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EdificaçõesMatemática Aplicada
Leandro Barbosa Paz
Luiz Eduardo Landim Silva
Ricardo Ferreira Paraizo
2010Rio de Janeiro – RJ
Presidência da República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Este caderno foi elaborado em parceria entre o Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – CE, a Fundação Cecierj/Consórcio CEDERJ e o Sistema Escola Técnica Aberta do Brasil – e-Tec Brasil.
Equipe de ElaboraçãoInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – CE
Coordenação InstitucionalAdolfo Átila Cabral Moreira
Professores-autoresLeandro Barbosa PazLuiz Eduardo Landim SilvaRicardo Ferreira Paraizo
Coordenação de Desenvolvimento InstrucionalCristine Costa BarretoPaulo Vasques de Miranda
Coordenação de ProduçãoTereza Queiroz
Supervisão de Desenvolvimento InstrucionalFlávia Busnardo
Supervisão de ProduçãoCláudia Domingos Silva
Desenvolvimento InstrucionalFabio PeresGustavo TarcsayKathleen S. GonçalvesMaria Clara PontesWagner Meira Beff
Revisão de LinguagemDayse TavaresLúcia Beatriz da Silva AlvesNataniel dos Santos Gomes
Revisão de ProvasElaine BaymaEliana RinaldiPatricia Paula
Projeto GráficoEduardo MenesesFábio Brumana
DiagramaçãoAndreia VillarVerônica ParanhosSanny Reis
IlustraçãoFernado TorellyPablo CarranzaSami Souza
Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT e AACR2.
Copyright © 2010, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
P348ePaz, Leandro Barbosa.
Edificações: matemática aplicada. / Leandro Barboza Paz, Luiz Eduardo Landim Silva, Ricardo Ferreira Paraizo. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.
464p.; 20,5 x 27,5 cm.
ISBN: 978-85-7648-678-7
1. Matemática. 2. Unidades de medida. 3. Porcentagem. 4. Grandezas proporcionais. 5. Equações de 1º grau. 6. quações de 2º grau. 7. Triângulos. 8. Trigonometria. I. Silva, Luiz Eduardo Landim. II. Paraizo, Ricardo Ferreira. III. Título.
CDD: 510
Sumário
Aula 1 | Unidades de medida 5
Aula 2 | Razão e porcentagem 31
Aula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 61
Aula 4 | Equações de 1° e 2° graus 93
Aula 5 | As equações que pensam 141
Aula 6 | Ângulos 169
Aula 7 | Semelhança de triângulos 209
Aula 8 | Relações métricas no triângulo retângulo 239
Aula 9 | Relações métricas na circunferência 271
Aula 10 | Área de figuras planas 297
Aula 11 | Razões trigonométricas no triângulo retângulo 323
Aula 12 | Trigonometria na circunferência 345
Aula 13 | Lei dos senos e dos cossenos 377
Aula 14 | Prismas e pirâmides 393
Aula 15 | Cilindros, cones e esferas 411
Aula 16 | Noções de Geometria Analítica 431
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 5
Aula 1 | Unidades de medida
Meta da aula
Apresentar as principais unidades de medida de comprimento, •
de superfície, de volume, de massa e de tempo, e as formas de
conversão entre unidades de mesma espécie.
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
identificar as principais unidades utilizadas em medidas de com-1.
primento, de superfície, de volume, de massa e de tempo;
escrever corretamente as unidades, usando os símbolos quando 2.
necessário;
definir a unidade adequada para diferentes situações;3.
fazer a conversão entre unidades de medida de mesma espécie.4.
O que é medir?Existe uma enorme variedade de coisas que podem ser medidas sob vários
aspectos. Imagine, por exemplo, uma lata de refrigerante. Você pode medir
a sua altura, pode medir quanto ela “pesa” e pode medir quanto líquido ela
pode comportar. Cada um desses aspectos (comprimento, massa, volume)
implica uma grandeza física diferente.
Figura 1.1: Medidas de uma lata de refrigerante.
Edificaçõese-Tec Brasil 6
Sistema Internacional de Unidades (SI)Conjunto de definições utilizado em quase todo o mundo moderno que visa a uniformizar e a facilitar as medições.
