O HOMEM VITRUVIANO

Cludia Borim da Silva Irene Cazorla

Vernica Yumi Kataoka O Homem Vitruviano uma sequncia de

ensino que tem como objetivo analisar os

padres das relaes que se estabelecem

entre as variveis estatsticas.

Objetivos especficos Analisar os padres das relaes que se estabelecem entre as vari-

veis estatsticas. Apresentar uma noo intuitiva de modelagem. Vivenciar fisicamente as medidas de posio. Contedos Grficos: diagrama de pontos (dotplot), diagrama da caixa

(boxplot), diagrama de disperso bivariado. Medidas de posio: quartis. Valores discrepantes (outliers). Erro aleatrio. Medidas de disperso: amplitude total, amplitude interquartlica. Tempo estimado 8 horas-aula. Materiais Reportagens sobre Leonardo da Vinci, Homem Vitruviano e medi-

das antropomtricas. Cartaz em papel madeira com planilha para registrar os dados. Malhas para construo dos grficos em papel A4. Lpis de cor.

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A Estatstica vai Escola

Calculadora. Rgua de 30 e 50 cm. 1 ita mtrica utilizada para costura. 2 itas mtricas de dois metros, construdas em papel madeira. Fita crepe ou adesiva. Fita mtrica gigante, construda em papel-madeira para realizar o

dotplot humano da altura. O ideal que cada unidade tenha pelo

menos 20 cm de comprimento para que os alunos possam ficar en-

fileirados. Se seus alunos medem de 150 a 190cm, isto , h 40 cm de

diferena, ento a ita mtrica gigante medir oito (8) metros. Fita mtrica gigante construda em papel madeira, para ajustar o

dotplot humano do nmero do calado. O ideal que cada unidade

tenha pelo menos 20 cm, para que os alunos possam ficar enfileira-

dos. Se seus alunos calam de 34 a 44, h 10 nmeros de diferena,

ento a ita mtrica gigante medir dois (2) metros.

No ambiente papel e lpis No ambiente papel e lpis, as atividades percorrem oito etapas: Etapa 1: Contextualizando e formulando a pergunta da pesquisa Neste caso estamos investigando a harmonia nas diversas partes do

corpo humano, como por exemplo, ser que a altura igual enver-

gadura dos braos conforme postulado por Leonardo da Vinci? Etapa 2: Construindo o instrumento de coleta de dados Que medidas vamos coletar para validar ou refutar nossa(s) hiptese(s)?

Envergadura dos braos; altura; largura dos ombros; nmero do cala-

do, permetro ceflico, gnero, entre outras. Definidas as variveis de-

vemos decidir como vamos mensur-las, definido os instrumentos de

coleta de dados, que podem ser rgua, ita mtrica, questionrio etc. Etapa 3: Coletando os dados Nesse encontro, junto com os alunos, levante os dados. Para isso

mea a altura, o permetro ceflico etc., como mostra as duas

primeiras fotografias da Figura 1.

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Coleo UESC-Escola consCincia

Etapa 4: Organizando os dados Para organizar os dados, construa um cartaz contento a Planilha de

dados em papel pardo e afixe na parede, para que cada aluno

preencha seus dados, como mostra a terceira fotografia da Figura 1.

Figura 1 Coletando e registrando os dados dos alunos do Colgio

Estadual Eduardo Catalo, de Ilhus. Fonte: Acervo da pesquisa do AVALE

Etapa 5: Trabalhando com os procedimentos estatsticos Clculo de medidas e construo de tabelas e grficos. Por exemplo,

para trabalhar as medidas de tendncia central (mdia, mediana e

moda) e disperso (amplitude total, varincia e desvio padro), po-

demos utilizar o dotplot humano, dotplot no papel e diagrama da

caixa (boxplot); para covariao o diagrama de disperso e modela-

gem matemtica, assim como o clculo e interpretao dessas me-

didas estatsticas. Nas fotos a seguir ilustramos o dotplot humano

(Figura 2 e 3) e no papel (Figura 4). Construindo o dotplot humano Para formar o dotplot humano da altura dos alunos, pea que faam

uma fila do mais alto ao mais baixo. Caso dois ou mais alunos

tenham a mesma altura, pea que formem uma fila transversal. Para calcular a mediana basta pedir ao aluno que est na posio

central que d um passo frente (no caso do nmero de alunos ser

mpar). No nosso exemplo, tnhamos 25 alunos, logo a mediana foi a

estatura do aluno que estava ocupando o 13 lugar. Neste caso, a

garota que est frente da fila (Figura 2). No caso do dotplot humano do calado, pea aos alunos que formem

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A Estatstica vai Escola

ilas segundo o nmero do calado, do maior para o menor (Figura 3).

