6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais =...
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480
6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269
1. Calculando as integrais ∫=
2
1
21 dxxI , ∫=
2
1
2 dxxI e ∫=
2
1
3 dxI , obtemos:
3
72 =I ,
2
32 =I e 12 =I . Usando estes resultados encontre o valor de:
a) ∫∫∫ −=−
2
1
2
1
2
1
6)16( dxdxxdxx
812
3.6 =−=
b) ( )[ ] ( )2
1
232
1
22
1 22
322212
+=+=+ ∫∫
xxdxxxdxxx
3
23
3
9143
3
14
2
3.2
3
7.2 =
+=+=+=
c) ( ) ( ) ( )∫∫ +−=−−
2
1
22
1
2321 dxxxdxxx
6
1
6
1227142
2
9
3
7
1.22
3.3
3
7
−=
+−=+−=
+−=
d) ( ) ( )∫∫ ++=+
2
1
22
1
2 412923 dxxxdxx
4341821
1.423
.1237
.9
=++=
++=
2. Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades:
a) ( ) ( )∫∫ +≥+
3
1
23
1
2 5243 dxxdxx
( ) ( ) ( ] [ )+∞∪−∞−∈⇒≥+−
≥−
≥−−+
+≥+
,11,011
01
05243
5243
2
22
22
xxx
x
xx
xx
481
Portanto vale para [ ].3,1∈x
b) ∫∫−
−
−
−
−−≤
1
2
1
2 42
1dx
x
x
dx
04
24
02
1
4
4
2
1
4
4
2
1
4
142
11
2
2
2
≤++
≤−+
−≤+
−≤+
−−≤
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
1º Caso: 04 <x e 0422≥++ xx
0<x e ( ) 02 2≥+x
Portanto vale a desigualdade em ].1,2[ −−
c) ∫ ≥
π
0
0dxxsen
0≥xsen para ],0[ π∈x
d) ∫ ≥−
23
2
0cos
π
π
dxx
Temos 0cos ≤x para .2
3,
2
∈
ππx Portanto, 0cos ≥− x para .
23
,2
∈
ππx
3. Se ,7
51
0
5 2=∫ dxx calcular dtt∫
0
1
5 2
7
51
0
5 21
0
5 20
1
5 2 −=−=−= ∫∫∫ dxxdttdtt .
482
4. Se ,4
9cos9
2
0
2 ππ
=∫ dtt calcular .cos2
0
2 θθ
π
d∫−
44
9
9
1cos9
9
1coscos
222
0
2
0
2
0
2 ππθθ
πππ
−=−=−=−=− ∫∫∫ dttdttd .
5. Verificar se o resultado dos seguimentos integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.
a) ∫ +
20
0 2x
dx
20202
12
1)(
−>⇒>+⇒≥+
+=
xxx
xxf
Resultado positivo, porque 02
1)( >
+=
xxf para ].20,0[∈x
b) ∫π2
0
dttsen
É nulo pois ∫∫∫ +=
π
π
ππ 2
0
2
0
dttsendttsendttsen e
dttsendttsen ∫∫ −=
π
π
π 2
0
c) ( )∫ +
3
2
12 dxx
2
1
12012
12)(
−≥
−≥⇒≥+
+=
x
xx
xxf
É positivo, pois 12)( += xxf é positivo para ].3,2[∈x
d) ( )∫−
−−
3
1
2 32 dxxx
483
( ) ( )
( )3,1 para 0)(
013
032
32)(2
2
−∈<∴
>+−
>−−
−−=
xxf
xx
xx
xxxf
Resultado negativo.
6. Determinar as seguintes derivadas.
a) ∫ +
x
dttdx
d
2
4
Vemos que ( )
x
xt
dtt
2
2
2
34
423
+
=+∫
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) 442
3.
3
2
643
2
643
2
4243
2
21
23
23
23
23
23
23
+=+=
−+
−+=
+−+=
xx
xdx
d
x
x
Observamos que o resultado obtido é garantido diretamente pela proposição 6.10.1.
b) ∫+
y
dxx
x
dy
d
32 9
2
Pela proposição 6.10.1, temos que: 9
2
9
22
32
+=
+∫ y
ydx
x
x
dy
dy
c) ∫−
θ
θ 1
dttsentd
d
Pela proposição 6.10.1, temos que:
∫−
θ
θ 1
dttsentd
d.θθ sen=
484
7. Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar o gráfico da função.
