55452488-CircII-4

Profa Ruth P. S. Leão Email: [email protected] WP: www.dee.ufc.br/~rleao

Capítulo 4

CIRCUITOS BÁSICOS EM CORRENTE ALTERNADA

4. Introdução ....................................................................................................3

4.1 Circuitos RC Série................................................................................3

4.1.1 Variação da Impedância com a Freqüência .....................................5

4.1.2 Variação do Ângulo de Fase com a Freqüência...............................6

4.2 Circuitos RC Paralelo...........................................................................6

4.2.1 Conversão de Paralelo para Série....................................................8

4.3 Potência em Circuitos RC ....................................................................9

4.3.1 Fator de Potência de Deslocamento ..............................................13

4.4 Principais Aplicações de Circuitos RC ...............................................13

4.4.1 Circuito RC Atrasado......................................................................14

4.4.2 Circuito RC Adiantado ....................................................................15

4.4.3 Circuito RC como Filtro ..................................................................16

4.4.3.1 Filtro Passa Baixa .......................................................................16

4.4.3.2 Filtro Passa-Alta..........................................................................19

4.4.3.3 Freqüência de Corte e Largura de Faixa de um Filtro ................22

4.5 Circuitos RL Série ..............................................................................24

4.5.1 Corrente e Tensão em um Circuito RL Série..................................24

4.5.2 Impedância e Ângulo de Fase em Circuitos RL Série ....................25

4.5.3 Variação da Impedância e Ângulo de Fase com a Freqüência ......26

4.6 Circuito RL Paralelo ...........................................................................27

4.6.1 Relação entre Corrente e Tensão em Circuito RL Paralelo............27

4.7 Potência em Circuitos RL...................................................................30

4.7.1 Triângulo de Potência em Circuitos RL ..........................................30

4.7.2 Fator de Potência de Deslocamento ..............................................32

4.7.3 Correção de Fator de Potência de Deslocamento..........................33

4.8 Aplicações de Circuitos RL ................................................................33

4.8.1 Circuito RL Adiantado.....................................................................33

4.8.2 Circuito RL Atrasado ......................................................................35

4.8.3 Circuito RL como Filtro ...................................................................37

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4-2

4.8.3.1 Filtro Passa-Baixa.......................................................................37

4.8.3.2 Filtro Passa-Alta..........................................................................38

4.9 Circuitos RLC.....................................................................................40

4.9.1 Circuito RLC Série..........................................................................40

4.9.1.1 Potência em Circuito RLC...........................................................44

4.9.2 Circuito RLC Paralelo .....................................................................46

4.10 Fluxo de Potência ..............................................................................47

4.11 Transformadores................................................................................49

4.11.1 Indutância Mútua............................................................................49

4.11.2 Coeficiente de Acoplamento...........................................................51

4.11.3 Indutância Mútua............................................................................51

4.11.4 Tipos de Transformadores .............................................................51

4.11.5 Relação de Espiras ........................................................................52

4.11.6 Direção dos Enrolamentos .............................................................53

4.11.7 Transformadores Elevadores e Abaixadores..................................53

4.11.8 Carga no Secundário......................................................................54

4.11.9 Carga Refletida...............................................................................55

4.11.10 Casamento de Impedância .........................................................56

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4. Introdução Neste capítulo serão estudados a resposta de circuitos RC, RL, e RLC série, paralelo e série-paralelo quando excitados por uma fonte senoidal.

4.1 Circuitos RC Série Quando um circuito RC série é excitado por uma fonte de tensão senoidal, a tensão no resistor, VR, a tensão no capacitor, VC, e a corrente I que flui no circuito são todas ondas senoidais com a mesma freqüência da fonte. As amplitudes e deslocamentos de fase das tensões e corrente dependem dos valores da resistência e da reatância capacitiva. Devido à combinação de resistência e capacitância em um circuito, o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente não será nulo (circuito resistivo), nem igual a -90º com a tensão atrasada da corrente (circuito capacitivo), mas estará compreendido entre 0 e -90º, dependendo dos valores relativos da resistência e reatância. Seja o circuito RC série como mostrado na Figura 4.1.

Figura 4.1: Circuito RC série. Lançando mão da teoria dos fasores, sabe-se que a tensão em um resistor está em fase com a corrente que por ele circula, e que a tensão em um capacitor está atrasada de 90º da corrente. A representação gráfica dos valores eficazes de tensão no resistor e no capacitor deverá ser tal que, considerando-se VR no eixo horizontal, VC estará 900 atrasado em relação à VR.

R~ C

VF

VR VC

I


4-4

Figura 4.2: Relação fasorial entre tensões e corrente no circuito RC série.

Figura 4.3: Diagrama de tensões no circuito RC série. Pela Figura 4.3 observa-se que a tensão resultante no circuito RC série é igual à soma fasorial das tensões sobre o resistor mais a tensão sobre a reatância capacitiva. Ainda, observa-se que a tensão no resistor está adiantada da tensão da fonte e esta, por sua vez, está adiantada da tensão no capacitor. Em assim sendo, o ângulo de variação da tensão resultante está entre 0o e -90º. A corrente do circuito está adiantada da tensão aplicada de θ. Pela Lei de Kirchhoff de tensão aplicada ao circuito RC série da Figura 4.3, tem-se que:

CRF jVVV −= (4.1) A tensão no resistor e na reatância capacitiva é dada, respectivamente, por:

0I0RVR ∠⋅∠= (4.2)

0I90XV CC ∠⋅−∠= (4.3)

Então ( ) 0IjXRV CF ∠⋅−= (4.4)

VF VC

VR

-θ

I


4-5

O coeficiente que relaciona tensão e corrente é denominado de impedância, e é definido como: Figura 4.4: Triângulo de impedância.

CjXRZ −= (4.5)

A impedância é uma grandeza complexa formada pela resistência e reatância. A Figura 4.4 ilustra o triângulo da impedância, o qual é semelhante ao triângulo das tensões para o circuito RC série. A unidade da impedância é o ohm (Ω), e sua magnitude e ângulo de fase são definidos como:

2C

2 XRZ += (4.6)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −

RX

tg C1θ (4.7)

Assim, a impedância na forma polar é expressa como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∠+= −

RX

tgXRZ C12C

2 (4.8)

4.1.1 Variação da Impedância com a Freqüência Como visto no Capítulo 3, a reatância capacitiva varia com o inverso da freqüência. Como 2

C2 XRZ += , quando XC cresce a

magnitude da impedância do circuito cresce; e quando XC decresce, a magnitude da impedância do circuito diminui. Portanto, em um circuito RC série, a magnitude de Z é inversamente proporcional à freqüência. Quando a tensão na fonte é mantida constante, a tensão nos terminais da impedância permanece constante (VF), porém se a freqüência aumenta, a reatância capacitiva e a magnitude da impedância diminuem, causando um aumento na corrente do circuito. Com o aumento da corrente, a queda de tensão no resistor aumenta (VR=RI), e conseqüentemente, a queda de tensão reatância diminui (VC=XC.I). Raciocínio análogo se aplica para a condição de diminuição da freqüência.

Z

XC

R

-θ


4-6

4.1.2 Variação do Ângulo de Fase com a Freqüência Como XC é responsável pelo ângulo de fase no circuito RC série, uma mudança em XC provoca alteração no ângulo de fase. Quando a freqüência aumenta, XC torna-se menor, e assim o ângulo de fase diminui. A Figura 4.5 ilustra através do triângulo de impedância as variações em XC, Z, e θ com a freqüência. À medida que a freqüência cresce, diminuem a reatância capacitiva, a magnitude da impedância e o ângulo de fase.

Figura 4.5: Variação da impedância e ângulo de fase com a freqüência.

4.2 Circuitos RC Paralelo Seja o circuito RC paralelo conectado a uma fonte de tensão senoidal, como mostra a Figura 4.6.

Figura 4.6: Circuito RC em paralelo.

Com base na teoria dos fasores, a corrente IR está em fase com a tensão VF, porém a corrente IC está adiantada de 90º da tensão VF e conseqüentemente de IR. O diagrama fasorial para as correntes é apresentado na Figura 4.7.

Figura 4.7: Diagrama fasorial de tensão e correntes do circuito RC paralelo.

θ1

θ2

θ3 R

Z1

Z2

Z3

XC1

XC2

XC3

f1

f2

f3

VF, VR, VC

IF

IR

jIC

θ

R ~ C VF IR IC

I


4-7

A corrente total suprida pela fonte ao circuito é igual a IF. Pela Lei de Kirchhoff para as correntes, tem-se que:

CRF jIII += (4.9) A corrente IF pode ainda ser obtida por:

011

090

100

1

∠⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∠⋅−∠

+∠⋅∠

=

VX

jR

VX

VR

I

C

CF

(4.10)

Como visto no Capítulo 3, o recíproco da resistência é a condutância, e da reatância capacitiva é a susceptância capacitiva. Assim:

( ) 0VjBGI CF ∠⋅+= (4.11) O coeficiente que relaciona corrente com tensão é denominado de admitância cuja unidade é siemens (S).

Y=G+jBC (4.12) Como a admitância é o inverso da impedância, a unidade da admitância é também definida como mho (ohm ao inverso), sendo usada a letra grega ômega maiúscula invertida como símbolo da unidade. Observando a admitância do circuito RC paralelo, verifica-se que enquanto a reatância capacitiva apresenta um ângulo de -90º, representada por uma componente imaginária negativa, a susceptância capacitiva é positiva. A magnitude e o ângulo de fase da admitância são dados por:

Figura 4.8: Triângulo da admitância.

