1. Matemtica Financeira Roberto Jos Medeiros Junior Curitiba-PR 2012

2. Presidncia da Repblica Federativa do Brasil Ministrio da Educao Secretaria de Educao a Distncia INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA - PARAN EDUCAO A DISTNCIA Este Caderno foi elaborado pelo Instituto Federal do Paran para o Sistema Escola Tcnica Aberta do Brasil - e-Tec Brasil. Prof. Irineu Mario Colombo Reitor Prof. Mara Christina Vilas Boas Chefe de Gabinete Prof. Ezequiel Westphal Pr-Reitoria de Ensino PROENS Prof. Gilmar Jos Ferreira dos Santos Pr-Reitoria de Administrao PROAD Prof. Silvestre Labiak Pr-Reitoria de Extenso, Pesquisa e Inovao PROEPI Neide Alves Pr-Reitoria de Gesto de Pessoas e Assuntos Estudantis PROGEPE Bruno Pereira Faraco Pr-Reitoria de Planejamento e Desenvolvimento Institucional PROPLAN Prof. Jos Carlos Ciccarino Diretor Geral do Cmpus EaD Prof. Mrcia Freire Rocha Cordeiro Machado Diretora de Ensino, Pesquisa e Extenso DEPE/EaD Prof Mrcia Denise Gomes Machado Carlini Coordenadora de Ensino Mdio e Tcnico do Cmpus EaD Prof. Roberto Jos Medeiros Junior Coordenador do Curso Prof. Ediane Santos Silva Vice-coordenadora do Curso Adriana Valore de Sousa Bello Cassiano Luiz Gonzaga da Silva Jssica Brisola Stori Denise Glovaski Souto Assistncia Pedaggica Paula Bonardi Diagramao e-Tec/MEC Projeto Grfico Prof. Ricardo Herrera Diretor de Planejamento e Administrao do Cmpus EaD Catalogao na fonte pela Biblioteca do Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia - Paran e-Tec Brasil 2 Matemtica Financeira

3. Apresentao e-Tec Brasil Prezado estudante, Bem-vindo ao e-Tec Brasil! Voc faz parte de uma rede nacional pblica de ensino, a Escola Tcnica Aberta do Brasil, instituda pelo Decreto n 6.301, de 12 de dezembro 2007, com o objetivo de democratizar o acesso ao ensino tcnico pblico, na modalidade a distncia. O programa resultado de uma parceria entre o Ministrio da Educao, por meio das Secretarias de Educao a Distancia (SEED) e de Educao Profissional e Tecnolgica (SETEC), as universidades e escolas tcnicas estaduais e federais. A educao a distncia no nosso pas, de dimenses continentais e grande diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao garantir acesso educao de qualidade, e promover o fortalecimento da formao de jovens moradores de regies distantes, geograficamente ou economicamente, dos grandes centros. O e-Tec Brasil leva os cursos tcnicos a locais distantes das instituies de ensino e para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir o ensino mdio. Os cursos so ofertados pelas instituies pblicas de ensino e o atendimento ao estudante realizado em escolas-polo integrantes das redes pblicas municipais e estaduais. O Ministrio da Educao, as instituies pblicas de ensino tcnico, seus servidores tcnicos e professores acreditam que uma educao profissional qualificada integradora do ensino mdio e educao tcnica, capaz de promover o cidado com capacidades para produzir, mas tambm com autonomia diante das diferentes dimenses da realidade: cultural, social, familiar, esportiva, poltica e tica. Ns acreditamos em voc! Desejamos sucesso na sua formao profissional! Ministrio da Educao Janeiro de 2010 Nosso contato etecbrasil@mec.gov.br e-Tec Brasil

4. Indicao de cones Os cones so elementos grficos utilizados para ampliar as formas de linguagem e facilitar a organizao e a leitura hipertextual. Ateno: indica pontos de maior relevncia no texto. Saiba mais: oferece novas informaes que enriquecem o assunto ou curiosidades e notcias recentes relacionadas ao tema estudado. Glossrio: indica a definio de um termo, palavra ou expresso utilizada no texto. Mdias integradas: sempre que se desejar que os estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mdias: vdeos, filmes, jornais, ambiente AVEA e outras. Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes nveis de aprendizagem para que o estudante possa realiz-las e conferir o seu domnio do tema estudado. e-Tec Brasil

5. Sumrio Palavra dos professores-autores 9 Aula 1 contexto das finanas na histria da matemtica 11 O 1.1 Dinheiro e temporalidade 11 1.2 Juros 13 Aula 2 elao algbrica: razo e proporo R 2.1 Razo 2.2 Aplicaes 2.2 Proporo 17 17 18 20 Aula 3 elao entre razo e proporcionalidade: R regra de trs 3.1 Grandeza diretamente proporcional. 3.2 Grandeza inversamente proporcional. 3.3 Proporcionalidade 23 23 24 25 Aula 4 orcentagem P 29 Aula 5 Revendo o conceito de potencializao 5.1 Potenciao 35 35 Aula 6 Taxas e coeficientes 6.1 Tipos de Taxas 41 43 Aula 7 Calculando as taxas 45 7.1 roporcionalidade entre taxas: converso de P taxa nominal para efetiva (capitalizao simples) 45 7.2 quivalncias de taxas: converso entre taxas efetivas E (capitalizao composta) 48 7.3 omparaes entre proporcionalidade e equivalncia C 50 Aula 8 Capitalizao simples 8.1 Definindo capitalizao simples 8.2 Frmula para clculo do juro simples 53 53 55 Aula 9 ipos de Juros e clculo de montante T 9.1 Algumas definies usuais 9.2 Juros Ordinrios 9.3 Juros Exatos 9.4 Juros pela regra do banqueiro 9.5 Frmula para clculo do montante 59 59 59 59 60 60 e-Tec Brasil

6. Aula 10 Descontos simples 10.1 Descontos 63 63 10.2 Valor atual no desconto comercial 65 Aula 11 Descontos simples Continuao 11.1 Desconto racional 69 69 11. 2 Valor atual racional (Var) 70 Aula 12 escontos proporcionais D 73 Aula 13 quivalncia de ttulos ou Capitais E (Capitalizao Simples) 77 Aula 14 apitalizao composta C 81 14.1 ariao da frmula do montante da capitalizao V composta 82 Aula 15 uros compostos e a funo exponencial J 83 Aula 16 ontinuao de juros compostos e C exerccios resolvidos 87 Aula 17 Desconto composto 17.1 Desconto composto 93 93 Aula 18 tulos equivalentes de capitalizao composta T 95 Aula 19 peraes de fluxo de caixa O 19.1 Valor presente 101 103 19.2 Sries de pagamentos 103 19.3 Operaes postecipadas 104 Aula 20 Outras sries de pagamento 20.1 Operaes antecipadas 107 107 20.2 Operaes com carncia postecipada 108 20.3 Amortizaes 109 20.4 O que amortizao? 109 20.5 Depreciao 109 20.6 istemas de Amortizao (pagamento) do seu S financiamento imobilirio 110 Referncias Atividades autoinstrutivas 117 Currculo do professor-autor e-Tec Brasil 115 133 Matemtica Financeira

7. Palavra dos professores-autores Prezado estudante, Este material tem como objetivo enriquecer o estudo acerca das atividades e prticas relativas disciplina de Matemtica Financeira, na modalidade de Educao a Distncia, do Instituto Federal do Paran (IFPR). O mtodo de Ensino contempla, tambm, atividades autoinstrutivas e as supervisionadas, abrangendo contedos relevantes na rea do Secretariado, apresentao diferenciada das propostas de atividades prticas aliadas ao carter terico-reflexivo das atividades. Cada captulo foi estruturado pensando em retomar conceitos elementares de Matemtica importantes para o desenvolvimento da teoria e atividades autoinstrutivas. Estudaremos proporcionalidade (regra de trs), percentagem, progresses, sries, sequncias e uso de calculadoras simples. Os tpicos apresentados esto divididos de modo a contemplar o b--b das Finanas e da Educao Financeira com foco nos conhecimentos matemticos pertinentes e interdisciplinares. Em finanas pessoais, o profissional tcnico em Administrao ter clareza da aplicabilidade dos conhecimentos matemticos sade financeira do dinheiro, das aplicaes em curto, mdio e longo prazo e de aes determinantes da empresa da qual faz parte. O livro encontra-se dividido de modo didtico, seguindo um critrio de aprendizado rico de conhecimentos, porm de fcil assimilao. Observando uma evoluo de conceitos e tcnicas apresentadas gradativamente maneira que se realizam as atividades autoinstrutivas e supervisionadas com a utilizao de recursos de acompanhamento pedaggico, entre eles o telefone (0800) e fruns via web (tutoria). A inteno valorizar cada ponto como se fosse um mdulo condensado e relevante, visando levar voc para um mundo de reflexo, reeducao financeira e aprendizado contnuo. Sentimentos que sero estimulados em cada aula com a presena (mesmo que virtual) do professor conferencista e professor web. Desejamos muito sucesso e aprendizado! Sincero abrao! Professores Roberto Jos Medeiros Junior e Marcos Antonio Barbosa 9 e-Tec Brasil

8. Aula 1 O contexto das finanas na histria da matemtica No decorrer desta aula voc ir aprender sobre o que so finanas e educao financeira, saber tambm a razo de utilizar Matemtica nesses procedimentos. 1.1 Dinheiro e temporalidade Figura 1.1: Moeda Fonte: http://www.fatosdaeconomia.com.br/ Quando tratamos de dinheiro e temporalidade, alguns elementos bsicos devem ser levados em considerao, tais como: Inflao: Os preos no so os mesmos sempre; ocorre porque podemos ter aumento dos custos de produo dos proIsso dutos. Exemplo: aquisio de maquinrios, escassez da mo de obra, falta de matria-prima. Podemos tambm ter aumento do consumo, e se esse aumento for maior que a capacidade de produo, isso gera inflao. Risco: Investimentos envolvem riscos que geram perda ou ganho de dinheiro; decises de financiamento e investimento existem muitos tipos de risEm cos que devemos considerar. Segundo o dicionrio Aurlio, a palavra risco - original do latim risicu - definida como perigo ou possibilidade de perigo. Para Castanheira (2008) os riscos podem ser classificados como: 11 Antigamente alguns governos, emitiam (produziam) dinheiro, sempre que precisavam. Isso de maneira descontrolada produzia inflao. No Brasil, so os famosos ndices econmicos que medem a inflao, entre eles, destacamos o: IGP ndice geral de preos, calculado pela FGV . (Fundao Getlio Vargas) IPC ndice Preo ao Consumidor, calculado pela FIPE (Fund. Inst. Pesquisas Econmicas) INPC ndice Nacional de Preos ao Consumidor, medido pelo IBGE. IPCA ndice de Preo ao Consumidor amplo, tambm medido pelo IBGE. Inflao A Inflao um conceito econmico que representa o aumento de preos dos produtos num determinado pas ou regio, durante um perodo. e-Tec Brasil

