valor de k para diferentes
condições de contorno.
126
AAB B
a
b
y
1
2
σ σ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
0 1.0 2.0 3.0a / b
σ = π D2
b t2cr
lados engastadosB - apoiados
A - engastados
B - engastadosA - apoiados
lados apoiados
B - apoiadosA - engastadoA - livre
12
A B - apoiadosA - livre2
1
B - apoiadosA - livres
0.43
1.28
6.98
4.00
k
Figura 14.4 - Tensão crítica de flambagem de placas
Examinaremos, a seguir, como a fórmula (14.9) se transforma quando
a/b tende a zero. Este é, aproximadamente o, o caso de unidades de
127
chapeamento em cavernamento transversal, conforme se mostra na figura
14.5.
Poderemos escrever, a partir de (14.9), para lados simplesmente
apoiados,
2
2
2D= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
nba
anb
tbcrπσ (14.10)
ba
( a \ b ) < 1
Figura 14.5 - Quando a/b fica menor do que a unidade18
Vemos, porém, qua para a/b→0, o valor de n a ser usado na expressão
acima é 1. Assim:
2
2
2
2
22
2
2
1DD= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ba
taba
ab
tbcrππσ (14.11)
Fazendo a/b = 0 temos:
σ πcr a t
= D 2
2 (14.12)
18Note que o lado paralelo ao eixo x é o lado que sofre a compressão.
128
Esta mesma relação poderia ser obtida adotando-se o conceito de placa
longa. Nestas condições, a placa se comporta como uma viga fletindo em sua
direção curta e, em termos de cálculo, utilizamos as equações de vigas
substituindo-se o módulo de elasticidade E do material por E' definido na
equação 11.12. A carga de flambagem de Euler de uma viga bi-apoiada e de
comprimento L é:
P EILcrit =
π2
2
L
P
seçãotransversalcom inércia I
Substituindo-se E por E' e dividindo-se ambos os lados da equação pela área
da seção transversal da viga (placa = bt) obtém-se:
σπ
ν πcrit
critPA
E bt
bta a t= = − =
22
3
2
2
21 12
( )( ) D
que é igual a expressão (14.12). A abordagem por placa longa é conveniente
quando as condições de contorno da placa são outras que não lados
engastados ou apoiados.
Agora é possível examinar os méritos relativos de um painel enrijecido
na direção longitudinal ou na direção transversal ao lado comprimido.
129
Observando as equações (14.9), (14.12) e a figura 14.6, conclui-se que
reforçado longitudinalmente
reforçado transversalmente
s
s
Figura 14.6 - Cavernamento longitudinal x cavernamento transversal
( )( )σσ
cr longitudinal
cr transversal
k= (14.13)
onde k é o coeficiente que se aplica ao caso do cavernamento longitudinal.
Como k é sempre maior que 4, evidencia-se a superioridade do cavernamento
longitudinal quanto à flambagem.
4.16. Efeito de uma curvatura
No bojo de um navio, em lugar de placa plana temos uma casca
aproximadamente cilíndrica. A própria geometria indeformada de um convés
não é a de um plano 19, mas a de uma superfície de pequena curvatura.
Considerações semelhantes aplicam-se a outras partes de navios que não
possuem corpo paralelo médio, ou que o tem muito curto. Convém então obter
a expressão para a tensão crítica nesses casos.
19para facilitar o escoamento de liquidos existe um tosamento, isto é, a elevação do convés na linha de centro é ligeiramente superior a elevação junto aos costados.
130
L
β
r
σ
σ
β
Figura 14.7
Considere-se a figura 14.7. Se admitirmos condições de apoio simples
ao longo de todo o perímetro da unidade de casca ali representada, obtém-se
as seguintes expressões para tensões críticas, tal como se demonstra na
referência.
σν
crEt
r=
−3 1 2( ) (14.14)
σ πν βcr
Etr
=−
2 2
2 23 1( )( ) (14.15)
A expressão (14.15) aplica-se apenas quando o raio de curvatura r é
muito grande. Comparando-se (14.15) com (14.9), percebe-se que a unidade
de chapeamento com grande raio de curvatura pode ser tratada como se fosse
uma placa plana e longa, desde que se tome, como lado b, o comprimento
desenvolvido de seu lado em compressão.
