Divisibilidade Divisores e Múltiplos

Profº: Keyson Gondim

Vejamos os exemplos das divisões abaixo:

a)   0  16        Como o resto é zero, a divisão é exata.

Dizemos que 80 é divisível por 5 ou que 5 é divisor de 80.

Divisores

80 5

  84 5      4    16   

Como o resto é quatro, a divisão não é exata.

Dizemos que 84 não é divisível por 5 ou que 5 não é divisor de 84.

b)

Dada a relação fundamental da divisão:

Dividendo = divisor x quociente + restoPodemos concluir que:

Resto = dividendo – divisor x quociente   Exemplo: Na divisão 84 5                                        4    16 Temos que Resto = 84 – 5 x 16, ou seja, Resto = 4. 

Relação fundamental da divisão 

Os critérios de divisibilidade são regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por outro número natural.

Qualquer número natural, com exceção do zero, tem por divisores o número 1 e ele mesmo.

A seguir apresentaremos alguns desses critérios.

Critérios de divisibilidade 

Um número natural será divisível por 2 quando ele for par, ou seja, terminar em  0, 2, 4, 6, 8.

Exemplos:

a) 9734 é divisível por 2 (termina em 4)

b) 2867 não é divisível por 2.

c) 1420 é divisível por 2 (termina em 0)

Divisibilidade por 2

Um número natural será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplos:

a) 1437 é divisível por 3, temos (1+4+3+7=15) e 15 é divisível por 3.

b) 29 não é divisível por 3, temos (2+9+=11) e 11 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 3

Um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. Exemplos:

a) 2008 é divisível por 4 (08 é divisível por 4)

b) 600 é divisível por 4 (termina em 00)

c) 427 não é divisível por 4, temos (27 não é divisível por 4) 

Divisibilidade por 4

Um número natural será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.

Exemplos:

a) 7805 é divisível por 5 (termina em 5)b) 6290 é divisível por 5 (termina em 0)c) 1342 não é divisível por 5

Divisibilidade por 5

Um número natural será divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. Exemplos:

a) 7314 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo)

b) 249 não é divisível por 6 (não é divisível por 2 embora seja divisível por 3)

Divisibilidade por 6

Um número natural será divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 7.

Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. 

Divisibilidade por 7

Exemplos:a) 2534 é divisível por 7, temos:

Repetir o processo com este últimoNúmero (245). 

253 Número sem o último algarismo

- 8 Dobro de 4 (último algarismo)

245 Diferença

A última diferença 14 é divisível por 7, logo o número 2534, também é divisível

por 7.

24 Número sem o último algarismo

- 10 Dobro de 5 (último algarismo)

14 Diferença

b) 6438 não é divisível por 7, temos:  

Repetir o processo com este últimoNúmero (627). 

643 Número sem o último algarismo

- 16 Dobro de 8 (último algarismo)

627 Diferença

  

A última diferença é 48 que não é divisível por7, logo o número 6438 também não é divisívelpor 7. 

62 Número sem o último algarismo

- 14 Dobro de 7 (último algarismo)

48 Diferença

Um número natural será divisível por 8quando terminar em 000 ou quando os trêsúltimos algarismos forem divisíveis por 8.

Exemplos:

a) 3456 é divisível por 8 (456 é divisível por 8)

b) 12000 é divisível por 8 (termina em 000)

c) 951 não é divisível por 8

Divisibilidade por 8

Um número natural será divisível por 9quando a soma dos seus algarismos for umnúmero divisível por 9. Exemplos:a) 6984 é divisível por 9, temos

(6+9+8+4=27) e 27 é divisível por 9

b) 5641 não é divisível por 9, temos

(5+6+4+1=16) e 16 não é divisível por 9

Divisibilidade por 9

Um número natural será divisível por 10quando terminar em zero ( 0 ).

Exemplos:4580 é divisível por 10 a) 74560 é divisível por 10

b) 98704 não é divisível por 10

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:1) 57948    Si (soma das ordens ímpares) = 8+9+5 = 22    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11    Si-Sp = 22-11 = 11    Como 11 é divisível por 11, então o número 57948 é divisível por 11.

2) 439087    Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10    Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21    Si-Sp = 10-21    Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.    Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 

Divisibilidade por 11

Consideremos a e b dois númerosNaturais, sendo b diferente de zero. Podemosdizer que um número natural a é múltiplode um número natural b, quando a fordivisível por b ou b for divisor de a. Exemplo:

O número 120 é múltiplo de 30, pois 120 é divisível por 30.

Múltiplo de um número 

Atividade de revisão 

Complete a tabela abaixo, usando osconhecimentos adquiridos nesta aula.

Dividendo Divisor Quociente Resto

458 12 38 ?

1250 ? 125 0

? 35 20 15