GlossárioMedir é comparar uma grandeza com uma outra de mesma natureza, ado-
tada como padrão. Esses padrões são as unidades de medida. Atualmente,
o Brasil e muitos outros países utilizam as unidades de medida do Sistema
Internacional de Unidades (SI).
O ato de medir envolve esses padrões, que são as referências usadas na me-
dição. Envolve também a existência de instrumentos de medição que, gra-
duados de acordo com a unidade de medida em questão, fornecem variados
graus de precisão à medida desejada.
Grandezas e suas unidades
Para utilizarmos uma linguagem mais técnica, vamos definir grandeza como
toda característica que, para ser expressa corretamente, utiliza-se de núme-
ros, como, por exemplo:
a distância entre duas cidades;1.
a altura de uma pessoa;2.
a temperatura corpórea de uma pessoa;3.
a capacidade de uma caixa-d’água;4.
a quantidade de pessoas numa reunião;5.
o intervalo de tempo de uma partida de futebol.6.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define como grandezas básicas o
comprimento, a massa, o tempo, a corrente elétrica, a temperatura, a quan-
tidade de substância e a intensidade luminosa. As unidades adotadas pelo SI
para essas grandezas são denominadas unidades básicas, a partir das quais
todas as outras são derivadas.
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 7
Tabela 1.1: Grandezas básicas e unidades adotadas pelo SI
Grandezas básicas Unidades básicas
comprimento Metro
massa Quilograma
tempo Segundo
corrente elétrica Ampère
temperatura Kelvin
quantidade de matéria Mol
intensidade luminosa Candela
São inúmeras as grandezas com as quais você terá contato ao longo do
curso. Nesta aula, iremos abordar apenas as unidades de medida de compri-
mento, de superfície, de volume, de massa e de tempo.
Nem sempre as unidades de medida foram precisas e adotadas mundialmen-
te como ocorre hoje. Na Europa, durante a Idade Média, as unidades eram
derivadas das medidas dos corpos dos reis; por isso, o nome de algumas
unidades eram pés, polegadas, braça, etc. Isso acarretava problemas de co-
municação entre as nações e obrigava a confecção de novos instrumentos
de medida quando da morte de um monarca.
Figura 1.2: Importância da padronização de unidades.
Edificaçõese-Tec Brasil 8
O uso de símbolos na escrita de medidas
Ao expressar a medida de uma grandeza, vamos utilizar um valor numérico
seguido de um símbolo que indica a unidade de medida utilizada na medi-
ção. O valor numérico indica quantas vezes a grandeza medida é maior do
que a unidade utilizada.
Toda vez que você se refere a um valor numérico ligado a uma unidade de
medir, significa que, de alguma maneira, você realizou uma medição. O que
você expressa é o resultado da sua medição, conforme a figura a seguir:
Fonte: www.ipem.sp.gov.br
Figura 1.3: Resultado de uma medição.
Os símbolos são entidades matemáticas e não abreviaturas. Por isso, não são
seguidos por um ponto (exceto no final de uma sentença) nem por um “s”,
para formar o plural.
Tabela 1.2: Símbolo não é abreviatura
Unidades de medida Símbolo correto Símbolo errado
segundo s s.; seg.
metro m m.; mt.; mtr.
quilograma kg kg.; kgr.
hora h h.; hr.
Fonte: www.ipem.sp.gov.br
Tabela 1.3: Símbolo não tem plural
Exemplo de medidas Símbolo correto Símbolo errado
oito metros 8 m 8 ms
três quilogramas 3 kg 3 kgs
duas horas 2 h 2 hs
Fonte: www.ipem.sp.gov.br
Embora sejam adotadas as unidades de medida do Sistema Internacional,
existem diversas unidades de medida para cada grandeza. Uma unidade
considerada ideal para uma grandeza numa determinada situação pode não
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 9
ser a melhor em outra. Por exemplo: Se quisermos medir as dimensões de
uma sala é aconselhável usarmos o metro, mas para medir a distância entre
duas cidades é usual a adoção do quilômetro.
Perceba, no exemplo, que o quilômetro (km) é uma unidade originada do
metro pelo acréscimo de um prefixo. Desta forma, as unidades adotadas
pelo Sistema Internacional podem dar origem a outras unidades pela utiliza-
ção de prefixos, formando, assim, unidades múltiplas e submúltiplas destas.
As novas unidades, apesar de não serem as adotadas pelo Sistema Interna-
cional, são igualmente importantes.