a)
≤≤
<≤−+=
10,5
01,52)(
x
xxxf em ]1,1[−
∫∫∫ +=
−−
1
0
0
1
1
1
)()()( dxxfdxxfdxxf
] ]
9551
552
2
5)52(
10
01
0
1
2
1
0
0
1
=++−=
++
=
++=
−
−
−
∫∫
xxx
dxdxx
-1 1
1
2
3
4
5
6
x
f (x)
b) ||)( xsenxf = ; em ],[ ππ−
≤≤−−
≤≤=
0,
0,)(
xxsen
xxsenxf
π
π
] ]
41111
coscos
||
00
0
0
=+++=
−=
+−=
−
−−
∫∫∫π
π
π
π
π
π
xx
dxxsendxxsendxxsen
485
-π -π/2 π/2 π
1
x
f (x)
c) |;|2)( xxf = em ]1,1[−
<−
≥=
0,2
0,2)(
xx
xxxf
∫∫∫ +−=
−−
1
0
0
1
1
1
22||2 dxxdxxdxx
2112
22
21
0
20
1
2
=++=
+
−=
−
xx
-1 1
1
2
x
f (x)
486
d) ;2
||)(
xxxf −= em ]1,1[− .
<=+
≥=−
=
02
3
2
02
1
2)(
xsexx
x
xsexx
x
xf
2
1
4
1
4
3
2.
2
1
2.
2
3
22
3
2
||
1
0
20
1
2
1
0
0
1
1
1
−=+
−=
+
=
+=
−
−
−−
∫∫∫
xx
dxx
dxxdxx
x
-1 1
-1
1
x
f (x)
e) ||)( xsenxsenxf += em ],[ ππ− .
<
>=
0,0
0,2)(
xsense
xsensexsenxf
( )
[ ]
( ) 4112
cos20
20||
0
0
0
=++=
−+=
+=+ ∫∫∫−−
π
π
π
π
π
x
dxxsendxdxxsenxsen
487
-π -π/2 π/2 π
1
2
x
f (x)
f) |cos|)( xxsenxf += em ],[ ππ− .
<−
≥+=
0cos,cos
0cos,cos)(
xsexxsen
xsexxsenxf
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
4111111
coscoscos
coscoscos)(
2
2
2
2
2
2
2
2
=++++−=
−−++−+−−
−+++−=
−
−
−
−
−
−−
∫∫∫∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
xsenxxsenxxsenx
dxxxsendxxxsendxxxsendxxf
-π -π/2 π/2 π
-1
1
2
x
f (x)
8. Mostrar que:
a) ∫−
=
π
π
05cos.2 xdxxsen
488
[ ]
( ) 0)11(6
111
14
1
3cos3
1.
2
17cos
7
1.
2
1
32
17
2
1
)3(72
1
=+−++−−
=
+
−=
−+=
−+=
−−
−−
−
∫∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
xx
dxxsendxxsen
dxxsenxsen
b) ∫−
=
π
π
03cos.2cos dxxx
[ ]
000
2
15
5
1.
2
1
cos2
15cos
2
1
cos5cos2
1
=+=
+
=
+=
+=
−−
−−
−
∫∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
xsenxsen
dxxdxx
dxxx
c) ∫−
=
π
π
02.5 dxxsenxsen
[ ]
000
7cos2
13cos
2
1
7cos3cos2
1
=−=
−=
−=
∫∫
∫
−−
−
π
π
π
π
π
π
dxxdxx
dxxx
9. Se )(xf é contínua e Mxf ≤)( para todo x em ],[ ba , provar que
∫ −≤
b
a
abMdxxf ).()( Ilustrar graficamente, supondo .0)( ≥xf
Como )(xf é contínua em ],[ ba e Mxf ≤)( para todo x em ],[ ba ,
∫ ∫≤
b
a
b
a
dxMdxxf )( ] )( abMMxb
a −== .
489
x
f (x)
M
ba
Observamos que na figura utilizamos o valor máximo absoluto da função no intervalo ],[ ba como M.
10. Se )(xf é contínua e )(xfm ≤ para todo x em ],[ ba , provar que
∫≤−
b
a
dxxfabm .)()( Ilustrar graficamente, supondo .0>m
Como f é contínua em ],[ ba e ],[)( baxmxf ∈∀≥ , temos que:
)()( abmdxmdxmdxxf
b
a
b
a
b
a
−==≥ ∫∫ ∫
ou ∫ −≥
b
a
abmdxxf ).()(
x
f (x)
m
ba
Observamos que na figura utilizamos o valor mínimo absoluto da função no intervalo ],[ ba como m.
