1fichatrabalho09_10
-
Upload
fernandacarvalhal -
Category
Documents
-
view
541 -
download
3
Transcript of 1fichatrabalho09_10
ESCOLA SECUNDÁRIA DE SÁ DE MIRANDA 1ª Ficha de trabalho 12ºano turmas 5 e 6 Setembro de 2009
Fernanda Carvalhal 1
1. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por
1.1. f x( ) =2+ log3
2x−1
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ e
g x( ) = 2
1−3x−2
1.2. Determine o domínio de cada uma das funções. 1.3. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com os eixos
coordenados. 1.4. Indique, justificando, o valor lógico da proposição
∀x1 ,x2∈Dg
,g x1( ) <g x2( )⇒ x1 < x2 .
1.5. Caracterize a função inversa de f, indicando o contradomínio de f. 1.6. Indique o domínio de bem como a sua expressão analítica. 1.7. Quais os valores de x que verificam a condição g x( ) ≤ −1.
2. No inicio de 2004 foram lançadas num lago 1000 trutas com um ano de idade. O numero de trutas vivas, N, decorridos n t anos, é dado por:
�
N t( ) = a × 0,9t ,t ≥ 0
2.1. Diga justificando, qual o valor de a.
2.2. Quando houver menos de 100 trutas no lago deverá proceder-se ao repovoamento. Em que ano se prevê que tal aconteça?
2.3. Qual a percentagem de redução anual do numero de trutas? 3. O valor V de um computador, em milhares de euros, decorridos t anos após a sua aquisição é dado por
V t( ) = k ×3−0,7t +0,2 , t≥0.
3.1. Um computador custou 1200 euros. Prove que, neste caso, k=1. 3.2. Quantos anos serão necessários para que o valor desse computador fique
reduzido a metade do preço de compra. 3.3. Construa o gráfico de V e diga, justificando, qual o valor do computador ao
fim de muito tempo.
4. Sabe-se que uma determinada substância se desintegra sendo a massa, em gramas, ao fim de t anos, dada por m t( ) = a × e−kt , t ≥ 0 .
4.1. Sabe-se que a massa inicial de 2g está reduzida a metade ao fim de 6 meses. Determine a e k e verifique que m t( ) = 2−2t+1 .
4.2. Verifique que m t +1( ) −m t( ) é directamente proporcional a m(t)
5. A lei do equilíbrio térmico de Newton diz que a temperatura de um corpo num determinado instante depende da temperatura ambiente e da temperatura inicial deste. Observou-se a temperatura T de um corpo, decorridos t minutos após ele ser colocado num determinado ambiente e verificou-se que estas duas variáveis estavam relacionadas pelo modelo:
T t( ) =10+90×2−kt (T,temperatura em oC e, t, tempo, em minutos]
1ª Ficha de trabalho -12º5 e 6
Fernanda Carvalhal 2
5.1. Qual era a temperatura inicial do corpo? 5.2. Sabe-se que decorrida uma hora a temperatura do corpo será de
�
20oC. Prove que o valor de k é, nesta situação, aproximadamente 0,05.
5.3. Com o auxilio da calculadora gráfica conjecture um valor para a temperatura ambiente. Justifique a resposta apresentando os gráficos que considere pertinentes.
6. O numero máximo de horas, N, que um operário pode trabalhar, por dia, depende do nível de ruído no local de trabalho, d, em decibéis. Este numero é dado por
N d( ) = 13− 311d500 .
6.1. O nível de ruído produzido por um martelo pneumático em laboração é de aproximadamente 80 dB. Qual o numero máximo de horas que um operário poderá trabalhar com um martelo pneumático, por dia.
6.2. Uma empresa está impedida de trabalhar em turnos de 8 horas diárias pois o nível de ruído é demasiado alto. Para que valor deverá baixar o nível de ruído de modo a que possa laborar 8 horas por dia.
