Matematica A2

Unidade II

MATEMTICA PARA COMPUTAO

Prof. Chau Sen

1. Funes

Unidade II 1. Funes: 1.1. Simetrias: translao, rotao e reflexo 1.2. Funo afim 1.3. Variao do sinal da funo 1.4. Funo quadrtica

2. Funo exponencial e logartmica 2.1. Propriedades das funes exponenciais 2.2. Equaes exponenciais 2.3. Logaritmos 2.4. Propriedades dos logaritmos

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2.5. Propriedades operacionais dos logaritmos 2.6. Funo logartmica 2.7. Equao logartmica

1. Funes

O conceito de funo um dos mais importantes, pois auxilia nos processos de modelagem de problemas, permite, entender como as variveis se relacionam. Os smbolos que usamos para designar essas relaes so as letras x (independentes), que podem assumir qualquer valor, e y (dependentes). As formas de descrio so: texto, tabela, frmulas matemticas, desenho ou grfico.

Representao no Plano cartesiano, 1962, Leibniz. Matemtico e cientista alemo.

Outras formas de representao: Tabelas Pode-se representar a dependncia entre as variveis por

meio de uma tabela de dados. Frmulas algbricas Podem descrever

o comportamento entre grandezas,

alm disso, fornece informaes adicionais.

1. Funes

1. Funes

1.1. Simetrias: translao, rotao e reflexo // Bloco I 1.1.1. Simetria A natureza apresenta vrios casos de simetria

(configuraes simtricas). As simetrias so importantes no estudo das funes.

1.1.2. Translao Corresponde a um deslocamento total (todos os pontos da

figura se deslocam na mesma direo, no mesmo sentido e de uma mesma distncia). Reflexo: ocorre por meio de uma reta chamada eixo. O ponto refletido e o ponto original apresentam a mesma distncia em relao a esse eixo.

1.1.3. Rotao o giro da figura em torno de algum ponto e de um

determinado ngulo.

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1.2. Funo afim // Bloco I A funo afim pode ser definida como uma

funo polinomial do 1 grau, em que existe um termo dependente de x (varivel dependente) e outro constante (independente de x). f(x) = ax + b

1. Funes

Funo linear Exemplo que determina o permetro de um quadrado de

lado L.

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Funo afim constante f(x) = 4

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Funes simtricas y = x e y = -x

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Funo com translao vertical

Interatividade

Segundo as definies de funo, escolha a alternativa correta para as questes abaixo: a) Uma funo y = f(x) decrescente num conjunto A se, para

quaisquer x1 e x2 pertence ao conjunto A, com x1 < x2 e f(x1) < f(x2).

b) Uma funo y = f(x) crescente num conjunto A se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 e f(x1) > f(x2).

c) Qualquer que seja x pertencente ao Domnio f(x) = f(-x), podemos considerar que funo f par.

d) Para A = {-2, -1, 0, 1} e B = {0, 1, 4} e f:AB definida por y = x2 +1. e) seja A = {0, 2, 3} e B = {1, 5, 7} e f:AB definida por y = 2x + 1,

e no existe elemento de B que seja imagem de um elemento de A.

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1.3. Variao do sinal da funo //Bloco I Considere a funo do 1 grau: f(x) = 2x 2

a) 1 a raiz da funo. b) A funo crescente. c) Para qualquer x real,

x > 1, f(x) > 0 d) Para qualquer x real,

x < 1, f(x) < 0

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Anlise da variao do sinal Variao do sinal da funo y = 2x 2

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Anlise da variao do sinal Variao do sinal da funo y = -x + 1 a) 1 a raiz da funo. b) A funo decrescente. c) Para qualquer x real, x > 1, f(x) < 0 d) Para qualquer x real, x < 1, f(x) > 0

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Anlise da variao do sinal Variao do sinal da funo y = -x 1

1. Funes

Anlise do grfico da funo f(x) = -2x + 2 a) 1 a raiz da funo. b) A funo decrescente. c) Para qualquer x real, f(x) < 0 d) Para qualquer x real, f(x) > 0

Interatividade

A funo polinomial do 1 grau pode ser representada por meio de tabelas e grficos. Alm disso, existem diversos tipos de grficos como resultado de suas atribuies de valores em suas variveis independentes. Com base nessas informaes, escolha a alternativa correta para as questes abaixo. a) O grfico de uma funo afim f(x) = ax + b uma curva.

Basta considerar dois pontos (x, y) do plano cartesiano. b) Um grfico da funo linear f(x) = ax uma reta que contm

a origem (0,0) do sistema cartesiano. c) O grfico da funo f(x) = b sempre uma reta perpendicular

ao eixo x, se b > 0, b = 0 e b < 0.