9. Risco de Crdito, quando quem emprestou no paga sua dvida; Risco de Liquidez, quando h atraso no pagamento da dvida; Risco de mercado, quando h um processo de inflao; Risco Operacional, quando no h retorno de investimento em funo de problemas operacionais da empresa; Risco-Pas, em funo da situao econmica do pas. Incertez: No h como saber que tipo de investimento mais rentvel sem estudo prvio; Em qualquer deciso financeira, sempre h alguma incerteza sobre o seu resultado. Podemos definir a incerteza, como sendo o desconhecimento do resultado de um acontecimento, at quando ele acontecer no futuro. Sabemos tambm que existe incerteza na maioria das coisas que fazemos enquanto administradores financeiros, porque ningum sabe precisamente que mudanas ocorrero no tempo determinado, no universo financeiro, ou seja, difcil prever o que pode ocorrer com os impostos, demanda de consumidor, economia, ou taxa de juros. Dessa forma conceituamos Incerteza como sendo a situao em que no sabido o que ir acontecer. Utilidade: Se no til, deve ser adquirido? No podemos deixar nos levar pelo modismo ou pelo consumismo exagerado. Na hora de voc trocar uma mquina ou um equipamento, leve em considerao duas coisa: a primeira saber se com a troca voc ir satisfazer suas necessidades. A segunda se vale vantajoso fazer a troca ou aperfeioar o que voc j tem. Oportunidade: Sem dinheiro as oportunidades dizem adeus. Com dinheiro muito mais fcil ter crdito, fazer timos negcios e se tranquilizar em crises econmicas. Figura 1.2: Dinheiro Fonte: http://www.jogoscelular.net e-Tec Brasil 12 Matemtica Financeira

10. A Matemtica Financeira possui diversas aplicaes no atual sistema econmico. A palavra FINANAS remete especificamente quelas relaes da matemtica com o dinheiro tal e qual o se concebe nas diversas fases da Histria da humanidade. Muitas situaes esto presentes no cotidiano das pessoas e tm ligao imediata com o dinheiro, seja o fato de ter um pouco de dinheiro, nada de dinheiro ou muito dinheiro. Em todas as situaes ter educao financeira torna-se fator determinante da ascenso profissional e sade financeira pessoal e empresarial. Os financiamentos so os mais diversos e criativos. Essa mania muito antiga, remete as relaes de troca entre mercadorias que com o passar das eras e diferentes civilizaes evoluram naturalmente quando o homem percebeu existir uma estreita relao entre o dinheiro e o tempo - tempo dinheiro. Figura 1.3: Tempo Fonte: http://bloglucrativo.blogspot.com/ 1.2 Juros O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existncia de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situaes de acmulo de capital e desvalorizao monetria davam a ideia de juros devido ao valor momentneo do dinheiro (cada dia as diferentes moedas tm um valor). Algumas tbuas matemticas se caracterizavam pela organizao dos dados e textos relatavam o uso e a repartio de insumos agrcolas atravs de operaes matemticas. Voc sabia que existem vrias passagens na Bblia que tratam de finanas? Finanas: (1 Cr.29:12-14; 1Tm.6:9-10). Em suma, todo cristo, como filho de Deus, recebe coisas, inclusive o dinheiro, que deve ser utilizado de maneira correta, sensata e temente a Deus para a glria do nome dele. Temos que ser equilibrados, ganhando com prticas honestas e fugindo das prticas ilcitas. lcito desfrutarmos dos benefcios que o dinheiro traz, mas no apegarmos cobia a qualquer custo para conseguir dinheiro. Podemos usar o dinheiro para dzimos, ofertas, no lar, no trabalho e em lazer. As pessoas devem evitar contrair dvidas fora do alcance, comprar sempre que possvel vista, fugir dos fiadores, pagar os impostos, e como patro pagar justos salrios. Alm disso, deve haver economia domstica, com liberdade moral e responsvel, evitando conflitos, pois afinal o dinheiro de uso do casal. Fonte: www.discipuladosemfronteiras. com/contato.php acessado em 03/2009. Os sumrios, povos que habitaram o Oriente Mdio, desenvolveram o mais antigo sistema numrico conhecido, registravam documentos em tbuas de argila. Essas tbuas retratavam documentos de empresas comerciais. Algumas eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tbuas para a multiplicao, nmeros quadrados, nmeros cbicos e exponenciais (ideia de funo). As funes Aula 1 O contexto das finanas na histria da matemtica 13 e-Tec Brasil

11. exponenciais esto diretamente ligadas aos clculos de juros compostos e os juros simples noo de funo linear. Mais adiante veremos com mais detalhes essas relaes. Figura 1.4: Escrita dos sumrios Fonte: http://www.cyberartes.com.br/ Consequentemente existe a relao da escrita antiga dos Sumrios com o nosso sistema de numerao, o sistema indo-arbico: (que tem esse nome devido aos hindus que o inventaram, e devido aos rabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental). Figura 1.5:Hindu Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br E os juros? Sempre existiram? Na poca dos Sumrios, os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados. Os agricultores realizavam transaes comerciais em que adquiriam sementes para efetivarem suas plantaes. Aps a colheita, os agricultores realizavam o pagamento atravs de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do emprstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigncias atuais, no caso dos agricultores, claro que o pagamento era feito na prxima colheita. A relao tempo/juros foi se ajustando de acordo com a necessidade de cada poca. Atualmente, nas transaes de emprstimos, o tempo preestabelecido pelas partes negociantes. e-Tec Brasil 14 Matemtica Financeira

12. Vale observar que os juros sempre sofreram com as intempries. Naquela poca, muito mais relacionadas com o clima, poca de plantio e colheita. Atualmente, alm disso, os juros sofrem alteraes de base por conta das polticas monetrias, do banco central, ou seja, dependem da vontade poltiFigura 1.6: ndices Fonte: http://www.cgimoveis.com.br ca/econmica do Ministro da Fazenda e das decises do COPOM (Comit de Poltica Monetria do Banco Central) e de polticas econmicas nacionais e internacionais, de diferentes gestes, perodo de crises financeiras, alta e baixa da taxa de desemprego, da instalao de indstrias e de ndices de desenvolvimento humano (IDH). Atualmente se utiliza o financiamento para as mais diversas situaes do universo capitalista, porque o ter a engrenagem da mquina financeira mundial. A compra da casa prpria, carro, moto, realizaes pessoais (emprstimos), compras a credirio ou com carto de crdito, aplicaes financeiras, investimentos em bolsa de valores, entre outras situaes financeiras que dependem do quanto se ganha e de quanto est disposto a arriscar em financiamentos a curto, mdio e longo prazo. Em resumo, todas as movimentaes financeiras so baseadas na estipulao prvia de taxas de juros e envolvem o tempo para quitar a dvida. Ao realizarmos um emprstimo a forma de pagamento feita atravs de prestaes mensais acrescidas de juros, isto , o valor de quitao do emprstimo superior ao valor inicial do emprstimo. A essa diferena damos o nome de juros, ou seja, o bem adquirido tem valor agregado maior do que se fosse comprado vista (em parcela nica). Uma questo pertinente: melhor comprar parcelado ou guardar o dinheiro para comprar vista? Esse o grande objetivo da formao para a Educao Financeira, nossa meta para este curso. Resumo Vimos nessa aula as relaes do dinheiro com a temporalidade, o que a inflao, como identificar os tipos de Risco, o que significa a taxa de juros e pudemos perceber um pouco da evoluo histrica financeira. Aula 1 O contexto das finanas na histria da matemtica 15 e-Tec Brasil

13. Atividades de aprendizagem Pesquise: 1. O que quer dizer Risco-Pas? 2. Existem outros tipos de risco? 3. Qual o significado da palavra ndice econmico? Responda: 1. Quais outros ndices so usados no cotidiano regional? E a nvel nacional? 2. O que significa a sigla que determina o ndice INCC? O que ele mede? 3. D um exemplo de ndice financeiro e explique o que ele mede. e-Tec Brasil 16 Matemtica Financeira

14. Aula 2 Relao algbrica: razo e proporo No decorrer desta aula, retomaremos o conceito de razo, propiciando maior entendimento e explorao de conceitos matemticos fundamentais, por meio de dedues, exploraremos as relaes algbricas (frmulas) que so to teis aos clculos na Matemtica Financeira. A noo de relao algbrica em matemtica financeira importante para representar de modo geral as relaes que estabeleceremos entre o dinheiro, os juros e o tempo. De modo geral atribumos letras (variveis) para representar o dinheiro gasto, o financiamento, investimento, tempo de aplicao, juros mensais, entre outros. Sendo assim muito provvel que cada autor encontrar diferentes letras para representar as variveis citadas. Uma relao bastante til em matemtica financeira a proporcionalidade, frequentemente conhecida como regra de trs. Sua utilidade vai desde o clculo de porcentagens at a transformao de unidades de tempo e valor monetrio. Contudo, primeiramente vamos nos ater a noo de razo e proporo. 2.1 Razo Podemos definir razo dentro da matemtica - como sendo a comparao entre nmeros ou grandezas. Mas o que entendemos por Grandeza? Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido ou contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminudas. Vejamos alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfcie, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produo. comum situaes em que relacionamos duas ou mais grandezas no dia a dia. Existem vrias maneiras de comparar duas grandezas, uma delas usando a linguagem matemtica, quando se escreve a > b (l-se a maior do que b) ou a < b (l-se a menor do que b) e a = b (l-se a igual ao b), estamos comparando as grandezas a e b. Essa comparao pode ser feita 17 Em uma corrida de quilmetros contra o relgio, quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas so a velocidade e o tempo. Fonte: http://www.somatematica. com.br/fundam/grandeza.php e-Tec Brasil

