2491-EstatBasica-Gabriela-20101126150417-A2

Universidade do Sul de Santa Catarina

UnisulVirtualPalhoça2005

Métodos Estatísticos

3ª edição

P-ME_Book.indb 1P-ME_Book.indb 1 22/7/2005 15:26:3522/7/2005 15:26:35

Ficha catalográfi ca elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

619.5D75 Dornelles Junior, Luiz Arthur

Métodos Estatísticos / Luiz Arthur Dornelles Junior ; Instrucional designer: Márcia Loch – 3. ed. rev. e atual Palhoça : UNISULVirtual, 2005.

236 p. : il. ; 28 cm.Inclui bibliografi a.

1. Estatística Matemática. I. Márcia Loch. II. Título.

UNISUL - Universidade do Sul de Santa Catarina

UnisulVirtual - Educação Superior a DistânciaRua João Pereira dos Santos, 303Palhoça – SC – 88130-475Fone: (48) 279-1542 e 279-1541 E-mail: [email protected]: www.virtual.unisul.br

Reitor UnisulGerson Luiz Joner da Silveira

Vice-Reitor e Pró-Reitor Acadêmico Sebastião Salésio Herdt

Pró-Reitor AdministrativoMarcus Vinícios Anátoles da Silva Ferreira

Diretor de Educação a DistânciaJoão Vianney

Diretora de GraduaçãoRegina Maria Gubert Ehrensperger

Diretor do Campus de Tubarão e Araranguá Valter Alves Schmitz Neto

Diretor do Campus da Grande Flori-anópolis e Norte da IlhaAilton Nazareno Soares

Equipe UnisulVirtual

Coordenação GeralJucimara Roesler

Coordenação dos CursosAdriano Sérgio da CunhaAna Luisa MüllbertAna Paula R. PachecoDiva Marília FlemmingElisa Flemming LuzItamar Pedro BevilaquaJanete Elza FelisbinoJucimara RoeslerLauro José BallockMauri Luiz Heerdt

Copyright © UnisulVirtual 2005

Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição

CréditosMauro Faccioni FilhoMauro Pacheco FerreiraNélio HerzmannOnei Tadeu DutraPatrícia AlbertonPatrícia PozzaRafael Pete! da Silva Raulino Jacó Brüning

Secretária ExecutivaViviane Schalata Martins

AdministraçãoRenato André LuzValmir Venício Inácio

Produção Industrial e LogísticaArthur Emmanuel F. SilveiraJeferson Cassiano Almeida da CostaMarcia Luz de Oliveira

Design Gráfi coCristiano Neri Gonçalves Ribeiro (coor-denador) Adriana Ferreira dos SantosAlex Sandro XavierHigor Ghisi LucianoPedro Paulo Alves TeixeiraRafael Pessi

Equipe Didático-PedagógicaAngelita Marçal FloresCarmen Maria Cipriani PandiniCarolina Hoeller da SilvaCristina Klipp de OliveiraDaniela Erani Monteiro WillDênia Falcão de BittencourtElisa Flemming LuzEnzo de Oliveira MoreiraFlavia Lumi MatuzawaMárcia LochPatrícia MeneghelTade-Ane de AmorimViviane Bastos

Monitoria e SuporteHarrison Laske (coordenador)Caroline BatistaTecnologia

Edison Rodrigo ValimGislane Frasson de Souza

Josiane Conceição LealRafael da Cunha LaraVanessa Francine Corrêa

Projetos CorporativosWanderlei Brasil

Secretaria de Ensino a DistânciaKarine Augusta Zanoni (secretária de ensino)Andreza da Rosa MazieroCarla Cristina SbardellaJames Marcel Silva RibeiroLamuniê Souza

TecnologiaOsmar de Oliveira Braz JúniorRodrigo de Barcelos MartinsSidnei Rodrigo Basei

Edição - Livro didático

Professor ConteudistaLuiz Arthur Dornelles

Design InstrucionalMárcia Loch

Ilustração CapaFernando Roberto Dias ZimmermannProjeto Gráfi coEquipe Unisul virtual

Diagramação Daniel Blass Higor Ghisi Luciano (atualização 2° ed.)

Revisão Ortográfi caSimone Rejane Martins



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Prezado(a)Aluno(a)A oferta de disciplinas a distância nos cursos presenciais está regulamentada pela Portaria do MEC 4.058/2004, que estabelece que Instituições de Ensino Superior poderão introduzir na organização curricular de seus cursos a ofer-ta de disciplinas que utilizem métodos semi-presenciais. A mesma portaria indica que até 20% da carga horária total do curso pode ser feita a distância, desde que a instituição ofereça esta alternativa para os alunos.

A Pró-Reitoria Acadêmica, através da UnisulVirtual e em cooperação com a Diretoria de Graduação, está co-locando a sua disposição disciplinas na modalidade semi-presencial, com o intuito de possibilitar mais uma estra-tégia de aprendizagem no decorrer de sua vida universi-tária.

Estudar a distância na UnisulVirtual signifi ca fazer parte de uma comunidade virtual de aprendizagem. Pela Internet você se comunica com os colegas e professores, faz perguntas, tira suas dúvidas e publica os trabalhos. Através dos materiais impressos você terá a disposição os conteúdos de sua disciplina e nos encontros presenciais terá possibilidade de interagir com os professores e colegas.

Desejamos à você um bom trabalho!

Prof. Sebastião Salésio Herdt, Pró-Reitor Acadêmico

Profa. Regina Ehrensperger, Diretoria de Graduação

Prof. João Vianney, Diretoria de Educação a Distância

Profa. Jucimara Roesler, Coordenação UnisulVirtual



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SumárioApresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Orientações para estudar a distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Palavras do Professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Plano de Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Unidade 1Introdução à Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Unidade 2Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Unidade 3Distribuição de freqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Unidade 4Representação gráfi ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Unidade 5Medidas de posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Unidade 6Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Unidade 7Cálculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Unidade 8Distribuições de probabilidades discreta e contínua . . . . . . 167Unidade 9Noções de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Para concluir o estudo da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Anexo 1Respostas e comentários das auto-avaliações . . . . . . . . . . . 209



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ApresentaçãoVocê está iniciando o estudo da disciplina Métodos

Estatísticos, na modalidade a distância, que integra o cur-rículo do seu curso de graduação na Unisul. Para isso, você recebeu este livro didático.

Este material foi elaborado visando uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente seleciona-dos e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância.

Por falar em distância, isso não signifi ca que você estará sozinho. Sua caminhada nesta disciplina é acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax ou Ambiente Virtual de Aprendizagem. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo.

Antes de começar o estudo da disciplina, leia com atenção o tutorial do Ambiente Virtual de Aprendizagem que está disponível. Conheça também o plano de ensino da disciplina e leia as orientações para estudar a distância, disponível nas próximas páginas.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual



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Orientações para estudar a distânciaVocê está realizando uma disciplina na modalidade de Educação a Distância. Diferente das aulas presenciais, na qual o professor e/ou a instituição é quem defi ne o crono-grama das aulas, na modalidade a distância, é o estudante o responsável pela organização do seu tempo de estudo e de elaboração das atividades previstas. Esta característica da modalidade traz muitas vantagens, pois você poderá estudar no momento mais propício. Contudo, a modali-dade também exige que você tenha disciplina e rigor nos estudos, já que não existem horários programados pela instituição.

Para ajudar, preparamos algumas orientações fundamentais.

Como obter êxito no estudo?

" leia e releia cada seção ou trecho que não tenha fi -cado claro para você;

" faça as atividades de auto-avaliação, que foram pensadas para reforçar a compreensão dos princi-pais conceitos e temas abordados em cada unidade;


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Unisul " Universidade do Sul de Santa Catarina

" evite passar para a unidade seguinte sem compreender o conteúdo da unidade em questão, este livro didático foi concebido para você acompanhar seqüencialmente os conteúdos;

" faça com suas palavras uma síntese de cada uma das unidades estudadas. Procure fazer esta atividade antes de ler a síntese elaborada pelo professor autor apresen-tada no livro didático. Compare a sua síntese com a do professor autor e verifi que se você destacou os mesmos pontos que ele;

" observe com atenção os objetivos de aprendizagem, apresentados no início de cada unidade. Eles são im-portantes indicadores para sua auto-avaliação. Ao fi m da cada unidade, retorne aos objetivos e procure iden-tifi car se os atingiu;

" acesse regularmente o Ambiente Virtual de Aprendi–zagem. Lá você encontra conteúdos e atividades com-plementares, as últimas notícias da disciplina, pode interagir com o professor tutor e com seus colegas da disciplina;

" procure o professor tutor sempre que sentir necessida-de de ajuda, ele é o seu facilitador no processo de ensi-no e aprendizagem. Estará disponível para orientá-lo e dirimir as dúvidas que surgirem durante esta jornada de estudo;

" procure também conversar com os seus colegas, tan-to pessoalmente, quanto via e-mail ou através do Ambiente Virtual de Aprendizagem.

Metodologia de Estudo-Aprendizagem

Esta disciplina está programada para você estudar as unida-des em seqüência crescente, pois existem informações rela-cionadas. Após receber o material didático impresso, o login e a senha do Ambiente Virtual de Aprendizagem, você po-derá iniciar a disciplina .


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UnisulVirtual

Para acompanhá-la, tenha por referência o cronograma pro-posto para a realização das atividades. No total, esperamos que você dedique cerca de 60 horas, divididas em quatro me-ses, para cumprir todas as atividades da disciplina. Os ma-teriais didáticos da disciplina são: livro e Ambiente Virtual de

Aprendizagem da UnisulVirtual, nos quais você pode acom-panhar a disciplina, interagir com os colegas e professor tutor e realizar as atividades propostas.

Sistema Tutorial

Educação a Distância não é sinônimo de solidão. Ao longo da disciplina você conta com um professor tutor especialista, que utilizará como meio de comunicação o fax e o Ambiente Virtual de Aprendizagem (internet). Caso você não possua acesso à internet em casa ou no trabalho, utilize os laborató-rios de informática da Unisul.

Para assuntos gerais administrativos e técnicos, você po-derá contar com o monitor que estará disponível durante o desenvolvimento da disciplina.

Recursos de Comunicação e Apoio

Na Educação a Distância, para que você alcance os objetivos de aprendizagem, é fundamental que você se comunique com os colegas e com os professores tutores. Sempre que precisar você pode entrar em contato também com a monitoria que fornece apoio e suporte técnico e administrativo. Para entrar em contato com o professor tutor ou com o monitor é muito simples, basta utilizar os seguintes recursos:

" Sistema on-line: é a comunicação que acontece atra-vés do computador ligado à internet. Utiliza recursos próprios do Ambiente Virtual de Aprendizagem da UnisulVirtual e sistema comum de e-mails.


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E-mail:[email protected]

URL: http://www.virtual.unisul.br

Fax0xx48 279-1541

Para acessar o Ambiente Virtual de Aprendizagem:

" URL: http://www.virtual.unisul.br

Para suporte on-line fora do Ambiente Virtual de Aprendizagem:

" E-mail: [email protected]

O fax é um meio de comunicação muito efi ciente para argu-mentar ou esclarecer um assunto. Além disso, é um recurso que facilmente se encontra.

" Fax: 0xx48 279-1541

Desejamos que você tenha muito êxito nesta disciplina!

Equipe UnisulVirtual.



Luiz Arthur Dornelles Júnior

Programa da disciplina

Unidade 1 Introdução à EstatísticaUnidade 2 Conceitos básicosUnidade 3 Distribuição de freqüênciasUnidade 4 Representação gráfi caUnidade 5 Medidas de posiçãoUnidade 6 Medidas de dispersãUnidade 7 Cálculo de probabilidadesUnidade 8 Distribuições de probabilidades

discreta e contínuaUnidade 9 Noções de amostragem



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Palavras doProfessorOlá! Bem-vindo(a) à disciplina de Métodos Estatísticos.

Dentro desta disciplina você irá estudar o que os profi ssio-nais e cientistas chamam de Estatística.

Tendo como base a matemática, esta disciplina trata da aplicação no cotidiano, em pesquisas e avaliações, de técnicas efi cientes para organizar e analisar dados e tomar decisões usando métodos quantitativos.

Não é objetivo desta disciplina formar estatísticos e, sim, profi ssionais com conhecimento técnico para realizar

análises e interpretação de dados, além de ter condições de argumentar, dar suporte e trocar idéias com outros profi s-sionais.

Desta forma, o esperado é que no fi nal da disciplina você tenha em suas mãos uma verdadeira “caixa com várias

ferramentas” para apoiar suas decisões. Sinta-se agora convidado a estudar para obter todas as

“ferramentas” que lhe serão apresentadas nesta disciplina, e cuide para ordenar as ferramentas na “caixa”, de modo a poder fazer uso delas quando for necessário.

Bons estudos!Professor Luiz Arthur Dornelles Jr.



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Plano de estudo

Objetivos da disciplina

" Investigar, observar, analisar e delinear conclusões, testando-as na solução de problemas, sob o olhar da Estatística.

" Entender fundamentos do cálculo de probabilidades e dos principais modelos de distribuições de proba-bilidades, bem como utilizar-se de técnicas de amos-tragem, para por meio destas estimar parâmetros.

Avaliação da disciplina

O processo de avaliação do aluno será feito durante a dis-ciplina com base em seu aproveitamento nas atividades de avaliação propostas. O aproveitamento será verifi cado pelo seu desempenho progressivo frente aos objetivos propos-tos no plano de ensino.

Veja como será este processo.

Atividades de avaliação a distância (obrigatórias)

Esta disciplina conta com atividades de avaliação a dis-tância, que você realiza no local que desejar (em casa, por exemplo) e as envia ao professor tutor na data estabele-cida no cronograma. As atividades são disponibilizadas somente no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Fique atento!


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Essas atividades devem ser enviadas, preferencialmente, via Ambiente Virtual de Aprendizagem. Mas, podem ser envia-das, também, por correio, fax ou e-mail do professor tutor.

Atividades de avaliação presenciais (obrigatórias)

São realizadas, ainda, duas provas presenciais, com data pre-vista no cronograma da disciplina. Estas avaliações são por escrito, englobam os conteúdos da disciplina e são arquivadas na Secretaria de Ensino da EaD.

As avaliações presencias são realizadas nos campi onde hou-ver alunos matriculados na disciplina.

Atividades de avaliação on-line (obrigatórias)

São atividades disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem, que podem ser: participação no fórum de discussão, elaboração de textos, entre outras.

Atividades de auto-avaliação

Objetivam complementar a aprendizagem e possibilitar a sua auto-avaliação. Encontram-se no livro didático, ao fi nal de cada unidade de estudo, e também podem estar no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Você não deve enviá-las ao pro-fessor tutor, pois é você mesmo quem deve analisar o seu de-sempenho, comparando suas respostas com os comentários e respostas disponbilizados no fi nal do livro didático.

Carga Horária

A carga horária total da disciplina é de 60 (sessenta) horas-aula, incluindo o processo de avaliação. Para termos de con-venção acadêmica, 01 (uma) hora-aula equivale a 50” (cin-qüenta minutos) hora-relógio.


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UnisulVirtual

Duração

O tempo previsto para duração da disciplina é 01 (um) se-mestre. Segue o mesmo calendário acadêmico proposto para o restante das disciplinas.

Cronograma de estudo

Fique atento ao cronograma de estudo, de entrega das ati-vidades e das datas da avaliação presencial. Ele está dispo-nível no Ambiente Virtual de Aprendizagem e no Plano de Ensino da disciplina.



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Introdução à Estatística! "!#! #$! %&''! '&"$(#!#( se torna mais complexa e sentimos a necessidade de realizar diferentes análises de nossa realidade. Nosso dia-a-dia coloca você à frente de uma infi nidade de informações e situações em que deve analisar as informações, organizá-las e analisá-las.

A realidade de qualquer ciência não é diferente. Para trabalhar em pesquisa, em avaliação, em teste, etc., neces-sitamos de “ferramentas” poderosas para poder acompa-nhar a evolução da sociedade e analisar situações e infor-mações, tirando o máximo proveito, podendo assim dar suporte a nossas decisões.

E por isso dizemos que a Estatística é um conjunto de “ferramentas” que quando bem empregadas, pode ser de grande utilidade.

1!Objetivos de aprendizagem" Compreender a Estatística como ciência.

" Conhecer a história da Estatística.

" Relacionar as divisões da Estatística.

" Identifi car o processo estatístico de pesquisa.

"Plano de estudoA seguir apresentam-se as seções que você irá estudar nesta unidade. Sugere-se que ao fi nal de cada uma delas, você use os quadros abaixo para assinalar seu progresso.

# Seção 1Como surgiu a Estatística?. . . . . . . . . . . . . 22

# Seção 2Como está dividida a Estatística? . . . . . . 25

# Seção 3Quais as fases do Método Estatístico?. . 26

Unidade


# Pág. 22

Métodos Estatísticos " Unidade 1 Introdução à Estatística

" Seção 1Como surgiu a Estatística?

)!*! "&%+("(* ! +$',-*$! #! (',!,.',$"! é importante que você compreenda antes o signifi cado da palavra e o seu conceito.

Para entender o conceito do que signifi ca este “estudo do estado”, acompanhe a seguir as defi nições sobre Estatística:

“A estatística é uma coleção de métodos para planejar experi-mentos, obter dados e organizá-los e, deles extrair conclusões”. (TRIOLA, 1999, p. 2)

“A estatística está interessada nos métodos científi cos para a co-leta, organização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como na obtenção de conclusões válidas e na tomada de deci-sões razoáveis, baseadas em tais análises”. (SPIEGEL, 1994, p. 1)

Você percebeu que as defi nições se assemelham e se completam?Agora sim, para entender melhor estes signifi cados, nada

como conhecer como surgiu a Estatística.

1.1. Quando a Estatística começou a ser aplicada?

Segundo os historiadores nos relatam, a história da Estatística se confunde com a história dos números.

Quando o homem se tornou sedentário, ou seja, parou de cir-cular em busca de alimentos e se fi xou em um lugar, começou a produzir seu próprio alimento. Plantava e criava animais. Então surgiu um problema, como controlar o número de ani-mais? Como controlar a colheita? Eles descobriram várias

!A palavra Estatística origina-se do latim e o seu radical, status, signifi ca estado. Sendo assim, a palavra estatística signi-fi ca o estudo do estado.


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Seção 1 " Como surgiu a Estatística

maneiras, sem usar os números, pois ainda não os conheciam, entre elas:

" pedrinhas em uma sacola;" marcas em um pedaço de madeira;" nós em uma corda.

Estas são técnicas de contagem rudimentares, mas foram efi cazes para o propósito que era controlar, por exemplo, o número de ovelhas.

Contar, enumerar e recensear sempre foi uma preocupação presente nas mais diversas culturas. É claro que as técnicas da época não podem ser comparadas às técnicas atuais, mas começava aí o delineamento das técnicas atuais.

Bem, quanto a Idade Antiga da civilização poderíamos enumerar muitas passagens interessantes, mas como marco do surgimento da Estatística enquanto ciência, passa-se di-reto para a Idade Moderna.

Na Idade Moderna, por volta do século /0$ em diante, surgem duas escolas de Estatística, as quais em síntese são apresentadas a seguir:

" Inglaterra: no século /0$ foi pensada como uma ciên-cia política, e no século /0$$, John Graunt foi a grande expressão em Estatística Demográfi ca, realizando um trabalho que relacionava nascimentos, casamentos e óbitos;

" Alemanha: no século /0$$$, Gottfried Achenwall foi o primeiro a usar o termo Estatística como é empre-gado hoje e, embora digam que já havia sido usado anteriormente, por esta razão ele é chamado o “pai da Estatística”.

Com o passar dos anos, com as novas pesquisas e descobertas, é que a Estatística criou forma e chegou ao que é nos dias de hoje.


# Pág. 24


A Estatística como ciência pode ser dita como bastante nova, foi ao longo dos últimos séculos (desde o século /0$), que os métodos estatísticos foram desenvolvidos como uma mistura de ciência, tecnologia e lógica para a solução e na investiga-ção de problemas em várias áreas do conhecimento humano.

!Hoje a Estatística é defi nida como: um conjunto de métodos científi cos para a coleta, na organização, na apre-sentação e na análise de dados, bem como, para a conclusão e a tomada de decisões baseadas em tais análises.


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Seção 2 " Como está dividida a Estatística?

" Seção 2Como está dividida a Estatística?

(1 ,(*1&' 2(*!$', ! (',!,.',$"! está dividida em duas partes bem defi nidas:

" Estatística indutiva: é aplicada quando é impossível re-alizar levantamentos com a totalidade dos objetos de uma pesquisa, ou por tempo, ou por economia, etc., somente uma parcela destes elementos são utilizados para realizar as observações. Partindo, neste caso, de uma parcela destes elementos, a Estatística indutiva estima valores, tira conclusões e realiza previsões so-bre a totalidade dos elementos em questão (método que se fundamenta na teoria da probabilidade) asso-ciando a uma margem de incerteza.

" Estatística descritiva: é aplicada quando você se depara com uma quantidade muito grande de dados e é bas-tante difícil tirar conclusões sobre o fenômeno que os mesmos descrevem. A Estatística Descritiva é usada para reduzir as informações até o ponto em que se possa interpretar tal fenômeno.

O objetivo da Estatística descritiva é observar fenômenos de mesma natureza, coletar, organizar, classifi car, apresentar, interpretar e analisar dados referentes ao fenômeno através de gráfi cos e tabelas, além de calcular medidas que permitam descrever o fenômeno.

Nossa disciplina aborda a Estatística

descritiva e uma parte da indutiva!


# Pág. 26


" Seção 3Quais as fases do método estatístico?

)!*! ! &3,(%45& #( *('67,!#&' "&%8$90($', que refl itam a realidade dos fatos, é necessário realizar uma pesquisa cui-dadosamente planejada.

Alguns passos precisam ser seguidos para que seja aplica-do o Método Estatístico e assim ser realizada uma boa pes-quisa. Para você começar a ter uma noção de quais são estes passos, acompanhe a lista a seguir:

" defi nição do problema;" planejamento;" coleta de dados;" crítica dos dados;" apuração dos dados;" apresentação dos dados;" análise e interpretação dos dados;" relatório fi nal e publicação.

Todas estas fases são realizadas cumprindo um processo de pes-quisa, o qual pode ser representa-do pela fi gura ao lado:

Nas próximas unidades, lem-bre do que já foi dito, você irá es-tudar como realizar os passos da Estatística Descritiva.

População Amostra

Produçãode dados

EstatísticaDescritiva

EstatísticaIndutiva

Característicaspopulacionais

Estudo da amostra• tabelas• gráficos• medidas

Característicasamostrais

FIGURA 1 - O processo da pesquisa

Adaptado do site http://alea-estp.ine.pt


Pág. 27 !

Seção 3 " Quais as fases do método estatístico?

Atividades de Auto-avaliação $Após você ter realizado uma leitura criteriosa da unidade, leia os enunciados e responda a questão apresentada a seguir.

1) A Estatística é uma ciência muito rica em detalhes. Muitas vezes é usada para distorção de informações e manipular opiniões. O material a seguir foi retirado do site http://www.esgb-antero-quental.rcts.pt/NMAT/estatistica.htm, em janeiro de 2003. Primeiro leia atentamente o texto “Cuidado com as Estatísticas”:

Cuidado com as Estatísticas

1º caso

Por vezes a Estatística pode originar alguns mal entendidos...

“No aviário do ti’ Januário D. Estatística dizia:

Uma galinha...

Coitadinha!... Põe ovo e meio por dia!”

2º caso:

Há, pois, que tomar muito cuidado para que não sejamos iludidos com alguns dados que nos poderão ser fornecidos de maneira tendenciosa.

Imaginemos a seguinte situação: a empresa X Ltda. apre-sentou um gráfi co de barras representando número de casas que construiu de 1996 a 1999.

Aparentemente, o número de casas construídas em 1997 é o triplo do de 1996 e o de 1998 é cinco vezes maior.

Mas será mesmo verdade? Note-se que a escala começa em 400...Se você comparar com o gráfi co seguinte verá que afi nal

as coisas não foram bem assim... Cuidado!!!!!!!


# Pág. 28

Após você refl etir sobre os casos apresentados, escreva a seguir sobre o que entendeu de cada caso. Fique a vontade para usar exemplos de seu cotidiano.

"Síntese da unidade

Nesta unidade você estudou de forma breve a história e as aplicações da Esta-tística. Pôde estudar alguns conceitos desta ciência, bem como as suas divi-sões. Também conheceu quais são as etapas do processo de uma pesquisa para que se possa alcançar um resul-tado fi el, que traduza a realidade. Para continuar nosso estudo, é necessário que conheça alguns concei-tos e algumas normas dentro da Estatística, o que você poderá observar na próxima unidade.

# Para Pesquisar

Você quer saber mais sobre a história da Estatística?

Acesse os sites:

" http://www.amostraestatistica.hpg.ig.com.br/historia.htm

" http://www.natalest.hpg.ig.com.br/historia.html

" http://www.estatisticapr.hpg.ig.com.br/historia.html

" http://www.esgb-antero-quental.rcts.



Pág. 29 !

2!Objetivos de aprendizagem" Compreender conceitos dentro da Esta-

tística e suas fi nalidades.

" Identifi car métodos de arredondamento, propriedades de somatórios, bem como suas operações.


# Seção 1O que é população e amostra? . . . . . . . . 30

# Seção 2Quais os conceitos básicos da Estatística? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

# Seção 3O que são séries estatísticas? . . . . . . . . . . 39

# Seção 4Como fazer o arredondamento dos dados?. . . . . . . . . . 43

# Seção 5Noções de somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Unidade

Conceitos básicos%(',! 6%$#!#( 0&": $*9 "&%+("(* alguns conceitos importantes para a Estatística, e também terá contato com algumas normas usadas para tratamento de dados. Assim, conforme a metáfora utilizada na apresentação, você esta-rá se apropriando de mais algumas “ferramentas para colo-

car na sua caixa”.


# Pág. 30

Métodos Estatísticos " Unidade 2 Conceitos básicos

" Seção 1O que é população e amostra?

;6!%#& 0&": )*()!*! 61 !7$1(%,& pode provar (ob-servar) uma pequena porção deste alimento. Ao realizar isto você está fazendo o processo de amostragem, ou seja, extraindo do todo (população) uma parte (amostra), com o propósito de inferir (avaliarmos) sobre a qualidade de todo o alimento.

Sob este ponto de vista, pode-se dizer que:

População é o conjunto total de elementos com pelo menos uma característica em comum, cujo comportamento interessa estudar.Notação:N = Número de elementos da população (tamanho da população)

Amostra é o conjunto de elementos ou observações, recolhi-dos a partir de um subconjunto da população, que se estuda com o objetivo de tirar conclusões para a população de onde foi recolhida.Notação:n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra)

A defi nição dos elementos que serão estudados está ligada diretamente às características levantadas no objetivo da pes-

quisa, ou seja, é este objetivo que auxiliará na defi nição desta população.

Estes elementos podem ser:

" animados - por exemplo: pessoas, animais, etc." inanimados - por exemplo: objetos, móveis, utensílios,

etc.

AMOSTRAGEM

POPULAÇÃOAMOSTRA


Pág. 31 !

Seção 1 " O que é População e Amostra?

A população, quanto ao número de elementos, pode ser:

" fi nita: quando tem um número limitado de elementos (ex.: número de pacientes, número de cobaias, etc.);

" infi nita: quando tem um número ilimitado de elemen-tos (ex.: número possível de análises de um rio poluí-do, etc.).

Exemplos de defi nição de população.

a) Ao estudar a idade e o sexo de moradores do bairro “A”, para defi nir a população devemos considerar: to-dos os moradores desse bairro.

b) Ao estudar o desempenho de adolescentes da escola “B” em uma avaliação psicológica, para defi nir a população devemos considerar: todos os adolescentes da escola.

Alguns conceitos do processo estatístico – população . . . . . . . . . . . . .

" Censo: é uma coleção de dados relativos a todos os ele-mentos de uma população.

" Parâmetro: usado para designar alguma característica descritiva dos elementos da população (percentagem, média, etc.).

Alguns conceitos do processo estatístico – amostra . . . . . . . . . . . . . . . .

" Estatística: característica descritiva dos elementos da amostra (percentagem, média, etc.);

" Estimativa: é o valor assumido por uma certa Estatística (ex.: 60% é o valor de estimativa do referido parâmetro);

" Estimação: é uma avaliação indireta de um parâme-tro, com base em uma estimativa, na qual utilizamos o cálculo de probabilidades;


# Pág. 32


" Erro amostral: diferença entre o valor de uma estatística (a ser calculada a partir de uma amostra de n elemen-tos) e o verdadeiro valor do parâmetro (característica de uma população de N elementos).

Amostragem

Por que usar amostragem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %O uso da amostragem é vantajoso por trazer:

" economia: é mais econômico o levantamento de so-mente uma parte da população, muitas vezes pelo custo do próprio levantamento e também por não ser mais possível recuperar elementos da população;

" tempo: em pouco tempo pode-se pesquisar uma amos-tra, ao contrário de uma população;

" confi abilidade: quando se pesquisa um número menor de elementos, pode-se dar mais atenção, evitando er-ros nas respostas.

Plano de amostragem

Para se fazer um plano de amostragem é preciso ter bem defi nidos:

" os objetivos da pesquisa;" a população a ser amostrada; bem como" estimar os parâmetros necessários para atingir os ob-

jetivos da pesquisa.


Pág. 33 !


No plano de amostragem deve ser defi nido como serão se-lecionados os elementos da população que farão parte da amostra.

Como fazer isso?

Por exemplo, você tem esta resposta ao lembrar que em época de campanha eleitoral quando um instituto de pesquisa faz uma pesquisa, ele tem que selecionar eleitores que representem as mais diversas camadas sociais, regiões, raças, etc., tor-nando assim a amostra representativa da popu-lação.

Formas de seleção dos elementos

Você poderá selecionar os elementos sob as seguintes formas:

" amostragem aleatória simples: este tipo de amostragem consiste em selecionar a amostra através de um sor-teio, sem restrição;

" amostragem sistemática: os elementos são escolhidos para formar a amostra por critério estabelecido a priori pelo pesquisador. Exemplo: em um bairro, fazer uma amostra sistemática com as casas terminadas pelo nú-mero 3;

" amostragem estratifi cada: é usada quando a população se apresenta dividida em grupos distintos. Por exem-plo, a comunidade de uma escola é dividida em profes-sor, servidor e aluno.

Na unidade 9, você poderá ver com mais detalhes estas for-mas de seleção dos elementos de uma amostra.

Dica!O objetivo da amostragem é fazer infe-rências, estimar e tirar conclusões a res-peito da população. Para que isto ocor-ra com certa precisão, é necessário que

a amostra represente a população, ou seja, é necessário

que apresente as mesmas carac-terísticas com relação ao objeto

de estudo, evitan-do assim resultados

tendenciosos.


# Pág. 34


Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e os enunciados citados nesta seção, responda as questões a seguir.

1) Escreva a diferença entre censo e estimação.

2) Ao escolher os elementos de uma amostra o que você deve considerar para que ela seja representativa? Por quê?


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" Seção 2Quais são os conceitos básicos da Estatística?

(%,*( &' "&%"($,&' 86%#!1(%,!$' da Estatística você precisa compreender:

A) O que são variáveis?

Variáveis são conjuntos de características que podem ser observadas e /ou medidas em cada elemento da população ou amostra, sob as mesmas condições.

Ao analisar uma determinada experiência, um fato ou um elemento, você pode verifi car que ele assume diferentes ca-racterísticas ou valores.

Estas características variam de elemento para elemento, por isto chamam-se de variáveis.

São tipos de variáveis:

" qualitativas: representam a informação que identifi -ca alguma qualidade, categoria ou característica, não suscetível de medida (não-numérica), mas de classifi -cação, assumindo várias modalidades. Como exemplo: estado civil – casado, solteiro, viúvo, divor-ciado; sexo – masculino e feminino; escolaridade – 1º grau, 2º grau, 3º grau.

As variáveis qualitativas estão divididas em:

" nominal: são dados caracterizados por rótulos ou categorias. Ex.: sexo, estado civil, cor dos olhos, etc;

$ Um bom exemploAo analisar o perfi l das pessoas, você pode verifi car algumas características como sexo, idade, salário, assiduidade, uso de drogas lícitas, etc.


# Pág. 36


" ordinal: são dados caracterizados por uma ordem, mas não podem ser diferenciados por valor numérico.Ex.: nível de escolaridade (1º, 2º e 3º graus), intensidade da dor (muito forte, forte, média, suave, muito suave);

" quantitativas: representam a informação resultante de características suscetíveis de serem medidas, se apre-sentam com diferentes intensidades. Como exemplo: idade – 19 anos, 20 anos, 35 anos; número de nascidos vivos – 10, 15, 22, 12, 14; peso – 55 Kg, 66 Kg, 71 Kg.