490
11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:
Neste exercício tomamos M e m, respectivamente, como o valor máximo e o valor mínimo absolutos da função no intervalo de integração.
a) ∫4
3
5 dxx
Temos que 15
20
=
=
m
M
Portanto,
20515
)34(205)34(15
4
3
4
3
≤≤
−≤≤−
∫
∫
dxx
dxx
b) ∫−
4
2
22 dxx
32)4(
0)0(
2)( 2
==
==
=
fM
fm
xxf
∫
∫
−
−
≤≤
+≤≤+
4
2
2
4
2
2
19220
)24(322)24.(0
dxx
dxx
c) ∫ −
4
1
|1| dxx
|1|)( −= xxf
3)4(
0)1(
==
==
fM
fm
( ) ( )
∫
∫
≤−≤
−≤−≤−
4
1
4
1
9|1|0
143|1|14.0
dxx
dxx
d) ( )∫−
+−
4
1
24 168 dxxx
168)( 24+−= xxxf
491
14416128256)4(
0163216)2(
91981)1(
=+−==
=+−==
=++=−
fM
fm
f
( ) ( ) ( )
( ) 7201680
1414416814.0
4
1
24
4
1
24
≤+−≤
+≤+−≤+
∫
∫
−
−
dxxx
dxxx
Nos exercícios 12 a 34 calcule as integrais.
12. ( )∫−
+
2
1
31 dxxx
( )
10
81
5
1
2
1
5
322
52
2
1
52
2
1
4
=
+−+=
+=
+=
−
−
∫
xx
dxxx
13. ( )∫−
+−
0
3
2 74 dxxx
48
219.23
277
24
3
0
3
23
=
−−
−−=
+−=
−
xxx
14. ∫2
16
x
dx
160
31
132
1
5
1
5
2
1
5
=
−
−=
−=
−x
15. ∫9
4
2 dttt
492
( )
5
844211.
5
4
322435
2.2
2
522
9
4
9
4
25
23
==
−=
== ∫t
dtt
16. ∫+
1
0 13y
dy
( )
[ ]3
212
3
2
2
113
3
1
1
0
21
=−=
+
=y
17. ∫4
3
4
cos
π
π
dxxxsen
02
1
2
1
2
1
2
43
4
2
=
−=
π
π
xsen
18. ∫− +
1
13
2
9x
dxx
( )
[ ] ( )253
22810
3
2
2
19
3
1
1
1
2/13
−=−=
+
−
x
19. ∫π2
0
|| dxxsen
493
] ]
41111
cos2cos0coscos
coscos 20
2
00
=+++=
−++−=
+−=
−+= ∫∫
πππ
π
π
π
ππ
xx
dxxsendxxsen
20. ∫−
−
5
2
|42| dtt
( ) ( )
25
8420258484
42
242
2
4242
5
2
22
2
2
5
2
2
2
=
+−−++++−=
−+
+−=
−++−=
−
−
∫∫
tt
tt
dttdtt
21. ∫ +−
4
0
2 |23| dxxx
( ) ( ) ( )
3
17
42
12
3
88
2
48
3
642
2
3
3
14
2
12
3
82
2
3
3
1
22
33
22
33
22
33
232323
4
2
232
1
231
0
23
4
2
22
1
21
0
2
=
−+−+−++−+−+−+−=
+−+
−+−+
+−=
+−++−−++−= ∫∫∫
xxx
xxx
xxx
dxxxdxxxdxxx
22. ∫+
4
02 .9
4
x
∫
+
=
4
02
9.99
9
4
x
494
4
0
24
02
133
ln3
43
13
3
4
+
+=
+
= ∫
xx
x
dx
3ln43
5
3
4ln4
9
916
3
4ln4
=+=
++=
23. ( )∫
− −
0
223
2
2v
dvv
( )
15
2
10
1
2
1
3
1
1
2
3
10
2
13
=
+
−
−=
−
−=
−
−
v
24. ∫ −
5
1
12 dxx
( )
( )3
2626.
3
1127
3
2
2
1
2
312
2
1
5
1
23
==−=
−
=x
25. ( )∫
+
4
13
1xx
dx
dx
xdu
xu
2
1
1
=
+=
495
( )
( )
36
5
4
1
9
1
23
2
12
22
4
1
2
=+−=
−−=
−
+=
−−
−
x
26. ∫ +
3
0
1 dxxx
( )
( )
23
1
11
23
21
x
dxxvdxxdv
dxduxu
+=
+=→+=
=→=
∫
( ) ( )
( ) ( )
( )
15
116
1325
2.