2C

2 BGY += (4.13)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

GB

tg C1θ (4.14)

O triângulo da admitância é semelhante ao da corrente em um circuito RC paralelo.

G

jB Y

θ


4-8

A impedância equivalente do circuito RC paralelo pode também ser obtida para o circuito da Figura 4.6. Como o circuito é formado por apenas dois componentes, tem-se que a impedância equivalente é dada por:

( ) ( )C

C

jXR90X0R

Z−

−∠⋅∠= (4.15)

Operando sobre a expressão de Z, obtém-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−∠⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅= −

RX

tgXR

XRZ C

C

C 1

2290 (4.16)

A magnitude da impedância equivalente é então:

2C

2

C

XR

XRZ

+

⋅= (4.17)

e o ângulo de fase entre a tensão da fonte e a corrente por ela suprida,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= −

RX

tg90 C1θ (4.18)

o que equivale a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

C

1

XRtgθ (4.19)

Portanto, a impedância equivalente do circuito RC paralelo é semelhante à Eq.4.8, i.e.,

( )1

2 2

C

C

C

Z Z tg R XR XR X

θ

−= ∠−

⋅= ∠−

+

(4.20)

4.2.1 Conversão de Paralelo para Série Para cada circuito RC paralelo, há um circuito equivalente série. Dois circuitos são considerados equivalentes quando ambos apresentam uma mesma impedância equivalente em seus


4-9

terminais, i.é., a magnitude e o ângulo de fase da impedância são idênticos. O circuito equivalente série para um dado circuito RC paralelo é obtido a partir de:

Figura 4.9: Equivalência entre circuito paralelo e série. Com base na Eq.4.20, tem-se:

θcosXR

XRR

2C

2

CEQ ⋅

+

⋅= (4.21)

, 2 2C

C EQ

C

R XX senR X

θ⋅= − ⋅

+ (4.22)

R, XC e θ são os valores definidos para o circuito paralelo. A equivalência pode também ser obtida a partir da admitância.

EQ,CEQ

2C

2C

2C

2

C

jXRBG

Bj

BGGjBG

1Z

−=+

−+

=

+=

(4.23)

4.3 Potência em Circuitos RC Em um circuito puramente resistivo, toda energia entregue pela fonte é dissipada na forma de calor pelo resistor. Em um circuito puramente capacitivo, toda a energia entregue pela fonte é armazenada pelo capacitor durante parte do ciclo da tensão e então devolvida à fonte durante outra parte do ciclo da tensão de maneira que não há conversão para calor. Quando no circuito existe resistência e capacitância, parte da energia oscila entre o capacitor e a fonte e parte é dissipada pela resistência. A potência instantânea é obtida como:

REQ

-jXC,EQ Z

-θ R CVF ~

I XC,EQ

~ VF REQ

I


4-10

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2

cos cos

cos cos

1 11 cos 2 cos 22 2

p p

p p

p p

p p

p t v t i t V I sen t sen t

V I sen t sen t sen t

V I sen t sen t t sen

V I t sen t sen

ω ω θ

ω ω θ θ ω

ω θ ω ω θ

ω θ ω θ

= ⋅ = ⋅ +

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.24)

A potência instantânea pode ser re-escrita em função dos valores eficazes de tensão e corrente: ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )1 cos 2 cos 2

1 cos 2 cos 2

EF EF

EF EF EF EF

p t V I t sen t sen

V I t V I sen t sen

ω θ ω θ

ω θ ω θ

⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

(4.25)

Notam-se em (4.25) dois termos de potência, quais sejam: a potência ativa instantânea e a potência não ativa instantânea; ambas variam no tempo, sendo que a primeira é unidirecional, e a segunda bidirecional.

( ) ( )( )1 cos 2ativap t P tω= ⋅ − (4.26)

( ) ( )2reativap t Q sen tω= ⋅ (4.27) em que

cosEF EFP V I θ= ⋅ ⋅ (4.28) EF EFQ V I senθ= ⋅ ⋅ (4.29)

Note que a potência ativa instantânea é composta de um termo constante e um termo variante no tempo cujo valor de pico é igual ao termo constante. O valor médio de pativa(t) é dado por VEF.IEF.cosθ e a potência ativa instantânea oscila em torno desse valor médio sendo unidirecional. O valor médio da potência não ativa ou reativa instantânea é nulo. A potência é oscilante e seu valor de pico define a capacidade de armazenamento do componente passivo do circuito.


4-11

A Figura 4.10 mostra as curvas de potência ativa instantânea, potência reativa instantânea e potência total.

Figura 4.10: Potência total e potências no resistor e no capacitor.

Nas seções 4.1 e 4.2 foi visto que em um circuito RC a corrente está adiantada da tensão resultante de um ângulo θ (ver Figuras 4.3 e 4.7). Assim, tomando-se a tensão da fonte como referência angular, |VF|∠0o e a corrente entregue pela fonte adiantada da tensão, |I|∠θ, e considerando que potência é obtida pelo produto entre os fasores tensão e corrente, tem-se que:

( ) ( ) θθ −∠⋅=−∠⋅∠=⋅= IVI0VIVS FF*

F (4.30) A potência total S é denominada de potência aparente complexa, e a unidade é o volt-ampère (VA). A magnitude da potência aparente complexa, |S|=|V|.|I|, é denominada simplesmente de potência aparente e sua unidade é também o volt-ampère (VA). Transformando a potência aparente complexa para a forma retangular, tem-se:

Figura 4.11: Triângulo de potências.

( )θθ jsencosIVS F −⋅⋅= (4.31)

A potência total S apresenta duas componentes, real e imaginária. A componente real representa a potência entregue pela fonte e

S

QC

P

-θ

p(t) pativa(t)

preativa(t)


4-12

dissipada na resistência e é denominada de potência real, útil, ativa, ou eficaz. A unidade da potência real é o watt (W).

θθ cosScosIVP F ⋅=⋅⋅= (4.32) Como a potência útil é dissipada no resistor, a potência P pode ser expressa em função de R.

2R

2R RI

RVP == (4.33)

A potência imaginária representa a porção da potência total S, que oscila entre o capacitor e a fonte, portanto, não realiza trabalho, daí ser denominada de potência reativa. A unidade da potência reativa é o volt-ampère reativo (var).

θθ senSsenIVQ FC ⋅=⋅⋅= (4.34) Em um circuito RC a potência reativa está associada ao capacitor, portanto Q pode ser expressa em função de XC.

2CC

C

2C

C IXXV

Q ⋅== (4.35)

Vale a pena lembrar que à potência reativa capacitiva foi associado o sinal negativo, esta é a razão porque a potência total é definida como o produto da tensão pelo conjugado da corrente. Se assim não fosse, haveria uma contradição com a convenção de sinal adotada para as potências reativa capacitiva (negativa) e indutiva (positiva). Em todos os sistemas elétricos e eletrônicos, é a potência útil que realiza trabalho. A potência reativa é simplesmente permutada entre a carga e o sistema. Idealmente toda potência transferida à carga deveria realizar trabalho, entretanto, em muitas situações práticas a carga tem alguma reatância associada, e, portanto as duas componentes de potência estão presentes. Em assim sendo, a corrente total apresenta a componente resistiva e a componente reativa. Se apenas a potência útil de uma carga é levada em consideração, significa que somente uma porção da corrente total demandada pela fonte está sendo considerada.


4-13

4.3.1 Fator de Potência de Deslocamento A relação entre a potência útil e a potência aparente é denominada de fator de potência de deslocamento, FPD. O FPD de uma carga ou circuito representa o quanto de potência entregue é convertido em trabalho útil. Pela Equação 4.29 tem-se que:

θcosSPFPD == (4.36)

O ângulo θ representa o defasamento angular entre a tensão e corrente. Como a relação entre tensão e corrente resulta em impedância, o ângulo θ é o mesmo entre resistência e reatância do triângulo de impedância, assim como é o ângulo entre as potências útil e aparente do triângulo de potência.

Figura 4.12: Relação entre fator de potência e triângulos de impedância, admitância e de potência.

Quanto maior for o ângulo θ, menor será FPD, o que indica um crescimento na componente reativa. O fator de potência de deslocamento pode variar de zero, para um circuito puramente reativo, a 1 para um circuito puramente resistivo. Em um circuito RC, o fator de potência de deslocamento é dito ser adiantado, ou seja, a corrente está deslocada em avanço da tensão.

4.4 Principais Aplicações de Circuitos RC Os circuitos RC são usados em diferentes aplicações, em geral como parte de um circuito mais complexo. As duas principais aplicações, como circuito defasador e como filtro, serão consideradas nesta seção.

Z

XC

R

-θ

S

QC

P

-θ

V

I θ

Y BC

G

θ


4-14

4.4.1 Circuito RC Atrasado O circuito RC atrasado é um circuito que provoca um defasamento angular, no qual a tensão de saída atrasa da tensão de entrada de um determinado valor especificado.

Figura 4.13: Circuito RC atrasado e o diagrama fasorial com ângulo de fase atrasado entre VE e VS.