As variáveis quantitativas estão divididas em:

" variáveis discretas: ela pode assumir um conjunto constante discreto, ou seja, enumerável, fi nito de valores. Geralmente são expressos por valores in-teiros não negativos. Ex.: número de pacientes, quantidade de diagnósticos (observação: não se pode considerar meio paciente ou meio diagnóstico);

" variáveis contínuas: é a variável em que não conse-guimos enumerar seus possíveis resultados, por es-tes formarem um conjunto infi nito de valores, num intervalo de números reais. Ex.: peso, altura, temperatura, escore.

B) O que são dados estatísticos?

Dados estatísticos são medidas da presença de um determi-nado conjunto de valores de uma variável numa população ou amostra.

Os tipos de dados são:

" dados primários: quando são observados e/ou levanta-dos pelo próprio pesquisador ou organização que os tenha recolhido;

" dados secundários: quando são observados e/ou levan-tados por outra organização ou pesquisador.

% Para Refl etirDiferença entre as variáveis discreta e contínua:

Você, à noite ao ir deitar tem 1,65 m e desperta pela manhã com 1,70 m. Você cresce 5 cm de forma instantânea?

Não, você cresce aos poucos e entre 1,65 e 1,70 você tem infi nitas alturas. Para a variável discreta observamos que não é possível aumentar o número de pessoas de 22 para 22,57. Não po-demos aumentar em 0,57 pessoa. Só podemos aumentar em uma unidade.


Pág. 37 !

Seção 2 " Quais são os conceitos básicos da Estatística?

Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e nos enunciados citados nesta seção, responda as questões a seguir:

1) Como você pôde acompanhar, existem dois tipos de variáveis, a qualitativa, que está dividida em nominal e ordinária, e a quantitativa, que está dividida em con-tínua e discreta. Identifi que no seu dia-a-dia pelo me-nos um exemplo de cada uma destas variáveis e escreva na tabela abaixo:

Variável Exemplos

Qualitativa nominal:

Qualitativa ordinal:

Quantitativa discreta:

Quantitativa contínua:

2) Ao planejar uma pesquisa sobre uma determinada sín-drome, um pesquisador tem a intenção de usar um ques-tionário para a coleta de dados e, também, planeja fazer levantamento de dados no Ministério da Saúde, para que possa realizar comparativos. Como conseqüência disto, ele terá que trabalhar com dois tipos de dados: os resul-tantes dos questionários e os resultantes do levantamento no Ministério. Classifi que os dois tipos de dados.

Os dados coletados por meio de questionário são:

Os dados coletados no Ministério:


# Pág. 38


3) Classifi que cada uma das variáveis a seguir em quali-tativa nominal ou ordinal e, em quantitativa discreta ou contínua:

Descrição da variável Classifi cação3.1. altura:

3.2. idade do paciente:

3.3. sexo:

3.4. classe econômica:

3.5. estado civil:

3.6. qtde de cigarros por dia:

3.7. perímetro cefálico:

3.8. grau de instrução:

3.9. número de fi lhos:

3.10. endereço:

3.11. telefone:

3.12. número de alunos com defi ciência de atenção:

3.13. peso:

3.14. nacionalidade:

3.15. temperatura:

3.16. local de nascimento:


Pág. 39 !

Seção 3 " O que são séries estatísticas?

" Seção 3O que são séries estatísticas?

"&%8&*1( ! 0!*$!45& #&' (7(1(%,&' da série, é possível classifi cá-las em histórica (temporal), geográfi ca, específi ca e conjugada (ou mista). A seguir acompanhe em detalhe cada série.

a) Série temporal: identifi ca-se por descrever a variável no decorrer de um determinado período de tempo. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.

Ex.: nascidos vivos registrados segundo o ano do registro no Brasil

Anos Nº de nascidos198419851986

2.559.0382.619.6042.779.253

FONTE: IBGE

b) Série geográfi ca: identifi ca-se por descrever a variável considerando o fator geográfi co. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.

Ex.: mulheres de 10 anos ou mais de idade, total, que ti-veram fi lhos, que tiveram fi lhos nascidos vivos – Censo de 2000 - segundo as Mesorregiões:

Mesorregiões Mulheres de 10 anos ou mais de idade que tiveram fi lhos nascidos vivos

Grande Florianópolis 211.763Norte Catarinense 267.448Oeste Catarinense 297.814Serrana 106.025Sul Catarinense 224.287Vale do Itajaí 319.195

FONTE: IBGE

! Séries estatísticasÉ qualquer tabela que apresente a dis-tribuição de um conjunto de dados es-tatísticos em função da época, do local ou da espécie.


# Pág. 40


c) Série específi ca: o caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.

Ex.: pessoas de 10 anos ou mais de idade que viviam em companhia de cônjuge ou companheiro(a), por natureza da união, segundo as Mesorregiões – Santa Catarina – Censo de 2000.

Natureza da união Número de pessoas de 10 anos Casamento civil e religioso 1.666.621Só casamento civil 189.741Só casamento religioso 85.543União consensual 521.001

FONTE: IBGE

d) Séries conjugadas: também chamadas de tabelas de du-

pla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas or-dens de classifi cação: uma horizontal e outra vertical. Ex.: quantidade de mortes por acidente de trânsito em São Paulo, nos anos de 1997 e 1998.

Idade 1997 1998Até 10 anos 69 45De 10 a 19 anos 212 165De 20 a 49 anos 868 628De 50 anos e mais 382 287Idade Ignorada 51 40

FONTE: Folha de S. Paulo.

Observação: as séries conjugadas ainda podem ser geográfi co-temporal e geográfi co-específi ca.


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Seção 3 " O que são séries estatísticas?

Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e o enunciados citados nesta seção, responda as questões a seguir:

1) Classifi que as séries estatísticas a seguir.a) Pessoas de 10 anos ou mais de idade, por estado civil e

condição de convivência – Santa Catarina – Censo de 2000.

Mesorregiões

Estado civil

Casado(a)Desquitado(a) ou

separado(a) judicialmenteDivorciado(a) Viúvo(a) Solteiro(a)

Grande Florianópolis 267.867 18.697 16.779 28.224 333.974Norte Catarinense 380.222 21.098 13.630 38.037 379.194Oeste Catarinense 439.967 16.130 9.174 38.856 399.587Serrana 142.373 6.738 4.814 15.834 150.964Sul Catarinense 314.348 14.021 12.068 32.261 302.894Vale do Itajaí 443.839 25.825 20.433 46.595 439.800

FONTE: IBGE

b) Tempo de sono, em minutos, induzido em ratos por injeção intraperitonial de metohexital, na dosagem de 40 mg por quilo.

Tempo de sono Número ratos7 |--- 10 6

10 |--- 13 1013 |--- 16 1516|--- 19 1119 |--- 22 8

* Ratos da raça Wistar, machos, com 3 meses de vida

FONTE: Quick Cheese (Campinas, 1999)


# Pág. 42


c) Metabolismo basal (cal/dia) em adolescentes (dados fi ctícios).

Metabolismo Basal (cal/dia) Nº de adolescentes

910 |-- 989 3

989 |-- 1068 5

1068 |-- 1147 9

1147 |-- 1226 5

1226 |-- 1305 8

1305 |-- 1384 3

1384 |-- 1463 2FONTE: dados fi ctícios


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Seção 4 " Como fazer o arredondamento de dados?

" Seção 4Como fazer o arredondamento de dados?

;6!%,!' 0(<(', !& *(!7$<!* 61 "97"67&, nos deparamos com números que apresentam muitas casas decimais? Isto além de difi cultar o manuseio dos problemas, pode difi cultar a leitura.

As calculadoras científi cas vêm com uma função para o arredondamento automático, porém, muitas delas utilizam um sistema que não é o adotado pelas normas brasileiras.

No Brasil, o arredondamento de dados é normatizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografi a e Estatística), por uma resolução criada em 1966, sob o número 886/66 e por uma norma da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) de número NBR 5891 de dezembro de 1977.

Acompanhe a seguir quais características apresentam estas normas:

Quais são as formas de arredondamento? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %Ao arredondar números você deve analisar o algarismo se-guinte à casa adotada para fi xar. Não esqueça de somente analisar o algarismo seguinte e não realizar arredondamen-tos sucessivos.

Ao analisar o número para arredondar, você poderá en-contrar os seguintes casos:

a) o algarismo seguinte à casa que se quer adotar para arredondamento é 0, 1, 2, 3 ou 4 % neste caso o núme-


# Pág. 44


ro não se altera, há perda dos valores além da posição escolhida. Exemplo:

" arredondar para a primeira casa decimal: 158,4385 % 158,4 % há uma perda de 0,0385(analisar somente o algarismo 3);

" arredondar para a segunda casa decimal:24,1028 % 24,10 ou 24,1 % há uma perda de 0,0028 (analisar somente o algarismo 2);

b) o algarismo seguinte à casa que se quer adotar para arredondamento é 6, 7, 8 e 9 % neste caso o número fi -xado para arredondamento aumenta em uma unidade, se tem um ganho. Exemplo:

" arredondar para a 2a (segunda) casa decimal:158,4385 % 158,44 % há um ganho de 0,0015(analisar somente o algarismo 8);

" arredondar para a 3a (terceira) casa decimal:24,1029 % 24,103 % há um ganho de 0,0001(analisar somente o algarismo 9);

" arredondar para a 1a (primeira) casa decimal:67,97 % 68,0 % há um ganho de 0,03(analisar somente o algarismo 7);

c) o algarismo seguinte à casa que se quer adotar para arredondamento é 5 % o número fi xado para arredon-damento aumenta em uma unidade, neste caso, você pode encontrar duas possibilidades:

1) ao encontrar qualquer número diferente de zero nas posições seguintes a do 5, você deve aumentar uma unidade ao algarismo fi xado para arredondamento. Exemplo:

" arredondar para a 1a (primeira) casa decimal:67,75002 % 67,8 % há um ganho de 0,04998;


Pág. 45 !

Seção 4 " Como fazer o arredondamento de dados?

" arredondar para a 2a (segunda) casa decimal:24,1051 % 24,11 % há um ganho de 0,0049;

" arredondar para a 3a (terceira) casa decimal:158,438500001 % 158,439 % há um ganho de 0,000499999;

2) quando o 5 (cinco) for o último algarismo, ou seja, após este número só tem zero, se o número fi xado para arredondamento for par, ele se mantém e, se for ímpar, acrescenta-se uma unidade (fi ca com o par mais próxi-

mo). Exemplo:

" arredondar para a primeira casa decimal:67,75 % 67,8 % (7 é ímpar) há um ganho de 0,05;67,85 % 67,8 % (8 é par) há uma perda de 0,05;67,95 % 68,0 % (9 é ímpar) há um ganho de 0,05;

" arredondar para a terceira casa decimal:158,43550000 % 158,436 % (5 é ímpar)há um ganho de 0,0005;158,43650000 % 158,436 % (6 é par)há uma perda de 0,0005.

Observações Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Não faça arredondamentos sucessivos.

Exemplo: 254,34501, arredondando para a primeira casa deve-se somente analisar o segundo algarismo decimal, ou seja, o número arredondado é 254,3 e não 254,35 e fi nalmente 254,4.

2) Cuidado com as somas e arrendondamentos.

Exemplo: observe as somas dos números a seguir:

A primeira coluna foi somada sem arredondar e a segunda foi somada com os números já arredondados. Note que os valores fi nais fi caram diferentes e, mesmo que seja arre-dondada a soma da primeira, elas não fi carão iguais. Para que isto não aconteça, você deve compensar os ganhos e/ou as perdas para que no fi nal o resultado seja correto.

36,94 36,920,31 20,314,58 14,628,93 28,9

Soma 100,76 100,7


# Pág. 46



1. Use as técnicas de arredondamento para os números abaixo, seguindo o que se pede:

a) Para a segunda casa decimal: 41,368 =

1.589,9984 =

121,3333 =

5,665002 =

28,45500 =

b) Para a primeira casa decimal: 41,368 =

1.589,8984 =

121,3333 =

5,655002 =

28,4500001 =

82,95 =


Pág. 47 !

Seção 5 " Noções de somatório

" Seção 5Noções de somatório

!& !)7$"!* ! (',!,.',$"! ,*!3!7+!-'( com um número bas-tante grande de dados e, muitas vezes, se faz necessário indicar algumas operações como a adição, de forma mais simples.

E desta maneira muitas fórmulas são dadas de forma mais simples, como você pode acompanhar agora.

Para um conjunto de dados “x”, representa-se a soma de seus elementos da seguinte forma:

Seja x={x1, x2, x3, x4, ... xn} e a soma de seus elementos será:

Soma = x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn

ou pode-se usar a seguinte expressão:

Leia: somatório de x índice i, i variando de 1 até n, onde i é a posição do elemento do conjunto.

Exemplo:A soma dos elementos do conjunto x da posição 1 à posição 6

Acompanhe mais um exemplo:

Sendo x = {4, 5, 9}, se tem: x1=4 x2=5 e x3=9

! xi= x1 + x2 + x3 = 4 + 5 + 9 = 18

Aqui você lê: a soma de todos os elementos do conjunto x é ...

&

! (Letra grega maiúscula sigma) Denominado em matemática: somatório.

Obs!Quando se trata da soma de todos os elementos do conjunto, não é necessá-rio indicar os índices.

Veja como fi ca: ! xi


# Pág. 48


Propriedades

Como em muitas operações matemáticas, você poderá obser-var que existem propriedades. Veja a seguir algumas.

Como proceder quando você se deparar com um somatório de uma constante? . . . . . . . %Por convenção essa constante é chamada de “c”.

Exemplo:

Note que o somatório de quatro (4), dos elementos da posi-ção 1 a 3, é o mesmo que 4 + 4 + 4, ou seja, 3 vezes 4, resul-tando 12 (n.c).

O que quer dizer isso?

Quer dizer que você deverá somar três vezes o número qua-tro (em termos matemáticos, o dito é que soma-se “n” vezes a constante “c”).

Como proceder quando você encontrar o somatório de uma constante “c” multiplicada por uma variável? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %Sendo ‘c’ uma constante qualquer e ‘xi’ a variável.

Exemplo:

sendo x={1, 3, 5} calcule

A constante ‘2’ multiplica cada um dos elementos do conjun-to. Veja como fazer isso:

= 2·1 + 2·3 + 2·5 = 2·(1 + 3 + 5) = 2·9 = 18

Note que foi multiplicado por dois, cada um dos elementos do conjunto (1, 3, 5) e após, como costumam dizer, “coloca-mos em evidência” o número comum a todos (2).

No passo seguinte, soma-se os elementos e multiplica-se por dois (2 vezes 9). Que resulta 18.

% Como simbolizar?

% Como simbolizar?


Pág. 49 !


Como proceder quando você encontrar o somatório de uma soma de xi com yi (x e y são duas variáveis)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %Acompanhe através do exemplo:

Exemplo:

sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule

Cada elemento de x deve ser somado com cada elemento de y [(1+2)+(3+4)+(5+7)] e, por sua vez, somados entre si:

= (1+2) + (3+4) + (5+7) = 1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 7 "

Após, você pode agrupar os elementos de x (1, 3, 5) em uma soma e os elementos de y (2, 4, 7), em outra. No fi nal escreve-se a nova soma. Observe essa soma. Há algo de conhecido?

" = (1+3+5) + (2+4+7) = 9+13 = 22 =

Como você observou, pode-se operar com somatórios uti-lizando algumas propriedades que, muitas vezes, facilitam nossa vida. Mais adiante, nessa unidade e nas próximas, você utilizará essas propriedades. É muito importante que você fi que atento a isso.

Acompanhe com atenção também, os dois casos a seguir, veja que eles são dois casos em que o tipo de propriedade ci-

tada acima não funciona.

Experimente você mesmo testá-los:

Veja com atenção!

É mais fácil do que parece

Dica!Você pode observar que se pode somar o somatório de ‘xi’ com o somatório de ‘yi’ que encontrará o mesmo resultado, ou seja:

=

Vale também para a subtração:

=


# Pág. 50


% Desafi o

Fica aqui um desafi o para você.Utilize os conjuntos x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} e calcule:

Dica: primeiro some os elementos e depois eleve ao quadrado.

Dica: primeiro eleve ao quadrado e depois some os elementos.

Compare:

Eles são diferentes ou iguais?

Dica: primeiro multiplique os elementos de um conjunto pelos elementos do outro e, depois, some.

Dica: primeiro some os elementos de cada conjunto e, de-pois, multiplique os resultados.

Compare:

Eles são diferentes ou iguais?

Aproveite para testar seus conhecimentos realizando as ativi-dades de auto-avaliação a seguir.

Não esqueça!Essas propriedades são muito impor-tantes e delas dependem muitos cálcu-los na Estatística.


Pág. 51 !



1) Desenvolva os somatórios:

Exemplo 1: = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8

Exemplo 2: = (x1·y1) + (x2·y2) + (x1·y2)

a)

b)

c)

d)

e)

2) Escreva sob a forma de somatório:Exemplo 1: Soma = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =

Exemplo 2: Soma = (x1·y1)2 + (x2·y2)2 + (x3·y3)2 =

a) Soma = x1 + x2 + ... + x7 =

b) Soma = x4 + x5 + x6 + x7 =


# Pág. 52


c) Soma = x6 + x7 + ... + x17 =

d) Soma = (x1 + x2 + ... + x7)2 =

e) Soma =

Dica: repita o primeiro termo da soma e troque o 1 por i.

3) Calcule as seguintes quantidades para os dados abaixo (obs.: utilize a tabela):

i xi fi xi·fi xi2 fi·(xi)

2

1 10 32 11 53 15 94 19 105 21 26 26 1!

a) !xi=

b) !xfi=


Pág. 53 !

c) !fixi=

Dica: primeiro multiplique um a um e escreva na tabela e após some.

d) !fi·(xi)2=

Dica: primeiro calcule o quadrado de x, escreva na tabela, mul-tiplique um a um e escreva na tabela e após some.


Nesta unidade você pôde estudar alguns conceitos importantes como população e amostra, variáveis, dados e séries. Além disso, estudou os passos que devem ser seguidos na elaboração de uma pesquisa com coleta de dados. Pôde identifi car os tipos de séries es-tatísticas, arredondamento de dados e noções de somatório. Todos estes novos conhecimentos serão muito im-portantes para você dar seqüência ao estudo da Estatística.

Mas você talvez esteja se perguntando: Como vou organizá-los? Como vou aplicá-los? Bem, isto você irá estudar na próxima unidade, quando irá apren-der a tabular os dados e começar a calcular al-gumas medidas importantes para a análise de tabelas.

# Para pesquisar

BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística Aplicada as Ci6encias Sociais. 5a ed. Florianópolis: UFSC, 2002.

CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fá-cil. São Paulo: Saraiva,2001.

VIEIRA, Sônia. Introdução à bioestatís-tica. 6. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2000.

TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatísti-ca. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

" http://alea-estp.ine.pt/html/nocoes/html/cap2_1_i.html

" http://www.ibge.gov.br (dados)



Pág. 55 !

3!Objetivos de aprendizagem" Organizar dados brutos.

" Compreender e analisar a distribuição de freqüências.

" Calcular, organizar e aplicar os tipos de freqüências.


# Seção 1O que são dados brutos e dados agrupados? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

# Seção 2Quais são os componentes de uma tabela? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

# Seção 3Como montar tabelas para variável qualitativa?. . . . . . . . . . . . . . 61

# Seção 4Como montar tabelas para variável quantitativa discreta? . . . . 64

# Seção 5Como montar tabelas para variável quantitativa contínua? . . . 67

# Seção 6Quais são os tipos de freqüências? . . . . 73

Unidade

Distribuição de freqüências!)-' ,(* "&%,!,& "&1 !726%' "&%"($,&' e algumas normas da Estatística nas Unidades 1 e 2, agora o próximo passo – para aquisição de mais ferramentas – será você tra-balhar com os dados propriamente ditos.


# Pag. 56

Métodos Estatísticos " Unidade 3 Distribuição de freqüências

" Seção 1O que são dados brutos e dados agrupados?

)!*! $%$"$!* & (',6#& #(',! 6%$#!#(, antes de qualquer coisa, você precisa saber o que são dados brutos e dados agru-pados.

Você já ouviu falar em dados brutos? Sabe o que isso sig-nifi ca na prática? Veja ao lado o conceito e compare com o que você já sabe sobre o assunto.

Mais precisamente dados brutos são os dados apresenta-dos da forma como foram coletados na pesquisa ou levanta-mento, desorganizados, sem ordenação.

Acompanhe a seguir os exemplos.

a) Para uma variável qualitativa:

Em um levantamento realizado com um grupo de 90 chefes de famílias com diferentes vínculos de trabalho, obteve-se os se-guintes resultados, conforme legenda ao lado (dados fi ctícios):

F E T I I P M F I E

E M M E E M F F C F

F F I C C F P I P F

P M T I P C F I F I

M E M F C C F P M E

M P E F I T I T E E

I T E F C T C E P T

C I I F E I E M I T

P P I C C T C E M I

! Dados brutos são seqüências de va-lores numéricos ou não, os quais não sofreram qualquer tratamento estatís-tico, nem foram organizados, obtidos diretamente da observação de um fe-nômeno coletivo.

' LegendaVínculos de trabalho

M Funcionário público municipal

E Funcionário público estadual

F Funcionário público federal

C Comerciário

T Temporário

I Comércio informal

P Prestador de serviços


Pag. 57 !

Seção 1 " O que são dados brutos e dados agrupados?

Repare que neste caso foram pesquisados 90 chefes de famí-lias e anotadas as respostas na ordem das entrevistas.

b) Para uma variável quantitativa discreta:

em estudo realizado em determinado bairro de Florianópolis, foi levantada uma amostra de 56 famílias quanto ao número de fi lhos, que apresentou os resultados abaixo:

1 1 4 1 0 3 1 6

5 0 0 2 0 2 0 0

0 1 4 3 1 1 3 2

4 2 1 1 2 1 1 2

0 2 3 3 2 2 4 3

2 1 0 2 3 1 1 1

3 0 0 0 3 1 0 0

Repare que foram pesquisadas 56 famílias e anotados o nú-mero de fi lhos, na ordem em que foram entrevistadas.

c) Para uma variável quantitativa contínua:

Os valores anotados abaixo representam a quantidade emiti-da de óxido de enxofre pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis, em toneladas, durante 56 meses.

23,25 27,43 17,76 33,33 33,05 16,08 34,49 23,74

32,63 20,58 18,50 16,69 16,43 20,08 19,00 16,13

21,36 26,60 22,49 22,77 23,05 33,55 22,73 24,89

24,11 34,83 21,73 31,53 35,13 34,36 20,80 16,84

29,55 34,76 31,72 24,89 21,65 22,65 30,43 30,93

17,25 17,05 19,67 22,79 25,30 23,08 25,77 35,03

16,59 15,90 20,30 33,86 17,76 30,93 20,81 29,05

Agora que você já compreendeu e sabe o que são dados bru-tos, deve estar se perguntando: O que são dados agrupados?

! Dados agrupados são seqüências de valores numéricos ou não, os quais encontram-se já organizados, ou por semelhança (qualitativas), ou por or-denação numérica (quantitativas), em tabelas.


# Pag. 58


" Seção 2Quais são os componentes de uma tabela?

)!*! '!3(* 1!$' #(,!7+(' do que é uma tabela, nas pró-ximas seções você conhecerá os seus componentes e como montá-las.

Abaixo, você pode ver os componentes de uma tabela:

Observe com atenção:

" lado direito e esquerdo de uma tabela devem ser abertos;" use traços horizontais para separar os componentes

(cabeçalho, total e as colunas;" use traços verticais internos somente se for necessário

(para maior clareza)." use maiúscula somente na primeira letra da palavra

inicial (vide na tabela a palavra ano).

! As tabelas são quadros que resumem e facilitam a leitura dos dados pesqui-sados.


Pag. 59 !

Seção 2 " Quais são os componentes de uma tabela?

Ao preencher uma tabela você deve prestar atenção para o seguinte:

" um traço horizontal ( " ) quando é apresentado um valor zero;

" três pontos ( ... ) quando há ausência de dados;" zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno;" um ponto de interrogação ( ? ) quando há dúvida

quanto à exatidão de determinado valor;" a informação do total não é obrigatória. Pode ser in-

cluída quando for importante ou, ainda, quando for usada para alguma análise.

Nas seções seguintes você irá conhecer alguns métodos de montagem de tabelas e para lhe auxiliar nesta compreensão serão utilizados os mesmos exemplos já citados na Seção 1. Mas antes de seguir em frente, realize a atividade proposta.


# Pag. 60


Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e os enunciados citados nesta seção, responda os desafi os a seguir.

1) Identifi que nas tabelas abaixo os erros e/ou os componen-tes que faltam:

a)Tempo de sono (em min.) No de ratos

7 |--- 12 1012 |--- 17 1217 |--- 22 622 |--- 27 527|--- 32 2

FONTE: Dados fi ctícios

b)Empréstimos concedidos aos clientes em agosto de 2003Tipo de empréstimo No de clentesCDC automático 24Leasing veículo 17Leasing informática 13Crédito turismo 6


Pag. 61 !

Seção 3 " Como montar tabelas para variável quantitativa?

" Seção 3Como montar tabelas para variável qualitativa?

)!*! 0&": &3,(* (',! *(')&',! siga com atenção os passos apresentados no exemplo a seguir.

Exemplo:

Em um levantamento realizado com um grupo de 90 chefes de famílias com diferentes vínculos de trabalho, obteve-se os seguintes resultados, conforme legenda ao lado (dados fi ctí-cios):

1º Passo: para começar você deve organizar os dados por semelhança.

M M M M M M M M M M

M E E E E E E E E E

E E E E E E F F F F

F F F F F F F F F F

F F C C C C C C C C

C C C C T T T T T T

T T T I I I I I I I

I I I I I I I I I I

P P P P P P P P P P

Repare que os dados estão organizados por tipo de vínculo.

' LegendaVínculos de trabalho

M Funcionário público municipal

E Funcionário público estadual

F Funcionário público federal

C Comerciário

T Temporário

I Comércio informal

P Prestador de serviços


# Pag. 62


2º Passo: escreva, em uma coluna, cada uma das opções verifi cadas. Conte o número de vezes que cada tipo aparece e marque com traços, ao lado, para representar as aparições.

M 11

E 15

F 16

C 12

T 9

I 17

P 10

Após, conte o número de traços para obter o número de vezes que cada opção aparece.

3º Passo: ok, agora é só montar a tabela! Sem esquecer nenhum de seus componentes!

Levantamento com 90 chefes de famíliasobre os diferentes vínculos de trabalho

Tipos de fobias No de pacientesM Funcionário público municipal 11E Funcionário público estadual 15F Funcionário público federal 16C Comerciário 12T Temporário 9I Comércio informal 17P Prestador de serviços 10



Pag. 63 !

Seção 3 " Como montar tabelas para variável quantitativa?

Atividades de Auto-avaliação $Após você ter acompanhado o exemplo citado nesta seção, experimente agora realizar os desafi os a seguir:

1) um relatório recente distinguiu em seis tipos os princi-pais motivos de tensão (estresse). A pesquisa realizada para provar isso, resultou nos dados ao lado (dados fi ctícios):

Monte a tabela não esquecendo de todos seus compo-nentes.

' LegendaTipos de fobias

MF Morte de um fi lho

MC Morte do cônjuge

MP Morte dos pais ou irmãos

DO Divórcio

DG Doença grave

DM Demissão

MP MC DO DG MF

DM MF MP DG MC

MC MF MF MC MC

MF MC MP DO MP

MP MP DM MP DO

MP DM DG DM MC

MF MF MF MF MF

DO MP DG MP DG

MF MC MF MP DO

DO DO DM MF MC

MF DM MC MC DG

DO MF DG MF MC


# Pag. 64


" Seção 4Como montar tabelas para variável quantitativa discreta?

)!*! &3,(* 1!$' (',! *(')&',! você terá também que se-guir os passos apresentados no exemplo a seguir.

Exemplo:

em estudo realizado em determinado bairro de Florianópolis, foi levantada uma amostra de 56 famílias quanto ao número de fi lhos, que apresentou os resultados abaixo:

1º Passo: para começar você deve organizar os dados em ordem crescente.

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 33 3 3 3 3 3 33 4 4 4 4 5 6

Repare que foram organizados conforme uma ordem numérica crescente (de 0 a 6).

Observe!A opção de montar uma tabela sem in-tervalos se deve por esta série ter um nú-mero de elementos distintos pequeno.

' Obs!Esta lista em ordem, podendo ser cres-cente ou decrescente, chamamos de Rol.


Pag. 65 !

Seção 4 " Como montar tabelas para variável quantitativa discreta?

Valores que a variável pode assumir

Freqüência Simples

Freqüência Total

2º Passo: escreva, em uma coluna, cada um dos valores observados. Conte o número de vezes que cada tipo aparece e marque com traços, ao lado, para representar as aparições.

0 14

1 16

2 11

3 9

4 4

5 16 1

Após, conte o número de traços para obter o número de vezes que cada valor aparece.

3º Passo: agora é só montar a tabela, sem esquecer ne-nhum de seus componentes.

Número de fi lhos por famílias de um bairro de Florianópolis

Número de fi lhos (xi) No de famílias (fi )0 141 162 113 94 45 16 1

Total (#fi ) 56FONTE: Pesquisa de campo (dados fi ctícios)

Observe que!Os valores que a variável pode assumir é representado por “xi”.

O número de observações de cada li-nha, chama-se de freqüência simples, denotada por “fi ”, e o número total de observações chama-se de freqüência total e pode ser denotada por “N” (ta-manho da população), “n” (tamanho da amostra) ou !fi .


# Pag. 66


Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e os enunciados citados nesta seção, realize a atividade proposta a seguir.

1) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de aci-dentes com seus empregados, tendo para isso a "$)!, realizado um levantamento abrangendo um período de 36 meses, onde foi observado o número de operários acidentados para cada mês. Os dados correspondentes são:

Levando em consideração os dados apresentados, monte a tabela. Procure incluir todos os seus compo-nentes.

4 8 6 6 4 5

6 5 8 5 6 5

8 5 7 6 8 7

3 3 4 4 3 3

5 5 4 6 5 5

7 7 6 8 8 7


Pag. 67 !

Seção 4 " Como montar tabelas para variável quantitativa discreta?

" Seção 5Como montar tabelas para variável quantitativa contínua?

! &)45& #( 1&%,!* 61! ,!3(7! com intervalos ocorre por esta série ter um número de elementos distintos muito grande, ou, quando os valores apresentam uma natureza de continuidade.

Exemplo:

Os valores anotados abaixo representam a quantidade emiti-da de óxido de enxofre (SO) pelas fábricas do distrito indus-trial de Florianópolis, em toneladas, durante 56 meses.

Acompanhe a seguir os passos para montar uma tabela:

1º Passo: para começar você deve organizar os dados em ordem crescente (Rol).

15,90 16,08 16,13 16,43 16,59 16,69 16,84 17,0517,25 17,76 17,76 18,50 19,00 19,67 20,08 20,3020,58 20,80 20,81 21,36 21,65 21,73 22,49 22,6522,73 22,77 22,79 23,05 23,08 23,25 23,74 24,1124,89 24,89 25,30 25,77 26,60 27,43 29,05 29,5530,43 30,93 30,93 31,53 31,72 32,63 33,05 33,3333,55 33,86 34,36 34,49 34,76 34,83 35,03 35,13

2º Passo: você deve calcular o número e o tamanho dos intervalos.

Número de intervalos (k): para este estudo é adotado o número de intervalos pré-defi nidos. Embora existam critérios para este cálculo, para efeito de seu estudo, agora não serão usados. Para este exemplo o utilizado será k=7.

! Para este tipo de variável utiliza-se intervalos na tabela para representar a série de dados. A estes intervalos deno-mina-se de intervalos de classes.


# Pag. 68


São usados dois critérios:Critério da raiz:

Fórmula de Sturges: k = 1+3,3.log n

n = tamanho da amostra (poderá ser usado N, quando for com a população)

O que é Amplitude Total da distribuição (AT) ?

É a diferença entre o maior valor e o menor valor observado:AT=L(máx) – l(min)

L(máx) = Limite máximo (maior valor)

l(min) = Limite mínimo (menor valor)

No exemplo que você está estudando:AT=35,13 – 15,9 " AT=19,23 # 19,5

O que é Amplitude de um intervalo de classe (h) ?

Também chamada de tamanho do intervalo de classe, é obtida da seguinte forma:

No exemplo:

Antes de você partir para a construção da tabela, é conve-niente testar se os cálculos estão corretos. Para que isso acon-teça, verifi que se:

h.k>AT

Então para investigar se os cálculos estão corretos, aplique sobre o exemplo dado:

2,8·7=19,6>19,23

As tabelas devem ter no mínimo 5 e no máximo 20 intervalos de classes para que não haja nem perda, nem excesso de informação.