Figura 2 - Dotplot humano

para a altura dos alunos da

Escola Estadual Eduardo

Catalo, de Ilhus.

Figura 3 - Dotplot do Figura 4 - Aluno construindo

nmero do calado o dotplot no papel. dos alunos do Colgio

Estadual Menandro

Minahin, de Una.

Construindo o dotplot no papel Tambm podemos construir malhas que facilitem a construo de

grficos de barras, de linhas e o dotplot, bem como planilhas que fa-

cilitem o clculo das medidas. Na Figura 5 apresentamos o dotplot

no qual utilizamos crculos para as meninas e X para os meninos. O

mesmo procedimento pode ser feito com as outras variveis.

Figura 5. Dotplot para a altura, por gnero (Legenda: crculo = meninas, X = meninos).

Construindo o dot-boxplot no papel Professor, aproveite o dotplot construdo no papel (Figura 5) e so-

licite aos alunos que desenhem um retngulo em que as laterais

correspondam aos valores do 1 e 3 quartis. No interior do

retngulo, eles devem traar um segmento vertical, correspondente

mediana. Alm disso, os alunos devem calcular a amplitude

interquartlica (AI) e os bigodes inferior e superior. Como temos 25

dados, a mediana ocupar o 13 lugar ((n+1)/2) e seu valor ser 173

cm.

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Coleo UESC-Escola consCincia

Para encontrar os quartis, sendo 25 um nmero mpar, ao dividir por

quatro tem resto um, logo, a posio do primeiro quartil (Q1),

obtida por (n-1)/4, neste caso, 24/4 = 6. Assim, Q1 estar entre o 6 e

7 lugares, e seu valor ser a mdia dos valores que ocupam essas

posies (163 e 165). No caso do terceiro quartil (Q3), multiplicamos

(n-1) por e adicionamos um, logo Q3 estar entre as posies 19

e 20, e seu valor ser a mdia dos valores que ocupam essas posies (178 e 178), ver diagrama na pgina 45. Para completar, devemos examinar se existem alturas que fiquem abaixo

ou acima dos bigodes, respectivamente. Caso existam, essas alturas

sero consideradas valores discrepantes (outliers), e os bigodes sero

traados no ltimo valor que no outlier. Caso no existam valores

outliers, ento os bigodes coincidem com os valores mnimo e mximo.

Finalizamos, assim, a construo do dotplot com o diagrama de caixa

(boxplot), que denominamos de dot-boxplot (Figura 6). Maiores detalhes

ver tutorial do Homem Vitruviano no site do AVALE. Figura 6. Dot-boxplot para a altura por gnero (Legenda: crculo = meninas, X = meninos). Construindo o diagrama de disperso bivariado Para responder pergunta de pesquisa, se a altura igual enverga-

dura dos braos, recomendamos construir o diagrama de disperso

bivariado. Para isso, entregue aos alunos uma folha com uma malha

e decidam coletivamente a varivel a ser colocada em cada eixo. No

exemplo da Figura 7, escolhemos a Altura, na abscissa (X), e Enver-

gadura dos Braos, na ordenada (Y). interessante lembrar que estamos construindo no plano cartesiano e

que vamos registrar pares ordenados, em que x representa um valor da

abscissa e y, um valor da ordenada. Portanto, cada ponto representa as

medidas de altura e envergadura de cada aluno. Recomendamos utilizar

cores ou formatos diferentes, para distinguir os meninos das meninas.

