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14 Derivadas Parciais
James Stewart – Cálculo – Volume 2
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14.5 A Regra da Cadeia
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A Regra da Cadeia
Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma
função de uma única variável nos dava uma regra para
derivar uma função composta: se y = f (x) e x = g (t), com f e g
funções diferenciáveis, então y é uma função indiretamente
diferenciável de t e
Para as funções de mais de uma variável, a Regra
da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas
fornecendo uma regra de diferenciação de uma função
composta.
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A Regra da Cadeia
A primeira versão (Teorema 2) lida com o caso em
que z = f (x, y) e cada uma das variáveis x e y é uma função
de t.
Isso significa que z é indiretamente uma função de t,
z = f (g (t), h (t)), e a Regra da Cadeia permite obter uma
fórmula para diferenciar z como uma função de t, desde
que f seja uma função diferenciável.
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A Regra da Cadeia
Lembre-se de que este é o caso quando fx e fy são
contínuas.
Como frequentemente escrevemos ∂z/∂x no lugar de ∂ f /∂x,
podemos reescrever a Regra da Cadeia na forma
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Exemplo 1
Se z = x2y + 3xy4, com x = sen 2t e y = cos t, determine
dz/dt quando t = 0.
Solução: A Regra da Cadeia fornece
Não é necessário substituir as expressões de x e y em
função de t.
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Exemplo 1 – Solução
Nós simplesmente observamos que quando t = 0,
temos x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Portanto,
continuação
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A Regra da Cadeia
Vamos considerar agora a situação em que z=f (x, y),
mas x e y são funções de outras duas variáveis s e t:
x = g(s, t), y = h(s, t).
Então z é indiretamente uma função de s e t e
desejamos determinar ∂z /∂s e ∂z /∂t.
Lembre-se de que para calcular ∂z /∂t mantemos s fixo e
calculamos a derivada ordinária de z em relação a t.
Portanto, aplicando o Teorema 2, obtemos
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A Regra da Cadeia
Argumento análogo serve para ∂z /∂s, e assim
demonstramos a seguinte versão da Regra da Cadeia.
O Caso 2 da Regra da Cadeia contém três tipos de
variáveis: s e t são as variáveis independentes, x e y são
chamadas variáveis intermediárias e z é a variável
dependente.
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A Regra da Cadeia
Observe que o Teorema 3 tem um termo para cada
variável intermediária e que cada um desses termos se
assemelha à Regra da Cadeia unidimensional na
Equação 1.
Para lembrar a Regra da Cadeia, é útil desenhar o
diagrama em árvore da Figura 2.
Figura 2
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A Regra da Cadeia
Desenhamos os ramos da árvore saindo da variável
dependente z para as variáveis intermediárias x e y a fim de
indicar que z é uma função de x e y. Então, desenhamos os
ramos saindo de x e y para as variáveis independentes s e
t.
Em cada ramo indicamos a derivada parcial
correspondente. Para determinar ∂z /∂s, nós determinamos
o produto das derivadas parciais ao longo de cada
caminho de z a s e somamos esses produtos:
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A Regra da Cadeia
Da mesma forma, para determinar ∂z /∂t usamos os
caminhos de z a t.
Consideremos agora a situação mais geral, na qual
a variável dependente u é uma função de n variáveis
intermediárias x1, …, xn, cada uma das quais, por seu turno,
é função de m variáveis independentes t1,…, tm.
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Diferenciação Implícita
A Regra da Cadeia pode ser usada para dar uma
descrição mais completa do processo de diferenciação
implícita.
Suponha que uma equação da forma F (x,y)=0 defina
y implicitamente como uma função diferenciável de x, isto
é, y = f (x), em que F (x, f (x)) = 0 para todo x no domínio de f.
Se F é diferenciável podemos aplicar o Caso 1 da
Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da
equação F (x, y) = 0 com relação a x, obtendo
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Diferenciação Implícita
No entanto, dx /dx = 1. Assim, se ∂F /∂y ≠ 0 obtemos
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Diferenciação Implícita
Para derivar a equação F (x,y)=0 em relação a x,
fizemos a suposição de que ela define y implicitamente
como função de x.
O Teorema da Função Implícita fornece condições
sob as quais essa suposição é válida. Esse teorema afirma
que se F é definida em um bola aberta contendo (a, b), em
que F (a,b) = 0, Fy(a, b) ≠ 0 e Fx e Fy são funções contínuas
nessa bola, então a equação F (x, y) = 0 define y como uma
função de x perto do ponto (a, b) e a derivada dessa função
é dada pela Equação 6.
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Exemplo 8
Determine y se x3 + y3 = 6xy.
Solução: A equação dada pode ser escrita como
F (x, y) = x3 + y3 – 6xy = 0
e, dessa forma, a Equação 6 nos dá
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Diferenciação Implícita
Suponha agora que z é dado implicitamente como
uma função z = f (x, y) por uma equação da forma
F (x, y, z) = 0.
Isso significa que F (x, y, f (x, y)) = 0 para todo (x, y) no
domínio de f. Se F e f forem diferenciáveis, utilizamos a
Regra da Cadeia para derivar a equação F (x, y, z) = 0 da
seguinte forma:
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Diferenciação Implícita
Mas, e
portanto, essa equação se torna
Se ∂F /∂z ≠ 0, resolvemos para ∂z /∂x e obtemos a
primeira fórmula nas Equações 7.
A fórmula para ∂z /∂y é obtida de maneira
semelhante.
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Diferenciação Implícita
Novamente, uma versão do Teorema da Função
Implícita estipula condições sob as quais nossa suposiçao
é válida: se F é definida dentro de uma esfera contendo o
ponto (a, b, c), em que F (a, b, c) = 0, Fz (a, b, c) ≠ 0 e Fx, Fy e
Fz são contínuas na esfera, então a equação F (x, y, z) = 0
define z como uma função de x e y perto do ponto (a, b, c), e
as derivadas parciais dessa função são dadas por .