& Obs!Nesta etapa é conveniente que seja arredondado para cima para que não haja perda de informação.


Pag. 69 !

Seção 5 " Como montar tabelas para variável quantitativa contínua?

Ou seja, ao somar 19,6 ao menor valor observado resulta em 35,5 que é maior que o valor da maior observação, 35,13.

15,9 + 19,6 = 35,5 > 35,13

Caso não seja satisfeita esta condição será necessário fazer um ajuste, aumentando o tamanho do intervalo.

Então, resumindo, segundo o exemplo dado, a tabela terá:

" sete intervalos;" cada um com o tamanho de 2,8.

O que é limites de classes?

Os limites de classe são os extremos de cada classe. O limite inferior da classe (li) é o menor número do intervalo. O limite superior (Li) é o maior número do intervalo.

3º Passo: escreva os intervalos da tabela:

Comece pela primeira classe, escreva o menor valor observado:

(15,9);

A este valor some o h (2,8), e encontre o limite superior deste intervalo: 15,9+2,8=18,7. Você deve escrever na tabela:

15,9 |--- 18,7

Na segunda classe, repita o último valor da classe ante-rior (18,7) e some o h (2,8), e encontre o limite superior deste intervalo: 18,7+2,8=21,5. Você pode escrever na tabela:

18,7 |--- 21,5

Na terceira classe, repita o último valor da classe ante-rior (21,5) e some o h (2,8), e encontre o limite superior deste intervalo: 21,5+2,8=24,3. Você pode escrever na tabela:

21,5 |--- 24,3

Usando este procedimento para as outras classes você terá os seguintes intervalos a seguir, até a sétima classe:

24,3 |--- 27,127,1 |--- 29,929,9 |--- 32,732,7 |--- 35,5

Observação!Os intervalos são escritos dessa forma:15,9 |--- 18,7.

O que signifi ca? Trata de um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita " [15,9 ; 18,7). Os valores deste inter-valo chegam perto de 18,7, mas o valor 18,7 está no próximo intervalo: 18,7 |--- 21,5; O valor 21,5 não está neste intervalo e sim no intervalo: 21,5 |--- 24,3. E assim por diante.


# Pag. 70


4º Passo: agora é a vez de partir para a construção da tabe-la, sem esquecer de seus componentes, primeiro monte a tabela e escreva os intervalos:

Quantidade emitida deóxido de enxofre (SO), em toneladas, pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis

Classe Escore (em pontos)1 15,9 |--- 18,72 18,7 |--- 21,53 21,5 |--- 24,34 24,3 |--- 27,15 27,1 |--- 29,96 29,9 |--- 32,77 32,7 |--- 35,5

Total (!fi )FONTE: dados fi ctícios.

5º Passo: agora é só contar e marcar o número de valores em cada intervalo. É aconselhável marcar os limites dos intervalos no Rol e usar os traços para indicar a contagem ou marcar como está a seguir:

15,90 16,08 16,13 16,43 16,59 16,69 16,84 17,0517,25 17,76 17,76 18,50 19,00 19,67 20,08 20,3020,58 20,80 20,81 21,36 21,65 21,73 22,49 22,6522,73 22,77 22,79 23,05 23,08 23,25 23,74 24,1124,89 24,89 25,30 25,77 26,60 27,43 29,05 29,5530,43 30,93 30,93 31,53 31,72 32,63 33,05 33,3333,55 33,86 34,36 34,49 34,76 34,83 35,03 35,13

Classe Qtde de SO (em ton.) Contagem Nº de meses (fi )

1 15,9 |--- 18,7 12

2 18,7 |--- 21,5 8

3 21,5 |--- 24,3 12

4 24,3 |--- 27,1 5

5 27,1 |--- 29,9 3

6 29,9 |--- 32,7 6

7 32,7 |--- 35,5 10

Total (!fi ) 56


Pag. 71 !


No fi nal a tabela fi ca como está mostrado a seguir:

Quantidade emitida deóxido de enxofre (SO), em toneladas, pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis

Escore (em pontos) Nº de estudantes (fi )15,9 |--- 18,7 1218,7 |--- 21,5 821,5 |--- 24,3 1224,3 |--- 27,1 527,1 |--- 29,9 329,9 |--- 32,7 632,7 |--- 35,5 10

Total (!fi ) 56FONTE: dados fi ctícios.

Intervalos de classes

Freqüência Simples

Freqüência Total

Atenção!Estas tabelas são denominadas de distribuição de freqüências.


# Pag. 72


Atividades de Auto-avaliação $Após você ter acompanhado o exemplo desta seção, realize a atividade proposta a seguir.

1) Os dados ao lado representam a renda de uma amostra de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis, em reais. (dados fi ctícios).

Construa a tabela de distribuição de freqüências sem esquecer de nenhum de seus elementos. Usar k=6 (nú-

mero de intervalos).

& Sugestão:Ao calcular o h (tamanho de cada in-tervalo), arredonde para um número inteiro. Ex.: 3,84 # 4

115 121 117 124 122 116

123 118 123 119 123 126

128 122 112 125 124 126

125 121 129 127 128 129

113 115 116 124 119 118

126 129 116 127 123 121


Pag. 73 !


" Seção 6Quais são os tipos de freqüências?

!,= !2&*! 0&": >9 (',6#&6 (especifi camente no Passo 3 da Seção 4) dois tipos de freqüência: a freqüência simples e a freqüência total.

Pois nesta seção você irá aprender que, além destas duas, existem outros tipos de freqüências. Agora talvez você até este-ja se perguntando: por que estudar outros tipos de freqüências?

Mas se você pensar bem, a resposta a esta questão você já acompanhou, precisamente quando estudou que a Estatística tem como uma de suas fi nalidades facilitar a análise e a lei-tura dos dados, e, portanto, para isso um dos métodos uti-lizados é trabalhar com tipos de freqüências. Estes tipos de freqüência serão apresentados a seguir.

a) Freqüência acumulada direta ou “abaixo de” (fiacd)

Na tabela, a coluna da freqüência acumulada direta, você deverá escrever o valor acumulado das freqüências, ou seja, para começar, repita a freqüência simples da primeira linha e nas linhas seguintes some a freqüência simples à freqüência acumulada anterior.

Este processo deverá chegar até a freqüência total.fiacd = fiacd(ant) + fi

Sendo:

fiacd – freqüência acumulada direta da classefiacd(ant) – freqüência acumulada direta da classe anteriorfi – freqüência simples da classe

Por que estudar outros tipos de

freqüência?

Lembre-se!O número de observações de cada linha chama-se de freqüência simples, “fi ”, e o número total de observações chama-se de freqüência total, !fi .


# Pag. 74


Acompanhe com atenção a tabela:

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi )

fiacd“abaixo de”

15,9 |--- 18,7 12 1218,7 |--- 21,5 8 2021,5 |--- 24,3 12 3224,3 |--- 27,1 5 3727,1 |--- 29,9 3 4029,9 |--- 32,7 6 4632,7 |--- 35,5 10 56

Total (!fi ) 56

Repetir a primeira fi

Somar a fi desta classe com a acumulada ante-rior (12 + 8 = 20)



Somar sucessivamente até chegar na freqüên-cia total (46 + 10 = 56)

Para que serve a freqüência

acumulada direta (ou “abaixo de”)? . . . . . . . . . . . . . . . %Imagine você apresentando um relatório ou uma pesquisa so-bre o levantamento feito acima a um grupo de pesquisadores.

Um dos pesquisadores lhe pergunta: “Quantos meses foram verifi cadas emissões menores que 29,9 ton.?” Você não necessi-tará fazer contas, é só observar a tabela e dizer: “40 meses!”

(veja a linha marcada na tabela).E se perguntarem: “Quantos meses foram verifi cadas emissões menores

que 24,3 ton.? Você responderá: “32 meses!”

b) Freqüência acumulada indireta ou “acima de” (fiaci)

Na coluna da freqüência acumulada indireta escreva o valor acumulado das freqüências de forma contrária à anterior, ou seja, para começar, repita a freqüência total e nas seguintes subtraía a freqüência simples da linha anterior da freqüência acumulada anterior. Este processo deve chegar até a freqüên-cia simples da última classe.

fiaci= fiaci(ant) – fi(ant)

Sendo:

fiaci – freqüência acumulada indireta da classefiaci(ant) – freqüência acumulada indireta da classe anteriorfi(ant) – freqüência simples da classe anterior

Observe que!Os escores questionados são sempre do limite superior de cada intervalo para baixo. Por esta razão que também chamamos de “abaixo de”.


Pag. 75 !

Seção 6 " Quais são os tipos de freqúência?

Acompanhe a tabela:

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi )


15,9 |--- 18,7 12 5618,7 |--- 21,5 8 4421,5 |--- 24,3 12 3624,3 |--- 27,1 5 2427,1 |--- 29,9 3 1929,9 |--- 32,7 6 1632,7 |--- 35,5 10 10

Total (!fi ) 56

Para que serve a freqüência

acumulada indireta (ou “acima de”)? . . . . . . . . . . . . . . %Imagine-se novamente apresentando um relatório ou uma pesquisa sobre a avaliação feita acima a um grupo de pesqui-sadores.

Um dos pesquisadores lhe pergunta: “Quantos meses fo-ram verifi cadas emissões maiores ou iguais a 29,9 ton.?” Você não necessitará fazer contas, é só observar a tabela e dizer: “16 meses!” (veja a linha marcada na tabela).

E se perguntarem: “Quantos meses foram verifi cadas emis-sões de 24,3 ton. ou mais? Você responderá: “24 meses!”

c) Freqüência relativa (fr)

É o quociente entre a freqüência (fi ) da classe e o número total de observações.

Sendo:

fr – freqüência relativa da classefi – freqüência simples da classen – número total de observações (pode ser usado N ou "fi )

Escrever a freqüência total

Subtrair a fi da classe anterior com a acumulada anterior (56 – 12 = 44)



Subtrair sucessivamente até chegar na freqüência simples da última classe (16 – 6 = 10)

Observe que!Os escores questionados são sempre do limite inferior de cada intervalo para cima. E é por esta razão que também chamamos de “abaixo de”.


# Pag. 76


Acompanhe a tabela:

Dividir o fi da classe pelo total fr = #$/%& = 0,2143

Dividir o fi da classe pelo total fr = '/%& = 0,1429

fr = #$/%& = 0,2143

fr = (/%& = 0,0893

Após calcular a última, você deve calcular o total, que deve ser 1 ou aproximado devido aos arredondamentos

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi ) de fr

15,9 |--- 18,7 12 0,214318,7 |--- 21,5 8 0,142921,5 |--- 24,3 12 0,214324,3 |--- 27,1 5 0,089327,1 |--- 29,9 3 0,053629,9 |--- 32,7 6 0,107132,7 |--- 35,5 10 0,1786

Total (!fi ) 56 1,0000

d) Freqüência percentual (fp)

É a freqüência relativa multiplicada por 100. É dada em por-centagem (%).

fp = fr.100

Sendo:

fp – freqüência percentualfr – freqüência relativa

Acompanhe a tabela:

0,2143.100 = 21,43

0,2143.100 = 21,43

0,2143.100 = 21,43

0,2143.100 = 21,43

0,2143.100 = 21,43

0,2143.100 = 21,43

0,2143.100 = 21,43

Após calcular a últi-ma, você deve calcu-lar o total, que deve ser 100 ou aproxi-mado devido aos arredondamentos.

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi ) fr fp (%)

15,9 |--- 18,7 12 0,2143 21,4318,7 |--- 21,5 8 0,1429 14,2921,5 |--- 24,3 12 0,2143 21,4324,3 |--- 27,1 5 0,0893 8,9327,1 |--- 29,9 3 0,0536 5,3629,9 |--- 32,7 6 0,1071 10,7132,7 |--- 35,5 10 0,1786 17,86

Total (!fi ) 56 1,0000 100,00

Dica!Ao usar quatro casas decimais para a freqüência relativa, o percentual fi cou com duas casa decimais.

Dica!Use sempre quatro casas decimais para arredondar a freqüência relativa.


Pag. 77 !


Para que serve a freqüência percentual? . . . . . . . . . . . %Mais uma vez você está apresentando um relatório ou uma pes-quisa sobre a avaliação feita acima a um grupo de pesquisadores.

E vem aquela pergunta: “Qual o percentual de meses que foram verifi cadas emissões de 32,7 a 35,5 ton.?” Você poderia responder diretamente, sem cálculos “17,86%” (veja a linha marcada na tabela).

E se perguntarem: “Qual o percentual de meses que foram ve-rifi cadas emissões de 24,3 à 27,1 ton.? Você responderá: “8,93%”.

Antes de acompanhar os outros tipos de freqüência, entenda o que é ponto médio de uma classe.

e) Ponto médio de uma classe

São os valores da variável que se encontram exatamente na metade do intervalo de cada classe. Para calcular o ponto médio, usa-se a média aritmética simples dos limites de cada intervalo:

Sendo:

PM – ponto médioLi – limite superior do intervaloli – limite inferior de cada intervalo

Acompanhe a tabela:

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi ) PM

15,9 |--- 18,7 12 17,318,7 |--- 21,5 8 20,121,5 |--- 24,3 12 22,924,3 |--- 27,1 5 25,727,1 |--- 29,9 3 28,529,9 |--- 32,7 6 31,332,7 |--- 35,5 10 34,1

Total (!fi ) 56

PM = 15,9 + 18,7 = 17,32

PM = 18,7 + 21,5 = 20,12

PM = 21,5 + 24,3 = 22,92

PM = 24,3 + 27,1 = 25,72

Atenção!Para adquirir mais

1 ferramenta.

Observe!Neste caso, que o escore questionado é sempre um intervalo.

Mantenha a mão este conceito!O ponto médio será usado para outros cálculos que você irá realizar mais adiante.


# Pag. 78


Veja como fi ca a tabela (distribuição de freqüências) completa.

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi )


fiaci“acima de” fr fp (%) PM

15,9 |--- 18,7 12 12 56 0,2143 21,43 17,318,7 |--- 21,5 8 20 44 0,1429 14,29 20,121,5 |--- 24,3 12 32 36 0,2143 21,43 22,924,3 |--- 27,1 5 37 24 0,0893 8,93 25,727,1 |--- 29,9 3 40 19 0,0536 5,36 28,529,9 |--- 32,7 6 46 16 0,1071 10,71 31,332,7 |--- 35,5 10 56 10 0,1786 17,86 34,1

Total (!fi ) 56 1,00 100,00

Para tabelas construídas como variáveis discretas, você po-derá calcular as freqüências acumuladas direta e indireta, as freqüências relativas e percentuais, como é mostrado a seguir:

No de fi lhos(xi)

No de famílias (fi )


fiaci“acima de” fr fp(%)

0 14 14 56 0,25 251 16 30 42 0,2857 28,572 11 41 26 0,1964 19,643 9 50 15 0,1607 16,074 4 54 6 0,0714 7,145 1 55 2 0,0179 1,796 1 56 1 0,0179 1,79

Total (!fi ) 56 1,00 100,00

f) Outros tipos de freqüências

Você ainda pode usar as freqüências acumuladas direta e in-direta usando, ao invés da freqüência simples, a freqüência percentual, ou seja, seriam freqüências acumuladas direta e indireta percentual.

Onde:

fiacpd – freqüência acumulada percentual diretafiacpi – freqüência acumulada percentual indireta


Pag. 79 !


Acompanhe com fi ca:

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi ) fp (%) fiacpd

“abaixo de”fiacpi

“acima de”15,9 |--- 18,7 12 21,43 21,43 100,0018,7 |--- 21,5 8 14,29 35,71 78,5721,5 |--- 24,3 12 21,43 57,14 64,2924,3 |--- 27,1 5 8,93 66,07 42,8627,1 |--- 29,9 3 5,36 71,43 33,9329,9 |--- 32,7 6 10,71 82,14 28,5732,7 |--- 35,5 10 17,86 100,00 17,86

Total (!fi ) 56 100,00


# Pag. 80


Atividades de Auto-avaliação $Após você ter acompanhado os conceitos e os enunciados citados nesta seção, responda as atividades a seguir.

1) Os dados abaixo representam a renda de uma amostra de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis, em reais. (dados fi ctícios).

Renda de famílias de um bairro da classe baixa de Florianópolis.

Renda (R$) Nº de famílias



112 |--- 115 2115 |--- 118 6118 |--- 121 4121 |--- 124 9124 |--- 127 8127 |--- 130 7Total (!fi ) 36

FONTE: Teste nível de estresse

Complete a tabela com as freqüências acumuladas direta e indireta, a freqüência relativa, percentual e o ponto médio. Depois responda as perguntas:

a) Quantas famílias apresentam renda menor que 124? ______ (use a coluna da fiacd “abaixo de”)

b) Quantas famílias apresentam renda menor que 127? ______ (use a coluna da fiacd “abaixo de”)

c) Quantas famílias apresentam renda maior ou igual a 124? ______ (use a coluna da fiaci “acima de”)

d) Quantas famílias apresentam renda maior ou igual a 127? ______ (use a coluna da fiaci “acima de”)


Pag. 81 !


e) Qual foi o percentual de famílias com renda de 118 a 121 pontos? ______ (use a coluna da fp)

f) Qual foi o percentual de famílias com renda de 121 a 124 pontos? ______ (use a coluna da fp)

2) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados, tendo, para isso, a "$)!, realizado um levantamento abrangendo um período de 36 meses, onde foi observado o número de operários acidentados para cada mês. A tabela abaixo resume estes dados:

Número de operários acidentados para cada mêsNúmero de

acidentadosNº de meses

fi acd“abaixo de”

fi aci“acima de”

fr fp (%)

3 44 55 96 77 58 6

Total (!fi ) 36Fonte: Operários acidentados.

Complete a tabela com as freqüências acumulada direta e indireta, a freqüência relativa e percentual. Depois responda as perguntas:

a) Em quantos meses a empresa teve um número de funcionários acidentados menor que 6? ______ (use a coluna da fi acd “abaixo de”)(observação: menor que 6 = 5, 4 e 3)

b) Em quantos meses a empresa teve um número de fun-cionários acidentados menor ou igual a 6? ______ (use a coluna da fi acd “abaixo de”)(observação: menor ou igual a 6 = 6, 5, 4 e 3)

c) Em quantos meses a empresa teve um número de funcionários acidentados maior que 5? ______(use a coluna da fi aci “acima de”)(observação: maior que 5 = 6, 7 e 8)


# Pág. 82

d) Em quantos meses a empresa teve um número de fun-cionários acidentados maior ou igual a 5? ______(use a coluna da fi aci “acima de”)(observação: maior ou igual a 5 = 5, 6, 7 e 8)

e) Qual foi o percentual de meses em que a empre-sa verifi cou 5 funcionários acidentados? ______ (use a coluna da fp)

f) Qual foi o percentual de meses em que a empre-sa verifi cou 7 funcionários acidentados? ______ (use a coluna da fp)


Até agora, você já trabalhou um pouco com os dados. Você viu como orga-nizar, agrupar dados, como construir tabelas com todos seus elementos e, também, como acrescentar infor-mações nas tabelas que auxiliem sua leitura. Isso é bastante útil quando ne-cessita-se apresentar algum relatório. Isso permite que você obtenha acesso rápido às respostas, com a devida pre-cisão.

Para que você possa analisar dados pode-se usar não só tabelas, mas tam-bém gráfi cos, que resumem e facilitam a leitura, de forma clara e simples. Na próxima unidade, você vai estudar re-presentações gráfi cas dos dados. Você verá como fi ca mais fácil entender o comportamento de algumas vari-áveis.

Até lá!!

# Para pesquisar

BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística Aplicada as Ciências Sociais. 5a ed. Flo-rianópolis: UFSC, 2002.

CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fá-cil. São Paulo: Saraiva, 2001.




Pág. 83 !

4!Objetivos de aprendizagem" Construir e interpretar gráfi cos.

" Criar e interpretar histograma e polígo-no de freqüências.


# Seção 1Para que usar gráfi cos?. . . . . . . . . . . . . . . . 84

# Seção 2O que são diagramas? . . . . . . . . . . . . . . . . 87

# Seção 3O que são pictogramas? . . . . . . . . . . . . . . 96

# Seção 4O que são gráfi cos representativos? . . . 99

Unidade

Representação gráfi ca%! 6%$#!#( !%,(*$&* 0&": estudou sobre a distribuição de freqüência. Lembra-se?

Você sabia que além das tabelas de distribuição de fre-qüências, pode-se representar os dados por meio de gráfi -cos, que, em muitas vezes, facilitam muito mais a leitura e a compreensão de algum fenômeno ou acontecimento?

E por falar em gráfi co, você sabe o que é um gráfi co?Provavelmente você já viu em muitos lugares – jornais,

revistas, livros, etc – gráfi cos de tamanhos, cores e forma-tos diferentes, não é mesmo? Em algum momento você já parou alguns minutos para tentar compreendê-los? Caso sua resposta tenha sido negativa, não se preocupe, pois nesta unidade você poderá conhecer alguns tipos de gráfi -cos mais utilizados e suas características.


# Pág. 84

Métodos Estatísticos " Unidade 4 Representação gráfi ca

" Seção 1Para que usar gráfi cos?

& 2*98$"& = 61! &6,*! 1!%($*! de apresentar os dados estatísticos, o qual tem a fi nalidade de mostrar, com clare-za, veracidade e rapidez os dados que estão sendo estudados. Propicia uma noção clara de como algum fenômeno se com-porta. Através de formas geométricas, os gráfi cos mostram, por área ou volume, as diferenças entre as opções de cada variável.

Assim como os gráfi cos podem dar informações rápidas e precisas, sua manipulação pode distorcer a realidade, provo-cando tendenciosidade nas informações, como você pôde ob-servar na atividade de auto-avaliação da Unidade 1, lembra?

Observe as fi guras a seguir. No Gráfi co 1 temos a impres-são que o no de benefícios aumenta abruptamente, enquanto que no Gráfi co 2 temos a impressão que o no de benefícios au-menta lentamente. A única diferença entre os dois gráfi cos é a largura que se usou para cada um deles. Conseguiu perceber a diferença?

Em alguns casos isso pode ser muito prejudicial.

GRÁFICOS 1 e 2 - Gráfi co Secretaria Executiva de Inserção e Assistência Social – SEAS

Se você não se recorda, uma dica é re-tornar a esta atividade para relembrar o que foi discutido nesta atividade. Que tal?


Pág. 85 !

Seção 1 " Para que usar gráfi cos?

1.1. Sugestões para a construção de gráfi cos

Alguma vez você já construiu um gráfi co? Sabe por onde começar para construir um? E outra pergunta importante: Sabe onde fazer um gráfi co?

A seguir apresentam-se alguns detalhes que são impor-tantes e que não podem faltar na construção de um gráfi co:

" todo gráfi co deve ter título (acima) e fonte (no roda-pé), para que o leitor não tenha a necessidade de voltar ao texto para saber do que trata;

" a escala do eixo horizontal deve ser escrita abaixo des-se eixo e deverá crescer da esquerda para a direita;

" a escala do eixo vertical deve ser escrita à esquerda do eixo e crescer de baixo para cima;

" cada eixo deve ser identifi cado com o que está sendo medido ou representado;

" não é necessário linha de grade (que saem das marcas das escalas horizontais e verticais). Estas são opcionais.

A seguir você pode observar um gráfi co com todos os deta-lhes expostos acima:

Obs.: PPDs – pessoas portadoras de defi ciências

Antigamente, os gráfi cos eram feitos “a mão”, com a ajuda de régua, compas-so, transferidor, esquadros e canetas ou giz coloridos. Hoje já podemos contar com softwares específi cos que nos au-xiliam e facilitam na construção de grá-fi cos e, muitas vezes, propiciam mais precisão e clareza. Além dos softwares específi cos de Estatística, temos o Ex-cel, que é bem difundido e fácil de ope-rar. Caso tenha curiosidade, você pode acessar o site http://www.juliobattisti.com.br/cursos/excelbasico/modulo5/default.asp.

Veja como fazer para construir um

gráfi co!


# Pág. 86


1.2. Diferentes tipos de gráfi cos

Pode-se separar em três tipos os gráfi cos que são mais utili-zados. Veja a seguir:

" diagramas: são os mais comuns e mais usados. São utilizadas formas geométricas (retângulos, círculos, linhas, etc.) para representar os dados. Geralmente são apresentados em duas dimensões. O desenho desses tipos de gráfi cos tem como base o sistema cartesiano (um eixo vertical e um horizontal, perpendiculares);

" cartogramas: são usados para apresentar os dados es-tatísticos referentes a regiões bem defi nidas geogra-fi camente e, para tanto, usam mapas ou quadros, ca-racterizados por sinais (linhas, pontos, cores, etc.) que representam um ou mais fenômenos quanto a sua área de ocorrência, importância, movimentação e evolu-ção;

" pictogramas: são usadas para apresentar os dados es-tatísticos de modo a despertar atenção do público em geral. São mais usados em propagandas, apresentações informais, ilustrações, etc. Tem mais uma fi nalidade de atrair a atenção do que representar precisão.

Veja a seguir mais detalhes sobre os três principais tipos de gráfi cos.


Pág. 87 !

Seção 2 " O que são diagramas?

" Seção 2O que são diagramas?

0&": (',6#&6 %& $,(1 !%,(*$&* que os diagramas são os gráfi cos mais comuns e muito utilizados em nosso dia-a-dia.

Nesta seção você vai estudar quais são os formatos dos gráfi cos de diagrama e, além disso, vai aprender como cons-truir cada um deles.

2.1. Gráfi cos de barras

São gráfi cos que usam retângulos dispostos horizontalmente para representar as séries estatísticas. São mais usados para representar séries específi cas, temporais e geográfi cas.

Como construir um gráfi co de barras:

" desenhar os eixos cartesianos (vertical e horizontal);" os valores assumidos pela variável são marcados no

eixo vertical e a freqüência simples ou a relativa no eixo horizontal;

" desenhar as barras com a mesma base (largura), mas com comprimentos proporcionais às respectivas fre-qüências;

" não esquecer de escrever o título e a fonte.


# Pág. 88


Veja os exemplos a seguir:


FONTE: Pesquisa de campo (dados fi ctícios)

2.2. Gráfi cos de colunas

São gráfi cos que usam retângulos dispostos verticalmente para representar as séries estatísticas. São mais usados para representar séries específi cas, temporais e geográfi cas.


No de fi lhos (xi) No de famílias (fi )0 141 162 113 94 45 16 1

Total (!fi ) 56FONTE: Pesquisa de campo (dados fi ctícios)

Levantamento com 90 chefes de família sobre os diferentes vínculus de trabalhoTipos de fobias No de pacientesM Funcionários públicos municipal 11E Funcionários públicos estadual 15F Funcionários públicos federal 16C Comerciário 12T Temporário 9I Comércio informal 17P Prestador de serviços 10



Pág. 89 !


Como construir um gráfi co de colunas:

" desenhar os eixos cartesianos (vertical e horizontal);" os valores assumidos pela variável são marcados no

eixo horizontal e a freqüência simples ou a relativa no eixo vertical;

" desenhar as colunas com a mesma base (largura), mas com comprimentos proporcionais às respectivas fre-qüências;

" não esquecer de escrever o título nem a fonte.


FONTE: Setor de Controle de Qualidade fi ctício

FONTE: dados fi ctícios.


No de fi lhos (xi) No de famílias (fi )0 141 162 113 94 45 16 1


Quantidade emitida de óxido de enxo-fre (SO), em toneladas, pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi )

15,9 |--- 18,7 1218,7 |--- 21,5 821,5 |--- 24,3 1224,3 |--- 27,1 527,1 |--- 29,9 329,9 |--- 32,7 632,7 |--- 35,5 10



# Pág. 90


2.3. Gráfi cos de setores (pizza)

São gráfi cos com forma circular e dividido em setores (fatias) que representam proporcionalmente a freqüência de cada categoria.

É recomendado para situações em que se deseja eviden-ciar o quanto cada informação representa do total.

Como construir um gráfi co de setores:

" desenhar uma circunferência. Partimos do princípio que a área da circunferência representa o total (a soma ou 100%);

" usando esta relação, podemos dizer que a soma ou 100% representa 360º. Sendo assim, cada setor (ângu-lo) pode ser calculado com uma regra de três simples, no qual a freqüência de cada categoria será um setor e o ângulo desse setor será calculado pela regra de três.

Freq. total $ 360º

Freq simples $ x

" após marcar cada ângulo na circunferência, trace retas separando cada setor (fatias);

" pintar cada setor com uma cor;" você pode criar uma legenda ou escrever as informa-

ções próximas a cada setor (fatia);" não esquecer de escrever o título nem a fonte.


Pág. 91 !



Levantamento com 90 chefes de família sobre os diferentes vínculus de trabalhoTipos de fobias No de pacientesM Funcionários públicos municipal 11E Funcionários públicos estadual 15F Funcionários públicos federal 16C Comerciário 12T Temporário 9I Comércio informal 17P Prestador de serviços 10


Ao lado, setores com percentual e seus rótulos (informações sobre cada setor):

A seguir, setores com os seus valores e a legenda:

15

9

17

12

16

1110

M – Func. Público municipal

E – Func. Público estadual

F – Func. Público federal

C – Comerciário

T – Temporário

I – Comércio informal

P – Prestador de serviços

Levantamento com 90 chefes de famílias sobre os diferentes vínculos de trabalho




# Pág. 92


2.4. Gráfi cos de linhas ou curvas

São gráfi cos traçados no sistema de eixos cartesianos (ho-rizontal e vertical) representado por uma linha que une os pontos referentes à relação da variável com sua freqüência.

É mais utilizado para defi nir a tendência de aumento ou diminuição dos valores numéricos de uma dada informação ao longo do tempo (séries temporais).

Como construir um gráfi co de linhas:

" desenhar os eixos vertical e horizontal;" fazer as escalas em cada um dos eixos, na horizontal o

tempo e na vertical a freqüência;" marcar os pontos da relação variável (tempo) e cada

uma de suas freqüências;" unir cada um dos pontos por linhas, até chegar ao úl-

timo. Pode ser com retas ou curvas." não esquecer de escrever o título e a fonte.

Veja o exemplo a seguir:

FONTE: SEAS

Número de benefícios de prestação continuada concedidos à PPDs - 1996 a 2001

Anos Nº de benefícios

1996 384.232

1997 668.918

1998 852.524

1999 991.285

2000 1.220.051

2001 1.339.199FONTE: SEAS


Pág. 93 !


2.5. Gráfi cos polar

É o gráfi co mais indicado quando temos a necessidade de representar variações cíclicas, ou seja, que se repetem em períodos pré-determinados. É mais utilizado em estudos climáticos (para séries temporais).

M.A.P.A. – Monitorização da Pressão Arterial Ambulatorial– Indivíduo de 37 anos – período 24 hs.

Hora PAS (mmHg) PAD (mmHg)10 138 9112 132 9014 126 9216 128 9318 109 7520 131 9722 116 8924 130 882 121 814 108 686 117 688 112 71

FONTE: Clínica Renal (dados fi ctícios)

# Saiba mais

Veja a seguir algumas sugestões para analisar um gráfi co

Para ilustrar o exemplo, você vai acompanhar pelo gráfi co a seguir, mon-tado com base em dados da Secretaria Executiva de Inserção e Assistên-cia Social – SEAS.

FONTE: Secretaria Executiva de inserção e Assistência Social – SEAS


# Pág. 94


Adaptado do livro Representações gráfi cas (ano 2003), de Diva Marília Flemming e Elisa Flemming Luz.

Depois de estudar o que é diagrama e os diversos formatos de gráfi cos que são utilizados para explicar fatos e acontecimen-tos, o que você acha de realizar uma atividade de pesquisa?

Identifi car as variáveis expres-sas pelo gráfi co:" no exemplo anterior, o eixo ver-

tical representa o número de benefícios a PPDs, em milhares de unidades o eixo horizontal, os anos.

Identifi car os intervalos em que as variáveis atuam:

" número de benefícios: de 400 mil unidades à 1350 mil unida-des aproximadamente;

" anos: 1996 a 2001.

Identifi car onde a variável que está sendo estudada (Número de benefícios) apresenta máxi-mo e mínimo:" máximo: em 2001–1350 mil

benefícios concedidos;" mínimo: em 1996–400 mil be-

nefícios concedidos.

Identifi car se a tendência é de crescimento ou decrescimento. Em alguns casos é bastante difí-cil realizar essa identifi cação:" a tendência, nesse caso, é de

crescimento.

Analisar o comportamento de uma maneira geral, identifi can-do as alterações mais expres-sivas:" houve um crescimento quase

constante, sem apresentar pi-cos;

" somente em 1999, que o cresci-mento foi menor que os outros anos.

Outras análises também são possíveis, isso só depende do observador e muitas vezes, da variável que está sendo estu-dada.


