2-Vetor_força

Vetor força

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS

Prof. Eng. Amadeu ResendeDisciplina: Mecânica Geral

Vetores

São objetos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidade_linear&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidade_de_rota%C3%A7%C3%A3o&action=edit

Representação dos Vetores

OR

• Módulo do vetor: R;

• Direção: ângulo;

• Sentido: indicado pela seta.

P

Eixo fixo

Linha de ação da força

β

As principais definições usadas na álgebra vetorial

Dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção;

AB

CD


Dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA);

AB

CD


A soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da seqüência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD);

OA

ABCD

OD – Vetor Resultante

A diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igual a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.


AB

CD

AB

- CD

OP

O produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB) , módulo igual a [m.|AB|] , mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m < 0 .


AB 2AB - 2AB

Leis Operacionais

Adição de Vetores

Lei do Paralelogramo

A soma de dois vetores P e Q é obtida aplicando os dois vetores em um mesmo ponto A e construindo um paralelogramo que tem P e Q como lados. A diagonal que passa por A representa a soma dos vetores P e Q, indicada por P + Q = R.

P + Q = Q + P

A soma de dois vetores é comutativa

Adição de Vetores

Regra do triânguloComo o lado do paralelogramo oposto a Q e é igual a Q em intensidade e direção, poderíamos desenhar apenas a metade do paralelogramo.

A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do outro, e então unindo a origem de P com a extremidade de Q.

P

Q

P + QP

Q

P + Q

É somar o correspondente vetor oposto

Subtração de vetores

P – Q = P + (- Q) = R

P

Q

P

- Q

R

Adição de três ou mais vetores

A soma de três vetores P, Q e S será por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e Q, e então, somando o vetor S ao vetor P + Q.

A soma de três vetores será obtida pela adição do terceiro vetor à soma dos dois primeiros.

Segue-se que a soma de qualquer Nº de vetores pode ser obtida pela aplicação repetida da LP aos sucessivos pares de vetores, até que todos vetores tenham sido substituídos por um único vetor.

P + Q + S = (P + Q) + S

Regra do polígono


A soma de três vetores P e Q e S pode ser obtida diretamente pelo arranjo dos vetores, de modo que a origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último.

Obs:todos os vetores são coplanares.

OA

AB CD

OD – Vetor Resultante


Quando se tem muitos vetores, apenas mantenha a repetição do processo até que todos estejam inclídos.O resultado será ainda o desenho partindo do primeiro até o final do último vetor.

BA

BA

CBA

Forças no plano

A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.

A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI).

A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na figura abaixo.

Forças no plano

O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).

Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo.

Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo.

Resultante de uma força

Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou analíticas.


Soluções gráficas

Quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de forças, como indicado nas figuras abaixo:

Regra do paralelogramo



Regra do Triângulo



Composição de forças



Decomposição de forças


Soluções analíticas: utilizam a trigonometria e as equações de equilíbrio

Ex 1: determinar a Resultante das duas forças P e Q agem sobre o parafuso A.


Solução analítica: trigonometria

Cálculo da força resultanteLei dos cossenos: R2 = P2 + Q2 − 2PQcos BR2 = 602+402−2.40.60.cos155ºR = 97,7N



Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário”.



Portanto, o parafuso está reagindo por uma força de mesma intensidade da resultante de P e Q, mas em sentido contrário. A força de reação pode ser decomposta em duas forças Fx e Fy, que são suas projeções sobre os eixos (x e y).



F x = 97,7 × cos35º = 80N

F y = 97,7 x sen35º = 56N



Ex 2: Determinar as forças nos cabos.


Solução gráfica: desenho do polígono de forças.


Solução analítica

Componentes cartesianas de uma força

Componentes Cartesianas

F = Fxi+ Fyj, onde Fxi e Fyj são as componentes vetoriais.

A intensidade de F:

F = (F2x+ F2

y)1/2.

Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy

Componentes cartesianas de mais de uma força

Força resultante

Verificar se há equilíbrio no sistema mostrado.



Exercícios

1- No plano quadriculado abaixo, estão representado os três vetores x, y e z. Determine o módulo do vetor soma s. R.: 5u


2- Duas forças F1 e F2 estão aplicadas sobre uma partícula, de modo que a força resultante é perpendicular a F1. Se os módulos de F1 e F2 são x e 2x, respectivamente, qual o ângulo ente as forças? R.:120º

3 – Considere as seguintes forças F1=2i+3j; F2=-3i+5j, F3 =5i+2j, F4 =-i-6j. Calcular o módulo do vetor resultante e o ângulo que o mesmo faz com o eixo x.


4- Os vetores mostrados na figura têm nódulos iguais a 12,7u. Determine: a)o módulo e a direção do vetor resultante rb)As componentes x e y dos três vetores.

5- Calcule a força resultante do sistema abaixo:


6- A estaca deve ser arrancada do solo usando-se duas cordas A e B. A corda esta submetida a uma força de 600lb orientada a 600 a partir da horizontal. Se a força resultante que atua verticalmente para cima sobre a estaca for de 1200lb, determine a força T na corda B e o ângulo correspondente θ.



7 - Determinar a força F e o ângulo α.R: F=2,85 kN e α = 74,7º


8- Os três vetores d figura têm módulos a=3,0m, b=4,0m e c=10,0m; ϴ=300. Determine:

a)A componente x e a componente y da a. R.=3,0m; 0,00

b)A componente x e a componente y da b. R.=3,5m; 2,0m

c)A componente x e a componente y da c. R.=-5,0m; 8,6m


9 - Considere os vetores F1=2i+3j, F2=-5i-5j, F3=-7i+4j, F4=-2i+3j, F5=8i-2j, F6=2i+j.,Calcule o módulo e a direção da resultante.


10 - Determinar a resultante do sistema de forças indicado e o seu ângulo de inclinação em relação ao eixo x. R.: 32,19 N;α = 61,46º

Componentes cartesianas de mais de uma força11 - Determinar o valor da força F. R.: 200N; 245,4N; 314,4N; 400N

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