1

1. Resolva os seguintes Problemas de Valor de Contorno

a. 𝑦2𝑑𝑦 = 𝑥2𝑑𝑥 , 𝑦(0) = 2

b. (𝑥2 + 1)𝑦´ = 𝑥𝑦 , 𝑦(√3) = 6

c. 𝑦´ − 𝑥𝑦 = 𝑦 , 𝑦(0) = 1

d. 𝑦𝑦´ −𝑦

𝑥2= 0 , 𝑦(2) = 0

e. 𝑦´ =3𝑥2

𝑦 , 𝑦(1) = 3

2. Uma população de peixes em um lago tem uma taxa de natalidade natural de 12%

ao ano, e taxa de mortalidade natural de 7% ao ano. Supondo que inicialmente a população seja de 500 peixes, pede-se:

a. Qual será a população após 3 anos?

b. Quanto tempo leva para que a população triplique?

3. Em uma reação química, dois reagentes A e B formam o produto C, segundo a reação.

A + B → C

A lei de ação das massas estabelece que a taxa de reação é proporcional ao produto das concentrações de A e B. Se denominarmos as concentrações iniciais de A e B, respectivamente, por 𝑎 e 𝑏. Pede-se:

a. Escreva a ED que representa a concentração de C em função do tempo;

b. Supondo que: A constante de proporcionalidade da taxa de reação seja 0,1 , 𝑎 = 30𝑚𝑜𝑙/𝑙 , 𝑏 = 20𝑚𝑜𝑙/𝑙 e a concentração inicial de C seja zero. Determine a concentração de C após 10 minutos de reação.

4. Suponha que tomemos um objeto de 3kg e lancemos para baixo do alto de uma torre, com velocidade inicial de 2m/s. Considerando que a força de resistência do ar é dada por 𝐹𝑅 = 𝑘𝑣, onde 𝑣 a velocidade do objeto, pede-se:

a. Determine a ED que fornece a função velocidade 𝑣(𝑡);

b. Supondo que o coeficiente de resistência (𝑘) seja 2x10−1 , determine a velocidade do objeto no instante 𝑡 =10s

2

5. As substâncias radioativas decaem por emissão espontânea de radiação, a uma taxa natural proporcional a massa da substância. Suponhamos que uma amostra de Urânio inicialmente com 100mg leva 602 anos para reduzir sua massa para 30mg. Pergunta-se:

a. Determine a ED que fornece a massa de urânio da amostra em função do tempo?

b. Calcule a massa restante de urânio na amostra após 1.000 anos;

c. Determine a meia vida do Urânio, ou seja, o tempo necessário para que a massa da amostra se reduza pela metade?

6. Num circuito elétrico estão presentes, um resistor com resistência R=12Ω e uma bobina com indutância L=4H, ligados em série com uma bateria que fornece uma voltagem constante E=60V.

Supondo-se que o interruptor é ligado no instante 𝑡 = 0. Pergunta-se:

a. Determine a ED que fornece a função corrente 𝐼(𝑡) em cada instante 𝑡;

b. Qual o valor da corrente no instante 𝑡 = 1𝑠 ?

c. Qual o valor máximo que a corrente irá atingir nesse circuito ?

7. Resolva as seguintes Equações Diferenciais

a. 𝑦´ + 3𝑦 = 𝑒𝑥

b. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑥2𝑦 = 6𝑥2

c. 𝑥2𝑦´ + 𝑥𝑦 = 1

d. 𝑥𝑦´ + 𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

E

3

8. Resolva os seguintes Problemas de Valor de Contorno

a. (𝑥𝑒𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒𝑦 + 2𝑥 = 0 , 𝑦(1) = 0

b. (2𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦)𝑑𝑥 = −(2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 , 𝑦(0) = 1

c. 𝑦𝑑𝑥

𝑥+ (𝑙𝑛𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑦 = 0 , 𝑦(1) = 1

d. (8𝑥2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 + (16𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 = 0 , 𝑦(1) = 2

9. Suponhamos um circuito elétrico contendo um Resistor com resistência R=8Ω e um indutor com indutância L=4H. Conecta-se ao circuito um gerador que fornece uma

voltagem alternada, segundo a função 𝜖(𝑡) = 24𝑠𝑒𝑛(𝑡√2). Pede-se a expressão da corrente em função do tempo 𝐼(𝑡).

10. Uma substância é adicionada em um reator químico a uma taxa constante de

𝑟 (𝑔

𝑠⁄ ). A medida que a reação ocorre, a substância é consumida a uma taxa igual 20% da quantidade de substância presente na reação. Sabendo-se que incialmente a quantidade de substância no reator era de 50g, pede-se:

a. Escreva a ED que fornece a função 𝑞(𝑡), que representa a quantidade de substância presente no reator em função do tempo (em minutos) .

b. Se regularmos a taxa de entrada para 𝑟 = 0,5 (𝑔

𝑠) , qual será a quantidade de

substância presente no reator após 10 minutos ?

c. Em que instante a quantidade de substância será 120g ?