Pág. 95 !


Atividades de Auto-avaliação $1. Procure em jornais, revistas, cartazes, internet, etc, três ti-pos de gráfi cos diferentes, semelhantes aos que você estudou até agora, e analise. Não esqueça de procurar por gráfi cos cujo tema seja dentro do seu curso. Faça uma descrição su-cinta de cada gráfi co e trace comentários sobre tendências, maior proporção, maior alta, maior baixa, etc.

Uma idéia interessante é disponibilizar a sua análise no Ambiente Virtual de Aprendizagem, na ferramenta Galeria. Ao acessar a Galeria, não esqueça de visitar a pesquisa de seus colegas afi m de conhecer mais tipos de gráfi cos e ler a análise que foi realizada para cada gráfi co.


# Pág. 96


" Seção 3O que são pictogramas?

(',(' '5& "&%',*6.#&' ! )!*,$* #( fi guras ou conjunto de fi guras representativas da intensidade ou das modalidades do fenômeno.

São mais utilizados em jornais, revistas, cartazes e propa-gandas, ou seja, quando se deseja dar um efeito mais atrativo ou chamar a atenção, sem nenhum rigor científi co.

Regras básicas que regem a construção de pictogramas:

" os símbolos devem ser auto-explicativos, ou seja, de-vem ter relação com o assunto ou com a abordagem utilizada na confecção do gráfi co;

" as quantidades podem ser expressas por um número maior ou menor de símbolos ou por variações nos ta-manhos dos símbolos;

" geralmente este tipo de gráfi co expressa uma visão ge-ral do fenômeno, sem muitos detalhes;

" este tipo de gráfi co não serve para interpretações téc-nicas.


Pág. 97 !

Seção 3 " O que são pictogramas?

Acompanhe no exemplo a seguir:

(Gráfi co extraído da revista Veja on-line – http://vejaonline.abril.com.br)

(Gráfi co extraído da revista Veja on-line – http://vejaonline.abril.com.br/notitia)

Agora chegou a hora de realizar mais uma atividade de pes-quisa e análise dos gráfi cos, mas desta vez sobre os pictogra-mas. Veja a atividade de auto-avaliação a seguir.


# Pág. 98


Atividades de Auto-avaliação $1. Procure em jornais, revistas, cartazes, internet, etc. dois pictogramas diferentes e faça uma descrição sucinta dos mes-mos. Analise cada gráfi co e trace comentários sobre tendên-cias, maior proporção, etc., inclusive se as fi guras têm relação com o assunto tratado.

Uma idéia interessante é disponibilizar a sua análise no Ambiente Virtual de Aprendizagem, na ferramenta Galeria. Ao acessar a Galeria, não esqueça de visitar a pesquisa de seus colegas afi m de conhecer mais tipos de gráfi cos e ler a análise que foi realizada para cada gráfi co.


Pág. 99 !

Seção 4 " O que são gráfi cos representativos?

" Seção 4O que são gráfi cos representativos?

0&": 7(13*! &' !''6%,&' ;6( estudou nas Seções 2 e 3?Na Seção 2 você estudou e compreendeu os vários tipos

e formatos de diagramas e na Seção 3 o estudo realizado foi dos pictogramas. Correto?

O objetivo desta seção é que você compreenda o que são gráfi cos representativos e onde são utilizados. Veja: para as distribuições de freqüências simples são utilizados o histo-grama e o polígono de freqüências, para as freqüências acu-muladas utilizamos o polígono de freqüências acumuladas.

A seguir, apresenta-se mais detalhes sobre cada um destes tipos de gráfi cos. Que tal começar agora o estudo de cada um deles?

4.1.Histograma

Este gráfi co é muito semelhante ao de colunas, ou seja, é for-mado por um conjunto de retângulos justapostos, de maneira que a altura de cada retângulo seja proporcional à freqüência simples da classe por ele representada.

É construído no sistema de eixos cartesianos. No eixo ho-rizontal são marcados os valores ou intervalos das classes as-sumidos pela variável. No eixo vertical marcamos as freqüên-cias simples, que servirá para marcar a altura dos retângulos, indicando, assim, o número de observações (ocorrências) de cada valor ou classe da variável.

Como a altura de cada retângulo é proporcional à fre-qüência simples, a área de cada retângulo também o é. Considerando isso, a soma das áreas dos retângulos também é proporcional à freqüência total.

% Você sabia que alguns gráfi cos em Estatística são usados para interpreta-ções de informações, análises de dados e, também, para a dedução geométrica de fórmulas de algumas medidas im-portantes?


# Pág. 100


Como construir um histograma:

" desenhar os eixos vertical e horizontal;" fazer as escalas em cada um dos eixos, no horizontal

os intervalos de classe e no vertical a freqüência;" desenhar os retângulos que representam cada inter-

valo, com a mesma largura de cada intervalo e com a altura proporcional às freqüências dos intervalos;

" não esquecer de escrever o título e a fonte.

Acompanhe o exemplo a seguir para compreender melhor o que é um histograma.

Quantidade emitida de óxido de enxofre, em toneladas, pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis

0

2

4

6

8

10

12

14

15,9 |--- 18,7 18,7 |--- 21,5 21,5 |--- 24,3 24,3 |--- 27,1 27,1 |--- 29,9 29,9 |--- 32,7 32,7 |--- 35,5

Quantidade de óxido de enxofre (em ton.)

Nºd

em

eses


Há uma analogia dos histogramas com os gráfi cos de barras. Nos gráfi cos de barras não há necessidade de se usar escala horizontal contínua, além de não ser necessária a rigidez de construção que os histogramas tem.

Quantidade emitida de óxido de enxo-fre (SO), em toneladas, pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis

Qtde de SO(em ton.)

Nº de meses(fi )

15,9 |--- 18,7 1218,7 |--- 21,5 821,5 |--- 24,3 1224,3 |--- 27,1 527,1 |--- 29,9 329,9 |--- 32,7 632,7 |--- 35,5 10



Pág. 101 !

Seção 4 " O que são gráfi cos representativos?

4.2. Polígono de freqüências

Para construir um polígono de freqüência de dados, basta unir por linhas retas os pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma.

Acompanhe os exemplos:

Você pode observar que a área do histograma é igual a área abaixo do polígono de freqüências, ou seja, os retângulos que fi cam fora são compensados pelos triângulos que estão adi-cionados por dentro.


# Pág. 102

Atividades de Auto-avaliação $1. A seguir você tem uma distribuição de freqüências e um sistema de eixos. Construa o histograma e o polígono de freqüências para esta distribuição usando o sistema de ei-xos (não esqueça de todos os componentes de um gráfi co, inclusive as escalas dos eixos, título e fonte):

Tempo de sono, em minu-tos, induzido em ratos por injeção intraperitonial de metohexital, na dosagem de 40 mg por quilo.

Tempo de sono(em min.) No de ratos

7 |--- 12 212 |--- 17 617 |--- 22 1722 |--- 27 927|--- 32 532 |--- 37 2



Nessa unidade você pôde ver como os gráfi cos facilitam a nossa vida. É com eles que temos acesso rápido e claro às informações e podemos ter uma visão completa do fenômeno que estamos estudando, sem a necessidade de gran-des cálculos. Mas uma informação im-portante que você não pode esquecer, é que a qualidade e a clareza do gráfi co é pré-requisito para um bom trabalho, afastando toda a possibilidade de ten-denciosidade. Outra questão importan-te que você estudou nesta unidade foi a respeito dos tipos de diagramas, os pictogramas e os gráfi cos representati-vos de distribuição de freqüências.

Na próxima unidade, você vai estudar as medidas de posição, que são umas das mais impor-tantes dentro da Estatística.

# Para pesquisar

Você poderá ver como fazer gráfi cos no Excel acessando os sites:

" http://www.cultura.ufpa.br/dicas/ex-cel/excel.htm

" http://www.aldo.fl oripa.com.br/Gra-fi cos/grafi cos.htm

" http://www.fundacaobradesco.org.br/vv-apostilas/ex_suma.htm

Caso você queira aprofundar os estu-dos do assunto dessa unidade, pes-quise em:

LEVIN, Jack. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. São Paulo: Habra, 1987.


VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. São Paulo: Pioneira, 2003.



Pág. 103 !

Medidas de posição%!' 6%$#!#(' !%,(*$&*(' 0&": estudou os diferentes tipos de tabelas e gráfi cos e como montá-los.

Nessa unidade, você vai obter mais uma ferramen-ta para auxiliá-lo a compreender e utilizar a estatística no seu dia-a-dia profi ssional. O objetivo aqui é estudar medidas importantes e bastante utilizadas nos métodos estatísticos.

Está preparado(a)?

Então inicie agora a leitura da seção a seguir!

5!Objetivos de aprendizagem" Conhecer os tipos de medidas de posição.

" Calcular e interpretar a média, a moda e a mediana para dados brutos e agrupados.

" Compreender e calcular separatrizes.

Unidade


# Seção 1O que são medidas de posição? . . . . . . 104

# Seção 2Como calcular a média? . . . . . . . . . . . . . . 105

# Seção 3Como calcular a mediana? . . . . . . . . . . . 112

# Seção 4Como calcular a moda? . . . . . . . . . . . . . . 115

# Seção 5Qual medida de tendência central usar: média, mediana ou moda?. . . . . . 118

# Seção 6Como calcular separatrizes? . . . . . . . . . . 119


# Pág. 104

Métodos Estatísticos " Unidade 5 Medidas de posição

" Seção 1O que são medidas de posição?

16$,!' 0(<(', 0&": $*9 '( #()!*!* com uma massa de da-dos grande o bastante para que a leitura e a análise se tornem muito difíceis. E como fazer para tirar informações relevantes e resumir os dados de forma efi caz nesses casos?

Usando medidas estatísticas! Nessa unidade vamos ver algumas delas.

As medidas de posição, chamadas assim pela posição que elas ocupam na série estatística, quando bem utilizadas e interpretadas podem ser úteis, não só por ela mesma, mas também, auxiliando o cálculo de outras medidas que você vai ver em outras unidades.

Além de tudo, ela facilita o estudo de grandes volumes de dados, pois as medidas de posição podem resumir as informa-ções dando a você uma noção do comportamento do todo.

As medidas de posição estão divididas da seguinte maneira:

a) medidas de tendência central: são valores da variável que tendem a estar no centro da série, por isso o nome. Refere-se ao valor da variável que está, senão no cen-tro, perto dele. Está dividia em três tipos:

" média;" mediana;" moda;

b) separatrizes: são valores da variável que dividem a sé-rie ordenada de dados em partes que contém a mesma quantidade de observações.

Nas seções seguintes você vai estudar em detalhes cada uma delas.


Pág. 105 !

Seção 2 " Como calcular a média?

Obs.: PPDs – pessoas portadoras de defi ciências

" Seção 2Como calcular a média?

! 1=#$! = 61! #!' 1(#$#!' mais importantes dentro da Estatística. Ela é o ponto de equilíbrio de uma série de dados. Veja a fi gura a seguir, extraída do livro Introdução à Estatística, de Mário F. Triola.

FIGURA - A média como ponto de equilíbrio (TRIOLA, 1999, p. 32).

Vários tipos de médias podem ser calculados para uma massa de dados. A mais importante é a média aritmética, que você irá estudar nessa seção.

1. Média aritmética

A média aritmética é a soma de todos os elementos de uma série de dados, dividida pelo número de elementos que com-põe essa série.

Veja a seguir como representá-la.Notação:

X– = média dos dados de uma amostra) = média dos dados de uma população


# Pág. 106


1.1. A média aritmética para dados brutos

Agora, você vai calcular a média para dados que não foram organizados em tabelas, ou seja, estão conforme foram cole-tados, brutos. veja Unidade 3, Seção 1.

A soma de todos os valores, dividida pelo número de valores.

Onde:

n = número de valores da série (ou tamanho da amostra)xi = valores da série

Veja a seguir um exemplo bem detalhado para compreender como realizar os cálculos.

Um exemplo bem típico é calcular a média das notas das provas. Digamos que as notas de uma disciplina cursada por você sejam: 7; 7,8; 6 e 8, então a média será:

1.2. A média aritmética para dados agrupados

Agora, você vai calcular a média para dados que foram orga-nizados em tabelas, ou seja, após a coleta, eles foram organi-zados em categorias e escritos em uma tabela. veja Unidade 3, Seções 4 e 5.

1.2.1. Dados agrupados sem intervalos (variável discreta)

Para os dados agrupados (em tabela), sem intervalos, utiliza-se a fórmula descrita abaixo, onde cada freqüência simples pode ser considerada como peso. Por isso que chama-se, também, de média aritmética ponderada (pesos).


Pág. 107 !


A soma de todos os valores multiplicados por sua freqüência simples, dividida pela soma das freqüências (freqüência total).

Onde:

n = número de valores da série (ou tamanho da amostra)xi = valores da sériefi = freqüência simples de cada xi

Veja a seguir um exemplo.

Calcule a média dos dados representados na tabela abaixo:


No de fi lhos (xi)

No de famílias (fi ) xi.fi

0 14 01 16 162 11 223 9 274 4 165 1 56 1 6

Total (!fi ) 56 92


Veja a seguir como calcular passo a passo . . . . . . . . . . .

" Passo 1: some a coluna das freqüências simples (fi ) para obter #fi (freqüência total)

#fi = 56

" Passo 2: multiplique cada xi por sua correspondente fi e escreva na coluna xi.fi

" Passo 3: some os valores calculados no passo 2 e escre-va no fi nal da coluna. Esse resultado é o #xi.fi

#xi.fi = 92

" Passo 4: divida o resultado do passo 3 (#xi.fi ) pelo resultado do passo 1 (#fi )

0$14 = 0

1$16 = 16

2$11 = 22

3$9 = 27

!xi.fi = 92

Somar as freqüências simples

& Sugestão:Criar uma coluna à direta para auxiliar nos cálculos.

% Como interpretar estes dados?O valor médio da série é 1,64, ou seja, a média de fi lhos por família é de 1,64 fi lhos (!?). Dúvidas?

É! Dessa maneira pode parecer um absurdo, mas você pode concluir que a média de fi lhos por família é de 1 a 2 fi lhos.


# Pág. 108


1.2.2. Dados agrupados com intervalos (variável contínua)

Para os dados agrupados em tabela, com intervalos, você deve utilizar a fórmula descrita a seguir, semelhante àquela utilizada para dados sem intervalos, sendo que, por estarmos usando intervalos, usamos os pontos médios e não xi.

A soma de todos os pontos médios multiplicados por sua freqüência simples, dividida pela soma das freqüências (fre-qüência total).

Onde:

n = número de valores da série (ou tamanho da amostra)PM = ponto médio do intervalo (veja unidade 3 seção 6)fi = freqüência simples de cada intervalo

Veja um exemplo a seguir para compreender.

Calcule a média dos dados representados na tabela abaixo:

Quantidade emitida de óxido de enxofre (SO), em toneladas, pelas fábricas do distrito industrial de Florianópolis

Qtde. de SO (em ton.)

Nº de meses (fi ) PM PM.fi

15,9 |--- 18,7 12 17,3 207,618,7 |--- 21,5 8 20,1 160,821,5 |--- 24,3 12 22,9 274,824,3 |--- 27,1 5 25,7 128,527,1 |--- 29,9 3 28,5 85,529,9 |--- 32,7 6 31,3 187,832,7 |--- 35,5 10 34,1 341

Total (!fi ) 56 1386

FONTE: Pesquisa em escola (dados fi ctícios).

17,3$12 = 207,6

20,1$8 = 160,8

22,9$12 = 274,8

25,7$5 = 128,5

!xi.fi = 92

Somar as freqüên-cias simples

(15,9 + 18,7)⁄2 = 17,3

Dica!Quando trabalhamos com dados agrupados em intervalos, passamos a trabalhar com a perda dos valores indi-viduais, ou seja, sabemos a freqüência de cada intervalo, mas não sabemos exatamente quais são os valores con-tidos nele (intervalo). Por esse motivo, o cálculo da média, nesse caso, é feito com o uso do ponto médio. A média, sendo assim, é um valor aproximado.

& Sugestão:Criar uma coluna à direta para auxiliar nos cálculos.


Pág. 109 !


Veja passo a passo como calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: some a coluna das freqüências simples (fi ) para obter !fi (freqüência total)

#fi = 56

" Passo 2: calcule o ponto médio de cada intervalo. Você lembra?

" Passo 3: multiplique cada PM por sua correspondente fi e escrever na coluna PM.fi

" Passo 4: some os valores calculados no passo 3 e escre-ver no fi nal da coluna, esse resultado é o !PM.fi

!PMi.fi = 1386

" Passo 4: divida o resultado do passo 4 (!PM.fi ) pelo resultado do passo 1 (!fi )

% Como interpretar o resultado?A quantidade média de óxido de enxo-fre emitida em 56 meses foi de 24,75 toneladas.


# Pág. 110


Atividades de Auto-avaliação $1. Uma empresa procurou estudar a ocorrência de uso de drogas lícitas – bebidas alcoólicas – por seus empregados, tendo, para isso, a "$)! realizado um levantamento sobre o número de dias por semana que cada um dos empregados

costuma beber. Calcule e interprete a média. Os dados cor-respondentes são:

Consumo de bebidas alcoólicas por semana pelos funcionários.

No de dias (xi) No de func. (fi ) xi.fi 0 101 162 143 84 55 46 47 3

Total (!fi ) 64



Pág. 111 !


2. Os dados abaixo representam a renda de uma amostra de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis, em reais. (dados fi ctícios). Calcule e interprete a média.

Renda de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis.

Renda (R$) No de famílias(fi )

PM PM.fi

112 |---- 115 2

115 |---- 118 6

118 |---- 121 4

121 |---- 124 9

124 |---- 127 8

127 |---- 130 7

Total ("fi ) 36FONTE: Dados fi ctícios


# Pág. 112


" Seção 3Como calcular a mediana?

! 1(#$!%! = 0!7&* ;6( #$0$#( a série de dados em duas partes iguais, ou seja, é o valor observado que está no meio da série.

Notação:

Me = Mediana (também é usado md)

1. Mediana para dados brutos

Agora, você vai calcular a mediana para dados que não foram organizados em tabelas, ou seja, estão conforme foram cole-tados, brutos. veja Unidade 3, Seção 1.

Após a ordenação crescente dos dados (rol, veja Unidade 3, Seção 4), determinamos o número de elementos (n) do mes-mo. Separamos em dois casos:

a) quando o n (tamanho da amostra) é ímpar: o cálculo da posição da mediana deve ser conforme segue:

b) quando o n (tamanho da amostra) é par: o cálculo da posição da mediana deve ser realizado com a seguinte fórmula:


Pág. 113 !

Seção 3 " Como calcular a mediana?

Veja passo a passo como calcular a mediana

para dados brutos quando o (n) é ímpar: . . . . . . . . . . . .

Calcular a mediana da série X: 5, 30, 27, 9, 15, 19, 24, 20, 31

" Passo 1: ordene de forma crescente 5, 9, 15, 19, 20, 24, 27, 30, 31

" Passo 2: o número de elementos é 9 (n=9) ímpar

" Passo 3: calcule a posição da mediana

" Passo 4: a mediana é o 5º elemento.

1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o

5 9 15 19 20 24 27 30 31Me=20

Veja passo a passo como calcular a mediana

para dados brutos quando o (n) é par . . . . . . . . . . . . . . .

Para você encontrar a mediana calculamos o ponto médio dos dois valores que ocupam as posições calculadas.

Calcular a mediana da série X: 5, 30, 27, 9, 15, 19, 24, 20

" Passo 1: ordene de forma crescente 5, 9, 15, 19, 20, 24, 27, 30

" Passo 2: o número de elementos é 8 (n=8) par

" Passo 3: calcule a posição de Pos1 e Pos2

" Passo 4: a mediana está entre o 4o e o 5º elemento.

1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o

5 9 15 19 19,5 20 24 27 30

Você viu como se encontra a mediana para dados brutos. Assim como você estudou na média, aqui também para efeito de cálculo você usará diferente tratamento quando se tratar de dados agrupados com intervalos (variável discreta) e dados agrupados sem intervalos (variável contínua). Mas para a fi -nalidade do estudo dessa disciplina não será incluído.

% Como interpretar estes dados?50% dos valores da série são menores ou iguais a 20 e, 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 20.

% Como interpretar estes dados?50% dos valores da série são menores que 19,5 e, 50% dos valores da série são valores maiores que 19,5.


# Pág. 114


Atividades de Auto-avaliação $1) Abaixo estão dois conjuntos de dados. Calcule a mediana para cada um deles e interprete seus resultados.

Conjunto 115 19 13 21 16 17 15 12 13

Sugestão: use a tabela abaixo para organizar e posicionar os dados

Conjunto 217 18 14 14 15 15 16 16

Sugestão: use a tabela abaixo para organizar e posicionar os dados


Pág. 115 !

Seção 4 " Como calcular a moda?

" Seção 4Como calcular a moda?

! 1&#! = & 0!7&* ;6( 1!$' '( *()(,( em uma série de dados, ou seja, de maior freqüência.

Notação:

Mo = Moda

1. Moda para dados brutos

Agora, você vai encontrar a moda para dados que não foram organizados em tabelas, ou seja, estão conforme foram cole-tados, brutos. veja Unidade 3, Seção 1.

A moda será o valor que mais se repete no conjunto de dados.

Veja os exemplos:

a) Exemplo 1: X: 15, 16, 19, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28 O elemento que mais se repete é o 22, então, Mo=22.

Observe que o número 20 se repete, mas não mais que o 22.

Para esse caso, onde a Mo=22, afi rma-se que a série é unimodal.

b) Exemplo 2: X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28 Os elementos que mais se repetem são o 20 e o 22,

então, Mo1=20 e Mo2=22. Para esse caso, onde temos duas modas na série, afi rma-se que a série é bimodal.

Acima de duas modas é mais comum chamarmos a série de polimodal.


# Pág. 116


c) Exemplo 3: X: 20, 20, 22, 22, 25, 25, 28,28 Na série acima não temos um elemento que mais se

repete, pois todos têm a mesma freqüência. Nesse caso afi rma-se que a série é amodal.

Você viu como se encontra a mode para dados brutos. Assim como você estudou na média, aqui também para efeito de cálculo você usará diferente tratamento quando se tratar de dados agrupados com intervalos (variável discreta) e dados agrupados sem intervalos (variável contínua). Mas para a fi nalidade do estudo dessa disciplina não será incluído.


Pág. 117 !

Seção 4 " Como calcular a moda?

Atividades de Auto-avaliação $1) Abaixo estão três conjuntos de dados. Encontre a Moda para cada um deles e interprete seus resultados.

Conjunto 017 6 5 8 2 1 3 2 11 7 6 8 5 1 2 2 7

Conjunto 025 6 8 2 3 5 3 32 6 5 8 3 2 5 6

Conjunto 035 6 3 7 5 3 2 11 6 7 2 8 4 8 4


# Pág. 118


" Seção 5Qual medida de tendência central usar: média, mediana ou moda?

%5& +9 61! *(')&',! '$1)7(' e objetiva para determinar a medida que seja mais representativa. A seguir você encontra um resumo das vantagens e desvantagens de cada medida de tendência central:

Medida Defi nição Freqüência ExistênciaLeva em conta todos os valores?

Afetada pe-los valores extremos?

Vantagens e desvantagens

MédiaSoma de todos os valo-res divididos pelo nº de valores

Mais usada Existe sempre Sim SimUsada em toda Estatística; funciona bem com muitos métodos estatísticos

Mediana Valor que divide a série na metade

Usada comumente

Existe sempre Não NãoCostuma ser uma boa es-colha se há alguns valores extremos

Moda Valor que mais se repete (maior freqüência)

Usada às vezes

Pode não existir ou pode haver mais de uma

Não NãoApropriada para dados ao nível nominal


Pág. 119 !

Seção 6 " Como calcular separatrizes?

" Seção 6Como calcular separatrizes?

%! 1!$&*$! #&' "!'&' & )(';6$'!#&* tem interesse em co-nhecer outros aspectos relativos ao conjunto de valores, além de um valor central ou valor típico. Algumas informações re-levantes podem ser obtidas através do conjunto de medidas: média, extremos, quartís, decís, percentís, etc.

Veja a seguir mais detalhes e exemplos de como calcular as separatrizes.

a) Quartís: divide uma série ordenada em quatro partes iguais, ou seja, em partes de 25% cada.

Representação: ;1, ;2 e ;3.Denominação: 1º quartil, 2º quartil e 3º quartil

b) Decís: divide uma série ordenada em 10 partes iguais, ou seja, em partes de 10% cada.

Representação: #1, #2, .... e #9.Denominação: 1º decil, 2º decil, ... e 9º decil

c) Percentil: divide uma série ordenada em 100 partes iguais, ou seja, em partes de 1% cada.

Representação: )1, )2, .... e )99.Denominação: 1º percentil, 2º percentil, ... e 99º per-centil

Observação!Note que a mediana também é uma se-paratriz. Você saberia dizer com quais separatrizes podemos comparar? Veja:

Q2=D5=P50=Me

Todas essas medidas dividem a série de dados pela metade.

" 50% dos valores são menores que Q2=D5=P50=Me e,

" 50% dos valores são menores que Q2=D5=P50=Me.


# Pág. 120


1. Separatrizes para dados brutos

O procedimento é bastante semelhante ao da mediana. Preste atenção nas explicações a seguir: após a ordenação crescente dos dados (rol), determinamos o número de elementos (n) do mesmo.

Veja o exemplo passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcular Q1 para a série de dados X: 22, 15, 20, 22, 28, 20, 20, 22, 25, 26, 16

" Passo 1: ordene de forma crescente (rol): 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28

" Passo 2: o número de elementos é 11 (n = 11 – ímpar). Aqui você deve adotar procedimento semelhante ao da Mediana. Deve usar a mesma fórmula para calcular a posição. Lembre-se: a posição! Assim você irá encontrar a mediana, ou seja, o segundo quartil (Q2).

" Passo 3: Pos = 6, ou seja, Q2 ocupa a 6ª posição.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º15 16 20 20 20 22 22 22 25 26 28

Observe que o Q2 = 22Interpretação para Q2 = 22: “50% dos valores da série são menores ou iguais que 22 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais que 22”.

Antes do Q2, está formado um novo conjunto de dados, mostrado abaixo:

1º 2º 3º 4º 5º15 16 20 20 20

Neste caso, a mediana (desta nova série de da-dos) será o primeiro quartil. É só repetir o mes-mo processo feito nos passos 2 e 3.

11 1 12Pos 6

2 2+% &= = =' () *

" Passo 4: o número de elementos é 5 (n = 5 – ímpar).

" Passo 5:Pos = 3, ou seja, Q1 ocupa a 3a posição.

1º 2º 3º 4º 5º15 16 20 20 20

Observe que o elemento que ocupa a terceira posição é o 20, então, Q1 = 20

5 1 6Pos 3

2 2+% &= = =' () *% Como interpretar estes dados?

" 25% dos dados observados são menores ou iguais a 20.

" 75% dos valores observados são maiores ou iguais a 20.


Pág. 121 !


Observação: Pode ser usado, também, para calcular a posição do primeiro quartil e do terceiro, respectivamente, as seguintes fórmulas:

Para o primeiro quartil

1Q

(n 1)P

4+=

Para o terceiro quartil

3Q

3 (n 1)P

4+ +=

Veja como você pode calcular o terceiro quartil:

" Passo 1: o número de elementos é 11 (n = 11).

" Passo 2: Pos = 9, ou seja, Q3 ocupa a 9ª posição.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º15 16 20 20 20 22 22 22 25 26 28

Observe que o elemento que ocupa a nona posição é o 25, então, Q3 = 25

3 (11 1) 3 12 36Pos 9

4 4 4+ + += = = =

Percentis

Observação: para calcular a posição dos percentis use a seguinte fórmula:

Para o primeiro quartil

iP

i(n 1)P

100+=

PPi = posição da separatrizN ou n = tamanho da população (ou amostra)i = número da separatriz (ex.: P60 " i = 60)

Continuando com o mesmo exemplo, calcule o Sexagésimo Percentil.

" Passo 1: o número de elementos é 11 (n = 11) e o i = 60.

" Passo 2: PP60 = 7,2, ou seja, P60 está entre a 7ª e a 8ª posições.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º PP60 8º 9º 10º 11º

15 16 20 20 20 22 22 P60 22 25 26 28

P60

60(11 1) 720P 7,2

100 100+= = =

" Passo 3: o Para calcular o sexagésimo percen-til, você deve encontrar o valor que fi ca entre os valores que ocupam a 7ª e a 8ª posições.

Valor que ocupa a 7ª posição = 22Valor que ocupa a 8ª posição = 22

Então, P60 = 22

60

22 22P 22

2+= =

% Como interpretar estes dados?" 75% dos dados observados são

menores ou iguais a 25." 25% dos valores observados são

maiores ou iguais a 25.





# Pág. 122


Decis

Se você notar, poderá comparar os decís com alguns percen-tis, ou seja:

Decís 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9ºPercentis 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º 90º

Isso mesmo, por exemplo, o D1 = P10, o D2 = P20, D3 = P30, e assim, sucessivamente. Note, também, que as interpretações são as mesmas:

" Para o primeiro decil: 10% dos valores observados são menores e 90% dos valores observados são maiores;

" Para o segundo decil: 20% dos valores observados são menores e 80% dos valores observados são maiores;

" Para o terceiro decil: 30% dos valores observados são menores e 70% dos valores observados são maiores;

" Etc.

Continuando com o mesmo exemplo, calcule o Terceiro Decil.

Observação: Note que o terceiro decil é igual ao trigésimo percentil, (D3 = P30)! Sené a mesma coisa que calcular o P30.

D3 = P30

" Passo 1: o número de elementos é 11 (n = 11) e o i = 30.

" Passo 2: PD3 = PP30 = 3,6, ou seja, D3 está entre a 3ª e a 4ª posições.

1º 2º 3º PD3 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º

15 16 20 D3 20 20 22 22 22 25 26 28

D3 P30

30 (11 1) 360P P 3,6

100 100+ += = = =

" Passo 3: o Para calcular o terceiro decil, você deve encontrar o valor que fi ca entre os valores que ocupam a 3ª e a 4ª posições.

Valor que ocupa a 3ª posição = 20Valor que ocupa a 4ª posição = 20

Então, D3 = 20

3

20 20D 20

2+= =





Pág. 123 !


Você viu como se encontra a mediana para dados brutos. Assim como você estudou na Média, aqui também para efei-to de cálculo você usará diferente tratamento quando se tratar de dados agrupados com intervalos (variável discreta) e dados agrupados sem intervalos (variável contínua). Mas para a fi -nalidade do estudo dessa disciplina não será incluído.


# Pág. 124

Atividades de Auto-avaliação $1. Em um grupo de pacientes acometidos de fobias, foi levantado o tempo em tratamento em anos, conforme tabela abaixo. Calcule o Q3, o D9 e o P35 e interprete seus resultados.

Tempo em tratamento de fobias em anos:4 6 8 2 5 9 4 3 8 9 5 4

Use a tabela abaixo para organizar e posicionar os dados


Nessa unidade, você pôde estudar e compreender mais “ferramentas” que irão auxiliá-lo na prática de sua profi s-são. Estudou também como se calcula todas as medidas apresentadas nesta unidade, tanto para dados brutos ou agrupados, com e sem intervalos.

De todas as medidas vistas até o mo-mento, tenha em mente, que a mais importante é a média. Ele é a mais usa-da nos cálculos e análises estatísticas.

Agora eu pergunto: caso você tenha que comparar dados de origens dife-rentes, sabendo que suas médias (de salários, de idade, de comprimento, etc.) são diferentes, que conclusões po-deria tirar? E se elas são iguais?

Na próxima unidade você vai estudar como proceder para poder interpre-tar tais situações.

# Para Pesquisar


CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fá-cil. São Paulo: Saraiva, 2001.

SILVA, Ermes Medeiros da. Estatística. v.1. São Paulo: Atlas, 1996.


Acesse também o site:

" http://alea-estp.ine.pt(muito interessante)



Pág. 125 !

6!Objetivos de aprendizagem" Compreender os tipos de medidas de

dispersão.

" Calcular e interpretar variância e desvio-padrão para dados brutos e agrupados.

Unidade


# Seção 1O que são as medidas de dispersão?. . 126

# Seção 2Como calcular a variância e o desvio-padrão? . . . . . . . . . 128

# Seção 3Para entender melhor o desvio-padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

# Seção 4Como comparar séries usando o desvio padrão? . . . . . . . . . . . . 142

Medidas de dispersão%! 6%$#!#( !%,(*$&* você compreendeu como se calcula média, moda, mediana e separatrizes, não é mesmo? Estas fer-

ramentas serão de grande valia no seu dia-a-dia profi ssio-nal, pois lhe fornecerão dados que serão pertinentes para o entendimento de algum fato ou acontecimento. Mas você acha que conhecer as interpretações destas medidas, basta por si só? Podemos chegar a algumas conclusões, mas não são o bastante para que possamos avaliar o comportamento dos dados.

