63918976 Transferencia de Massa

Edição de agosto de 2005

Universidade Federal da Bahia

Samuel Luporini

Transferência de Massa

OBJETIVOS: 1. Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta

dos problemas correntes de engenharia química. 2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de

transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto. TRANSFERÊNCIA DE MASSA 1. Fundamentos da transferência de massa

1.1. Transferência de massa molecular 1.2. O coeficiente de difusão 1.3. Transferência de massa convectiva

2. Equações diferenciais de transferência de massa

2.1. A equação diferencial de transferência de massa 2.2. Formas especiais da equação de transferência de massa 2.3. Condições de contorno 2.4. Modelagem de processos envolvendo difusão molecular

3. Difusão molecular no estado estacionário

3.1. Transferência de massa independente de reação química 3.2. Sistemas associados com reação química 3.3. Sistemas de duas e três dimensões 3.4. Transferências simultâneas de momento, calor e massa

4. Difusão molecular no estado transiente

4.1. Difusão transiente e a segunda lei de Fick 4.2. Difusão transiente em meio semi-infinito 4.3. Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície

desprezível 4.4. Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples

5. Transferência de massa convectiva

5.1. Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva 5.2. Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva 5.3. Analise dimensional 5.4. Análise exata da camada limite de concentração laminar 5.5. Análise aproximada da camada limite de concentração 5.6. Analogias entre transferência de massa, calor e momento 5.7. Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva

6. Transferência de massa convectiva entre fases 6.1. Equilíbrio 6.2. Teoria das duas resistências

7. Correlações para transferência de massa convectiva

7.1. Transferência de massa para placas, esferas e cilindros 7.2. Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos 7.3. Transferência de massa em colunas de parede molhada 7.4. Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado 7.5. Transferência de massa gás-líquido em tanques agitados 7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio 7.7. Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção

8. Equipamentos de transferência de massa

8.1. Tipos de equipamentos de transferência de massa 8.2. Operações de transferência de massa gás-líquido em tanques de mistura perfeita 8.3. Balanços de massa para torres de contatos contínuos 8.4. Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos 8.5. Coeficientes de capacidade para transferência de massa 8.6. Analises de equipamentos de contatos contínuos

Bibliografia: WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat

and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass

Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenômenos de Transporte, 2a. edição, LTC

EDITORA, 2004. CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª. Edição revista, Editora

UNICAMP, 2002. GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical

Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999.

Fundamentos de Transferência de Massa 1.1

Samuel Luporini/DEQ/UFBA

1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a

ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças de concentração entre os sistemas.

o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor

concentração é chamado de transferência de massa. o Exemplos:

o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção. ‘Stripping’ de gases por lavagem de água.

o Difusão de nêutron em um reator nuclear. o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. o A taxa de catalise química e reações biológicas.

o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos

estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento, adicionado pelas características dinâmicas do escoamento.

o Dois modos distintos de transporte: molecular convectivo simultâneos 1.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR 1815 → Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais espécies moleculares, na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro, um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composição, chamando de difusão molecular. O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração negativo. Teoria cinética dos gases. A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas.



CONCENTRAÇÕES:

densidadeou totalmássica ãoconcentraç

A espécie da mássica ãoconcentraç mistura da volume

A de massaA

=ρ

==ρ (1.1)

(1.3) 1w

(1.2) w mássica Fração

n

1ii

An

1ii

AA

=

ρρ

=

ρ

ρ==

∑

∑

=

=

n = número de espécie da mistura A concentração molar da espécie A, cA é o número de moles de A presentes por unidade de volume da mistura. 1 mol de A ≡ massa equivalente ao seu peso molecular

M

cA

AA

ρ= (1.4)

MA = peso molecular de A Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo:

RT

p

V

nc AA

A == (1.5)

Onde: PA = pressão parcial da espécie A na mistura nA = número de moles da espécie A V = volume do gás

Moléculas de espécie AMoléculas de espécie A



T = temperatura absoluta R = constante dos gases A concentração molar total, c, é o mole total da mistura por unidade de volume.

RTP

V

ncc

n

1i

totali∑

==== (1.6)

P = pressão total Fração molar de líquidos e sólidos: xA = cA/c Gases: yA = cA/c (1.7) Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais:

(1.9) 1y e 1x

Dalton de Lei (1.8) P

p

RTP

RTp

c

cy

n

1ii

n

1ii

AAAA

==

===

∑∑==

Tabela 24.1 Concentrações em uma mistura binária com A e B (Welty)

Exemplo 1: A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na mistura de gases:

79,0yN

21,0yO

2

2

N2

O2

=⇒

=⇒

Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o C e 1atm.

Velocidades Num sistema multicomponentes as varias espécies n, moverá normalmente a diferentes velocidades. A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente.



médiamolar e velocidada relativa i de difusão de e velocidadVv

média mássica e velocidada relativa i de difusão de e velocidadvv

molar média ade velocid(1.11) c

vc

V

ioestacionár eixo um para i de absoluta velocidadev

mássica média ade velocid(1.10)

vv

v

i

i

n

1iii

i

n

1iii

n

1ii

n

1iii

=−

=−

=

=

ρ

ρ

=

ρ

ρ

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

rr

rr

rr

r

rr

r

De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração.

Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura gasosa são: cm/s; 11 vcm/s; 19 vcm/s; 13 vcm/s; 10v z,NzO,HzO,zCO, 22

====

Determinar: a) velocidade média molar da mistura b) velocidade média mássica da mistura c) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura d) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura

Fluxos É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou molar, que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor. Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço, coordenadas que movem com a velocidade média mássica ou molar. O fluxo molar na direção z:



zd

cdDJ A

ABz,A −= 1ª Lei de Fick (1.12)

DAB = difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B. dcA/dz = gradiente de concentração na direção z.

zd

ydcDJ A

ABz,A −= (1.13)

O fluxo mássico na direção z:

zd

wdDj A

ABz,A ρ−= (1.14)

zd

dDj A

ABz,Aρ

−= (1.15)

Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar relativo a velocidade média molar é:

( ) VcJ zz,AAz,A −ϑ= (1.16)

Igualando (1.13) com (1.16), temos:

( )

( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz

zAA

BA,z,AA

ABA,zz,AAz,A

ccyVcou ccc1

V:sendo

Vcdz

dycDc :Portanto

dz

dy-cD VcJ

ϑ+ϑ=ϑ+ϑ=

+−=ϑ

=−ϑ=



( )

:que temos

cN e cN

:são ioestacionár eixo ao relativo B eA scomponente dos fluxos Os

ccydz

dycDc:Logo

BBBAAA

z,BBz,AAAA

BA,z,AA

ϑ=ϑ=

ϑ+ϑ+−=ϑ

rrrr

( )

+

=

++−=

solução da globalmovimento do

resultante fluxo

difusivaãocontribuiç da

resultante fluxo

z eixo aoreferênciac/

A de fluxo

NNy dz

dycD N z,Bz,AA

ABA,z,A

( )

: temosforma mesma Da

mistura naA de difusão de ecoeficient D

(1.18) NyycD N

:nentemulticompo mistura uma para

(1.17) NNyycD N

MA,

n

1iiAAMA,A

BAAABA,A

=

+∇−=

++∇−=

∑=

rr

rrr

( )

( )B,zA,zAA

A,BA,z

B,zA,zAA

A,BA,z

nnwdz

dwDn

liquidos para NNxdz

dxcDN

++ρ−=

++−=



Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas:

cm/s. 11 cm/s; 19 cm/s; 13 cm/s; 10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222=ϑ=ϑ=ϑ=ϑ

Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm: a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. b) Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura. c) Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário

2. COEFICIENTE DE DIFUSÃO Lei de Fick ⇒ a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão.

( )w,T,PfD

tL

L1LM

1

tL

Mdzdc

JD

AB

2

32A

z,AAB

=

≡

⋅

≡

−=

Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte. Viscosidade cinemática: ν Difusividade térmica: α = k/ρcp

Difusividade mássica de gases

- mistura gasosa de baixa densidade - teoria cinética dos gases

Aumenta a mobilidade da molécula

Gases → 5 x 10-6 a 10-5 m2/s líquidos → 10-10 a 10-9 m2/s sólidos → 10-14 a 10-10 m2/s

DAB diminui



Figura 1.2 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle Transferência de massa

médio livre caminho Nd2

1

acaso aomolecular e velocidadmkT8

C

C31

D

yC

31

j

2

AA

Ay,A

⇒π

=λ

⇒π

=

λ=

∂

ρ∂λ=

?

k = constante de Boltzmann N = concentração molecular m = massa de uma molécula

CN41

Z =

d = diâmetro da molécula esférica Z = freqüência em que as moléculas alcançam a área ∆x ∆z

0 (estacionário)

( ) 0dvt

dAnCVCS

=ρ∂∂

+ϑρ ∫∫∫∫∫rr

→ Fluxo para frente = fluxo para trás

∆y ∆x

x

y

ρA = ρA(y)



*A isótoposeu eA Ex

similares. moléculas de mistura uma de difusão de eCoeficientmTk

Pd3

2*D

PcRTNkT

:ideal gás um Para

mkT

Nd3

2*D :Logo

2133

223AA

21

223AA

π=

==

π=

A equação de Chapman-Enkosg:

D

2AB

21

BA

233

ABP

M1

M1

T10x858,1

DΩσ

+

=

−

onde: DAB (cm2/s) MA e MB = pesos moleculares P = pressão absoluta (atm) σAB = diâmetro de colisão, parâmetro de Leonard-Jones (Å) ΩD = integral de colisão É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes.

ε

=ΩAB

kTf TABELA K.1 WELTY

onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K εA = energia de interação molecular (ergs) Os parâmetros de Leonard-Jones σ e εAB ⇒ TABELA K.2 WELTY Na ausência de dados experimentais:



bA

cA

31

c

c

31c

31b

T15,1k

T77,0k

P

T44,2

V841,0

V18,1

=ε

=ε

=σ

=σ

=σ

Vb = volume molar para o ponto normal de ebulição (cm3/gmol) ⇒ TABELA 24.4 WELTY Vc = volume molar crítico (cm3/gmol) Tc = temperatura crítica (K) Tb = temperatura de ebulição normal (K) Pc = pressão crítica em (atm) Para pares de moléculas apolares, tem-se

BAAB

BAAB 2

εε=ε

σ+σ=σ

Para moléculas polar-polar e polar-apolar são discutidas por Bird e Cremasco Predição de DAB variando com a P e T

2

11122

T,D

T,D23

1

2

2

1P,T,ABP,T,AB T

T

P

PDD

Ω

Ω

=

Apêndice J.1 de Welty

Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm. Comparar com os dados experimentais.



Quando os parâmetros de Lennard-Jones não são disponíveis pode-se utilizar a equação de Fuller.

( ) ( )[ ]231

B31

A

21

BA

75,13

AB

P

M1

M1

T10

D

∑∑ ϑ+ϑ

+

=

−

ϑ ⇒ TABELA 24.3 WELTY

Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105 Pa b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105 Pa

Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm, utilizando a equação de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no exemplo 4.

Para compostos polares, tem-se a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por:

( )

(K) ebulição de normal pontoT

)gmol/(cm ebulição de ponto no líquido domolar volumeV

(debyes) dipolo momento

TV

10x94,1

:onde

T

169,0

b

3b

p

bb

p3

21BAAB

2AB

DoD

==

=µ

µ=δ

δδ=δ

δ+Ω=Ω

∗



( )

( ) ( ) ( )*HTexpG

*FTexpE

*DTexpC

*T

A

T3,1118,1k

kkk

kTT*

BDo

b2

21BAAB

AB

+++=Ω

δ+=ε

ε+

ε=

ε

ε=

A = 1,06036 E = 1,03587 B = 0,15610 F = 1,52996 C = 0,19300 G = 1,76474 D = 0,47635 H = 3,89411

( )

31

2b

21BAAB

AB

3,11

V585,1

colisão de diâmetro

δ+=σ

σσ=σ

=σ

Mistura de gases (WILKE)

yyyy

yy 1 de livremolar Fração

Dy

D

y

Dy

1D

n432

22

n,1

n

3,1

3

2,1

2mistura,1

+++=′⇒

′′+

′=

L

L



Exemplo 7: Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na qual a fração molar de cada componente são:

10,0y,70,0y,2,0y CONO 22===

O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total.

Exemplo 8 (24.14 – WELTY) Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte Composição: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa.

DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS Equação de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinâmica.

B

AB 6kT

Dπµ

= Solução diluída de não eletrólitos. É uma equação pouco precisa

Em geral: ( )VfkT

D AB = Função do volume molar

Equação de Wilke-Chang para não eletrólitos: ( )

6,0A

21BB

8AB

BV

M10x4,7

T

D φ=µ

−

Onde: µB = viscosidade da solução de não eletrólitos cP VA = volume molar no ponto normal de ebulição (TABELAS 24.4 E 24.5– WELTY) φB = parâmetro de associação para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) Deduções de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 –WELTY)

Exemplo 9 Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol (C2H5OH) em solução diluída de água a 10oC O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5.

Hayduk e Laudie propuseram a equação: 589,0

A14,1

B5

AB V10x26,13D −−− µ= . Com resultados semelhantes a equação Wilke-Chang.



O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a equação de Nernst

eequivalent Coulumbs/g 96500Faraday de constante

CREMASCO - 1.10 Tabela

cm

eequivalent g

cm

voltAmpzero ãoconcentraç a iônica acondutânci,

gmol.K/J316,8R

11

RT2D

33oo

2oo

AB

==ℑ

=λλ

=

ℑ

λ+

λ

=

−+

−+

Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- são as valências do cátion e anion. Para temperaturas diferentes de 25oC, estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte correlação: ( ) ( )

32C25iTCiT

)25T(c)25T(b)25T(aoo −+−+−+λ=λ Tabela 1.11 – CREMASCO

Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o C. Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2/s.



DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS



• Arranjos nas estruturas cristalina: cúbica, CCC, CFC. • Movimento do soluto → ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios

entre os átomos da matriz cristalina. • A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética

‘Q’ determinada pela energia de ativação.

Exercício 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000º C. Analise os resultados.

Q

difusão

z

Energia

RTQoAB eDD −=

Q = energia de ativação difusional (cal/mol) R = 1,987 cal/mol K Do = coeficiente de difusão sem que houvesse a necessidade de salto energético Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO



DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS

a) Difusão de Fick ou ordinária b) Difusão de Knudsen c) Difusão configuracional

Difusão ordinária

• Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes.

dz

dCDJ A

efz,A −= 1ª Lei de Fick

Def = coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso.



τ

ε=

pABef DD

εp = porosidade τ = tortuosidade ⇒ TABELA 1.14 – CREMASCO τ = 4,0 εp = 0,5 ⇒ Na ausência de dados tabelados

Difusão de Knudsen Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente, ocorre colisões com as paredes dos poros.

pk d31

D Ω=

dp = diâmetro médio dos poros (cm) Ω = velocidade média molecular (cm/s)

[ ]

[ ]cm S

V2

S

2r

s/cm M

Tr10x7,9D

p

B

pp

221

Ap

3k

=ρ

ε=

=



Onde: εp = porosidade do sólido S = área da matriz porosa ρB = massa especifica aparente do sólido Vp = volume especifico do poro da partícula sólida Quando a tortuosidade do poro é considerada, efetuar a correção:

τ

ε= p

KKef DD

Devido a estrutura do sólido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vários tamanhos de poros, ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen, logo:

321321

Knudsen

Kef

Fick de Lei1 a segue

ordinária

ef

efetivo

Aef D1

D1

D1

a

+=

Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula catalítica esférica de alumina a 30º C.

Difusão configuracional

• Ocorre em matrizes porosas (zeólitas). • Macro e microporos. • Arranjo tipo colméia → peneira molecular. • A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos.

−=

RTQ

expDD oA zeo ⇒ TABELA 1.16 – CREMASCO



Difusão em membranas

• Osmose inversa • Ultrafiltração • Diálise • Perevaporação • Perpetração

• Podem ser de materiais cerâmicos → inorgânicos • ou materiais poliméricos → orgânicos

• A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos

energéticos, ocupando vazios na estrutura polimérica.

−=

RTQ

expDD oa me ⇒ TABELA 1.17 - CREMASCO



Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações: a) difusão em um membrana de borracha butilica. b) difusão em uma membrana de polibutadieno. c) difusão em uma membrana de poli(dimetil butadieno).



TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento

relativamente imiscíveis. o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em

escoamento. o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido ⇒

convecção forçada. o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade, a qual é conseqüência da diferença

de concentração ou temperatura ⇒ convecção natural.

AcA ckN ∆= ⇒ Equação da taxa de transferência de massa convectiva, generalizada de uma

maneira análoga a lei de resfriamento de Newton.

NA = Transferência de massa molar, ∆cA = diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de

fluido da espécie A se difundindo. kc = coeficiente de transferência de massa convectivo.

o Transferência de massa molecular: a transferência de massa convectiva ocorre na direção do decréscimo de concentração.

o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento. o kc é uma função da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, ∆cA. o Similaridades entre kc e h ⇒ técnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc.

Equações diferenciais em transferência de massa 2.1


CAPITULO 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado é:

controle de

volumeno massa de acúmulo de Taxa

controle de volumeno massa de

produção de Taxa

controle de volumeno sai que

massa de Taxa

controlede volumeno entra

que massa de Taxa

=

+

−

(2.1)

A transferência de massa através da área zy∆∆ para x será :

AAAxx,AA nou zy ϑρ=∆∆ϑρ

r

O fluxo líquido (entrada-saída) do constituinte A será:

zzA,zzzA,

yyA,yyyA,

xxA,xxxA,

yxnyxn :z direção an e

zxnzxn :y direção an

zynzyn : xdireção an

∆∆−∆∆

∆∆−∆∆

∆∆−∆∆

∆+

∆+

∆+

A taxa de acúmulo de A no volume de controle será:

y∆

? y

x

y

z

x∆ z∆



zyxtA ∆∆∆

∂ρ∂

Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA (massa de A produzida)/(volume⋅tempo), a taxa de produção de A é: zyxrA ∆∆∆

Substituindo cada termo na equação (2.1) temos:

0rtz

nn

y

nn

x

nn

: termosos cancelando e ,zyx volumepelo Dividindo

0zyxrzyxt

yxn

yxnzxnzxn zynzyn

AAzzA,zzzA,yyA,yyyA,

xxA,xxxA,

AA

zzA,

zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA,

=−∂ρ∂

+∆

−+

∆

−+

∆

−

∆∆∆

=∆∆∆−∆∆∆∂ρ∂

+∆∆−

∆∆+∆∆−∆∆+∆∆−∆∆

∆+∆+∆+

∆+∆+∆+

(2.3) 0rt

n

A componente o para decontinuida da equaçãoA

(2.2) 0rtz

n

y

n

x

n

: temoszero a tendendo? z e? y ? x, com limite o Avaliando

AA

A

AAz,Ay,Ax,A

=−∂ρ∂

+⋅∇

=−∂ρ∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

r

Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B.