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n = 4k n/4 n/4 um elemento n/4 n/4

+ 1

n = 25 6 6 1 6 6

Frmula Q1 = (x6 + x7)/2 Q2 = x13 Q3 = (x19 + x20)/2

Posio (n-1)/4 e o prximo (n+1)/2 (3(n-1)/4)+1 e o prximo

F M F M F F F F F F F F F F M M M M M M M M M M M

15

7

161

162

16

2

16

3

163

165

16

6

16

6

166

16

9

170

173

17

3

17

3

17

3

174

17

6

178

178

17

9

17

9

18

0

18

0

18

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

25% 25% 25% 25%

6 dados 6 dados 6 dados 6 dados

Q1 = (X6 + X7)/2 Q2 = (X13) Q3 = (X19 + X20)/2

Q1 = (163 + 165)/2 Q2 = 173 Q3 = (178 + 178)/2

Q1 = 164 Md = 173 Q3 = 178

AI = 178 164 = 14

bigode inferior bigode superior

Q1 1,5AI = 164 21 = 143 Q3 + 1,5AI = 178 + 21 = 199

A

Esta

tstica v

ai

Esco

la

Coleo UESC-Escola consCincia

Professor, observe que, na

construo do diagrama de

disperso, poderemos estar

associando alunos com a

mesma altura, mas com en-

vergaduras diferentes. Isso

ocorreu no exemplo, em que

trs alunas tinham 166 cm de

altura, mas envergaduras

iguais a 164, 159 e 167 cm,

respectivamente (Figura 7). Essa relao entre a altura e a

envergadura dos braos no

se configura em uma funo

matemtica, uma vez que o

conjunto domnio formado por indivduos diferentes com mesma altura (mesmo valor em X) e en-

vergaduras diferentes (imagens diferentes). Em uma funo matemti-

ca, cada valor no domnio nico e tem apenas uma imagem. Para verificar a adequao da formulao de Vitruvius, que afirma

que a altura igual envergadura dos braos, traamos a reta da

funo matemtica Y = X. Agora, analisemos a nuvem de pontos.

Caso os pontos estejam prximos da reta, esta funo matemtica

representa uma boa aproximao da tendncia dessa relao (Figura

11, pgina 48). A variao que existe entre o valor observado da

envergadura e o valor estimado pela funo para uma determinada

altura o que denominamos de erro aleatrio. Essa variao

inerente aos fenmenos que permeiam nosso cotidiano. Outra forma de verificar a adequao dessa modelagem, calcular a

razo entre a altura e a envergadura de cada aluno e analisar, de

uma forma geral, se os valores esto prximos de um. Este tipo de

verificao intuitiva

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Figura 7. Relao entre a altura e a enver-gadura dos braos, por gnero, feito a mo.

A Estatstica vai Escola

No ambiente virtual Etapa 6: Potencializando as anlises no AVALE No laboratrio de informtica, os alunos so apresentados ao AVALE,

realizam seu cadastro e entram no sistema (esse cadastro j foi apre-

sentado na Figura 4 da pgina 20). Uma entrada de dados personali-

zada gerada, on-line; nela cada aluno digita seus dados e os envia ao

sistema (Figura 8). Nesse momento, o sistema alimenta uma planilha

com os dados de todos os alunos da turma, disponibilizando-a, em tempo real (Figura 9).

Figura 8. Tela de entrada dos dados personalizada na SE do HV. Figura 9. Fragmento da planilha de dados personalizada na SE do HV. Com os dados cadastrados, os alunos podem refazer todos os clcu-

los e/ou grficos j realizados no ambiente papel e lpis. Para isso, o

AVALE disponibiliza as estatsticas (Figura 10) e os grficos (Figura

11), minimizando esforo e potencializando a aprendizagem.

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Variveis Mdia Mediana DP CV mnimo Mximo AT Antebrao 45.88 46 2.66 5.79 41 51 10

Brao 34.32 35 1.97 5.75 31 37 6

Altura 170.80 173 7.23 4.23 157 184 27

Envergadura 170.44 170 7.62 4.47 155 187 32

Permetro 55.56 56 1.77 3.18 53 58 5

Palma aberta 20.92 21 1.72 8.22 17 24 7

Calado 38.92 39 2.21 5.67 35 43 8 Figura 10. Medidas estatsticas das variveis estudadas no HV, geradas pelo AVALE.

Figura 11 - Grficos gerados no AVALE para a atividade do HV.

As fotos abaixo mostram o trabalho desenvolvido com os alunos da

Escola Catalo e com os professores da especializao da UESC.

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A Estatstica vai Escola

Etapa 7: Comunicando os resultados Nas fotografias a seguir, observamos os professores-alunos da Espe-

cializao em Ensino de Cincias e Matemtica e alunos da Escola

Estadual Eduardo Catalo comunicando os resultados e defendendo

suas hipteses, bem como o processo de institucionalizao

(formalizao) dos contedos envolvidos nesta SE.

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