Nessa unidade, você vai estudar medidas que irão auxiliá-lo na avaliação do comportamento das séries de dados com relação a sua média. Essas medidas chamamos de medidas de dispersão.


# Pág. 126

Métodos Estatísticos " Unidade 6 Medidas de dispersão

" Seção 1O que são as medidas de dispersão?

)!*! *(')&%#(* (',! )(*26%,!, acompanhe o exemplo a seguir:

A realização de testes em três grupos de pessoas resultou nos escores descritos abaixo:

Grupos Escores (em pontos) obtidos por pessoa (10 pessoas) TotalGrupo 1: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 60Grupo 2: 1 8 9 2 6 10 5 8 7 4 60Grupo 3: 5 6 7 7 6 5 6 7 5 6 60

Se você calcular a média dos escores para cada grupo, obterá os seguintes resultados:

Para o grupo 1:

, ou seja, 6 pontos é o escore médio;

Para o grupo 2:


Para o grupo 3:



Pág. 127 !

Seção 1 " O que são as medidas de dispersão?

Observe que os escores médios dos três grupos são iguais. E agora? Como diferenciar um grupo do outro? Olhando so-mente para os dados você pode tirar algumas conclusões:

No Grupo 1 as pessoas têm o mesmo escore, no Grupo 2 os escores são diversifi cados, no Grupo 3 existe uma peque-na diversifi cação, ou seja, os escores estão bem próximos da média.Pode-se afi rmar, quanto à dispersão das séries acima que:

" Grupo 1: não é uma série em que os dados apresentam dispersão com relação à média, ou seja, os dados estão totalmente concentrados em torno da média;

" Grupo 2: é uma série de dados em que os valores ob-servados estão bastante dispersos, ou seja, apresenta muitos valores distantes da média. Podemos dizer que é uma série dispersa;

" Grupo 3: há uma pequena diferença de alguns dados com relação à média, ou seja, apresenta uma pequena dispersão com relação à média.

Em resumo, nos grupos 1 e 3, a média pode servir como uma medida representativa, mas no Grupo 2, esta situação está bastante prejudicada.

As principais medidas de dispersão absolutas são: ampli-tude total, desvio médio simples, variância e desvio-padrão.

Quanto a amplitude total, você já teve uma noção na Unidade 3, lembra-se? O desvio médio simples, não menos importante, não será visto nesta disciplina, pois, para o obje-tivo que pretende-se alcançar, a variância e o desvio-padrão são mais adequados.

Para identifi car esses tipos de situações é que usamos as medidas de dispersão. Essas medidas são a maneira mais ade-quada para quantifi car a dispersão dos dados e avaliar a representatividade da média.

! Amplitude total, desvio médio simples, variância e desvio-padrão são chama-dos de medidas de dispersão absolutas.


# Pág. 128


" Seção 2Como calcular a variância e o desvio-padrão?

)!*! 0&": "&1(4!* ! ,*!3!7+!* com dispersão é neces-sário que conheça as formas de representação da variância e do desvio-padrão. Veja a seguir como representá-las.

Notação:

Para a população

*2(x) " variância*(x) " desvio-padrão

Para a amostra

s2(x) " variâncias(x) " desvio-padrão

1. A variância e o desvio-padrão para dados brutos

Neste item você vai aprender como calcular a variância e o desvio-padrão para dados brutos. Preste atenção que a fór-mula para população e amostra são diferentes.

Para a população

variância

desvio-padrão

Para a amostra

variância

desvio-padrão

% Observação: A única diferença entre as duas fórmulas da variância são os denominadores. Para população usamos n e para a amostra usamos n–1. Como ao trabalharmos com uma amostra para estimar valores de uma po-pulação a variabilidade dos dados é maior, então, dessa maneira é mais indi-cado usarmos n–1 para que não subestimemos a dispersão. O n–1 é usado, nesse caso, como uma correção para a variância da amostra. Note que em amostras com mais de 30 elementos, essa correção se torna irrelevante.

! A variância é a média dos quadrados dos desvios de cada valor da série com relação à média ( !(xi – ")2 a soma dos desvios). Ficou complicado? Não se preocupe, a seguir você vai aprender como calcular!

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, pois assim fi ca mais fácil analisar e comparar com a média, pois se usássemos a variância, as unidades seriam ao quadrado, enquanto que o desvio-padrão apresentaria a mesma unidadede medida que a média.


Pág. 129 !

Seção 2 " Como calcular a variância e o desvio padrão?

Para entender melhor, imagine que a média de idade de um grupo de pessoas seja de 45 anos e a variância seja de 4 anos2 (veja a fórmula, os valores são elevados ao quadrado). Seria difícil comparar ‘anos’ com ‘anos2’. Para tanto, usamos o des-vio-padrão que seria a raiz quadrada de 4 anos2, ou seja, 2 anos. A mesma unidade de medida da média (anos).


As notas de um teste estão relacionadas ao lado. Calcular a variância e o desvio padrão.

Notas: 7; 7,5; 6 e 8,3

Agora é hora de calcular a variância e o desvio-padrão. Siga os passos!

" Passo 1: calcule a média:

Obs.: não esqueça que na média para a população utiliza-se a letra grega %.

+ + +µ = = = =7 7,5 6 8,3 28, 8x 7,2

4 4

" Passo 2: calcule os desvios subtraindo cada valor pela média (xi – x̄):

(x1– x̄) = (7–7,2) = –0,2(x2– x̄) = (7,5–7,2) = 0,3(x3– x̄) = (6–7,2) = –1,2(x4– x̄) = (8,3–7,2) = 1,1

" Passo 3: eleve ao quadrado cada desvio calculado no passo 1 (xi – x̄)2:

(x1 – x̄)2 = (–0,2)2 = 0,04(x2 – x̄)2 = (0,3)2 = 0,09

(x3 – x̄)2 = (–1,2)2 = 1,44(x4 – x̄)2 = (1,1)2 = 1,21

" Passo 4: some todos os valores obtidos no passo 3 e divida pelo número de elementos (N) quando se tratar de dados da população ou por n-1 se tratar de dados de uma amostra. Veja abaixo:

Caso sejam dados de uma população:

,µ + + +- = = =! 2i2 (x ) 0, 04 0, 09 1, 44 1,21 2,78

(x)n 4 4

Então &2(x) = 0,695

Caso sejam dados de uma amostra:

, + + += = =, ,

! 2i2 (x x) 0, 04 0, 09 1, 44 1,21 2,78

s (x)n 1 4 1 3

Então s2(x) = 0,92667

" Passo 5: calcule o desvio-padrão calculando a raiz da variância.

Acompanhe agora o cálculo do desvio-padrão:

Caso sejam dados de uma população: - = =(x) 0, 698 0, 83367

Caso sejam dados de uma amostra: - = =(x) 0, 92667 0, 96264

% Como interpretar estes dados?A variabiliade das notas é de 0,83367 ponto.

A variabiliade das notas é de 0,96264 ponto.


# Pág. 130


Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e os enunciados citados nesta seção, resolva os desafi os propostos a você.

1) Os dados a seguir representam o tempo em minutos, usa-dos por um grupo de seis pessoas na realização de um teste. Calcule a variância e o desvio-padrão, considerando como uma população.

Tempo (em min.): 25, 22, 36, 20, 29, 38


Pág. 131 !


2) Os escores obtidos por cinco pessoas em um teste, estão relacionados a seguir. Calcule a variância e o desvio-padrão, considerando como uma amostra.

Tempo: 15, 10, 9, 23, 31


# Pág. 132


2. A variância e o desvio-padrão para dados agrupados

Agora, você vai calcular a variância e o desvio-padrão para dados que foram organizados em tabelas, ou seja, após a co-leta, eles foram organizados em categorias e escritos em uma tabela. !eja Unidade 3, Seção 4 e 5.

2.1. Variância e desvio-padrão para dados agrupados sem intervalos (variável discreta)

Nesse item, você poderá ver como se calcula a variância e o desvio-padrão para dados organizados em tabelas onde os da-dos estão agrupados sem intervalos. !eja Unidade 3, Seção 4.

Veja as fórmulas:

Para a população

variância

desvio-padrão

Para a amostra

variância

desvio-padrão

Acompanhe o exemplo a seguir para compreender como rea-lizar o cálculo dos dados agrupados sem intervalos.

A tabela a seguir apresenta o número de fi lhos por famí-lias de um bairro de Florianópolis. Calcular a variância e o desvio padrão.

No de fi lhos (xi)

No de famílias (fi ) xi.fi (xi – x̄) (xi – x̄)2 (xi – x̄)2. fi

0 14 0 -1,64 2,69 37,661 16 16 -0,64 0,41 6,562 11 22 0,36 0,13 1,433 9 27 1,36 1,85 16,654 4 16 2,36 5,57 22,285 1 5 3,36 11,29 11,296 1 6 4,36 19,01 19,01! 56 92 114,88

Fonte: dados fi ctícios

0 – 1,64 = –1,64

1 – 1,64 = –0,64

(–1,64)2 = 2,69

(–0,64)2 = 0,41

2,69+14 = 37,66

2,69+14 = 37,66

"fi "xi.fi

"(xi – x̄)2. fi

& SugestãoCriar mais quatro colunas à direta para auxiliar nos cálculos.


Pág. 133 !



" Passo 1: some a coluna das freqüências sim-ples (fi) para obter !fi (freqüência total)

!fi = 56

" Passo 2: calcule a média: multiplique cada xi por sua correspondente fi e escreva na coluna xi.fi some os valores calculados e em seguida escreva no fi nal da coluna esse resultado que é o !xi.fi

!xi.fi = 92

" Passo 3: divida o resultado do passo 2 (!xi.fi) pelo resultado do passo 1 (!fi)

" Passo 4: calcule a quarta coluna, (xi – x̄) sub-traindo o xi de cada linha pela média

0 – 1,64 = –1,641 – 1,64 = –0,642 – 1,64 = 0,363 – 1,64 = 1,364 – 1,64 = 2,365 – 1,64 = 3,366 – 1,64 = 4,36

" Passo 5: calcule a quinta coluna, elevando os valores da quarta ao quadrado, (xi – x̄)2

(–1,64)2 = 2,69(–0,64)2 = 0,41(0,36)2 = 0,13(1,36)2 = 1,85(2,36)2 = 5,57

(3,36)2 = 11,29(4,36)2 = 19,01

" Passo 6: calcule a sexta coluna, multiplicando os valores da quinta pela freqüência simples de cada linha, (xi – x̄)2. fi

2,69$14 = 37,660,41$16 = 6,560,13$11 = 1,431,85$9 = 16,655,57$4 = 22,28

11,29$1 = 11,2919,01$1 = 19,01

" Passo 7: some os valores obtidos na sexta coluna, #(xi – x̄)2. fi

#(xi – x̄)2. fi = 114,88

" Passo 8: calcule a variância:


Então &2(x) = 2,051


Então s2(x) = 2,089

" Passo 9: calcule o desvio-padrão:



Não esqueça que na média para a po-pulação usamos a letra grega ". Você irá calcular para os dois casos, amostra e população.

% Como interpretar estes dados?A variabiliade do número de fi lhos é de 1,432 fi lhos.

A variabiliade do número de fi lhos é de 1,445 fi lhos.


# Pág. 134


Atividades de Auto-avaliação $1. Uma empresa procurou estudar a ocorrência de uso de drogas lícitas, bebidas alcoólicas, por seus empregados, tendo, para isso, a "$)!, realizado um levantamento sobre o número de dias por semana que cada um dos empregados costuma be-ber. Calcule a variância e o desvio-padrão, considerando que os dados são de uma amostra. Os dados correspondentes são:

Consumo de bebidas alcoólicas por semana pelos funcionários.No de dias

(xi)No de func.

(fi ) xi.fi (xi – x̄) (xi – x̄)2 (xi – x̄)2. fi

0 101 162 143 84 55 46 47 3


& SugestãoUse as colunas para facilitar os cálculos.


Pág. 135 !


2. Abaixo estão relacionados dados relativos à idade de um grupo de 63 estudantes matriculados na disciplina de Métodos Estatísticos a distância na Unisul Virtual. Calcule a variância e o desvio-padrão considerando que são dados da população.

Idade dos estudantes da disciplina de Métodos Estatísticos a distância

Idade(xi)

No de estud.(fi ) xi.fi (xi – x̄) (xi – x̄)2 (xi – x̄)2. fi

17 518 2019 2220 1021 6

Total (!fi ) 63FONTE: Dados fi ctícios

& SugestãoUse as colunas para facilitar os cálculos.


# Pág. 136


2.2. Dados agrupados com intervalos (variável contínua)

Nesse item, você poderá ver como se calcula a variância e o desvio-padrão para dados organizados em tabelas onde os da-dos estão agrupados sem intervalos. !eja Unidade 3, Seção 5.

Para a população

variância

desvio-padrão

Para a amostra

variância

desvio-padrão

Acompanhe o exemplo a seguir para compreender o cálculo passo a passo.

Calcule a variância e o desvio-padrão dos dados represen-tados na tabela a seguir:

Escores de um teste realizado em uma escola de periferia de Florianópolis

Escores(em pontos)

No de estud.(fi ) PMi PMi.fi (PMi – x̄) (PMi – x̄)2 (PMi – x̄)2. fi

15,9 |--- 18,7 12 17,3 207,6 -7,45 55,5025 666,0318,7 |--- 21,5 8 20,1 160,8 -4,65 21,6225 172,9821,5 |--- 24,3 12 22,9 274,8 -1,85 3,4225 41,0724,3 |--- 27,1 5 25,7 128,5 0,95 0,9025 4,512527,1 |--- 29,9 3 28,5 85,5 3,75 14,0625 42,187529,9 |--- 32,7 6 31,3 187,8 6,55 42,9025 257,41532,7 |--- 35,5 10 34,1 341 9,35 87,4225 874,225

! 56 1386 2058,42FONTE: Dados fi ctícios

17,3 – 24,75 = –7,45

20,1 – 24,75 = –4,65(–7,45)2 = 55,5025

(–4,65)2 = 21,6225

55,5025+12 = 666,03

21,6225+8 = 172,98

"fi "PMi.fi

"(PMi – x̄)2. fi

Usamos o ponto médio de cada inter-valo, pois não temos um valor específi -co que podemos usar. O ponto médio serve como uma boa aproximação.

& SugestãoCriar mais cinco colunas à direta para auxiliar nos cálculos.


Pág. 137 !


Veja o exemplo passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: some a coluna das freqüências sim-ples (fi) para obter !fi (freqüência total)

!fi = 56

" Passo 2: cálculo da média: calcule o ponto médio de cada intervalo e multiplique cada PM por sua correspondente fi e escreva na coluna PM.fi, some os valores calculados nessa coluna e escreva o total. Esse resultado é o !PM.fi

!PM.fi = 1386

" Passo 3: divida o resultado do passo 2 (!PM.fi) pelo resultado do passo 1 (!fi)

" Passo 4: calcule a quinta coluna, (PMi – x̄) subtraindo o PMi de cada linha pela média

17,3 – 24,75 = –7,4520,1 – 24,75 = –4,6522,9 – 24,75 = –1,8525,7 – 24,75 = 0,9528,5 – 24,75 = 3,7531,3 – 24,75 = 6,5534,1 – 24,75 = 9,35

" Passo 5: calcule a sexta coluna, elevando os valores da quinta ao quadrado, (PMi – x̄)2

(–7,45)2 = 55,5025(–4,65)2 = 21,6225(–1,85)2 = 3,4225(0,95)2 = 0,9025

(3,75)2 = 14,0625(6,55)2 = 42,9025(9,35)2 = 87,4225

" Passo 6: calcule a sétima coluna, multipli-cando os valores da sexta pela freqüência sim-ples de cada linha, (PMi – x̄)2. fi

55,5025$12 = 666,0321,6225$8 = 172,983,4225$12 = 41,070,9025$5 = 4,5125

14,0625$3 = 42,187542,9025$6 = 257,415

87,4225$10 = 874,225

" Passo 7: some os valores obtidos na sexta coluna, #(PMi – x̄)2. fi

#(PMi – x̄)2. fi = 2058,42

" Passo 8: calcule a variância:


Então &2(x) = 36,7575


Então s2(x) = 37,4258

" Passo 9: calcule o desvio-padrão:



Não esqueça que na média para a po-pulação usamos a letra grega ".

% Como interpretar estes dados?A variabiliade dos escores é de 6,0628 pontos.

A variabiliade dos escores é de 6,1177 pontos.


# Pág. 138


Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e os enunciados citados nesta seção, resolva os desafi os propostos.

1) Os dados abaixo representam a renda de uma amostra de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis, em reais. (dados fi ctícios). Calcule a variância e o desvio padrão considerando como sendo dados de uma amostra:

Renda de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis.

Renda (R$) No de famílias (fi ) PMi PMi.fi (PMi – x̄) (PMi – x̄)2 (PMi – x̄)2. fi

112 |---- 115 2

115 |---- 118 6

118 |---- 121 4

121 |---- 124 9

124 |---- 127 8

127 |---- 130 7

Total (!fi )



Pág. 139 !

Seção 3 " Para entender melhor o desvio-padrão!

" Seção 3Para entender melhor o desvio-padrão!

& !"#$%&-'(!)*& = 61! $1)&*,!%,( medida de disper-são. É com ele que você irá quantifi car a dispersão dos dados de uma série com relação à sua média. Preste atenção:

" quanto maior o valor do desvio-padrão, mais dispersos estão os valores. Pode-se dizer, também, que mais dis-tantes estão da média;

" quanto menor o valor do desvio-padrão, menos dis-persos estão os valores. Pode-se dizer, também, que mais próximos estão da média.

Veja a fi gura a seguir para compreender melhor o que foi colocado acima.

FIGURA - Quanto mais distantes da média, mais dispersos os dados estão. (TRIOLA, 1999, p. 42)


# Pág. 140


Outra utilização do desvio-padrão

Muitas séries, quando representadas por seu polígono de fre-qüências, com certo ajuste nas curvas, apresenta um formato semelhante a um sino, uma curva simétrica (observando que a média, a moda e a mediana estão posicionadas ao centro), como mostra a fi gura a seguir.

Para séries de dados que apresentam esse tipo de representa-ção pode-se trabalhar com a área abaixo do polígono. A área abaixo é proporcional à freqüência total, conforme você estudou na Unidade 4, Seção 4

Essa curva é chamada de Curva Normal e suas principais características são:

" a curva se caracteriza por ter a forma de um sino;" a curva normal é simétrica com relação à média;" a área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é 1

ou 100%;" a curva é assintótica, isto é, se aproxima indefi nida-

mente do eixo das abscissas sem tocá-lo;" a curva normal é unimodal, isto é, possui um só pico

ou ponto de freqüência máxima, ponto este que coin-cide com a moda, a média e a mediana.


Pág. 141 !

Seção 3 " Para entender melhor o desvio-padrão!

Como relacionar a curva com o desvio-padrão? Veja a curva a seguir:

Veja o exemplo:

Numa série em que µ = 80 e o -(x)=3, pode-se interpretar estes valores da seguinte forma:

" os valores da série estão concentrados em torno da mé-dia, que é de 80 unidades;

" o intervalo [µ--(x); µ+-(x)] contém aproximadamen-te 68,26% dos elementos da série, ou seja, o intervalo [77;83];

" o intervalo [µ-2-(x); µ+2-(x)] contém aproximada-mente 95,44% dos elementos da série, ou seja, o inter-valo [74;86];

" o intervalo [µ-3-(x); µ+3-(x)] contém aproximada-mente 99,74% dos elementos da série, ou seja, o inter-valo [71;89];

Você poderá ver outras utilidades para essa aplicação na Unidade 8: Cálculo de Probabilidades.


# Pág. 142


" Seção 4Como comparar séries usando o desvio-padrão?

1. Comparando duas séries de dados com médias iguais

Acompanhe o exemplo a seguir

Considere dois grupos de pessoas, nos quais foram feitos levantamentos de suas rendas. Os resultados deste levanta-mento estão abaixo:

Grupo 1 Grupo 2Média:) = 122 pontos

Desvio padrão:*(x) = 4,5 pontos

Média:) = 122 pontos


Compare a dispersão das duas séries:

" note que as médias são iguais." desvio-padrão do Grupo 1 é 4,5 e o do Grupo 2 é 7,5,

portanto a grupo que apresenta maior dispersão quan-to ao nível de estresse é o Grupo 2.

" Conclusão: os níveis de estresse dos pacientes do Grupo 2 são mais dispersos com relação ao Grupo 1 (valores mais distantes da média).

ObservaçãoPara comparar duas séries de dados usando medidas de dispersão abso-lutas (variância e desvio-padrão) é necessário que as médias sejam iguais, caso contrário, usamos uma medida de dispersão relativa que veremos nesta seção.


Pág. 143 !

Seção 4 " Como comparar séries com médias diferentes?

2. Comparando duas séries de dados com médias diferentes

Como você pôde observar no item anterior, para comparar duas séries de dados, quanto a suas dispersões, pode-se usar valores absolutos dos desvios-padrão, mas somente quando as médias são iguais. Mas você deve estar se perguntando: e quando as médias são diferentes?

Nesse caso utiliza-se o Coefi ciente de Variação (CV), que é uma medida de dispersão relativa. Veja a seguir:

Medida de dispersão relativa – o Coefi ciente de Variação

O Coefi ciente de Variação é a relação do desvio com a média. Veja a fórmula a seguir:

Para a população

%

Para a amostra

%

A série que apresentar maior coefi ciente de variação será, realmente, a série de maior dispersão dos dados.

O resultado é expresso em percentual (%), ou seja, quanto o

desvio padrão representa da média.

Acompanhe o exemplo a seguir para compreender como realizar o cálculo:

Considere dois grupos de pessoas, nos quais foram feitos levantamentos de suas rendas. Os resultados deste levanta-mento estão abaixo:

Grupo 1 Grupo 2Média:) = 145 pontos


Média:) = 95 pontos



# Pág. 144


" note que as médias são diferentes;" o desvio-padrão do Grupo 1 é 9,8 e o do Grupo 2 é 7,5,

portanto, o grupo que apresenta maior dispersão abso-

luta quanto ao nível de renda é o Grupo 1;" como as médias são diferentes, devemos calcular o

Coefi ciente de Variação, pois simplesmente pela dis-persão absoluta não podemos afi rmar nada (se fossem iguais, bastaria a dispersão absoluta):" Para o Grupo 1

" Para o Grupo 2

O grupo que apresenta maior coefi ciente de variação é o Grupo 2.

Quais outras conclusões você poderia tirar com relação aos dois grupos?

Bom, comparando os dois, você poderia dizer que no Grupo 1, têm a renda mais próxima da média do grupo que no Grupo 2, que, por sua vez, as pessoas apresentam níveis de renda mais diferenciado da média do grupo, comparando os dois grupos.

Não esqueça!Para comparar a dispersão dos dados de duas séries de médias diferentes, usamos o Voefi ciente de Variação.

O Coefi ciente de Variação compara o desvio-padrão com a média (proporção entre o desvio-padrão e a média da série), sendo assim, considerado uma forma mais efi caz de comparação, por-tanto, prevalecendo sobre a absoluta.

% Como interpretar estes dados?Os níveis de renda observados no Gru-po 2 são mais dispersos com relação ao Grupo 1 (valores mais distantes da média).


Pág. 145 !

Seção 4 " Como comparar séries com médias diferentes?

Atividades de Auto-avaliação $Após ter acompanhado os conceitos e os enunciados estuda-dos nesta seção, resolva as atividades a seguir.

1) Analise cada caso, comparando quanto à dispersão dos dados e responda as perguntas:

a) Qual das séries apresenta maior dispersão absoluta (comparar os desvios-padrão)?

b) Qual das séries apresenta maior dispersão relativa (comparar os coefi cientes de variação)?

c) Conclua qual das séries apresenta maior dispersão real-mente (não esqueça que o Coefi ciente de Variação é mais efi caz para determinar a dispersão de uma série).

1.1. Série A Série B) = 57; *(x) = 5,6 ) = 96; *(x) = 8,2

a) ________________________________________b) ________________________________________c) ________________________________________

1.2. Série A Série B) = 64; *(x) = 12 ) = 96; *(x) = 18

a) ________________________________________b) ________________________________________c) ________________________________________


# Pág. 146

1.3. Série A Série B) = 195; *(x) = 12 ) = 125; *(x) = 12

a) ________________________________________b) ________________________________________c) ________________________________________

1.4. Série A Série B) = 869; *(x) = 201 ) = 625; *(x) = 198

a) ________________________________________b) ________________________________________c) ________________________________________


Nessa unidade você estudou mais uma medida muito importante em Estatísti-ca. Sem estudar as medidas de disper-são, muitas vezes fi ca difícil de defi nir se a média seria ou não representativa de uma série de dados.

Além disso, você conheceu o método utilizado para comparar dados com médias diferentes, largamente utiliza-do em estudos de dados e tratamentos estatísticos. Muitas medidas podem ser calculadas, e você estudou duas delas, as de posição e as de dispersão.

Muitas aplicações ainda estão por vir. Você, até então, estu-dou boa parte da Estatística Descri-tiva. Na próxima unidade você irá estudar Probabili-dade. Até lá!

# Para pesquisar


BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. 5. ed. rev. Florianópolis: Ed. UFSC, 2002.

LEVIN, Jack. Estatística aplicada às Ciências Humanas. São Paulo: Habra, 1987.


Acesse, também o site:

" http://alea-estp.ine.pt



Pág. 147 !

7!Objetivos de aprendizagem" Compreender probabilidades.

" Calcular e interpretar probabilidades.

" Compreender variável aleatória e distri-buição de probabilidades.

Unidade


# Seção 1Quais são os conceitos mais importantes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

# Seção 2Quais são os conceitos de probabilidade e seus cálculos? . . . . . . . 156

# Seção 3Noções sobre variável aleatória e distribuição de probabilidades . . . . . 165

Cálculo de probabilidades!,= ! 6%$#!#( !%,(*$&* 0&": (',6#&6 e compreendeu várias ferramentas estatísticas para coleta, organização e análise de dados estatísticos. Teve também uma noção de como a Estatística descritiva é aplicada na prática.

A partir desta unidade, você poderá ter um contato com as bases da Estatística indutiva. Pois é! O estudo de probabilidade é a base da Estatística indutiva.

Você deve estar se perguntando: Probabilidade? O que é? Tenho certeza que muitas vezes você já pensou em “possibilidades” de algo acontecer. Será que vai chover? Será que serei escolhido para participar de um grupo? Será que vou encontrar meu amigo hoje? Muitas vezes, acontecimen-tos desses não podemos prever, ou seja, podem acontecer ou não. Você até poderia associar isso tudo à sorte ou ao azar, enfi m, ao acaso. É aqui que o estudo de probabilida-de entra. Tentar formular e calcular modelos matemáticos que defi nam essas situações e possibilite a você tomar suas decisões e, assim, conduzir sua vida, suas experiências e caminhos, este é um dos principais objetivos desta unidade.

Você está convidado a conhecer um pouco desse assunto! Vamos lá?


# Pág. 148

Métodos Estatísticos " Unidade 7 Cálculo de probabilidades

" Seção 1Quais são os conceitos mais importantes?

%(''! '(45&, 0&": )&#(*9 0(* os conceitos mais importan-tes que são utilizados na probabilidade, para que compreenda como aplicar estes conhecimentos no seu dia-a-dia.

O que são fenômenos?(também conhecidos como experimentos)

Você pode entender por fenômeno, qualquer acontecimento, seja ele natural ou não.

Como você pode classifi car os fenômenos? . . . . .%Eles podem ser classifi cados em dois tipos. Veja mais deta-lhes a seguir:

" fenômenos determinísticos: são fenômenos em que as condições iniciais determinam um único resultado;

" fenômenos aleatórios: são fenômenos em que as condi-ções, iniciais não determinam a possibilidade da exis-tência de um resultado em particular.

Em resumo, quando você pode determinar o resultado de um fenômeno, irá chamá-lo de determinístico, mas quando os resultados do fenômeno não podem ser determinados, irá chamá-lo de aleatório, pois pode apresentar qualquer resulta-do dentro de um grupo de esperados (mais de um).


Pág. 149 !

Seção 1 " Quais são os conceitos mais importantes?

Veja a seguir exemplos de cada um deles:

Para ilustrar, considere dois dados diferentes, o dado 1 tem as faces com o mesmo número de pontos e o dado 2, é um dado normal, tem as faces com números de pontos diferentes.

Dado 1: tem as faces com o mesmo número de pontos.Dado 2: é um dado normal, tem as faces com números de pontos diferentes.

" Fenômeno determinístico: se você jogar o dado 1, várias vezes, sob as mesmas condições, sempre irá apresen-tar o mesmo número de pontos na face voltada para cima. Nesse caso, você pode dizer que é um fenômeno determinístico, pois não existe outra possibilidade de resultado e é possível prever qual será.

" Fenômeno aleatório: se você jogar o dado 2, várias ve-zes, sob as mesmas condições, poderá apresentar resul-tados diferentes, a cada lançamento. Nesse caso, você pode dizer que é um fenômeno aleatório, pois existem várias possibilidades de resultado e não é possível pre-ver qual será.

O que é espaço amostral?

É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experi-mento (fenômeno) aleatório.

Observe que quando se trabalha com experimentos que ad-mitem mais de um resultado, torna-se interessante defi nir o conjunto de todos esses resultados, nesse caso você pode chamar esse conjunto de espaço amostral.

O estudo de probabilidade é baseado nos fenômenos aleatórios. Você pode dizer que o estudo de probabilidades está intimamente ligado ao acaso.

NotaçãoO símbolo para representar o conjunto do espaço amostral.

S = conjunto do espaço amostral


# Pág. 150


Veja a seguir exemplos sobre o espaço amostral:

Exemplo 1: você pode usar o dado 2 citado no exemplo an-terior e estudar todas as possibilidades. Pode-se construir o seguinte conjunto:

S={1, 2, 3, 4, 5, 6}: Observe que são todas as possibilidades de pontos de um dado normal.

Exemplo 2: um psicólogo trabalha com um grupo de pessoas com problemas de alcoolismo. O grupo é composto por cinco pessoas. Duas delas apresentam cirrose e três não apresentam cirrose (veja legenda).

Cn – Pessoa número ‘n’ com cirrosePn – Pessoa número ‘n’ sem cirrose

Ex.: C1 – pessoa número 1, com cirrose;P1 – pessoa número 1 sem cirrose

Pode-se construir o seguinte conjunto:

S={C1, C2, P1, P2, P3}: Observe que são todas as possibilida-des entre as pessoas do grupo.

Exemplo 3: um psicólogo trabalha com um grupo de pessoas e estuda os distúrbios do sono. O grupo é composto por sete pessoas. Cinco delas apresentam distúrbios e duas não apre-sentam distúrbios (veja legenda).

Dn – Pessoa número ‘n’ com distúrbioPn – Pessoa número ‘n’ sem distúrbio

Ex.: D1 – pessoa número 1, com distúrbio;P1 – pessoa número 1 sem distúrbio

Pode-se construir o seguinte conjunto:

S={D1, D2, D3, D4, D5, P1, P2}: Observe que são todas as possibilidades entre as pessoas do grupo.


Pág. 151 !


Exemplo 4: um grupo de pessoas que apresentam diferenças na cor do cabelo (veja legenda).

Pn - Pessoa número ‘n’ com cabelos pretosLn - Pessoa número ‘n’ com cabelos lourosCn - Pessoa número ‘n’ com cabelos castanhosRn - Pessoa número ‘n’ com cabelos ruivos

Ex.: P1 – pessoa número 1, com cabelos pretos;L1 – pessoa número 1 com cabelos louros

Sabendo que nesse grupo você tem três pessoas com cabelos pretos, duas com cabelos louros, três com cabelos castanhos e uma com cabelos ruivos, como fi ca o conjunto do espaço amostral?

Pense e anote a seguir como você acha que fi ca o conjunto do espaço amostral do exemplo acima:

S = { ______________________________________}

Compare agora se o seu conjunto do espaço amostral está igual a este que segue.

O conjunto do espaço amostral:

S={P1, P2, P3, L1, L2, C1, C2, C3, R1}: Observe que são to-das as possibilidades entre as pessoas do grupo.

Qual é o número de elementos dos espaços amostrais citados nos exemplos acima? Veja:

No exemplo 1: n(S)=6No exemplo 2: n(S)=5No exemplo 3: n(S)=7No exemplo 4: n(S)=9

O número de elementos do conjunto do espaço amostral é representado por n(S):

n(S) = número de elementos de S


# Pág. 152


O que são eventos?

É qualquer subconjunto do espaço amostral determinado pelo experimento (fenômeno) aleatório em estudo.