0rt

n BB

B =−∂ρ∂

+⋅∇r

(2.4)

Adicionando os dois componentes, nós obtemos:

Operador divergente



( ) ( ) ( ) 0rrt

nn BABA

BA =+−∂

ρ+ρ∂++⋅∇

rr

Para uma mistura binária vale: ϑρ=ϑρ+ϑρ=+

rrrrr nn BBAABA

ρ=ρ+ρ BA

rr BA −=

Logo: ( )

0t

=∂ρ∂

+ϑρ⋅∇r

(2.5)

Da definição de derivada substantiva:

∇⋅ϑ+∂∂

=r

tDtD

Figura 3.2 Cremasco

Logo:

0DtD

=ϑ⋅∇ρ+ρ r

em termos de fração molar:



0rJDt

DwAA

A =−⋅∇+ρr

0rJwt

wAAA

A =−⋅∇+∇⋅ϑρ+∂

∂ρ

rr

Em termos de unidades molares:

0Rt

cN A

AA =−

∂∂

+⋅∇r

Componente A

0Rt

cN B

BB =−

∂∂

+⋅∇r

Componente B

e a mistura:

( ) ( )( ) 0RR

t

ccNN BA

cABA

A =+−∂

+∂++⋅∇

rr

ϑ=ϑ+ϑ=+

rrrrrcccNN BBAABA

ccc BA =+

Não se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo tanto de B (ou vice-versa). BA ↔ em geral:

( ) 0RRtc

c BA =+−∂∂

+ϑ⋅∇r

[ ] ( )BA RRcctc

+=ϑ⋅∇+∇⋅ϑ+∂∂ rr



FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Temos a equação para o componente A:

AA

A Rt

cN =

∂∂

+⋅∇r

Como: ( )BAAAABA NNyycDN

rrr++∇−=

e seus equivalentes: ϑ+∇−=

rrAAABA cycDN

e ( )BAAAABA nnwwDn

rrr++∇ρ−=

e seu equivalente: ϑρ+∇ρ−=

rrAAABA wDn

nós obtemos:

0rt

wD AA

AAAB =−∂ρ∂

+ϑρ⋅∇+∇ρ⋅∇−r

(2.6)

0Rt

ccycD A

AAAAB =−

∂∂

+ϑ⋅∇+∇⋅∇−r

(2.7)

SIMPLIFICAÇÕES

a) Se a densidade da mistura, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, são assumidos constantes, a equação (2.6) torna-se:

0rt

D AA

A

decontinuida da equação0

AA2

AB =−∂ρ∂

+ρ∇ϑ+ϑ⋅∇ρ+ρ∇−=

rr



Dividindo cada termo pelo peso molecular

( ) ( )geração

difusivaãocontribuiç

acúmuloconvectiva

ãocontribuiç

RcDt

cc AA

2AB

AA

+

=+

+∇=∂

∂+∇⋅ϑ

r

(2.8)

b) RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes

A2

ABA

A cDt

cc ∇=

∂∂

+∇⋅ϑr

ou A2

ABA cDtD

cD∇=

c) 0=ϑ

r, RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes

A2

ABA cDt

c∇=

∂∂

2ª Lei de Fick da difusão.

- Líquidos estagnados - Sólidos d) As equações dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado

estacionário, isto é:

0t

c A =∂

∂

Se 0c A

2 =∇ temos a equação de Laplace.

Laplaciano 2∇ : coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 2ª Lei de Fick

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

2A

2

2A

2

2A

2

ABA

z

c

y

c

x

cD

tc

Coordenadas retangulares.



∂

∂+

θ∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

2A

2

2A

2

2A

2A

2

ABA

z

cc

r

1r

cr1

r

cD

tc

Coordenadas cilíndricas.

φ∂

∂

θ+

θ∂

∂θ

θ∂∂

θ+

∂

∂∂∂

=∂

∂2A

2

2A

2A2

2ABA c

senr

1csen

senr

1r

cr

rr

1D

tc

Coordenadas

esféricas. A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A, ou a equação da continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas, como:

Az,Ay,Ax,AA R

z

N

y

N

x

N

tc

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

( ) Az,A,A

r,AA R

z

NN

r1

Nrrr

1t

c=

∂

∂+

θ∂

∂+

∂∂

+∂

∂ θ

( ) ( ) A,A

,Ar,A2

2A R

N

senr1

senNsenr1

Nrrr

1t

c=

φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

+∂

∂ φθ

CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência de calor. Condições iniciais: Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) Para t = 0, ρA = ρA0 (unidades mássicas) As condições de contorno geralmente encontradas, são: a) A concentração na superfície pode ser especificada: cA = cA1 , frações molares yA = yA1, gases



xA = xA1, líquidos e sólidos ρA = ρA1, concentração mássica wA = wA1, fração mássica Quando o sistema é um gás pode-se utilizar a pressão parcial pela lei Dalton: pA = pA1 = yA1P Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a equação da lei de Rault: pA1 = xAPA onde: xA = fração molar da fase líquida PA = pressão de vapor de A na transferência ao líquido b) O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como, por exemplo: jA = jA1 ou NA = NA1 O fluxo na superfície pode ser:

0z

AABz,A dz

dwDj

=

ρ−=

Em superfícies impenetráveis: jA,z = 0 c) A taxa de reação química pode ser especificada: 1A11A ckN = reação de 1ª ordem, sendo k1 a constante da taxa.



d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espécie pode ser perdida a partir da fase de interesse por transferência de massa convectiva.

( )∞−= A1Ac1A cckN

cA∞ = concentração de A na corrente de fluido. cA1 = concentração de A no fluido adjacente a superfície. kc = coeficiente de transferência de massa convectivo.

EXEMPLO 2.1: Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável, a taxa de produção de nêutrons é proporcional a concentração de nêutrons. Use a equação diferencial de transferência de massa para escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa. Liste suas condições de contorno.

EXEMPLO 2.2: Numa câmara de combustão, o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equação:

22 COCO2O2C3 +→+

a) Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o

componente O2. b) Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio.

z = 0

O2 CO CO2

z = δ

Difusão em regime permanente 3.1


CAPÍTULO 3: DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE Temos a equação diferencial de transferência de massa:

0Rt

cN A

AA =−

∂∂

+⋅∇r

RA = taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo transferida.

t

c A

∂∂

= acumulo de A dentro da fase.

AN⋅∇ = taxa líquida de fluxo mássico do componente A.

t

c A

∂∂

= 0 no estado estacionário, ou seja, a concentração de A não varia com o tempo.

TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO QUÍMICA Num sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por:

( )z,Bz,AAA

ABz,A NNydz

dycDN ++−=

3.1 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO

Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado Hipóteses: T e P = constantes B é quimicamente inerte a A Solubilidade de B em A é desprezível



Figura 3.1 Célula de difusão de Arnold

Solução: ( )

,lnB

2A1A

12

ABz,A y

yyzz

cDN

−−

= (3.1)

Para um gás ideal: P

pye

RTP

Vn

c AA === , substituindo em (3.1), temos:

( )( )

ln,B

2A1A

12

ABz,A p

ppzzRT

PDN

−−

= (3.2)

As equações (3.1) e (3.2), correspondente a difusão em estado estacionário de um gás através de um segundo gás estagnado. Um difunde e o outro não è absorção e umidificação. A equação (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferência de massa convectivo pela teoria do filme.

Figura 3.2 Modelo do filme para a transferência de massa do componente A movendo para a corrente gasosa.

Líquido puro A

z = z1

z = z2

∆z

NAz|z

NAz|z+∆z

Gás B escoando

Escoamento

de gás B Líquido A

Líquido A

z = δ z = 0 NAz

Corrente de gás principal Filme de gás movendo lentamente



Neste caso z2 – z1 = δ, logo a equação (3.2) fica:

( )

ln,B

2A1AABz,A p

ppRT

PDN

−δ

=

Pela definição de convecção temos: ( )2A1Acz,A cckN −= ou

( )2A1Ac

z,A RTk

N ρ−ρ=

Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é:

δ

=,lnB

ABc p

PDk

Modelo do filme sugere que ABc Dk ∝

Outros modelos (capítulo 28 – Welty) 1 a 0,5 n :onde ,Dk n

ABc =∝

Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e também sua concentração media.

Solução: ( ) ( )121 zzzz

1B

2B

1B

B

yy

yy

−−

= Perfil de concentração

( ) ,lnB1b2B

1B2BB y

yylnyy

y =−

= Concentração média



Exercício 3.1: Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar a água nas vizinhanças que esta estagnada. A camada de água é de 0,04’’, que pode ser assumida constante a temperatura de 75º F. O ar esta a 75º F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de água/lb ar seco. A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás de espessura 0,20 in. Resposta: 2,73 hrs

3.2 DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO

• Um dos contornos move com o tempo • Após um intervalo de tempo longo, nota-se a variação no nível do líquido a partir do topo do

capilar.

Figura 3.3 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície. • Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão. • t1 – t0 => longo tempo. • O fluxo molar na fase gasosa estagnada é:

( )

zzz onde ,y

yyz

cDN 12

,lnB

2A1AABz,A =−

−= (3.2.1)

∆z

z = z1 para t0 = zto

z = z1 para t1 = zt

Líquido puro A

NAz|z

NAz|z+∆z

Gás B escoando



• O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por:

líquida fase naA demolar densidade M

onde ,dtdz

MN

A

L,A

A

L,Az,A =

ρρ= (3.2.2)

Em condições pseudo-estacionária, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2),

( )

,lnB

2A1AAB

A

L,A

yyy

zcD

dtdz

M−

=ρ

(3.2.3)

Integrando:

( ) ∫∫ −

ρ=

t

0t

z

z2A1AAB

Aln,BL,At

0

dzzyycD

Mydt

Rearranjando, temos:

( )

−

−

ρ=

2

zz

tyyc

MyD

2t

2t

2A1A

Aln,BL,AAB

0 (3.2.4)

A equação (3.2.4) é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos dados experimentais da célula de Arnold.

Exemplo 3.2: E. M. Larson, usando uma célula de Arnold, mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1 atm de pressão. A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1,485 g/cm3, e sua pressão de vapor a 25º C é 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 7,40 cm a partir do topo do tubo, e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 0,44 cm. Se a concentração do clorofórmio é zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar? Resposta: 9,3 x 10-6 m2/s



3.3 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR • Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais. • Fluxos iguais em direções opostas. z,Bz,A NN −=

0N A =⋅∇

• Considerando somente a direção z:

0Ndzd

z,A =

• Lei de Fick

( )444 3444 2143421

bulk

z,Bz,AA

difusão

AABz,A NNy

dzdc

DN ++−=

• Como z,Bz,A NN −= , logo:

dz

dcDN A

ABz,A −= (3.3.1)

• Condições de contorno: Para z = z1 temos: cA = cA1 Para z = z2 temos: cA = cA2 Integrando a equação (3.3.1) com as c.c., temos:

( )2A1A12

ABz,A cc

zzD

N −−

= (3.3.2)

Pela lei dos gases ideais:

e.e. = 0 sem reação = 0

0Rt

cN A

AA =−

∂∂

+⋅∇r



RTp

Vn

c AAA == , substituindo, fica:

( ) ( )2A1A12

ABz,A pp

zzRTD

N −−

= (3.3.3)

As equações (3.3.2) e (3.3.3) são comumente referidas como equações da contradifusão equimolar no estado estacionário.

Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário.

Resposta: 21

1

2A1A

1AA

zzzz

cccc

−−

=−−

Por comparação:

( ) ( )

δ=

−=−δ

=

ABo

2A1Ao

2A1AAB

z,A

Dk :Logo

cckccD

N para a contradifusão equimolar.

Exemplo 3.3: Calcule o fluxo molar da amônia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio. O sistema esta a 25º C e 1 atm. A pressão parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg.

Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2

NA,z pA2 = 90 mmHg

pA1 = 10 mmHg

∆z

A ≡ amônia B ≡ Nitrogênio



3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS • Quando ocorre uniformemente através de uma fase => reação homogênea. Acontece em todos

os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto. • Toma lugar numa região restrita no contorno da fase => reação heterogênea.

0Rt

cN

)(homogêneaA espécie datoaparecimen de taxa

AA

A =−∂

∂+⋅∇

r (3.4.1)

• Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial,

desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle, ao invés disto ela entra na analise como uma condição de contorno:

0Aszz,AA ckNR ==

δ=

• A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A => sistemas pseudo-

homogêneo. 3.4.1 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA, REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM: DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA • Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão => processo com difusão

controlada. • Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de

transferência de massa => processo com reação controlada.



Exemplo: Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado => difusão controlada. Moles de oxigênio transferido pelo tempo

Figura Difusão através de um filme esférico ( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 +→+

Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas:

( ) ( ) A

remnalunidireciodifusão

0

,A,Ar,A

22

ioestacionárestado

0

A RN

senr1

senNsenr1

Nrrr

1t

c=

φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

+∂

∂

=

φθ

=4444444 34444444 21321

RA = 0 se A = O2 => nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão.

( )Rr,O

2

rr,O2

r,O2

r,O2

2222NRNrou cteNr0Nr

r==⇒=

∂∂

quadro

C R

r ∆r

NCO2,r

NO2,r

NCO,r

Ar nas vizinhanças



Equação da Lei de Fick para o O2 fica:

dr

dy

y2,01

cDN 2

2

22

O

O

misOz,O +

−=−

Condições de contorno: r = R, yO2 = 0 ⇒ reação instantânea r = ∞, yO2 = 0,21

Solução:

=

−

042,11

ln2,0

cD

R1

NrmisO

z,O2 2

2

Como ( )rO

22O 22

Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W π==

( )042,1ln2,0

cDR4W

misOO

22

−π−=

A esfera de carvão oxida com o tempo => diminuição da esfera => pseudo-estacionário Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. Balanço material para o carbono:

( ) ( ) ( )( ) ( )

dtdR

R4Mdt

dVM

onde

dtdV

Mw0

CCC

2

C

C

C

C

C

CC

acumuladosaientra

πρ

=ρ

ρ=−

=−

quadro

( )( )042,1lncD12

RRM

tmisO

2f

2i

C

C

2 −

−ρ

=



PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE

( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+

quadro Equação da Lei de Fick para o O2 fica:

dr

dycDN 2

22

OmisOr,O −−=

Condições de contorno: r = R, a)instantâne (não ordem 1a. de Reação ckN sOsRrO 22

⇒−==

r = ∞, yO2 = yO2∞

Solução: ( )sOOmisOr,O2

2222yycD

R1

Nr −−=

∞−

Como ( )rO

22O 22

Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W π==

( )sOOmisOO 2222

yyRcD4W −π−= ∞−

C R

r ∆r

NCO2,r

NO2,r

Ar nas vizinhanças



quadro

ck

N

c

cy

s

ROsOsO

222

−== logo:

Rk

D1

yRcD4W

s

misO

OmisOO

2

222

−

∞−

+

π−=

Se misOs 2

Dk −>>

∞−π−=

222 OmisOO yRcD4W

EXEMPLO 3 Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 K, o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono, formado na superfície da partícula. Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de 1,28 x 103 kg/m3 e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 1,5 x 10-4 m. Ar (21% O2 e 79% N2) existe a vários diâmetros da esfera. Sob as condições de combustão, a difusividade do O2 na mistura é 1,3 x 10-4 m2/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionário, calcular o tempo necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanças é uma fonte infinita de transferência de O2, onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é diminuída pela transferência de O2. A reação na superfície é: ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+

Resposta: t = 0,92 s



3.4.2 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA • Operações unitárias: um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em

contato com um liquido. Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção pode envolver reação química.

Condições de contorno: Em z = 0 ⇒ cA = cA0 Em z = δ ⇒ cAs = 0 Figura Absorção com reação química homogênea.

Fluxo molar: ( )444 3444 2143421

filmedo dentro pequena muito éA de ãoconcentraç a 0,

bulk

z,Bz,AA

difusão

AABz,A NNy

dzdc

DN

≈

++−= (3.4.2.1)

Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção z:

0Rdz

dN

)(homogêneaA espécie damentodesapareci de taxa

Az,A =− (3.4.2.2)

A1A ckR −= ⇒ Taxa de desaparecimento de A ⇒ reação química de 1ª ordem. (3.4.2.3)

Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos:

z

z = 0

∆z

z = δ

NAz|z

NAz|z+∆z

Líquido B

Superfície do líquido Mistura gasosa

(A e gás inerte)



0ckdz

dcD

dzd

A1A

AB =+

− , com DAB = constante, fica:

0ckdz

cdD A12

A2

AB =+− (3.4.2.4)

A solução geral da equação (3.4.2.4) é:

zDk

senhczDk

coshccAB

12

AB

11A +=

As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentração fica:

δ

−=

AB

1

AB

10A

AB

10AA

Dk

tgh

zDk

senhc

zDk

coshcc (3.4.2.4)

Fluxo molar:

dz

dcDN A

ABz,A −=

Solução:

δ

δ

δ=

=

AB

1

AB

1

0AAB0zz,A

Dk

tgh

Dk

cDN (3.4.2.5)

• Se não houver reação química: δ

= 0AABz,A

cDN

• Numero adimensional de Hatta = ⇒

δ

δ

AB

1

AB

1

Dk

tgh

Dk

mostra a influencia da reação química.



• Se a taxa da reação química aumenta (k1 aumenta) o fator δAB

1

Dk

tgh se aproxima de 1, e

( )0ckDN 0A1AB0zz,A −==

Por comparação com a equação da convecção: ( )2A1Acz,a cckN −= , temos que:

⇒∝ ABc Dk Teoria da penetração

Se ⇒∝ ABc Dk Teoria do filme

EXEMPLO 4 Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espécie A) em água. O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra, ou seja A é degradado. Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme.

Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme.

É desejável tratar 0,1 m3/h de água contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme é 2 x 10-3 m, qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 0,02 mol/m3?

A taxa de degradação é descrita pela cinética de Michales-Menten: AA

Amax,AA ck

cRR

+=

onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3, kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2/s a T = 25º C. Solução: S = 57 m2

Corrente de alimentação da água de lavagem CAi = moles/m3

Biofilme

Água de lavagem tratada CAO Mistura perfeita

Seção transversal do biofilme

CAO CA(z)

biofilme

Superfície Sólida inerte

z = 0 z = δ dcA/dz = 0

Capítulo 28 Welty



3.4.3 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA (Cremasco) Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior (30 m2/g ou maior) ou da mesma magnitude do que a sua superfície externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfície da partícula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação química nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme mostra a figura.

Figura - Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso

• Termo reacional = aR”A, onde a = superfície do poro/unidade de volume da matriz porosa (sistema pseudo-homogêneo)

• Equação geral para espécie A:

( ) ( ) A

remnalunidireciodifusão

0

,A,Ar,A

22

ioestacionárestado

0

A RaN

senr1

senNsenr1

Nrrr

1t

c′′=

φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

+∂

∂

=

φθ

=4444444 34444444 21321

( ) Ar,A2

2RaNr

rr

1 ′′=∂∂

∴ (3.4.3.1)

Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como: AsA CkR −=′′ (3.4.3.2)

R”A sólido

poro

A B

CAs



O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por:

dr

dCDN A

efr,A −= (3.4.3.3)

Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1),

Aef

s2A2 CD

akr

drdC

rdrd

=

(3.4.3.4)

Denominando: ef

s2

Dak

=λ

A equação (3.4.3.4) fica na forma:

0Cdr

dCr2

dr

CdA

2A2A

2

=λ−+ (3.4.3.5)

a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno: C.C.1: em r = R → CA = CAs

C.C.2: em r = 0 → finitovalor Climou 0dr

dCA

0r

A ==→

(simetria da partícula)

Chamando: ψ=ArC

A equação (3.4.3.5) fica:

0dr

d 22

2=ψλ−+

ψ (3.4.3.6)

A solução geral da eq. (3.4.3.6) é:

( ) ( )rsenhCrcoshC 21 λ+λ=ψ ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshCr1

C 21A λ+λ= (3.4.3.7)

A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno C.C.1 e C.C.2, ficando:



( )( )Rsenh

rsenhrR

CC

As

A

λλ

= (3.4.3.8)

A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa nos sítios internos da partícula. O fator de efetividade O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação numa partícula, sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química, Rsg, e a taxa da reação baseada nas condições de superfície externa da partícula, como se toda a superfície ativa dos poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície, sgR . Assim:

sg

sg

R

R=ηε

com: Rr

Aef

2R,A

2sg dr

dCDR4NR4R

=

π−=π=

representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro dessa partícula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivação, temos:

( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg λλ−π−=

Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem, a taxa é:

Ass3

A3

sg CakR34

RR34

R π−=′′π=

Logo: ( ) ( )[ ]

( )2R

1RcothR3

λ

−λλ=ηε

O parâmetro λ pode ser reformulado da seguinte maneira: λ=φ neR , que é o modulo de Thiele,

indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão. E Rne = Vp/Sm um raio generalizado que depende da geometria da partícula. Pa esfera perfeita: Vp = 4πR3/3 e Sm = 4πR2, logo: λR = 3φ.



O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele no interior do catalisador esférico são fornecidos por:

( )

( )φφ

=3senh

Rr3senhrR

CC

As

A

( )23

13coth3

φ

−φφ=ηε

Para catalisadores muito ativos (ks elevado) → φ = elevado → baixos valores de ηε Para catalisadores pouco ativos → altos valores de ηε → utilizam quase toda a área interna do catalisador.

