MATEMÁTICA

ENEM 201011 de setembro

PROF. MARCELO CÓSER

Essa apresentação pode ser “baixada” em http://www.marcelocoser.com.br.

DESAFIO DO NOVO ENEM:

Aliar habilidades/competências a conteúdos específicos do Ensino Médio.

01) (ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050. Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050:

a) taxa de crescimento populacional da China será negativa.

b) a população do Brasil duplicará.

c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA.

d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%.

e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.

%4747,0212212311

%4141,0283116

283283397

=≅−=

=≅=−=

INDONESIA

EUA

Taxa

Taxa

x

02) (SIMULADO ENEM) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período compreendido entre 1997 e 2003. O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de 2003. Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões:

Debatedor 1 – O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome. Debatedor 2 – O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda. Debatedor 3 – A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País. Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es): A) 1. B) 2. C) 3. D) 1 e 3. E) 2 e 3.

03) (ENEM) O número de atletas nas Olimpíadas vem aumentando nos últimos anos, como mostra o gráfico. Mais de 10.000 atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney, em 2000. Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreu devido ao crescimento da participação de:

a) homens e mulheres, na mesma proporção. b) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpíada. c) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou. d) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpíada. e) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou.

04) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:

ATENÇÃO PARA A PERGUNTA!

Área plantada (em hectare), Produção (em toneladas) e

Produtividade (em kg/hectare) são conceitos diferentes, basta

analisar suas respectivas unidades.

Produtividadeno período

Produçãono período

O conceito de ÁREA PLANTADA deve ser obtido a partir da Produtividade e da Produção:

Em 1995, a Produtividade foi de 1.500 kg/hectare. Ou seja, cada hectare em média produziu 1.500 kg (1,5 toneladas). Como foram produzidas 30.000 toneladas de algodão, a área plantada foi de 30.000/1,5 = 20.000 hectares.

Dessa forma, a ÁREA PLANTADA é obtida da divisão da Produção (em kg) pela Produtividade (em kg/hectare).

Produção (em t)

Produtividade(em t/hectare)

Área Plantada(em hectare)

95 30.000 1,5 20.000

96 40.000 2,5 16.000

97 50.000 2,5 20.000

98 60.000 2,5 24.000

99 80.000 4 20.000

Matemática e suas Tecnologias

Conhecimentos numéricos: operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

Conhecimentos de estatística e probabilidade: representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.

ESTATÍSTICA

• Medidas de tendência central

- Médias

- Moda

- Mediana

• Desvios e Variância

A MÉDIA de um conjunto de valores é o valor que, aplicado a todos os elementos, resulta no mesmo que o total do conjunto de valores distintos.

Por exemplo, 4 alunos contribuem com R$ 10, R$ 12, R$ 16 e R$ 18 cada um para uma campanha beneficente. O total arrecadado com as quatro contribuições foi R$ 56. Dessa forma, a contribuição média foi R$ 14, já que quatro pagamentos de R$ 14 equivalem a quatro pagamentos distintos de R$ 10, R$ 12, R$ 16 e R$ 18.

Outro exemplo: um colégio adota média aritmética ponderada das notas dos trimestres para decidir pela aprovação ou não do aluno. A média exigida é 7 e os trimestres têm peso 1, 2 e 3, respectivamente. Peso n indica que determinado valor é multiplicado por n (como se fosse repetida n vezes). Se um aluno obteve notas 6, 9 e 5 nos trimestres, sua média foi

56

639

6539261

321555996

321

,==⋅+⋅+⋅=++

+++++

PESOSDOSSOMA

PESOPESOPESO

05) (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada. A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é, em km/h, de:

A) 35B) 44C) 55D) 76E) 85

hkmM /44100400.4

100801703606504040303015205 ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

06) (ESPM) As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas conforme a tabela abaixo. A média aritmética dessa distribuição é:

a) 5,15b) 5,45c) 5,75d) 6,00e) 6,15

Notas Número de Alunos

De zero até 5 12

Acima de 5, até 7 20

Acima de 7, até 10 8

45540

21882012

5886205212 ,,, ==++

⋅+⋅+⋅=M

ATENÇÃO: nem toda média é aritmética.

As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações.

Por exemplo, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. No entanto, esses três aumentos acumulados não equivalem a um aumento de 90%, muito menos a três aumentos de 30%. Só utiliza-se média aritmética quando os valores são acumulados via adição.

A MODA de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes.

Por exemplo, a tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa realizada com 280 pessoas. A moda é ir ao dentista uma vez por ano.

Número de visitas ao dentista por ano

0 1 2 3 4 5 ou mais

Número de pessoas 63 105 39 47 16 10

A MEDIANA de um conjunto de valores é utilizada para contornar situações onde a média é muito afetada por valores discrepantes.