Quando você tiver que estudar algum experimento aleatório, deverá identifi car as diferentes variações de resultados possí-veis dentro do espaço amostral. Cada uma dessas variações, você pode chamar de evento, ou seja, cada uma dessas partes (subconjuntos) do espaço amostral é um evento.

Usando os exemplos citados anteriormente, você pode observar:

Exemplo 1: você pode usar o dado 2 citado no exemplo anterior e estudar todas as possibilidades. Pode construir o seguinte evento: A: sair na face superior um número par.

A={2, 4, 6}: Observe que são todas as possibilidades de pon-tos pares de dado normal.

Exemplo 2: um psicólogo trabalha com um grupo de pessoas com problemas de alcoolismo. O grupo é composto por cinco pessoas. Duas delas apresentam cirrose e três não apresentam cirrose (veja legenda).

Cn - Pessoa número ‘n’ com cirrosePn - Pessoa número ‘n’ sem cirrose

Ex.: C1 – pessoa número 1, com cirrose;P1 – pessoa número 1 sem cirrose.

Pode-se construir o seguinte evento:

B: ser uma pessoa sem cirrose:

B={P1, P2, P3}: Observe que são todas as possibilidades de pessoas sem cirrose.

Notação!O símbolo para representar o subcon-junto evento – A (letra maíuscula).


Pág. 153 !


Exemplo 3: um psicólogo trabalha com um grupo de pessoas e estuda os distúrbios do sono. O grupo é composto por sete pessoas. Cinco delas apresentam distúrbios e duas não apre-sentam distúrbios (veja legenda).

Dn - Pessoa número ‘n’ com distúrbioPn - Pessoa número ‘n’ sem distúrbio

Ex.: D1 – pessoa número 1, com distúrbio;P1 – pessoa número 1 sem distúrbio

Pode construir o seguinte evento:C: ser uma pessoa com distúrbio

C={D1, D2, D3, D4, D5}: Observe que são todas as possibili-dades de pessoas com distúrbio.

Exemplo 4: um grupo de pessoas que apresentam diferenças na cor do cabelo (veja legenda).

Pn - Pessoa número ‘n’ com cabelos pretosLn - Pessoa número ‘n’ com cabelos lourosCn - Pessoa número ‘n’ com cabelos castanhosRn - Pessoa número ‘n’ com cabelos ruivos

Ex.: P1 – pessoa número 1, com cabelos pretos;L1 – pessoa número 1 com cabelos louros

Sabendo que nesse grupo você tem três pessoas com cabelos pretos, duas com cabelos louros, três com cabelos castanhos e uma com cabelos ruivos, como fi ca o subconjunto do evento pessoas com cabelos ruivos?

Pode construir o seguinte evento:D: ser uma pessoa com cabelos ruivos

D={R1}: Observe que é a única possibilidade com cabelos ruivos.

Qual é o número de elementos dos eventos citados nos exem-plos anteriores?

No exemplo 1: n(A)=3No exemplo 2: n(B)=3No exemplo 3: n(C)=5No exemplo 4: n(D)=1

O número de elementos de evento é representado por n(A):

n(A) = número de elementos de A


# Pág. 154


Quais são os tipos de eventos? . . . . . . . . . . . . . . . . .%" Evento simples: formado por apenas um elemento do

espaço amostral.Exemplo: D: ser uma pessoa com cabelos ruivosD={R1} " n(D)=1 veja exemplo 4

" Evento composto: formado por dois ou mais elementos do espaço amostral.Exemplo: B: ser uma pessoa sem cirroseB={P1, P2, P3} " n(B)=3 veja exemplo 2

" Evento impossível: não ocorre, seja qual for a realização do experimento aleatório.Exemplo: F: ser uma pessoa com cabelos verdesF={ } " n(F)=0 veja exemplo 4

" Evento certo: é quando o evento é o próprio espaço amostral.Exemplo: E: ser uma pessoa com alcoolismoE={C1, C2, P1, P2, P3} " n (E)= 5 = n(S) veja exemplo 2

Operações com eventos

As operações com eventos são muito semelhantes às opera-ções com conjuntos, até porque os eventos nada mais são que conjuntos. Veja a seguir mais detalhes sobre este assunto:

1) União de eventos

Se existem os eventos A e B, de um espaço amostral S, a união desses eventos existe se pode ocorrer A ou B.

& Observação!A união Bpode ser representado por:

A soma B ou A.B

A união corresponde toda a área cinza.


Pág. 155 !


2) Interseção de eventos

Se existem os eventos A e B, de um espaço amostral S, a interseção desses eventos existe se pode ocorrer A e B, simul-taneamente.

3) Complementar de um evento

É um evento formado por todos os elementos pertencentes a S mas que não pertencem A.

4) Subtração de eventos

Você pode dizer que A menos B é, se e somente se, ocorre A e B não ocorre.

& Observação!A interseção Bpode ser representado por:

A vezes B ou A/B

A interseção corresponde toda a área cinza.

& Observação!Complementar de Apode ser representado por:

#, A’ ou CA

O complementar de A cor-responde toda a área cinza.

& Observação!Subtração de eventospode ser representado por:

A-B

A-B corresponde toda a área cinza.


# Pág. 156


5) Eventos excludentes

Dois ou mais eventos são ditos excludentes (mutuamente exclusivos) se a realização de um dos eventos excluir a reali-zação do outro ou de outros eventos.

" Seção 2Quais são os conceitos de probabilidade e seus cálculos?

3&1, !2&*! ;6( 0&": >9 (',6#&6 os conceitos mais impor-tantes que são utilizados na probabilidade, é hora de saber os conceitos de probabilidade e quais os seus cálculos!

Acompanhe as duas defi nições mais importantes dentro do estudo de probabilidades. São elas: a defi nição clássica de

probabilidade e a freqüência relativa.

Probabilidade clássica

A probabilidade de ocorrer um determinado resultado na reali-zação de um experimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis ao sucesso (número de elementos do even-to A) e o número de casos possíveis (número de elementos do espaço amostral - S).

& Observação!Se A ocorrer, exclui ocorrer os outros, ou seja, não há interseção entre eles!

A e B são mutuamente exclusivos.

B e C não são mutuamente exclusivos.


Pág. 157 !

Seção 2 " Quais são os conceitos de probabilidade e seus cálculos?

Veja a fórmula a seguir:

Probabilidade de um evento A ocorrer:

Obs: A probabilidade de não-ocorrência pode ser represen-tada por:

Veja alguns exemplos do cálculo de probabilidade clássica.

Exemplo 1: Levantamento feito com 8 moradores de um con-domínio, verifi cou-se que dois são casados, dois são soltei-

ros, três são divorciados e um viúvo. Qual a probabilidade de, ao escolher um morador ao acaso, ele ser casado? Qual a probabilidade de, ao escolher um morador ao acaso, ele ser divorciado?

Para começar, veja a legenda a seguir:

Compreenda passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: você deve identifi car os ele-mentos do espaço amostral e do evento solicitado.

S: moradores do condomínioA: moradores casadosB: moradores divorciados

S = {C1, C2, S1, S2, D1, D2, D3, V1}A = {E1, E2}

B = {F1, F2, F3}

" Passo 2: identifi car o número de ele-mentos de cada conjunto.

n(A) = 2n(B) = 3n(S) = 8

" Passo 3: usar a fórmula da probabilidade.

Obs: Após efetuar a divisão é só multiplicar por 100 para obter a probabilidade na forma percentual.

Para o evento A: P(A) = 0,25 ou 25%

Para o evento B: P(A) = 0,375 ou 37,5%

" Passo 4: interpretar os dados.

& LegendaEstado civil:

C Casadodois moradores – C1, C2

S Solteirodois moradores – S1, S2

D Divorciadotrês moradores – D1, D2, D3

V Viúvoum morador – V1

% Como interpretar estes dados?A probabilidade de ser escolhido um morador casado é de 25% e a proba-bilidade de ser escolhido um morador divorciado é de 37,5%


# Pág. 158


Exemplo 2: Em um levantamento realizado com um grupo de 90 chefes de famílias com diferentes vínculos de trabalho, obteve-se os seguintes resultados (dados fi ctícios):

Pesquisa dos motivos de estresseTipos de vínculo No de pessoasM Funcionário público municipal 29E Funcionário público estadual 24F Funcionário público federal 20C Comerciário 17T Temporário 17I Comércio informal 11Total 118

Evento A

Evento C

Evento B

Espaço amostral

n(A)

n(C)

n(B)

Tamanho do espaço amostral – n(S)

Se você escolher ao acaso uma pessoa do grupo pesquisado, qual a probabilidade de ela ter vínculo do tipo:

a) Funcionário público municipal?b) Comerciário?c) Comércio informal?


" Passo 1: você deve identifi car os elementos do espaço amostral e do evento solicitado.

A: pessoa com vínculo do tipo funcionário público municipalB: pessoa com vínculo do tipo comerciárioC: pessoa com vínculo do tipo comercio informalS: todas as pessoas pesquisadas

" Passo 2: identifi car o número de elementos de cada conjunto.

n(A) = 29n(B) = 11n(C) = 17

n(S) = 118



Para o evento A P(A) = 0,2458 ou 24,58%

Para o evento B P(B) = 0,0932 ou 9,32%

Para o evento C P(C) = 0,1441 ou 14,41%


Pág. 159 !


No exemplo anterior você calculou a probabilidade para três eventos. A seguir, você montará uma tabela com as probabi-lidade para todos os eventos calculadas. Siga os passos:


" Passo 1: você deve identifi car os elementos do espaço amostral e do evento solicitado.

D: pessoa com vínculo do tipo funcionário público estadualE: pessoa com vínculo do tipo funcionário público federalF: pessoa com vínculo do tipo temporárioS: todas as pessoas pesquisadas (no caso, pessoas acometidas de estresse)

" Passo 2: identifi car o número de elementos de cada conjunto.

n(D) = 24n(E) = 20n(F) = 17

n(S) = 118



Para o evento D P(D) = 0,2034 ou 20,34%

Para o evento E P(E) = 0,1695 ou 16,95%

Para o evento F P(F) = 0,1441 ou 14,41%

" Passo 4: montar a tabela com as probabilidades correspondentes a cada evento.

Levantamento com 90 chefes de famílias sobre os diferentes vínculos de trabalho

Tipos de vínculo No de pessoas Probabilidade

M Funcionário público municipal 29 0,2458

E Funcionário público estadual 24 0,2034

F Funcionário público federal 20 0,1695

C Comerciário 17 0,1441

T Temporário 17 0,1441

I Comércio informal 11 0,0932

Total 118 1*

* Repare que a soma é 1 ou 100%

Agora que você já compreendeu o conceito clássico de proba-bilidade e como realizar os cálculos é hora de compreender o que é freqüência relativa e como realizar os cálculos.


# Pág. 160


Freqüência Relativa

A freqüência relativa de um evento A é calculada dividindo o número de vezes que ocorre o evento A pelo total de observa-ção do experimento.

É chamada, também, de probabilidade avaliada ou probabi-lidade estimada.

Veja a fórmula abaixo:

Freqüência relativa de um evento A:

Na verdade, a freqüência relativa é calculada quando você se deparar com situações em que o cálculo da probabilidade de um evento não é possível. Nesse caso, só é possível o cálculo de uma aproximação.

Essa aproximação consiste em analisar o experimento e, com os resultados obtidos, calcular a freqüência relativa.

Exemplos do cálculo da freqüência relativa:

Em teste feito em laboratório com cobaias, foi analisada uma delas e após inúmeras vezes, sob efeito de estímulos (comida, rea-ção a dor, etc,) ela executou um comando, que era empurrar uma pequena alavanca. Foi observado que após 3500 vezes estimulada a cobaia executou o comando 875 vezes. Qual é a freqüên cia rela-tiva para o evento A: a cobaia executar o comando?

Como realizar o cálculo passo a passo . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: identifi car o numerador e o denomi-nador da fórmula.

Número de vezes que ocorre A: Número total de observações:

8753500

" Passo 2: usar a fórmula da freqüência relativa.


É importante que você saiba que essa aproximação para o cálculo de proba-bilidade só será considerável caso aja um número bastante grande de tenta-tivas de execução do experimento.

Como fazer isso???

% Como interpretar estes dados?A freqüência relativa para a cobaia exe-cutar a tarefa é de 25%, ou também, a probabilidade estimada da cobaia exe-cutar a tarefa é de 25%


Pág. 161 !


Algumas considerações:

Consideremos S um espaço amostral e A, B, C são eventos contidos em S, então:

a) para cada evento A % 0 ' P(A) ' 1

(a probabilidade de A vai de 0 à 1 – 100%);

b) P(S) = 1 0 ;

c) sejam A, B e C, todos os eventos possíveis do espaço amostral, então:P(A) + P(B) + P(C) = 1 ou 100%;

d) quando A e B são mutuamente exclusivos:P(A . B) = P(A) + P(B);

e) quando A e B não são mutuamente exclusivos:P(A . B) = P(A) + P(B) – P(A/B);

f) se A, B, C, ... são uma seqüência de eventos mutua-mente exclusivos, então:P(A . B . C . ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ....


# Pág. 162



1) Em estudo realizado sobre os padrões de indecisão, de-pressão e ansiedade em adolescentes, revelou-se que a relação com os pais era fator infl uenciador dessas reações. Nessa pesquisa, foram pesquisados um total de 1500 adolescentes, em 675 casos, os jovens sofriam com o autoritarismo dos pais. Qual a probabilidade de ser escolhido ao acaso, um jovem que sofra com o autoritarismo dos pais?


Pág. 163 !


2) Segundo o $32(, na Grande Florianópolis, as pessoas de 10 anos ou mais de idade, por estado civil foram agrupados na tabela abaixo:

Casado(a) Desquitado(a) ou separado(a) judicialmente Divorciado(a) Viúvo(a) Solteiro(a) Total

267.867 18.697 16.779 28.224 333.974 665.541

Se uma pessoa da Grande Florianópolis for escolhida ao aca-so, qual é a probabilidade de ela ser:

a) Casada?b) Solteira?c) Divorciada?


# Pág. 164


3) Em testes feitos em laboratório com cobaias, foram anali-sadas duas delas e após inúmeras tentativas, a cobaia 1 sofria estímulos com reação a dor e a cobaia 2 sofria estímulos com alimentação. A pesquisa visava a execução de uma tarefa que era a de empurrar uma pequena alavanca, considerada uma reação positiva. Os resultados foram apresentados na seguin-te tabela:

Cobaia Estímulo Número total de tentativas Número de reações positivasCobaia 1 Efeitos de dor 4500 1215Cobaia 2 Alimentação 3500 1050

a) Qual a freqüência relativa para o número de reações positivas para cada cobaia?

b) Desafi o: Qual do dois estímulos você considera mais efi caz? Por quê?


Pág. 165 !


" Seção 3Noções sobre variável aleatória e distribuição de probabilidades

! 0!*$90(7 !7(!,-*$! = 61! ferramenta na análise Estatística que possibilita a atribuição de números para resul-tados de experimentos, adequando assim, o problema, para um melhor tratamento matemático. Dentro da Estatística ela é considerada uma função que associa números aos eventos de um espaço amostral. Você poderá entender melhor se co-meçar analisando um exemplo.

Exemplo de variável aleatória e distribuição de probabilidades:

se o experimento consistir em dois lançamentos de uma mo-eda e a variável aleatória (va) defi nida como o “nº de caras

obtidas em dois lançamentos de uma moeda”, então você terá:

A v.a. " , = “nº de caras obtidas em dois lançamentos de uma moeda”

X defi nirá uma variável aleatória que poderá assumir os valo-res descritos na tabela a seguir. (K=cara e C=coroa):

Resultados 1º lançamento

Resultados 2º lançamento

Resultados possíveis nos dois lançamentos

Valor VA

KKCC

KCKC

KKKCCKCC

2110


# Pág. 166

Você pode observar que tem apenas uma possibilidade para cada situação e o total de possibilidades é 4, então o cálculo da probabilidade se dá da seguinte forma:

Escrevendo na tabela, atribuindo a probabilidade de cada linha você terá:

Resultados possíveis nos dois lançamentos

Valor VA Probabilidade

KKKCCKCC

2110

- - - -

A tabela acima, caracteriza a “distribuição de probabilida-

de”, que é a probabilidade de ocorrência de cada um dos valores da variável aleatória.

Note que o valor 1 se repete, não é? Então você pode agrupar e montar uma nova tabela sem as repetições. É claro, que se agrupar os valores repetidos. Você deve so-mar as probabilidades, não esqueça disso. Veja a seguir:

Nº de caras (Valor v.a.) Probabilidade210

- . -

Ao agrupar os resul-tados da variável ale-atória (uma cara – 1), você deve somar as probabilidades:

Duas possibi-lidades de sair uma cara


Nessa unidade você começou a conhe-cer como lidar com o acaso. O cálculo de probabilidade nada mais é que uma tentativa de entender e organizar o aca-so. Você aprendeu como calcular a pro-babilidade de um evento, e além disso, compreendeu, como calcular a freqüên-cia relativa.

Teve uma noção sobre o que é uma variá-vel aleatória e sua distribuição de proba-bilidades. Essas são ferramentas muito importantes dentro das análises estatís-ticas que você terá que fazer ao longo de seu curso e de sua profi ssão.

Você vai perceber que o conteúdo estu-dado até o momento servirá de base para outros que estão por vir, assim como o estudo de probabilidades para variáveis discretas e contí-nuas, você lembra? Estas defi nições você estudou na Unidade 2, Seção 2. Fique a vontade para ir até lá para relembrar, pois você irá necessitar desses concei-tos novamente na próxi-ma unidade.

# Para pesquisar


MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999


VIEIRA, Sônia. Introdução à Bioesta-tística. 6. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2000.





Pág. 167 !

8!Objetivos de aprendizagem" Compreender o que é variável aleatória

discreta e contínua.

" Compreender distribuição discreta de probabilidade.

" Compreender distribuição contínua de probabilidade.

" Calcular probabilidade usando distribui-ção contínua de probabilidade.

Unidade


# Seção 1Quais são os tipos de distribuições de probabilidades? . . . . . 168

# Seção 2Como se calcula probabilidade usando distribuição discreta de probabilidade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

# Seção 3Como se calcula probabilidade usando distribuição contínua de probabilidade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Distribuições de probabilidades discreta e contínua%! 6%$#!#( !%,(*$&*, você teve um contato inicial com o estudo de probabilidade. Estudou que pode expressar em números algumas situações com a fi nalidade de possi-bilitar um melhor tratamento matemático às mesmas.

E que tratamento matemático seria esse? Nessa unidade você poderá conhecer um pouco mais

sobre esse assunto. Não esqueça, que alguns conceitos já vistos serão muito importantes para o bom andamento de seu estudo.

Quais? Você lembra dos tipos de variáveis quantitativas estudadas lá na Unidade 2, Seção 2? Seu estudo terá como base o conteúdo da unidade anterior e os conceitos de va-riáveis quantitativas discretas e contínuas. Caso ache inte-ressante, relembre o assunto lendo novamente esta unida-de e bom estudo!


# Pág. 168

Métodos Estatísticos " Unidade 8 Distribuições de probabilidades discreta e contínua

" Seção 1Quais são os tipos de distribuições de probabilidades?

& (',6#& #( )*&3!3$7$#!#(' é uma ferramenta de apoio à decisão. É com base em seu estudo que você terá oportu-nidade de suporte para analisar os experimentos, organizar suas possibilidades e, então, partir para a ação, adotando o resultado que julgar mais efi caz.

A variável aleatória e a distribuição de probabilidades são muito utilizadas nesse sentido. Você pode ver que a cada valor da variável corresponde uma probabilidade de ocorrência.

Como a variável aleatória possibilita a atribuição de valo-res aos eventos, você pode encontrar dois tipos de situações:

variáveis aleatórias discretas: ela pode assumir um conjunto constante discreto, ou seja, enumerável, fi nito de valores.

Exemplo: número de pacientes, quantidade de diagnósticos;

variáveis aleatórias contínuas: é a variável em que não con-seguimos enumerar seus possíveis resultados, por estes forma-rem um conjunto infi nito de valores, num intervalo de números reais.

Exemplo: peso, altura, temperatura, escore.


Pág. 169 !

Seção 1 " Quais são os tipos de distribuições de probabilidades?

Você se recorda da Unidade 2?

Baseado nesses dois conceitos, você pode atribuir a cada um dos tipos de variáveis aleatórias uma distribuição de proba-bilidades de acordo com o tipo de variável, veja a fi gura a seguir:

Variável aleatória discreta ( Distribuição discreta

de probabilidade

Variável aleatória contínua ( Distribuição contínua

de probabilidade

FIGURA - tipos de distribuições de probabilidade

Como você pode observar, cada tipo de variável gera um tipo de distribuição de probabilidade. Em resumo, os tipos de distribuições de probabilidades são:

" distribuição discreta de probabilidades e, " distribuição contínua de probabilidades

Como elas são diferentes, os métodos de cálculos das proba-bilidades também são.

Enfi m, você vai estudar os modelos mais importantes e mais aplicados dentro da Psicologia que são a distribuição

binomial, para a variável discreta, e a normal, para a contínua.

Dentro da Psicologia, a distribuição mais usada é a distri-buição contínua de probabilidade. Embora isso ocorra, você irá estudar somente uma noção de como funciona a distri-buição discreta de probabilidade. Este assunto será discutido na próxima seção.

Não esqueça!Para o bom andamento de seu estudo, é importante que você entenda bem a diferença entre as duas variáveis, a dis-creta e a contínua!


# Pág. 170


" Seção 2Como se calcula probabilidade usando distribuição discreta de probabilidade?

#$',*$36$45& #$'"*(,! #( )*&3!3$7$#!#( de uma variável aleatória atribui probabilidades aos distintos valores dessa variável. Note que essa distribuição não atribui probabilidade

para intervalos e sim para cada valor ou para um conjunto de valores da variável.

Uma das principais distribuições discretas é a binomial. Veja a seguir, como se calcula probabilidade usando esse método.

Como se calcula a distribuição binomial?

A distribuição binomial é o método utilizado para cálculo de probabilidades de experimentos que se repetem algumas vezes e seguem algumas características. Veja abaixo:

A distribuição binomial é aplicável se:

1) o experimento que você está observando for repetido “n” vezes independentes;

2) a cada tentativa (repetição) admitir somente dois re-sultados:sucesso: denotado por Sfracasso: denotado por F

Sendo que a probabilidade de sucesso é denotada por p " P(S)=p e, a probabilidade de fracasso é denotada por q " P(F)=q;

& Observação!A soma da probabilidade de sucesso e fracasso é igual a 100%, ou seja, é igual a

1 " p + q = 1


Pág. 171 !

Seção 2 " Como se calcula probabilidade usando distribuição discreta de probabilidade?

3) se você estiver interessado em estudar o número de sucessos e fracassos, sem importar a ordem em que acontecem.

Veja o exemplo a seguir para

compreender como realizar os cálculos

Ao aplicar um teste, um professor quer saber da probabilidade de erro de uma determinada questão. Essa questão apresenta cinco alternativas (a, b, c, d, e) e somente uma está correta.

Pergunta-se: qual é a probabilidade de sucesso? . . . . . %Nesse caso, o objetivo do estudo é estudar a probabilidade de erro, então, o sucesso se refere ao erro. Para calcular a pro-babilidade de sucesso, você deve calcular a probabilidade de erro da questão.

Veja como se calcula passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: identifi car os elementos do espaço amostral e do evento solicitado.

A: errar a questãoS: todas as opções (a, b, c, d, e)

" Passo 2: identifi car o número de elementos do evento e do espaço amostral.

n(A) = 4n(S) = 5


probabilidade de sucessoEntão:

p = 0,8

Pergunta-se: qual é a probabilidade de fracasso? . . . . . %Veja como se calcula passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: identifi car os elementos do espaço amostral e do evento solicitado.

B: acertar a questãoS: todas as opções (a, b, c, d, e)

" Passo 2: identifi car o número de elementos do evento e do espaço amostral.

n(B) = 1n(S) = 5


probabilidade de sucessoEntão:

q = 0,2

Se somente uma está cor-reta, sobram 4 incorretas

Se somente uma está correta

A distribuição binomial só é aplicável caso ocorram os três casos citados.

Os termos, sucesso e fracasso, signifi -cam se o resultado esperado ocorre ou não, ou seja, depende do objetivo de seu estudo. Veja o exemplo abaixo.

& Observe!p + q = 0,8 + 0,2 = 1 ou 100%


# Pág. 172


Você conseguiu entender a diferença? Não esqueça, sucesso não está ligado a acontecimentos bons e sim se ocorrer o re-sultado que é objetivo de seu estudo. Por exemplo: estudar a probabilidade de errar, como no exemplo anterior.

Você sabe qual o método de cálculo? . . . . . . . . . .%No exemplo anterior, você calculou a probabilidade de suces-so (errar) para somente uma tentativa (questão). Agora você vai calcular para “n” tentativas a probabilidade de ‘k’ suces-sos. Veja a seguir:

seja X: o número de sucessos em “n” tentativas do experi-mento.

Então a fórmula para determinar a probabilidade de um dado número k de sucessos, é dada por:

P(X=k) = Cn,k·pk·qn-k

onde:

Sendo:

Cn,k = combinação de n elementos organizados em grupos de k elementosn = tentativas do experimentok = número de sucessos desejadosp = probabilidade de sucesso (ocorrência do evento)q = probabilidade de fracasso (não ocorrência do evento)

Exemplos do cálculo de probabilidade

usando a distribuição binomial:

Ao aplicar um teste com quatro questões, um professor quer saber da probabilidade do aluno errar duas questões. Cada questão apresenta cinco alternativas (a, b, c, d, e) e somente uma está correta.

Ainda citando o exemplo anterior: nesse problema, você estudou a proba-bilidade de errar somente uma questão de um teste, e para estudar as possibi-lidades de erro ou acerto de questões de um teste inteiro? É aí que entra a distribuição binomial.

% Você sabia?Você recorda de fatorial?

n! = n.(n-1).(n-2). ... 3.2.1

Exemplos:

5! = 5.4.3.2.1 = 12010! = 10.9.8. ... .3.2.1 = 3628800

Defi nições especiais:

0! = 11! = 1

Caso você queira se aprofundar no es-tudo de fatorial e combinação, segue uma sugestão de site: http://pessoal.sercomtel.com.br/mate-matica/medio/205/combinat.htm


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Seção 2 " Como se calcula probabilidade usando distribuição discreta de probabilidade?

Nesse caso, o objetivo do estudo é estudar a probabilidade de erro, então, o sucesso se refere ao erro. Veja a seguir como se calcula passo a passo.

Veja como se calcula passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: calcular a probabilidade de errar (no caso, de sucesso) para cada questão.

A: errar a questãoS: todas as opções (a, b, c, d, e)n(A) = 4 (se somente uma está correta, sobram 4 incorretas)n(S) = 5

Probabilidade de sucesso, então: p = 0,8

" Passo 2: calcular a probabilidade de acertar (no caso, de fracasso) para cada questão.

Você pode calcular de dois modos:

1) Primeiro modo de cálculo:B: acertar a questãoS: todas as opções (a, b, c, d, e)n(B) = 1 (se somente uma está correta)n(S) = 5

Probabilidade de sucesso, então: q = 0,2

2) Segundo modo de cálculo:p + q = 1 " 0,8 + q = 1 " q = 1 – 0,8 " q = 0,2

" Passo 3: identifi car cada um dos componen-tes da fórmula.

n = 4 (total de repetições – são quatro questões com as mesmas características)k = 2 (número de sucessos – errar duas ques-tões)p = 0,8 (calculado acima)q = 0,2 (calculado acima)

n = 4k = 2

p = 0,8q = 0,2

" Passo 3: calcular a probabilidade usando a fórmula:

P(X=k) = Cn,k·pk·qn-k

P(X=2) = C4,2·0,82·q4-2

P(X=2)=0,1536 ou 15,36%

" Passo 3: interpretar os dados.

% Como interpretar estes dados?A probabilidade de um aluno acertar duas questões de um teste de quatro questões é de 15,36%. Note que não é 50%, pois você deve levar em conside-ração que cada questão tem sua pro-babilidade e, também, você pôde agru-pá-las, as questões, de várias maneiras (errar a 1ª e a 3ª, ou a 2ª e a 4ª, ou a 1ª e a 4ª, e assim por diante).


# Pág. 174


Representação gráfi ca de uma distribuição binomial

Como se trata de uma distribuição, você pode construir um gráfi co que represente as probabilidades do problema. Claro que para tanto, você deverá calcular a probabilidade para cada possibilidade, ou seja, para k = 0, 1, 2, 3 e 4. Não se assus-te, pois a seguir você poderá acompanhar as probabilidades calculadas na tabela.

Isso tudo que você acabou de ver é o método de cálculo de probabilidade usando a distribuição binomial. A intenção com esse estudo é que você tenha uma noção desse processo, sem maiores aprofundamentos.

Probabilidade de errar as questões do teste

Número de erros P(X)0 0,00161 0,02562 0,15363 0,40964 0,4096

Total 1

Note que para cada uma das possibili-dades é construido uma coluna.


Pág. 175 !

Seção 3 " Como se calcula probabilidade usando distribuição contínua de probabilidade?

" Seção 3Como se calcula probabilidade usando distribuição contínua de probabilidade?

61! #$',*$36$45& "&%,.%6! de probabilidade de uma va-riável aleatória atribui probabilidades a intervalos de valores dessa variável. Note que essa distribuição atribui probabilida-

de para intervalos e não para um valor dessa variável.Uma das principais distribuições contínuas é a normal.

No decorrer dessa seção, você vai estudar um pouco dessa distribuição, além de aprender a calcular probabilidade usan-do esse método.

Distribuição normal

Como você estudou no início dessa unidade, quando utiliza-se uma variável aleatória contínua, pode-se atribuir probabilidade a essa variável. Conforme a seção anterior, os processos defi nidos a partir de contagens conduzem aos mo-delos que envolvem variáveis aleatórias discretas, enquanto que os processos defi nidos a partir de medidas conduzem aos modelos que envolvem variáveis aleatórias contínuas.

Contagens ( Variável aleatória discreta

Medidas ( Variável aleatória contínua

Exemplos:Exemplos de variáveis contínuas são: altura das pessoas, temperatura cor-poral, peso, escores obtidos em testes, etc.


# Pág. 176


Antes de começar o estudo do cálculo de probabilidade usando a distribuição normal, você fará uma pequena recor-dação.Considere a distribuição de freqüências e seu histograma a seguir:

Histograma


Você lembra que o gráfi co é construído no sistema de eixos cartesianos? E no eixo horizontal são marcados os valores ou intervalos das classes assumidos pela variável. No eixo verti-cal marcamos as freqüências simples, que servirá para marcar a altura dos retângulos, indicando, assim, o número de obser-vações (ocorrências) de cada valor ou classe da variável.

Continuando com a recordação, veja, agora o polígono de fre-

qüências: para construir um polígono de freqüência de dados, é só unir por linhas os pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma.

Acompanhe o exemplo:

Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia de Florianópolis

Escore (em pontos) Nº de estudantes (fi )

15,9 |--- 18,7 218,7 |--- 21,5 621,5 |--- 24,3 1024,3 |--- 27,1 1427,1 |--- 29,9 1029,9 |--- 32,7 632,7 |--- 35,5 2

Total (!fi ) 50FONTE: Dados fi ctícios

Como a altura de cada retângulo é proporcional à freqüência simples, a área de cada retângulo também é. Con-siderando isso, a soma das áreas dos retângulos também é proporcional à freqüência total.

Mantenha essa informação à mão, pois, você irá usa-la novamente!


Pág. 177 !


Você pode observar que a área do histograma é igual a área abaixo do polígono de freqüências, ou seja, os retângulos que fi cam fora são compensados pelos triângulos que estão adi-cionados por dentro.

Se você observar que o gráfi co expressa os escores dos estudantes da escola e que nele estão representados os 100% dos estudantes pesquisados!

Você observou que o polígono de freqüências tem um formato especial? Sim, ele tem o formato de um sino. Essa curva é chamada de curva normal ou de Gauss-Laplace e ela tem algumas características bem especiais. Veja a seguir:

Características da curva normal

Analisando o polígono de freqüências da grande maioria das séries, você pode observar, com certo ajuste, que elas se apro-ximam de uma distribuição normal, ou seja, apresentam um gráfi co semelhante conforme pode ser observado a seguir:

O gráfi co expressa os escores dos estudantes da escola, e nele estão re-presentados os 100% dos estudantes pesquisados!