15. atravs de uma razo entre as duas grandezas, isto o quociente entre essas grandezas. Em resumo, uma razo a representao da diviso entre dois valores a e b. Observe: a = a : b = a/b b Exemplo: Em uma turma de 27 alunos, foi feito uma pesquisa para saber quantos alunos gostam de matemtica e quantos no gostam. O resultado obtido foi: Gostam: 07 alunos No gostam: 20 alunos Ento, podemos dizer que o quociente 7/20 a razo do nmero de alunos que gostam de matemtica. Viram que simples o conceito de razo. Podemos ler a razo acima do seguinte modo: 7 esta para 20 Distinguimos a razo acima chamando o 7 de antecessor e o 20 de consequente. 2.2 Aplicaes Entre as aplicaes prticas de razes especiais, as mais comuns, so: a) Velocidade mdia A velocidade mdia em geral uma grandeza obtida pela razo entre uma distncia percorrida e um tempo gasto neste percurso. velocidade = distncia percorrida tempo gasto no percurso Exemplo: I. uponhamos que um carro percorreu 120 km S em 2 horas. A velocidade mdia do carro nesse percurso ser calculada a partir da razo: Vmdia = 120km = 60km/h 2h O que significa que, em 1 hora o carro percorreu 60 km. Portanto, podemos dizer que nossa razo de 60 Km/h Figura 2.1: Estrada Fonte: http://www.freefoto.com/ e-Tec Brasil 18 Matemtica Financeira

16. b) Escala Escala a comparao entre o comprimento observado no desenho (mapa, por exemplo) e o comprimento real correspondente, ambos na mesma unidade de medida. Escala = comprimento do desenho comprimento real Exemplo: II. Em um mapa, um comprimento de 8 m est representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse mapa? Para resolver esse exerccio precisamos deixar ambos os valores com a mesma unidade de medida. Neste caso, transformamos 8 m em cms. 8m = 800 cm, pois, 1 m = 100 cm, logo 8.100 m = 8. 100 cm = 800cm. Certo! Mas agora vamos para a escala: Escala = 16 cm = 1 800 cm 50 ou ainda escala 1:50, como mais comum nos desenhos e mapas. Isto significa que cada 1 cm medido no desenho igual 50 cm no tamanho no real. E assim nossa razo lida por 1 esta para 50 c) Densidade Demogrfica Figura 2.2 Densidade demogrfica Fonte: http://www.grupoescolar.com Densidade demogrfica = nmero de habitantes rea total do territrio Aula 2 Relao algbrica: razo e proporo 19 e-Tec Brasil

17. Exemplo: III.Um municpio ocupa a rea de 5.000 km2jj, de acordo com o censo realizado, tem populao aproximada de 100.000 habitantes. A densidade demogrfica desse municpio obtida assim: Densidade demogrfica = 100.000 hab 5.000 km2 Isto significa que para cada 1 quilmetro quadrado, esse municpio tem 20 habitantes. Assim a razo de 20 hab/Km2 Para o nosso caso mais especfico de finanas um exemplo de razo relacionar a noo de razo com a transformao de fraes em nmeros decimais (com vrgula), vejamos alguns exemplos: 20 igual 10. A razo de 20 para 2 10, ou seja vinte A razo 20:2, ou 2 dez vezes maior que dois. A razo 12 : 3 ou 12/3 igual a quatro, ou seja doze quatro vezes maior que trs. A razo 4 4 : igual a1. A razo de 4/6 para 4/6 1 (um inteiro ou 100%). 6 6 2.2 Proporo Podemos definir proporo como a igualdade entre duas razes. Vejamos como simples esse conceito! Dada a razo 2/3, se multiplicarmos por 2 teremos uma nova razo de valor 4/6. Lembremos que uma razo no se altera quando ela multiplicada ou dividida por um nmero diferente de zero. Logo, deduzimos que as duas razes so iguais, ou seja, 2/3 = 4/6. Concluimos que a igualdade de duas razes uma proporo. E essa igualdade lida da seguinte forma: dois est para trs assim como quatro esta para seis, que pode ser representada por 2:3:: 4:6. A C De modo genrico a proporo representada por B : D , onde os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios. e-Tec Brasil 20 Matemtica Financeira

18. Usa no cotidiano a proporo para achar o termo desconhecido de uma razo, normalmente essa aplicao se da na famosa REGRA de TRS. Veremos isto mais adiante. Pesquisando sobre a Propriedade fundamental da proporo e Propriedades da proporo As fraes abaixo so outros exemplos de proporo: a) = 5/10b) 3/4 = 9/12c) 21/43 = 42/86 Resumo Nesta aula, revisamos o conceito de razo e proporo, compreendendo suas principais aplicaes Atividades de aprendizagem Resolva as atividades abaixo, seguindo o modelo resolvido: 1. Faa a leitura das razes abaixo: a) = trs esta para 4 b) 3/5 = . c) 9/28 = . d) A/B = . e) / 1/3 = . 2. Estabelea a razo entre as grandezas: a) A idade de um rapaz 20 anos e a idade de sua irm 16. Qual a razo da idade do rapaz para a da sua irm? Resposta: a razo 20/16 b) Qual a razo do nmero de dias do ms de fevereiro para os dias de um ano bissexto? R: . c) O time de futebol Amigos da bola marcou 36 gols, e sofreu 10 gols. Qual a razo do nmero de gols marcados para o nmero de gols sofridos? R: . d) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso lquido e 300g de peso bruto. Qual a razo do peso lquido para o peso bruto? R: . Aula 2 Relao algbrica: razo e proporo 21 e-Tec Brasil

19. 3. Verifique se as igualdades abaixo so ou no proporo, respondendo sim ou no. a) 5/2 = 15/6, sim uma proporo, pois se multiplicarmos a frao 5/2 por 3, temos a frao 15/6. b) 81/63 = 9/7 c) 4/5 = 24/20 d) = 27/32 e) 6/5 = 36/30 4. Calcule o termo desconhecido das seguintes propores: a) 2/3 = 16/x Utilizando a propriedade fundamental, sabemos que o produto dos meios igual ao produto dos extremos, ento temos: 2.x = 16.3 2.x = 48 X = 48/2 X = 24 b) 7/6 = 42/x c) 2/5 = x/30 d) 360/50 = x/10 e) x/4 = 72/32 e-Tec Brasil 22 Matemtica Financeira

20. Aula 3 Relao entre razo e proporcionalidade: regra de trs Veremos nesta aula, alguns dos elementos que estabelecem a relao entre razo e proporo. 3.1 Grandeza diretamente proporcional. Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra tambm aumenta na mesma proporo, ou, diminuindo uma delas, a outra tambm diminui na mesma proporo. Se duas grandezas X e Y so diretamente proporcionais, os nmeros que expressam essas grandezas variam na mesma razo, isto , existe uma constante K tal que: X =K Y Exemplo: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com gua. A cada 15 minutos medida a altura do nvel de gua. (cm. =centmetros e min. = minutos) 15 minutos 50 cm 30 minutos 100 cm 45 minutos 150 cm Figura 6.6: Exemplo Fonte: Elaborado pelo autor Construmos uma tabela para mostrar a evoluo da ocorrncia: Tempo (min) Altura (cm) 15 50 30 100 45 150 23 e-Tec Brasil

21. Observamos que, quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nvel da gua tambm duplica e quando o intervalo de tempo triplicado, a altura do nvel da gua tambm triplicada. Desta maneira, tiramos as seguintes concluses: Quando o intervalo de tempo passa de 15 min. para 30 min., dizemos que o tempo varia na razo 15/30, enquanto que a altura da gua varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razo 50/100. Observamos que estas duas razes so iguais: 15 = 50 = 1 . 30 100 2 Quando o intervalo de tempo varia de 15 min. para 45 min., a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razo 15/45 e a altura na razo 50/150. Ento, notamos que essas razes so iguais: 15 = 50 = 1 . 45 150 3 Conclumos que a razo entre o valor numrico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numrico da altura atingida pela gua sempre igual, assim, dizemos que a altura do nvel da gua diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta. 3.2 Grandeza inversamente proporcional. Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporo, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporo. Vamos ver um exemplo para entender melhor: Observe a tabela, que representa a relao entre a velocidade e tempo em uma situao de distncia qualquer. Velocidade (Km/h) tempo (h) 400 3 480 2h30min Podemos observar que medida que a velocidade aumenta o tempo percorrido diminui. Assim, temos a caracterizao de uma grandeza inversamente proporcional. e-Tec Brasil 24 Matemtica Financeira

22. 3.3 Proporcionalidade Regra de Trs Simples Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvem grandezas diretas ou inversamente proporcionais. normal no senso comum entendermos como clculo do valor desconhecido, quando h presena de trs deles valores conhecidos e precisamos descobrir o valor do quarto. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos. Passos didticos utilizados para resolver problemas com a regra de trs simples 1 Passo: Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia. 2 Passo: Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3 Passo: Montar a proporo e resolver a equao. Exemplo 1: Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2 m2, uma lancha com motor movido energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5 m2, qual ser a energia produzida? Soluo: montando a tabela: rea (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificao do tipo de relao: rea 1,2 1,5 Energia 400 x Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x. Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar aumenta. Aula 3 Relao entre razo e proporcionalidade: regra de trs 25 e-Tec Brasil

23. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: rea 1,2 1,5 Energia 400 x 1,2 = 400 1,5 x 1,2x = 1,5 . 400 x = 1,5 . 400 = 500 1,2 Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora. Exemplo 2: Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Soluo: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificao do tipo de relao: Velocidade 400 480 Tempo 3 x Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Velocidade 400 480 Tempo 3 x 3 = 480 x 400 invertemos os termos 480x = 3.400 x = 3.400 = 2,5 480 Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. e-Tec Brasil 26 Matemtica Financeira

24. Fonte: http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php Resumo Nesta aula descobrimos como funciona a Proporo direta e inversa. Identificamos, tambm, a regra de trs simples e como calcul-la. Atividades de aprendizagem 1. Compare as grandezas abaixo e assinale I para grandeza inversamente proporcional e D para grandeza diretamente proporcional. a) Nmero de livros e seu preo (D) b) Metros de tecido e preo ( ) c) Nmero de maquinas e tempo para executar um trabalho ( ) d) Quantidade de rao e nmero de animais ( ) e) Salrio de um operrio e horas de trabalho ( ) Aula 3 Relao entre razo e proporcionalidade: regra de trs 27 e-Tec Brasil

25. 2. Resolva as regras de trs a seguir e diga se elas so diretas ou inversamente proporcionais: a) 4 chocolates custam R$ 20,00. Qual o preo de 5 chocolates? b) Uma mquina produz 1000 peas. Quantas peas seriam produzidas por 5 mquinas? c) 20 costureiras fazem 60 camisas por quinzena. Quantas camisas fariam 30 costureiras? d) 20 operrios constroem uma obra em 10 dias. Qual seria o tempo gasto por uma equipe de 5 operrios? e-Tec Brasil 28 Matemtica Financeira