Exemplo No craqueamento catalítico do petróleo utilizaram-se microesferas de sílica-alumina de diâmetro igual a 1,8 mm e de área especifica dos poros de 3,2 cm2/cm3. Estime o valor do fator de efetividade considerando que a reação química catalítica, cuja velocidade é 6,9 cm/s, é irreversível e de 1ª ordem. O coeficiente efetivo de difusão é 8,0 x 10-4 cm2/s. Resposta: ηε = 0,187



3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES • A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular, as soluções

analíticas, analógicas e numéricas são similares (cap. 17 Welty). • J.Crank – The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. Exemplo: Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo é imerso em inseticida (y = L).

Figura 3.5.1 – Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida.

A equação geral de transferência de massa fica:

0Rt

cN A

AA =−

∂∂

+⋅∇r

ou

0Rt

cz

Ny

N

xN

químicareaçãosem

0

A

ioestacionárestado

0

A

0

AzAyAx =−∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

321321 (3.5.1)

( )444 3444 21

0 bulk termo

BxAxAA

ABAx NNydx

dCDN

=

++−= (3.5.2)

x

y

CA = 0

CA = C(x)

CA = 0

CA = 0

L

0 W



( )444 3444 21

0 bulk termo

ByAyAA

ABAy NNydy

dCDN

=

++−= (3.5.3)

Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1):

0y

C

x

C2A

2

2A

2

=∂

∂+

∂

∂ (3.5.4)

que é uma equação diferencial parcial, linear e homogênea com solução da forma: ( ) ( ) ( )yYxXy,xC A = (3.5.5)

Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos:

2

2

2

2

yd

Ydy1

xd

Xdx1

=

Ambos os lados são constantes, logo:

0Xxd

Xd 22

2=λ+ (3.5.6)

0Yyd

Yd 22

2=λ− (3.5.7)

A eq. (3.5.6) tem a solução geral da forma: xBsenxcosAX λ+λ= (3.5.8) A eq. (3.5.7) tem a solução geral da forma: yy EeDeY λλ− += (3.5.9) A eq. (3.5.5) fica: ( ) ( )( )yy

A EeDexBsenxcosAy,xC λλ− +λ+λ= (3.5.10)



Onde A, B, C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno: x = 0 → CA = 0 x = W → CA = 0 y = 0 → CA = 0 y = L → CA = C(x) Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é:

( )W

ynsenh

Wxn

senAy,xC1n

nAππ

= ∑∞

= (3.5.11)

Utilizando a ultima condição de contorno:

( )W

Lnsenh

Wxn

senAxC1n

nAππ

= ∑∞

= (3.5.12)

A avaliação de An é mostrada por Cremasco, a solução final é:

( ) ( ) dxW

xnsenxC

Wxn

sen

WLn

senh

Wyn

senh

W2

y,xCW

0A

1nA ∫∑

ππ

π

π

=∞

= (3.5.13)

A equação (3.5.13) é resolvida após se conhecer a função CA(x).

Exemplo: Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador. Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direções x e y. Atingindo três das quatro superfícies, a espécie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua concentração mantém-se constante em um valor β. Considerando a existência da contradifusão equimolar entre produto e reagente, pede-se: a) a distribuição mássica do soluto A.



3.6 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA • Exemplo: Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco: energia

transferida a para superfície fria por convecção e radiação; transferência de massa associada a entalpia na corrente gasosa se movendo.

• Os processos de transporte simultâneos são mais complexos, requerendo o tratamento simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido.

3.6.1 Transferência simultânea de calor e massa • Condições isotérmicas

∑=

=n

1iii

D HNA

q rr (3.6.1.1)

mistura numa i de parcialmolar entalpia H

mássica difusãopor calor de fluxo A

q

i

D

=

=r

• Condições não isotérmicas (diferenças de temperatura)

∑=

+∆−∇−=n

1iii

convectivocondutivo

D HNThTkA

q rr (3.6.1.2)



Exemplo: Condensação de vapor em uma superfície fria A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás na qual o condensado é transferido por difusão molecular.

Figura Condensação de vapor em uma superfície fria. z1 → yA1 = conhecido por psicometria T1 = conhecido T3 = conhecida (temperatura na superfície) Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação:

( )[ ] 94169

41L

LPr/492,01

Ra670,068,0Nu

++=

A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é:

0Ndzd

z,A = ⇒ fluxo mássico é constante na direção z.

Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado, o fluxo é descrito pela seguinte forma da lei de Fick:

dz

dyy1

cDN A

A

ABz,A −

−=

Se o perfil de temperatura é conhecido:

Filme líquido condensado Contorno do

filme gasoso

T1

T2

T3

T = T(z)

yA1

yA2

yA= yA(z)

z3 z2 z1



n

11 zz

TT

=

Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura:

2n3

1TAB

23

1TABAB z

zD

TT

DD11

=

=

A concentração também varia com a temperatura:

( )n

1zzR

PRTP

c ==

A equação de fluxo torna-se:

( ) dzdy

zz

y1RT

DPN A

2n

1A1

TABz,A

1

−

−=

Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equação:

( )

( ) dzdy

y1

cDN A

A

médioABz,A −

=

Com as condições de contorno: Para z = z1 ⇒ yA = yA1

Para z = z2 ⇒ yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, Integrando a equação temos:

( ) ( )

( ) ln,B12

2A1AmédioABz,A yzz

yycDN

−

−=

O fluxo de energia total é:

( ) ( ) ( )21Az,A21C32Lz HHMNTThTTh

Aq

−+−=−=



2 líquido de plano no Entalpia H1 vapor de plano no Entalpia H

A demolecular Massa M

gasoso filme no naturalcalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient hlíquido filme nocalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient h

2

1

A

C

L

===

==

Para resolver a equação de fluxo de energia, utiliza-se a técnica de tentativa e erro: Assume o valor da temperatura da superfície liquida: T2 Calcula hC e (cDAB)médio. Calcula yA2 = PA/P, com PA = pressão de vapor acima do liquido a T2 e P = pressão total do sistema Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto.

Exemplo: Uma mistura de vapor etanol-água esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanol/água. O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta. A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol. Ambos os componentes estão se difundindo através do filme de gás de 0,1 mm de espessura. A temperatura é 368 K e a pressão é 1,013 x 105 Pa. Para estas condições, a entalpia de vaporização dos componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente. a)Desenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol. b) Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de vaporização.

Figura - Retificação adiabática de uma mistura etanol/água. • Assumir uma direção • Processo de transferência de massa molecular adiabático • Espessura do filme δ

Parede adiabática

Mis

tura

liqu

ida

satu

rada

de

etan

ol/á

gua Filme

gasoso (δ)

Vapor etanol/água

NEtOH (vapor)

NH2O (condensado)



3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa • Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido:

coluna de parede molhada.

• Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de

gás. Suposições: 1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de

massa é absorvida ⇒ propriedades do liquido são inalteradas. 2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão. - Balanço de momento na direção x:

x

0

zxyx

0

xx

0

x

0

zx

0

y

cte0

xx

ioestacionár estado0

x gzyxx

Pzyxt

x

ρ+

∂τ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

−∂∂

−=

∂ϑ∂

ϑ+∂ϑ∂

ϑ+∂ϑ∂

ϑ+∂ϑ∂

ρ

=====

=ϑ

321321321321

Logo, gyyx ρ−=

∂

τ∂ (3.6.2.1)

As condições de contorno que devem ser satisfeitas: C.C.1 para y = 0 ϑx = 0 C.C.2 para y = δ ∂ϑx/∂y = 0 ( contato do liquido com o gás)



Fluido newtoniano: dy

d xxy

ϑµ=τ

Substituindo em (1), temos:

21

2

x1x

2x

2

cyc2

ygcy

gy

gy

++µρ

−=ϑ⇒+µρ

−=∂ϑ∂

⇒ρ−=∂

ϑ∂µ (3.6.2.2)

Pela C.C.1 ⇒ c2 = 0 Pela C.C.2 ⇒ c1 = ρgδ/µ Substituindo e após um rearranjo, temos:

δ

−δ

δµρ

−=ϑ2

2x

y21yg

(3.6.2.3)

2yxmax 2

gδ

µρ

=ϑ=ϑ δ= (3.6.2.4)

Logo:

δ

−δ

ϑ=ϑ2

maxxy

21y

2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5)

Equação diferencial de transferência de massa

0Rt

cN

químicareaçãosem

0

A

ioestacionárestado

0

AA =−

∂∂

+⋅∇=

=321

r

nas direções x e y apenas:

0y

N

x

N y,Ax,A =∂

∂+

∂

∂ (3.6.2.6)

Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como:



( )444 3444 2143421

xAc

x,Bx,AA

curto.muito é liquido o com vapor do

contato de tempoo desprezar,

AABx,A NNx

dxdc

DN

ϑ=

++−= (3.6.2.7)

( )444 3444 21

B emA de desolubilida abaixa muito ,desprezar

y,By,AAA

ABy,A NNxdy

dcDN ++−= (3.6.2.8)

Direção y: A é transportado principalmente por difusão. Direção x: A é transportado principalmente por convecção. Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos:

( )

:logo apenas,y de dependente é como ,0y

cD

xc

x2A

2

ABxA ϑ=

∂

∂−+

∂ϑ∂

0y

cD

xc

2A

2

ABA

x =∂

∂−+

∂∂

ϑ (3.6.2.9)

Sendo ϑx dado pela equação (3.6.2.5), ∴

0y

cD

xcy

21y

22A

2

ABA

2

max =∂

∂−+

∂∂

δ

−δ

ϑ (3.6.2.9)

As condições de contorno para a película deslizando são: C.C.1: para x = 0 → cA = 0

C.C.2: para y = 0 → 0y

c A =∂

∂ (parede)

C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás) A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas. Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942):



L++

++=−

−

−

−−−

δ==

δ==

n75,204

n64,105n318,39n1213,5

yA0xA

yALxA

e01811,0

e03500,0e1001,0e7857,0cc

cc

(3.2.6.10)

Onde:

líquido no soluto do difusão de ecoeficient D

superfície na localizada filme, do máxima e velocidadpelícula da espessura

coluna da altura L

coluna da topono soluto do ãoconcentraç c

liquido-gás interface na soluto do ãoconcentraç c

coluna da fundo no soluto do ãoconcentraç c

LD n

AB

max

0xA

xA

LxA

max2

AB

==ϑ

=δ=

=

=

=

ϑδ=

=

δ=

=

Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) • Um soluto é transferido dentro de uma película em y = δ. O efeito da película deslizando sobre a

espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada uniforme e igual a ϑmax.

• O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de

profundidade infinita.

Profundidade da penetração



Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica:

2A

2

ABA

maxy

cD

xc

∂

∂=

∂∂

ϑ

com as condições de contorno: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás) C.C.3: para y = -∞ → cA = 0 Fazendo ξ = δ - y, temos:

2A

2

ABA

maxc

Dx

c

ξ∂

∂=

∂∂

ϑ

e as condições de contorno ficam: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.2: para ξ = 0 → cA = cA0 (contato com o gás) C.C.3: para ξ = ∞ → cA = 0 Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos:

( )2

A2

ABAmaxs,c

D0csξ∂

ξ∂=−ϑ no domínio de Laplace

rearranjando: ( )

0D

css,c

AB

Amax2

A2

=ϑ

−ξ∂

ξ∂

Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de:

( )

ξ

ϑ−+

ξ

ϑ=ξ

AB

max1

AB

max1A D

sexpB

Ds

expAs,c

As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o domínio de Laplace:

C.C.1: para ξ = 0 → ( )s

cs,0c 0A

A = (contato com o gás)



C.C.2: para ξ = ∞ → ( ) 0s,cA =∞

Produzindo a solução:

( )

ξ

ϑ−=ξ

AB

max0AA D

sexp

sc

s,c

Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos:

( )

ϑ−

ξ−=ξ

max

AB0AA

xD4erf1c,xc ou

( )

−

ξ−=ξ

expAB0AA

tD4erf1c,xc

onde o tempo de exposição é definido como texp = x/ϑmax. A função erro: erf() → apêndice L de Welty.

Fluxo:

−

π=

π=

∂∂

−====δ=

δ==ξ0

2A

c

1Aexp

AB

exp

AB0A

y

AAByy,A0y,A cc

tD

tD

cy

cDNN

0A

Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN −=

21ABc

exp

ABc Dkou

tD

k ∝π

= ⇒ Teoria da penetração.

Difusão molecular no estado transiente 4.1


CAPÍTULO 4: DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE • 2 variáveis independentes: posição e tempo • Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as

soluções do problema análogo à condução de calor. Quando a equação diferencial e a condição inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do processo de condução de calor, então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas na notação.

• Muitas soluções analíticas em:

o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2ª edição. o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958.

• São peculiares apenas para transferência de massa:

o Difusão com reações químicas o Difusão com velocidade media molar diferente de zero o Difusão com mais de 2 componentes o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada

• Processos transientes:

o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial. o O processo na qual é uma batelada (descontínuo) ou operações em sistemas fechados do

começo ao fim de sua duração. SOLUÇÃO ANALÍTICA A segunda lei de Fick, descreve uma situação onde: • Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento (bulk), isto é, 0=ϑ

r

• Nenhuma reação química, isto é, RA = 0 Logo:

0Rt

cN

químicareaçãosem0

AA

A =−∂

∂+⋅∇

=

r (1)



( )44 344 21rr

r0c

BAAAABz,A NNxxcDN

=ϑ=

++∇−= 1ª Lei de Fick, logo:

AABz,A cDN ∇−= (2)

Introduzindo (2) em (1), temos:

A2

ABA cDt

c⋅∇=

∂∂

2ª Lei de Fick (3)

Útil para: • Difusão em sólidos, líquidos estacionários, ou em sistemas em contradifusão equimolar. • Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos, a contribuição do movimento bulk,

da 1ª lei de Fick (isto é, ∑ iA Nxr

) aproxima de zero para soluções diluídas, portanto satisfaz a

2ª lei de Fick. 4.1 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO • Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semi-infinito com uma

concentração superficial fixa. • Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago. • Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono. • A equação diferencial a ser resolvida é:

2A

2

ABA

z

cD

tc

∂

∂=

∂∂

e as condições inicial e de contornos são: C.I.: 0AA cc = para t = 0, para todo z

C.C.1: AsA cc = para z = 0, para todo t

C.C.2: 0AA cc = para z = ∞, para todo t, o soluto penetra uma distância muito pequena

durante o tempo finito de exposição em relação a profundidade do meio.



usando a transformação: 0AA cc −=θ

2

2

ABz

Dt ∂

θ∂=

∂θ∂

(2)

e as condições inicial e de contornos são: C.I.: ( ) 00,z =θ

C.C.1: ( ) 0AAs cct,0 −=θ

C.C.2: ( ) 0t, =∞θ

Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos:

2

2

ABz

D0s∂

θ∂=−θ ou

0D

s

z AB2

2

=θ

−∂

θ∂ (3)

E as condições de contorno na T.L.:

C.C.1: ( ) ( )s

ccs,0 0AAs −

=θ

z

CA0 CAs

z

t aumenta

CA0

CAs



C.C.2: ( ) 0s, =∞θ

A solução geral de (3) é:

zDszDs ABAB BeAe −+=θ Pelas condições de contorno: z = ∞ ⇒ A = 0 z = 0 ⇒ B = (cAs-cA0)/s

Logo: zDs0AAs ABes

cc −

−=θ (4)

A inversa da T.L. da eq. (4), fica:

( )

−=θ

tD2

zerfccc

AB0AAs ou

−=

−−

tD2

zerf1

cccc

AB0AAs

0AA (perfil de concentração) (5)

erf( ): função erro, apêndice L de Welty ou no Excel. O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfície do meio é:

( )0AAsAB

0z

AAB0zA cc

tD

dzdc

DN −π

=−==

= (6)

4.2 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIÇÕES

DE RESISTÊNCIA DE SUPERFÍCIE DESPREZIVEL • Um corpo é submetido a uma mudança subta nas vizinhanças a qual influencia sua

concentração na superfície cAs. • Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L. • A distribuição de concentração inicial é uma função de z, ou seja, cA0(z).



• Condições: C.I.: ( )zcc 0AA = para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L

C.C.1: AsA cc = para z = 0, para t > 0

C.C.2: AsA cc = para z = L, para t > 0

A equação da 2ª lei de Fick, com a concentração adimensional, As0A

AsA

cccc

Y−−

= , na direção z, fica:

2

2

ABz

YD

tY

∂

∂=

∂∂

(1)

Com as condições inicial e de contorno adimensionais: C.I.: ( )zYY 0= para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L

C.C.1: 0Y = para z = 0, para t > 0 C.C.2: 0Y = para z = L, para t > 0

( ) 0t,2LdzdY

= , devido a simetria no meio da placa.

Resolvendo a equação (1) pelo método de separação de variáveis (Welty) leva a seguinte solucao produto:

( ) tD21

2ABexsenCxcosCY λ−λ+λ=

z = 0

CAs CAs

z = L



As constantes C1 e C2 e o parâmetro λ são obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo:

( ) ( ) dzL

znsenzYe

Lzn

senL2

cccc

YL

00

X2n

1nAs0A

AsA D2

∫∑

π

π

=−−

= π−∞

= (2)

onde:

L 5, 3, 1,nL/2 de ticocaracteris ocompriment x

relativo tempode razão x

DX

1

1

ABD

==

→=

Se a lamina tem uma concentração uniforme, no instante inicial, isto é Y0(z) = Y0, então a eq. (2), fica:

( ) D2 X2n

1nAs0A

AsA eL

znsen

n14

cccc

Y π−∞

=∑

π

π=

−−

= (3)

onde: n = 1, 3, 5, ... O fluxo mássico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por:

z

cDN A

ABz,A ∂∂

−=

( ) ( ) D2 X2n

1n0AAs

ABz,A e

Lzn

cosccL

D4N π−

∞

=∑

π

−=

onde: n = 1, 3, 5, ...

No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois ( ) 0t,2Ldz

dc A =



Exemplo: Considerando a dopagem do fósforo no silício cristalino, semicondutor tipo n, a 1100º C, uma temperatura capaz de promover a difusão do fósforo. A concentração da superfície do fósforo (cAs) no silício é 2,5 x 1020 atomos de P/cm3 de Si sólido, que é relativamente diluído, desde que o silício contem 5 x 1022 atomos de Si/cm3 de sólido. A cobertura rica de fósforo é considerada como uma fonte infinita para a quantidade de átomos de P transferido, de maneira que, cAs é constante. Predizer a profundidade do filme Si-P após 1 h, se a concentração é de 1% na superfície (2,5 x 1018 atomos de P/cm3 de silício sólido).

Resposta: 1,76 µm

z = 0

Si(s) + 2POCl3(g) → SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s)

P

POCl3 Cl2 Vapor de POCl3

Cobertura de SiO2(s) + 2P(s)

Placa de Si

Fonte rica de P

P Si

cAs



4.3 GRÁFICOS CONCENTRAÇÃO-TEMPO PARA FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES • Gráficos de “Gurney-Lurie” apresentam soluções para placa plana, esfera e cilindros longos. • Equação diferencial para condução de calor análoga a equação diferencial para difusão

molecular ⇒ estes gráficos podem ser utilizados para ambos os fenômenos de transportes. • Para difusão molecular, temos:

Y = mudança na concentração adimensional = 0AAs

AAs

cccc

−−

XD = tempo relativo = 21

AB

x

tD

n = posição relativa = 1x

x

m = resistência relativa = 1c

AB

xkD

=internamolecular massa de ncia transferêde aresistênci

convectiva massa de ncia transferêde aresistênci

x1 = comprimento característico, é a distância do ponto médio para a posição de interesse. Condições:

a) Assumir a 2ª lei de Fick, isto é, 0=ϑ , nenhum termo de produção, RA = 0, e difusividade constante.

b) O corpo tem um concentração inicial uniforme, cA0. c) O contorno esta sujeito a uma nova condição que permaneça constante com o tempo.

1. Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces, a razões adimensionais são

calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro.



1) Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas:

Ybar = YaYb Ya = avaliação com a largura x1 = a Yb = avaliação com a espessura x1 = b 2) Paralelepípedo retangular

Ypar = YaYbYc Ya = avaliação com a largura x1 = a Yb = avaliação com a espessura x1 = b Yc = avaliação com a espessura x1 = c

a a

b b

c

c

a a

b b

selada

selada



3) Cilindros, incluindo ambas as extremidades

Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial (x1 = R) Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial)

Exemplo Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 hr de secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistência relativa m é aproximada para zero, calcule: a) O coeficiente de difusão efetiva. b) O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem. c) O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta

feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo.

Resposta: a) 8,85 x 10-5 ft2/h; b) 0,471 lbm de água/lbm de madeira seca; c)650 h

a

a

R

R



4.4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA TRANSIENTE

Enunciado: Uma placa de material com uma espessura de 0,004 m tem uma superfície subitamente exposta a uma solução do componente A com CA0 = 6 x 10-3 kg-mol/m3 enquanto que a outra superfície é suportada sólido isolado permitindo nenhuma transferência de massa. Há um perfil de concentração inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3 kg-mol/m3 para um lado e CA = 2 x 10-3 kg-mol/m3 para o lado sólido. A difusividade DAB = 1x 10-9 m2/s. O coeficiente de distribuição. O coeficiente de distribuição entre a concentração na solução adjacente a placa CALi e a concentração na placa sólida para a superfície CAi é definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O coeficiente de transferência de massa para a superfície da placa pode ser considerado infinito.

x = 0,004 m

CA3 CA5 CA7CA1

CA2 CA4 CA6 CA8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x dx = 0,0005 m

CA9

Superfície expostaCondições de contorno CA1 é mantido a um valor constante.

Figura 1 – Transferência de massa transiente em uma placa unidimensional A equação diferencial parcial:

2A

2

ABA

x

CD

tC

∂

∂=

∂∂

2ª Lei de Fick

Condições iniciais CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3 a 2 x 10-3



Condições de contorno Como a equação diferencial é de 2ª ordem são necessárias duas condições de contorno:

CC1: k

CC 0A

0xAi == , onde k = 1,5

CC2: 0x

C

004,0x

A =∂

∂

=

, condição de fluxo difusional para o contorno isolado.

a) Calcular as concentrações dentro da placa até 2500 s. Utilize o método numérico em x com intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos. b) Fazer o gráfico da concentração versus tempo ate 2500 s. Método numérico O método de linhas (MOL: method of lines): o tempo é resolvido como equações diferenciais ordinárias: método de Euler ou Runge Kutta por exemplo. O espaço é discretizado por diferenças finitas. Neste exemplo o espaço é dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1). Utilizando a fórmula da diferença central para a 2ª derivada (equação A9), deixando o tempo como uma derivada ordinária, temos:

( )1nn1n AAA2

ABA CC2Cx

Ddt

dC−+

+−∆

= para 2 ≤ n ≤ 8

Condições de contorno Superfície exposta Neste exemplo em x = 0

( )0x

AAB1A0Ac x

CDKCCk

=∂∂

−=−

CA1

x = 0

CA0



Usando a formula das diferenças (A5) para o derivativo do lado direito desta equação temos:

( )x2

C3C4Cx

C 1A2A3A

0x

A

∆−+−

=∂

∂

=

Logo: ( ) ( )x2

C3C4CDKCCk 1A2A3A

AB1A0Ac ∆−+−

−=−

Isolando CA1, que nos interessa temos:

xKk2D3CD4CDxCk2

CcAB

2AAB3AAB0Ac1A ∆+

+−∆=

no nosso exemplo temos que kc →∞ logo K

CC 0A

1A = , onde K = 1,5.

Superfície isolada Neste exemplo em x = L

0x

C

004,0x

A =∂

∂

=

Utilizando a formula da diferença finita (A7) para este derivativo, temos

0x2

CC4C3dx

dC 7A8A9A9A =∆

+−=

Isolando CA9 que nos interessa, temos:

3CC4

C 7A8A9A

−=

CA9

x = 0

isolante

x = L = 0,004m



Condição inicial Perfil de concentração inicial, neste exemplo é lineal de 1 x 10-3 a 2 x 10-3, ficando:

x em m CA x 103 Nodo n

0 1 1 0,0005 1,125 2 0,001 1,25 3 0,0015 1,375 4 0,002 1,5 5 0,0025 1,625 6 0,003 1,75 7 0,0035 1,825 8 0,004 2 9

dx = 0,0005 Equações discretizadas:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )2

7A8A9AAB

8A8

26A7A8A

AB7A

7

25A6A7A

AB6A

6

24A5A6A

AB5A

5

23A4A5A

AB4A

4

22A3A4A

AB3A

3

21A2A3A

AB2A

2

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

+−==

+−==

+−==

+−==

+−==

+−==

+−==

CA9 e CA1 são diferentes devido as condições de contorno, logo

KC

C

3CC4

C

0A1A

7A8A9A

=

−=



onde CA0 = 6 x 10-3 e K = 1,5 Neste exemplo usaremos o método de Euler para discretizar o tempo:

( ) ( )

( ) ( )j2A21j2A

j2A1j2A2

2A2

CtfCt

CCf

dtdC

f

+∆=∆

−=

=

+

+

Neste exemplo ∆t = 1 s e j é o numero de tempos.



Fluxograma:

Dados

Condições iniciais

J = 0 a 2500

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2

7A8A9AAB8

26A7A8AAB7

25A6A7AAB6

24A5A6AAB5

23A4A5AAB4

22A3A4AAB3

21A2A3AAB2

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

+−=

+−=

+−=

+−=

+−=

+−=

+−=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) dtjt1jt

31jC1jC41jC

dtfjC1jC

dtfjC1jC

dtfjC1jC

dtfjC1jCdtfjC1jC

dtfjC1jCdtfjC1jC

KC1jC

7A8A9A

28A8A

27A7A

26A6A

55A5A

44A4A

33A3A

22A2A

0A1A

+=+

+−+=++=++=++=++=++=++=++=+

=+

Impressão



Módulo em VBA aplicado ao EXCEL Public Sub Ptran() Dim t(3000) As Double Dim CA1(3000) As Double Dim CA2(3000) As Double Dim CA3(3000) As Double Dim CA4(3000) As Double Dim CA5(3000) As Double Dim CA6(3000) As Double Dim CA7(3000) As Double Dim CA8(3000) As Double Dim CA9(3000) As Double 'Dados dx = 0.0005 CA0 = 0.006 K = 1.5 DAB = 0.000000001 tf = 2500 Cells(12, 1) = "dx =" Cells(12, 2) = dx Cells(13, 1) = "CA0 =" Cells(13, 2) = CA0 Cells(14, 1) = "K =" Cells(14, 2) = K Cells(15, 1) = "DAB =" Cells(15, 2) = DAB 'Condições iniciais t(0) = 0 CA1(0) = 0.001 CA2(0) = 0.001125 CA3(0) = 0.00125 CA4(0) = 0.001375 CA5(0) = 0.0015 CA6(0) = 0.001625 CA7(0) = 0.00175



CA8(0) = 0.001825 CA9(0) = 0.002 dt = 1 'Solução numérica For j = 0 To 2500 f2 = DAB * (CA3(j) - 2 * CA2(j) + CA1(j)) / dx ^ 2 f3 = DAB * (CA4(j) - 2 * CA3(j) + CA2(j)) / dx ^ 2 f4 = DAB * (CA5(j) - 2 * CA4(j) + CA3(j)) / dx ^ 2 f5 = DAB * (CA6(j) - 2 * CA5(j) + CA4(j)) / dx ^ 2 f6 = DAB * (CA7(j) - 2 * CA6(j) + CA5(j)) / dx ^ 2 f7 = DAB * (CA8(j) - 2 * CA7(j) + CA6(j)) / dx ^ 2 f8 = DAB * (CA9(j) - 2 * CA8(j) + CA7(j)) / dx ^ 2 CA1(j + 1) = CA0 / K CA2(j + 1) = CA2(j) + f2 * dt CA3(j + 1) = CA3(j) + f3 * dt CA4(j + 1) = CA4(j) + f4 * dt CA5(j + 1) = CA5(j) + f5 * dt CA6(j + 1) = CA6(j) + f6 * dt CA7(j + 1) = CA7(j) + f7 * dt CA8(j + 1) = CA8(j) + f8 * dt CA9(j + 1) = (4 * CA8(j + 1) - CA7(j + 1)) / 3 t(j + 1) = t(j) + dt Next j 'impressão na planilha For i = 0 To 8 Cells(18, 5 + i) = i * dx te = 50 Next i For j = 0 To 2500 Step te Cells(20 + j / te, 4) = t(j) Cells(20 + j / te, 5) = CA1(j) Cells(20 + j / te, 6) = CA2(j) Cells(20 + j / te, 7) = CA3(j) Cells(20 + j / te, 8) = CA4(j) Cells(20 + j / te, 9) = CA5(j) Cells(20 + j / te, 10) = CA6(j)



Cells(20 + j / te, 11) = CA7(j) Cells(20 + j / te, 12) = CA8(j) Cells(20 + j / te, 13) = CA9(j) Next j End Sub Planilha Placa_transiente_7_13.xls do EXCEL: Próxima pagina.



dx = 0.00050

CA0 = 0.00600

K = 1.50000

DAB = 1.00000E-09

distância x

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

tempo

(s) CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9

0 0.001 0.001125 0.00125 0.001375 0.0015 0.001625 0.00175 0.001825 0.002

50 0.004 0.001616 0.001294 0.001378 0.0015 0.001624 0.001741 0.001816 0.00184

100 0.004 0.001965 0.001394 0.001392 0.001501 0.001622 0.001733 0.001806 0.00183

150 0.004 0.002217 0.001514 0.001421 0.001505 0.00162 0.001726 0.001796 0.00182

200 0.004 0.002406 0.001635 0.001462 0.001514 0.001619 0.001719 0.001787 0.00181

250 0.004 0.002553 0.001751 0.00151 0.001527 0.001618 0.001713 0.001778 0.0018

300 0.004 0.002669 0.001859 0.001564 0.001544 0.00162 0.001707 0.00177 0.00179

350 0.004 0.002764 0.001957 0.00162 0.001565 0.001623 0.001703 0.001761 0.001781

400 0.004 0.002843 0.002047 0.001676 0.001589 0.001628 0.001699 0.001754 0.001772

450 0.004 0.00291 0.002128 0.001732 0.001615 0.001635 0.001696 0.001747 0.001764

500 0.004 0.002967 0.002202 0.001787 0.001643 0.001644 0.001695 0.00174 0.001756

550 0.004 0.003017 0.002269 0.001841 0.001673 0.001655 0.001694 0.001735 0.001748

600 0.004 0.003061 0.00233 0.001892 0.001703 0.001667 0.001695 0.00173 0.001741

650 0.004 0.003101 0.002386 0.001941 0.001734 0.001681 0.001697 0.001725 0.001735

700 0.004 0.003136 0.002438 0.001987 0.001765 0.001695 0.0017 0.001722 0.001729

750 0.004 0.003167 0.002485 0.002032 0.001795 0.00171 0.001704 0.00172 0.001725



800 0.004 0.003196 0.002529 0.002074 0.001825 0.001726 0.001709 0.001718 0.001721

850 0.004 0.003222 0.00257 0.002114 0.001855 0.001743 0.001715 0.001717 0.001718

900 0.004 0.003246 0.002608 0.002153 0.001884 0.00176 0.001721 0.001717 0.001716

950 0.004 0.003269 0.002643 0.002189 0.001913 0.001777 0.001728 0.001718 0.001715

1000 0.004 0.003289 0.002677 0.002224 0.00194 0.001795 0.001736 0.00172 0.001714

1050 0.004 0.003308 0.002708 0.002257 0.001968 0.001812 0.001745 0.001723 0.001715

1100 0.004 0.003326 0.002737 0.002288 0.001994 0.00183 0.001754 0.001726 0.001716

1150 0.004 0.003342 0.002764 0.002319 0.00202 0.001848 0.001764 0.00173 0.001719

1200 0.004 0.003358 0.00279 0.002347 0.002045 0.001865 0.001774 0.001735 0.001722

1250 0.004 0.003372 0.002814 0.002375 0.002069 0.001883 0.001785 0.00174 0.001726

1300 0.004 0.003386 0.002837 0.002401 0.002093 0.0019 0.001796 0.001747 0.00173

1350 0.004 0.003398 0.002859 0.002426 0.002115 0.001918 0.001807 0.001753 0.001736

1400 0.004 0.003411 0.00288 0.00245 0.002138 0.001935 0.001819 0.001761 0.001742

1450 0.004 0.003422 0.002899 0.002473 0.002159 0.001952 0.00183 0.001769 0.001748

1500 0.004 0.003433 0.002918 0.002495 0.00218 0.001969 0.001843 0.001777 0.001756

1550 0.004 0.003443 0.002936 0.002516 0.002201 0.001986 0.001855 0.001786 0.001763

1600 0.004 0.003453 0.002953 0.002537 0.002221 0.002003 0.001868 0.001796 0.001772

1650 0.004 0.003462 0.002969 0.002556 0.00224 0.002019 0.00188 0.001805 0.00178

1700 0.004 0.003471 0.002985 0.002575 0.002259 0.002035 0.001893 0.001816 0.00179

1750 0.004 0.003479 0.003 0.002594 0.002277 0.002052 0.001906 0.001826 0.001799

1800 0.004 0.003487 0.003014 0.002611 0.002295 0.002068 0.001919 0.001837 0.001809

1850 0.004 0.003495 0.003028 0.002628 0.002313 0.002083 0.001933 0.001848 0.00182

1900 0.004 0.003503 0.003041 0.002645 0.00233 0.002099 0.001946 0.001859 0.001831

1950 0.004 0.00351 0.003054 0.002661 0.002346 0.002114 0.001959 0.001871 0.001842

2000 0.004 0.003516 0.003066 0.002676 0.002363 0.00213 0.001973 0.001883 0.001853

2050 0.004 0.003523 0.003078 0.002691 0.002379 0.002145 0.001986 0.001895 0.001865



2100 0.004 0.003529 0.00309 0.002706 0.002394 0.00216 0.002 0.001907 0.001876

2150 0.004 0.003535 0.003101 0.00272 0.00241 0.002175 0.002013 0.00192 0.001888

2200 0.004 0.003541 0.003111 0.002734 0.002425 0.002189 0.002027 0.001932 0.001901

2250 0.004 0.003547 0.003122 0.002747 0.002439 0.002204 0.00204 0.001945 0.001913

2300 0.004 0.003552 0.003132 0.00276 0.002454 0.002218 0.002054 0.001958 0.001926

2350 0.004 0.003558 0.003141 0.002773 0.002468 0.002232 0.002068 0.001971 0.001938

2400 0.004 0.003563 0.003151 0.002786 0.002482 0.002246 0.002081 0.001983 0.001951

2450 0.004 0.003568 0.00316 0.002798 0.002495 0.00226 0.002095 0.001997 0.001964

2500 0.004 0.003573 0.003169 0.00281 0.002509 0.002274 0.002108 0.00201 0.001977



0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0.0040

0.0045

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600

tempo (s)

CA

(kg

-mol

/m3 )

CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9



Aproximações por diferenças finitas úteis:

Transferência de massa por convecção 5.1


CAPÍTULO 5: TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO ⇒ Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando ou

entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento.

ãoconcentraçde diferença

A

convectivo massa de

ciatransferênde ecoeficient

c

ãoconcentraçde decréscimo do

direção na ocorre massa de Fluxo

A ckN ∆=

→

sistema do geometria e dinâmicas ticascaracteris fluido, do desproprienda das função h

k c

é análogo a : ThAq

∆= da transferência de calor

Considerações fundamentais em transferência de massa ⇒ Camada extremamente fina junto à superfície → escoamento laminar. ⇒ Escoamento laminar: o transporte entre a superfície do fluido escoando é por meio molecular. ⇒ Escoamento turbulento: movimento físico de volume de material através de linhas de corrente,

transportada por turbilhões. Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão associadas ao escoamento turbulento.

( )AAscA cckN −=

Onde:

fluido fase da dentro ponto algum para composicão csistema do pressão e ra temperatua para sólido o com equilíbrio

em fluido do composição a é interface; na fluido no soluto do ãoconcentraç clinterfacia área x tempointerface a deixandoA soluto do moles

N

A

As

A

=

=

=

⇒ Há quatro métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa convectivo que serão

discutidos neste capítulo. Estes são:



1. Análise dimensional ligada a experimentos; 2. Análise exata da camada limite; 3. Análise aproximada da camada limite; 4. Analogia entre momento, energia e transferência de massa.

EXEMPLO 1 O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo seco) com uma área superficial exposta de 1 x 10-3 m2. O CO2 sublima com uma corrente escoando a 2 m/s e taxa de liberação de 2,29 x 10-4 mol/s. O ar está a 293 K e 1,013 x 105 Pa ( sm10x5,1D 25

ar,CO 2−= e νar

= 1,55x10-5 m2/s). Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar escoando. Resp.: 0,118 m/s

5.2. PARÂMETROS SIGNIFICANTES: ⇒ A difusividade molecular para cada fenômeno de transporte são:

=

ρ=α

ρµ

=ν

tL

mássica dedifusivida D

térmicadedifusivida ck

momento de dedifusivida

2

AB

p

⇒ Número de Schmidt (Sc)

mássica dedifusividamomento de dedifusivida

DDSc

ABAB=

ρµ

=ν

=

Sc (T.M.) é análogo ao Pr (T.C.) ⇒ Número de Lewis (Le)

mássica dedifusivida térmicadedifusivida

Dck

DLe

ABpAB=

ρ=

α=

Le é importante quando o processo envolve transferência de massa de energia simultaneamente.



Figura 5.1 – Perfil de velocidade e concentração para um fluido escoando numa superfície sólida. Na interface => mesmo fluxo do componente A deixando a superfície do fluido.

( )∞−= AAscA cckN deixando a superfície por convecção

( )

0y

AsAABA dy

ccdDN

=

−−= Entrando no fluido por difusão melecular

Logo: ( ) ( )0y

AsAABAAsc dy

ccdDcck

=

−−=∞−

Rearranjando e multiplicando por L, ambos os lados, temos:

( ) ( )

⇒∞−−

−== L

ccdy

ccdD

Lk AAs

0y

AsA

AB

c

global ãoconcentraç de gradientesuperfície a para ãoconcentraç de gradiente

fluido do convectiva massa de ncia transferêde aresistêncimolecular massa de ncia transferêde aresistênci

=

ShouNuD

LkAB

AB

c =

NuAB: número de Nusselt para transferência de massa Sh: número de Sherwood.

ϑ = ϑ(y)

ϑ∞

cAs - cA∞

cAs - cA = (cAs – cA)(y)

x

y

cAs na interface



EXEMPLO 2 Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103 Pa e em água líquida a 298 K.

5.3. ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada ⇒ Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do

conduite. (força direcional cAs – cA)

Variável Símbolo Dimensões

Diâmetro do tubo D L Densidade do fluido ρ M/L3

Viscosidade do fluido µ M/Lt Velocidade do fluido ϑ L/t Difusividade do fluido DAB L2/t Coeficiente de transferência de massa kc L/t

D ρ µ ϑ DAB kc

M 0 1 1 1 0 1 L 1 -3 -1 0 2 0

t 0 0 -1 -1 -1 1

- Várias combinações de matriz 3 x 3. - Variáveis incluem sistema geométrico, o escoamento, props. do fluido - kc tem o interesse principal - rank = 3 ⇒ r de uma matriz: significa o numero de coluna do maior determinante diferente de zero, que se pode formar a partir dela. i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais. DAB, ρ e D → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas incluem todas as dimensões básicas (MLt).



µρ=π

ϑρ=π

ρ=π

ihgAB3

fedAB2

ccba

AB1

DD

DD

kDD

Escrevendo π1 na forma adimensional:

( )

=

tL

LLM

tL

1 cba2

Equacionando os expoentes, temos:

1c0b1a

b0:M1a0:t

1cb3a20:L

==

−=

=−−=

++−=

Sherwood de no.

massa dencia transferêpara

Nusselt de no.

ABAB

c1 ShouNu

DDk

321≡=π

Os outros 2 grupos são determinados da mesma maneira, produzindo:

Schimidt de no.AB

3AB

2 ScD

eDD

≡ρ

µ=π

ϑ=π

Dividindo π2 por π3:

Reynolds de no.