# Pág. 178


Principais características da curva normal:

a) a curva se caracteriza por ter a forma de um sino;

b) a curva tem dois pontos de infl exão (lugar onde a cur-va se modifi ca);

c) a curva normal é simétrica com relação à média (é igual tanto à esquerda, quanto à direita da média);

d) a área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é 1 ou 100% (sendo assim, por ser simétrica, tem 50% da área à esquerda e 50% da área à direita da média);

e) a curva é assintótica, isto é, se aproxima indefi nida-mente do eixo das abscissas sem tocá-lo;

f) a curva normal é unimodal, isto é, possui um só pico ou ponto de freqüência máxima, ponto este que coin-cidem a moda, a média e a mediana;

g) função que defi ne a curva:

Sabendo que a área abaixo do polígono (curva) representa proporcionalmente a freqüência total da série, e com o uso da média e do desvio padrão, tem-se condições de realizar estudo de concentração dos dados em torno da média.

Com relação à área abaixo da curva, analise o gráfi co a seguir:

Você se recorda das medidas de variação, mais especifi ca-mente, do desvio padrão que você estudou na Unidade 6, Seção 3?

A distribuição normal de probabilidade usa como base a curva normal.


Pág. 179 !


Veja a seguir alguns exemplos para compreender como realizar

os cálculos do desvio padrão.

Em um teste, a média dos escores de um grupo de pessoas foi de µ=80 e o desvio padrão foi de -(x)=3, pode-se interpretar estes valores da seguinte forma:

Os valores da série estão concentrados em torno da média:

" o intervalo (µ--(x); µ+-(x)) contém aproximadamen-te 68,26% dos elementos da série, ou seja, o intervalo (77;83) " (80-3=77 e 80+3=83);

" o intervalo (µ-2-(x); µ+2-(x)) contém aproximada-mente 95,44% dos elementos da série, ou seja, o inter-valo (74;86) " (80-6=74 e 80+6=86);

" o intervalo (µ-3-(x); µ+3-(x)) contém aproximada-mente 99,74% dos elementos da série, ou seja, o inter-valo (71;89) " (80-9=71 e 80+9=89).

Veja no gráfi co a seguir a ilustração desse exemplo:

Como você pôde observar, os percentuais estão ligados à média e ao desvio padrão e, por sua vez, determinam os intervalos a serem estudados. Esses percentuais são obtidos calculando a área entre a curva e o eixo X, entre os extremos do intervalo que você está estudando (ex.: (77;83))

Baseado nesse estudo, é que você poderá calcular a pro-babilidade de algum evento que resulte um intervalo. Veja como calcular a seguir.

% Como ler os gráfi cos?Ai vão algumas sugestões:

o percentual de pessoas que obtive-ram escores entre 77 e 83 pontos é de 68,26% (ou ainda, a probabilidade de escolher uma pessoa que tenha um es-core entre 77 e 83 pontos é de 68,26%);

o percentual de pessoas que obtive-ram escores entre 74 e 86 pontos é de 95,44% (ou ainda, a probabilidade de escolher uma pessoa que tenha um es-core entre 74 e 86 pontos é de 95,44%);

o percentual de pessoas que obtive-ram escores entre 71 e 89 pontos é de 99,74% (ou ainda, a probabilidade de escolher uma pessoa que tenha um es-core entre 71 e 89 pontos é de 99,74%).


# Pág. 180


Descrição do método de cálculo

A probabilidade em uma distribuição contínua de probabili-dade (probabilidade de ocorrência de um intervalo) é obtida calculando a área entre a curva e o eixo X, como você já viu a pouco. Essa área é calculada com o uso de uma ferramen-ta matemática chamada de integral defi nida da função vista anteriormente, ou seja: dada a função abaixo, a área entre a curva e o eixo X, no intervalo (a;b), é calculada da seguinte forma:

A determinação desta área usando-se o cálculo de integral é bastante complicada e não será usado em seu estudo. Para superar esta difi culdade, utiliza-se uma outra distribuição cha-mada de distribuição normal padronizada (ou reduzida). O artifício consiste em transformar a variável X, com média ! e desvio padrão ", em uma variável Z, com média 0 e desvio pa-drão 1, para que você possa fazer utilização da tabela de Z (vari-ável padronizada) com os valores das áreas já calculados.

Esta padronização é adotada para tornar o cálculo de proba-bilidade da ocorrência de intervalo mais fácil e mais simples. Qualquer distribuição X, com as características citadas aci-ma, pode ser transformada, na distribuição normal padroni-zada (ou reduzida) Z, isso, para que seja possível o cálculo de áreas.


Pág. 181 !


A transformação da variável aleatória X, na variável padroni-zada se dá mediante o uso da fórmula abaixo.

Cálculo da variável padronizada:

Onde:

X1 = valor da v.a. (limite do intervalo)% = média& = desvio padrão

Acompanhe os exemplos a seguir para

compreender como realizar o cálculo:

Exemplo 1: a área a ser calculada está no intervalo que vai da média até x1. Nesse caso só é necessário o cálculo de um limite do intervalo.

Nesse caso, a probabilidade de ocorrer o intervalo da média até o x1 é igual à probabilidade de ocorrer o intervalo de 0 a z1 " P(%<x<x1)=P(0<z<z1).


# Pág. 182


Exemplo 2: a área a ser calculada está no intervalo que vai de x1 até x2. Nesse caso, é necessário o cálculo de dois limites do intervalo (z1 e z2).

Cálculo da variável padronizada:

e

Onde:

X1 e X2 = valores da v.a. (limites do intervalo)% = média& = desvio padrão

Nesse caso, a probabilidade de ocorrer o intervalo entre x1 e x2 é igual à probabilidade de ocorrer o intervalo entre z1 e z2 " P(x1<x<x2)=P(z1<z<z2)

Até aqui, você conheceu como padronizar os valores da variável aleatória X, agora você irá aprender como usar a ta-bela de ares da distribuição padronizada.


Pág. 183 !


O uso da tabela

Com o valor de Z calculado, basta encontrar o valor na tabela. !er tabela no fi nal dessa seção.

Veja, a seguir, um gráfi co com representação da área dada pela tabela.


Exemplo 1: num teste aplicado a um grupo de estudantes, a média dos escores foi de 21 pontos e o desvio padrão foi de sete. Qual a probabilidade de ser encontrada uma pessoa com o escore entre 21 e 28 pontos?

Calculado passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

" Passo 1: identifi car todos os elementos que compõe o problema:

A média: %=21Desvio padrão: &(x)=7Os limites do intervalo: como um dos limites é a própria média, você só terá que calcu-lar um Z. O outro limite é 28 " X = 28

" Passo 2: calcular a variável padronizada Z:

Z = 1

" Passo 3: identifi car, no gráfi co, qual é a área que você deve encontrar:

Veja que a área está entre zero e 1.

As áreas dadas na tabela são sempre de 0 à Z. Não esqueça!

Observação:Conhecendo-se a área especifi cada na tabela, qualquer tipo de área poderá ser calculada usando a simetria da curva.


# Pág. 184


" Passo 4: procurar na tabela o Z = 1,00 e en-contrar sua área correspondente:

Procurar 1,0

Cruzando a linha com a coluna...

) )Procurar 0,00 ( Z 0,00 0,01

0,0 0,0000 0,00400,1 0,0398 0,04380,2 0,0793 0,0832· · · · · · · · ·0,8 0,2881 0,2910


0,9 0,3159 0,3186( 1,0 0,3413 0,3438

1,1 0,3643 0,36651,2 0,3849 0,38691,3 0,4032 0,4049

" Primeiro você deve procu-rar o valor 1,0 na primeira coluna.

" Depois, procurar na pri-meira linha, o valor 0,00 (é como se separasse o núme-ro 1,00 em dois, uma parte seria 1,0 e a outra seria o 0,00).

" No cruzamento da coluna onde está o 0,00 e da linha onde está o 1,0 você en-contrará um número (no caso é 0,3413). Esse núme-ro é a área entre Z e 0.

" Passo 5: responder e interpretar:

A probabilidade de encontrar uma pessoa com escore entre 21 e 28 pontos é de 34,13%.

P(21<x<28) = 0,3413 ou 34,13%

Exemplo 2: num teste aplicado a um grupo de estudantes, a média dos escores foi de 24 pontos e o desvio padrão foi de 6. Qual a probabilidade de ser encontrada uma pessoa com o escore entre 17,52 e 29,7 pontos?



A média: %=24Desvio padrão: &(x)=6Os limites do intervalo: como os limites são diferentes da média, você deve calcular Z para os dois valores (x1=17,52 e x2=29,7)

" Passo 2: calcular as variáveis padronizadas Z1 e Z2:

Z1 = –1,08Z2 = 0,95


Pág. 185 !



Veja que a área está entre –1,08 e 0,95

" Passo 4: procurar na tabela o Z1 = –1,08 e Z2 = 0,95 e encontrar suas áreas correspondentes:

Procurando Z1

Procurar 1,0


) )Procurar 0,08 ( Z 0,00 0,01 · · · 0,07 0,08

0,0 0,0000 0,0040 · · · 0,0279 0,03190,l 0,0398 0,0438 · · · 0,0675 0,07140,2 0,0793 0,0832 · · · 0,1064 0,1103· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0,8 0,2881 0,2910 · · · 0,3078 0,3106


0,9 0,3159 0,3186 · · · 0,3340 0,3365( 1,0 0,3413 0,3438 · · · 0,3577 0,3599

1,1 0,3643 0,3665 · · · 0,3790 0,38101,2 0,3849 0,3869 · · · 0,3980 0,3997

" Primeiro você deve procurar o valor 1,0 na primeira coluna.

" Depois, procurar na primeira linha, o valor 0,08 (é como se separasse o núme-ro 1,08 em dois, uma parte seria 1,0 e a outra seria o 0,08).

" No cruzamento da coluna onde está o 0,08 e da linha onde está o 1,0 você encontrará um número (no caso é 0,3599). Esse número é a área entre Z1 e 0.

Procurando Z2

Procurar 0,9


) )Procurar 0,05 ( Z 0,00 · · · 0,04 0,05

0,0 0,0000 · · · 0,0160 0,01990,l 0,0398 · · · 0,0557 0,0596· · · · · · · · · · · · · · ·0,7 0,2580 · · · 0,2704 0,2734


0,8 0,2881 · · · 0,2995 0,3023( 0,9 0,3159 · · · 0,3264 0,3289

1,0 0,3413 · · · 0,3508 0,35311,1 0,3643 · · · 0,3729 0,3749

Observação:Não se preocupe com o sinal negativo de Z1. Esse sinal só serve para indicar que a área está à esquerda da média (zero), por isso o negativo. Como a cur-va é simétrica, a área tanto à esquerda, como à direita são calculadas da mes-ma maneira e o uso da tabela, também é o mesmo.


# Pág. 186





" Passo 5: responder e interpretar:Como você tem duas áreas, o próximo passo é somar.

A probabilidade de encontrar uma pessoa com escore entre 17,52 e 29,7 pontos é de 68,88%.

P(17,52<x<29,7) == 0,3599 + 0,3289 == 0,6888 ou 68,88%

Exemplo 3: num teste aplicado a um grupo de estudantes, a média dos escores foi de 24 pontos e o desvio padrão foi de 6. Qual a probabilidade de ser encontrada uma pessoa com o escore maior que 29,7 pontos?

Calculado passo a passo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


A média: %=24Desvio padrão: &(x)=6Os limites do intervalo: o intervalo é limitado abaixo por x=29,7 e não tem limite acima. Você deve calcular Z somente para esse valor de x.

" Passo 2: calcular a variável padronizada Z:

Z = 0,95


Veja que a área está de 0,95 para cima.


Pág. 187 !


" Passo 4: procurar na tabela o Z = 0,95 e encontrar sua área correspondente:

Como usar a tabela?

Procurar 0,9


) )Procurar 0,05 ( Z 0,00 · · · 0,04 0,05

0,0 0,0000 · · · 0,0160 0,01990,l 0,0398 · · · 0,0557 0,0596· · · · · · · · · · · · · · ·0,7 0,2580 · · · 0,2704 0,2734


0,8 0,2881 · · · 0,2995 0,3023( 0,9 0,3159 · · · 0,3264 0,3289

1,0 0,3413 · · · 0,3508 0,35311,1 0,3643 · · · 0,3729 0,3749




" Passo 5: responder e interpretar:

Como a área dada pela tabela é sempre entre zero e Z, como calcular a área de Z para cima?

Você lembra que a curva normal é simétrica e que de cada lado tem 50% da área total? Pois é! Se a metade tem 50% ou 0,5 e você diminuir dessa área a área encontrada, restará a que você quer encontrar. Veja o gráfi co a seguir:

A área cinza escuro é calculada diminuindo 0,3289 (encontrada na tabela – área entre zero e Z) de 0,5.

A probabilidade de encontrar uma pessoa com escore maior que 29,7 pontos é de 17,11%.

P(x>29,7) = 0,5 – 0,3289 == 0,1711 ou 17,11%

Além dos casos que você estudou nos exemplos, ainda há ou-tros. Um deles pode ser ilustrado a seguir:

Caso o limite inferior do intervalo esteja à esquerda da média, o processo é o mesmo, calcular o Z, encontrar a área na tabela e, depois calcular a área fi nal. No caso ao lado, note que você terá que juntar as duas áreas, a cinza claro com a cinza escu-ro. Lembre que a área na metade da curva é de 0,5 ou 50%. Somando as duas: 0,5+0,3413=0,8413 ou 84,13%.


# Pág. 188


Distribuição Normal Padronizada (Z)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,l 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 *0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 *0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,10 ou + 0,4999NOTA: Para valores acima de 3,09, use 0,4999 como área.

*Use os valores comuns abaixo resultantes de interpolação:

Escore Área1.645 % 0.45002,575 % 0,4950


Pág. 189 !



1) O teste chamado Tarefa de Memória Seletiva (,1')* tes-ta alguns aspectos da memória verbal.Baseia-se em ouvir, lembrar e aprender doze palavras apresentadas à pessoa que está sendo testada. Diversos aspectos da memória verbal, tais como lembrança total, armazenamento na memória de longa duração, etc., são combinados para produzir um escore glo-bal. Sabendo que para um grupo determinado de pessoas, a média dos escores foi de 126 pontos e que o desvio padrão foi de 10 pontos, determine o que é pedido a seguir.

a) Calcule Z (variável padronizada) para x=116, x=136, para x=131 e para x=141 pontos.

b) Qual a probabilidade de escolher uma pessoa com es-core maior que 136 pontos?

c) Qual a probabilidade de escolher uma pessoa com es-core entre 126 e 131 pontos?

d) Qual a probabilidade de escolher uma pessoa com es-core entre 116 e 141 pontos?Sugestão: use os gráfi cos a seguir para auxiliar seu trabalho.

*Exercício adaptado do livro Encontros com o Acaso, de Christopher J. Wild, editora LTC: 2004


# Pág. 190

Síntese da unidade "Ufa! Você acabou de estudar mais uma unidade!

Nesta unidade você estudou dois tipos de distribuições de probabili-dade. Conheceu as diferenças entre variável alea tória discreta e contínua, bem como, entre suas distribuições de probabilidade. Aprendeu, também, a calcular probabilidade com essas distri-buições. Não foi tão difícil, não é?!?!

Além de utilizar os conteúdos estuda-dos nessa unidade para o cálculo de probabilidades, esse conteúdo é base para o estudo de Amostragem. Isto será o que você irá es-tudar na próxima e última unidade.

Estarei esperando você! Até lá!!

Para pesquisar #Caso você queira aprofundar os estu-dos do assunto dessa unidade, pes-quise em:

MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999







Pág. 191 !

9!Objetivos de aprendizagem" Vonhecer as vantagens e a importância

da amostragem.

" Calcular tamanho de amostra.

" Conhecer as informações que a amostra-gem propicia.

Unidade


# Seção 1Onde a amostragem se encaixa no método estatístico?. . . . . . . 192

# Seção 2Recordando alguns conceitos.. . . . . . . . 193

# Seção 3Que informações a amostragem pode revelar?. . . . . . . . . . . 194

# Seção 4Que tamanho de amostra usar? . . . . . . 196

# Seção 5A amostra é representativa da população? . . . . . . . . 203

Noções de amostragem)!*!3=%'? 0&": (',9 ;6!'( chegando ao fi nal do estudo da disciplina. Nessa última unidade, você vai estudar um pouco mais sobre amostragem. Na Unidade 2 você teve contato com alguns conceitos dentro do assunto “amos-tra”, sem entrar em muitos detalhes.

Agora, poderá aumentar seus conhecimentos sobre como escolher, calcular e para que usar amostras em pes-quisas e levantamentos de dados. Nesta disciplina o estu-do da amostragem é um dos mais importantes.

Todos os conhecimentos que você adquiriu até aqui serão ferramentas essenciais para apoiar suas decisões. Continue seu estudo que você poderá constatar esta afi r-mação.


# Pág. 192

Métodos Estatísticos " Unidade 9 Noções de amostragem

" Seção 1Onde a amostragem se encaixa no método estatístico?

!,= & 1&1(%,& 0&": (',6#&6 a Estatística descritiva e probabilidades e, dentro do processo estatístico, a amostra-gem está intimamente ligada aos dois assuntos, e vice-versa. Além de estarem ligados, são dependentes uns dos outros. Veja a fi gura a seguir:

FIGURA - Relações dos estudos estatísticos

% Como é feita essa relação entre os três?

Veja a resposta na seção seguinte!


Pág. 193 !

Seção 2 " Recordando alguns conceitos

" Seção 2Recordando alguns conceitos

%(''! '(45&, 0&": )&#(*9 recordar alguns conceitos im-portantes que você estudou na Unidade 2.

1) O que é população?

População é o conjunto total de elementos com pelo menos uma característica em comum, cujo comportamento interessa estudar.

Notação:N = número de elementos da população (tamanho da população)

" Censo: é uma coleção de dados relativos a todos os ele-mentos de uma população.

" Parâmetro: é utilizado para designar alguma caracte-rística descritiva dos elementos da população (percen-tagem, média, etc.).

2) O que é amostra?

Amostra é o conjunto de elementos ou observações, recolhi-dos a partir de um subconjunto da população, que se estuda com o objetivo de tirar conclusões para a população de onde foi recolhida.

Notação:n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra)

Não esqueça que estes itens estão con-templados em detalhe na Unidade 2. Retorne a leitura da mesma para relem-brar os conceitos!


# Pág. 194


" Seção 3Que informações a amostragem pode revelar?

%! '(45& !%,(*$&*, 0&": )@#( conhecer os principais mo-tivos para usar a amostra e não a população. Você deve estar se perguntando: Os dados levantados de uns poucos elementos pode me dar informação precisas de uma população inteira?

De certa forma sim! Você não terá informações exatas da população usando uma amostra, mas, sim, uma boa aproxi-mação e, também, uma boa precisão. Claro que por não haver pesquisado a totalidade dos elementos, você deve concordar que os dados nunca serão um refl exo exato da população.

Exemplos bem conhecidos são as pesquisas eleitorais. Você lembra das divulgações das pesquisas nos meios de comunicação?

FIGURA - Pesquisa eleitoral


Pág. 195 !

Seção 3 " Que informações a amostragem pode revelar?

Como era a notícia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %“A pesquisa de outubro apresentou os seguintes resultados: O candidato “A” tem 39% das intenções de voto, o candidato “B”, tem 26% das intenções de voto, o candidato C tem 9% das in-tenções de votos e o candidato D tem 7% das intenções de votos. A margem de erro é de 2%.”

Isso mesmo, existe uma margem de erro. Esse erro, relatado na notícia, gera um intervalo, ou seja, as intenções de votos para o candidato “A” podem variar de 37% a 41%. Por se tratar de uma pesquisa feita com amostragem, você não pode dizer que o candidato terá 39% das intenções de votos.

Quais são as informações que a amostragem pode fornecer?

Como você viu, esses intervalos, na estatística, são separados em dois tipos, de acordo da variável estudada (você lembra?):

Variável aleatória discreta ( Intervalo de proporção (percentual)

Variável aleatória contínua ( Intervalo da média

A) Intervalos de proporção: são intervalos como o visto no exemplo anterior, os percentuais das intenções de votos. Exemplos: Proporção de famílias, percentual de pacientes, proporção de cobaias, etc.;

B) Intervalos da média: são intervalos baseados em me-didas. Sempre calculado pela média dessas medidas. Exemplo: escore médio, peso médio, altura média, etc.


# Pág. 196


" Seção 4Que tamanho de amostra usar?

(''! '(1)*( = ! #A0$#! #( 16$,&' pesquisadores. O tamanho da amostra muitas vezes depende da experiência e do conhecimento do pesquisador. Experiência em saber qual o tamanho que realmente representará com fi delidade a população e o conhecimento do pesquisador sobre o tema e sobre a população alvo do estudo. Dessa forma, você verá aqui duas formas de calcular o tamanho da amostra, que são as seguintes:

" quando não se têm informações sobre a população: se o pesquisador não tem acesso as medidas, como desvio padrão, percentuais, etc.

" quando têm informações sobre a população: se o pes-quisador tem acesso as medidas, como desvio padrão, percentuais, etc.

1) Quando não se têm informações sobre a população

Nesse caso, é necessário a especifi cação do erro amostral pre-tendido pelo pesquisador. As formas, sugeridas por Barbetta (BCCB), de cálculo do tamanho da amostra, quando você não tem acesso a informações da população são as que seguem:


Pág. 197 !

Seção 4 " Que tamanho de amostra usar?

Quando não se conhece o tamanho da população.

Tamanho da amostra:

Onde:

n0 – primeira aproximação para o tamanho da amostra;E – erro amostral tolerável.

(usar o erro na forma unitária, ex.: 2%, usar 0,02)

Quando se conhece o tamanho da população.

Tamanho da amostra:

Onde:

n0 – primeira aproximação para o tamanho da amostra;E – erro amostral tolerávelN – tamanho da população;n – tamanho da amostra.

(usar o erro na forma unitária, ex.: 2%, usar 0,02)

Veja a seguir um exemplo de como realizar os cálculos.

Um pesquisador deseja realizar estudo para com estudantes do ensino fundamental da rede municipal de escolas da ci-dade de Florianópolis. Nessa pesquisa, irá tolerar um erro amostral de 4%. Ele gostaria de saber qual seria o tamanho da amostra necessária para realizar sua pesquisa, nos seguin-tes casos:


# Pág. 198


Não conhece o número total de estudantes do ensino fundamental da cidade.


" Passo 1: identifi car os elementos da fórmula.

n0 = tamanho aproximado da amostraE = erro amostral tolerável = 4% ou 0,04(é só dividir por 100)

" Passo 2: Usar a fórmula:no = 625 estudantes

Um tamanho aproximado para a amostra, seria de 625 estudantes do ensino fundamental.

O número total de estudantes do ensino fundamental da cidade é de 27.000 alunos.


" Passo 1: identifi car os elementos da fórmula.

n0 = tamanho aproximado da amostraE = erro amostral tolerável = 4% ou 0,04(é só dividir por 100)N = tamanho da população = 27000

" Passo 2: usar a fórmula:no = 625 estudantes

Um tamanho aproximado para a amostra, seria de 625 estudantes do ensino fundamental. Observe que o pesquisador teve acesso a informação de que a população seria de 27.000 estudantes, então você deve passar para o passo seguinte:

" Passo 3: calcular o tamanho da amostra usan-do a população com a seguinte fórmula: Arredondando,

seriam 611 estudantes.


Pág. 199 !



1) Estão listados a seguir uma série de estudos e a margem de erro que o pesquisador irá adotar como tolerável, bem como, o tamanho da população alvo desse estudo. Calcule o tamanho da amostra necessária para realizar as pesquisas considerando que o pesquisador não tem acesso ao tamanho da população e que o pesquisador tem acesso ao tamanho da população (calcular para os dois casos).

Tema do estudo Erro tolerável

Tamanho da população

Tamanho da amostra (preencher)

a) Estudo sócio-econômico com estudantes da Unisul 0,03 5600

b) Estudo com famílias do bairro Rio Vermelho em Florianópolis 0,04 9400

c) Estudo com adolescentes com Teste de Sondagem Intelectual (TSI) 0,05 400

d) Estudo da fecundidade na cidade de Florianópolis 0,06 125.000

e) Estudo com usuários de drogas adolescentes de uma escola 0,09 250

f ) Estudo sobre analfabetismo no bairro Rio Tavares, em Florianópolis 0,09 2.500

g) Estudo de Índice de Massa Corporal dos estudantes da Unisul 0,05 4.000

h) Pesquisa de intenções de voto no Brasil 0,02 80.000.000*

FONTE: Dados fi ctícios — * número de eleitores


# Pág. 200


2) Quando têm informações sobre a população

Nesse caso, além da margem de erro tolerável, seriam neces-sárias informações como desvio padrão, percentual dos indi-víduos que apresentam as características estudadas, etc. Essas informações poderiam ser obtidas de pesquisas anteriores ou até mesmo, de uma pré-pesquisa. Nesse último seria preciso uma amostragem prévia para realizar os levantamentos ne-cessários. Embora não seja de interesse aprofundar o estudo sobre este assunto, a seguir estão as fórmulas para calcular o tamanho da amostra para os dois casos existentes, para esti-mar a proporção (percentual) e a média populacional.

Para a estimativa da

média populacional

Para a estimativa da proporção

populacional (percentual)

Para amostragem com reposição(população infi nita)

Para amostragem sem reposição(população fi nita)

Onde:

n = tamanho da amostra;N = tamanho da população;e = erro amostral;& = desvio padrão;Z = limite do intervalo (dist. Normal).

Para amostragem com reposição(população infi nita)

Para amostragem sem reposição(população fi nita)

Onde:

n = tamanho da amostra;N = tamanho da população;e = erro amostral;p = percentual de elementos com a característica estudada;q = percentual de elementos sem a característica estudada;Z = limite do intervalo (dist. Normal).

Embora não seja a intenção de aprofundar esse tipo de cál-culo, faça a atividade de auto-avaliação a seguir e constate se compreendeu como realizar os cálculos.


Pág. 201 !



1) Acesse o site http://www.barca.efei.br/amostragem/calculam.html e preencha os espaços com as informações conforme exemplo a seguir:

No exemplo signifi cam:

População = NNível de confi ança = indica o ZDesvio = no caso é o erroMédia = você já conhece, seria a média dos valores obtidosVariância = a variância dos valores obtidos.

Após digitar os valores (no lugar da vírgula usar ponto) que estão na fi gura, clique no botão “Calcula o tamanho”. Qual é o tamanho da amostra indicado (para estimar a média)?


# Pág. 202


Vá aumentando o tamanho do erro (no caso desvio) de 0.02, para 0.03, 0.04 e assim sucessivamente e a cada alteração não esqueça de clicar no botão “Calcula o tamanho”. O que acontece com o tamanho da amostra? Aumentando o erro o tama-nho da amostra aumenta ou diminui?

2) Acesse o site http://www.barca.efei.br/amostragem/calculap.html e preencha os espaços com as informações conforme exemplo a seguir:

No exemplo signifi cam:

População = NNível de confi ança = indica o ZDesvio = no caso é o erroProporção = percentual de indivíduos com a característica estudada

Após digitar os valores (no lugar da vírgula usar ponto) que estão na fi gura, clique no botão “Calcula o tamanho”. Qual é o tamanho da amostra indicado (para estimar a proporção)?


Pág. 203 !


Vá aumentando o tamanho do erro (no caso desvio) de 0.02, para 0.03, 0.04 e assim sucessivamente e a cada alteração não esqueça de clicar no botão “Calcula o tamanho”. O que acontece com o tamanho da amostra? Aumentando o erro, o tama-nho da amostra aumenta ou diminui?

" Seção 5A amostra é representativa da população?

Você lembra do exemplo da Unidade 2, Seção 1? Pois é, quem não cozinhou ou não viu alguém cozi-nhar? Quando você está cozinhando e, após temperar a comida, cos-tuma mexer com uma colher, não é? Por que você mexe? Para que o tempero fi que bem misturado com a comida. Correto?Qual é o passo seguinte?Provar! Claro, você pega apenas uma pitada da comida para saber como está o gosto. Para tanto, não é necessário comer tudo!

Em resumo, o processo de amostragem é bem semelhante. Para que a prova de comida seja representativa, você teve, antes, que mexer bem, tornando assim, uma mistura homo-gênea.


# Pág. 204

Se foi bem misturada, qualquer amostra que você co-lha, em qualquer lugar da panela, você terá uma boa noção de como o todo (a comida) está.

Em pesquisas o processo é bem semelhante! . .

Você lembra da pesquisa de intenções de voto? Em época de campanha eleitoral quando um instituto de pesquisa faz uma pesquisa, ele tem que selecionar eleitores que representem as mais diversas camadas sociais, regiões, raças, etc., tornando assim a amostra representativa da população.

O sucesso da pesquisa com base em amostra está na boa defi nição de seu plano de amostragem. Para saber mais sobre o assunto, retorne à Unidade 2!

Síntese da unidade "Nessa unidade você pôde ver as fa-cilidade e a importância do uso de amostragem. Hoje em dia os processos de amostragem e as estimativas estão muito precisas a ponto de ser mais con-fi ável usar a amostra que realizar uma pesquisa com a totalidade da popula-ção. Nessa unidade você teve algumas noções de como funciona todo esse processo, mas fi que a vontade para aprofundar esse tema tão importante e fundamental na realização de uma pes-quisa. Muitas vezes você terá que usar ferramentas, como as que vimos aqui, tanto em sua vida acadêmica quanto na profi ssional.

Parabéns pela persistência. Com essa unidade você encerra o estudo da disciplina.

Para pesquisar #Caso você queira aprofundar os estu-dos do assunto dessa unidade, pes-quise em:

BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. 5. ed. rev. Florianópolis: Ed. UFSC, 2002.

MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999.





Pág. 205 !

Para concluir o estudo da disciplina

16$,!' 0(<(' %&' #()!*!1&' com situa-ções em que temos que lidar com muitos da-

dos, e como vamos lidar com eles? A disciplina de Métodos Estatísticos é uma tentativa de pro-

porcionar ferramentas para os profi ssionais que lidam com esse tipo de situação. Desde a apresentação de relatórios e trabalhos científi cos, pesquisas, controle, testes, projeções e previsões a Estatísticas está sempre presente. No dia-a-dia, lidamos com uma grande quanti-

dade de informações e pergunto: De que vale ter tanta in-formação se não sabemos o que fazer com elas? Espera-se que todo o conhecimento que você adquiriu nesta discipli-na seja suporte para as suas análises, opiniões e decisões.

Muito sucesso profi ssional!Prof. Luiz Dornelles Sobre o autor &

Luiz Arthur Dornelles Júnior é gradua-do em Matemática pela Fundação Uni-versidade do Rio Grande (FURG). É pro-fessor da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL) desde 2000, onde leciona as disciplinas de Estatística, Métodos Quantitativos e Programação Linear. Atualmente, está cursando Es-pecialização em Educação Matemática na UNISUL Virtual.


# Pág. 206

Referências

ARANGO, Héctor Gustavo. Bioestatística teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara, 2001.BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ci-ências sociais. 5. ed. rev. Florianópolis: Ed. UFSC, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva,2001.LEVIN, Jack. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. São Paulo: Habra, 1987.MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica. São Paulo: Makron Books, 1999SILVA, Ermes Medeiros da. Estatística – Vol.1. São Paulo: Atlas, 1996.TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.VIEIRA, Sônia. Introdução à Bioestatística. 6. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2000.VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. São Paulo: Pioneira, 2003.WILD, Christopher J. Encontros com o acaso. Rio de Janeiro: LTC, 2004.


Pág. 207 !

Sites

http://www.seas.al.gov.br/http://www.ibge.gov.brhttp://www.amostraestatistica.hpg.ig.com.br/historia.htmhttp://www.natalest.hpg.ig.com.br/historia.htmlhttp://www.estatisticapr.hpg.ig.com.br/historia.htmlhttp://www.esgb-antero-quental.rcts.pt/NMAT/estatistica.htm#Históriahttp://alea-estp.ine.pt/html/nocoes/html/cap2_1_i.htmlhttp://vejaonline.abril.com.br/notitiahttp://www.psicologia.ufrgs.br/laboratorio/http://www.mcguido.vet.br/vigilancia_epidemio.htmhttp://www.datasus.gov.br/http://www2.mj.gov.br/http://www.delsa.com.brhttp://www.esgb-antero-quental.rcts.pt/NMAT/estatistica.htm#Cuidadohttp://www.barca.efei.br/amostragem/calculam.htmlhttp://www.barca.efei.br/amostragem/calculap.html



Pág. 209 !