Tabela 1.4. Principais prefixos utilizados em unidades
Prefixos das unidades SI
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade
yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
23 Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 10³ = 1 000
hecto h 10² = 100
deca da 10
deci d 10-1 = 0,1
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro m 10-6 = 0,000 001
nano n 10-9 = 0,000 000 001
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001
yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001
Fonte: www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp
Edificaçõese-Tec Brasil 10
Saiba mais...
Apesar de termos contato com diversas unidades de medida nas
embalagens de produtos, nas receitas de alimentos, nos jornais e
nas revistas, nas contas de água e de luz e em diversas outras si-
tuações do cotidiano, muitas pessoas ainda não dão a devida im-
portância ao seu uso. Um sinal disso é que, há alguns anos, fabri-
cantes de diversos produtos utilizaram-se dessa “não importância
ao uso das unidades” para realizarem uma prática ilícita denomina-
da maquiagem: os produtos tinham suas quantidades diminuídas,
mas continuavam com a mesma embalagem e o mesmo preço.
Um exemplo dessa prática ocorreu com os rolos de papel higiêni-
co, que tiveram sua metragem reduzida de 40m para 30m, sem
redução no preço. Como a maioria dos consumidores se limitava a
contar os rolos, apenas, isso passou despercebido.
Conversão de unidades
Em muitos momentos, é necessário realizar a conversão de unidades quando
se mede uma grandeza. Para isso, existem técnicas que serão mostradas ain-
da nesta aula. Em todas as conversões será utilizado um princípio que pode
ser enunciado da seguinte forma: Caso a unidade seja diminuída, o valor numérico da medida deve aumentar, de modo a representar uma medida equivalente e vice-versa.
Esse princípio pode ser justificado por meio de exemplos. Imagine que se
queira medir a largura de uma sala, utilizando, num primeiro momento, o
centímetro como unidade e, num segundo momento, o metro como uni-
dade. É evidente que, em virtude de o centímetro ser uma unidade menor, caberão muitos centímetros na largura da sala. Já no segundo caso, como o
metro é uma unidade maior, caberão poucos metros na largura da sala.
Agora que já percebemos a importância das unidades de medida em diver-
sas situações, que tal conhecermos melhor essas unidades e como realizar as
conversões de uma unidade para outra?
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 11
Unidades de comprimento
A unidade padrão para comprimento é o metro, indicada pelo símbolo m.
Com o uso de alguns prefixos e radicais, foram criados seus múltiplos e sub-
múltiplos decimais.
Caso você precise converter uma medida de comprimento de uma unidade
para outra, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente
será dado pelo número de casas a percorrer, conforme a Tabela 1.5.
Tabela 1.5: Múltiplos e submúltiplos do metro
Múltiplos Padrão Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro. metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
Veja os dois exemplos a seguir:
Exemplo 1.1:
Expresse em cm a medida 50dam
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
Figura 1.4: Conversão de dam para cm.
Como a unidade será diminuída, o valor numérico será aumentado por uma
multiplicação por 103 (três casas para irmos do dam ao cm). Logo:
50dam = 50 × (103)cm
50dam = 50 × (10 × 10 × 10)cm
50dam = 50 × 1.000cm
50dam = 50.000cm
Exemplo 1.2:
Expresse em hm a medida 1.200mm
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
Figura 1.5: Conversão de mm para hm.
MetroComprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo, definição adotada na 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM).
Glossário
Edificaçõese-Tec Brasil 12
Como a unidade será aumentada, o valor numérico será diminuído por uma
divisão por 105 (cinco casas para irmos do mm ao hm). Logo:
1.200mm = 1.200/(105)hm
1.200mm = 1.200/(10 × 10 × 10 × 10 × 10)hm
1.200mm = 1.200/100.000hm
1.200mm = 0,012hm
Saiba mais...
Existem outras unidades de comprimento que ainda são usadas
no Brasil:
a polegada, presente nas medidas de diâmetro de canos, dia-a)
gonal da tela de televisores e diâmetro de parafusos;
o pé, usada em profundidades oceânicas e altitude de voos;b)
a légua, utilizada por pessoas mais idosas do interior do estado c)
do Ceará para expressar distâncias entre localidades.
