O HOMEM VITRUVIANO
Cludia Borim da Silva Irene Cazorla
Vernica Yumi Kataoka O Homem Vitruviano uma sequncia de
ensino que tem como objetivo analisar os
padres das relaes que se estabelecem
entre as variveis estatsticas.
Objetivos especficos Analisar os padres das relaes que se estabelecem entre as vari-
veis estatsticas. Apresentar uma noo intuitiva de modelagem. Vivenciar fisicamente as medidas de posio. Contedos Grficos: diagrama de pontos (dotplot), diagrama da caixa
(boxplot), diagrama de disperso bivariado. Medidas de posio: quartis. Valores discrepantes (outliers). Erro aleatrio. Medidas de disperso: amplitude total, amplitude interquartlica. Tempo estimado 8 horas-aula. Materiais Reportagens sobre Leonardo da Vinci, Homem Vitruviano e medi-
das antropomtricas. Cartaz em papel madeira com planilha para registrar os dados. Malhas para construo dos grficos em papel A4. Lpis de cor.
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A Estatstica vai Escola
Calculadora. Rgua de 30 e 50 cm. 1 ita mtrica utilizada para costura. 2 itas mtricas de dois metros, construdas em papel madeira. Fita crepe ou adesiva. Fita mtrica gigante, construda em papel-madeira para realizar o
dotplot humano da altura. O ideal que cada unidade tenha pelo
menos 20 cm de comprimento para que os alunos possam ficar en-
fileirados. Se seus alunos medem de 150 a 190cm, isto , h 40 cm de
diferena, ento a ita mtrica gigante medir oito (8) metros. Fita mtrica gigante construda em papel madeira, para ajustar o
dotplot humano do nmero do calado. O ideal que cada unidade
tenha pelo menos 20 cm, para que os alunos possam ficar enfileira-
dos. Se seus alunos calam de 34 a 44, h 10 nmeros de diferena,
ento a ita mtrica gigante medir dois (2) metros.
No ambiente papel e lpis No ambiente papel e lpis, as atividades percorrem oito etapas: Etapa 1: Contextualizando e formulando a pergunta da pesquisa Neste caso estamos investigando a harmonia nas diversas partes do
corpo humano, como por exemplo, ser que a altura igual enver-
gadura dos braos conforme postulado por Leonardo da Vinci? Etapa 2: Construindo o instrumento de coleta de dados Que medidas vamos coletar para validar ou refutar nossa(s) hiptese(s)?
Envergadura dos braos; altura; largura dos ombros; nmero do cala-
do, permetro ceflico, gnero, entre outras. Definidas as variveis de-
vemos decidir como vamos mensur-las, definido os instrumentos de
coleta de dados, que podem ser rgua, ita mtrica, questionrio etc. Etapa 3: Coletando os dados Nesse encontro, junto com os alunos, levante os dados. Para isso
mea a altura, o permetro ceflico etc., como mostra as duas
primeiras fotografias da Figura 1.
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Coleo UESC-Escola consCincia
Etapa 4: Organizando os dados Para organizar os dados, construa um cartaz contento a Planilha de
dados em papel pardo e afixe na parede, para que cada aluno
preencha seus dados, como mostra a terceira fotografia da Figura 1.
Figura 1 Coletando e registrando os dados dos alunos do Colgio
Estadual Eduardo Catalo, de Ilhus. Fonte: Acervo da pesquisa do AVALE
Etapa 5: Trabalhando com os procedimentos estatsticos Clculo de medidas e construo de tabelas e grficos. Por exemplo,
para trabalhar as medidas de tendncia central (mdia, mediana e
moda) e disperso (amplitude total, varincia e desvio padro), po-
demos utilizar o dotplot humano, dotplot no papel e diagrama da
caixa (boxplot); para covariao o diagrama de disperso e modela-
gem matemtica, assim como o clculo e interpretao dessas me-
didas estatsticas. Nas fotos a seguir ilustramos o dotplot humano
(Figura 2 e 3) e no papel (Figura 4). Construindo o dotplot humano Para formar o dotplot humano da altura dos alunos, pea que faam
uma fila do mais alto ao mais baixo. Caso dois ou mais alunos
tenham a mesma altura, pea que formem uma fila transversal. Para calcular a mediana basta pedir ao aluno que est na posio
central que d um passo frente (no caso do nmero de alunos ser
mpar). No nosso exemplo, tnhamos 25 alunos, logo a mediana foi a
estatura do aluno que estava ocupando o 13 lugar. Neste caso, a
garota que est frente da fila (Figura 2). No caso do dotplot humano do calado, pea aos alunos que formem
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A Estatstica vai Escola
ilas segundo o nmero do calado, do maior para o menor (Figura 3).