ANEXOS Respostas e comentários das auto-avaliações

Unidade 1Introdução à Estatística

1º caso: Como você pode notar, a galinha do ti’ Januário põe um ovo e meio por dia. D. Estatística disse isso! Não quer dizer que a galinha faça exatamente dessa maneira, pois é impossí-vel por meio ovo, não é? Dias põe um, dias põe dois, dias não põe nenhum. No fi nal das contas, em média, põe ovo e meio. Podemos citar outros exemplos, digamos que a média de pes-soas por família seja de 3,5 pessoas no Brasil. Não existe meia pessoa e nem podemos considerar como sendo uma criança, e assim por diante.2º caso: No segundo caso, você pode perceber que uma in-formação pode, muito bem, ser representada de forma a ma-nipular os dados. Talvez para alguns torne mais interessante, mas é pura indução! Se você observar o segundo gráfi co, verá que a diferença de um ano para o outro não é tão signifi can-te, quanto aparenta no primeiro. A simples construção de um gráfi co pode dar a entender algo completamente diferente da realidade. Muitos usam esse tipo de expediente para facilitar nas vendas, apresentar relatórios distorcendo a verdade, etc.Não esqueça, fi que a vontade para citar exemplos que façam parte de seu cotidiano.


# Pág. 210


Unidade 2Conceitos básicos

Seção 1: O que é população e amostra?

1. O Censo é uma coleção de dados de uma população, enquanto que a estimação usa dados de uma amostra para avaliar um parâ-metro (característica descritiva dos elementos da população).2. Deve escolher elementos com as mesmas características da população, ou seja, elementos que realmente representem a popu-lação. Aqui você pode citar exemplos (escolher clientes de níveis sociais diferentes para estudar grau de satisfação, escolher amos-tras de um lago para análise, em diversos locais do lago). Isso é necessário para que você possa realmente refl etir a realidade, sem distorcer ou conduzir os resultados.

Seção 2: Quais são os conceitos básicos da Estatística?

1. Nessa questão você deve citar exemplos do seu dia-a-dia, por exemplo:Variável ExemplosQualitativa nominal NacionalidadeQualitativa ordinal Atendimento (ótimo, muito bom, ... , ruim)Quantitativa discreta Número de fi lhosQuantitativa contínua Escore de teste psicológico

2. A classifi cação que você pode fazer é:os dados coletados por meio de questionário: primários;o.s dados coletados na Federação: secundários

3. A classifi cação que você pode fazer é:Descrição da variável Classifi cação3.1. altura: Quantitativa contínua3.2. idade do paciente: Quantitativa contínua3.3. sexo: Qualitativa nominal3.4. classe econômica: Qualitativa ordinal3.5. estado civil: Qualitativa nominal3.6. quantidade de cigarros por dia: Quantitativa discreta3.7. perímetro cefálico: Quantitativa contínua3.8. grau de instrução: Qualitativa ordinal3.9. número de fi lhos: Quantitativa discreta3.10. endereço: Qualitativa nominal3.11. telefone: Qualitativa nominal3.12. número de alunos com defi ciência de atenção : Quantitativa discreta3.13. peso: Quantitativa contínua3.14. nacionalidade: Qualitativa nominal3.15. temperatura: Quantitativa contínua3.16. local de nascimento: Qualitativa nominal


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Anexo 1 " Respostas e comentários das auto-avaliações

Seção 3: O que são séries estatísticas?

1) A classifi cação que você pode fazer é:a) série Específi co-geográfi ca;b) série Específi ca

(embora seja tempo de sono, não é temporal);c) série Específi ca.

Seção 4: Como fazer o arredondamento de dados?

1) Arredondamentosa) Para a segunda casa decimal:

41,368 = 41,371.589,9984 = 1.590121,3333 = 121,335,665002 = 5,6728,45500 = 28,46

b) Para a primeira casa decimal:41,368 = 41,41.589,8984 = 1589,1.590121,3333 = 121,35,655002 = 5,728,4500001 = 28,582,95 =83

Seção 5: Noções de somatório

1) Somatórios:a) =a1 + a2 + a3 + a4 + a5

b) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9

c) = x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15

d) = f1.x1 + f2.x2 + f3.x3 + f4.x4

e) = (x1-5)2 + (x2-5)2 + (x3-5)2 + (x4-5)2


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2) Escreva sob a forma de somatório:a) Soma = x1 + x2 + ... + x7 =

b) Soma = x4 + x5 + x6 + x7 =

c) Soma = x6 + x7 + ... + x17 =

d) Soma = (x1 + x2 + ... + x7)2 = =

% &' () *!

27i

i 6x

e) Soma =

sugestão: repita o primeiro termo da soma e troque o 1 por i

3) Calcule as seguintes quantidades para os dados abaixo(obs.: utilize a tabela):

i xi fi xi.fi xi2 fi.(xi)

2

1 10 3 30 100 3002 11 5 55 121 6053 15 9 135 225 20254 19 10 190 361 36105 21 2 42 441 8826 26 1 26 676 676! 102 30 478 8098

(a) Dxi = 102(b) Dfi =30(c) Dxi.fi = 478(d) Dfi.(xi)2 = 8098


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Unidade 3Distribuição de freqüências

Seção 2: Quais são os componentes de uma tabelas?

1) Erros e componentesa) Falta o título.

A tabela não deve ser fechada nas laterais.b) Falta a fonte.

Falta a linha divisória do cabeçalho.

Seção 3: Como montar tabelas para variável qualitativa?

1) Montagem da tabelaPrincipais motivos de tensão (estresse)Tipo de empréstimo Nº de clientes

Morte de um fi lho 16

Morte do cônjuge 12

Morte dos pais ou irmãos 11

Divórcio 8

Doença grave 7

Demissão 6FONTE: Dados fi ctícios

Seção 4: Como montar tabelas para variável quantitativa discreta?

2) Acidentes de trabalho nos últimos 36 meses

No de acidentes Número de meses3 44 55 96 77 58 6

FONTE: CIPA


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Seção 5: Como montar tabelas para variável quantitativa contínua?

1) Renda das famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis

Renda família (R$) No de pacientes

112 |---- 115 2

115 |---- 118 6

118 |---- 121 4

121 |---- 124 9

124 |---- 127 8

127 |---- 130 7FONTE: Dados fi ctícios

Seção 6: Quais são os tipos de freqüências?

1) Renda de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis

Renda (R$) Nº de famílias



112 |--- 115 2 2 36 0,0556 5,56 113,5115 |--- 118 6 8 34 0,1667 16,7 116,5118 |--- 121 4 12 28 0,1111 11,1 119,5121 |--- 124 9 21 24 0,25 25 122,5124 |--- 127 8 29 15 0,2222 22,2 125,5127 |--- 130 7 36 7 0,1944 19,4 128,5Total (1fi ) 36 1,0 100,0

FONTE: Teste nível de estresse

a) 21 famíliasb) 29 famíliasc) 15 famíliasd) 7 famíliase) 11,1% das famíliasf) 25% das famílias

2)Número de operários acidentados para cada mês

Número de acidentados

Nº de meses


fiaci“acima de” fr fp (%)

3 4 4 36 0,1111 11,14 5 9 32 0,1389 13,95 9 18 27 0,2500 256 7 25 18 0,1944 19,47 5 30 11 0,1389 13,98 6 36 6 0,1667 16,7

Total (1fi ) 36 1,0 100,0FONTE: Número de acidentados


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Complete a tabela com as freqüências acumulada direta e indireta, a freqüência relativa e percentual. Após responda as perguntas:

a) 18 mesesb) 25 meses c) 18 meses d) 27 mesese) 25% dos mesesf) 13,89% dos meses

Unidade 4Representação gráfi ca

Seção 2: Tipos de diagramas

1. Essa atividade vai depender muito do gráfi co escolhido e de sua análise. Não esqueça de usar as dicas para analisar um gráfi co:

" identifi car as variáveis expressas pelo gráfi co;" identifi car os intervalos em que as variáveis atuam;" identifi car onde a variável que está sendo estudada (Volume

de exportações) apresenta máximo e mínimo;" identifi car se a tendência é de crescimento ou decrescimen-

to. Em alguns casos é bastante difícil realizar essa identifi -cação;

" analisar o comportamento de uma maneira geral, identifi -cando as alterações mais expressivas;

" outras análises também são possíveis, isso só depende do observador e muitas vezes, da variável que estamos estu-dando.

Seção 3: O que são pictogramas

1. Essa atividade vai depender muito do gráfi co escolhido e de sua análise. Não esqueça de usar as dicas para analisar um gráfi co.


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Seção 4: Gráfi cos representativos

1. O histograma e o polígono de freqüências deverão ser seme-lhantes ao a seguir:


Unidade 5Medidas de posiçãoSeção 2: Como calcular a média?

1) Consumo de bebidas alcoólicas por semana pelos funcionários.

Número de dias (xi)

Número de funcionários (fi)

xi.fi

0 10 01 16 162 14 283 8 244 5 205 4 206 4 247 3 21

Total (!fi ) 64 153FONTE: Pesquisa de campo (dados fi ctícios)

Em segundo lugar, calcule a média, dividindo a soma da coluna xi.fi, pela soma da coluna fi. O resultado é a média:

+= = =!!

i i

i

x f 153x 2,39f 64

Interpretação: o número médio de dias de consumo de álcool pelos funcionários é de 2,39 dias


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2) Usando um processo semelhante ao anterior, em primeiro lu-gar, você deve calcular o ponto médio. Logo após, multiplicar o ponto médio pela fi de cada linha e escrever o resultado na coluna PM.fi. Some esses números no fi nal da coluna, veja a tabela:Renda de famílias de um bairro de classe baixa de Florianópolis

Renda (R$) Número de famílias PM PM.fi 112 |---- 115 2 113,5 227

115 |---- 118 6 116,5 699

118 |---- 121 4 119,5 478

121 |---- 124 9 122,5 1102,5

124 |---- 127 8 125,5 1004

127 |---- 130 7 128,5 899,5

Total (1fi ) 36 4410


Em segundo lugar, divida o resultado da soma (DPM.fi) pelo soma dos números da coluna fi:

+= = =!!

i i

i

x f 4410x 122,5f 36

Interpretação: o nível de estresse médio do grupo de pacientes é de 122,5 pontos

Seção 3: Como calcular a mediana?

1.a) Conjunto 1 Primeiro passo: escrever na tabela os dados organizados em

ordem crescente (Rol) e, na linha de baixo, as posições:12 13 13 15 15 16 17 19 211ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª

Segundo passo: calcular a posição, levando em considera-ção que a série tem 9 elementos, sendo, assim, ímpar:

Terceiro passo: encontrar na tabela p elemento que ocupa a 5ª posição:

12 13 13 15 15 16 17 19 211ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª

Me=15 – o tempo de internação mediano é de 15 diasInterpretação: 50% dos valores observados são menores ou iguais a 15, e 50% dos valores observados são maiores ou iguais a 15.


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1.b) Conjunto 2 Primeiro passo: escrever na tabela os dados organizados em

ordem crescente (Rol) e, na linha de baixo, as posições:14 14 15 15 16 16 17 181ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª

Segundo passo: calcular a posição, levando em considera-ção que a série tem 8 elementos, sendo, assim, par:

A mediana ocupa uma posição entre a 4ª e a 5ª posições. Terceiro passo: encontrar na tabela os elementos que ocu-

pam as posições 4ª e 5ª:14 14 15 15 Me 16 16 17 181ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª

Elemento da 4ª posição = 15 Elemento da 5ª posição = 16 Quarto passo: calcular a media:

Me=15,5 – o tempo de internação mediano é de 15,5 diasInterpretação: 50% dos valores observados são menores ou iguais a 15,5 e 50% dos valores observados são maiores ou iguais a 15,5.

Seção 4: Como calcular a moda?

1.a) Conjunto 1

Organizando os dados:1 1 1 1 2 2 2 2 35 5 6 6 7 7 7 8 8

A série tem duas modas: Mo1=1 e Mo2=2Interpretação moda 1:O valor mais freqüente é 1.Interpretação moda 2:O valor mais freqüente é 2.


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b) Conjunto 2Organizando os dados:

2 2 2 3 3 3 3 55 5 5 6 6 6 8 8

A série tem duas modas: Mo1=3 e Mo2=5Interpretação moda 1:O valor mais freqüente é 3.Interpretação moda 2:O valor mais freqüente é 5.

c) Conjunto 3Organizando os dados:

1 1 2 2 3 3 4 45 5 6 6 7 7 8 8

A série não tem moda, pois não tem nenhum dado que se repita mais que os outros

Interpretação moda: é uma série amodal, ou seja, não tem valor(es) mais freqüente.

Seção 6: Como calcular separatrizes?

3.Primeiro passo: escrever na tabela os dados organizados em or-dem crescente (Rol) e, na linha de baixo, as posições:

2 3 4 4 4 5 5 6 8 8 9 9

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª

Para o terceiro quartil

Segundo passo: calcular a posição.Considerando N=12:

+ += = = =3 (12 1) 3,13 39Pos 9,754 4 4ou seja, Q 3 está entre a 9ª e a 10ª posições.

Terceiro passo: calcular o terceiro quartil Valor que ocupa a 9ª posição = 8 Valor que ocupa a 10ª posição = 8Então calcule da seguite forma:

+= =38 8Q 82


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Interpretação:75% dos dados observados são menores ou iguais a 8 e 25% dos dados observados são maiores ou iguais a 8.

Para o nono decil (note que D9 = P90)

Quarto passo: calcular a posição.Considerando N=12:

+ += = =90 (12 1) 1170Pos 11,7100 100ou seja, D9 está entre a 11ª e a 12ª posições.

Quinto passo: calcular o nono decil Valor que ocupa a 11ª posição = 9 Valor que ocupa a 12ª posição = 9Então calcule da seguite forma:

+= =99 9D 92


Para o trigéimo quinto percentil

Sexto passo: calcular a posição.Considerando N=12:

+ += = =35 (12 1) 455Pos 4,55100 100ou seja, P35 está entre a 4ª e a 5ª posições.

Sétimo passo: calcular o trigésimo quinto percentil Valor que ocupa a 4ª posição = 4 Valor que ocupa a 5ª posição = 4Então calcule da seguite forma:

+= =354 4P 42



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Unidade 6Medidas de dispersão

Seção 2: Como calcular a variância e o desvio-padrão?1. A variância e o desvio-padrão para dados brutos

1) Essa questão você pode seguir os seguintes passos:Passo 1: calcular a média:

Obs.: não esqueça que na média para a população usamos a letra grega µ.

Passo 2: calcular os desvios (xi – xE):(x1 – xE) = (25-28,33)= -3,33(x2 – xE) = (22-28,33)= -6,33(x3 – xE) = (36-28,33)= 7,67(x4 – xE) = (20-28,33)= -8,33(x5 – xE) = (29-28,33)= 0,67(x6 – xE) = (38-28,33)= 9,67Passo 3: elevar ao quadrado cada desvio (xi – xE)2:(x1 – xE)2 = (-3,33)2 = 11,0889(x2 – xE)2 = (-6,33)2 = 40,0689(x3 – xE)2 = (7,67)2 = 58,8289(x4 – xE)2 = (-8,33)2 = 69,3889(x5 – xE)2 = (0,67)2 = 0,4489(x6 – xE)2 = (9,67)2 = 93,5089Somando todos, temos 273,3334Passo 4: calcular a média dos quadrados dos desvios. Aqui

você vai calcular para a população (variância):Variância:

Então -2(x) = 45,5556


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Passo 5: calcular o desvio-padrão calculando a raiz da variância:Desvio-padrão:

Interpretação: a variabilidade de tempo de execução do teste é de 6,7495 minutos

1) O modo de calcular é o mesmo da questão anterior, só muda no fi nal, quando calcular a variância, usamos a fórmula para amostra.

Passo 1: calcular a média:

Obs.: não esqueça que na média para a amostra usamos a xE.

Passo 2: calcular os desvios (xi – xE):(x1 – xE) = (15-17,6)= -2,6(x2 – xE) = (10-17,6)= -7,6(x3 – xE) = (9-17,6)= -8,6(x4 – xE) = (23-17,6)= 5,4(x5 – xE) = (31-17,6)= 13,4Passo 3: elevar ao quadrado cada desvio (xi – xE)2:(x1 – xE)2 = (-2,6)2 = 6,76(x2 – xE)2 = (-7,6)2 = 57,76(x3 – xE)2 = (-8,6)2 = 73,96(x4 – xE)2 = (5,4)2 = 29,16(x5 – xE)2 = (13,4)2 = 179,56Somando todos, temos 347,2Passo 4: calcular a média dos quadrados dos desvios. Aqui

você vai calcular para a amostra (variância):Variância:

Então s2(x) = 86,8


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Passo 5: calcular o desvio-padrão calculando a raiz da variância:Desvio-padrão:

Interpretação: a variabilidade dos escores é de 9,32 pontos

2. A variância e o desvio-padrão para dados agrupados

2.1. Dados agrupados sem intervalos (variável discreta)

1) a primeiro passo é calcular a média:

No de dias(xi)

No de func.(fi ) xi.fi (xi – x̄) (xi – x̄)2 (xi – x̄)2. fi

0 10 0 –2,39 5,71 57,11 16 16 –1,39 1,93 30,882 14 28 –0,39 0,15 2,13 8 24 0,61 0,37 2,964 5 20 1,61 2,59 12,955 4 20 2,61 6,81 27,246 4 24 3,61 13,03 52,127 3 21 4,61 21,25 63,75! 64 153 249,1


1–2,39 = –1,39

0–2,39 = –2,39

(–2,39)2 = 5,71

(–1,39)2 = 1,93

5,71+10 = 57,1

1,93+16 = 30,88

"fi "xi.fi

"(xi – x̄)2. fi

Vamos calcular passo a passo:Passo 1: devemos somar a coluna das freqüências simples (fi) para obter Dfi (freqüência total);

Dfi = 64Passo 2: calcular a média: multiplicar cada xi por sua corres-

pondente fi e escrever na coluna xi.fi e somar os valores calculados e escrever no fi nal da coluna esse resultado que é o Dxi.fi;Dxi.fi = 153

Passo 3: dividir o resultado do Passo 2 (Dxi.fi) pelo resultado do Passo 1 (Dfi)


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Passo 4: calcular a quarta coluna, (xi – xE) subtraindo o xi de cada linha pela média:0 – 2,39 = –2,391 – 2,39 = –1,392 – 2,39 = –0,393 – 2,39 = 0,614 – 2,39 = 1,615 – 2,39 = 2,616 – 2,39 = 3,617 – 2,39 = 4,61

Passo 5: calcular a quinta coluna, elevando os valores da quar-ta ao quadrado, (xi – xE)2:(–2,39)2 = 5,71(–1,39)2 = 1,93(–0,39)2 = 0,15(0,61)2 = 0,37(1,61)2 = 2,59(2,61)2 = 6,81(3,61)2 = 13,03(4,61)2 = 21,25

Passo 6: calcular a sexta coluna, multiplicando os valores da quinta pela freqüência simples de cada linha, (xi – xE)2.fi:5,71F10 = 57,11,93F16 = 30,880,15F14 = 2,10,37F8 = 2,962,59F5 = 12,956,81F4 = 27,2413,03F4 = 52,1221,25F3 = 63,75

Passo 7: somar os valores obtidos na sexta coluna, D(xi – xE)2.fi:D(xi – xE)2.fi = 249,1

Passo 8: calcular a variância para a amostra:

Passo 9: calcular o desvio-padrão:


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2) Mais uma vez, vamos calcular passa a passo. Comparando com a anterior, a diferença está em que ela era para amostra enquanto que essa é para a população.

Sugestão: use as colunas para facilitar os cálculos.

Idade dos estudantes da disciplina de métodos estatísticos

Idade (xi) No de est.(fi ) xi.fi (xi – %) (xi – %)2 (xi – %)2. fi

17 5 85 -1,873 3,508 17,5418 20 360 -0,873 0,762 15,2419 22 418 0,127 0,016 0,35220 10 200 1,127 1,27 12,721 6 126 2,127 4,524 27,144

(!fi ) 63 1189 72,976FONTE: RH fi ctício

18 – 18,873 = –0,873

17 – 18,873 = –1,873(–1,873)2 = 3,508

(–0,873)2 = 0,762

3,508+5 = 17,54

0,762+20 = 15,24

"fi "xi.fi

"(xi – x̄)2. fi

Passo 1: devemos somar a coluna das freqüências simples (fi) para obter Dfi (freqüência total);Dfi = 63

Passo 2: calcular a média: multiplicar cada xi por sua cor-respondente fi, escrever na coluna xi.fi, somar os valores calculados e escrever no fi nal da coluna esse resultado que é o Dxi.fi;Dxi.fi = 1189

Passo 3: dividir o resultado do passo 2 (Dxi.fi) pelo resultado do passo 1 (Dfi)

Passo 4: calcular a quarta coluna, (xi – µ) subtraindo o xi de cada linha pela média:17 – 18,873 = –1,87318 – 18,873 = –0,87319 – 18,873 = 0,12720 – 18,873 = 1,12721 – 18,873 = 2,127


# Pág. 226


Passo 5: calcular a quinta coluna, elevando os valores da quar-ta ao quadrado, (xi - µ)2:(–1,873)2 = 3,508(–0,873)2 = 0,762(0,127)2 = 0,016(1,127)2 = 1,27(2,127)2 = 4,524

Passo 6: calcular a sexta coluna, multiplicando os valores da quinta pela freqüência simples de cada linha, (xi – µ)2.fi :3,508F17 = 17,540,762F18 = 15,240,016F19 = 0,3521,27F20 = 12,74,524F21 = 27,144

Passo 7: somar os valores obtidos na sexta coluna, D(xi – µ)2.fi:D(xi – µ)2.fi = 72,976

Passo 8: calcular a variância para a amostra:


2.2. Dados agrupados com intervalos (variável contínua)

1) Quando você tiver que calcular o desvio padrão para uma tabe-la com intervalos, usamos o mesmo processo, apenas substituindo o xi pelo ponto médio:

Renda de família de um bairro de classe baixa de Florianópolis

Renda (R$) No de famílias(fi ) PMi PMi.fi (PMi – x̄) (PMi – x̄)2 (PMi – x̄)2. fi

112 |---- 115 2 113,5 227 -9 81 162115 |---- 118 6 116,5 699 -6 36 216118 |---- 121 4 119,5 478 -3 9 36121 |---- 124 9 122,5 1102,5 0 0 0124 |---- 127 8 125,5 1004 3 9 72127 |---- 130 7 128,5 899,5 6 36 252Total (1fi ) 36 4410 738

Fonte: dados fi ctícios

116,5 – 122,5 = –9

113,5 – 122,5 = –6(–9)2 = 81

(–6)2 = 36

81+2 = 162

36+6 = 216

"fi "PMi.fi

"(PMi – x̄)2. fi


Pág. 227 !


Vamos calcular passo a passo:Passo 1: somar a coluna das freqüências simples (fi) para obter

Dfi (freqüência total);Dfi = 36

Passo 2: cálculo da média: calcular o ponto médio de cada intervalo e multiplicar cada PM por sua correspondente fi e escrever na coluna PM.fi, somar os valores calculados nessa coluna e escrever o total. esse resultado é o DPM.fi:DPM.fi = 4410

Passo 3: dividir o resultado (DPM.fi) pelo resultado do Passo 1 (Dfi)

Passo 4: calcular a quinta coluna, (PMi – xE) subtraindo o PMi de cada linha pela média:113,5 – 122,5 = –9116,5 – 122,5 = –6119,5 – 122,5 = –3122,5 – 122,5 = 0125,5 – 122,5 = 3128,5 – 122,5 = 6

Passo 5: calcular a sexta coluna, elevando os valores da quinta ao quadrado, (PMi – xE)2:(–9)2 = 81(–6)2 = 36(–3)2 = 9(0)2 = 0(3)2 = 9(6)2 = 36

Passo 6: calcular a sétima coluna, multiplicando os valores da sexta pela freqüência simples de cada linha, (PMi – xE)2.fi:81F2 = 16236F6 = 2169F4 = 360F9 = 09F8 = 7236F7 = 252


# Pág. 228


Passo 7: somar os valores obtidos na sexta coluna, D(PMi – xE)2.fi:D(PMi – xE)2.fi =738

Passo 8: calcular a variância:


Seção 4: Como comparar séries com médias diferentes?

1.1.a) A mais dispersa em termos absolutos é a série B

(maior desvio padrão)b) Você tem que calcular o coefi ciente de variação

Para a série A -= + = + = + =µ(x) 5,6CV(x) 100 100 0,0982 100 9,82%57

Para a série B -= + = + = + =µ(x) 8, 2CV(x) 100 100 0,0854 100 8,54%96

A série com maior dispersão relativa é a série A(maior coefi ciente de variação)

c) Concluindo, a série mais dispersa é a série A.

1.2.a) A mais dispersa em termos absolutos é a série B

(maior desvio padrão)b) Você tem que calcular o coefi ciente de variação

Para a série A -= + = + = + =µ(x) 12CV(x) 100 100 0,1875 100 18,75%64

Para a série B -= + = + = + =µ(x) 18CV(x) 100 100 0,1875 100 18,75%96

As duas séries apresentam o mesmo valor para os coefi -cientes de variação.

c) Concluindo, as duas séries apresentam a mesma dispersão.


Pág. 229 !


1.3.a) Em termos absolutos, as duas séries apresentam a mesma

dispersão (desvios iguais)b) Você tem que calcular o coefi ciente de variação

Para a série A -= + = + = + =µ(x) 12CV(x) 100 100 0,0615 100 6,15%195


A série com maior dispersão relativa é a série B (maior coefi ciente de variação)

c) Concluindo, a série mais dispersa é a série B.

1.4.a) A mais dispersa em termos absolutos é a série A (maior

desvio padrão)b) Você tem que calcular o coefi ciente de variação

Para a série A -= + = + = + =µ(x) 201CV(x) 100 100 0, 2313 100 23,13%869


A série com maior dispersão relativa é a série B (maior coefi ciente de variação)

c) Concluindo, a série mais dispersa é a série B.


# Pág. 230


Unidade 7Cálculo de probabilidades

Seção 2:

1) Passo 1: para começar, você deve identifi car o evento e o espaço amostral:

A: jovens sofriam com o autoritarismo dos paisS: adolescentes

Passo 2: identifi car o número de elementos do evento e do espaço amostral:

n(A) = 675n(S) = 1500

Passo 3: calcular usando a fórmula:

2)Passo 1: Para começar, você deve identifi car os eventos e o espaço amostral:

A: casado(a)B: solteiro(a)C: divorciado(a)S: total pesquisado

Passo 2: identifi car o número de elementos dos eventos e do espa-ço amostral:

n(A) = 267.867n(B) = 333.974n(C) = 16.779n(S) = 665.541

Passo 3: calcular usando a fórmula:


Pág. 231 !


3)a) Qual a freqüência relativa para o número de reações positivas para cada cobaia?Passo 1: identifi car o numerador e o denominador da fórmula, para cada experimento.

Cobaia 1: número de reações positivas = 1215número total de tentativas = 4500

Cobaia 2: número de reações positivas = 1050número total de tentativas = 3500

Passo 2: usar a fórmula da freqüência relativa.

b) Desafi o: Qual do dois estímulos você considera mais efi caz? Por quê?

O estímulo por alimentação, pois a Cobaia 2, em termos relativos, apresentou melhor resposta. Embora o número de reações da Cobaia 1 tenha sido maior, comparando com o total (freqüência relativa) a reação é menor.


# Pág. 232


Unidade 8Distribuições de probabilidades discreta e contínua

Seção 3: Como se calcula probabilidade usando distribuição contínua de probabilidade

1)a) Calcule Z (variável padronizada) para x=116, x=136, para x=131 e para x=141 pontos;Passo 1: identifi car todos os elementos que compõe o problema:

A média: µ=126O desvio padrão: -(x)=10Os limites do intervalo: X = 116; X = 136; X = 131; X = 141.

Passo 2: calcular a variável padronizada Z:Para X=116

Z = -1Para X=136

Z = 1Para X=131

Z = 0,5Para X=141

Z = 1,5


Pág. 233 !


b) Qual a probabilidade de escolher uma pessoa com escore maior que 136 pontos?Passo 1: identifi car no gráfi co o intervalo e a área que você deve calcular (usar o z calculado no item anterior – para x=136, o z=1):

Passo 2: procurar na tabela a área correspondente à z=1 (não es-queça, a área dada na tabela é sempre entre 0 e z)

Z = 1 " Área = 0,3413Passo 3: calcular a probabilidade.

A área dada na tabela é de 0 à Z (0,3413), mas o inter-valo solicitado é de 136 para cima. Nesse caso, você deve subtrair de 0,5 (total de área de um lado da curva) o valor encontrado (0,3413), então:P(x>136) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 ou 15,87%

c) Qual a probabilidade de escolher uma pessoa com escore entre 126 e 131 pontos? Note que 126 é a média. Esse fi ca mais fácil.Passo 1: identifi car no gráfi co o intervalo e a área que você deve cal-cular (usar o z calculado no item anterior – para x=131, o z=0,5):


# Pág. 234


Passo 2: procurar na tabela a área correspondente à z=0,5 (não esqueça, a área dada na tabela é sempre entre 0 e z)

Z = 0,5 " Área = 0,1915Passo 3: calcular a probabilidade.

A área dada na tabela é de 0 à Z (0,1915) e o intervalo solicitado é entre 0 e Z, então, você já tem o resultado:P(126<x<131) = 0,1915 ou 19,15%

d) Qual a probabilidade de escolher uma pessoa com escore entre 116 e 141 pontos?Passo 1: identifi car no gráfi co o intervalo e a área que você deve calcular (usar os valores de z calculados no item anterior – para x=116, o z=-1 e para x=141, o z=1,5):

Passo 2: procurar na tabela a área correspondente à z1=-1 e z2=1,5 (não esqueça, a área dada na tabela é sempre entre 0 e z)

Z1 = –1 " Área = 0,3413 (não esqueça que a curva é simétrica e o sinal, só indica de que lado está a área)

Z2 = 1,5 " Área = 0, 4332Passo 3: calcular a probabilidade.

A área solicitada é a soma das duas áreas, a correspondente à Z1 (0,3413) e a correspondente à Z2 (0,4332), então:P(116<x<141) = 0,3413 + 0,4332 = 0,7745 ou 77,45%


Pág. 235 !


Unidade 9Noções de amostragem

Seção 4: Que tamanho de amostra usar?

1)a) Estudo sócio-econômico com estudantes da Unisul.Passo 1: identifi car os elementos da fórmula.

n0 = tamanho aproximado da amostraE = erro amostral tolerável = 0,03 N = tamanho da população = 5600

Passo 2: usar a fórmula.

n0 = 1111,11 " arredondando temos 1111 pessoasUm tamanho aproximado para a amostra, seria de 1111 pes-soas. Observe que o pesquisador teve acesso a informação de que a população seria de 5600 pessoas, então você deve passar para o passo seguinte:

Passo 3: calcular o tamanho da amostra usando a população com a seguinte fórmula:

Arredondando, seriam 927 pessoasb) Estudo com famílias do bairro Rio Vermelho em FlorianópolisPasso 1: identifi car os elementos da fórmula.



n0 = 625 crianças


# Pág. 236


Um tamanho aproximado para a amostra, seria de 625 crian-ças. Observe que o pesquisador teve acesso a informação de que a população seria de 9400 crianças, então você deve passar para o passo seguinte:


Arredondando, seriam 586 criançasc) Estudo com adolescentes com Teste de Sondagem Intelectual (,'$)Passo 1: identifi car os elementos da fórmula.



n0 = 400 adolescentesUm tamanho aproximado para a amostra, seria de 400 ado-lescentes. Observe que o pesquisador teve acesso à informação de que a população seria de 400 adolescentes, então você deve passar para o passo seguinte:


Seriam 200 adolescentesOs outros itens você pode resolver da mesma maneira que os três calculados, o processo é o mesmo. As respostas estão abaixo:

d) Estudo da fecundidade na cidade de Florianópolis.n0 = 278n = 277

P-ME_Book.indb Sec1:236P-ME_Book.indb Sec1:236 22/7/2005 15:27:5222/7/2005 15:27:52

Pág. 237 !


e) Estudo com usuários de drogas adolescentes de uma escola.n0 = 123n = 83

f) Estudo sobre analfabetismo no bairro do Rio Tavares, em Florianópolis.

n0 = 123n = 118

g) Estudo do índice de massa corporal dos estudantes da Unisul.n0 = 400n = 364

h) Pesquisa de intenções de voto no Brasil.n0 = 2500n = 2500

2) Quando têm informações sobre a população.1)

Erro (desvio) Tamanho da amostra0.02 21020.03 9760.04 5580.05 3600.06 2510.07 185

À medida que o erro aumenta, diminui o tamanho da amostra. Você pode chegar à conclusão, também, que quanto maior a amostra menor o erro e quanto menor a amostra, maio o erro

2)Erro (desvio) Tamanho da amostra

0.02 16890.03 7780.04 4430.05 2860.06 1990.07 147

À medida que o erro aumenta, diminui o tamanho da amos-tra. Você pode chegar à conclusão, também, que quanto maior a amostra menor o erro e quanto menor a amostra, maio o erro

P-ME_Book.indb Sec1:237P-ME_Book.indb Sec1:237 22/7/2005 15:27:5222/7/2005 15:27:52

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