AB

AB3

2 ReDD

DD

≡µϑρ

=

µ

ρ

ϑ=

ππ

Portanto uma correlação poderia ser feita da forma: Sh = NuAB = f(Re, Sc) Que é análoga a correlação de transferência de calor,



Nu = f(Re, Pr) Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural ⇒ Correntes de convecção natural → desenvolvera se existir variação de densidade na fase líquida

ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente. As variáveis importantes, seus símbolos e representações adimensionais são:

Variável Símbolo Dimensões

Comprimento característico L L Difusividade do fluido DAB L2/t Densidade do fluido ρ M/L3

Viscosidade do fluido µ M/Lt Força de empuxo g ∆ρA M/L2t2

Coeficiente de transferência de massa kc L/t

L DAB ρ µ g ∆ρA kc

L 1 2 1 1 1 0 M 0 0 -3 -1 -2 1

t 0 -1 0 -1 -2 -1

⇒ DAB, L e µ → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas

incluem todas as dimensões básicas (MLt). ⇒ Matriz 3 x 3 ⇒ maior det ≠ 0, portanto o rank = 3 ⇒ i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais.

Aihg

AB3

fedAB2

ccba

AB1

gLD

LD

kLD

ρ∆µ=π

ρµ=π

µ=π

Resolvendo os 3 grupos adimensionais, obtemos

AB

A3

3AB

2ABAB

c1 D

gL,

Sc1D

,NuD

Lkµ

ρ∆=π≡

µρ

=π≡=π



Multiplicando π2 e π3

321Grashof de no

AB2A

3

AB

A3

AB32 Gr

gLDgLD

≡

ρν

ρ∆=

µρ∆

µ

ρ=ππ

Portanto sugere uma correlação da forma: Sh = f(GrAB, Sc) para convecção natural. ⇒ As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao invés de 6

originais, tanto para convecção forçada como para natural. ⇒ Correlações => equações empíricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento. 5.4 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO ⇒ Extensão da solução exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinâmica.

Figura – Camada limite de concentração para escoamento laminar em uma placa plana A equação da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A, ρ e DAB = constantes.

A deprodução

enhuman0

A

)y,x(fc0

2A

2

2A

2

y

c

2A

2

ABA

0

zA

yA

x

ioestacionárestado

0

A Rz

c

y

c

x

cD

zc

yc

xc

tc

A2A

2=

==

∂

∂<<

==

+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

ϑ+∂

∂ϑ+

∂∂

ϑ+∂

∂

321321321

x

y

Extremidade da C.L. de concentração

cA∞

cAs

cA = cA(y)



logo, temos:

2A

2

ABA

yA

xy

cD

yc

xc

∂

∂=

∂∂

ϑ+∂

∂ϑ (13)

Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e energia para a solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica; portanto terá solução análoga as estes fenômenos de transporte, pois as condições de contorno são análogas. Condições de contorno:

1D

Sc

ypara1cc

cc

e;0ypara0cc

cc

AB

AsA

AsA

AsA

AsA

=ν

=

∞==−∞

−

==−∞

−

AsA

AsA

s,x

s,xxx

cccc

222f−∞

−=

ϑ−ϑ

ϑ−ϑ=

ϑϑ

=′∞∞

(14) e

xRex2

yxx2

yx2

y=

νϑ

=νϑ

=η ∞∞ (15)

( ) ( )( )∞ϑν

ψ=η

x

y,xf (16)

( )η′ϑ

=∂

ψ∂=ϑ ∞ f

2yx (17)

( )ffx2

1xy −′η

νϑ=

∂ψ∂

=ϑ ∞ (18)

Introduzindo as equações (14) a (18) na (13), obtemos:

0fff =′′+′′′ com as condições de contorno:



∞=η=′

=η=′=

/p2f

0/p0ff

A solução análoga a transferência de momento sugere que:

( ) 328,1

Rex2

yd

cccc

2d

0fdfd

0yx

AsA

AsA

=

−∞

−

=′′=η′

=

(19)

A equação (19) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de concentração na interface:

( )

−∞=

=xAsA

0y

As Rex332,0

ccdy

dc (20)

Eq. (20) ⇒ a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que não altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius, onde ϑy não é envolvido. Se ⇒=ϑ

=0

0yy contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero, logo:

0y

AABy,A y

cDN

=∂∂

−= (21)

Substituindo (21) em (20), temos:

( )∞−

= AAsxABy,A ccRe

x332,0

DN (22)

O fluxo de massa do componente A se difundindo é definido como:

( )∞−= AAscy,A cckN (23)

igualando as equações (22) e (23), temos:



xABAB

c Re332,0NuD

xk== (24)

onde: Sc = 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa.

(19). equação 0,332 é inclinação ay em e e, velocidadde perfil o sobre efeito nenhum temnão massa de ncia transferêde taxa

0Re

placa. a para fluido dopartir a massa de ncia transferê0Re

limite. camada da dentro para placa dapartir a massa de ncia transferê0Re

21x

ys

21x

ys

21x

ys

⇒=

⇒=ϑ

ϑ

⇒<ϑ

ϑ

⇒>ϑ

ϑ

∞

∞

∞

⇒ Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 21x

ysRe

∞ϑ

ϑ é desprezível,

valendo a equação (24). ⇒ Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa pressão, a

suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita.



31

cSc=

δδ

Solução de Pohlhausen

δ = espessura da camada limite hidrodinâmica δc = espessura da camada limite da concentração. Para y = 0, temos:

( )

−∞=

=

3xAsA

0y

As ScRex332,0

ccdy

dc

Conduzindo a: 3xx

AB

c ScRe332,0ShD

xk== (25)

Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana (largura W e comprimento L)

∫

∫∫

∫

∫

−∞

∞

µ

ρϑ=

⇒

µρϑ

===

L

0

2121

31ABc

L

0

31

21

ABL

0

3121

xAB

L

0

L

0c

c

dxxScD332,0Lk

L

dxScx

xD332,0

L

dxScx

ReD332,0

dxW

dxkW

k

Inclinação = 0,332

ϑys = 0

3121x

ysScRe

∞ϑ

ϑ

∞−−

AAs

AAs

cccc



Resolvendo e rearranjando, temos:

3121LL

AB

c ScRe664,0ShD

Lk== (28)

O numero de Sherwood local para uma distancia x, esta relacionado com o numero de Sherwood médio para uma placa plana pela relação: ShL = 2 Shx|x=L

O parâmetro do limite da superfície, 0Re 21x

ys>

ϑ

ϑ

∞, aumenta quando a inclinação da curva

decresce (ver gráfico). Como a magnitude do coeficiente de transferência de massa esta relacionado

com a inclinacao pela relação:

0y

AAs

AAs

c dy

cccc

d

k

=

∞

−−

= , o decréscimo na inclinação => o sistema

com valores elevados no limite da superfície terá um menor coeficiente de transferência de massa. Escoamento turbulento A mesma expressão encontrada para transferência de calor, na camada limite laminar térmica, é encontrada para a camada limite laminar para a concentração, utilizando a equação integral de von Kármán, onde o perfil de concentração é dado por:

71,AA ycc ξ+η=− ∞

obtendo: 54

xx Re0292,0Sh = para Sc = 1 e aplicando a solução de Pohlhausen, extende-se para:

3154

xx ScRe0292,0Sh = , para Rex > 3 x 105 (29)



EXEMPLO 3 O coeficiente de transferência de massa para uma camada limite turbulenta formado sobre uma placa plana tem sido correlacionado em termos de um número de Sherwood local por:

3154x

AB

turb,cx ScRe0292,0

D

xkSh ==

onde x é a distancia a partir do começo de turbulência da placa plana. A transição do escoamento laminar para turbulento ocorre para Rex = 2 x 105. a) Desenvolver a expressão para o coeficiente de transferência de massa médio para uma placa

plana de comprimento L. b) Um vasilhame contendo acetona foi acidentalmente derrubado, cobrindo uma superfície plana

do laboratório. O exaustor produz uma velocidade de ar de 6 m/s paralelo a superfície da bancada de 1 m de largura. O ar foi mantido a 298 K e 1,013 x 105 Pa. A pressão de vapor da acetona a 298 K é 3,066 x 104 Pa.

1. Determinar o coeficiente de transferência de massa a 0,5 m do ponto inicial da bancada. 2. Determinar a quantidade de acetona evaporada por m2 de superfície a cada segundo. A 298 K, a viscosidade cinemática do ar é 1,55 x 10-5 m2/s e a difusividade mássica da acetona em ar é 0,93 x 10-5 m2/s.

5.5 ANALOGIAS ENTRE TRANSFERÊNCIAS DE MOMENTO, CALOR E MASSA ⇒ Fenômenos de transferência => similaridades de mecanismos. ⇒ As analogias são úteis para o entendimento do fenômeno de transferência e como um meio

satisfatório para predizer o comportamento dos sistemas na qual são disponíveis uma quantidade limitada de dados quantitativos.

⇒ Condições: 1. As propriedades físicas são constantes. 2. Não há produção de energia ou massa, não ocorre nenhuma reação química. 3. Não há emissão ou absorção de energia radiante. 4. Não há dissipação viscosa. 5. O perfil de velocidade não é afetado pela transferência de massa, então há uma baixa

transferência de massa.

Analogia de Reynolds ⇒ Extensão da teoria de Reynolds incluindo o mecanismo de transferência de massa se o no de

Schimidt, Sc, é igual a 1.



Placa plana com Sc = 1. Os perfis de concentração e velocidade dentro da camada limite estão relacionados por:

0y

x

0yAsA

AsA

ycccc

y=∞=∞

ϑϑ

∂∂

=

−−

∂∂

(30)

O contorno próximo da placa, onde y = 0, é:

( ) ( )∞=

−=−∂∂

−= AAsc0y

AsAABy,A cckccy

DN (31)

DAB = µ/ρ, pois Sc = 1 (32)

De (31), 0yAAs

AsAABc cc

ccy

Dk=∞

−−

∂∂

−=


0y

xc y

k=∞ ∂

ϑ∂ρϑ

µ= (33)

A definição do coeficiente de fricção Cf é:

0y

x2

0f y

22

C=∞∞ ∂

ϑ∂

ρϑ

µ=

ρϑτ

= (34)


2Ck fc =

ϑ∞ (35), que é a analogia de Reynolds para transferência de massa para Sc = 1.

A eq. (35) é análoga a analogia de Reynolds para transferência de calor com Pr = 1.

2C

ch f

p=

ϑρ ∞, analogia de Reynolds para transferência de calor para Pr = 1.

A equação (35) não pode ser utilizada se o sistema envolver forma de arraste.



Considerações sobre escoamento turbulento ⇒ Na maioria das aplicações praticas o escoamento na corrente principal é turbulento. ⇒ Hipótese do comprimento de mistura de Prandt: alguma velocidade de flutuação xϑ′ é devido ao

momento na direção y de um turbilhão através de uma distancia igual ao comprimento de mistura L. O turbilhão de fluido, possui uma velocidade media,

yxϑ , e é deslocado dentro de

uma corrente onde o fluido adjacente tem uma velocidade media, Lyx +

ϑ . A velocidade de

flutuação esta relacionada com o gradiente de velocidade media por:

dy

dL x

yxLyxxϑ

±=ϑ−ϑ=ϑ′+

(1)

a tensão de cisalhamento total é definida por:

yxx

dyd

ϑ′ϑ′ρ−ϑ

µ=τ (2)


[ ] [ ]dy

dou

dyd

L xM

xy

ϑε+νρ=τ

ϑϑ′+νρ=τ (3)

Onde:

. momento, demolecular dedifusivida a analoga momento dear turbilhondedifusivida L yM ν→ϑ′=ε

De maneira similar é analisado o escoamento turbulento em transferência de massa.



Figura 5.6 – Perfil da porção turbulenta de concentração, mostrando o comprimento de mistura de Prandt. A taxa de transferência instantânea do componente A na direção y é:

yAy,A cN ϑ′′= (4)

onde:

A componente doãoconcentraç da

flutuação

A

temporalmédiaãoconcentraç

AA ccc ′+=

dycd

Lccc AyALyAA ±=−=′

+ (5)


dycd

LN Ayy,A ϑ′−= taxa de transferência de massa instantânea devido a turbulência.

( )dycd

Ddycd

Ldycd

DN ADAB

turbulento

Ay

laminar

AABy,A ε+−=ϑ′−−=

4342143421 (6)

onde: yD Lϑ′=ε é a difusividade mássica turbilhonar.

L

LyAc +

yAc

dycd

L A

y

ξA



A eq. (6) é similar a:

dyTd

cA

q

rturbilhonatérmica

dedifusivida

H

térmicamolecular

dedifusividap

y

ε+αρ−=

⇒ Região turbulenta: transporte rápido, redução no gradiente de concentração. ⇒ Região laminar: difusão molecular, maior resistência a transferência de massa na camada

limite próxima a superfície o gradiente de concentração é mais excessivo. As analogias de Prandtl e von Kármán Analogia de Prandtl ⇒ Considerações dos efeitos na região turbulenta e na subcamada laminar. Subcamada laminar ⇒ Difusividade turbilhonar de momento e massa são desprezíveis ⇒ τs = tensão de cisalhamento na superfície = constante. ⇒ NAy,s = fluxo de massa na superfície = cte.

ρνξτ

=ϑρντ

=ϑ ξ

ξϑ

∫∫ξ

sx0

0

sx oudyd

x

(7)

onde ξ é a espessura da subcamada laminar. A porção laminar da equação (6)

( )AB

s,AyAAs0AB

s,Ayc

c A D

Nccoudy

D

NcdA

As

ξ=−−= ξ

ξ∫∫ ξ (8)

Eliminando ξ das equações (7) e (8), temos:

( )ξξ

−=τ

ϑρνAAs

s,Ay

AB

s

xcc

ND

(9)



Região turbulenta ⇒ Aplica-se a analogia de Reynolds:

2sfc

2Ck

∞∞ ρϑ

τ==

ϑ

de y = ξ a y = condições bulk. O fluxo mássico na região turbulenta torná-se:

( ) ( )( )∞ξξ∞

∞ξ −ϑ−ϑρν

τ=−= AA

x

sAAcAy cccckN (10)

União das regiões laminar e turbulenta Eliminando ξAc entre as equações (9) e (10), temos:

−

νϑ+ϑ

τρ

=−

ξ∞∞ 1

DNcc

ABx

sAy

AAs (11)

Substituindo as definições:

ABAAs

Ac2

sf D

Sc;cc

Nk;

2C

ν=

−=

ϑρ

τ=

∞∞

na eq. (11) e rearranjando, temos:

( )( )1Sc12Ck

x

fc

−ϑϑ+=

ϑ ∞ξ∞ (12)

Na subcamada laminar é definido que ϑ+ = y+ = 5, portanto:

2C

5ou5

2C

fx

f

x=

ϑ

ϑ=

ϑ

ϑ=ϑ

∞

ξ

∞

ξ+ (13)

Substituindo (13) em (12), obtemos:



( )1Sc2

C51

2Ck

f

fc

−+

=ϑ∞

(14)

multiplicando ambos os lados de (14) por ABD/L∞ϑ , onde L é o comprimento característico:

( )

( )1Sc2

C51

ScRe2CSh

f

f

−+

= (15)

As equações (13) e (14) são análogas a analogia de Prandtl para momento e energia. Elas reduzem a analogia de Reynolds quando Sc = 1. Analogia de von Kármán ⇒ Von Kármán extendeu a analogia de Prandtl considerando a zona de transição em adição a

subcamada laminar e o núcleo turbulento, obtendo:

( )

( )[ ] 6Sc51ln1Sc2

C51

ScRe2CSh

f

f

++−+

= (16)

ou ( )

( )[ ] 6Sc51ln1Sc2

C51

2CScRe

Shk

f

fc

++−+

==ϑ∞

(17)

( )

==

ϑ∞

44444 344444 21Reynolds de analogia a para correção

fc

termosde complexos grupo

2CScRe

Shk → resultados de muitas analogias

Analogia de Chilton-Colburn ⇒ Utilizando dados experimentais

32cD Sc

kj

∞ϑ= → fator j para transferência de massa.



⇒ Baseado em dados coletados para escoamentos em regime laminar e turbulento, encontraram:

2C

Sck

j f32cD =

ϑ=

∞ (18)

Válida para gases e líquidos na faixa 0,6 < Sc < 2500 A equação (18) satisfaz a solução exata para escoamento laminar sobre uma placa plana:

3121xx ScRe332,0Sh =

Se ambos os lados são divididos por RexSc1/3, temos:

21x

31x

x

Re

332,0

ScRe

Sh= (19)

∞∞ ϑ=

µ

ρ

ρϑ

µ

==

32c32AB

AB

c

x

32x

31x

x SckSc

DxD

xkScRe

ScSh

ScRe

Sh (20)

Das equações (19), (20) e (18), temos:

2C

Re

332,0Sck f21

x

32c ==ϑ∞

(21)

⇒ A analogia de Chilton-Colburn relaciona os 3 fenômenos de transporte:

2C

jj fDH == (22)

A equação (22) é válida quando não tem nenhuma forma de arraste presente. Porem quando a forma de arraste esta presente, temos:

DH jj = (23)

ou ∞∞ ϑ

=ρϑ

32c32

p

SckPr

ch

(24),



⇒ A equação (24) é uma relação entre transferência de massa e calor convectivos, válida para 0,6 < Sc < 2500 e 0,6 < Pr < 100.

⇒ A equação (24) é válida para muitas geometrias diferentes como: escoamento em placas planas, escoamento em tubos, e escoamento ao redor de cilindros.

EXEMPLO 4 Utilizando o enunciado e o coeficiente de transferência de massa do exemplo 1, determinar o valor do coeficiente de transferência de calor, h, para a corrente de ar.

EXEMPLO 5 O ar seco sob pressão de 1,013 x 105 Pa sopra o termômetro na qual o bulbo foi coberto com um pano úmido. A clássica temperatura do bulbo úmido indica que a temperatura no estado estacionário foi alcançado por uma pequena quantidade de água evaporando num grande reservatório de mistura de gás e vapor insaturado. A leitura no termômetro é 290 K. Propriedades do ar e água: PA, pressão de vapor da água = 1,94 x 103 Pa ρ, densidade do ar = 1,219 kg/m3 λTs, calor latente de vaporização da água = 2461 kJ/kg Pr = 0,71 Sc = 0,61 cp, calor especifico do ar = 1,006 J/kgK Qual é a temperatura do ar seco? Resp: 322,1 K

5.6 MODELOS PARA O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO ⇒ Em muitos casos kc é empírico (determinado por experimentos) ⇒ A explicação teórica requer um melhor entendimento do mecanismo da turbulência →

características dinâmicas do escoamento. Teoria do filme: é baseada na presença de um filme fictício de fluido, onde se admite existir toda a resistência e transferência de massa, na qual o transporte é inteiramente por difusão molecular. A espessura do filme, δ, é estendida alem da subcamada laminar para incluir uma resistência equivalente encontrada com a mudança de concentração dentro da região de transição e do núcleo turbulento.



⇒ Fluido estagnante (célula de difusão de Arnold)

( ) ( )δ

=∴−≡−δ

=,lnB

ABc2A1A

c2A1A

,lnB

ABAz p

PDkpp

RTk

ppRTp

PDN

⇒ Contradifusão equimolar (NAz = -NBz)

( )

( )

( )δ

=∴−=δ=−

−−

=⇒−=

++−=

∫ ∫

=

AB0c2A1AcAz12

2A1A12

ABAz

z

z

c

c AABAz

0

BzAzAA

ABAz

DkcckN como ,zz

cczz

DNdcDdzN

NNxdz

dcDN

2

1

2A

1A

44 344 21

O superescristo 0 → não há uma transferência molar liquida dentro do filme devido a contradifusão equimolar. Na teoria do filme: kc esta relacionado com DAB e δ é fictício, portanto nunca será medido. Teoria da penetração: originalmente proposta por Higbie em 1935, para explicar a transferência de massa na fase liquida durante a absorção do gás.