A Figura 4.13 mostra um circuito RC série com a tensão de saída VS extraída dos terminais do capacitor. A fonte de tensão é a entrada VE. O ângulo θ é o ângulo de fase entre a corrente e a tensão de entrada e é também o ângulo de fase entre a tensão no resistor e a tensão de entrada porque VR e I estão em fase. Como VC está atrasado de 90º de VR, o ângulo de fase entre a tensão no capacitor (tensão de saída) e a tensão de entrada é a diferença entre -90º e -θ. A tensão de saída está atrasada da tensão de entrada, criando assim um circuito de atraso. A diferença de fase φ entre a entrada e a saída bem como a magnitude da tensão de saída dependem do valor da reatância capacitiva e da resistência. Para uma tensão de entrada igual a |VE|∠0o e corrente igual a |I|∠θ, a tensão de saída resulta em:

( ) ( ) ( )θθ +−∠⋅=−∠⋅∠= 90XI90XIV CCS (4.37) Como θ=-tg-1(XC/R), o ângulo entre a entrada e a saída:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= −

RX

tg90 C1φ (4.38)

O ângulo φ estará compreendido entre 0 (Xc/R → ∞) e -90º (Xc/R → 0), indicando que a tensão de saída pode estar em fase (para uma única condição, R=0) e atrasada da tensão de entrada, como mostra a Figura 4.13.

VE VS

R

~ C

VR

VE VS

-θ

φ=-90º+θ


4-15

Para avaliar a tensão de saída, em termos de sua magnitude, o circuito RC deve ser visto como um divisor de tensão. Como a tensão de interesse está sobre os terminais do capacitor, tem-se:

E2C

2

CS V

XR

XV ⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+= (4.39)

A tensão de saída pode também ser calculada pela Lei de Ohm:

CS XIV ⋅= (4.40) Assim, o fasor tensão de saída de um circuito RC atrasado é:

VS=|VS|∠-φ (4.41)

4.4.2 Circuito RC Adiantado O circuito RC adiantado é um circuito defasador no qual a tensão de saída é adiantada da tensão de entrada. Quando a saída de um circuito RC série é tomada sobre o resistor invés do capacitor, diz-se ser um circuito adiantado.

Figura 4.14: Circuito RC adiantado e o diagrama fasorial com ângulo de fase adiantado entre VE e VS.

Em um circuito RC, a corrente é adiantada da tensão de entrada. Sabe-se também que a tensão no resistor está em fase com a corrente. Como a tensão de saída é tomada sobre o resistor, a saída está adiantada da entrada, como indicado no diagrama fasorial na Figura 4.14. Como no circuito defasador atrasado, a diferença de fase entre a entrada e saída e também a magnitude da tensão de saída no circuito defasador adiantado dependem dos valores relativos da resitência e da reatância capacitiva. Quando a tensão de entrada é

VE VS

R~ C

VS

VE VC

φ


4-16

tomada como referência angular, o ângulo da tensão de saída é igual a θ (o ângulo entre a corrente e a tensão aplicada) porque a tensão no resistor (saída) e a corrente estão em fase. Portanto, como neste caso φ=θ, a equação é dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

RX

tg C1φ (4.42)

O ângulo é positivo porque a saída é adiantada da entrada. A magnitude pode ser calculada aplicando a expressão de divisor de tensão ou a Lei de Ohm.

E2C

2S VXR

RV ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+= (4.43)

IRVS = (4.44)

A expressão para o fasor tensão de saída:

φ∠= SS VV (4.45)

4.4.3 Circuito RC como Filtro Filtros são circuitos seletivos de freqüência que permitem sinais de certa freqüência passar entre entrada e saída e bloquear outras freqüências. Isto é, todas as freqüências exceto as selecionadas são filtradas. Os circuitos RC série apresentam uma característica de seletividade de freqüência e portanto atuam como filtros. Existem dois tipos, os chamados filtros passa baixa e os filtros passa alta. Nos filtros passa baixa a saída é tomada sobre o capacitor como no circuito atrasado. Os filtros passa alta são implementados com a saída tomada sobre o resistor, como no circuito adiantado.

4.4.3.1 Filtro Passa Baixa Na avaliação do circuito RC como filtro, é de interesse apresentar a variação da magnitude da saída com a freqüência. Para o circuito da Figura 4.15 a tensão de saída depende da freqüência do sinal de entrada.


4-17

Figura 4.15: Filtro passa baixa.

Figura 4. 16: Resposta linear da tensão de saída à variação de freqüência.

Para uma freqüência igual a zero, como o capacitor bloqueia corrente CC, a tensão de saída, VS, é igual ao valor da tensão de entrada, VE, pois não há queda de tensão no resistor. Portanto, o circuito deixa passar toda a tensão de entrada para a saída (VE, VS). A Figura 4.16 mostra a variação da magnitude da tensão VS com a freqüência. À medida que a freqüência de entrada aumenta, a tensão de saída decresce aproximando-se de zero quando a freqüência torna-se muito alta. Quando a freqüência de entrada aumenta, a reatância capacitiva diminui; como a resistência é constante e a reatância capacitiva decresce, a tensão nos terminais do capacitor, VS, também diminui de acordo com o princípio do divisor de tensão (Equação 4.36). A freqüência de entrada pode ser elevada até que alcance um valor tal que a reatância seja muito pequena comparada à resistência de modo que a tensão de saída pode ser desprezível em comparação à tensão de entrada. A este valor de freqüência, diz-se que o circuito bloqueia totalmente o sinal de entrada. Como visto na Figura 4.16, o circuito passa totalmente a freqüência CC. À medida que a freqüência da entrada aumenta, menos da tensão de entrada é transferida para a saída; i.é., a tensão de

VE=10V VS R ~ C


4-18

saída decresce quando a freqüência aumenta. Como pode ser visto, as freqüências baixas passam através do circuito com muito menos atenuação do que as freqüências altas. Este filtro RC é portanto uma forma simples de um filtro passa baixa. A Figura 4.17 mostra a resposta logaritmica em freqüência do circuito de um filtro passa-baixa da Figura 4.15 com o gráfico da magnitude da tensão de saída versus freqüência.

Figura 4.17: Resposta da tensão de saída à variação de freqüência de filtro RC

passa baixa.

Figura 4.18: Resposta de Filtro Passa Baixa Ideal.

Um filtro ideal seria um filtro que apresentasse uma variação abrupta, tipo uma função degrau: ganho um na sua região de banda passante (domínio de frequência do filtro) e ganho zero fora desta região. Para o circuito da Figura 4.15 a relação entre tensão de saída VS e tensão de entrada VE é obtida aplicando a expressão de divisor de tensão:


4-19

CS E

C

jXV VR jX−

= ⋅−

(4.46)

Em que

11

S

E

VV j RCω

=+

(4.47)

A Eq. 4.47 define a função de transferência para o filtro RC passa baixa, i.e.:

( ) 11

Hj RC

ωω

=+

(4.48)

H(ω) é complexo e portanto tem uma magnitude e um ângulo, que definem, respectivamente, a magnitude e o ângulo de fase entre a tensão de saída e de entrada.

( )( )2

1

1VH G

RCω

ω= =

+ (4.49)

( ) 1

C

RH tgX

ω φ − ⎛ ⎞∠ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.50)

Pela Eq. 4.49 que define o ganho do filtro, nota-se que para frequências zero e baixas o ganho será igual ou próximo a unidade. O filtro RC passa baixa é parte da família de filtros passa baixa de 1ª ordem. O filtro é dito de 1ª ordem quando o expoente de ω que aparece no denominador de H(ω) é unitário (1 ou -1).

4.4.3.2 Filtro Passa-Alta No filtro passa alta a saída é tomada sobre o resistor como no circuito defasador adiantado. Quando a tensão de entrada é cc, a saída é zero volts porque o capacitor bloqueia corrente cc, portanto, a tensão nos terminais do resistor é nula. Circuitos passa-alta são, pois, eliminadores de corrente contínua.


4-20

Figura 4.19: Circuito RC série como filtro passa alta.

Para o circuito da Figura 4.19, à medida que a freqüência cresce, a tensão de saída aumenta. Para um determinado valor de freqüência em que a reatância é desprezível comparada à resistência, a tensão de entrada é praticamente aplicada aos terminais do resistor. O circuito tende a impedir que baixas freqüências surjam na saída mas permite que altas freqüências passem da entrada para a saída. Portanto, este circuito RC é um filtro básico passa alta.

Figura 4.20: Resposta da tensão de saída à variação de

freqüência de filtro RC passa alta. A resposta em freqüência de um filtro passa-alta é mostrada na Figura 4.20 com o gráfico da magnitude da tensão de saída versus a freqüência. A curva resposta mostra que a saída aumenta quando a freqüência aumenta e então estabiliza-se aproximando-se da tensão de entrada.

VE VS

R~ C


4-21

Figura 4.21: Resposta de Filtro Passa Alta Ideal.

A relação entre tensão de saída VS e tensão de entrada VE é obtida aplicando a expressão de divisor de tensão:

S EC

RV VR jX

= ⋅−

(4.51)

Em que

1

1

S

CE

VXV jR

=−

(4.52)

A Eq. 4.52 define a função de transferência para o filtro RC passa baixa, i.e.:

( ) ( )1

1 1H

j RCω

ω=

− (4.53)

que caracteriza uma filtro passa alta de 1ª ordem (expoente de ω é -1). H(ω) em (4.53) é complexo e portanto tem uma magnitude e um ângulo, que definem, respectivamente, a magnitude e o ângulo de fase entre a tensão de saída e de entrada.