1 polegada (in) = 2,54cm
1 pé (ft) = 12 in = 30,48cm
1 légua ≅ 6km
Atividade 1
Atende ao Objetivo 4
Para cercar uma propriedade quadrada de 5hm de lado, temos 20 rolos
de 100m de arame farpado. Sabendo que a cerca deve apresentar quatro
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 13
fileiras de arame, quantos rolos de 200m de arame o proprietário deverá
comprar de modo a cercar completamente a propriedade?
Unidades de superfície
A unidade padrão para superfície é o metro quadrado, indicada pelo sím-
bolo m2, que expressa o espaço existente dentro de um quadrado de lado
1m. Utilizamos os mesmos prefixos e radicais para indicar seus múltiplos e
submúltiplos decimais, conforme mostra a Tabela 1.6:
Tabela 1.6: Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado
Múltiplos Padrão Submúltiplos
quilômetroquadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado.
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
O termo quadrado deve-se ao fato de que a área de uma superfície é dada
pelo produto de duas dimensões. Assim, temos m x m = m2.
Caso você precise converter uma medida de superfície de uma unidade para
outra, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente será
dado pelo dobro do número de casas a percorrer na tabela anterior. Observe
os dois exemplos a seguir:
Edificaçõese-Tec Brasil 14
Exemplo 1.3:
Expresse em mm2 a medida 5m2
quilômetroquadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado.
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Figura 1.6: Conversão de mm2 para m2.
Como a unidade será diminuída, o valor numérico será aumentado pela mul-
tiplicação por 106 (três casas para irmos do m2 ao mm2). Logo:
5m2 = 5 × (102) × (102) × (102)mm2
5m2 = 5 × (10 ×10) × (10 × 10) × (10 × 10)mm2
5m2 = 5 × 100 × 100 × 100mm2
5m2 = 5 × 1.000.000mm2
5m2 = 5.000.000mm2
Exemplo 1.4:
Expresse em m2 a medida 142dm2
quilômetroquadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado.
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Figura 1.7: Conversão de m2 para dm2.
Como a unidade será aumentada, o valor numérico será diminuído pela di-
visão por 102 (uma casa para irmos do dm2 ao m2). Logo:
142dm2 = 142/(102)m2
142dm2 = 142/(10 × 10)m2
142dm2 = 142/100m2
142dm2 = 1,42m2
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 15
Saiba mais...
Para se estimar o número de pessoas presentes em eventos de
grandes proporções, calcula-se aproximadamente a área ocupada
pela multidão e multiplica-se por 6, considerando que cabem seis
pessoas por metro quadrado.
Outra unidade de superfície é o hectare (ha), usada, em algumas
regiões do Brasil, para medir a extensão de fazendas.
1 hectare (ha) = 10.000m2
Atividade 2
Atende ao Objetivo 4
Vamos revestir o piso retangular de uma sala com cerâmicas quadradas de
1dm2. Se as dimensões da sala são de 8m por 10m, quantas cerâmicas serão
necessárias?
Edificaçõese-Tec Brasil 16
Unidades de volume
Normalmente, os livros didáticos fazem distinção entre as unidades de vo-
lume e as unidades de capacidade. As primeiras seriam originadas das uni-
dades de comprimento e serviriam para expressar o espaço tridimensional
ocupado por um objeto. Já as segundas teriam como unidades de medida o
litro, com seus múltiplos e submúltiplos, e serviriam para expressar a capaci-
dade de recipientes.
Creio ser mais coerente falar em unidades de volume, lembrando que, em
caso de recipientes, estamos indicando o volume necessário para enchê-los
com certo líquido.
Na Tabela 1.7, mostramos algumas unidades de volume.
Tabela 1.7: Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos Padrão Submúltiplos
quilômetrocúbico
hectômetro cúbico
decâmetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
O termo cúbico deve-se ao fato de que os objetos são tridimensionais e no
cálculo de seu volume ocorrerá o produto dessas três dimensões. Assim,
temos: m x m x m = m3.
Um metro cúbico corresponde ao espaço ocupado por um cubo de aresta
1m. As conversões de unidades nesta tabela se dão de forma análoga ao
que mencionamos em unidades de área e comprimento, mas o fator de
conversão será uma potência de 10, cujo expoente é o triplo de casas que
devemos percorrer, conforme mostrou a Tabela 1.7.