3
28.
3
3.2
15
2.
3
21
3
2
13
21
3
2.
3
0
3
0
25
23
23
23
=
−−=
+−
+=
+−
+= ∫
xxx
dxxxx
27. ∫2
0
2
π
dxxsen
4
2.
2
1
22
1.
2
1
2
1
2
2cos1
2
2
0
0
π
π
π
π
=
=
−=
−= ∫
xsenx
dxx
496
28. ( )∫
+
2
051
cosπ
dxxsen
x
dxxdu
xsenu
cos
1
=
+=
( )( )
64
15
116
1
4
1
12
14
1
4
1 44
0
4 2
=
−−=
−
+−=
−
+=
−
−−π
π
senxsen
29. ( )∫−
+
4
0
21
12 dxx
( )
213
21
12
2
1
4
0
21
=−=
+
=x
30. ( )∫ +
2
0
52 dxxx
( )
( ) ( )
3
5822
23
2104
2
2
2
310
22
102
102
3
2
0
2
2
0
2
1
2
0
2
23
+=
+=
+=
+=
+=
∫
∫
xx
dxxx
dxxx
497
31. ∫+−+
2
12
23 2575dx
x
xxx
2ln52
31
21ln572
512ln52.72.5
12||ln57
25
2575
2
1
12
2
12
−=
++−−−−+=
−+−+=
+−+=
−
∫
xxx
x
dxxx
x
32. ∫2
1
ln dxxx
2
ln
2xvdxxdv
x
dxduxu
=→=
=→=
( ) ( )
4
32ln2
144
12ln4
2
1
2.
2
1ln
2
.22
ln
2
1
22
2
1
22
−=
−−=
−
=
−
= ∫
xx
x
x
dxxxx
33. ∫−
−
−
2
3
21
dtt
t ∫−
+−=
2
32
2 11.2 dt
tttt
( ) ( )
2
9
3
1
2
1322278
3
1
12
3
2
3
13
=
−−
−−+−−+−=
−+−=
−
−
−t
tt
498
34. ∫−
+
+1
0
3
2
8dx
x
x
∫−
+
+−=
0
1
3
2
8dx
x
x
Dividindo os polinômios, obtemos:
( )dxxxdxx
x∫∫−−
+−−=+
+−
0
1
20
1
3
422
8
3
1641
3
1
42
23
0
1
23
−=−−
−=
+−−=
−
xxx
35. Seja f contínua em [ ]aa,− . Mostrar que:
a) Se f é par, então .)(2)(0∫∫ =
−
aa
a
xfdxxf
Seja f par. Então )()( xfxf =− .
∫∫
∫∫∫
+−=
+=
−
−−
a
a
a
a
a
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
0
0
0
0
)()(
)()()(
Fazemos uma mudança de variável na primeira integral:
auaxux
dxduxu
=⇒−==⇒=
−=⇒−=
;00
Temos:
∫
∫∫
∫∫∫
=
+
−−=
+−=
−
a
aa
a
a
a
a
dxxf
dxxfduuf
dxxfduufdxxf
0
00
0
0
)(2
)()(
)()()(
É interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:
499
x
y
a-a
b) Se f é ímpar, então .0)( =∫−
a
a
dxxf
Seja f ímpar. Então )()( xfxf −=− .
∫∫
∫∫∫
+−−=
+=
−
−−
a
a
a
a
a
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
0
0
0
0
)()(
)()()(
Fazemos uma mudança de variável na primeira integral:
auaxux
dxduxu
=⇒−==⇒=
−=⇒−=
;00
Temos:
0
)()(
)()()(
00
0
0
=
+−=
+=
∫∫
∫∫∫−
aa
a
a
a
a
dxxfduuf
dxxfduufdxxf
É interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:
500
x
y
a-a
36. Usar o resultado do Exercício 35 para calcular.
a) ∫−
π
π
dxxsen2
xsenxf =)( é função ímpar. Portanto,
∫−
π
π
dxxsen2 02 ∫−
==
π
π
senxdx
b) ∫−
π
ππ
dxxcos
xxf cos)( = é par
00.22
cos2
0
0
==
=
= ∫
ππ
π
π
π
xsen
dxx
c) ( )∫−
+
1
1
24dxxx f é par.
501
( )
15
16
3
1
5
12
3522
1
0
351
0
24
=
+=
+=+= ∫
xxdxxx