26. Aula 4 Porcentagem O objetivo desta aula rever conceitos de porcentagem, ou seja, a importncia da expresso por cento e as aplicaes cotidianas nas questes financeiras. Observem nas lojas os encartes, e na internet a quantidade de vezes que a representao % (por cento) est presente na comunicao das mais diversas empresas e rgos pblicos. Trata-se de uma linguagem amplamente difundida, e senso comum entre a populao de que se trata de um modo de comunicao com vistas em representar a parte de um todo de 100 unidades. Dada essa importncia, vejamos alguns exemplos da representao em porcentagem versus a representao na forma de razo e o equivalente em decimal: Figura 4.1: Porcentagem Fonte: http://www.sxc.hu Tabela 4.1: Representao Representao Exemplo de situao usual 50% UNE quer que 50% dos recursos do Fundo Social sejam investidos em educao. Emagrea 1/2 kg por dia comendo sanduche. 0,5 Oferta: Lapiseira Pentel Tcnica 0,5mm Preta - P205 Metade Governo Federal reduziu pela metade o dinheiro destinado ao sistema penitencirio. Fonte: Elaborado pelo autor Note que a tabela traz diferentes situaes que so representadas pelo mesmo conceito de metade. Porm, cada situao exposta pede uma diferente representao, por exemplo, no seria adequado dizer: emagrea 50% de um quilograma por dia. Para o nosso caso especfico utilizaremos amplamente a notao de porcentagem, por estar intimamente relacionada com o sistema monetrio que est definido como nmero decimal posicional. Toda razo da forma a/b na qual o denominador b =100, chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 29 e-Tec Brasil

27. Historicamente, a expresso por cento aparece nas principais obras de aritmtica de autores italianos do sculo XV. O smbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operaes mercantis. Para indicar um ndice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. O clculo de 10% de 80, por exemplo, pode ser obtido como o produto de 10 . 80 = 800 / 100 = 8. 10% por 80, isto : 10%.80 = 100 Situaes mais elementares, como a citada anteriormente, podem ser resolvidas de cabea (clculo mental). Imagine que os 80 citados so na verdade o valor da conta de um jantar em famlia; sobre esse valor vamos acrescentar a taxa de servio de garom que de 10% sobre o consumo total. Sendo assim, basta dividir por 10 o valor da conta, resultando em 8, ou melhor, em 8,00 reais e somar este resultado ao total consumido: R$8,00 + R$80,00 = R$88,00. Em geral, para indicar um ndice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um nmero N, realizamos o produto: 1. Percentagem x Porcentagem opcional dizer percentagem (do latim per centum) ou porcentagem (em razo da locuo por cento). Mas s se diz percentual. Com as expresses que indicam porcentagens o verbo pode ficar no plural ou no singular. Conforme o caso, j que a concordncia pode ser feita com o nmero percentual ou com o substantivo a que ele se refere. Por Maria Tereza de Queiroz Piacentini. Fonte: http://kplus. cosmo.com.br/materia. asp?co=49&rv=Gramatica, acessado em setembro de 2009. Produto = M%.N = M .N 100 Exemplo 1. Um fichrio tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas esto etiquetadas com um nmero par. Quantas fichas tm a etiqueta com nmero par? Quantas fichas tm a etiqueta com nmero mpar? Soluo: Etiquetas Pares = 52% de 25 fichas = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13. O restante, (100% - 52% = 48% so de fichas nmero mpar, que seria nesse caso 12 fichas) Poderamos ainda calcular o valor de 50% e acrescentar 2% (1% + 1%). Vejamos: (metade de 25) 50% de 25 = 12,5 + 1% de 25 (a centsima parte de 25) + 1% de 25 (a centsima parte de 25). Somando os valores temos: 12,5 + 0,25 + 0,25 = 13. Nesse fichrio, h 13 fichas etiquetadas com nmero par e 12 fichas com nmero mpar. e-Tec Brasil 30 Matemtica Financeira

28. Exemplo 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleo disputou quatro partidas na primeira fase e venceu trs. Qual a porcentagem de vitrias obtida por essa seleo nessa fase? Soluo: Vamos indicar por X% o nmero que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim temos: x .4=3 100 4x =3 100 4x = 300 x = 75 Ou ainda poderamos utilizar o conceito de razo: = 0,75, ou seja, na primeira fase a porcentagem de vitrias foi de 75%. Exemplo 3. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preo marcado na etiqueta. Pagou-se R$690,00 pela mercadoria. Qual o preo original da mercadoria? Soluo: Seja X o preo original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preo da etiqueta, o preo que paguei representa 100%-8%=92% do preo original e isto significa que 92% de X = 690 Assim temos: 92%.x = 690 92 x = 690 100 92x = 690 100 92. x = 69.000 x = 69.000 / 92 = 750 O preo original da mercadoria era de R$750,00. Aula 4 orcentagem P 31 e-Tec Brasil

29. Exemplo 4 Calcule quanto 8 % de 120. Soluo: 8/100.120 = 9,6 Exemplo 5 Quanto por cento representa 8 de 130. Soluo: 8/130 = 0,0615 para transformar em percentagem basta multiplicar por 100, assim temos: 0,0615 . 100 = 6,15 % (considerando duas casas decimais) Exemplo 6 Calcule o total (ou seja, 100%) sabendo que 22% valem 56. H duas formas de se resolver uma porcentagem: por regra de trs ou por frmula. Dependendo apenas de como se calcula, ou por frao, ou taxa percentual. Soluo: Utilizamos a regra de trs, veja: 22 --------------------- 56 100 --------------------- x , multiplicando cruzado, temos: 22x = 56.100 22X = 5600 X = 5600/22 X = 254,54 (considerando duas casas truncadas) Resumo Nesta aula, revisamos o conceito de porcentagem, ou seja, a importncia do por cento e das aplicaes cotidianas nas questes financeiras utilizando apenas o denominador 100 nas razes do tipo a/b (com b sempre igual a 100). Atividades de aprendizagem 1. Calcule, quanto : a) 8% de 1200 = e-Tec Brasil 32 Matemtica Financeira

30. b) 40% de 80 = c) 13% de 50 = d) 1,99 % de 12.000 = e) 0,5 % de 2.458,50 = 2. Calcule quantos por cento representa: a) 12 de 120 = b) 20 de 50 = c) 2,5 de 12 = d) 35 de 1000 = e) 56 de 80 = Aula 4 orcentagem P 33 e-Tec Brasil

31. 3. Calcule o total (ou seja, 100%): a) Se 10% vale 16, o total ? R = b) Se 7% vale 7, o total ? R = c) Se 30% vale 120, o total ? R = d) Se 12,5 % vale 625, o total vale? R = e-Tec Brasil 34 Matemtica Financeira

32. Aula 5 Revendo o conceito de potencializao Nesta aula, voc retomar o significado de algumas propriedades da potenciao e porcentagem, ou seja, conhecer a importncia da palavra por cento e tambm suas aplicaes nas questes financeiras. 5.1 Potenciao A ideia de potenciao pode ser explicada, quando usamos a seguinte situao no lanamento de dados: Figura 3.1: Dados Fonte: http://cute-and-bright.deviantart.com http://usefool-deviantart.com Quando lanamos dois dados consecutivos, podemos obter os seguintes resultados: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Assim, temos 36 resultados possveis nesses lanamentos. 35 e-Tec Brasil

33. Entretanto, podemos chegar a essa concluso utilizando outro raciocnio, que seria a multiplicao das possibilidades de resultado para cada um dos dados: 1 dado 2 dado 6 x 6 = 62 = 36 6 possibilidades 6 possibilidades Faa da mesma maneira lanando trs dados consecutivos: 1 dado 2 dado 3 dado 6 x 6 x 6 = 63 = 216 6 possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades Generalizando, com n lanamentos consecutivos: 1 dado 2 dado 3 dado n dado (...) 6 possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades 6 x 6 x (...)x 6 = 6n 6 possibilidades Logo percebemos que esta situao representa uma potncia, ou seja, um caso particular da multiplicao. Desta maneira, podemos definir potncia como um produto de fatores iguais. Veja a representao matemtica que define potncia: an= a .a . a . a . (...) a Onde: a a base n o expoente, o resultado a potncia. Por exemplo: (-2)2 = (-2).(-2) = 4 (-3)3 = (-3). (-3). (-3) = -27 44 = 4.4.4.4 = 256 55 = 5.5.5.5.5 = 3125 Observao: Pela observao dos exemplos acima temos as seguintes concluses: (+)par =+ (-)par =+ (+)mpar =+ (-)mpar = Expoente par o resultado d sempre positivo Expoente mpar sempre se conserva o sinal da base e-Tec Brasil 36 Matemtica Financeira

34. 5.1.1 Casos particulares Considere a seguinte sequncia de potncia de base 2: 24 = 16 :2 23 = 8 :2 22 = 4 :2 21 = 2 :2 20 = 1 :2 1 2-1 = 2 :2 1 2-2 = 4 :2 1 2-3 = 8 :2 2-4 = 1 ... 16 Com estes resultados conclumos que: 1. Toda potncia de expoente 1 igual base a1 = a 2. Toda potncia de expoente zero igual a 1, sendo a 0. a0 = 1 3. Toda potncia de expoente negativo igual ao inverso da potncia de expoente positivo a-n= 1n , sendo a 0 a Aula 5 Revendo o conceito de potencializao 37 e-Tec Brasil

35. 5.1.2 Propriedades das potncias: As propriedades das potncias so utilizadas para simplificar os clculos aritmticos, observe as mais utilizadas no dia-dia: am . an = am + n am : an = am n (am)n = am . n A seguir temos alguns exemplos dos casos particulares e das propriedades das potncias. a) 10 = 1 b) 51 = 5 1 1 c) 2-5 = 5 = 2 32 d) 22 . 23 = 22+3 = 25 = 32 e) 23 22 = 23-2 = 21 = 2 f) (22)3 = 26 = 64 Resumo Nesta aula, retomamos o significado da potenciao por meio de exemplos prticos relacionados probabilidade e estatstica. Tais exemplos sero teis ao entendimento que se tem sobre as frmulas as quais sero vistas mais adiante. Atividades de aprendizagem 1. Em 7 = 49, responda: a) Qual a base? b) Qual o expoente? c) Qual a potncia? e-Tec Brasil 38 Matemtica Financeira