⇒ Aplicada para escoamento turbulento por Danckwerts (Ind. Eng. Chem. 43, 1460-67, 1951) quando o componente que difunde apenas penetra uma curta distancia dentro de uma fase de interesse, devido ao seu rápido desaparecimento através da reação química ou seu tempo relativamente curto de contato.

⇒ Higbie considerou a transferência de massa para dentro da fase liquida como um transporte molecular no estado não estacionário, encontrando:

( )∞−π

= AAsexp

ABAy cc

tD

N

⇒ Danckwertz aplicou este conceito de estudo não estacionário para a absorção do componente

A numa corrente liquida turbulenta. Seu modelo assume que o movimento do liquido é constantemente levado por turbilhões de liquido fresco do interior até a superfície, onde estes substituem os elementos do liquido anteriormente sobre a superfície. Enquanto que sobre a superfície cada elemento do liquido torna-se exposto a uma segunda fase e a massa é



transferida para dentro do liquido apesar dela ser estagnante e de profundidade infinita. A total penetração do soluto no turbilhão num tempo de exposição é:

( ) ( )21

expABAAs

t

021

AAsABt

0 AtD

cc2dttccD

dtN expexp

π−=−

π= ∞

−∞ ∫∫

( )21

expABAAs

to durantemédia ncia transferêde taxa

AtD

cc2N

exp

π−= ∞

⇒ Danckwertz modificou a suposição de período de exposição constante propondo uma faixa

infinita de idades para os elementos de superfície → probabilidade de um elemento de superfície ser substituído por um novo turbilhão. A taxa de transferência de massa com a renovação da superfície ao acaso é:

( )∞−= AAsABA ccsDN

onde s = fator de renovação da superfície (experimental)

O conceito de renovação da superfície de renovação tem sido bem sucedido em: o Reações químicas na fase líquida. o É valida somente se a superfície de renovação é relativamente rápida.

Teoria entre a do filme e a da penetração:

AB5,0

ABc DaDk ∝

Modelo da camada limite:

321

ABD

3121L

ABc ScRe

LD

664,0kν

=

=

logo 32

ABc Dk ∝

⇒ Sublimação de um sólido dentro de um gás. ⇒ Dissolução de um sólido por um líquido.

Transferência de massa convectivo entre fases 6.1


CAPÍTULO 6: TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO ENTRE FASES ⇒ Até agora vimos a transferência de massa dentro de uma única fase. ⇒ Transferência entre 2 fases de contato; exemplos:

o Corrente gasosa em contato com líquido o Dois líquidos imiscíveis. o Fluido escoando sobre um sólido.

⇒ A transferência entre duas fases requer o desvio do equilíbrio a qual pode existir entre a

concentração media (bulk) dentro de cada fase ⇒ desvio do equilíbrio fornece o gradiente de concentração dentro de uma fase.

6.1 EQUILÍBRIO ⇒ Equilíbrio dinâmico: é indicado por uma concentração constante do soluto na fase líquida

(solvente) e uma concentração constante ou pressão parcial do soluto na fase gasosa. Exemplo: inicialmente ar e amônia na fase gasosa e água pura na fase líquida → quando em contato, a amônia é transferida para dentro da água, a qual é solúvel, e a água é vaporizada dentro da fase gasosa, um equilíbrio dinâmico entre as duas fases eventualmente será estabelecido.

Figura 6.1 – Distribuição de equilíbrio do soluto A entre uma fase gasosa e uma líquida à temperatura controlada. ⇒ Adicionando mais soluto (concentração de A) ao sistema isobárico e isotérmico, um novo

equilíbrio é alcançado.

Pres

são

parc

ial d

e A

no

gás

P A

Concentração de A no líquido, cA



⇒ Equações relacionadas a equilíbrio nas duas fases → livros de termodinâmica. ⇒ Gases reais e fases líquidas → equações complexas. Fase líquida ideal (Lei de Raoult) AAA Pxp = (1)

Onde:

.equilíbrio de ra temperatua para puroA de vapor de pressãoP

líquida. fase naA demolar fração xlíquida. fase da acima vapor fase naA componente do equilíbrio de parcial pressão p

A

A

A

===

Fase gasosa ideal (Lei de Dalton) Pyp AA = (2)

Onde:

sistema. do totalpressãoP

gasosa. fase naA demolar fração y A

==

Duas fases ideais (Lei de equilíbrio Raoult-Dalton) AAA PxPy = (3)

Soluções diluídas (Lei de Henry) AA Hcp = (4)

Onde: H = constante de Henry cA = composição de A no equilíbrio na fase líquida.

Lei da distribuição (dois líquidos imiscíveis) 2líquido,A1líquido,A Kcc = (5)

Onde: cA = concentração do soluto A na fase líquida especificada. K = coeficiente de distribuição.



⇒ Conceitos básicos para todos os sistemas envolvendo a distribuição de um componente entre duas fases.

1. Para condições fixas de temperatura e pressão, a regra das fases de Gibbs estabelece que existe

relações de equilíbrio, a qual pode ser apresentada na forma de curva de distribuição de equilíbrio.

2. Quando o sistema esta em equilíbrio, não há transferência de massa liquida entre as fases. 3. Quando o sistema não esta em equilíbrio, componente ou componentes do sistema serão

transportados de tal maneira que cause a composição do sistema um retorno ao equilíbrio num tempo suficiente.

EXEMPLO 1 Uma corrente de exaustão a partir de uma unidade de fabricação de um semicondutor contem 3 mol% de acetona e 97 mol% de ar. Para eliminar alguma possível poluição ambiental, esta corrente de acetona-ar alimenta uma coluna de transferência de massa na qual a acetona será eliminada por contracorrente de água a 293 K. A torre opera a uma pressão total de 1,013 x 105 Pa. Se a relação de equilíbrio Raoult-Dalton pode ser usada para determinar a distribuição acetona entre o ar e a fase aquosa, determinar: a) A fração molar da acetona dentro da fase aquosa a qual estaria em equilíbrio com 3 mol% de

acetona na mistura gasosa. b) A fração molar da acetona na fase gasosa a qual estaria em equilíbrio com 20 ppm de acetona na

fase aquosa. A 293 K a pressão de vapor da acetona é 5,64 x 104 Pa.

EXEMPLO 2 A constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido em água é 4,06 x 109 Pa/(mol de O2 por mol da solução total) a 293 K. Determine a concentração da solução de oxigênio na água que é exposta ao ar seco a 1,013 x 105 Pa e 293 K. A lei de Henry pode ser expressada em termos de unidade de fração molar por: AA xHp ′= , onde H’ é 4,06 x 109 Pa/(mol de O2/mol da solução total).



6.2 TEORIA DAS DUAS RESISTÊNCIAS Envolvem 3 etapas:

1. Transferência de massa do meio (bulk) de uma fase para a superfície interfacial. 2. Transferência através da interface para a segunda fase. 3. Transferência para o meio (bulk) da segunda fase.

Figura 6.2 – Absorção de um gás com um soluto A transferido da fase gasosa para a fase líquida. ⇒ A teoria das duas resistências foi inicialmente sugerida por Whitman (Chem. Met. Engr., 29 (4),

147, 1923), esta possuía duas suposições principais:

1. A taxa de transferência de massa entre as duas fases é controlada pela taxa de difusão através das fases sobre cada lado da interface

2. Nenhuma resistência é oferecida na transferência do componente difundindo na interface.

Interface gás-líquido

NA

Filme gasoso Filme líquido



Figura 6.3 – Gradientes de concentração entre duas fases em contato, onde o soluto é transferido do gás para o líquido. Na fig. 6.3 o gradiente de pressão parcial, pAG, até a composição do gás interfacial, pAi, e o gradiente de concentração da fase líquida, cAi, na interface até a concentração bulk da fase líquida, cAL. ⇒ Se não existe nenhuma resistência a transferência de massa na interface ⇒ pAi e cAi são

concentrações de equilíbrio. ⇒ PAi pode ser menor, maior ou igual a cAi, de acordo com as condições da temperatura e pressão

do sistema. Se ocorrer transferência de massa da fase liquida para a gasosa ⇒ cAL > cAi e pAi > pAG como mostram as figuras abaixo:

pAG

pAi

cAi

cAL

δG δL

Distância z

Con

cent

raçã

o de

A s

e di

fund

indo

Interface se H < 1,0

pAG

pAi

cAi

cAL

δG δL

Distância z

Con

cent

raçã

o de

A s

e di

fund

indo

Interface se H =1,0

Fase gás Fase líquida Fase líquida Fase gás



Figura 6.4 – Desorção (stripping) do liquido com o soluto A transferido do líquido para o gás.

Figura 6.5 – Gradiente de concentração entre duas fases em contato quando o soluto é transferido do líquido para o gás. Coeficientes de transferência de massa individuais ⇒ Taxa de difusão na direção z sobre cada lado da interface: ( )AiAGGAz ppkN −= (6)

( )ALAiLAz cckN −= (7)

pAG

pAi cAi

cAL

δG δL

Distância z

Con

cent

raçã

o de

A s

e di

fund

indo

Interface

Fase gás Fase líquida

Interface gás-líquido

NA

Filme gasoso Filme líquido



Onde:

líquida. fase a paraA componente or transferiacontinuar para necessária direcional força ccfases. duas as separando interface a para

gasoso meio do condições dasA componente or transferipara necessária direcional força pplíquida fase na convectivo massa de ncia transferêde ecoeficient k

ãolconcentraç de unidades x interfacia área x tempoidoA transfer de moles

gasosa fase na convectivo massa de ncia transferêde ecoeficient k

ALAi

AiAG

L

A

G

=−

=−=

ρ∆

≡

=

Em regime no estado estacionário, o fluxo de massa de uma fase é igual ao fluxo de massa na segunda fase, portanto: ( ) ( )AiALLAiAGGAz cckppkN −−=−= (8)

e AiAL

AiAG

G

L

cc

pp

k

k

−

−=− (9)

Figura 6.6 – Composições interfacial predita pela teoria das duas resistências. 0 → condições do meio (bulk) em um plano de transferência de massa. As condições em outro plano poderiam ser diferentes. A tabela 29.1 (WELTY) apresenta os coeficientes de transferência de massa individual encontrados com mais freqüência, bem como a inter-relações entre eles.

0 Inclinação = -kL/kG

Curva de equilíbrio pAG

pAi

cAL cAi Pres

são

parc

ial d

e A

na

fase

gas

osa

Composição de A na fase líquida



Coeficientes de transferência de massa global ⇒ É muito difícil medir fisicamente a pressão parcial e a concentração na interface. É conveniente

empregar os coeficientes global, baseado na força direcional global entre as composições do meio (bulk), pAG e cAL.

( )∗−= AAGGA ppKN (10)

Onde:

ALA

AG

G

G

c A, de líquida fase dabulk composição a com equilíbrio emA de parcial pressão p

gasosa fase dabulk composição p

pressão x linterfacia área x tempoicoA transfer de moles

K

parcial. pressão da direcional força na baseado global, massa de ncia transferêde ecoeficient K

=

=

≡

=

∗

( )ALALA ccKN −= ∗

Onde:

ALA

AL

L

L

p com equilíbrio emA de ãoconcentraç c

líquida fase dabulk composição c

memoles/volu x linterfacia área x tempoicoA transfer de moles

K

líquida. fase na ãoconcentraç da direcional força na baseado global, massa de ncia transferêde ecoeficient K

=

=

≡

=

∗



Figura 6.7 – Forças direcionais de concentrações para a teoria das duas resistências. A figura 6.7 ilustra as forças direcionais associadas a cada fase e as forças direcionais global.

G

G

total,A

gás filme,A

K1

k1

p

p

fases as ambas em totalaresistêncigasosa fase na aresistênci

=∆

∆=

L

L

total,A

líquido filme,A

K1

k1

c

c

fases as ambas em totalaresistêncilíquida fase na aresistênci

=∆

∆=

⇒ Relação entre os coeficientes global e os coeficientes da fase individual: Ai

õesconcentraç baixas paraHenry de lei da

constante H, Ai cmp

=

= (12)

utilizando a equação (12):



AiAi

ALA

AAG

mcp

mcp

mcp

=

=

=

∗

∗

Pela equação (10) rearranjada:

Az

AAi

Az

AiAG

Az

AAG

G N

pp

N

pp

N

pp

K1 ∗∗ −

+−

=−

=

Substituindo pela Lei de Henry:

( )

Az

ALAi

Az

AiAG

Az

AAG

G Nccm

Npp

Npp

K1 −

+−

=−

=∗

Substituindo (6 ) e (7), temos:

LGG k

mk1

K1

+= (13)

Pode ser encontrada uma expressão similar para KL, como segue:

( ) ( )

Az

ALAi

Az

AiAG

Az

ALA

L N

cc

mN

pp

N

cc

K1 −

+−

=−

=∗

ou

LGL k

1mk

1K

1+= (14)

⇒ Se m é pequeno: KG = kG ⇒ fase gasosa controlada. ⇒ Se m é grande: KL = kL ⇒ fase gasosa pode ser desprezada, fase líquida controlada.



EXEMPLO 3 Num estudo experimental de absorção de amônia em água numa coluna de parede molhada, o coeficiente global de transferência de massa, KG, foi encontrado no valor de 2,74 x 10-9 kg mol/m2.s.Pa. Para um ponto na coluna, a fase gasosa contem 8 mol% de amônia e a concentração na fase líquida foi de 0,064 kg mol de amônia/m3 de solução. A torre opera a 293 K e 1,013 x 105 Pa. Para esta temperatura, a constante da lei de Henry é 1,358 x 103 Pa/(kg mol/m3). Se 85% da resistência total para transferência de massa é encontrada na fase gasosa, determine os coeficientes individuais de massa do filme e as composições interfaciais.

EXEMPLO 4 Uma corrente de água para lavagem é introduzida no topo de uma torre de transferência de massa onde uma corrente de ar escoa em contracorrente. Para um ponto na torre, a corrente de água contem 1 x 10-3 g mol de A/m3 e o ar é essencialmente livre de A. Para as condições de operação da torre, os coeficientes de transferência de massa do filme são kL = 5 x 10-4 kg/mol/m2.s.(kg mol/m3) e kG = 0,01 kg mol/m2.s.atm. As concentrações esta na região da lei de Henry onde pAi =HcAi com H = 10 atm/(kg mol/m3). Determine a) O fluxo de massa global de A. b) O coeficiente de transferência de massa global, KL e KG.

Correlações para transferência de massa convectiva 7.1


CAPÍTULO 7: CORRELAÇÕES PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA

⇒ Correlações para transferência de massa baseada em dados experimentais e quando possível teórico.

TABELA 7.1 Números adimensionais em correlação para dados de transferência de massa



7.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA PARA PLACAS, ESFERAS E CILINDROS Técnicas empregadas para obter o coeficiente de transferência de massa entre o fluido em movimento e certas formas:

o Sublimação de um sólido. o Vaporização de um líquido no ar. o Dissolução de um sólido na água.

PLACA PLANA

3121L

AB

cL ScRe664,0

DLk

Sh == (Laminar) ReL < 2 x 105 (1)

318,0L

AB

cL ScRe0365,0

DLk

Sh == (Turbulento) ReL > 2 x 105 (2)

onde: µ

ρϑ= ∞ L

Re L

Para uma distancia x a partir do inicio da placa plana, temos:

3121x

AB

cL ScRe332,0

Dxk

Sh == (Laminar) (3)

onde: µ

ρϑ= ∞ x

Re x

As equações também podem ser escritas em termos se fator j, como:

31

L

L32

AB

AB

AB

c32cD

ScRe

ShD

DLD

LkSc

kj =

ρ

µµ

ρρϑ

µ=

ϑ=

∞∞, logo:

21LD Re664,0j −= (laminar) Re < 2 x 105 (4)

2,0LD Re0365,0j −= (turbulento) Re > 2 x 105 (5)

Estas equações podem ser usadas com 0,6 < Sc < 2500.



Em muitas situações a camada limite da concentração começa após a camada limite hidrodinâmica, conseqüentemente a camada limite hidrodinâmica começa a se desenvolver antes da camada limite da concentração.

Figura: Escoamento laminar sobre uma placa plana com inicio da camada limite hidrodinamica antes da camada limite de concentração. Condições de contorno: 0 ≤ x < X, cA = cA∞

X ≤ x < ∞, cA = cAs E o numero de Sherwood local, fica:

31

4321

xx

xX

1

ScRe332,0Sh

−

=

CA = 0 p/ parede

Parede inerte Parede (fonte de A)

x = 0 x = x x = X x = 0

cAs

NA

cA∞

ϑ∞

δc δ



Exemplo 7.1 Reator horizontal de deposição química (CVD): crescimento de um filme de arsenito de gálio (GaAs)

Reações simplificadas que ocorrem na superfície de silício:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )gCH6sGa2gH3gCHGa2

gH3sAs2gHA2

4233

23s

+→+

+→

No presente processo, a placa de silício de 10 cm é posicionada a 4 cm a partir da placa quente. A temperatura do processo é 800 K e a pressão total do sistema é 101,3 KPa (1 atm). Considerando o caso limitante onde o escoamento do gás rico em H2 esta a uma velocidade media de 100 cm/s (Ga(CH3)3 diluído). Determinar o coeficiente de transferência de massa global (kc) para o trimetil gálio em H2 no centro da placa de silício usando:

a) A teoria da camada limite. b) A teoria do filme

DAB = 1,55 cm2/s a 800 K e 1 atm (A = trimetil gálio e B = H2)

Dis

trib

uido

r de

gás

Alimentação de gás

Gás de alimentação: H2 + Ga(CH3)3 + AsH3

Placa de silício de 10 cm

Placa aquecida (susceptor)

x = 0 cm x = 4 cm x = 9 cm



ESFERA ÚNICA Forma geral:

4434421

forçadaconvecção

31m

moleculardifusãoAB

c ScReC2D

DkSh +==

C e m são constantes da correlação.

µ

ρϑ= ∞ D

Re

Onde: D = diâmetro da esfera ϑ∞ = velocidade do fluido bulk ρ, µ = densidade e viscosidade da mistura de fluidos, respectivamente. Transferência de massa dentro de uma corrente líquida

( ) 2132AB

AB

L Pe21,14D

DkSh +== (Brian and Hales) (1)

PeAB = número de Peclet = Re⋅Sc < 10000

31ABPe01,1Sh = Levick, para PeAB > 10000 (2)

Transferência de massa numa corrente gasosa

3121

AB

c ScRe552,02D

DkSh +== (Fröessling) (3)

válida para 2 < Re < 800 e 0,6 < Sc < 2,7 A equação (1) a (3) são válidas quando a convecção natural é desprezível e a convecção forçada é predominante, isto é, quando: 6121 ScGr4,0Re −≥ (4)



A seguinte correlação é recomendada quando ocorre transferência na presença de convecção natural.

( ) 62,021o ScRe347,0ShSh += (Steinberger and Treybal) (5)

onde Sho é dependente de Gr e Sc. ( ) 25,0

o GrSc569,02Sh += , para GrSc < 108 (6)

( ) 244,031

o ScGrSc0254,02Sh += , para GrSc > 108 (6)

válidas para 2 ≤ Re ≤ 3 x 104 e 0,6 ≤ Sc ≤ 3200 Onde: Gr = número de Grashof, definido como:

2

3 gDGr

µ

ρ∆ρ= (7)

ρ e µ são tomados nas condições bulk do fluido em escoamento. ∆ρ = diferença de densidade entre as duas fases em contato.



EXEMPLO 7.2 Estimar a distância de percurso de uma gota esférica de água em escoamento, originalmente 1,0 mm em diâmetro, em ar seco imóvel a 323 K, de modo a reduzir seu volume em 50%. Assumir que a velocidade da gota é sua velocidade terminal avaliada no diâmetro médio e que a água permaneça a 293 K. Avaliar as propriedades do gás para a temperatura média do filme gasoso de 308 K. O sistema físico requer uma analise combinada de transporte de momento e massa. A gota de água líquida é a fonte de transferência de massa, o ar das vizinhanças serve como meio infinito, e o vapor de água (A) é transferido. A taxa de evaporação é pequena de maneira que a gota de água é considerada isotérmica a 293 K, senão o transporte de calor também deveria ser combinado. Considerando um balanço de força na partícula esférica no meio fluido, nós podemos mostrar que a velocidade terminal da partícula é:

( )

arD

aráguapo C3

gd4

ρ

ρ−ρ=ϑ

Onde: dp = diâmetro da partícula g = aceleração da gravidade CD = coeficiente de arraste, função de Reynolds e da esfericidade, que neste caso é 1 por ser

considerada partícula esférica. Resp: 56,6m

CILINDROS ÚNICOS

Sublimação do cilindro sólido em ar escoando normal ao seu eixo.

