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ESTUDO DE LIGAES VIGA-PILAR EM ESTRUTURAS DECONCRETO ARMADO ATRAVS DO MTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS

Carla Wagner Matzenbacher, Amrico Campos Filho e Alexandre Rodrigues Pacheco

Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

Avenida Oswaldo Aranha, 99 3 andar, Porto Alegre, RS, Brasil, [email protected],http://www6.ufrgs.br/engcivil/ppgec

Palavras chave:Elementos finitos, Concreto Armado, Ns de prtico.

Resumo.O comportamento de ligaes viga-pilar em estruturas de concreto armando complexo eno est plenamente compreendido. Existe um nmero grande de variveis interagindo para definir a

capacidade resistente de um n e mesmo extensivos programas experimentais no tm sido suficientes

para cobrir todas as combinaes possveis. O objetivo deste artigo apresentar um modelo

computacional, baseado no mtodo dos elementos finitos, que permite simular o comportamento das

ligaes viga-pilar em estruturas de concreto armado. Os modelos constitutivos para os materiais so

considerados elastoplsticos. As barras de armadura so consideradas atravs de um modelo

incorporado. A fissurao do concreto representada atravs de um modelo de fissuras distribudas.Resultados do modelo computacional so comparados com valores experimentais disponveis,

mostrando o comportamento do diagrama carga-deslocamento e a distribuio das fissuras e tenses

ao longo de toda a viga. So apresentados resultados comparativos para 4 modelos ns de prtico

ensaiados por (W. Roeser,Zum Tragverhalten von Rahmenknoten aus Stahlbeton,(2002)).

Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9997-10016 (artculo completo)Eduardo Dvorkin, Marcela Goldschmit, Mario Storti (Eds.)

Buenos Aires, Argentina, 15-18 Noviembre 2010

Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

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1 INTRODUO

Com a evoluo dos computadores de grande capacidade de processamento, diversos

mtodos numricos tm sido desenvolvidos para o estudo do comportamento das estruturas deconcreto, possibilitando um exame mais detalhado das mesmas. O mtodo dos elementosfinitos seguramente o processo numrico que mais tem sido usado para este tipo de estudo.

Este trabalho apresenta as formulaes adotadas na elaborao de um programa numricode elementos finitos implementado em Fortran 90. O modelo numrico utilizado paraanlise de 4 modelos diferentes de ns de prtico e os resultados so comparados com osresultados experimentais obtidos por Roeser (2002). O programa possui um ps-processadorimplementado em Matlab que l os resultados obtidos para cada incremento de carga eapresenta em figuras de fcil visualizao.

Os ns de prtico so estruturas comumente utilizadas na engenharia civil. Esses nsrepresentam as ligaes viga-pilar nas mais diversas formas possveis. Segundo Paulay e

Priestley (1992) os ns podem ser classificados segundo as diferenas observadas nosmecanismos de ancoragem da armadura da viga, dividindo-os em dois grupos: externos(Figura 1 (a) a (f)) e internos (Figura 1 (g) a (j)). Nessas figuras as lajes no so desenhadas afim de facilitar a visualizao.

Figura 1: Geometrias usuais de ns (PAULAY E PRIESTLEY, 1992)

At os anos setenta pouca ateno era dada aos ns de prtico. Depois de avaliadas as

tenses nos membros adjacentes, a maioria dos projetistas no considerava a alterao dessascondies na regio nodal. Mesmo os ns que, frequentemente, tinham dimenses um pouco

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maiores do que os membros que unia, no eram considerados como um ponto crtico (Park ePaulay, 1975).

Georgoussis (1980) enumera as razes pelas quais as investigaes sobre os ns de prtico

em concreto armado foram adiante naquele momento. Mesmo com poucas informaesexperimentais disponveis, podia-se perceber que existia uma grande diferena entre aresistncia apresentada e a resistncia assumida para os ns de prtico quando determinadosdetalhamentos de armadura eram utilizados. O crescente uso de concreto de alta resistnciaresultava na utilizao de elementos cada vez mais delgados que produziam maiores forasconcentradas nos ns. O detalhamento dos ns exigia, ento, uma ateno particular paraassegurar o desempenho e diminuir os problemas construtivos. Identificou-se que os ns deconcreto armado deveriam ter uma ductilidade adequada para resistir s grandes deformaesprovenientes de carregamentos ssmicos.

Estas so as motivaes principais deste trabalho. Futuramente, o programa computacionalser utilizado para anlises diversas de ns de prtico, considerando-se o modelo de fissuras

distribudas e incorporadas. Estes resultados iro completar a dissertao de mestrado deMatzenbacher (2011).