Interatividade

d) Considerando dois valores do domnio D (2 e 4) com 2 < 4 para a funo f(x) = -3x 1,temos: f(2) = -7 e f(4) = -13. Ento f(2) > f(4) e a funo crescente.

e) Ao construir o grfico da funo y = x + 2 e y = 3x 4, no resultado dessa construo grfica o ponto (x, y) uma paralela das duas retas.

Resposta

d) Considerando dois valores do domnio D (2 e 4) com 2 < 4 para a funo f(x) = -3x 1,temos: f(2) = -7 e f(4) = -13. Ento f(2) > f(4) e a funo crescente.

e) Ao construir o grfico da funo y = x + 2 e y = 3x 4, no resultado dessa construo grfica o ponto (x, y) uma paralela das duas retas.

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1.4. Funo quadrtica // Bloco I Uma funo quadrtica uma funo do tipo f(x) = ax2 + bx

+ c, em que a, b e c so constantes pertencentes ao conjunto dos nmeros reais.

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Anlise da funo quadrtica

1. Funes

Anlise do vrtice de uma funo quadrtica

Aplicao: A rea de um retngulo de 64m2. Nessas condies,

determine suas dimenses, sabendo que o comprimento mede (x + 6)m, e a largura, (x 6)m.

1. Funes

Soluo

Interatividade

Segundo as definies de funo quadrtica ou funo polinomial do 2 grau, escolha a alternativa correta para as questes abaixo. a) O grfico de uma funo do 2 grau ou quadrtica uma

curva fechada chamada de parbola. b) Denominam-se zeros ou razes de uma funo quadrtica os

valores de x que no anulam a funo, pois tornam f(x) = 0. c) Para a funo quadrtica y = x2 4x 5, temos que x1 = -1

e x2 = 5. d) Os zeros ou razes de funo f(x) = ax2 + bx + c so os

valores de x para as quais f(x) < 0. e) Para que a funo f(x) = x2 2x + 3k tenha dois zeros reais

iguais, basta que o delta seja diferente de 0 (zero).

2. Funo exponencial e logartmica

2. Funo exponencial Uma funo exponencial de base a, sendo a um nmero real

(a > 0 e a 1), toda funo f definida no conjunto dos nmeros reais por:

Funo crescente e a > 1


Funo exponencial Funo decrescente a < 1


Anlise da funo exponencial os grficos nunca cruzam o eixo horizontal, ou seja, o eixo dos

x, o que significa que a funo no tem razes; os grficos interceptam o eixo vertical, eixo y, no ponto (0,1); os valores de y so sempre positivos, implicando que o

Conjunto Imagem formado somente pelos nmeros reais positivos.

2.1. Propriedades das funes exponenciais Existe uma constante muito importante na Matemtica, tal

que: O nmero e um nmero irracional positivo e, em funo da

definio do que seja a funo exponencial, temos:


Esse nmero estudado em Clculo Diferencial e Integral (disciplina de nvel superior). O valor de e foi obtido a partir da expresso , definida no conjunto dos nmeros reais, e calculando o valor que ela assume medida que vai se aproximando de zero.

medida que x vai diminuindo, esse limite tende a ficar cada vez mais prximo do nmero 2,7183. Essa a aproximao para e.


2.2. Equaes exponenciais Uma equao exponencial toda equao que contm a incgnita no expoente. Por exemplo:


2.3. Logaritmos Formalizada pelo escocs John Napier (1550-1617), a Teoria

dos Logaritmos permite descrever vrios fenmenos da natureza e resoluo de vrios problemas complexos na Matemtica (medidas de nveis sonoros, medidas de intensidade de um terremoto, em Astronomia, para medir a intensidade do brilho de estrelas etc.).

Definio matemtica:


2.4. Propriedades dos logaritmos


2.5. Propriedades operacionais dos logaritmos


2.6. funo logartmica


Anlise da funo logartmica


2.7. Equao logartmica As equaes logartmicas so aquelas em que a incgnita x

apresenta-se na base de um logaritmo ou no logaritmando. Para resolver essas equaes, devemos usar as propriedades dos logaritmos.

Interatividade

Uma funo exponencial ou logartmica pode ser til em diversas solues do dia a dia. Com base nessas informaes, escolha a alternativa correta para as questes abaixo. a) Chama-se equao exponencial toda equao que contm

variveis no expoente, e seu estudo est relacionado com a potenciao.

b) Para an = a.a.a....a, ento, se (a) um nmero real e (n) inteiro e negativo, a expresso no representa o produto de (n) fatores todos iguais a (a).

c) Para resolver uma equao exponencial, devemos transformar a equao dada em igualdade de mesma expoente.

Interatividade

d) A soluo da equao (2/3)x = 8/27 e a sua soluo 4. e) O logaritmo de um nmero real e positivo b, na base a,

positiva e diferente de 1 o nmero x ao qual se deve elevar (a) para se obter (x).

AT A PRXIMA!

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