Pode-se concluir, também, que em geral aumenta-se a resistência à
flambagem de uma unidade plana quando a ela se imprimem pequenos raios
de curvatura, como se verá a seguir. Considere-se uma placa longa,
simplesmente apoiada. Obtém-se
131
σ πνcrt
b=
−
2 2
2 23 1E
( ) (14.15)
Após transformá-la em uma superfície cilíndrica, de raio r e ângulo β,sua
tensão crítica para a ser:
σν
crt
r⊗ =
−
E3 1 2( )
(14.16)
Adotando-se ν = 0.3 (aço), vem
σσ
νπ
cr
cr
r bt
br
bt
br
⊗
=−
=3 1 0 526
2
2( ) . (14.17)
No bojo, por exemplo, poderemos adotar como valores típicos b/r = π/4 e
b/t=60, resultando
σσ
cr
cr
⊗
≅ 25 (14.18)
ou seja, a curvatura aumentou a resistência à flambagem em,
aproximadamente, 25 vezes.
4.17. Flambagem por cisalhamento
Geralmente, o chapeamento do casco das embarcações estão sujeitos a
tensões de cisalhamento com amplitudes consideráveis. Estas tensões podem
causar flambagem, pois o cisalhamento faz surgir tensões normais de
compressão. Para o caso do cisalhamento puro, a tensão de compressão tem
magnitude igual a tensão de cisalhamento e atua a 45º do eixo onde atuam as
tensões de cisalhamento.
132
τ
τ
σ = τ
Figura 14.8 - Flambagem por cisalhamento
As equações que governam a flambagem por cisalhamento são as
mesmas já deduzidas. Equação (13.8),
∇ = + + +42
2
2
2
21 2w p n wx
n wy
n wx yx y xyD
( )∂∂
∂∂
∂∂ ∂
(13.8)
com nx = ny = p = 0. Substituindo em (13.8) obtemos:
D
∇ − =42
2 0w n wx yxy
∂∂ ∂
(14.19)
A solução da equação (14.19) para diversas condições de contorno
podem ser encontradas na referência [6]. A metodologia difere um pouco da
adotada na solução do problema de compressão uniforme, pois as funções
133
seno e cosseno não satisfazem a equação diferencial e, portanto, uma solução
analítica exata, em termos trigonométricos, é impossível. Uma solução
aproximada, baseada em princípios de energia e utilizando as deflexões como
w x y q sin xa
sin xb
q sin xa
sin xb
( , ) = +1 22 2π π π π
(14.20)
é mostrada a seguir. Como seria de se esperar da estreita relação entre
cisalhamento e compressão, a expressão resultante para a carga crítica de
cisalhamento τcr se assemelha com a expressão (14.9). De fato a única
mudança ocorre no coeficiente destas equações. No caso da flambagem por
cisalhamento o coeficiente é dado por
k b a para lados simplesmente apoiadosk b a para lados engastados
cis
cis
= +
= +
5 35 4 08 98 5 6
2
2
. . ( / )
. . ( / )
(14.21)
e a tensão crítica,
τ πcrit cisk
b t=
2
2D
(14.22)
4.18. Momento fletor no plano da placa
Figura 14.10 - Flambagem por flexão no plano
A figura 14.10 mostra que uma placa sofrendo flexão em seu próprio plano terá
regiões onde predominam tensões de compressão. Chamando de σb o maior
valor desta tensão de compressão, o valor crítico para a flambagem é, da
mesma forma que na compressão simples, dado por
134
( )σ πb crit bk
b t=
2
2D
(14.23)
onde o coeficiente kb vale:
• lados simplesmente apoiados
para a b k b a a bpara a b k
b
b
: :
/ . . ( / ) . ( / )/ .
≤ = + +
> =
23
2 2
23
15 87 1 87 8 623 9
(14.24)
• lados engastados
para a b kb : / .> =1 41 8 (14.25)
• um dos lados sem a carga engastado e os outros simplesmente
apoiados
para a b kb : / > =12 25 (14.26)
• lados sem a carga engastados e os outros simplesmente apoiados
para a b kb : / .> =0 4 40 14.27)
4.19. Carregamentos combinados
Em muitas situações a placa pode estar sujeita a ação de carregamentos
combinados. Por exemplo, em uma unidade de chapeamento podem estar
presentes a ação de tensões primárias normais (de flexão) e de cisalhamento,
conforme o mostrado na figura 13.2. Torna-se necessário estimar que
combinação destes carregamentos levaria esta unidade de chapeamento a
flambar. Uma das melhores maneiras de tratar esse problema é através do uso
de fórmulas empíricas que relacionam as razões de cada um destes
carregamentos em relação ao seus valores críticos. Se apenas um dos
135
carregamentos está presente, o valor unitário corresponderia a flambagem. No
caso de mais de um carregamento simultâneo, as relações devem ser menores
que a unidade, e a fórmula de interação combina as várias relações de forma
que a flambagem corresponde a soma dos termos resultando igual a unidade.