36. 2. Escreva na forma de potncia: (D.I.: OS EX. ESTO COM RESPOSTAS?) a) 4x4x4= (R: 4) b) 5x5 = (R: 5) c) 9x9x9x9x9= (R: 95) d) 7x7x7x7 = (R: 74) e) 2x2x2x2x2x2x2= (R: 27) f) cxcxcxcxc= (R: c5) 3. Calcule a potncia: a) 3 = (R: 9) b) 8 = (R: 64) c) 2= (R: 8) d) 3 = (R: 27) e) 6 = (R: 216) f) 24 = (R: 16) Aula 5 Revendo o conceito de potencializao 39 e-Tec Brasil

37. Aula 6 Taxas e coeficientes Nesta aula, voc compreender a diferena entre as taxas e coeficientes. Veremos tambm os tipos de taxas. Acompanhe a citao: No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os tcnicos e executivos, reina muita confuso quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere s taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negcios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemtica Financeira existe uma verdadeira poluio de taxas de juros. (SOBRINHO, 2000) As taxas se referem aos valores expressos preferencialmente em porcentagem enquanto que os coeficientes so estritamente numricos (nmeros decimais). J os coeficientes dizem respeito a valores independentes da representao em porcentagem, os valores passam a ser absolutos. Se as taxas so expressas em grupos de 100 partes (por cento), os coeficientes servem para qualquer quantidade de dados numricos e ajudam a representar intervalos, variaes de mximo e mnimo, de correlao com tabelas preestabelecidas. Veja um exemplo, que relata parte de uma notcia no jornal valor econmico online: Se, de um lado, a expectativa de um corte maior nos juros indica inflao mais alta para 2012 e 2013, seu impacto na atividade deve acelerar o crescimento econmico no prximo ano, avaliam economistas ouvidos pelo Valor. Aps a reduo de 0,75 ponto percentual na Selic, que foi para 9,75% ao ano na semana passada, analistas revisaram ligeiramente para cima suas projees para o avano do Produto Interno Bruto (PIB) de 2013, de 4,15% para 4,20%, segundo o Boletim Focus divulgado nesta segunda-feira pelo Banco Central. As estimativas para este ano foram mantidas em 3,3%. Fonte:http://www.valor.com.br/brasil/2566168/queda-da-selic-eleva-projecoes-para-o-pib-de-2013-no-focus, acessado em 03/12. 41 e-Tec Brasil

38. Na notcia acima os valores 9, 75 %, 4,20%, 4,15%, 3,3 % so determinadas como taxas. J o valor 0,75 o que entendemos por coeficiente. Para entender a taxa bsica de juros, preciso primeiro saber o que o juro. O dicionrio Houaiss o define como quantia que remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por parte de um devedor durante um perodo determinado, ger. uma percentagem sobre o que foi emprestado; soma cobrada de outrem, pelo seu uso, por quem empresta o dinheiro. Em linguagem mais simples, Carlos Antonio Luque, professor da Faculdade de Economia, Administrao e Contabilidade da Universidade de So Paulo (USP), d um exemplo de como isso funciona: Se eu tiver disposio uma ma e se algum quiser tom-la emprestada, eu vou exigir que, no futuro, essa pessoa me devolva a ma e mais um pedao. Esse pedao extra o que representa os juros. http://revistaescola.abril.com. br/geografia/fundamentos/taxabasica-juros-479759.shtml e-Tec Brasil No Brasil, o governo federal emite ttulos pblicos e, por meio da venda deles, toma emprstimos para financiar a dvida pblica no pas e outras atividades como educao, sade e infraestrutura. Quem compra esses ttulos aplica seu dinheiro para, em troca, receber uma contrapartida: os juros. Mas quem define isso? O Banco Central, que administra os leiles de ttulos do governo, define uma remunerao sobre eles, que a taxa bsica de juros, explica o professor. Dentro desse rgo, existe outro chamado Comit de Poltica Monetria, o Copom. Ele foi criado em 1996 e sua funo , como diz o prprio nome, definir as diretrizes da poltica monetria do pas e a taxa bsica de juros. Periodicamente, o Copom divulga a taxa Selic (Sistema Especial de Liquidao e Custdia), que a mdia de juros que o governo brasileiro pago aos emprstimos tomados de bancos. a Selic que define a taxa bsica de juros no Brasil, pois com base nela que os bancos realizam suas operaes, influenciando as taxas de juros de toda a economia. Aumentar ou reduzir esse imposto pode trazer diferentes implicaes economia de um pas. Quando o Banco Central aumenta a taxa de juros, ele est nos dando a seguinte orientao: No consumam hoje os bens, peguem seu dinheiro e apliquem no mercado financeiro, pois assim vocs podero consumir mais no futuro. Quanto ele a reduz, diz o contrrio, que mais conveniente comprar os bens hoje e no aguardar o futuro para obt-los, diz Carlos Antnio Luque. Ou seja, o aumento na taxa bsica de juros atrai mais investimentos em ttulos pblicos e a quantidade de dinheiro em circulao diminui. Com isso, as pessoas compram menos. A lei de mercado faz com que a queda na demanda baixe os preos dos produtos e servios em oferta. Assim, consegue-se conter o avano da inflao, mas o ritmo da economia desacelera. Porm, se a taxa for reduzida, acontece o inverso: os bancos diminuem os investimentos nos ttulos do governo e passam a aumentar o crdito populao, o que eleva a quantidade de dinheiro circulando e estimula o consumo. O crescimento na demanda de produtos e servios aquece o setor produtivo e, consequentemente, a economia como um todo. Em compensao, faz os preos se elevarem e possibilita o avano da inflao. 42 Matemtica Financeira

39. 6.1 Tipos de Taxas H vrios tipos de taxas nas operaes financeiras, veremos algumas: 6.1.1 Taxa Proporcional Quando entre duas taxas existe a mesma relao que a dos perodos de tempo a que se referem, elas so proporcionais. Utilizada na capitalizao simples, como podemos observar no exemplo: 12 % ao ano so proporcionais a 6 % ao semestre. 5 % ao trimestre so proporcionais a 20 % ao ano. 6.1.2 Taxa Equivalentes So aquelas que, referindo-se a perodos de tempos diferentes, fazem com que o capital produza um mesmo montante num mesmo tempo. Muito utilizado na capitalizao composta. Exemplo: 1,39 % ao ms so equivalentes a 18 % ao ano. 26,824 % ao ano so equivalentes a 2 % ao ms. 6.1.3 Taxa nominal a taxa que vem descrita nos contratos ou documentos financeiros. Quando procuramos um financiamento junto a um agente financeiro, ele sempre nos informa a taxa anual do contrato. Pra entendermos melhor, observe a situao: A Caixa Econmica Federal oferece dinheiro a 5 % ao ano, com capitalizao mensal. A taxa de 5 % acima dita Nominal. Tambm, podemos defini-la como sendo a taxa em que os perodos de capitalizao dos juros ao Capital no coincide com aquele a que a taxa est referida. Exemplos: 1200% a.a. com capitalizao mensal. 30 % a.s. com capitalizao mensal. 6.1.4 Taxa Efetiva quando o perodo de capitalizao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa est referida. Exemplos: 120% a.m. com capitalizao mensal. 45% a.s. com capitalizao semestral. Aula 6 Taxas e coeficientes 43 e-Tec Brasil

40. 6.1.5 Taxa Real a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionria do perodo da operao. Pagamento do Imposto de Renda Pessoa Fsica: um exemplo de taxa a pagar. Fonte: http://g1.globo.com/ economia/imposto-derenda/2012/noticia/2012/02/ tabela-do-imposto-de-renda2012-foi-corrigida-em-45conheca-os-limites.html, Acesse!!!!! Resumo Nesta aula vimos a definio de taxas e coeficientes, bem como os tipos de taxas: a taxa nominal, equivalente, proporcional, efetiva e a taxa real. Na sequncia veremos que a transformao de taxas ser bastante til nos clculos financeiros. Atividades de aprendizagem 1. Pesquise e Responda: a) Qual a diferena entre taxa e coeficiente? b) Qual a diferena entre taxa proporcional e equivalente? c) Qual a diferena entre taxa nominal e efetiva? d) Qual a diferena entre taxa real da efetiva? e-Tec Brasil 44 Matemtica Financeira

41. Aula 7 Calculando as taxas Nesta aula de hoje veremos como calcular as diversas taxas de juros. Faremos alguns exerccios para se apropriar desse conhecimento. Segundo Camargo (2010): ... todo clculo de matemtica financeira se baseia no desconto ou capitalizao de um valor monetrio atravs da utilizao de uma taxa de juros. Numa operao financeira a escala de tempo (n) utilizada na operao deve coincidir com a mesma unidade de tempo referenciada na taxa de juros (i). ou seja, se tivermos prestaes mensais, por exemplo, a taxa de juros deve ser especificada tambm em meses. Quando a escala de tempo (n) e a taxa de juros (i) no estiverem especificadas na mesma unidade de tempo, necessrio compatibiliz-las alterando a escala de tempo ou o perodo a que a taxa se refere (SOUZA, CLEMENTE, 2004). Para alterar o perodo de taxas diferentes, utilizamos diariamente duas operaes: a converso de taxas nominais em taxas efetivas, o que se d pelo processo de proporcionalidade, ou a converso de uma taxa efetiva em outra taxa efetiva, o que se d pelo processo de equivalncia. 7.1 roporcionalidade entre taxas: P converso de taxa nominal para efetiva (capitalizao simples) Vamos relembrar a diferena entre taxa nominal e efetiva. Uma taxa de juros dita nominal quando o perodo de referncia da taxa no coincide com o perodo de capitalizao, ou seja, a taxa pode estar especificada em ano, mas o pagamento de juros feito mensalmente, o que acontece em diversos tipos de contratos de financiamentos. Por exemplo: Pode ter em um contrato uma taxa nominal de 16% ao ano com capitalizao mensal. 45 e-Tec Brasil