Outras unidades de volume são mostradas a seguir:
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 17
Tabela 1.8: Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos Padrão Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
Nesse caso, a conversão se dará como ocorre nas unidades de comprimento,
ou seja, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente será
dado pelo número de casas a percorrer, conforme a Tabela 1.8.
Dentre essas unidades, podemos citar como mais utilizadas o litro, o mililitro
e o metro cúbico. Essa última é a unidade utilizada pela Companhia de Água
ao indicar o consumo mensal de água em cada residência.
Caso você queira converter medidas da Tabela 1.7 para a Tabela 1.8 basta usar:
1l = 1dm3 ou 1m3 = 1.000 l
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 1.5:
Expresse em m3 a medida 40.000cm3.
quilômetrocúbico
hectômetro cúbico
decâmetro cúbico.
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Como a unidade aumenta, o valor numérico da medida será diminuído pela
divisão por 106 (duas casas para irmos de cm3 a m3). Logo:
40.000cm3 = 40.000/(106)m3
40.000cm3 = 40.000/(10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10)m3
40.000cm3 = 40.000/1.000.000m3
40.000cm3 = 0,04m3
Edificaçõese-Tec Brasil 18
Saiba mais...
Consumo diário de água nas construções, dependendo do tipo de atividade (tabela retirada de um livro: CREDER, Hélio. Instalações hidráulicas e sanitárias. Ed. LTC, 5ª ed., 1993, p. 10).
Prédios Consumo em litros
Casas populares ou rurais (casas de pequeno porte) 120 por pessoa
Residências (casas de médio/grande porte) 150 por pessoa
Apartamentos 200 por pessoa
Hotéis 120 por hóspede
Hospitais 250 por leito
Escolas – internatos 150 por pessoa
Escolas – externatos 50 por pessoa
Edifícios comerciais ou escritórios 50 por pessoa
Templos (igrejas) 2 por lugar disponível para os frequentadores
Atividade 3
Atende ao Objetivo 4
Uma indústria embala sua produção de óleo vegetal em latas de 500cm3.
Quantas destas latas são necessárias para embalar uma produção de 9.000
litros de óleo vegetal?
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 19
Unidades de massa
A grandeza massa, vulgarmente chamada de peso, indica a quantidade de
matéria de um corpo.
Apesar de a unidade de uma massa adotada no Sistema Internacional de Uni-
dades ser o quilograma, indicaremos como unidade padrão o grama, já que
os demais são múltiplos ou submúltiplos deste, como mostraremos a seguir:
Tabela 1.9: Múltiplos e submúltiplos do grama
Múltiplos Padrão Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
Saiba mais...
Inicialmente, definiu-se como unidade de massa a massa de um
litro de água desmineralizada a 15°C. Essa massa foi chamada de
um quilograma (1kg). Mais tarde, percebeu-se o inconveniente
desta definição, já que o volume da água varia de acordo com
a pureza da mesma. Passou-se, então, a adotar como padrão de
massa um certo objeto chamado “padrão internacional de mas-
sa”. A massa desse objeto é de 1kg. Dentro do possível, fez-se
com que a massa deste padrão fosse igual à massa de 1 litro de
água destilada a 15 °C.
Dessas unidades citadas, as mais utilizadas são o quilograma, o grama e o
miligrama. Utilizamos o quilograma ao citarmos o nosso “peso”; a massa de
alimentos embalados normalmente é feita em gramas; já a quantidade de
substância química em um remédio é dada em miligramas.
Na conversão de uma unidade de massa para outra, o fator de conversão
será uma potência de 10, cujo expoente será dado pelo número de casas a
percorrer, conforme a Tabela 1.9. Observe o exemplo a seguir:
QuilogramaMassa equivalente a um padrão cilíndrico composto por irídio e platina armazenado no Museu Internacional de Pesos e Medidas na cidade de Sèvres, França.
Glossário
Edificaçõese-Tec Brasil 20
Exemplo 1.6:
Expresse em g a medida 400mg
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
Como a unidade está sendo aumentada, o valor numérico será obtido pela
divisão de 400 por 1.000. Logo:
400 mg = 400/(103)g
400 mg = 400/(10 × 10 × 10)g
400 mg = 400/1.000g
400 mg = 0,4g
Saiba mais...