2 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA O CONCRETO E PARA AARMADURA

2.1

Modelo de elementos finitos para o concreto

Para a modelagem do concreto, utilizou-se, neste trabalho, o elemento finitoisoparamtrico quadrangular sugerido por Owen e Hinton (1980). Este elemento finito possuioito ns e considerado um elemento da famlia Serendipity. Ele est ilustrado na Figura 2,tem dois graus de liberdade em cada n, correspondentes s translaes na direo dos eixosx-y, sistema global de coordenadas. Seu campo de deslocamento varia de forma quadrtica eseu campo de deformao linear.

Figura 2: Elemento isoparamtrico quadrangular

A matriz constitutiva elstica utilizada a matriz para o estado plano de tenso,apresentada na equao 1.

(1)

Onde E o mdulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson. As

coordenadas naturais e os fatores de peso dos pontos de integrao encontram-se em Owen eHinton (1977).

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2.2 Modelo de elementos finitos para a armadura

Para a representao da armadura, utilizou-se o modelo incorporado proposto por Elwi eHrudey (1989), onde se supe que esta resiste apenas a esforos axiais e que h

compatibilidade de deslocamentos entre seus pontos e os pontos de concreto localizados namesma posio. Desta forma, a matriz de rigidez da armadura tem a mesma dimenso damatriz de rigidez do elemento de concreto e a matriz de rigidez total a soma das duas.Permite-se, com este modelo, uma disposio arbitrria das barras de ao no interior doselementos de concreto, sem a gerao de novas incgnitas no problema. Podem ocorrer vriasbarras de ao dentro de um mesmo elemento finito de concreto. Admite-se, tambm,aderncia perfeita entre o concreto e o ao.

Os deslocamentos ao longo da barra de armadura so obtidos a partir dos deslocamentosnodais dos elementos de concreto correspondentes. A expresso final da matriz de rigidez,,do elemento resulta na equao 2.

(2)A varivel nb denota o nmero de segmentos de barra de armadura no interior do

elemento de concreto, a matriz de rigidez do concreto e a matriz de rigidez da barrade ao. A matriz de rigidez para cada barra de armadura expressa pela equao 3.

(3)Onde Es o mdulo de elasticidade longitudinal do ao, As a rea da seo transversal

da barra de armadura e Bs o vetor das relaes deformaes-deslocamentos para aarmadura.

As barras de armadura so representadas por elementos unidimensionais isoparamtricos,permitindo-se modelar barras retas e curvas. A geometria das barras retas fica definida pordois pontos, enquanto que, para barras curvas, so necessrios trs pontos.

3 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS

O material concreto estrutural comporta-se de uma maneira extremamente complexa,apresentando uma resposta altamente no-linear.

A Figura 3 ilustra as trs fases tpicas pelas quais passa um elemento de concretoestrutural, quando submetido a uma solicitao de flexo: a primeira, elstica-linear, com o

concreto no-fissurado; a segunda, onde aparecem as fissuras e a terceira, plstica.

Figura 3: diagrama carga-deslocamento tpico de um elemento de concreto estrutural



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3.1 Modelos constitutivos para o concreto

O modelo elasto-plstico, utilizado para descrever o comportamento do concretocomprimido, compe-se por um critrio de ruptura, por um critrio de plastificao e uma

regra de endurecimento.Admite-se, para o concreto no-fissurado, um comportamento isotrpico. Sua superfcie

de ruptura, f, pode ser expressa, em funo das tenses principais, , e , pela equao 4. (4)As tenses principais podem ser determinadas atravs da formulao apresentada por

Owen e Hinton (1980) que resulta na seguinte equao 5.

(5)

Com e .Neste trabalho, utilizou-se o critrio de ruptura, proposto por Ottosen (1977), o qual foiadotado pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 (1993) e dado pela equao 6. (6)

Onde a resistncia mdia compresso do concreto e:

(7)

Com calculado atravs da equao fornecida por Owen e Hinton (1980).Os quatro parmetros do modelo, , , c1e c2, so determinados (equao 10) conforme oCdigo Modelo CEB-FIP 1990 (1993), a partir da relao, k (equao 8), entre a resistnciamdia compresso uniaxial, fcm, e a resistncia mdia trao uniaxial, ftm(equao 9), doconcreto.

(8)Onde:

(9)

Assim, os parmetros do critrio de Ottosen so calculados por:

(10)

A Figura 4 apresenta a forma geral da superfcie de ruptura do concreto no espaotridimensional de tenses, podendo ser vista por seus meridianos e suas sees transversais.