42. Para a taxa efetiva, o tratamento diferente. Ela aquela efetivamente utilizada na operao, pois o perodo de referncia da taxa igual ao perodo de capitalizao do valor monetrio. Ou seja: Ex: taxa efetiva de 1,5 % ao ms com capitalizao mensal 7.1.1 A proporcionalidade Relembrando o que vimos na aula 2 no item 2.2 sobre proporo, sabemos que a proporcionalidade a igualdade entre razes. Entre duas taxas de juros, significa que a razo entre as taxas igual a razo entre seus perodos, portanto: Razo entre as taxas: I1 I2 Razo entre os perodos (tempo) n1 n2 Proporo entre razo das taxas e razo dos perodos: I1 = n1 I2 n2 Assim, 15%a.a. proporcional a 1,25%a.m, pois se calcularmos pela proporo temos: 15 = 12 x 1 15 . 1 = 12 . x 15 = 12x 15 = x 12 x = 1,25 Somente taxas efetivas, que se referem ao mesmo perodo de capitalizao, podem ser utilizadas nos clculos financeiros, pois esta representa a real remunerao do capital. Portanto, toda vez que tivermos uma taxa nominal precisamos transform-la em taxa efetiva para fins de clculos. Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 1 ncontrar a taxa efetiva mensal de 24% a.a. com capitaE lizao mensal. Resoluo: Primeiramente devemos pegar a taxa nominal e transform-la em uma taxa mensal, assim consideramos seu tempo igual 12, pois cada ano tem doze meses. e-Tec Brasil 46 Matemtica Financeira

43. A jogamos na proporo: 24 = 12 x 1 Processo rpido 24 . 1 = 12 . x 24 = 12x 24% a.a. / 12 meses = 2% a.m. taxa nominal taxa efetiva 24 = x 12 x=2 Exemplo 2 ual a taxa efetiva bimestral da taxa nominal de 21% a.s.? Q Resoluo: : 21 = 3 x 1 Processo rpido 21 . 1 = 3 . x 21 = 3x 21 = x 3 21% a.s. / 3 bimestres = 7% a.b. taxa nominal taxa efetiva x=7 Observao: A taxa semestral teve que ser dividida por trs para chegarmos taxa efetiva bimestral, pois em cada semestre temos trs bimestres. Exemplo 3 m banco anuncia taxa nominal de 1,5% a.m. em suas U operaes de crdito. Nesse caso, qual a taxa efetiva semestral da operao? Resoluo: : 1,5 = 1 x 6 Processo rpido 1,5 . 6 = 1 . x 9=x x=9 1,5% a.m. * 6 meses = 9% a.s. taxa nominal taxa efetiva Observao: Como temos uma taxa ao ms, porm o pagamento de juros s feito semestralmente, devemos multiplicar a taxa nominal por seis, visto que um semestre tem seis meses. Aula 7 Calculando as taxas 47 e-Tec Brasil

44. 7.2 quivalncias de taxas: converso entre E taxas efetivas (capitalizao composta) Como j vimos anteriormente, uma taxa efetiva quando o perodo ao qual esta se refere o mesmo perodo de capitalizao dos juros. Um exemplo seria uma aplicao financeira que remunera o investidor de dois em dois meses e anuncia uma taxa bimestral. comum encontrar taxas efetivas que no especificam o perodo de capitalizao, ou seja, apenas so demonstradas como 5%a.b., por exemplo. Desse modo duas taxas de juros efetivas so ditas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo principal (capital ou VP), durante um mesmo perodo de tempo (n), produzirem o mesmo valor futuro (montante ou VF), como mostrado pela equao seguinte. VP (1 + i1)1 = VP (1 + i2)2 Para encontrar uma taxa equivalente utilizamos a seguinte equao: i2 = (1 + i1)n2/n1 - 1 Onde: i2 a taxa de juros que quero encontrar, i1 a taxa de juros para o perodo que j tenho, n2 o perodo de tempo em dias da taxa que quero encontrar n1 o perodo em dias referente a taxa de juros que j tenho. Para simplificar, utilizamos a frmula abaixo que facilita mais: iquero = (1 + itenho)prazo em dias que quero/ prazo em dias que tenho - 1 Onde iquero a taxa que quero, e assim por diante. Acompanhe os exerccios resolvidos para facilitar. Exerccio resolvido 1 Achar a taxa equivalente semestral de 1,25% a.m. Resoluo: Nesse exemplo a taxa que voc tem a mensal, e a taxa que voc quer encontrar a semestral. Cada ms tem 30 dias (prazo que tenho) e cada semestre composto por 180 dias (prazo da taxa que quero encontrar). Sabendo disso fcil realizar o clculo, utilizando a frmula: iquero = (1 + itenho)prazo em dias que quero/ prazo em dias que tenho - 1 e-Tec Brasil 48 Matemtica Financeira

45. isemestral = (1 + 0,0125) i semestral 180 3 1 = (1,0125) 1 60 isemestral = 1,07738 1 isemestral = 0,07738 1 is = 0,07738 . 100 is = 7,73831 7,74 S lembrando que a taxa 7, 7381 a taxa unitria semestral. Para transform-la em taxa de juros percentual preciso multiplicar por 100. Comprovando: se ambas as taxas aplicadas pelo mesmo perodo produzem o mesmo montante, faamos o teste fictcio. Se aplicarmos um capital de R$ 5.000,00 por 60 meses, com capitalizao mensal e depois com capitalizao semestral, ser que termos o mesmo montante? Iremos usar a formula de capitalizao composta, que veremos mais adiante. M = C . (1 + i)n Capitalizao mensal Com capitalizao semestral Dados:Dados: i = 0,0125 i = 0,07738381 n = 60 meses n = 10 semestres VP = 5.000,00 VP = 5.000,00 VF= 2.500.000(1+0,0773831)10 VF = 500.000 (1 + 0,0125)60 VF = R$10.535,90 VF = R$10.535,90 Obviamente este resultado s foi possvel, pois utilizamos a taxa semestral com todas as casas decimais existentes (16 casas depois da vrgula). Como a maioria das calculadoras s chega a apresentar 10 casas decimais, o resultado nem sempre exatamente igual. Nos prximos exemplos, no entanto, s apresentaremos taxas com quatro casas decimais. Exerccio resolvido 2 Converter 24% a.a. em taxa bimestral Resoluo: A taxa que queremos encontrar aqui bimestral, cujo prazo de 60 dias, enquanto que a taxa que temos anual com 360 dias. Assim s substituir os valores na frmula. Sendo assim temos: iquero = (1 + 0,24)60/360 1 ia.b = (1,24)1/6 1 = 0,0365 ou 3,6502% a.b. Aula 7 Calculando as taxas 49 e-Tec Brasil

46. 7.3 omparaes entre proporcionalidade C e equivalncia Sabe-se que 1% a.m. proporcional a 12% a.a., pois 0,01/0,12 = 1/12. Porm, no regime de capitalizao composta, estas no so taxas equivalentes, pois como pode ser visto abaixo, se forem aplicadas sobre o mesmo capital (R$1.000,00) pelo mesmo perodo de tempo (1 ano = 12 meses) no produziro o mesmo montante. Clculo com taxa mensal: i = 0,01 n = 12 meses C = R$1.000,00 M = 1.000 (1 + 0,01)12 M = R$1.126,82 Clculo com taxa anual: i = 0,12 n = 1 ano C = R$1.000,00 M = 1.000 (1 + 0,12)1 M = R$1.120,00 Segundo Camargo: O capital aplicado a uma taxa mensal produz um montante maior, pois ser capitalizado mais frequentemente, o quer gerar mais juros sobre juros. Assim, o rendimento de juros auferido no primeiro ms ser novamente capitalizado e produzir um juro maior no ms seguinte, e assim por diante. (2010, p.56) Isso mostra a importncia de determinar exatamente a taxa de juros da operao, visto que esta uma varivel de fundamental importncia nos clculos financeiros e anlise de investimentos. Resumo Vimos nessa aula como calcular taxas proporcionais (capitalizao simples) e taxas equivalentes (capitalizao composta). Atividades de aprendizagem 1. Qual a taxa anual equivalente a 2% ao trimestre? Soluo: R = 8,24 e-Tec Brasil 50 Matemtica Financeira

47. 2. Qual a taxa semestral equivalente a 5,6 % ao ms? Soluo: R= 38,67 3. Qual o montante de um principal de R$72.000,00, no fim de 1 ano, com juros de 8% a.a./a.t? Soluo: R= R$77.935,12 Aula 7 Calculando as taxas 51 e-Tec Brasil

48. 4. Determinar: a) A taxa efetiva para 30 dias (mensal) proporcional a 24% a.a. na capitalizao simples? Soluo: R= 2 b) Taxa nominal anual proporcional 3% a.m. Soluo: R= 36 % e-Tec Brasil 52 Matemtica Financeira

49. Aula 8 Capitalizao simples Nesta aula veremos como se calcula o juro simples, o montante como sendo a soma do capital com o juro, o desconto simples. 8.1 Definindo capitalizao simples o regime de capitalizao (construo de capital) em que a taxa de juros utilizada simples. Vamos ver um exemplo para facilitar nossa compreenso: Exemplo: Imaginemos a situao de um emprstimo de R$ 1.000,00 que voc fez perante seu primo. A taxa estipulada foi no valor de 10% ao ms, para um prazo de 10 meses. Acompanhe a evoluo dos juros nessa situao financeira, no quadro abaixo: Ms Saldo Inicial Juros Saldo Final do ms 0 - - 1.000,00 1 1.000,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.100,00 2 1.100,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.200,00 3 1.200,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.300,00 4 1.300,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.400,00 5 1.400,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.500,00 6 1.500,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.600,00 7 1.600,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.700,00 8 1.700,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.800,00 9 1.800,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.900,00 10 1.900,00 1.000,00 x 0,10 = 100 2.000,00 Podemos observar que a coluna dos juros na tabela acima, sempre se manteve constante, ou seja, os juros foram o mesmo. Por isso, dissemos que na capitalizao simples os juros so calculados, sobre o valor do capital inicial, que nesse caso foi de R$ 1.000,00. Tambm podemos considerar o regime de capitalizao simples, equivalente aos conceitos matemticos, correspondentes a Funo Afim e Progresso Aritmtica (P.A), onde os juros crescem de forma constante ao longo do tempo. Como vimos no exemplo acima, onde o capital de R$1.000,00 (dinheiro emprestado) aplicado por dez meses a uma taxa de 10% a.m., acumula um montante de R$2.000,00 no final. Graficamente a tabela acima fica: 53 e-Tec Brasil