( ) 4,0D

M

56,0G Re281,0

GPSck −= válida para 400 < ReD < 25000 e 0,6 < Sc < 2,6

Onde: P = pressão total do sistema.

GM = velocidade superficial molar do gás (kg.mol/m2.s) ReD = número de Reynolds em termos do diâmetro do cilindro.

Para outras faixa se Re e Sc pode-se utilizar analogia de Chilton-Colburn: jD = jH.



EXEMPLO 7.3 Em um aparelho de umidificação, a água líquida escoa em filme estreito sobre um cilindro vertical. Ar seco a 310 K e 1,013 x 105 Pa escoa em ângulo reto alinhado verticalmente ao cilindro de 0,076 m de diâmetro e 1,22 m de comprimento a uma velocidade de 4,6 m/s. A temperatura do filme líquido é 290 K. Calcular a taxa na qual o líquido deve ser suprido ao topo do cilindro se a superfície total do cilindro é usada para o processo de evaporação e nenhuma água deve escorrer a partir do fundo do cilindro. O filme líquido do lado externo do cilindro representa a fonte de transferência de massa, e a corrente de ar escoando normal ao cilindro representa o meio infinito. As propriedades da corrente de ar são avaliadas para a temperatura média do filme de 300 K (ρ = 1,1769 kg/m3, ν = 1,5689 x 10-

5 m2/s). Resp.: 1,14 x 10-4 kg/s.

TRANSFERÊNCIA DE MASSA ENVOLVENDO ESCOAMENTO TURBULENTO ATRAVÉS DE CANOS

44,083,0ln,b

AB

c ScRe023,0P

p

DDk

= para 2000 < Re < 35000 e 0,6 < Sc < 2,5 (Gilliland and

Sherwood) (1) onde D é o diâmetro interno do cano; pB,ln é a composição média logarítmica do gás de arraste, avaliado entre a composição da superfície e a corrente bulk; P é a pressão total; DAB é a difusividade mássica do componente A se difundindo no gás de arraste B; Re e Sc são avaliados nas condições bulk da corrente de escoamento.

3183,0

AB

L ScRe023,0D

Dk= para 2000 < Re < 35000 e 1000 < Sc < 2260 (Gilliland, Sherwood e

Linton)(2) TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM COLUNAS DE PAREDE MOLHADA O coeficiente de transferência de massa convectivo para a corrente gasosa utiliza a equação (1) anterior. O coeficiente para o filme líquido segue a correlação:

( ) ( ) 4,0L

61

2

3221

AB

L Regz

Sc433,0D

zk

µ

ρ= (Vivian and Peaceman) (3)



Onde: z = comprimento de contato DB = difusividade mássica de A se difundindo em B ρ = densidade do líquido B. µ = viscosidade do líquido B. Sc = número de Schmidt para o soluto dissolvido no líquido na temperatura do filme líquido.

µπ

=µΓ

=Dw44

Re L

w = vazão mássica do líquido. D = diâmetro interno da coluna. Γ = vazão mássica do liquido por unidade de perímetro molhado da coluna.

EXEMPLO 7.4 Uma coluna de parede molhada de 2 esta sendo utilizada para absorver CO2 a partir de uma solução aquosa por uma corrente de ar escoando a 2,5 ft/s. Para um ponto da coluna, a concentração de CO2 na corrente de ar é 1 mol%. Para o mesmo ponto da coluna, a concentração de CO2 na água é 0,5 mol%. Determinar o coeficiente de transferência de massa na fase gasosa e o fluxo mássico para o ponto da coluna. A coluna é operada a 10 atm e 25º C.

TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM LEITOS FIXO E FLUIDIZADO - Adsorção - troca íons - cromatografia - reações gasosas catalisadas em superfícies sólidas. Equação de Sherwood, Pigford e Wilke, para leito fixo: 415,0

D Re17,1j −= 10 < Re < 2500

onde: µ

ρ=

avep udRe

uave = velocidade superficial do fluido dp = diâmetro da esfera que tem a mesma superfície ou volume como a partícula.



Transferência de massa entre líquidos e leitos de esferas, equação de Wilson e Geankoplis:

eR09,1

jD ′′′=ε para 0,0016 < eR ′′′ < 55, 165 < Sc < 70600 e 0,35 < ε < 0,75.

( ) 31,0DeR

25,0j

′′′=ε para 55 < eR ′′′ < 1500, 165 < Sc < 10690

eR ′′′ é definido em termos do diâmetro da partícula, velocidade mássica superficial do fluido, G,

massa por unidade de tempo por unidade da seção transversal da torre sem recheio. ε é a fração de vazios.

sólidas partículas as mais vazioespaço do totalvolume

sólidas partículas as entre vazioespaço do volume=ε

Correlação de Gupta e Thodos, para gases e leito de esferas:

( ) 575,0D

eR

06,2j

′′′=ε para 90 < eR ′′′ < 4000

Correlação de Gupta e Thodos, para gases e líquidos em leito de esferas fluidizado:

( ) 483,0eR

863,0010,0j

58,0D−′′′

+=ε

Mais detalhes sobre transferências de massa, calor e momento em leitos fluidizados se encontra no livro de Kunii & Levenspiel, Fluidization Engineering, Wiley, New York, 1969.



EXEMPLO 7.5 Para realizar ensaios de transferência de massa, construí-se uma coluna que se comportasse como leito fixo e fluidizado, dependendo da velocidade de injeção do fluido de trabalho na base do equipamento. Para proceder a experimentação, esferas de naftaleno de 2,9 mm de diâmetro e massa especifica igual a 1,145 g/cm3 foram eleitas como material de teste. Utilizando ar seco como fluido de trabalho a 25º C e 1 atm (Sc = 2,45 e DAB = 0,0611 cm2/s), determine: a) O valor de Sherwood da partícula quando o ar é injetado a 14,91 cm/s na base da coluna. Nessa

condição observou-se que o leito comportara-se como fixo de porosidade 0,49. Utilize a correlação apresentada neste tópico e compare os resultados obtidos com o experimental que é 12,95.

b) Mantendo-se a carga de partículas presentes no item anterior, estime o valor do ShP, para o caso

da velocidade do ar ser duplicada. Nesse caso, assume-se que o leito comporta-se como fluidizado com porosidade igual a 0,69.

uo



ENXAME DE BOLHAS ESFÉRICAS ⇒ Introdução do gás em líquidos através de orifícios gerando o enxame de bolhas. ⇒ Comportamento diferente aos de esferas rígidas. Calderbank e Môo-Young: transferência de um soluto A do gás para o solvente liquido B através de grande quantidade de bolhas contendo o gás A.

3131

AB

bL ScGr31,0D

dkSh == para db < 2,5 mm

2131

AB

bL ScGr42,0D

dkSh == para db ≥ 2,5 mm

2L

L3b gd

Grµ

ρ∆ρ=

∆ρ = diferença de densidade do líquido e a densidade do gás no interior da bolha. ρL e µL avaliados nas propriedades bulk da mistura. Para relacionar o fluxo NA com a taxa de transferência a razão ‘hold up’do gás deve ser conhecida (φg).

V

V

líquido do Volumegás de bolhas das Volume g

g ==φ

A área da interface de transferência de massa por unidade de volume para bolha é:

b3b

2b

bg

gi

d6

d6

d

bolha da Volumebolha da área

pois d6

bolha da Volumebolha da área

V

V

VA

=π

π=

φ=⋅=

φg < 0,2 para muitos casos e t

g ϑϑ

∝φ com a agitação mecânica do líquido.



Para transferência de massa de gases a líquidos em tanques agitados por impulsor. Devido as colisões continuas das bolhas de gás borbulhando e a agitação mecânica do impulsor, a área interfase para transferência de massa é impossível de ser medida. Nestes casos a medida do coeficiente de transferência de massa para tanques agitados são colocadas na forma de coeficiente de capacidade, por exemplo, kLa. O parâmetro a, é definido como:

líquido do Volume

interfase massa de ncia transferêpara disponivel áreaV

Aa i ==

Conversão de unidades:

13

2i

L sm

msm

VA

kakL

−=

==

( )AALi

AA ccVakVVA

Nw −⋅=⋅⋅= ∗

⇒ Equações de Van’t Riet para transferência de O2 em água com bolhas de ar coalescendo:

( ) ( ) 5,0gs

4,0g2

OL uV

P10x16,2ak

2

= − para V < 2,6 cm3 de líquido, e

⇒ Transferência de O2 em água com bolhas de ar que não coalescem:

( ) ( ) 2,0gs

7,0g3

OL uV

P10x2ak

2

= − para V < 2,6 cm3 de líquido

Ambas valendo para: 500 < V

Pg < 10000 w/m3

=

3

g

m

Wlíquido Volume

aeração da consumo de poênciaV

P

ugs = velocidade superficial do gás escoando através do recipiente vazio (m/s) = (vazão volumétrica do gás)/(área da seção transversal)



EXEMPLO 7.6: Num projeto de remediação airada para tratamento de água contaminada com tricloroetileno (TCE) a uma concentração de 50 mg/L. A trincheira é um duto aberto de 1 m de largura (W) e profundidade de 2 m (H), e a vazão volumétrica da água de lavagem adicionada a trincheira é 0,1 m3/s. O ar é borbulhado no fundo do duto a uma taxa que fornece um hold up de gás de 0,02 m3 de gás por 1 m3 de água, e o diâmetro médio das bolhas é 0,01 m. Determine o comprimento da trincheira necessária para reduzir a concentração do efluente TCE para 0,05 mg/L. A temperatura do processo é 293 K e a pressão do sistema é 1 atm.

⇒ Estado estacionário ⇒ Processo contínuo onde TCE é transferido da água de lavagem para o gás de aeração. ⇒ Variação do perfil apenas na direção axial (boa mistura)

Ar

Solo Forro

z z + ∆z

NAAi

Atmosfera

W = 1 m H

= 2

m

Equipamentos de transferência de massa 8.1


CAPÍTULO 8: EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Exemplos típicos de equipamentos de transferência de massa incluem:

1) Transferência do soluto de uma fase gasosa para uma fase líquida: absorção, desudimificação e destilação.

2) Transferência do soluto de uma fase líquida para uma fase gasosa: desorção ou stripping e umidificação.

3) Transferência de um soluto da fase líquida para uma segunda fase líquida imiscível (ex. fase aquosa para hidrocarboneto): extração líquido-líquido.

4) Transferência de um soluto a partir de um sólido para uma fase fluido: secagem e lavagem (leaching).

5) Transferência de um soluto a partir de um fluido para a superfície de um sólido: adsorção coluna troca íons.

⇒ Torres e tanques: contato íntimo as duas fases. 8.1 TIPOS DE EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Classificação em 4 tipos gerais de acordo com o método usado para produzir contato entre as duas fases: TORRES DE BOLHAS Consiste de uma câmara aberta na qual a fase líquida escoa e a fase gasosa é dispersa no líquido na forma de pequenas bolhas. As bolhas fornecem a área de contato desejada. ⇒ A fase líquida normalmente controla a taxa de transferência de massa. Ex. absorção de gases

parcialmente insolúveis, como a oxidação pelo ar na água. O tempo de contato e a área de contato determinam a quantidade de massa transferida entre as fases.

aeróbios mistura de tanqueágua de o tratamentde Operações

biológica Oxidação

⇒⇒



Figura 1 – torre de bolhas TORRES DE SPRAY O gás escoa para cima numa câmara aberta e a fase líquida é introduzida, na parte superior, por atomização na forma de pequenas gotas em contracorrente a fase gasosa. As pequenas gotas garantem uma grande área de contato entre as duas fases. ⇒ Gases altamente solúveis. ⇒ A resistência da fase gasosa normalmente controla a taxa de transferência de massa.

Figura 2 – torres spray

Saída do líquido

Entrada do líquido

Entrada do gás

Saída do gás

Z

Saída do líquido

Entrada do líquido

Entrada do gás

Saída do gás

Z



TORRES DE RECHEIO Envolve o contato contracorrente continuo entre duas fases imiscíveis. As torres são colunas verticais preenchidas com recheio (ver figura). Uma variedade de materiais para recheios é usada como cerâmicas e plásticos. A proposta do recheio é fornecer uma grande área de contato entre as duas fases imiscíveis. O líquido é distribuído sobre o leito e escoa sobre a superfície do recheio com um filme líquido. O gás geralmente escoa para cima em contracorrente ao líquido. ⇒ Sistemas gás-líquido na qual as resistências de ambas as fases controlam a taxa de transferência

de massa (ambas são importantes). ⇒ Ex. torre de resfriamento onde a água é recirculada como meio de transferência de calor

(condicionador de ar natural).

Anéis de Raschig Selas de Berl Anéis de Lessing Anéis de Pall Figura 3 – Recheios comuns na industria.

Figura 4 – torre de recheio

Saída do líquido

Entrada do líquido

Entrada do gás

Saída do gás

Z



TORRES DE PRATOS ⇒ São as torres mais comumente utilizadas nas industrias. ⇒ Mecanismo combinado: torre de bolhas com torre spray.

Em cada prato, as bolhas de gás são formadas a partir do fundo do liquido pobre, forçando o gás através de pequenos orifícios no prato ou sobre válvulas imersas no liquido. A transferência de massa interfase ocorre durante a formação das bolhas, e quando as bolhas aumentam em dímetro através do liquido agitado. Os pratos são arranjados um em cima do outro em uma torre cilíndrica (fig.5). O líquido escoa cruzando o primeiro prato superior e então os pratos abaixo. O vapor aumenta através de cada prato.

⇒ Torres de pratos não podem ser projetadas por equações obtidas por integração sobre uma área continua de contato interfase. São projetadas por cálculos para cada estágio ou prato.

Figura 5 – Torre de pratos



8.2 OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA GÁS-LÍQUIDO EM TANQUES BEM AGITADOS A aeração é uma operação de contato gás-líquido onde o ar comprimido é introduzido no fundo de um tanque de água liquida através de pequenos orifícios dispersos, como tubos perfurados, tubo ou placas porosas. O agitador (turbina) quebra as bolhas e dispersa através do líquido, ocorre um processo de absorção ou stripping.

Figura 6 – Tanque agitado airado

Absorção: O soluto no gás de aeração é transferido para o líquido. Muitas vezes o soluto é o oxigênio gasoso presente no ar, a qual é poupadamente solúvel em água. A absorção de oxigênio na água é muito importante em muitos processos de engenharia química. Stripping: O soluto volátil dissolvido é transferido do líquido para o gás de aeração, importante em processos de tratamento de água em engenharia ambiental. Quando o gás está disperso em uma fase continua líquida, a fase líquida controla a taxa de transferência de massa, portanto o balanço de massa para transferência de massa do soluto é feito para a fase líquida.



A transferência de massa do soluto A nos filmes gás e liquido baseado no coeficiente global de transferência de massa é (ver cap. 6): ( )AALA ccKN −= ∗ (1)

A taxa de transferência de massa é:

( ) ( )AALAAi

LA ccaVKccVV

AKW −=−= ∗∗ (2)

onde: H

pc A

A =∗ Lei de Henry.

pA = pressão parcial de A na fase bulk. KLa = coeficiente de capacidade, pois o área de interface de TM por unidade de volume é difícil de se medir. O processo da figura 6 é continuo se for batelada elimina-se a corrente de entrada e saída, e o balanço de massa no estado transiente para o soluto A na fase liquida fica:

( )

dt

VcdVRANcc A

homogeneareação há não0

AiA

0

A

0

0A0 =++ϑ−ϑ

===32143421

(3)

Como V = constante, portanto, ( )dt

dcVccaVK A

AAL =−∗

=∗Ac constante, logo: ∫∫ −=

−−

∗

t

0Lc

cAA

A dtaKcc

dcA

0A (4)

ficando: ( ) taK0AAAA

Lecccc ⋅−∗∗ −−= (5)

∞→≅ ∗ tse cc AA

Para processo continuo no estado estacionário temos:



( )

4342132143421

ioestacionárestado

0

A

homogeneareação há não0

AiA

saída

A

entrada

0A0 dt

VcdVRANcc

==

=++ϑ−ϑ (6)

Para processos com soluções diluídas as vazões volumétricas ϑ=ϑ0 , a equação (6), fica:

( ) ( ) 0ccVaKcc AALA0A =−⋅+−ϑ ∗

ou aK

V

caKcVc

L0

AL0A0

A

+ϑ

⋅+ϑ

=

∗

(7)

EXEMPLO 8.1 O projeto de um sistema de aeração para processos de fermentação aeróbia é baseado na transferência de massa gás-líquido. Microorganismos crescem numa suspensão líquida e são alimentados por nutrientes dissolvidos em glicose e sais minerais. Microorganismos aeróbios em líquidos suspensos também requerem oxigênio para o seu crescimento. Se o oxigênio não é suprido com uma taxa suficiente para suportar o crescimento da célula, as células morrerão. No presente processo, Aerobacter aerogenes está sendo cultivado dentro de um fermentador continuo de 3 m3 de volume líquido (V) e o diâmetro do tanque (dT) de 1,5 m. O meio nutriente fresco contem uma quantidade de traços de oxigênio dissolvido a uma concentração de 0,01 mol O2/m3 entrando no fermentador a uma vazão de 1,8 m3/h. Para condições de estado estacionário, o fermentador aeróbio opera a uma concentração celular (cX) de 5 kg de massa sêca/m3 de cultura líquida. A concentração celular é determinada por taxa de crescimento especifico dos organismos e a composição nutriente do meio líquido. A suspensão celular líquida consome oxigênio proporcionalmente a concentração da célula de acordo com a equação da taxa: X0A cqR −=

onde q0 é a taxa de consumo de oxigênio especifico das células = 20 mol O2/kg de célula⋅h, que é assumido constante. Determinar o valor de KLa necessário para assegurar que a concentração de oxigênio na cultura líquida (cA) é pelo menos 0,05 mol/m3. Determinar a potencia de entrada para 3 m3 do fermentador se a vazão de gás no fermentador é 1 m3 de ar/min para as condições do processo a 298 K e 1 atm. Assumir que as bolhas não coalescem. Para 298 K, a constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido no meio nutriente líquido é 0,826 atm.m3/mol. Resp.: KLa = 0,136 s-1 e Pg = 4716 W



Eckenfelder desenvolveu uma correlação geral par transferência de oxigênio de bolhas de ar para o liquido.

V

hQ

VA

K78,0n1

ggL

+θ= (8)

onde: θg = constante de acordo com o tipo de dispersador. Qg = taxa de escoamento do gás (ft/min). n = constante que depende do tamanho dos orifícios do dispersador. h = profundidade abaixo da superfície líquida para qual o ar é introduzido no tanque. Um gráfico para a equação (8) é representado abaixo:

Figura 7 – fator de transferência de oxigênio para um único dispersor num tanque de aeração.

EXEMPLO 8.2 Uma lagoa de aeração de 566 m3 é airada com 15 dispersores, cada um usando ar comprimido a uma taxa de 7,08 x 10-3 m3/s. Os dispersores estão localizados a 4,57 m abaixo da superfície da lagoa. Encontrar o tempo requerido para aumentar o oxigênio dissolvido de 2 mg/L para 5 mg/L se a temperatura da água é de 293 K. Resp.: 1540 s.



8.3 BALANÇO DE MASSA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO: EQUAÇÕES PARA A LINHA DE OPERAÇÃO

São quatro fundamentos importantes que constituem a base de projeto para equipamentos de contato contínuo:

1) Balanço material e de entalpia, envolvendo equações de conservação da massa e energia: forma a expressão para avaliar a composição bulk das duas fases em contato em algum ponto da torre, bem como a mudança nas composições bulk entre dois pontos da torre.