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Figura 4: meridianos da superfcie de ruptura (esquerda) e sees transversais da superfcie de ruptura (direita)

A superfcie de plastificao adotada tem a mesma forma da superfcie de ruptura. Assim,

considerando-se a tenso efetiva obtm-se, a partir da equao 6 que define o critriode ruptura, a expresso 11 para as superfcies de plastificao. (11)

Considerando nula a tenso de plastificao inicial, o domnio plstico, onde o materialpossui um comportamento elasto-plstico com endurecimento, ocorre para valores de ,dentro do intervalo , conforme ilustrado na Figura 5.

Figura 5: superfcies de ruptura e de carregamento

A regra de endurecimento define a maneira pela qual as superfcies de plastificao semovimentam (superfcies de carregamento), durante a deformao plstica. determinadapela relao tenso-deformao plstica efetiva, onde, aplicando-se tais conceitos, possvelextrapolar os resultados de um simples ensaio uniaxial para uma situao multiaxial.

Neste trabalho, usou-se a curva tenso-deformao, proposta pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 (1993), para representar o comportamento do concreto, sob compresso uniaxial,cuja expresso apresentada na equao 12.

(12)



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A Figura 6 apresentada a seguir representa o diagrama tenso-deformao, para o concretocomprimido.

Figura 6: diagrama tenso-deformao para o concreto comprimido

No modelo implementado, considera-se plasticidade associada, por motivos prticos, jque h poucas evidncias experimentais disponveis para este fato, segundo Owen e Hinton(1980). Desta forma, dentro do domnio plstico, na relao tenso-deformao, o vetor defluxo plstico normal superfcie de plastificao.

O comportamento para o concreto tracionado foi modelado de acordo com os critriosapresentados a seguir. O critrio de ruptura de Ottosen foi empregado para se distinguir ocomportamento elstico da fratura trao. Para um ponto, no interior do elemento,previamente no-fissurado, as tenses principais e suas direes so avaliadas. Conforme o

critrio estabelecido pelo Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 (1993) e tomando-se 1 como atenso mxima principal, segue-se que:

- se 1ftm/2, o ponto de integrao fissurou;- se 1< ftm/2, o ponto de integrao esmagou.A fissura formada no plano ortogonal a 1. Aps isso, considera-se o concreto

ortotrpico, sendo desprezado o efeito de Poisson, conforme Hinton (1988), e os eixosmateriais locais coincidem com as direes das tenses principais.

A curva tenso-deformao para o concreto tracionado empregada em Seixas (2003) foiadotada neste trabalho. Esta curva composta por um ramo ascendente, que corresponde auma resposta elstica linear, e um ramo descendente, ps-fissura, que considera a degradao

linear da aderncia (Figura 7). A relao constitutiva expressa pela equao 13. (13)Nesta equao, o parmetro que define a inclinao do ramo linear descendente e

um parmetro que indica a deformao limite para a qual a colaborao do concreto entrefissuras no deve mais ser considerada. Neste trabalho, adotou-se para valores no intervalo e para foi adotado o intervalo .



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Figura 7: curva tenso-deformao para o concreto tracionado

Para o caso do fechamento total ou parcial da fissura, utiliza-se uma funo de descargarepresentada na Figura 7 atravs da equao 14. (14)

Assim como a tenso normal ao plano da fissura, a tenso paralela ao plano da fissuratambm sofre uma modificao. Nos modelos de fissura fixa, os mecanismos detransferncias de tenso de corte entre as fissuras podem ser aproximados, conforme sugereCervenka (1985), reduzindo-se o valor do mdulo de elasticidade transversal do concreto, G,

atravs de um fator que varia entre 0 e 1. Desta forma, o novo valor para o mdulo deelasticidade transversal, Gc, dado conforme a equao 15. (15)

Em diversas anlises, um valor constante foi atribudo a , mas o mais realista seriarelacion-lo com a deformao normal trao do concreto, t. Cervenka (1985) apresentou aseguinte frmula para , tambm utilizada por Hinton (1988), a qual foi adotada nestetrabalho conforme a equao 16.

(16)

Sendo k1um parmetro adotado com valor de 0,075.

3.2 Modelo constitutivo para a armadura

Nas estruturas de concreto estrutural, as barras de ao resistem, fundamentalmente, aesforos axiais. Deste modo, faz-se necessrio apenas um modelo uniaxial para descrever oseu comportamento.

No modelo computacional, implementou-se um diagrama tenso-deformao bi-linear doao. Considera-se o ao como um material elasto-plstico perfeito. Seu mdulo deelasticidade longitudinal, Es, uma varivel do problema. O material segue umcomportamento elstico-linear at atingir o valor da tenso de escoamento do ao, fy. A

Figura 8 ilustra o diagrama tenso-deformao adotado neste trabalho para representar ocomportamento das armaduras.