Outra unidade utilizada para expressar uma medida de massa é a
tonelada (t), que equivale a 1.000 kg. Esta unidade é muito utiliza-
da em cargas transportadas por caminhões e navios.
Unidades de tempo
A unidade de tempo adotada pelo Sistema Internacional de Unidades é o
segundo. Entretanto, a utilização dessa unidade é conveniente em peque-
nos intervalos de tempo. Por isso, são também utilizadas medidas de tempo
expressas em horas e/ou em minutos.
Tabela 1.10: Medidas de tempo
hora minutos segundos
h min s
Essas unidades não são formadas pela utilização de prefixo como acontece
nos casos anteriormente citados.
SegundoDe acordo com a definição atual, a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.
Glossário
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 21
A conversão entre essas unidades será feita utilizando-se um fator de conver-
são 60 ao passarmos de uma casa para a seguinte, mas continuaremos com o
princípio utilizado nos casos anteriores. A seguir, apresentamos um exemplo:
Exemplo 1.7:
Expresse em h a medida 360s
hora minutos segundos
h min s
Como a unidade de tempo será aumentada, o valor numérico será diminuído
pela divisão por 602. Logo:
360s = 360/(602)h
360s = 360/(60 × 60)h
360s = 360/3.600h
360s = 0,1h
Atividade 4
Atende aos Objetivos 1 e 3
Associe cada grandeza (1ª coluna) à unidade (2ª coluna) mais conveniente
para expressar sua medida.
(1) Largura de uma sala de aula
(2) Período diário de sono recomendado a uma pessoa
(3) Tempo de queda de um objeto solto do 2º andar
(4) Massa de uma substância num remédio líquido
(5) Capacidade de uma caixa d’água residencial
(6) Área do piso de uma garagem
( ) hora
( ) centímetro
( ) segundo
( ) metro cúbico
( ) metro
( ) litro
Edificaçõese-Tec Brasil 22
(7) Consumo mensal de água por pessoa
(8) Tamanho de corte cirúrgico
(9) Área manchada por uma gota de tinta caída
ao chão
( ) centímetro quadrado
( ) miligrama
( ) metro quadrado
Atividade 5
Atende aos Objetivos 1 e 2
Mesmo ao pronunciar as unidades, muitas pessoas as empregam de forma
incorreta. Analise cada frase a seguir e, caso identifique algum erro no uso
da unidade de medida, reescreva-a corretamente.
“Eu comprei seis quilos de carne.”1.
“A minha altura é um e setenta e dois.”2.
“O horário de almoço começas às 12:00hs.”3.
“Neste mês, o consumo residencial marcado pelo hidrômetro foi de quinze 4.
metros de água.”
“Comprei um refrigerante de 600mg.”5.
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 23
Atividade 6
Atende ao Objetivo 4
Expresse as medidas a seguir nas unidades indicadas entre parênteses.
a) 12m3 (cm3) b) 13hm (cm) c) 10dm2 (dam2)
d) 150mm (m) e) 500cm2 (km2) f) 15l (mm3)
g) 15in (m) h) 2ha (m2)
Resumo
A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civiliza-•
ções. Medir é comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natu-
reza, adotada como padrão. Esses padrões são as unidades de medida
e, atualmente, muitos países utilizam as unidades de medida do Sistema
Internacional de Unidades (SI).
Ao escrever a medida de uma grandeza, vamos utilizar um valor numé-•
rico seguido de um símbolo que indica a unidade de medida usada na
medição. O valor numérico indica quantas vezes a grandeza medida é
maior que a unidade utilizada.
Edificaçõese-Tec Brasil 24
Em vários momentos, é preciso fazer a conversão de unidades numa me-•
dida de uma grandeza. Em todas as conversões foi utilizado um princípio
que pode ser enunciado da seguinte forma: Caso a unidade seja dimi-nuída, o valor numérico da medida deve aumentar de modo a represen-tar uma medida equivalente e vice-versa.
Para fazer a conversão de unidades, devemos utilizar as tabelas apresenta-•
das, deslocando-se da unidade em que a medida se encontra para a unida-
de em que se deseja expressá-la. Depois, é só utilizar o fator de conversão
adequado para cada grandeza: fator 10 para medidas de comprimentos;
fator 102 para medidas de superfície; fator 103 para medidas de volume;
fator 60 para medidas de tempo e fator 10 para medidas de massa.