Uma das vantagens deste tipo de fórmula é que elas podem ser obtidas
tanto de resultados analíticos como de resultados experimentais.
• Compressão uniaxial e flexão no plano
a
σ σbb
σ σ
b
Flambagem ocorre quando σ e σb satisfazem a relação
1)(
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
critb
b
crit σσ
σσ
(14.28)
onde são σcrit e (σb)crit valores críticos para estes dois tipos de carregamento
agindo separadamente, obtidos pelo uso das equações (14.9) e (14.28).
• Compressão uniaxial e cisalhamento
a
σ στ
τb
Por conveniência vamos adotar o símbolo R para denotar a razão entre a
tensão atuante e a tensão crítica de flambagem, relação de resistência. Nestas
condições, as relações de resistência são:
Rcrit
=σ
σ
136
onde σcrit é a tensão crítica de flambagem com a tensão de compressão
uniforme σ atuando isoladamente na placa.
Rciscrit
=τ
τ
onde τcrit é a tensão crítica de flambagem com a tensão de cisalhamento τ
atuando isoladamente na placa.
e a flambagem sob ação combinada ocorre se:
)1/( 1 6.1
)/(6.01)1/( 1
2
2
<=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
≥=+
baRRbabaRR
cis
cis
(14.29)
Estas fórmulas podem ser usadas para tensões σ negativas, isto é de
tração, como também de compressão.
• Cisalhamento e flexão no plano
a
σ σbb
τ τb
Para este caso, definindo a razão de resistência para as tensões de
flexão como sendo
Rbb
b crit
=σ
σ( )
137
onde (σb)crit é calculado pela equção (14.23), a relação de interação dos
carregamentos combinados é
R R a bb cis2 2 1
21+ = > ( / ) (14.30)
• Compressão uniaxial, flexão e cisalhamento
a
σ σbb
σ σ
τ τb
A flambagem ocorre se
R R R a bb cis+ + = >2 2 121 ( / ) (14.31)
4.20. Comportamento de placas após a flambagem
Vamos verificar o que acontece com a placa quando o carregamento é
superior àquele que a levou a instabilidade. Supõe-se que neste caso a carga é
aplicada muito lentamente de forma que, ao atingir-se a carga crítica, não se
ultrapasse este valor até que deliberadamente voltemos a aumentá-la.
Vimos nos ítems precedentes, que a forma flambada de uma placa
retangular corresponde a meia onda senoidal na direção perpendicular à das
cargas que levam a flambagem. Isto permite que o plano médio, uma vez
flambado, se distenda. A distensão é maior nas regiões de maior deflexão. A
carga de compressão que tais regiões suportavam é portanto aliviada,
transferindo-se para as regiões de menor deflexão. Ocorre, em resumo, uma
redistribuição de tensões, ilustrada na figura 14.11. A distensão do plano
médio, a que aludimos, pode ser desprezada até a flambagem, o que nos
permite obter a carga crítica usando a hipótese da indeformabilidade do plano
médio tal como fizemos.
138
Figura 14.11 - Comportamento da placa após a flambagem
Após a flambagem, se continuarmos aumentar a compressão, mais e
mais, a redistribuição de tensões tornar-se-á cada vez mais significativa,
sobrecarregando-se as regiões de pequenas flechas. Aumentando-se
continuamente a carga, a tensão máxima de compressão atingirá o valor de
escoamento e, daí em diante, a capacidade de a placa suportar cargas
adicionais estará praticamente esgotada.