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Figura 8: diagrama tenso-deformao para as armaduras

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ANLISE DE NS DE PRTICO EM CONCRETO ARMADOO item apresentado a seguir mostra a anlise de ns de prtico de concreto armado. Os

resultados obtidos atravs do modelo computacional so comparados com os resultadosexperimentais apresentados por Roeser (2002). Neste trabalho so apresentados 4 casos, todoseles sendo ns externos.

As ligaes analisadas incluem alguns parmetros, como: a rigidez do concreto, odetalhamento da armadura e a relao da altura da viga em relao largura do pilar. Asprincipais caractersticas dos modelos esto apresentadas na Tabela 1e na Tabela 2.

ModeloSees transversais Concreto

(MPa)Viga (cm) Pilar (cm)RK2 30/15 24/15 57,4RK3 30/15 24/15 57,2RK5 30/15 20/15 54,9RK6 30/15 20/15 86,5

Tabela 1: propriedades das sees transversais e resistncia do concreto de cada n de prtico

ModeloArmaduras

Viga Pilar NLongit. Estribo Longit. Estribo Vertical Horizontal Diagonal

RK2 2.2 20 8 c/10 2.2 16 8 c/10 2 20 3 8 (gancho) 1 20RK3 2.2 20 8 c/10 2.2 16 8 c/10 2 16 4 10 (gancho) -RK5 2.2 25 10 c/10 2.2 16 8 c/7,5 2 16 4 10 (gancho) -RK6 2.2 25 10 c/10 2.2 16 8 c/7,5 2 16 4 10 (gancho) -

Tabela 2: propriedades das armaduras de cada n de prtico

A Figura 9 apresenta a geometria de cada ligao viga-pilar. Os pilares tem largura de24cm nos modelos RK2 e RK3, enquanto que os pilares dos modelos RK5 e RK6 possuemlargura de 20cm. Alm disso, estes pilares possuem geometria e distribuio de armadurasidnticas, mudando apenas a resistncia compresso de um n para o outro. As figuras noapresentam a distribuio dos estribos para simplificar a visualizao das demais armaduras.



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Figura 9: modelos de ns de prtico analisados

A Figura 10 apresenta o modelo de elementos finitos adotado para resolver os modelosnumericamente. A carga Np aplicada no incio do carregamento com um valor de 500kN.Depois se inicia a aplicao da carga P dividida em pequenos valores incrementais.

Figura 10: modelo de elementos finitos adotado

A seguir, so apresentados os resultados obtidos atravs do modelo computacional. AsFigura 11 e 12 mostram os resultados no diagrama de carga-deslocamento. Atravs destesgrficos pode-se estabelecer uma comparao entre os resultados numricos e experimentais.Em cada diagrama esto apresentados duas curvas e dois pontos. Cada ponto representa para

qual incremento da curva carga-deslocamento esto apresentados os valores de tensesnormais, as distribuies das fissuras e as tenses axiais na armadura (Figura 13 a 20). Oasterisco vermelho representa a abertura de fissura nas duas direes.

RK257,4 MPa

RK357,2 MPa

RK554,9 MPa

RK686,5 MPa

2x216

220

120

38 (gancho)

2x220 2x220 2x225

2x216 2x216

216 216

410 (gancho) 410 (gancho)

Np

P



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Figura 11: diagrama carga-deslocamento para o modelo RK2 (esquerda) e RK3 (direita)

Figura 12: diagrama carga-deslocamento para o modelo RK5 (esquerda) e RK6 (direita)



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Figura 13: resultados do modelo RK2 para o ponto P1

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Em todos os modelos, para as cargas intermedirias (pontos P1), as maiores tenses estona direo Y, devido aplicao da carga inicial Np no pilar. Nestes grficos pode-severificar tambm o surgimento das fissuras prximas ligao da viga com o pilar e,

consequentemente, o desenvolvimento de tenses de trao nas armaduras superiores da viga.Nos resultados correspondentes a carga de ruptura, as tenses em X possuem valorescorrespondentes plastificao do concreto, na parte inferior da ligao da viga com o pilar.Enquanto que as tenses na armadura superior da viga atingem o patamar de escoamento,seguindo-se a ruptura do n de prtico.

5 CONSIDERAES FINAIS

Os ns de prtico so estruturas muito complexas, pois existe uma grande quantidade devariveis interagindo na sua capacidade resistente do n. Os grficos apresentados nasanlises mostram com detalhes a complexidade do comportamento das ligaes, com odesenvolvimento das tenses no concreto e no ao atravs da fissurao.

6 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem CAPES Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de NvelSuperior e ao CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico oapoio para realizao desta pesquisa.

REFERENCES

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