Por exemplo, um aluno obteve os seguintes números de faltas nos meses entre março e dezembro, respectivamente: 3, 4, 16, 9, 3, 10, 2, 4, 6 e 3. A média mensal de faltas é simples de ser obtida: 6 faltas por mês, já que o total de faltas nos 10 meses foi 60.

No entanto, três meses destoam dos demais. Em maio, junho e agosto obteve 16, 9 e 10 faltas. Se excluirmos esses valores da análise, a nova média será de aproximadamente 3,57 faltas por mês.

Se ordenarmos os valores, a mediana será o termo central (para um número ímpar de termos) ou a média dos termos centrais (para um número par). No caso, as faltas são

16109644333242

44−−−−−−−−−

=+

O conceito de mediana é especialmente para análise de índices geográficos.

PORCENTAGEM

PAÍS PIB EM 2006 PIB EM 2007A 400 432B 600 642

Qual país apresentou melhor desempenho de 2006 para 2007?

País A: cresceu 32 a partir de 400.

País B: cresceu 42 a partir de 600.

32400

=8100

42600

=7100

% é somente um símbolo que indica uma fração de denominador 100.

Exemplos básicos:

30 corresponde a que porcentagem de 80?

75 supera 60 em que porcentagem?

3080

=38=0,375=37,5

100

7560

=54=1,25

37,5%

75 é 125% de 60 → +25%

O preço de venda de certo produto é R$ 100, obtendo um lucro de 25% do preço de compra. Calcule o preço de compra.

V=CL 100=C0,25C 100=1,25CC= 1001,25

=4005

=80

07) (ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes. Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente:

a) dez vezes maiores. b) quatro vezes maiores. c) equivalentes.d) três vezes menores. e) nove vezes menores.

33% de 400 é 0,33*400 = 132.9% de 6.000 é 0,09*6000 = 540.

Aproximadamente quatro vezes maiores.

08) (ENEM) Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que: a) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades é insuficiente para cobrir os gastos adicionais. b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais. c) a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais. d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas. e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

AUMENTO CORRETO: 5% de 40% do gasto = 0,05 * 0,4 * G = 0,02G ⇒ 2% do gasto

x

VARIAÇÃO PERCENTUAL

FATOR DE VARIAÇÃO

O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação.

Exemplos:

+ 15% ⇔ f = 1,15+ 234% ⇔ f = 3,34-23% ⇔ f = 0,77

Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes.

Exemplos básicos:

3 aumentos consecutivos de 10% equivalem a um aumento de 30%?

Montante gerado por R$ 1000 aplicados durante 3 meses sob uma taxa compostamensal de 10%?

O dono de uma loja reajustou os preços em 20%. Como as vendas despencaram, o “gênio” resolve dar descontos de 20% para voltar ao antigo preço. Boa idéia?

Não!+10% → f = 1,1

3 aumentos de 10% → 3 multiplicações por 1,1

1,1 * 1,1 * 1,1 = 1,331 = Fator de 3 aumentos1,331 = 133,1% → +33,1%

3 aumentos de 10% → 3 multiplicações por 1,11000 * 1,1 * 1,1 * 1,1 = R$ 1331,00

Montante gerado por R$ 1000 aplicados durante 3 meses sob uma taxa simplesmensal de 10%?

3 aumentos de 10% do valor inicial1000 + 3 * 0,1 * 1000 = 1000 + 300 = R$ 1300,00

Não! +20% → f = 1,2-20% → f = 0,8

P * 1,2 * 0,8 = 0,96P = 96% do preço antigo.Perdeu 4%.

09) (CÓSER) A meta para a inflação no primeiro trimestre de 2009 em certo país era de 15%. Se a inflação em janeiro foi de 6% e em fevereiro foi de 5%, qual deverá ser a inflação em março para que a meta seja atingida?

%,

,,,

,,,,

33

0331051061

151151051061

+

≅⋅

=

=⋅⋅=⋅⋅

MAR

MAR

TRIMESTREMARFEVJAN

f

fffff

Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes.

10) (CÓSER) No primeiro trimestre de 2009, as ações de certa companhia desvalorizaram 99,2 %. Qual foi a desvalorização percentual mensal média?

Temos que três variações acumuladas devem equivaler a uma variação de -99,2%. O fator

de variação correspondente a tal perda é 100% - 99,2% = 0,8% = .

Assim, três fatores desconhecidos multiplicados devem resultar em 0,008.

3

3 3

0,0080,008

8 20,008 0,21000 10

80%

f f ff

f

⋅ ⋅ ==

= = = =

−

0,8100

=81000

=0,008

11) (CÓSER) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.

Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas?

Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 7,5 mg

Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas.

Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5:

2. 0,5 0,5

1 1 10 50,5 0,712 1,4 14 7

60.0,71 42,6

f f f

f

Q mg

= ⇒ =

= = ≅ = = ≅

= =