Percebe-se que, nas redistribuições de tensões acima, as condições de
apoio da placa ao longo de seus lados longos, e rigidez dos perfis em que ela aí
se apoia, são fatôres importantes na determinação da carga de colapso do
painel como um todo. Flambada a unidade de chapeamento, os perfis,
sobrecarregados, atuarão como uma segunda linha de resistência. Isto, porém,
somente será possível se eles mesmos estiverem distantes de falhas por
flambagem ou por escoamento, no momento em que o chapeamento flambar.20
20Portando o coeficiente de segurança para os perfis deve ser,preferencialmente, superior ao que se adotar para as unidades de chapeamento.
139
PROBLEMAS
Em painéis estruturais, onde o chapeamento é geralmente reforçado por um ou
mais conjuntos de reforçadores ortogonais, o projeto estrutural requer que um
conjunto de reforçadores possua espaçamento menor que o outro. Portanto, as
unidades de chapeamento terão uma dimensão maior do que a outra, de sorte
que a placa pode ser considerada como longa. Tais placas, quando
deformadas, apresentam uma forma cilíndrica, exceto nas regiões próximas
aos lados curtos. Por isso elas podem ser calculadas como unidimensionais, ou
seja pela teoria simples de viga.
1. Prove que tratando uma faixa, na direção curta, de uma chapa longa
como uma viga, na fórmula,
2)(tbpk=σ
obtém-se
para placas simplesmente apoiadas, k=3/4;
para placas engastadas k=1/2;
2. Qual será a máxima pressão uniforme que pode ser aplicada a uma
chapa longa, engastada, de aço comum, com largura de b=600 mm e
espessura t=10 mm para que não ocorra escoamento? A tensão de
escoamento do material é de 240 N/mm2. Encontre a correspondente
deflexão máxima na placa como uma fração de sua espessura,
admitindo ν=0.3 e E=208000 N/mm2.
1) Uma placa de aço com espessura 12.5 mm, medindo 2.5x0.8 m, está sujeita
a uma pressão lateral de 12 m.c.a. Determinar as tensões máximas supondo
engastamento nos quatro lados. Se a placa fosse de alumínio, qual deveria ser
sua espessura para manter a relação w/t < 0.5?
140
2) Para uma placa com razão de aspecto a x b, submetida a uma carga lateral
definida pela expressão:
p p xa
yb
= 0 sin sinπ π
e com condições de contorno simplesmente apoiada nos quatro lados,
determinar os valores de:
• deflexão máxima;
• momentos fletores máximos;
• tensões máximas;
• pressão que causa o inicio do escoamento no ponto de
máxima solicitação.
3) Qual deve ser a espessura t, para uma placa longa com largura de 700 mm,
lados simplesmente apoiados, sob pressão lateral de 9.5 mca. Adotar, como
material, aço de média resistência com tensão de escoamento de 220 MPa.
4) Deduzir a expressão 3.1.
5) Deduzir a expressão 5.1.
6) Deduzir as expressões 8.1. Verifique que existe uma analogia com a teoria
de vigas, onde σ=(M/I)c, se tomarmos a seção transversal da placa com
espessura t, largura unitária e c=t/2. [dica: o momento fletor é resultante do
momento das forças geradas pelas tensões. Adote uma distribuição de tensões
linear, com tensão máxima igual ao valor que se está procurando, e calcule o
momento gerado por estas tensões.
7) Deduzir as expressões 9.2 e 9.4.
8) O convés de uma embarcação possui cavernamento transversal com
espaçamento de 750 mm e sicordas espaçadas de 2200 mm. Considerando
141
uma carga uniforme sobre todo o convés com intensidade de 2,0 t/m2 e uma
tensão primária de alquebramento de 950 kgf/cm2, determinar a espessura
mínima do chapeamento admitindo uma tensão terciária máxima de 1600
kgf/cm2.
9) Um petroleiro possui cavernamento longitudinal com espaçamento de 850
mm e anéis gigantes a cada 5020 mm. Para um aço de alta resistência, com
tensão de escoamento de 3600 kgf/cm2 e uma tensão primária de tosamento
de 1400 kgf/cm2 determine a mínima espessura do fundo do navio no qual atua
uma carga lateral de 20 mca.
10) Demonstre que os valores de m e n que minimizam a equação (14.7),
knb
amanb
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
2
minimo
2
, correspondem a m=1 e n = a/b e que o valor mínimo é 4.
11) Determinar a carga de crítica de flambagem para os problemas 6 e 7.
Considere flambagem por compressão, flambagem por cisalhamento e
flambagem por flexão.
142
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