2) Equilíbrio interfase (leis termodinâmicas => capítulo 6) 3) Equações de transferência de massa: desenvolvidas nas formas diferenciais, combinadas

com o balanço diferencial de massa, e quando integrado sobre a área interfacial de contato fornece o comprimento requerido na troca de massa.

4) Equações de transferência de momento: importante para avaliar a queda de pressão no equipamento.

Escoamento contracorrente Considerando alguma operação no estado estacionário que envolve o contato contracorrente de duas fases insolúveis como mostra a fig. 8. As duas fases insolúveis são identificadas como G e L.

Figura 8 – Processo contracorrente no estado estacionário.

z = z1

z = z2

z

G1, yA1, YA1

G2, yA2, YA2

Gz, yAz, YAz Lz, xAz, XAz

L2, xA2, XA2

L1, xA1, XA1



Para o fundo da torre temos as definições: G1 = Vazão molar de entrada da fase G [moles da fase G/h⋅área da seção transversal da torre] L1 = Vazão molar de entrada da fase L [moles da fase L/h⋅área da seção transversal da torre] yA1 = fração molar de A na fase G [moles de A/moles total na fase G] xA1 = fração molar de A na fase L [moles de A/moles total na fase L] As definições são similares para o topo da coluna, no plano z2. O balanço global macroscópico de massa para o componente A no trocador de massa no estado estacionário, na qual não ocorre produção química de A ou desaparecimento de A, requer:

=

torrena deixandoA de moles

torrena entrtandoA de moles

ou 1A12A22A21A1 xLyGxLyG +=+ (1)

Um balanço de massa para o componente A no plano z = z1 e um plano arbitrário z, é: 1A1AzzAzz1A1 xLyGxLyG +=+ (2)

As equações ficam mais fáceis de manipular se forem designadas concentrações por unidade de concentração livre de soluto como:

A

AA y1

yY

−= (3)

A

AA x1

xX

−= (4)

Onde: YA = moles de A em G por mol livre de A em G. XA = moles de A em L por mol livre de A em L. As taxas de escoamento usadas com unidades livres de soluto são: LS = moles da fase L sobre uma base livre de soluto GS = moles da fase G sobre uma base livre de soluto

( ) ( )

( ) ( )2A21A1S

2A21A1S

y1Gy1GG

x1Lx1LL

−=−=

−=−=



O balanço global de A pode ser escrito em termos livre de soluto: 1AS2AS2AS1AS XLYGXLYG +=+ ou

( ) ( )2A1AS2A1AS XXLYYG −=− (5)

Logo: 2A1A

2A1A

S

S

XXYY

GL

−−

= (6)

Equação (6) ⇒ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XA2,YA2) com inclinação LS/GS. Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto: 1ASAzSAzS1AS XLYGXLYG +=+ ou

( ) ( )Az1ASAz1AS XXLYYG −=− (7)

Logo: Az1A

Az1A

S

S

XXYY

GL

−−

= (8)

Equação (7) ⇒ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XAz,YAz) com inclinação LS/GS. Equação (5) ≡ Equação (7) A equação (7) é uma expressão geral relacionando as composições bulks das duas fases para algum ponto do trocador de massa. Esta define as condições operacionais dentro do equipamento: é linha de operação para operações contracorrente. Figura 9: Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência de soluto da fase G para a fase L(absorção). O equilíbrio bulk, localizado sobre a linha de operação , deve ser maior do que a concentração de equilíbrio para fornecer uma força direcional,

AiAG YY − ou seu equivalente AiAG pp − ou ∗− AAG YY ou seu equivalente ∗− AAG pp ,

necessária para transferir a partir da fase G para fase L.



Figura 9 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase G para a L.

Figura 10 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase L para a G. Figura 10: Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência de soluto da fase L para a fase G(stripping). A localização da linha de operação abaixo da curva de equilíbrio assegura uma força direcional, ALAi xx − ou seu equivalente ALAi cc − ou

ALA xx −∗ ou seu equivalente ALA cc −∗ , necessária para transferir a partir da fase L para fase G.

YA

YA1

YA2

XA2 XA1

S

S

G

L inclinação =

Linha de operação

Curva de equilíbrio YAi versus XAi

YA

YA1

YA2

XA2 XA1 XA

S

S

G

L inclinação =

Linha de operação


XA



O balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial dz, é facilmente obtido pela diferenciação da equação (7). Esta equação diferencial ASAS dYGdXL =

relaciona a transferência molar em operações contracorrente pelo tempo e pela área da seção transversal disponível no comprimento dz No projeto de equipamentos de transferência de massa, a vazão de pelo menos uma fase e três das 4 composições de entrada e saída devem ser fixadas pelo requisito do processo. A necessidade da vazão da segunda fase é muitas vezes a variável projetada. Três possíveis linhas de operação são mostradas na figura 11. A inclinação decresce quando o valor da vazão LS decresce. O mínimo LS, que deve ser usado, corresponde a linha de operação que toca a linha de equilíbrio. Para o ponto de tangencia a força direcional é zero, e a transferência de massa entre as duas fases não ocorre. Isto representa a condição limite, a razão mínima LS/GS para transferência de massa.

Figura 11 Localização da linha de operação.

YA

YA1

YA2

XA2 XA

inclinações

Curva de equilíbrio

(LS/

GS)

1

(LS/

GS)

2

(LS/

GS)

3

P1 P2 P3



EXEMPLO 8.3 A amônia deve ser absorvida a partir de uma mistura com ar a 293 K e 1,013 x 105 Pa de pressão numa torre de recheio contracorrente, usando água a 293 K como absorvente. A vazão do gás de entrada é 1,21 x 10-2 m3/s e uma corrente de água sem amônia de 9,46 x 10-3 kg/s será utilizada. Se a concentração da amônia, NH3, é reduzida de 3,52 1,29% por volume, determine a razão ( ) ( )minSSrealSS GLGL . Os dados de equilíbrio para o sistema a 293 K e 1,013 x 105 Pa são

os seguintes:

OH de mol kg

NH de mol kgX

2

3 0,0164 0,0252 0,0349 0,0455 0,0722

OH de mol kg

NH de mol kgY

2

3 0,021 0,032 ,042 0,053 0,08

Resp.: 1,38 Equilíbrio

X Y kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ kg mol de H2O kg mol de H2O

0 0 0.0164 0.0210 0.0252 0.0320 0.0349 0.0420 0.0455 0.0530 0.0722 0.0800

linha de operação

0 0.0131 0.0215 0.0365



0, 0.0131

0.0215, 0.0365

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

XA, moles de NH3/mol de água

YA, m

ol d

e N

H3/

mol

de

ar

Curva de equiíbrioLinha de operação

(Ls/Gs)min

0.0296

Escoamento cocorrente Para operações e transferência de massa no estado estacionário envolvendo contato cocorrente de duas fases imiscíveis, mostrada na figura 14, o balanço de massa global para o componente A com base livre de soluto é:

Figura 14 – Processo cocorrente no estado estacionário

z = z1

z = z2

z

G1, GS, yA1, YA1

G2,GS, yA2, YA2

Gz, GS, yAz, YAz Lz,LS, xAz, XAz

L2,LS, xA2, XA2

L1, LS, xA1, XA1



1AS1AS2AS2AS XLYGXLYG +=+ ou

( ) ( )1A2AS2A1AS XXLYYG −=− (1)

Logo: 2A1A

2A1A

S

S

XXYY

G

L

−−

=−

Equação (1) ⇒ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XA2,YA2) com inclinação -LS/GS. Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto: 1AS1ASAzSAzS XLYGXLYG +=+ ou

( ) ( )1AAzSAz1AS XXLYYG −=− (2)

Logo: Az1A

Az1A

S

S

XXYY

G

L

−−

=−

Equação (1) e equação (2) ambas são equações de uma reta que passa por um ponto comum(XA1,YA1) com a mesma inclinação -LS/GS. A equação (2) é uma expressão geral que relaciona a composição das duas fases em contato para algum ponto do equipamento. É designada como equação da linha de operação para operações cocorrente. As figuras 15 e 16 ilustram a localização do linha de operação relativa a curva de equilíbrio.

Figura 15 – Processo cocorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase G para a L.

YA

YA1

YA2

XA2 XA1 XA

S

S

G

L- inclinação =

Linha de operação




Figura 16 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase L para a G. Um balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial, dz, para escoamento cocorrente: ASAS dYGdXL −=

que verifica a inclinação para a linha de operação em operação cocorrente de –LS/GS. EXEMPLO 8.4 Uma corrente de ar-amônia descrita no exemplo 3 é alimentada cocorrentemente com uma corrente de água sem amônia. A concentração da amônia deve ser reduzida de 3,52 para 1,29% por volume, usando uma corrente de água 1,37 vezes a mínima. Determine (a) a razão mínima LS/GS, (b) vazão real de água, e (c) concentração na corrente aquosa de saída.

YA

YA1

YA2

XA2 XA1

S

S

G

L- inclinação =

Linha de operação


XA



Equilíbrio


0 0 0.0164 0.0210 0.0252 0.0320 0.0349 0.0420 0.0455 0.0530 0.0722 0.0800

linha de operação

0 0.0365 0.0072 0.0131

0, 0.0365

0.0072, 0.0131

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

XA, moles de NH3/mol de água

YA, m

ol d

e N

H3/

mol

de

ar

Curva de equiíbrioLinha de operação

(Ls/Gs)min



8.4 BALANÇO DE ENTALPIA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO Muitas operações de transferência de massa são isotérmicas, principalmente quando envolve misturas diluídas. No entanto, quando grandes quantidades de soluto são transferidas, o calor de mistura pode produzir um aumento de temperatura na fase receptora. Se a temperatura da fase muda, a solubilidade no equilíbrio do soluto será alterada, e a força de difusão também se alterará. Considerando um processo contracorrente como da figura 8, um balanço entalpico no plano z = z2 e um plano arbitrário z, temos: L2G2G2L2 LHHGGHHL +=+ (1)

Onde: H = entalpia molar da corrente em sua temperatura particular, pressão e concentração. As entalpias são normalmente baseadas sobre uma referencia de solvente livre de soluto e soluto puro para uma temperatura base escolhida, T0. A entalpia normal de uma mistura líquida é avaliada sobre uma temperatura base pela relação: ( ) Savg0LpLL HMTTcH ∆+−= (2)

Onde: HL = entalpia da corrente liquida [kJ/mol] cpL = capacidade calorífica da mistura sobre uma base mássica [kJ/kg⋅K] TL = temperatura da mistura [K] Mavg = massa molecular media da mistura ∆HS = calor integral da solução em T0 e para a concentração da mistura [kJ/mol] A entalpia molar para a mistura gasosa, com a mesma temperatura base e estado padrão do soluto é

( )( )( )[ ]( ) solutosoluto,g,fsoluto0G

GfasedasolutolivreGfasesolutolivre,G,psolutosolutosoluto,G,psolutoG

MhyTT

Mcy1McyH

+−

−+=

Onde: HG = entalpia da corrente gasosa [kJ/mol] cp,G = capacidade calorífica na fase gas [kJ/kg⋅K] TG = temperatura da mistura gasosa [K] hf,g, soluto = calor de vaporização do soluto [kJ/kg]



8.5 COEFICIENTES DE CAPACIDADE PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Coeficiente individual de transferência de massa, kG, foi definido pela expressão: ( )i,AG,AGA ppkN −= (1)

Coeficiente global de transferência de massa, KG, foi definido pela expressão: ( )∗−= AG,AGA ppKN (2)

Para coluna de parede molhada as equações (1) e (2) são convenientes, pois possui a área da superfície interfacial definida. Outros equipamentos de transferência de massa são impossíveis de se medir a área da superfície interfacial, por esta razão a é introduzido como área da superfície interfacial/volume.

( )( ) ( )

( )( )al transversseção da áreatempoidoA transfer de moles

ocomprimentdzvolume

linterfacia áreaa

linterfacia áreatempoidoA transfer de moles

N A

=

ou

( )dzppakdzaN i,AG,AGA −= (3) e

( )dzppaKdzaN AG,AGA

∗−= (4)

Onde: kGa = coeficiente de capacidade de transferência de massa individual KGa = coeficiente de capacidade de transferência de massa global São combinados como um produto

( )( )( )

( )( )( )

⋅⋅==

Pams

A de gmolpressãovolumetempo

idoA transfer de moles

volumelinterfacia área

pressãolinterfacia áreatempoidoA transfer de moles

ak

3

G

Na fase líquida L, temos:



( )dzccakdzaN L,Ai,ALA −= (5) e

( )dzccaKdzaN L,AALA −= ∗ (6)

⋅⋅solução de m

A de gmolms

A de gmolak

33

L

8.6 ANÁLISES DE EQUIPAMENTOS DE CONTATO CONTÍNUOS Coeficiente de capacidade global constante Hipóteses: - isotérmico - contracorrente - KYa = constante O balanço de massa do componente A sobre o comprimento diferencial dz é descrito como:

( )( ) ASAS dYGdXLal transversseção da áreatempo

idoA transfer de moles== (1)

A transferência de massa do componente A no comprimento diferencial dz é definido por:

( )( ) ( )dzYYaKadzNal transversseção da áreatempo

idoA transfer de molesAAYA∗−== (2)

A transferência de A a partir da fase gasosa G para a fase líquida L fica: ( )dzYYaKdYG AAY

A perdendo estaG fase a

AS∗−=−

43421

ou ∗−

−=AA

A

Y

S

YY

dYaK

Gdz



∫∫ ∗−−= 2A

1A

2

1

Y

YAA

A

Y

Sz

z YY

dY

aK

Gdz (3)

(4)

Pela curva de equilíbrio e a linha de operação (fig. 19) podemos avaliar ∗− AA YY e calcular o

recíproco ∗− AA YY1 plotando contra YA (fig. 20) e encontrando a área sob a curva.

Figura 19 – Avaliação de ∗− AA YY , a força direcional global

YA

YA1

YA2

XA2 XA1 XA

Linha de operação

Curva de equilíbrio YA

∗AY

( )44 344 21

numéricaou gráficaintegração

Y

YAA

A

Y

S12

massa de trocadeocompriment

1A

2A YY

dYaK

Gzzz ∫ ∗−

=−=



Figura 20 – Avaliação da integral ∫ ∗−

1A

2A

Y

YAA

A

YY

dY

Após obter a área sob a curva da figura 20, podemos avaliar o comprimento do trocador de massa pela equação (4). Para transferência da fase L para a fase G (desorção ou stripping) temos:

( )dzYYaKdYG AAY

A ganhando estaG fase a

AS −= ∗43421

( )44 344 2144 344 21


Y

YAAG

A

Y

S


Y

YAA

A

Y

S12


1A

2A

1A

2A pp

dY

aK

G

YY

dY

aK

Gzzz ∫∫ ∗∗ −

=−

=−= (5)

Em termos da fase líquida, para a transferência de massa de A a partir da fase G para a fase L, temos: ( )dzXXaKdXL AAX

A ganhando estaL fase a

AS∗−=

43421

∗− AA YY

1

YA2 YA1 YA

∫ ∗−= 1A

2A

Y

YAA

A

YY

dYÁrea



( )44 344 21


X

XAA

A

X

S12


1A

2A XX

dX

aK

Lzzz ∫

−=−=

∗ (7)

z é avaliado com o mesmo procedimento da fase G. Coeficiente de capacidade global variável O coeficiente de capacidade global variável quando a inclinação da linha de equilíbrio varia dentro da região que incluem as concentrações bulk e interfacial. No caso se as linhas de equilíbrio tiver curvatura pronunciada, o cálculo exato é baseado sobre um dos coeficientes de capacidade individual. O balanço de massa para A sobre um comprimento diferencial dz é ASAS dYGdXL = (1)

YA = moles de A por mol livre de A, ambos na fase G, ou seja:

A

AA y1

yY

−= , que diferenciando fica:

( )2

A

AA

y1

dydY

−=

Substituindo em (1),

( )2

A

ASASA

y1

dyGdXLadzN

−== (2)

Sabemos que: ( )dzppakdzaN i,AG,AGA −= (3)

Combinando (2) com (3)

( )( )2

AGAiAGG

AGS

y1ppak

dyGdz

−−

−= ou



( )( )2

AGAiAGG

AGS

y1yyaPk

dyGdz

−−

−=

A composição interfacial, yAi e xAi pode ser encontrada para cada ponto da linha de operação dirigindo uma reta até tocar a linha de equilíbrio. As inclinações destas retas são GL kk− para gráfico pA contra cA ou GL Pkck− para gráfico yA contra xA, ver figuras 21.

Figura 21 Determinação da composição interfacial para transferência a partir da fase G para a fase L. Força direcional média logarítmica Hipóteses:

⇒ Para correntes relativamente diluídas ⇒ Curva de equilíbrio e linha de operação linear em termos de frações molares na faixa de

concentração envolvida. ⇒ G1 ≈ G2≈ G e L1 ≈ L2≈ L

Logo o balanço de massa aproximado: ( ) ( )AAiAAi yyGxxL −=− (1)

ou AA GdyLdx = (2)

( )dzyyaPKadzN AAGA

∗−= (3)

Definindo ∗−=∆ AA yy



2A1A

21

A yydyd

−∆−∆

=∆

Como ∆

−=−

−=∗

A

GAA

A

G

dy

aPKG

yy

dy

aPKG

dz

Ou ( )

∆∆

∆−∆−

−=dyy

aPKG

dz21

2A1A

G

Integrando e rearranjando:

( )( )lnAA

2A1A

G yy

yy

aPKG

z∗−

−−= (4)

onde: ( ) ( ) ( )( )( )

−

−

−−−=−

∗

∗

∗∗∗

2AA

1AA

2AA1AAlnAA

yy

yyln

yyyyyy (5)

Similarmente em termos de coeficiente de capacidade global para a fase líquida, temos:

( )( )lnAA

2A1A

L xx

xx

acKL

z−

−=

∗ (6)

onde: ( ) ( ) ( )( )( )

−

−

−−−=−

∗

∗

∗∗∗

2AA

1AA

2AA1AAlnAA

xx

xxln

xxxxxx (7)

EXEMPLO 8.5 A amônia é absorvida a partir do ar a 293 K e 1,013 x 105 Pa de pressão em uma torre de recheio contracorrente de 0,5 m de diâmetro, utilizando água livre de amônia como absorvente. A vazão do gás de entrada é 0,2 m3/s e a vazão da água de entrada 203 kg/s. Sob estas condições o coeficiente

de capacidade global, KYa, pode ser assumido para ser A

3 Ysm

mol80

∆⋅⋅. A fração molar da amônia

será reduzida de 0,0825 para 0,003. A torre será resfriada, operação ocorrera a 293 K; os dados de equilíbrio do exemplo 3 poder ser usado. Determinar o comprimento do trocador de massa.




0.0164 0.0210 0.0252 0.0320 0.0349 0.0420 0.0455 0.0530 0.0722 0.0800

y = -2.839x2 + 1.3098xR2 = 0.9993

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

X

Y

Dados de equilíbrio

Polinômio (Dados de equilíbrio)



YA XA Y*A Y - Y* 1/(Y - Y*) [1/(Y - Y*)]médo ∆YA [1/(Y - Y*)]médo∆YA

0.003 0.00003 0.00004 0.00296 337.6823 299.6194894 0.007 2.097336426

0.01 0.00477 0.00618 0.00382 261.5567 225.5574282 0.01 2.255574282

0.02 0.01153 0.01472 0.00528 189.5582 166.3360319 0.01 1.663360319

0.03 0.01830 0.02301 0.00699 143.1139 127.3647849 0.01 1.273647849

0.04 0.02506 0.03104 0.00896 111.6157 100.4864383 0.01 1.004864383

0.05 0.03183 0.03881 0.01119 89.35719 81.22129633 0.01 0.812212963

0.06 0.03859 0.04632 0.01368 73.0854 66.96731932 0.01 0.669673193

0.07 0.04536 0.05357 0.01643 60.84924 56.13770455 0.01 0.561377045

0.08 0.05212 0.06055 0.01945 51.42617 47.72352068 0.01 0.477235207

0.09 0.05889 0.06728 0.02272 44.02087 Área total 10.81528167

y = -721827x3 + 150572x2 - 11309x + 365.43R2 = 0.9986

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Y

1/(Y

-Y*)

63918976 Transferencia de Massa

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