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos estudar razão e porcentagem, abordando algumas
situações do cotidiano em que esses assuntos aparecem com maior frequência.
Até lá.
Respostas das atividades
Atividade 1
Perceba que, no problema, há medidas de comprimento em unidades di-
ferentes. Enquanto o comprimento de arame é dado em metros, a medida
do lado da propriedade é dada em hectômetros. Devemos, então, converter
uma dessas medidas para a unidade que queremos trabalhar. Como se de-
seja saber quanto ainda devemos comprar de arame, trabalharemos com a
unidade metro, que é a mais comum e aquela em que o comprimento do
arame já está expresso.Vejamos como se dará essa conversão:
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
(Fator de conversão: 10)
Desejamos expressar uma medida dada em hm por uma unidade menor
(m). Por isso, o valor numérico será aumentado pela multiplicação do valor
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 25
numérico da medida, pelo fator de conversão duas vezes, já que aconteceu
um deslocamento de duas casas na tabela anterior.
5hm = 5 x 10 x 10m ⇒ 5hm = 500m
A propriedade que se deseja cercar tem formato quadrado. Assim, a distân-
cia total a ser cercada será de 4 x 500m = 2.000m. Como se deseja que na
cerca haja 4 fileiras de arame, serão necessários 4 x 2.000m = 8.000m de
arame.
Dispõe-se de 20 rolos de 100m de arame, ou seja, 20 x 100m = 2.000m.
Portanto, é necessário adquirir outros 6.000m de arame que, se comprados
em rolos de 200m, resultarão em 6.000m/200m = 30 rolos.
Atividade 2
Esse problema é bastante comum em construções, sendo necessária a con-
versão de unidades de superfície. No nosso problema específico, as dimen-
sões da sala estão em metros. Calculada sua área, esta será expressa em
metros quadrados. Já a área das cerâmicas é dada em decímetro quadrado.
Calculemos, então, a área da superfície que se deseja revestir. Como o forma-
to do piso é retangular, basta multiplicarmos a largura pelo comprimento:
APISO = 8m x 10m ⇒ APISO = 80m2
Devemos comparar a medida de superfície do piso com a medida de su-
perfície de uma cerâmica. Estas devem estar expressas na mesma unidade.
Vejamos como converter, então, a medida calculada anteriormente de forma
que seja expressa em decímetros quadrados.
quilômetroquadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado.
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
(Fator de conversão: 102)
Desejamos expressar uma medida dada em m2 por meio de unidade menor
(dm2). Por isso, o valor numérico será aumentado pela multiplicação do valor
Edificaçõese-Tec Brasil 26
numérico da medida, pelo fator de conversão uma vez, já que houve um
deslocamento de uma casa na tabela anterior.
80m2 = 80 x 102dm2 ⇒ 80m2 = 8.000dm2
Como cada cerâmica ocupa apenas 1dm2, precisaremos de 8.000 cerâmicas
para revestir o piso.
Atividade 3
Nesse problema, temos que determinar o número de recipientes necessá-
rios para serem embalados num determinado volume de produção de óleo.
Estaremos, então, relacionando medidas de volume que foram dadas em
unidades diferentes. Para isso, adotaremos o cm3, que é a unidade menor
nesse problema para expressar nossas medidas.
Para fazer a conversão de unidades na medida de volume de óleo produzido,
vale lembrar que um litro é equivalente a um decímetro cúbico. Com isso,
devemos expressar 9.000 dm3 em cm3.
quilômetrocúbico
hectômetro cúbico
decâmetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
(Fator de conversão: 103)
Queremos expressar os 9.000 dm3 de óleo em uma unidade menor (cm3).
Esse valor numérico será aumentado pela multiplicação pelo fator de conver-são uma vez, já que o deslocamento na tabela anterior foi de uma casa.
9.000dm3 = 9.000 x 103cm3 ⇒ 9.000dm3 = 9.000.000cm3
Para sabermos a quantidade de latas necessárias para embalar a produção,
basta vermos quantas vezes essa medida é maior do que a capacidade de
uma lata.
9 000 000500
. . cmcm
3
3 = 18.000 latas
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 27
Atividade 4
(1) A largura de uma sala é normalmente dada em metros.
(2) É recomendável, para um restabelecimento do corpo, um período de 8
horas de sono.