( )2

1

11VH G

RC

ω

ω

= =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.54)

( ) 1 CXH tgR

ω φ − ⎛ ⎞∠ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.55)


4-22

Os dois filtros que já se conhece (filtros RC passa-alta e passa-baixa) quando "acoplados" operam buscando obter uma região intermediária, a região da banda passante, com "ganho" e duas regiões de corte, uma para baixa, e outra para altas frequências.

Figura 4.22: Resposta de Filtro RC Ideal Passa Banda.

4.4.3.3 Freqüência de Corte e Largura de Faixa de um Filtro A freqüência que torna a reatância capacitiva igual à resistência em um filtro RC passa baixa ou passa alta é denominada de freqüência de corte e é designada por ωc. Esta condição é expressa como:

1

C

RCω=

⋅

Portanto 1

C RCω = (4.56)

ou 1

cω τ= (4.57)

em que τ representa a constante de tempo do circuito RC.

O ganho do circuito quando ω=ωc é igual a:

( ) 12c VH Gω = = (4.58)

uma vez que na frequência de corte Xc=R.

A Eq. 4.57 indica que para constantes de tempo altas a frequência de corte é pequena e para constantes de tempo baixas a frequência de corte é alta. Um modo de compreender estas relações causa-efeito é se voltar ao tempo que o capacitor leva


4-23

para se carregar. O capacitor leva um período de tempo para carregar e descarregar através do resistor:

− A baixas frequências (constante de tempo alta), existe muito tempo para que o capacitor se carrege até atingir praticamente a mesma tensão que a de entrada.

− A altas frequências, o capacitor tem tempo apenas para uma pequenas carga antes que as entradas invertam sua polaridade. A saída sobe e desce apenas uma pequena quantia de tempo com relação às subidas e descidas da entrada. A uma frequência dobrada, existe tempo apenas para que o capacitor se carregue metade do que poderia se carregar antes.

Como demonstra a Eq. 4.58, quando a freqüência é igual a ωC, a tensão de saída é 70,7% de seu valor máximo. É uma prática padronizada considerar a freqüência de corte como o limite do desempenho de um filtro em termos de freqüências passantes ou rejeitadas. Por exemplo, em um filtro passa-alta, todas as freqüências acima de fC ou ωc são consideradas passantes pelo filtro, e todas aquelas abaixo de fC ou ωc são consideradas serem rejeitadas. O contrário é verdadeiro para um filtro passa-baixa, ele atenua as freqüências acima de uma determinada freqüência de corte.

Figura 4.23: Resposta normalizada de um filtro RC passa-baixa.

A faixa de freqüências que é considerada passante por um filtro é chamada de faixa ou banda de passagem. A Figura 4.23 ilustra a banda e a freqüência de corte para um filtro passa-baixa.

fC

Largura de Banda


4-24

O circuito RC paralelo é geralmente de menor interesse que o circuito série. Isto ocorre em maior parte pelo fato de a tensão de saída Vout ser igual à tensão de entrada Vin. Como resultado, este circuito não atua como um filtro no sinal de entrada, a menos que este seja alimentado por uma fonte de corrente.

4.5 Circuitos RL Série A análise de circuitos RL e RC são similares. A maior diferença é que as respostas de ângulo de fase são opostas – reatância indutiva cresce com a freqüência, enquanto reatância capacitiva decresce com a freqüência. Como nos circuitos RC, todas as correntes e tensões em qualquer tipo de circuito RL são senoidais quando a tensão de entrada é senoidal. A indutância causa um deslocamento de fase entre a tensão e a corrente. Tanto a magnitude como o deslocamento de fase das tensões e correntes dependem dos valores relativos da resistência e da reatância indutiva. Quando um circuito é puramente indutivo, o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente total é 90º, com a corrente atrasada da tensão. Quando existe uma combinação de resistência e de reatância indutiva em um circuito, o ângulo de fase da corrente em relação à tensão fica situado entre 0o e -90º, dependendo dos valores de resistência e reatância. Vale lembrar que indutores reais apresentam resistência de enrolamento, capacitância entre as espiras, e outros fatores que tornam o comportamento do indutor diferente daquele de um componente ideal. Em circuitos práticos, esses efeitos podem ser significantes; entretanto, para demonstrar os efeitos indutivos, os indutores serão tratados como ideais.

4.5.1 Corrente e Tensão em um Circuito RL Série Em um circuito RL série, como o mostrado na Figura 4.24, a corrente que circula nos componentes do circuito é a mesma. Assim, a tensão no resistor está em fase com a corrente, e a tensão no indutor está adiantada da corrente de 90º. Portanto, existe uma diferença de fase de 90º entre a tensão no resistor, vR, e a tensão no indutor vL, como mostram as formas de onda na Figura 4.25.


4-25

Figura 4.24: Circuito RL série.

Figura 4.25: Formas de onda da corrente e tensão vR e vL.

Aplicando-se a Lei de Kirchhoff para as tensões, tem-se que a soma das quedas de tensão é igual à tensão aplicada. No domínio dos fasores, a tensão aplicada é igual à soma fasorial da tensão na resistência mais a tensão na reatância indutiva. Figura 4.26: Diagrama fasorial em um

circuito RL série.

VF=VR+jVL (4.59)

Na forma polar, a tensão é dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∠+= −

R

L12L

2RF V

VtgVVV (4.60)

O ângulo θ é a defasagem entre a tensão aplicada, VF, e a corrente I no circuito.

4.5.2 Impedância e Ângulo de Fase em Circuitos RL Série A impedância de um circuito RL série é determinada pela resistência e retância indutiva. A impedância de qualquer circuito RL é a oposição à corrente senoidal e sua unidade é o ohms (Ω).

I VR

VL VF

θ

R~

L VF

VR VL

I

i

vR vL


4-26

No circuito RL da Figura 4.26, a relação entre a tensão aplicada e a corrente que circula no circuito resulta na impedância do circuito.

θθ

∠=∠

∠Z

0IVF (4.61)

No Capítulo 3 foi visto que a reatância indutiva é expressa como uma grandeza complexa:

XL=jXL (4.62) Assim, a impedância é dada pela soma de R e jXL:

Z=R+jXL (4.63) Como a impedância é uma grandeza complexa, a representação no plano complexo leva à formação do triângulo de impedância. Figura 4.27: Triângulo de impedância.

2L

2 XRZ += (4.64)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

RXtg L1θ (4.65)

4.5.3 Variação da Impedância e Ângulo de Fase com a Freqüência O triângulo de impedância é útil para visualizar como a freqüência da fonte de alimentação afeta a resposta do circuito RL. Sabe-se que a reatância indutiva varia diretamente com a freqüência. Quando XL aumenta, a magnitude da impedância também aumenta; e quando XL diminui, a magnitude da impedância diminui. Assim, a magnitude da impedância é diretamente dependente da freqüência. O ângulo de fase θ também varia diretamente com a freqüência porque θ=tg-1(XL/R). Quando XL aumenta com a freqüência, θ também aumenta, e vice-versa.

R

XL Z

θ


4-27

Figura 4.28: Variação de XL, magnitude de Z e θ com a freqüência.

4.6 Circuito RL Paralelo A Figura 4.29 mostra um circuito RL paralelo conectado a uma fonte de tensão senoidal.

Figura 4.29: Circuito RL paralelo.

4.6.1 Relação entre Corrente e Tensão em Circuito RL Paralelo Como mostra o circuito RL paralelo da Figura 4.29, a corrente total, I, é dividida entre os dois ramais IR e IL. A tensão aplicada VF é a mesma nos terminais resistivos e reativo, assim, VF, VR e VL estão em fase e igual magnitude. A corrente através do resistor está em fase com a tensão. A corrente através do indutor está atrasada da tensão e da corrente no resistor de 90º. Figura 4.30: Diagrama fasorial das correntes em circuito RL paralelo.

I=IR-jIL (4.66)

2L

2R III += (4.67)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

R

L1

IItgθ (4.68)

A corrente total na forma polar:

θ1 θ2 θ3

R

Z1

Z2

Z3

XL1

XL2

XL3 f

R L VF IR IL ~

IR

I IL

-θ


4-28

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∠+= −

R

L12L

2R I

ItgIII (4.69)

Como a corrente no resistor e a tensão aplicada estão em fase, o ângulo θ também representa o ângulo de fase entre a corrente total e a tensão aplicada. Figura 4.31: Diagrama fasorial de corrente e tensão em circuito RL paralelo.

0FV

ZI

θθ

∠= ∠

∠− (4.70)

ou

Y0V

I

F

=∠

−∠ θ (4.71)

Com base no diagrama fasorial da Figura 4.31, a corrente total I pode ainda ser obtida pela relação:

0VX1j

R1

0V90X

10V0R

1I

FL

LL

R

∠⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∠⋅∠

+∠⋅∠

=

(4.72)

Como visto no Capítulo 3, o recíproco da resistência é a condutância, e da reatância indutiva é a susceptância indutiva. Assim:

( ) 0VjBGI FL ∠⋅−= (4.73)

Como visto na seção 4.2, o coeficiente que relaciona corrente com tensão é denominado admitância cuja unidade é siemens (S).