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Exercícios recomendados
14.5: 1 ao 16, 21 ao 26, 35, 36, 37.
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14.6 Derivadas Direcionais
e o Vetor Gradiente
Nesta seção, estudaremos um tipo de derivada, chamada
derivada direcional, que nos permite encontrar a taxa de
variação de uma função de duas ou mais variáveis em
qualquer direção.
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22
Derivadas Direcionais
Lembremo-nos de que, se z = f (x, y), as derivadas
parciais fx e fy são definidas como
e representam as taxas de variação de z nas direções x e y,
ou seja, na direção dos vetores unitários i e j.
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Derivadas Direcionais
Suponha que queiramos determinar a taxa de
variação de z em (x0, y0) na direção de um vetor unitário
arbitrário u = a, b. Para fazê-lo, devemos considerar a
superfície S com equação z = f (x, y) e tomar z0 = f (x0, y0).
Então o ponto P(x0, y0, z0) está em S.
Figura 2
Um vetor unitário u = a, b = cos , sen
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24
Derivadas Direcionais
O plano vertical que passa por P na direção de u
intercepta S em uma curva C, como ilustrado na Figura 3.
Figura 3
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25
Derivadas Direcionais
A inclinação da reta tangente T a C em P é a taxa de
variação de z na direção de u. Se Q(x, y, z) é outro ponto
em C e P, Q são as projeções de P, Q sobre o plano xy,
então o vetor é paralelo a u e, portanto
= hu = ha, hb
para alguma escalar h.
Logo, x – x0 = ha, y – y0 = hb, portanto,
x = x0 + ha, y = y0 + hb, e
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26
Derivadas Direcionais
Se tomarmos o limite quando h 0, obteremos a
taxa de variação de z na direção de u, que é chamada
derivada direcional de f na direção de u.
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27
Derivadas Direcionais
Comparando a Definição 2 com as Equações ,
vemos que, se u=i=1, 0, então Dif = fx e se u=j =0, 1, então Djf = fy. Em outras palavras as derivadas parciais de
f em relação às variáveis x e y são apenas casos especiais
da derivada direcional.
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Derivadas Direcionais
Quando calculamos a derivada direcional de uma
função definida por uma fórmula, geralmente usamos o
seguinte teorema.
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29
Derivadas Direcionais
Se o vetor unitário u faz um ângulo com o eixo x positivo
(como na Figura 2), então podemos escrever
u = cos , sen e a fórmula do Teorema 3 fica
Duf (x, y) = fx(x, y) cos + fy(x, y) sen
Figura 2
Um vetor unitário u = a, b = cos , sen
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Os Vetores Gradientes
Observe no Teorema 3 que a derivada direcional de
uma função diferenciável pode ser escrita como o produto
escalar de dois vetores:
Duf (x, y) = fx(x, y)a + fy(x, y)b
= fx(x, y), fy(x, y) a, b
= fx(x, y), fy(x, y) u
O vetor à esquerda no produto escalar acima ocorre não
somente no cálculo da derivada direcional, mas também
em muitas outras situações. Por isso ele tem um nome
especial (o gradiente de f ) e uma notação especial (grad f
ou f).
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Os Vetores Gradientes
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Exemplo 3
Se f (x, y) = sen x + exy, então
f (x, y) = fx, fy = cos x + yexy, xexy
e f (0, 1) = 2, 0
Com essa notação de vetor gradiente, podemos
reescrever a Equação 7 para a derivada direcional de uma
função diferenciável como
Isso expressa a derivada direcional na direção de u como
a projeção escalar do vetor gradiente em u.
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33
Funções de Três Variáveis
Para as funções de três variáveis podemos definir
derivadas direcionais de maneiraodo semelhante.
Novamente Duf (x, y, z) pode ser interpretado como a taxa
de variação da função na direção de um vetor unitário u.
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Funções de Três Variáveis
Se usarmos notação vetorial, podemos escrever
tanto a definição (2) quanto a definição (10) da derivada
direcional na forma compacta
em que x0 = x0, y0 se n = 2 e x0 = x0, y0, z0 se n = 3.
Isso era esperado, porque a equação vetorial da
reta que passa por x0 na direção do vetor u é dada por
x = x0 + t u, e, portanto, f (x0 + hu) representa o valor de f em
um ponto dessa reta.
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Funções de Três Variáveis
Se f (x, y, z) for diferenciável e u = a, b, c, então
Duf (x, y, z) = fx(x, y, z)a + fy(x, y, z)b + fz(x, y, z)c
Para uma função f de três variáveis, o vetor gradiente,
denotado por f ou grad f, é
f (x, y, z) = fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)
ou, de modo mais abreviado,
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Funções de Três Variáveis
De maneira similar às funções de duas variáveis, a
Fórmula 12 para a derivada direcional pode ser reescrita
como o produto escalar do vetor gradiente com o vetor que
define a direção da derivada.
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Exemplo 5
Se f (x, y, z) = x sen yz,
(a) determine o gradiente de f e
(b) determine a derivada direcional de f em (1, 3, 0) na
direção de v = i + 2 j – k.
Solução:
(a) O gradiente de f é
f (x, y, z) = fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)
= sen yz, xz cos yz, xy cos yz
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Exemplo 5 – Solução
(b) No ponto (1, 3, 0) temos f (1, 3, 0) = 0, 0, 3. O vetor
unitário na direção de v = i + 2 j – k é
Portanto, a Equação 14, vem
Duf (1, 3, 0) = f (1, 3, 0) u
continuação