Figura 2 - Dotplot humano
para a altura dos alunos da
Escola Estadual Eduardo
Catalo, de Ilhus.
Figura 3 - Dotplot do Figura 4 - Aluno construindo
nmero do calado o dotplot no papel. dos alunos do Colgio
Estadual Menandro
Minahin, de Una.
Construindo o dotplot no papel Tambm podemos construir malhas que facilitem a construo de
grficos de barras, de linhas e o dotplot, bem como planilhas que fa-
cilitem o clculo das medidas. Na Figura 5 apresentamos o dotplot
no qual utilizamos crculos para as meninas e X para os meninos. O
mesmo procedimento pode ser feito com as outras variveis.
Figura 5. Dotplot para a altura, por gnero (Legenda: crculo = meninas, X = meninos).
Construindo o dot-boxplot no papel Professor, aproveite o dotplot construdo no papel (Figura 5) e so-
licite aos alunos que desenhem um retngulo em que as laterais
correspondam aos valores do 1 e 3 quartis. No interior do
retngulo, eles devem traar um segmento vertical, correspondente
mediana. Alm disso, os alunos devem calcular a amplitude
interquartlica (AI) e os bigodes inferior e superior. Como temos 25
dados, a mediana ocupar o 13 lugar ((n+1)/2) e seu valor ser 173
cm.
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Para encontrar os quartis, sendo 25 um nmero mpar, ao dividir por
quatro tem resto um, logo, a posio do primeiro quartil (Q1),
obtida por (n-1)/4, neste caso, 24/4 = 6. Assim, Q1 estar entre o 6 e
7 lugares, e seu valor ser a mdia dos valores que ocupam essas
posies (163 e 165). No caso do terceiro quartil (Q3), multiplicamos
(n-1) por e adicionamos um, logo Q3 estar entre as posies 19
e 20, e seu valor ser a mdia dos valores que ocupam essas posies (178 e 178), ver diagrama na pgina 45. Para completar, devemos examinar se existem alturas que fiquem abaixo
ou acima dos bigodes, respectivamente. Caso existam, essas alturas
sero consideradas valores discrepantes (outliers), e os bigodes sero
traados no ltimo valor que no outlier. Caso no existam valores
outliers, ento os bigodes coincidem com os valores mnimo e mximo.
Finalizamos, assim, a construo do dotplot com o diagrama de caixa
(boxplot), que denominamos de dot-boxplot (Figura 6). Maiores detalhes
ver tutorial do Homem Vitruviano no site do AVALE. Figura 6. Dot-boxplot para a altura por gnero (Legenda: crculo = meninas, X = meninos). Construindo o diagrama de disperso bivariado Para responder pergunta de pesquisa, se a altura igual enverga-
dura dos braos, recomendamos construir o diagrama de disperso
bivariado. Para isso, entregue aos alunos uma folha com uma malha
e decidam coletivamente a varivel a ser colocada em cada eixo. No
exemplo da Figura 7, escolhemos a Altura, na abscissa (X), e Enver-
gadura dos Braos, na ordenada (Y). interessante lembrar que estamos construindo no plano cartesiano e
que vamos registrar pares ordenados, em que x representa um valor da
abscissa e y, um valor da ordenada. Portanto, cada ponto representa as
medidas de altura e envergadura de cada aluno. Recomendamos utilizar
cores ou formatos diferentes, para distinguir os meninos das meninas.