50. 2200 2000 Valores 1800 1600 1400 1200 1000 800 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Perodo Figura 8.1: Grfico Fonte: Elaborado pelo autor O grfico representa uma funo polinomial do 1 grau, usualmente chamada de funo afim, cuja simbologia y = ax + b. Note que o primeiro valor assumido pela funo igual a R$1.000,00; e com o passar dos 10 meses, a funo vai assumindo os valores de uma PA (1.000; 1.100 ; 1.200 ; . . . ; 2.000) cuja razo vale R$100,00 (os juros). Segundo Souza e Clemente (2000), o juro representa o custo da imobilizao de uma unidade capital por certo perodo de tempo. Normalmente, o juro expresso atravs de uma taxa que incide sobre o valor imobilizado (base). Juros? E os juros? Os juros so representados em taxas (por cento), muitas vezes prefixadas por alguma poltica financeira ou ndice predefinido pelo governo. O importante que ambas (taxas e coeficientes) so modos de expressar os ndices que determinada gesto ou diretoria utiliza para controlar e reajustar preos e demais aplicaes financeiras. E quando aparecem anncios sedutores de prestaes sem juros? Figura 8.2: Divulgando o Credconstruo Fonte: http://1.bp.blogspot.com e-Tec Brasil 54 Matemtica Financeira

51. Antes de irmos para a frmula precisamos conhecer alguns elementos, tais como: O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chamado de valor presente ou capital C. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro denominada taxa de juros J. O tempo n deve sempre ser indicado na mesma unidade a que est submetida taxa i, e em caso contrrio, deve-se realizar a converso para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatveis, isto , estejam na mesma unidade. O total pago no final do emprstimo, que corresponde ao capital mais os juros, denominado valor futuro ou montante M. 8.2 Frmula para clculo do juro simples J = C.i.t Saiba mais Para calcular os juros simples de um valor presente ou capital C, durante t perodos com a taxa percentual i, utilizamos uma variao temporal da funo linear: f(t) = a.t J = C.i.t Note a semelhana da frmula f(t) com a frmula J Alguns exemplos resolvidos: 1. Um valor de R$ 4.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 4% ao ms. Qual seria o valor dos juros simples durante cinco meses? Resoluo J=C.i.n J = 4.000,00 . 0,04 . 5 J = 4.000,00 . 0,20 J = 800,00 Aula 8 Capitalizao simples Transformando a taxa percentual em decimal: 4 % = 4/100 = 0,04 55 e-Tec Brasil

52. 2. Qual o valor de um capital que, aplicado taxa de juros simples de 2% ao ms, rendeu depois de um ano R$240,00 de juros? Resoluo Como a taxa mensal 2% = 0,02, devemos considerar, para o tempo de 1 ano, 12 meses, pois tempo e taxa devem estar na referncia temporal (neste caso em meses). Assim: J = C. i .t 240 = C . 0,02. 12 240 = C . 0,24 C = 240 0,24 C = 1000 Veja que o capital aplicado inicialmente foi de R$1.000,00. Um emprstimo de R$10.000,00 rendeu juros simples de R$2.700,00 ao final de 6 meses. Qual a taxa mensal de juros do emprstimo? Resoluo: Dados: C = 10.000 mos encontrar a taxa, i ? J = 2.700 t = 6 meses, quere- Temos: J = C. i .t, isolando o i para facilitar, a formula fica: i = i= J C.t 2.700 10.000 . 6 i = 2.700 60.000 i = 0,045 i = 4,5% A taxa de juros do emprstimo foi de 4,5% ao ms. Ao trabalhar com as frmulas de juros simples devemos nos atentar para algumas particularidades: a) A taxa percentual i deve ser OBRIGATORIAMENTE transformada em coeficiente (forma decimal). Por exemplo, se a taxa for de (10%), devemos dividi-la por 100, transformando-a no coeficiente (0,10); e-Tec Brasil 56 Matemtica Financeira

53. Em Resumo Forma Percentual Transformao Forma Decimal 12% a.a. 12 100 0,12 0,5% a.m. 0,5 100 0,005 b) Se o perodo e a taxa de juros no possurem o mesmo referencial temporal, deve ser feita a converso de um deles (preferencialmente o mais fcil). Por exemplo: uma taxa de 5% a.m. e o perodo de 2 anos. Essa situao precisa, ou melhor, necessita ser convertida: a taxa para ano ou o perodo para ms: 1 Opo: convertendo o perodo para ms (2 anos equivalem a 24 meses). Portando, teramos a mesma referncia temporal (taxa mensal de 5% e o perodo de 24 meses). 1 2 Opo: convertendo a taxa para anos (1 ms equivale a 12 anos). Portando, teramos a mesma referncia temporal (taxa anual de 0,41% e perodo de 2 anos). Resumo Nesta aula estudamos o conceito de juros e sua evoluo; como calcul-lo na capitalizao simples, e determinando o valor dos juros com o capital, que entendemos por Montante. Vimos tambm alguns exerccios resolvidos. Atividades de aprendizagem 1. Apresente uma definio sobre juros? 2. Pesquise: a) O que quer dizer capitalizao simples? Aula 8 Capitalizao simples 57 e-Tec Brasil

54. b) O que quer dizer a lei 8.078/90 do Cdigo de Defesa do Consumidor? 3. Nos exerccios abaixo, calcule o que se pede: a) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 100.000,00 durante 3 meses a taxa de 1,5 % ao ms b) Qual o juro produzido pelo capital de R$ 200.000,00 durante 1 ano a taxa de 2 % ao ms. c) Depositei R$ 12.000,00 durante 2 anos, a taxa de 42 % ao ano. Quanto recebi de juros? d) Transforme as seguintes unidades numa s: 3 anos e 4 meses em meses 5 anos e 20 dias em dias 3 meses e 5 dias 5 anos, 3 meses e 12 dias em dias e-Tec Brasil 58 Matemtica Financeira

55. Aula 9 Tipos de Juros e clculo de montante Na aula de hoje estudaremos as diferenas entre juros ordinrios e exatos. Veremos tambm a regra do banqueiro. 9.1 Algumas definies usuais Juro o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma emprestado, refere-se ao quanto ser acrescentado parcela de compra para cobrir as despesas financeiras, que por vezes uma das partes do lucro. Juro o dinheiro produzido quando o capital investido, refere-se rentabilidade de fundos de investimento. Por exemplo, a poupana, ttulos de capitalizao, investimentos de alto e baixo risco. Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 22) o juro calculado por intermdio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, bimestre, trimestre, ms e dia. Nas operaes que envolvem juros, importante diferenciar os juros exatos dos ordinrios, Ento preste ateno!!! 9.2 Juros Ordinrios Definimos como juros ordinrios aquele que trabalha com o tempo comercial. O tempo comercial define o ms com 30 dias, o mesmo acontece com o ano comercial, cujo nmero de dias igual a 360. 9.3 Juros Exatos Como o prprio nome diz, considera-se o ms igual ao do calendrio civil, ou seja, meses com 30 ou 31 dias. No podemos esquecer o ms de fevereiro que tem 28 dias ou 29, se for bissexto. J o ano pode ter 365 ou 366 dias (ano bissexto). 59 e-Tec Brasil

56. Vejamos alguns exemplos: 1. Um capital de R% 5.000,00 foi aplicado a juros simples durante os meses de maio e junho, a uma taxa de 24 % ao ano. Calcule os juros ordinrios e os juros exatos. Juros ordinrios Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a N = 2 meses, transformando em ano, temos 2/12 em anos. Substituindo na formula J = C. i. n, J = 5.000,00 0,24 . 2/12 = 200 Juros exatos Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a N = 2 meses, transformando em ano, temos 61/365 em anos. Substituindo na formula J = C. i. n, J = 5.000,00 0,24 . 61/365 = 200,55 9.4 Juros pela regra do banqueiro Nessa regra, considera-se o tempo tanto no modo civil juntamente com o tempo comercial. Para facilitar vamos rever o exemplo acima, mas calculado pela regra do banqueiro, observe: Dados: C = 5.000,00 J = C. i. n J = 5.000,00 . 0,24 . 61/360 J = 203,33 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a Como podemos observar os juros calculados pela regra do banqueiro maior que os juros exatos e ordinrios. Os juros do cheque especial utilizado pelos bancos, seguem uma composio do Mtodo Hamburgus, que considera apenas os dias em que o saldo negativo. Assim, podemos generalizar a formula por J = i. Cj . nj , onde j varia de 1 at Z. 9.5 Frmula para clculo do montante Para calcular o valor futuro ou montante M, durante t perodos com uma taxa percentual i, sobre um valor presente ou capital C, utilizamos uma variao temporal da funo afim: f(t) = a.t + b bb e-Tec Brasil 60 M=J+C M = C.i.t+ C Matemtica Financeira

57. Note a semelhana da frmula f(t) com a frmula M, que pode evoluir para: M = C.(1 + i.t) Vejamos alguns exemplos resolvidos 1. Qual o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado taxa de juros simples de 10 % ao ano pelo prazo de 2 anos ? Resoluo Dados: C = 1.000 i = 10% = 0,1 t = 2 anos Queremos encontrar o montante, ou seja, o valor de M. Sabemos que a formula M= C.(1 +i. t) M = 1.000.(1 + 0,1. 2) M = 1.000. (1 + 0,2) M = 1.000. (1,2) M = 1.200 O montante, aps 2 anos, taxa de juros simples de 10 % ao ano, ser de R$1.200,00. 2. Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$450.000,00 por 225 dias com taxa de juros simples de 5,6% ao ms. Resoluo: Dados: C = 450.000 i = 5,6% ao ms t = 225 dias M=? Antes de alimentarmos a frmula do montante com os dados, precisamos converter, pois a taxa est em meses e o perodo est em dias: 1 Opo: convertendo o perodo para ms (1 ms equivale a 30 dias). Portando, teramos a mesma referncia temporal (taxa mensal de 5,6% e o perodo de 225 meses). 30 1 2 Opo: convertendo a taxa para dias (1 dia equivale a meses). 30 Portando, teramos a mesma referncia temporal (taxa diria de 5,6 % e 30 perodo de 225 dias). Resolvendo pela 1 opo: M = C.(1 +i .t) 225 M = 450.000.(1 + 0,056 . 30 ) 12,6 M = 450.000.(1 + 30 ) M = 450.000.(1 + 0,42) M = 450.000.(1,42) M = 639.000 Aula 9 Tipos de Juros e clculo de montante 61 e-Tec Brasil

58. Resolvendo pela 2 opo: M = C.(1 +i .t) 0,056 M = 450.000.(1 + 30 . 225) M = 450.000.(1 + 0,42) M = 450.000.(1,42) M = 639.000 O montante ser de R$639.000,00 Resumo Vimos nessa aula: juros ordinrios, juros exato, tempo comercial, civil, clculo do montante de capitalizao simples. Anotaes e-Tec Brasil 62 Matemtica Financeira