Y=G-jBL (4.74) A admitância de um circuito RL paralelo é formada por condutância e susceptância indutiva. O circuito da Figura 4.29 pode ser representado em termos de sua admitância como mostra a Figura 4.32.

IR

I IL

-θ VF, VR, VL


4-29

Figura 4.32: Admitância em circuito RL paralelo. Como a impedância é o inverso da admitância, tem-se que a impedância equivalente série do circuito da Figura 4.32 é dada por:

LjBG1

Y1Z

−== (4.75)

2L

2L

2L

2 BGB

jBG

GZ+

++

= (4.76)

em que

2L

2EQ BGGR+

= (4.77)

e

2L

2L

EQ,L BGB

X+

= (4.78)

Figura 4.33: Circuitos equivalentes A impedância equivalente pode ainda ser expressa em termos de R e XL do circuito RL paralelo.

2L

2

2L

2L

2

2

L

L

XRXj

XRR

jXRjXRZ

++

+=

+⋅

= (4.79)

em que

2L

2

L

XR

XRZ+

⋅= (4.80)

e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −

RXtg90 L1θ (4.81)

ou

G BL VF ~

G

Y BL

-θ

R XL VF ~

G BL VF ~

REQ

XL,EQ

VF ~


4-30

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

L

1

XRtgθ (4.82)

Assim

2L

2

2

EQ XRRR+

= (4.83)

e

2L

2

2L

EQ XRXX+

= (4.84)

4.7 Potência em Circuitos RL Em um circuito puramente resistivo, toda energia entregue pela fonte é dissipada pela resistência na forma de calor. Em um circuito puramente indutivo, toda a energia entregue pela fonte é armazenada pelo indutor em seu campo magnético durante parte do ciclo da tensão e então é devolvida à fonte durante outra parte do ciclo da tensão, de tal maneira que não há conversão de energia. Quando em um circuito existe a presença de ambos, resistor e indutor, parte da energia oscila entre o componente armazenador de energia e a fonte e outra parte da energia é convertida em calor. O valor da energia convertida em calor depende dos valores relativos de resistência e de reatância indutiva.

Figura 4.34: Potência total, potência no resistor e potência no indutor.

4.7.1 Triângulo de Potência em Circuitos RL Como visto nas seções 4.5.1 e 4.6.1, em um circuito RL a corrente total está atrasada da tensão resultante de um ângulo θ. Assim, tomando-se a tensão da fonte como referência angular, |V|∠0o e a corrente entregue pela fonte atrasada da tensão de um ângulo θ,

S

P

QL


4-31

|I|∠-θ, e considerando que potência é obtida pelo produto entre tensão e corrente, tem-se que:

( ) ( ) θθθ ∠=∠⋅=∠⋅∠=⋅= SIVI0VIVS * (4.85) A Equação 4.85 pode ser escrita na forma retangular:

cosS V I j V I senθ θ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (4.86) A potência média da potência útil é representada pela parte real e a potência reativa indutiva pela parte imaginária, e a potência total pela potência aparente complexa. Assim,

θcosSP ⋅= (4.87)

θsenSjQL ⋅= (4.88) e

θ∠=+= SjQPS L (4.89) O triângulo de potência é ilustrado na Figura 4.35.

Figura 4.35: Triângulo de potência de circuitos RL. Vale salientar que se a potência em um circuito fosse calculada simplesmente pelo produto da tensão e corrente (sem o conjugado), o sinal da potência reativa calculada dependeria da referência considerada, tensão ou corrente.

Tabela 4.1: Cálculo da potência complexa Circuito indutivo S=V.I S=V.I* Referência: Corrente V=|V|∠θ I=|I|∠0o

S=|V|.|I|∠+θ

S=|V|.|I|∠+θ

Referência: Tensão V=|V|∠0o I=|I|∠-θ

S=|V|.|I|∠-θ

S=|V|.|I|∠+θ

A mesma consideração mostrada na Tabela 4.1 ocorre para os circuitos RC.

S QL

P

θ


4-32

4.7.2 Fator de Potência de Deslocamento O fator de potência é um importante indicador da parcela de potência que é transferida à carga para realizar trabalho. O maior valor para o fator de potência de deslocamento é 1, o que indica que toda a corrente que alimenta a carga está em fase com a tensão. Quando o fator de potência de deslocamento é 0, toda a corrente de carga é defasada de 90º da tensão. Em geral, é desejável um FPD o mais próximo da unidade pois significa que a maioria da potência transferida da fonte para a carga é potência útil. Potência útil é unidirecional – direção fonte→carga – e realiza trabalho na carga em termos de conversão de energia. Potência reativa simplesmente oscila entre fonte e carga com um trabalho líquido nulo. Energia deve ser usada para produzir trabalho. Muitas cargas têm indutância como resultado da função que realizam, sendo essencial para sua operação, como por exemplo, transformadores, motores elétricos, alto-falante, etc.

Figura 4.36: Efeito do FPD sobre o sistema. Para ilustrar o efeito do fator de potência sobre o sistema, considere o exemplo mostrado na Figura 4.36. A figura mostra uma representação de uma carga indutiva típica que consiste de indutância e resistência em paralelo. As duas cargas dissipam a mesma potência útil (20 W), como indicado pelo Wattímetro. Portanto, a mesma quantidade de trabalho é realizado pela duas cargas. Embora o trabalho realizado seja o mesmo, a carga com o FPD mais baixo solicita da fonte uma maior quantidade de corrente do que a carga com maior FPD. Portanto, a fonte da carga de mais baixo FPD deve ter uma maior potência aparente nominal. Além disso, os condutores que alimentam a carga de menor FPD deve ter uma maior bitola, condição esta que se torna significante quando longas linhas são necessárias. A ilustração demonstra que um maior FPD é uma vantagem no fornecimento mais eficiente de potência a uma carga.

120 V

20 W 0,22A

~ Carga

FPD=0,75 ind

120 V

20 W 0,175A

~ Carga

FPD=0,95 ind


4-33

4.7.3 Correção de Fator de Potência de Deslocamento O fator de potência de deslocamento de uma carga pode ser aumentado pela adição de um capacitor em paralelo, como mostra a Figura 4.37. (a)

(b)

Figura 4.37: Melhoria do FPD com a adição de capacitor.

O capacitor compensa o defasamento em atraso da corrente total em relação à tensão aplicada criando uma componente capacitiva de corrente que é 180º defasada com a componente indutiva. Isto tem um efeito de compensação: reduz o ângulo de fase, aumenta o fator de potência de deslocamento e reduz a corrente total, como ilustrado na figura.

4.8 Aplicações de Circuitos RL As aplicações básicas de circuitos RL são como circuitos defasadores e circuitos seletores de freqüência.

4.8.1 Circuito RL Adiantado O circuito RL adiantado é um circuito defasador em que a tensão de saída está adiantada da tensão de entrada de um certo valor especificado. A Figura 4.38 mostra um circuito RL série com a tensão de saída Vs tomada sobre o indutor. A fonte de tensão é a entrada, VE. Note que um circuito RC adiantado, a saída foi tomada sobre o resistor; quando a saída é tomada sobre o capacitor o circuito RC série comporta-se como defasador atrasado.

R XL ~ VF

I

IL I

IR θ

IL

I’

IR θ

IC

~ R XL C

I’

VF


4-34

Figura 4.39: Circuito e diagrama fasorial RL adiantado. Sabe-se que θ é o ângulo entre a corrente e a tensão de entrada; θ é também o ângulo entre a tensão no resistor e a tensão de entrada, porque VR e I estão em fase. Como VL está adiantado de VR de 90º, o ângulo de fase entre a tensão no indutor (tensão de saída) e a tensão de entrada é a diferença entre 90º e θ, como mostra o diagrama fasorial da Figura 4.38. Assim, tem-se um circuito básico adiantado. Quando as formas de onda da entrada e da saída do circuito RL adiantado são mostradas no osciloscópio, verifica-se uma relação similar à vista na Figura 4.39.

Figura 4.39: Formas de onda da tensão de saída (adiantada)

e entrada (atrasada). A diferença de fase entre VE e VS, designada por φ, depende dos valores relativos de reatância indutiva e de resistência, bem como a magnitude da tensão de entrada.

( )9090L LL

s E E EL

X XjXV V V VR jX Z Z

θθ

∠= ⋅ = ⋅ = ⋅ ∠ −

+ ∠ (4.90)

A Equação 4.90 mostra que a tensão de saída está adiantada de um ângulo igual a (90º - θ) com relação à tensão de entrada. Como θ=tg-1(XL/R), o ângulo φ entre saída e entrada pode ser expresso como:

VS (VL) VE

VR θ

φ

R

L VE VS ~

VE

VS


4-35

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −

RXtg90 L1φ (4.91)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

L

1

XRtgφ (4.92)

O ângulo φ entre a saída e entrada é sempre positivo, indicando que a tensão de saída está adiantada da tensão de entrada. O adiantamento depende dos parâmetros R e XL; quando R=0 as tensão VS e VE ficam em fase, i.e., toda tensão de entrada está aplicada sobre o indutor. No entanto, quando XL→∞ o defasamento tende a 90º e o tempo correspondente depende da frequência do sinal. A magnitude de VS pode ser obtida considerando o circuito da Figura 4.38 como um divisor de tensão.