6.3. Escreva uma expressão que permita determinar o nível de ruído conhecido o numero de horas que é permitido trabalhar.
7. Foram depositados, no inicio de 2002, 1000 euros à taxa anual de 2% e com capitalização automática anual. 7.1. Qual o capital em Janeiro de 2003? 7.2. Qual será o capital decorridos n anos apos o depósito? 7.3. Quantos anos serão necessários para o capital duplicar?
8. A intensidade da luz, L, em cal.cm−2s−1 , varia com a profundidade de um determinado lugar, no oceano. Suponha que num determinado local a intensidade luminosa está relacionada com a profundidade, h, em metros, pela expressão L = 8 × 2,5−h ,h ≥ 0 . 8.1. Qual a intensidade da luz à superfície? 8.2. A que profundidade a intensidade da luz é inferior a 3 cal.cm−2s−1 ?
8.3. Determine o valor de x que verifica a condição L x + h( ) = 12L h( ) e interprete
o valor obtido no contexto do problema. 8.4. Encontre uma expressão que lhe permita determinar a profundidade
conhecida a intensidade da luz. 8.5. Utilize as potencialidades da sua calculadora para conjecturar o valor da
intensidade da luz em locais muito profundos. Explique como procedeu apresentando os gráficos que utilizou.
9. A população de águias reais de um parque natural segue um modelo de crescimento logístico. Assim, o numero de águias, N, decorridos t anos desde o inicio de 2000 é
dado por N t( ) = 5501+ 4e−0,1t
, t ≥ 0 .
9.1. Quantas águias existiam no inicio de 2000? 9.2. Qual a previsão do numero de águias no fim de 2009? 9.3. Sabe-se que a fase estacionaria deste crescimento é iniciada quando
decorreram ln 40,1
anos. Qual será o numero de águias nesta altura?
9.4. Ao fim de muito tempo o crescimento destas populações é muito pequeno havendo um supremo que nunca é atingido. Diga, justificando convenientemente, qual é este valor.
10. Para medir a magnitude de um sismo usa-se a escala aberta de Richter que a relaciona com a energia libertada. Sendo M a magnitude de um sismo e E a energia libertada, em Joules verifica-se que E = 105,2+1,4M .
1ª Ficha de trabalho -12º5 e 6
Fernanda Carvalhal 3
10.1. O terramoto de Dezembro de 2004, em Samatra foi um dos de maior magnitude de que há registo: teve uma magnitude de 9,1. Qual a quantidade de energia libertada?
10.2. Escreva uma expressão que lhe permita determinar a magnitude conhecida a energia libertada.
10.3. Qual a razão entre as energias libertadas por dois sismos cujas magnitudes diferem de 3 décimas.
11. A relação de Ehrenberg, lnP = ln2,4 + 0,0184h , relaciona o peso P, em kg, com a altura h, em centímetros, de rapazes com idade entre os 5 e os 13 anos. 11.1. O João pesa 35 kg. Segundo este modelo qual deverá ser a sua altura? 11.2. O Luís mede 1,5 metros e, segundo este modelo é considerado magro. Que
valores poderá ter o peso do Luis’ 11.3. Escreva uma expressão que permita determinar a altura em função do peso. 11.4. Determine o valor de x que verifica a condição h P + x( ) − h P( ) = 30 e
interprete o resultado obtido.
11.5. Prove que
�
P = 2,4× e0,0184h e verifique que P h + 20( )P h( ) é constante. Que
significa esta constante? 12. Seja un( ) uma progressão aritmética em que o quinto termo é
log4 24( ) e o oitavo
termo é log4 3( ) .
12.1. Prove que a razão da progressão é −
12
determine o primeiro termo.
12.2. Verifique que o termo geral da sucessão é un =
8 − n2
+ log4 3.