59. Aula 10 Descontos simples O objetivo da aula proporcionar a compreenso de como funciona a questo do desconto simples nas operaes financeiras: o desconto comercial. 10.1 Descontos Quando uma pessoa contrai uma dvida muito comum o credor emitir um documento que serve como comprovante desta operao financeira, este documento chamado de ttulo. O valor que descreve a dvida ou crdito nesse documento chamado de valor nominal. Muitas empresas possuem o direito de receber os valores contidos nestes ttulos e utilizam um produto bancrio chamado de desconto. Este produto visa antecipar o valor a ser recebido em uma data futura, buscando assim, atender eventuais necessidades de caixa. Exemplos de ttulos: nota promissria; duplicata; letras de cmbio e cheques. Assim podemos definir desconto como sendo: antecipao do pagamento de uma dvida ou o abatimento proporcional ao tempo de antecipao da dvida. Existem dois tipos bsicos de descontos simples nas operaes financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Discutiremos nessa aula somente desconto comercial. 10.1.1 Desconto comercial ou desconto por fora Esta modalidade de desconto amplamente utilizada no mercado, principalmente em operaes bancrias e comerciais de curto prazo. A taxa de desconto neste sistema incide sobre o montante ou valor nominal do ttulo (ou dvida); em consequncia disto, gera-se um valor maior e mais justo de desconto do que no sistema racional. Este desconto equivale aos juros simples, em que o capital corresponde ao valor nominal do ttulo. Vamos identificar alguns elementos do desconto comercial, para facilitar nosso entendimento: 63 e-Tec Brasil

60. N = valor nominal V = valor atual Dc = desconto comercial d = taxa de descontos simples n = nmero de perodos (tempo de antecipao) No desconto comercial, a taxa de desconto (d) incide sobre o valor nominal (N) do ttulo. Logo a frmula que utilizamos : Dc = N . d . n Em outras palavras, segundo Abreu: ... desconto comercial (Dc) corresponde ao juro produzido pelo valor nominal (N) da dvida, considerando-se como prazo o nmero de perodos antecipados e a aplicao de uma determinada taxa de desconto (d)(2009,p.28). Observe o exemplo: Um ttulo no valor de R$ 6.500,00, emitido em 10/03/2007 com vencimento para o dia 29/07/2007, foi descontado taxa de desconto de 30% ao trimestre no dia 10/05/2007. Determine o valor do desconto recebido na operao. Soluo: O primeiro aspecto a observar o cenrio que temos. Dessa forma apresentamos uma linha do tempo, para facilitar nosso raciocnio. Data Emisso Data resgate. Data do Vencimento. 10/03/200710/05/200729/07/2007 80 dias Os dados que temos so: N = 6.500,00 - valor nominal D = 30% a.t. n = 80 dias, ou 80/90 trimestres Substituindo na formula Dc = N . d . n temos: Dc = N . d . n Dc = 6.500,00 . 0,30 . 80/90 Dc = 1.733,33 e-Tec Brasil 64 Matemtica Financeira

61. Viram como fcil!!! Vejamos outro exemplo: Exemplo 2 Considere um ttulo cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do ttulo 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. Soluo: V = 10.000,00 . 0,05 . 3 Dc = 500,00 . 3 Dc = 1.500,00 10.2 Valor atual no desconto comercial O valor atual no desconto comercial a diferena entre o valor da dvida e o valor pago por ela, depois de se ter efetuado uma antecipao em seu vencimento. Assim para calcular o valor atual no desconto comercial (Vac) utilizamos a expresso: Vac = N - Dc Sabendo-se que Dc = N.i.n, podemos substitu-la e usar a expresso: Vac = N . (1 - d . n) Vamos ver como se d, na prtica, esse clculo. Suponha que uma dvida de R$ 50.000,00 com vencimento previsto para 25/08/2011 foi quitada em 11/07/2011. Como podemos descobrir o valor pago dessa dvida, sabendo-se que a taxa de desconto aplicada foi de 30% ao semestre? A primeira coisa a verificar saber o que se pede no problema, e nesse caso queremos saber o valor pago ( valor atual = Vac ) levando em conta as informaes que temos. Vejamos! N = 50.000,00 valor nominal da dvida; d = 30% ao semestre, ou seja, taxa de desconto; n = 45 dias, pois se contarmos do dia 11/07 a 25/08, temos 45 dias corridos. Aula 10 Descontos simples 65 e-Tec Brasil

62. Logo, temos: Vac = N . ( 1 - d . n) Vac = 50.000,00 . ( 1 0,30 . 45/180) = lembre-se tempo com mesma unidade!!! Vac = 50.000,00. ( 1 0,075) Vac = 50.000,00 . 0,925 Vac = 46.250,00 Ou seja, o valor atual pago foi de R$ 46.250,00. Observe mais uma situao-exemplo: Uma dvida no valor de R$ 3.500,00 foi paga e o seu vencimento foi antecipado em 72 dias. Encontre o valor inicial da dvida sabendo que a taxa de desconto aplicada foi de 18% a. t. Resoluo: Dados do problema: Vac = 3.500,00; N = queremos descobrir; d = 18% at; n= 72 dias. Lembre-se que temos o tempo em dias e a taxa em trimestres. Ao fazermos a converso do tempo para trimestres encontramos: N = 72/90 (o valor 90 o total de dias do trimestre) = 0,8 trimestres. Assim, substituindo na frmula fica: Vac = N . ( 1 - d . n) 3.500,00 = N . ( 1 0,18 . 0,8) = lembre-se tempo com mesma unidade!!! 3.500,00 = N. ( 1 0,144) 3.500,00 = N . 0,856 3.500,00/0,856 = N N = 4.088,78 O valor inicial da dvida (valor nominal) era de R$ 4.088,78 E ento, pessoal, o exemplo facilitou o entendimento de desconto comercial e valor atual comercial? Resumo Entendemos o Desconto como um abatimento em funo do adiantamento do pagamento. Vimos o desconto comercial, que considera o valor nominal da dvida bem como o valor atual comercial. e-Tec Brasil 66 Matemtica Financeira

63. Atividades de aprendizagem 1. Um ttulo de R$ 10.000,00, com vencimento em 23/09/10, foi resgatado em 15/06/10. Qual foi o desconto recebido se a taxa de juro contratada foi de 27% aa? 2. O desconto de um ttulo foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto de 5% ab. Quanto tempo faltaria para o vencimento do ttulo se o valor nominal fosse de R$ 20.000,00? 3. Uma nota promissria no valor de R$ 52.400,00 foi descontada taxa de juros de 5 % at, faltando 4 meses e 20 dias para seu vencimento. Qual o valor do desconto e qual o valor recebido (valor atual) pela nota promissria? Aula 10 Descontos simples 67 e-Tec Brasil

64. 4. Uma nota promissria foi emitida no dia 20/02/11 com o seu vencimento marcado para o prazo de 5 meses (20/07/11). No dia 12/05/11 foi descontada por R$ 28.300,00. Qual o valor do desconto, sabendo-se que a taxa de desconto utilizada era de 10% aq? 5. Um ttulo no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, faltando 95 dias para o seu vencimento. Qual a taxa de juro semestral utilizada? e-Tec Brasil 68 Matemtica Financeira

65. Aula 11 escontos simples Continuao D O objetivo da aula aprofundar a questo dos descontos Simples Racional, aplicados nas operaes financeiras. 11.1 Desconto racional Tambm chamado de desconto por dentro, calculado aplicando-se a taxa de juros sobre o valor atual da dvida. Assim, o desconto racional equivale ao juro simples, calculado sobre o valor atual do ttulo. Ou seja, aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor lquido do ttulo, considerando o prazo de antecipao. Assim temos: Dr = N.i.n 1+i.n Dr = desconto racional Veja alguns Exemplos: Exemplo 1 Um ttulo de R$6.000,00 foi descontado taxa de 2,1% a.m. faltando 45 dias para o vencimento do ttulo. Determine o desconto racional e o valor atual racional. Soluo: Dados do problema: N = 6.000,00; n = 45 dias; i = 2,1% a.m. = 0,021 a.m. = 0,0007 a.d. OBS: Antes de efetuar as substituies na frmula lembre-se que deixamos a taxa na unidade de dias, j que o tempo est em dias. Substituindo na frmula fica: Dr = N.i.n 6000 . 0,0007 . 45 189 = = = 183,22 1+i.n 1 + 0,0007 . 45 1,0315 V = N DR V = 6000 183,22 V = R$5186,78 69 e-Tec Brasil

66. Exemplo 2 Um ttulo no valor de R$ 48.000,00 foi descontado taxa de juros de 15% a.s., faltando 120 dias para o seu vencimento. Determine o valor do desconto racional. Soluo: Dados do problema: N = 48.000,00; n = 120 dias; i = 15% a.s. Sabemos que 180 um semestre, logo, transformando o tempo, temos: 120/180 = 0,6666666 ao semestre. Resolvendo, fica: Dr = Dr = N.i.n 1+i.n 48.000,00 . 0,15 . 0,66666 1+ 0,15 . 0,66666 Dr = 4.799,52 1,0999 Dr = 4.363,59 Ateno para o arredondamento!!!! 11. 2 Valor atual racional (Var) Sendo o valor atual no desconto racional a diferena entre o valor nominal (valor da dvida) e o valor pago por ela (pago com desconto), aps ter antecipado seu vencimento. Assim o valor atual no desconto racional dado por: Var = N - Dr Sabendo-se que Dr = (N. i . n) / (1 + i . n), ento: V= N 1+i.n Vamos praticar!!! Exemplo 1 Uma dvida de R$ 86.000,00 com vencimento previsto para 18/08/11 foi paga em 04/07/11. Encontre o valor pago por essa dvida se a taxa de juro aplicada foi de 30% as. e-Tec Brasil 70 Matemtica Financeira

67. Soluo: J temos as seguintes informaes: N = 86.000,00; i = 30% as e n = 45 dias (18/08 04/07).Importante: Transformando 45 dias ao semestre, temos: 45/180 = 0,25 as Substituindo temos: Var = N 1+i.n Var = 86.000.00 1 + 0,30 . 0,25 Var = 86.000.00 1,075 Var = 80.000,00 Exemplo 2 Desafio voc a fazermos juntos!!! Aceita??? Uma dvida de R$ 45.000,00 foi paga tendo seu vencimento antecipado em 72 dias. Encontre o valor inicial da dvida se a taxa de juros aplicada foi de 18% a.t. Observao: complete o exemplo. Resoluo: Dados: Var = __________ , n= 72 dias = ______ao trimestre; i = 18% a.t. http://www.algosobre.com. br/matematica-financeira/ descontos-simples.html Substituindo, temos: Var = N 1+i.n 45.000,00 = 1 + 0,18