(3) A gravidade faz com que um objeto solto do 2º andar chegue ao chão
em questão de segundos.
(4) A massa de uma substância contida num remédio é muito pequena sen-
do normalmente expressa em miligramas.
(5) Embora possamos expressar a capacidade de uma caixa-d’água residencial
em metros cúbicos ou em litros, é mais comum utilizar o litro para essa
medida.
(6) Como as dimensões de uma garagem são expressas normalmente em
metros, a área desta deve ser dada em metros quadrados.
(7) Devido ao período ser relativamente longo (30 dias), o volume de água
consumido por uma pessoa será de milhares de litros. Sugere-se, então,
expressar essa medida de volume em metros cúbicos (1m3 = 1.000 l)
(8) Normalmente, os cortes cirúrgicos possuem comprimento de poucos
centímetros.
(9) Uma gota de tinta, ao cair no chão, espalha-se e deve ocupar cerca de
um centímetro quadrado.
A sequência numérica na segunda coluna é (de cima para baixo) 2, 8, 3, 7,
1, 5, 9, 4, 6.
Atividade 5
Frase 1: “Eu comprei seis quilos de carne.”
Nesta frase, ocorre um erro ao utilizar-se o termo “quilo”, em vez da uni-
dade quilograma para expressar a massa de carne comprada. Deve-se dizer:
“Eu comprei seis quilogramas de carne.”
Edificaçõese-Tec Brasil 28
Frase 2: “A minha altura é um e setenta e dois”.
Embora seja comum mencionarmos a altura sem expressar a unidade, isso
é um erro. Deve-se dizer: “A minha altura é um metro e setenta e dois cen-
tímetros.”
Frase 3: “O horário de almoço começa às 12:00hs”.
Como foi dito, a unidade é um símbolo e não deve ser pluralizada. Desta
forma, a frase correta é “O horário de almoço começa às 12:00h”.
Frase 4: “Neste mês, o consumo residencial marcado pelo hidrômetro foi de
quinze metros de água.”
Metro é uma unidade de comprimento. O que se deseja expressar é o volu-
me de água consumido durante um mês numa residência. Assim, o correto
é: “Neste mês, o consumo residencial marcado pelo hidrômetro foi de quin-
ze metros cúbicos de água.”
Frase 5: “Comprei um refrigerante de 600mg”.
Embora seja possível existir um refrigerante de 600mg, o comum é que estes
sejam vendidos a partir do volume. Dessa forma, o mais provável é que a
pessoa tenha utilizado indevidamente o símbolo. Corrigindo o erro, teremos:
“Comprei um refrigerante de 600ml”.
Atividade 6
Agora que você já está mais acostumado com a conversão de unidades,
resolveremos essa atividade de forma mais sucinta.
a) 12m3 (cm3)
12m3 = 12 x 103 x 103cm3 x 10
12m3 = 12 x 106cm3
12m 3 = 12.000.000cm3
e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 29
b) 13hm (cm)
13hm = 13 x 10 x 10 x 10
13hm = 13.000cm
c) 10dm2 (dam2)
10dm2 = 10/(102 x 102)dam2
10dm2 = 10/104dam2
10dm2 = 1/103dam2
10dm2 = 10-3dam2
10dm2 = 0,001dam2
d) 150mm (m)
150mm = 150/(10 x 10 x 10)m
150mm = 150/1.000m
150mm = 0,15m
e) 500cm2 (km2)
500cm2 = 500/(102 x 102 x 102 x 102 x 102)
500cm2 = 500/1010
500cm2 = 5/108
500cm2 = 5 x 10-8km2
f) 15l (mm3)
15l = 15dm3
15l = 15dm3 = 15 x 103 x 103mm3
15l = 15 x 106mm3
15l = 15.000.000mm3
g) 15in (m)
15in = 15 x 2,54cm
15in = 38,1cm
15in = 38,1cm = 38,1/(10 x 10)m
15in = 0,381m
Edificaçõese-Tec Brasil 30
h) 2ha (m2)
2ha = 2 x 10.000m2
2ha = 20.000m2
Sites consultados
BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior. Instituto de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial. Disponível em: www.inmetro.gov.br. Acesso em: 22 jul. 2008.
São Paulo (Estado). Instituto de Pesos e Medidas. Disponível em: www.ipem.sp.gov.br. Acesso em: 22 jul. 2008.