E2L

2

LS V

XR

XV ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+= (4.93)

A magnitude da tensão de saída pode também ser calculada pela Lei de Ohm.

IXV LS ⋅= (4.94) O fasor tensão de saída no circuito RL adiantado é então:

φ∠= SS VV (4.95)

4.8.2 Circuito RL Atrasado O circuito RL atrasado é um circuito defasador em que a tensão de saída está atrasada da tensão de entrada. Quando a saída de um circuito RL série é tomada sobre o resistor invés do indutor, como mostra a Figura 4.40, diz-se que o circuito é atrasado.


4-36

(a)

Figura 4.40: Circuito, diagrama fasorial e formas de onda. Em um circuito RL série, a corrente é atrasada da tensão de entrada. Como a tensão de saída é tomada sobre o resistor, a saída é atrasada da entrada, como indicado pelo diagrama fasorial da Figura 4.40. As formas de onda de VE e VS também são apresentadas na Figura 4.40 (c). Como em um circuito adiantado, a diferença de fase entre entrada e saída e a magnitude da tensão de saída dependem dos valores relativos de resistência e reatância indutiva. Quando a tensão de entrada é tomada como referência angular, |VE|∠0o, o ângulo φ da tensão de saída com relação à tensão de entrada é igual a -θ, porque a tensão no resistor (saída) e a corrente estão em fase.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −

RXtg L1φ (4.96)

O ângulo é negativo porque a saída está atrasada da entrada. A magnitude da tensão de saída é obtida por:

E2L

2S VXR

RV ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+= (4.97)

ou IRVS ⋅= (4.98)

A tensão de saída em forma polar:

φ−∠= SS VV (4.99)

R VE ~ VS L

VL VE

VS φ

VE VS

(b) (c)


4-37

4.8.3 Circuito RL como Filtro Como os circuitos RC, os circuitos RL série também apresentam a caracterísitca de seletividade em freqüência e portanto agem como filtros.

4.8.3.1 Filtro Passa-Baixa Um circuito RL série atrasado (saída sobre R) atua como um filtro passa-baixa com a magnitude e ângulo da tensão de saída variando com a freqüência.

Figura 4.41: Resposta em freqüência de filtro RL passa-baixa.

A relação entre tensão de saída e de entrada é dada por:

S ERV V

R j Lω= ⋅

+ (4.100)

com a função de transferência no domínio da frequência dada por:

( )

( )1

1

RHR j L

j L R

ωω

ω

=+

=+

(4.101)

resultando no ganho de tensão e de ângulo:

( )( )2

1

1VG H

L Rω

ω= =

+ (4.102)

( ) ( )1H tg L Rω ω−∠ = (4.103)


4-38

- Quando a freqüência do sinal de entrada é zero, o indutor atua como um curto-circuito a uma corrente cc, e a tensão de entrada é toda aplicada sobre o resistor, i.é., VS=VE. Portanto, o circuito deixa passar todo o sinal de entrada para a saída. Sob esta condição de ω=0, o ganho |H(ω)| é máximo. - À medida que a freqüência do sinal de entrada aumenta, a reatância indutiva cresce. Como a resistência é constante, a tensão nos terminais do indutor tende a crescer e a tensão nos terminais do resistor (saída) tende a decrescer, aproximando-se de zero quando a freqüência é muito alta. A freqüência pode ser acrescida até alcançar um valor em que a reatância é tão grande, comparada à resistência, que a tensão de saída torna-se desprezível em relação à tensão de entrada. Assim, |H(ω)| diminui quando ω cresce. Portanto, este circuito permite passar sinais de baixa frequência enquanto bloqueia sinais de alta frequência, i.e., reduz a amplitude da tensão de sinais de alta frequência. A referência que define "baixa" e "alta" frequências é dada pela frequência de corte – "baixa" frequências significando muito menor que ωc. Pela Figura 4.41 é visto que freqüências baixas passam através do circuito com muito mais facilidade que freqüências mais altas. Na frequência de corte:

( )( )2

1 121

c

c

HL R

ωω

= =+

(4.104)

De modo que,

( )21 2c

c

L RRL

ω

ω

+ = ∴

= (4.105)

4.8.3.2 Filtro Passa-Alta Em um filtro RL passa-alta, a saída é tomada sobre o indutor. Quando a tensão de entrada é CC, a saída é nula porque o indutor apresenta-se como um curto-circuito. À medida que a freqüência do sinal de entrada aumenta, a reatância indutiva cresce. Como a


4-39

resistência é constante, a tensão nos terminais do resistor diminui com o aumento da freqüência e a tensão de saída (no indutor) aumenta. Ou seja, a tensão de saída cresce com o aumento da freqüência. Para um determinado valor de freqüência, a reatância indutiva é tão grande, comparada à resistência, a ponto de uma completa transferência do sinal de entrada para a saída.

Figura 4.42: Resposta em freqüência de filtro RL passa-alta.

O circuito RL com saída sobre o indutor tende a bloquear os sinais de baixa freqüência e tendem a deixar passar para a saída os sinais de alta freqüência. A resposta em freqüência do filtro RL passa-alta é mostrada na Figura 4.42. Na Figura 4.43 é apresenta a resposta em freqüência do filtro pass-baixa e do filtro passa-alta. O ponto de interseção das curvas corresponde à freqüência de corte em que a tensão de saída é igual a 70,7% da tensão de entrada.


4-40

Figura 4.43: Resposta em freqüência de filtro RL passa-baixa e passa-alta.

Quando as freqüências de corte não coincidem, então o filtro pode ser classificado como passa faixa ou rejeita faixa. Nestes casos, cada um dos filtros apresenta duas freqüências de corte.

Figura 4.44: Resposta em freqüência de filtro passa-faixa e rejeita-faixa ideais.

4.9 Circuitos RLC Um circuito RLC contém ambos, indutância e capacitância. Como a reatância indutiva e capacitiva têm efeitos opostos no ângulo de fase de um circuito, a reatância total é menor do que a maior reatância individual.

4.9.1 Circuito RLC Série Como visto anteriormente, a reatância indutiva (XL) causa um atraso na corrente em relação à tensão aplicada. A reatância capacitiva (XC) apresenta o efeito oposto, i.é., adianta a corrente em relação à tensão. Assim XL e XC tendem contrabalançar uma a outra. Quando são iguais, se anulam, e a reatância total é zero. A reatância total de um circuito série é então:

fC

7,07V


4-41

CLT jXjXX −= (4.106) Quando XL>XC, o circuito é predominantemente indutivo, neste caso embora haja a presença de ambos componentes reativos, a corrente do circuito é atrasada em relação à tensão aplicada. Quando XC>XL, o circuito é predominantemente capacitivo, e por sua vez, a corrente do circuito é adiantada da tensão aplicada. Seja o circuito RLC série mostrado na Figura 4.45 e suas formas de onda de tensão em cada um dos componentes do circuito, vR, vL e vC mostradas na Figura 4.46.

Figura 4.45: Circuito RLC série.

Figura 4.46: Tensão sobre resistor, indutor e capacitor em circuito RLC série. A Figura 4.46 mostra que a tensão no indutor e no capacitor estão em oposição de fase, i.é., defasadas de 180º. As curvas mostram ainda que a tensão no indutor está adiantada da tensão no resistor que, por sua vez, está adiantada da tensão no capacitor. Pela Lei de Kirchhoff aplicada às tensões tem-se que:

CLR jVjVVV −+= (4.107) Como a corrente é a mesma em todos os componentes do circuito RLC série, a Equação 4.107 pode ser re-escrita como:

vR vL

vC


4-42

CL jXjXRZ −+= (4.108)

A representação fasorial da Equação 4.107 e 4.108 mostra que a tensão e a impedância formam triângulos semelhantes.

Figura 4.47: Triângulo das Componentes de Tensão e Impedância de Circuito RLC Série

A impedância total de um circuito RLC série expressa na forma polar:

( )

θ±∠=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±∠−+= −

ZR

XtgXXRZ T12CL

2

(4.109)

O diagrama fasorial para as tensões e impedância resultam em triângulos semelhantes. O ângulo da impedância total depende dos parâmetros do circuito e pode ser positivo ou negativo, o que equivale a um circuito predominantemente indutivo (corrente atrasada) ou capacitivo (corrente adiantada), respectivamente.

Figura 4.48: Diagrama fasorial de impedância para circuito RLC série.

Pela Figura 4.46, nota-se que a tensão sobre o indutor é maior que a tensão sobre o capacitor, denotando o fato de um circuito com característica resultante indutiva. A Figura 4.49 apresenta a condição de um circuito predominantemente indutivo, portanto, com a corrente atrasada da tensão aplicada.

θ

jXL

jXT

-jXC

Z

R -θ

jXL

-jXT

-jXC Z

R

⏐V⏐ ⏐VX⏐

⏐VR⏐

θ

(ωL –1/ωC)

R

θ

R LC

221

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ωω


4-43

Figura 4.49: Tensão e corrente em circuito RLC série.

Na Figura 4.49 tem-se os valores máximos subsequentes de (t, v) e (t, i) com os quais pode-se calcular o valor da impedância total do circuito.