13. Sabe-se que vn( ) é uma progressão aritmética cuja razão é −
12
. Seja ainda wn( ) uma sucessão definida por w n = 2 × 9vn . Prove que wn( ) é uma progressão geométrica e determine a sua razão.
14. Seja un( ) uma progressão geométrica de termos positivos e de razão 4 e vn( ) a sucessão definida por vn = log8 un .
14.1. Prove que vn( ) é uma progressão aritmética de razão
23
.
14.2. Verifique que a soma dos n primeiros termos de vn( ) é dada, em função de
u1 por Sn = n × log8 u1 × 2n−1( ) .
15. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da condição
x − 5( ) × log4 4 − x( ) ≥ 0 .
16. Caracterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:
16.1. f x( ) = ex − 3
2 + ex+1
1ª Ficha de trabalho -12º5 e 6
Fernanda Carvalhal 4
16.2. g x( ) = 2 − log4 x
2 − log2 x
16.3. h x( ) = ln 1− ex( )
16.4. p x( ) = 2
1ln x−3
17. Suponha que o nível de som de um eco é 2/3 do nível do som original. Considere ainda que cada eco gera um outro eco.
17.1.Se cada eco resulta num outro eco, prove que ao fim de n ecos o nível de som é
dado por β = β0×
32
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
−n
, sendo β0o nível de som original.
17.2 Quantos ecos serão ouvidos a partir de um som de 120 dB, considerando que o ouvido humano só ouve sons de mais de 10 decibéis.
18. Se loga b = c , com a ∈+ \ 1{ } ,
b ∈+ \ 1{ } e c ∈ , o valor de loga a2b3 é
A) 3+ c2
B) 2 + c3
C) 1+ 2c3
D) 1+ 3c2
19. O conjunto solução da condição log2 x −1 > log2 x −1( ) é A) 1,+∞] [ B) 2,+∞] [ C) 0,1] [ D) 1,2] [
20. Seja h a função definida em + por h x( ) = ln ex
2. Qual das seguintes expressões
pode também definir h?
A) x2
B) x C) x4
D) x2
21. O domínio da função real de variável real definida por ln 1x− 2⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
é o conjunto
A) 0,2] [ B)
− ∪
12,+∞⎤
⎦⎥⎡⎣⎢ C)
− ∪ 2,+∞] [ D) 0, 12
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
22. Seja g a função definida por g x( ) = 2x−1 . Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de g?
A) log2 4 , 16( ) B) log2 4 , 8( ) C) log2 4 , 2( ) D) log2 4 , 1( )
23. A acidez de uma substância é medida pelo valor do seu pH. O pH depende da concentração de hidrogênio, H+⎡⎣ ⎤⎦ , em moles/Litro. A relação entre acidez e concentração de hidrogênio é dada por
pH = log101H+⎡⎣ ⎤⎦
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
1ª Ficha de trabalho -12º5 e 6
Fernanda Carvalhal 5
23.1 Considera-se que uma substância é básica se o seu pH é maior que 7 e que é ácida se o pH é menor que 7. A concentração de hidrogênio no sangue arterial é de 3,9 ×10−8mol / L . Como classifica, quanto à acidez, o sangue arterial?
23.2 Escreva uma expressão que lhe permita determinar a concentração conhecido o pH de uma substância.
23.3 Qual a diferença entre o pH de duas substâncias das quais se sabe que a concentração de hidrogênio de uma delas é dez vezes superior à concentração da outra.
24 Um grupo de 20 ovelhas é solto para reprodução numa reserva do Colorado. Espera-se que com um controlo cuidadoso, o numero N de ovelhas apos t anos será dado
por N t( ) = A1+10 × e−0,83t
, t ≥ 0 .
24.1 Prove que A=220. 24.2 A população de ovelhas será capaz de manter-se sem supervisão
depois de atingido o numero de 80 ovinos. Por quantos anos o estado do Colorado deverá manter o controle sobre os ovinos?