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n = 4k n/4 n/4 um elemento n/4 n/4
+ 1
n = 25 6 6 1 6 6
Frmula Q1 = (x6 + x7)/2 Q2 = x13 Q3 = (x19 + x20)/2
Posio (n-1)/4 e o prximo (n+1)/2 (3(n-1)/4)+1 e o prximo
F M F M F F F F F F F F F F M M M M M M M M M M M
15
7
161
162
16
2
16
3
163
165
16
6
16
6
166
16
9
170
173
17
3
17
3
17
3
174
17
6
178
178
17
9
17
9
18
0
18
0
18
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
25% 25% 25% 25%
6 dados 6 dados 6 dados 6 dados
Q1 = (X6 + X7)/2 Q2 = (X13) Q3 = (X19 + X20)/2
Q1 = (163 + 165)/2 Q2 = 173 Q3 = (178 + 178)/2
Q1 = 164 Md = 173 Q3 = 178
AI = 178 164 = 14
bigode inferior bigode superior
Q1 1,5AI = 164 21 = 143 Q3 + 1,5AI = 178 + 21 = 199
A
Esta
tstica v
ai
Esco
la
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Professor, observe que, na
construo do diagrama de
disperso, poderemos estar
associando alunos com a
mesma altura, mas com en-
vergaduras diferentes. Isso
ocorreu no exemplo, em que
trs alunas tinham 166 cm de
altura, mas envergaduras
iguais a 164, 159 e 167 cm,
respectivamente (Figura 7). Essa relao entre a altura e a
envergadura dos braos no
se configura em uma funo
matemtica, uma vez que o
conjunto domnio formado por indivduos diferentes com mesma altura (mesmo valor em X) e en-
vergaduras diferentes (imagens diferentes). Em uma funo matemti-
ca, cada valor no domnio nico e tem apenas uma imagem. Para verificar a adequao da formulao de Vitruvius, que afirma
que a altura igual envergadura dos braos, traamos a reta da
funo matemtica Y = X. Agora, analisemos a nuvem de pontos.
Caso os pontos estejam prximos da reta, esta funo matemtica
representa uma boa aproximao da tendncia dessa relao (Figura
11, pgina 48). A variao que existe entre o valor observado da
envergadura e o valor estimado pela funo para uma determinada
altura o que denominamos de erro aleatrio. Essa variao
inerente aos fenmenos que permeiam nosso cotidiano. Outra forma de verificar a adequao dessa modelagem, calcular a
razo entre a altura e a envergadura de cada aluno e analisar, de
uma forma geral, se os valores esto prximos de um. Este tipo de
verificao intuitiva
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Figura 7. Relao entre a altura e a enver-gadura dos braos, por gnero, feito a mo.
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No ambiente virtual Etapa 6: Potencializando as anlises no AVALE No laboratrio de informtica, os alunos so apresentados ao AVALE,
realizam seu cadastro e entram no sistema (esse cadastro j foi apre-
sentado na Figura 4 da pgina 20). Uma entrada de dados personali-
zada gerada, on-line; nela cada aluno digita seus dados e os envia ao
sistema (Figura 8). Nesse momento, o sistema alimenta uma planilha
com os dados de todos os alunos da turma, disponibilizando-a, em tempo real (Figura 9).
Figura 8. Tela de entrada dos dados personalizada na SE do HV. Figura 9. Fragmento da planilha de dados personalizada na SE do HV. Com os dados cadastrados, os alunos podem refazer todos os clcu-
los e/ou grficos j realizados no ambiente papel e lpis. Para isso, o
AVALE disponibiliza as estatsticas (Figura 10) e os grficos (Figura
11), minimizando esforo e potencializando a aprendizagem.
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Variveis Mdia Mediana DP CV mnimo Mximo AT Antebrao 45.88 46 2.66 5.79 41 51 10
Brao 34.32 35 1.97 5.75 31 37 6
Altura 170.80 173 7.23 4.23 157 184 27
Envergadura 170.44 170 7.62 4.47 155 187 32
Permetro 55.56 56 1.77 3.18 53 58 5
Palma aberta 20.92 21 1.72 8.22 17 24 7
Calado 38.92 39 2.21 5.67 35 43 8 Figura 10. Medidas estatsticas das variveis estudadas no HV, geradas pelo AVALE.
Figura 11 - Grficos gerados no AVALE para a atividade do HV.
As fotos abaixo mostram o trabalho desenvolvido com os alunos da
Escola Catalo e com os professores da especializao da UESC.
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Etapa 7: Comunicando os resultados Nas fotografias a seguir, observamos os professores-alunos da Espe-
cializao em Ensino de Cincias e Matemtica e alunos da Escola
Estadual Eduardo Catalo comunicando os resultados e defendendo
suas hipteses, bem como o processo de institucionalizao
(formalizao) dos contedos envolvidos nesta SE.
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