Ω=== 61,417,2

10I

VZ

p

p (4.110)

O ângulo da impedância é obtido por:

360 t

TθΔ ≡

≡ ∴

( )

( ) 3,28360038806,0037496,060

360ttT1

iv

−=⋅−⋅=

⋅−⋅=θ (4.111)

O ângulo negativo, resultado da diferença de defasamento no tempo entre a onda de tensão e onda de corrente, denota uma corrente atrasada da tensão, ou seja, circuito predominantemente indutivo. Assim, a impedância total do circuito da Figura 4.43 é igual a Z=4,61∠28,3ºΩ. Pelo gráfico das ondas da Figura 4.49 é possível também calcular a freqüência da onda, basta conhecer, por exemplo, os tempos correspondentes a dois valores de pico subsequentes, a diferença entre os tempos corresponde à metade do período da onda.

v

i


4-44

minmax tt2T

−= (4.112)

max min

12

ft t

=⋅ −

(4.113)

1 60

2 0,037496 0,045837f Hz= ≅

⋅ −

4.9.1.1 Potência em Circuito RLC A potência entregue pela fonte ao circuito RLC com corrente

( )pi I sen tω ϕ= + e tensão ( )pv V sen tω ϕ θ= + ± é dada por: ( ) ( ) ( ) ( )t+ . t+ .cos sen cos t+p pp t V I sen senω ϕ ω ϕ θ θ ω ϕ⎡ ⎤= ± ⋅⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2cos t+ sen t+ cos t+

1 1cos 1 cos 2 t+ 2 t+2 2

cos 1 cos 2 t+ 2 t+

p p p p

p p p p

EF EF EF EF

p t V I sen V I sen

V I V I sen sen

V I V I sen sen

θ ω ϕ θ ω ϕ ω ϕ

θ ω ϕ θ ω ϕ

θ ω ϕ θ ω ϕ

= ⋅ ± ⋅ ⋅

⎡ ⎤= ⋅ − ± ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ − ± ⋅⎣ ⎦

(4.114)

As potências no circuito RLC série são mostradas na Figura 4.50. Nota-se que a potência instântanea útil P é composta por um termo constante VEF.IEF.cosθ que é a média da potência instantânea útil e por um termo alternado tornando-a unidirecional. A potência reativa Q é alternada, bidirecional, com média nula, e valor de pico igual a VEF.IEF.senθ.

Figura 4.50: Potência total, ativa, reativa indutiva e reativa capacitiva.

S P

QL QC


4-45

Pela figura nota-se ainda que a potência total, S, entregue ao circuito não é unidirecional, mas parte da potência entregue ao circuito é devolvida à fonte. A potência dissipada no resitor, P, é unidericional, no entanto, QL e QC são alternadas e fasorialmente opostas. Na figura, a potência reativa indutiva, QL, é maior que a potência reativa capacitiva, QC, o que imprime ao circuito uma caracterísitca predominantemente indutiva. Parte da potência absorvida pelo indutor é suprida pelo capacitor e o restante é suprida pela fonte. A Figura 4.51 mostra a potência suprida pela fonte (QL-QC) ao indutor, e a potência reativa suprida pelo capacitor (QC).

Figura 4.51: Compensação de potência reativa no circuito.

A presença de dispositivos reativos de ângulos de fase opostos contribui para a compensação de reativos no circuito, diminuindo a contribuição da fonte. O fator de potência de deslocamento do circuito da Figura 4.51 é menor do 1 e é atrasado. Considerações: − Em um circuito RLC série a tensão resultante está defasada de

θ em relação à corrente. − Se ωL > 1/ωC o circuito apresenta características indutivas, a

tensão estará adiantada de θ em relação à corrente, e o ângulo da impedância será positivo.

S P

QL QC

QL-QC


4-46

− Se ωL<1/ωC o circuito apresenta características capacitivas, a tensão estará atrasada de θ em relação à corrente, e o ângulo da impedância será negativo.

4.9.2 Circuito RLC Paralelo A Figura 4.52 mostra um circuito RLC paralelo.

Figura 4.52: Circuito RLC paralelo e o diagrama fasorial das correntes. A corrente total é dada pela soma fasorial da corrente em cada componente:

LCR jIjIII −+= (4.115) Dividindo a Equação 4.115 pela tensão, tem-se a admitância do circuito, i.é.,

90X1

90X1

0R1Y

CL −∠+

∠+

∠=

ou C LY G jB jB Y θ= + − = ∠∓ (4.116)

A impedância total do circuito pode ser calculada por:

( )LC BBjG1

Y1Z

−+==

Verifica-se, portanto, que:

θθ

∓∠=±∠

Y1Z (4.117)

isto é, quando o ângulo da impedância total é positivo, indica que o circuito é predominantemente indutivo e a corrente resultante está atrasada da tensão aplicada; nestas circunstâncias, o ângulo da admitância é negativo. Quando o ângulo da impedância total é

R XL VF XC ~ IR

jIC

-jIL IR

jIC

-jIL

ou


4-47

negativo, o ângulo da admitância é positivo por tratar-se de condição predominatemente capacitiva. A potência em um circuito RLC paralelo é calculada pela Equação 4.93 obtida para circuitos RLC série.

4.10 Fluxo de Potência Com a disseminação das fontes de geração distribuída torna-se importante e necessário o entendimento do sentido do fluxo de potência. Lembrando que potência últil e potência reativa são expressas como:

P=|V|.|I|.cos(θv-θi) (4.118) e

Q=|V|.|I|.sen(θv-θi) (4.119) Considere as seguintes condições de operação de um circuito. a) Ângulo de defasagem no 1o quadrante:

Figura 4.53: Potência ativa e reativa positiva.

Se θ está situado no primeiro quadrante, 0o ≤ θ ≤ 90º, a potência útil P e reativa Q são positivas. Significa dizer que há consumo de energia ativa e reativa indutiva. A corrente está atrasada da tensão. b) Ângulo de defasagem no 2o quadrante:

Fig.4.54: Potência ativa positiva e potência reativa negativa.

I

V

Circuito

P

Q

I

V P

Circuito

Q


4-48

Se θ está situado no 2o quadrante, 90o ≤ θ ≤ 180º, a potência útil P é negativa e a potência reativa Q é positiva. Significa dizer que o circuito exporta energia útil e consome potência reativa indutiva. Corrente atrasada da tensão. c) Ângulo de defasagem no 3o quadrante:

Figura 4.55: Potência ativa e reativa negativa.

Se θ está situado no 3o quadrante, 180o ≤ θ ≤ 270º, a potência útil P é negativa e a potência reativa Q é negativa. Significa dizer que o circuito exporta energia útil e energia reativa capacitiva. Corrente adiantada da tensão. d) Ângulo de defasagem no 4o quadrante:

Figura 4.56: Potência ativa positiva e potência reativa negativa.

Se θ está situado no 4o quadrante, 270o ≤ θ ≤ 360º, a potência útil P é positiva e a potência reativa Q é negativa. Significa dizer que o circuito importa ou absorve energia útil e fornece energia reativa capacitiva. Corrente adiantada da tensão. Note que para a condição de corrente atrasada da tensão ocorre sempre o consumo de potência reativa. A potência reativa consumida é indutiva e a ela é associada o sinal positivo. Por outro lado, para a condição de corrente adiantada da tensão a potência reativa é fornecida, e é considerada negativa. A potência útil, por sua vez, pode tanto ser consumida como fornecida. Quando a abertura angular entre tensão e corrente está compreendida entre -90º ≤ θ ≤ 90º, a potência útil é absorvida, e quando 90º ≤ θ ≤ 270º ocorre geração de potência útil.

I V

P

Circuito

Q

I

V

P

Circuito

Q


4-49

Figura 4.57: Fluxo de Potência. O fator de potência (P/|S|) para a condição de potência útil negativa (gerando) varia entre -1 e 0.

4.11 Transformadores Os transformadores são equipamentos normalmente usados na distribuição e transmissão de energia elétrica, em fontes eletronicas de potência e para acoplamento de sinais em sistemas de comunicação. A operação do transformador é baseada no princípio da indutância mútua, que ocorre quando duas ou mais bobinas são colocadas próximas uma das outras. Um transformador em geral tem duas bobinas denominadas de bobina de primário e bobina de secunário. Cada bobina tem um certo número de espiras, representada por Np e Ns, respectivamente. A bobina de primário é alimentada por uma fonte de tensão e à bobina de secudário é conectada a carga. A bobina do primário é acoplada eletromagneticamente à bobina do secundário através da indutância mútua. Como não há contato elétrico entre as duas bobinas magneticamente acopladas, a transferência de energia de uma bobina para outra se dá em uma situação de completa isolação elétrica.

4.11.1 Indutância Mútua Quando uma bobina alimentada por uma fonte c.a. é colocada próxima a uma outra bobina, um campo magnético variável causará uma força eletromotriz (f.e.m) induzida na segunda bobina devido ao fluxo variável que concatena as duas bobinas. Seja υp(t) a tensão aplicada à bobina do primário, em que Vp representa o valor eficaz de υp(t) e ω a freqüência angular da tensão.

( ) ( )tsenVt pp ωυ 2= (4.120)

P+ Q+

P- Q+

P+ Q-

P- Q-


4-50

Figura 4.58: Transformador de dois enrolamentos.