24.3 O ambiente da área suporta quantos ovinos? (sugestão: examine o gráfico de N para valores grandes de t)
25 Considere o gráfico da função real de variável real f definida por f x( ) = ln x −1( ) e a recta vertical r de equação x = 5 . Seja A o ponto de intersecção de Ox com o gráfico de f. Sejam B e C os pontos de intersecção da recta r com Ox e com o gráfico de f. Prove que a área do triangulo ABC[ ] é igual a ln 8( ) .
26 Mostre que, ∀x ∈ , se verifica 3x+1 − 2 × 3x = 3x . 27 Caracterize a função inversa da função real de variável real h definida por
h x( ) = 12 − ex
.
28 Sejam a, b e c números reais tais que ab = c , sendo b ∈+ e a ∈+ \ 1{ } . Então
log a c é igual a A) b −1 B) 2b C) −b D) 1− b
29 Indique o conjunto dos números reais que são solução da condição 21−x ≥ log2 8
A) −∞, log223
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎤⎦⎥
⎤⎦⎥ B) −∞, log3
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎤⎦⎥
⎤⎦⎥
C) log223
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,+∞⎡
⎣⎢⎡⎣⎢ D) log3
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,+∞⎡
⎣⎢⎡⎣⎢
30 Sejam a e b números reais positivos tais que ln a = ln2 + lnb . Pode-se então concluir que
A) a2 = b B) a = b2
C) b = a2
D) a = b2
31 O domínio da função real de variável real definida por f x( ) = ln −x2 + 5x + 6( ) é: A) 2,3] [ B) −3,−2] [ C) −1,6] [ D) −6,1] [
1ª Ficha de trabalho -12º5 e 6
Fernanda Carvalhal 6
32 Seja g a função real de variável real definida por g x( ) = 1+ log2 x . Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de g?
A) 4,3( ) B) 12,2⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
C) 4,1( ) D) 2,2( )
33 A relação Q = 12 × e−0,055t dá a massa Q, em gramas, de potássio radioactivo 42 que irá restar apos t horas de decaimento radioactivo.
33.1. Qual a quantidade inicial de potássio radioactivo? 33.2. Considera-se “meia-vida” de um elemento radioactivo o tempo necessário para a
sua massa se reduzir a metade da massa inicial. Qual a “meia-vida” do potássio?. Dê um valor aproximado em horas e minutos.
33.3. Suponha que pretende medir o tempo utilizando esta amostra de potássio 42. Qual a expressão que lhe permitirá determinar o tempo decorrido em função da massa de potássio restante?
34. Para medir o nível de som utiliza-se uma escala logarítmica, a escala de decibéis. O nível de som β , em dB, depende de intensidade do som, I em watt / m2 e de I0 = 10
−12watt / m2 que é a intensidade de referência, próxima do limiar da audição
humana. Esta escala é definida por β = 10 log10II0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
.
34.1. Qual o nível de ruído de um som com a intensidade de 10−8watt / m2 ?
34.2. Em 1976 o grupo de rock the Who estabeleceu o recorde para a intensidade de som de um concerto. O nível de som foi da ordem dos 120 dB. Qual a intensidade do som emitido por este grupo de rock?
34.3. Os níveis de ruído de dois emissores diferem de 20 dB. Qual a razão entre a intensidade dos dois sons?
35. Considere o gráfico da função real de variável real f definida por f x( ) = 1+ lnx e as rectas verticais r e s de equações, respectivamente, x = 1 e x = 4 . Sejam A e B os pontos de intersecção da recta r com Ox e com o gráfico de f. Sejam D e C os pontos de intersecção da recta s com Ox e com o gráfico de f. Prove que a área do trapézio ABCD[ ] é igual a ln 8e3( ) .
36. Mostre que, ∀x ∈ , se verifica 2−x −12x+1
=12x+1
.
37. Caracterize a função inversa da função real de variável real h definida por
h x( ) = 12 − lnx