A corrente alternada ip(t) que alimenta a bobina de primário produz um fluxo magnético φ(t) cuja variação no tempo causa uma f.e.m. induzida nas bobinas de primário e de secundário, definidas como:

( )

( )tsenEdtdNte

p

pp

ω

φ

⋅−=

⋅−= (4.121)

( )

( )tsenEdtdNte

s

ss

ω

φ

⋅−=

⋅−= (4.122)

Re-escrevendo a variação do fluxo no tempo, tem-se que:

dtdiL

dtdi

did

dtd

⋅=

⋅=φφ

(4.123)

em que L representa a variação do fluxo com a corrente, definida como indutância. O valor da f.e.m induzida nas bobinas depende da indutancia mútua L entre as duas bobinas. A indutância mútua é estabelecida pela indutância de cada bobina (L1 e L2) e pelo coeficiente de acoplamento k entre as duas bobinas.

Lp Ls


4-51

Para maximizar o acoplamento, as duas bobinas são enroladas em um núcleo comum.

4.11.2 Coeficiente de Acoplamento O coeficiente de acoplamento k entre duas bobinas é a razão entre o fluxo magnético (linhas de força) produzido pela bobina do primário que concatena a bobina do secundário (φ) pelo fluxo total produzido pela bobina do primário (φp).

p

kφφ

= (4.124)

Note que k representa a parcela de fluxo que alcança a bobina do secundário do transformador. Quanto maior o valor de k maior é a tensão induzida na bobina do secundário para uma certa taxa de variação da corrente (freqüência) na bobina do primário. Observe que k é admensional. A unidade de fluxo magnético é weber (Wb). O coeficiente de acoplamento depende da proximidade física das bobinas e do tipo de material do núcleo sobre o qual as bobinas estão enroladas. A construção e a forma do núcleo também têm influência sobre k.

4.11.3 Indutância Mútua Como mencionado anteriormente, os três fatores que têm influência sobre a indutância mútua L são: coeficiente de acoplamento k, e as indutâncias prórpias L1 e L2, e estão relacionados por:

1 2L k L L= (4.125)

4.11.4 Tipos de Transformadores Os elementos básicos de um transformador são as bobinas e o núcleo. A bobina de primário é a bobina de entrada e a bobina de secundário é a bobina de saída. O núcleo de um transformador provê a estrutura física para colocação das bobinas e o caminho magnético de modo que as linhas de fluxo magnético são concentradas proximas às bobinas.


4-52

Existem em geral três categorias de mateial de núcleo: ar, ferrite (material cerâmico com propriedades eletromagnéticas) e ferro. Transformadores de núcleo de ar e núcleo de ferrite geralmente são usados para aplicações em alta freqüência. O condutor das bobinas é recoberto de verniz para evitar curto-circuito entre as espiras. A intensidade do acoplamento magnético entre os enrolamentos de primário e secundário é definido pelo tipo de material do núcleo e pela posição relativa das bobinas. A maioria dos transformadores com núcleo de ferro tem alto coeficiente de acoplamento (maior que 0,99), enquanto que núcleo de ferrite e de ar têm menor valor. Quando as bobinas são sepadas uma da outra o acoplamento é fraco, e quando são sobrepostas o acoplamento é forte. Quanto maior o acoplamento, maior a tensão induzida no secundário para uma dada corrente no primário. Os transformadores com núcleo de ferro, em geral, são usados para freqüência de áudio e aplicações de potência. Esses transformadores consistem de enrolamentos em um núcleo construído de lâminas de material ferromagnético isoladas uma das outras por uma camada de verniz. Esta construção proporciona um fácil caminho para o fluxo magnético e aumenta o acoplamento entre as bobinas. As configurações básicas de transformadores de núcleo de ferro são de núcleo envolvido, em que cada bobina é colocada em pernas separadas do núcleo, e núcleo tipo concha, em que as duas bobinas estão na mesma perna do núcleo.

4.11.5 Relação de Espiras Um parâmetro de transformador que é muito importante para entender como opera um transformador é a relação de espiras. A relação de espiras é definida como o número de espiras (voltas) na bobina de primário (Np) em relação ao número de espiras da bobina de secundário (Ns).

s

p

NN

a = (4.126)

Vale salientar que não existe uniformidade na definição de relaão de espiras de um transformador, podendo ser definida como acima bem como pela relação entre número de espiras do secundário pelo número de espiras do primário. As duas definições estão


4-53

corretas desde que usadas consistentemente. A relação de espiras de um transformador não é dada nas especificações de um tranformador. Em geral, as tensões de entrada e de saída e a potência nominal são especificadas. No entanto, a relação de espiras é útil para estudar o princípio de operação de um transformador.

4.11.6 Direção dos Enrolamentos Um outro importante parâmetro de um transformador é a direção em que os enrolamentos são colocados em torno do núcleo. A direção dos enrolamentos determina a polaridade da tensão através do enrolamento secundário com relação à tensão através

do enrolamento primário. Pontos (.) são usados como símbolos para indicar polaridades (+).

Figura 4.59: Polaridade das bobinas.

4.11.7 Transformadores Elevadores e Abaixadores Um transformador em que a tensão de secundário é maior do que a tensão de primário é dito ser transformador elevador. Ao contrário, quando a tensão de secundário é menor do que a tensão de primário, o transformador é dito ser abaixador.


4-54

Pela relação entre as Equações 4.121 e 4.122 verifca-se que a razão da tensão de primário pela tensão de secundário é igual à relação de espiras.

s

p

s

p

NN

EE

= (4.127)

Desta relação tem-se que:

ppp

ss E

aE

NNE ⋅=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1 (4.128)

Figura 4.60: Transformador abaixador.

A relação de transformação de um elevador elevador é menor do que 1 e a de um transformador abaixador é maior do que 1.

4.11.8 Carga no Secundário Quando uma carga é conectada ao enrolamento secundário de um transformador, circulará uma corrente através da carga. Em um transformador ideal a potência aparente de primário, Sp, é igual à potência aparente de secundário, Ss. Isto significa que toda energia de primário é transferida ao secundário. Assim

**sssppp IESIES === (4.129)

A partir da Equação 4.126 e 4.129 tem-se que:


4-55

aNN

II

EE

s

p

p

s

s

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∗

(4.130)

ou

pps

ps IaI

NN

I ⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (4.131)

Sejam dois transformadores com relação de transformação 1:10 e 2:1, respectivamente. Se a corrente de primário em ambos transformadores é igual a 100 mA, qual a corrente de carga? No transformador com relação 1:10, a corrente através da carga é dada por:

mAINN

I ps

ps 10100

101

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

No transformador com relação 2:1, tem-se que a corrente de carga é:

mAINN

I ps

ps 200100

12

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Note que o transformador 1:10 é elevador (tensão) e sua corrente de secundário deve ser menor que a corrente de primário pela lei de conservação de energia. O transformador com relação de transformação 2:1, trata-se de um transformador abaixador (tensão) e, portanto, a corrente no secundário é maior que no primário.

4.11.9 Carga Refletida Do ponto de vista do circuito primário de um transformador, uma carga conectada através dos terminais da bobina do secundário parece ter uma impedância que não é necessariamente igual à impedância da carga quando no secundário. Sabe-se de 4.107 e 4.110 que:


4-56

ss

pp E

NN

E ⋅=

sp

sp I

NNI ⋅=

A relação Ep/Ip resulta em:

Ls

pp Z

NN

Z ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

(4.132)

A Equação 4.111 indica que a impedância da carga refletida para o primário é o quadrado da relação de transformação vezes a impedância da carga.

4.11.10 Casamento de Impedância Uma aplicação de transformadores é no casamento de uma impedância de carga à impedância de uma fonte a fim de obter-se a máxima transferência de potência. Em sistema de áudio, transformadores para casamento de impedância são freqüentemente usados para máxima transferência de potência do amplificador para o microfone. Na maioria das situações práticas, a impedância interna da fonte de vários tipos de fontes é fixa. De igual modo, em muitos casos, a impedância de um dispositivo que atua como uma carga é fixa e não pode ser alterada. Se uma dada fonte é conectada a uma dada carga pode-se usar a característica de impedância refletida de um transformador para fazer a impedância da carga parecer ter o mesmo valor da impedância da fonte. Considere uma resistência de entrada típica de um televisor como sendo 300Ω. Uma antena deve ser conectada à entrada da TV por um cabo para recepção do sinal de TV. Nesta situação a antena e o cabo agem como a fonte, e a resistência de entrada da TV é a carga. É comum para uma antena ter característica de impedância de 75Ω. Isto significa que a antena e o cabo parecem uma fonte de 75Ω. Assim, se a fonte de 75Ω é conectada diretamente à entrada da TV de 300Ω, uma máxima transferência de potência não será


4-57

entregue à entrada da TV, e a recepção do sinal da TV é pobre. A solução é então conectar um transformador casador de impedância a fim de casar a impedância de 300Ω da carga à impedância de 75Ω da fonte. Para casar a impedância, i.e., refletir a impedância da carga (ZL) para o primário do transformador para ter um valor igual à impedância interna da fonte, deve-se selecionar uma relação de transformação apropriada. A Equação 4.111 pode ser usada para calcular a relação de transformação necessária.

Ls

pp Z

NN

Z ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

21

30075

===L

p

ZZ

a

O que significa que o número de espiras do primário é a metade do número de espiras do secundário – transformador elevador. Referências [1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits, 6th Ed. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-095997-9.927p. [2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos, LTC, 6a Edição, 2003. [3] Kerchner, R.M., Corcoran,G.F., Circuitos de Corrente Alternada, Porto Alegre, Globo, 1973.

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