Modelos Discretos. Considere a sequência do número de peças de dominó apresentada na figura...
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Modelos Discretos
Modelos DiscretosConsidere a sequência do número de peças de dominó apresentada na figura seguinte:
A regra de construção desta sequência pode ser definida a partir da seguinte tabela.
Modelos Discretos
Estamos perante uma sequência de números que obedece a uma determinada lei.
Portanto, existe uma correspondência entre o número da fila e o número de peças de dominó.
n Nº de peças
1º Fila 1 1
2º Fila 2 3
3º Fila 3 5
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d3 = 5 = 1+2x2
d4 = 7 = 1+2x3
dn = 1+ 2(n-1)
d2 = 3 = 1+2
d1 = 1
……........ ……..
Modelos Discretos
A expressão que melhor modela a situação dada é:
y = 1+2(n-1).
O exemplo dado é uma função de domínio IN , ou seja, é uma função real de variável natural, que designamos por (dn) e que definimos do seguinte modo:
dn : IN IR
dn = 2n - 1
2n -1é o termo gerador da sequência ou termo geral.
Sucessão em IR é uma função real de variável natural.
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Visto que existe uma ordem natural pela qual são apresentados os objetos, estes designam-se por ordens e as suas respetivas imagens por termos da sucessão.
O seu gráfico não é uma linha, mas sim um conjunto de pontos isolados de coordenadas (n, dn ).
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1
3
n
nvn
22
4
11
311
v
5
7
14
344
v
2
3
4
6
13
333
v
3
5
12
322
v
Considere a sucessão de termo geral
Calcule os quatro primeiros termos:
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1
3
n
nvnVerifique se é termo da sucessão
7
8
0)1(7
)1(8)3(70
7
8
1
3
7
8
1
3
7
8
n
nn
n
n
n
nvn
7n+21-8n+8=0 7(n+1) 0 n = 13 n -1
Como 13 IN então é termo da sucessão.
É o décimo terceiro termo.
7
8
Uma sucessão (dn ) é crescente (em sentido estrito) se e só se,
para todo o n IN :
Simbolicamente:
(dn ) é crescente em sentido estrito ⇔ , n IN
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2
1
2 4 6
dn
dn+1
n n+1
1 nn dd
1 nn dd
Modelos DiscretosUma sucessão (dn) é decrescente (em sentido estrito) se e só se,
para todo o n IN :
Simbolicamente:
(dn ) é decrescente em sentido estrito ⇔ , n IN
2
1
2 4 6
dn
dn+1
n n+1
1 nn dd
1 nn dd
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)1)(2(
)2)(3()1)(4(
1
3
1)1(
3)1(1
nn
nnnn
n
n
n
nvv nn
porque o numerador é negativo e o denominador é sempre positivo.
Estude quanto à monotonia a sucessão
0)1)(2(
2
)1)(2(
62344 22
nnnn
nnnnnn
1
3
n
nvn
Uma sucessão (un ) é monótona (em sentido estrito) se e só se,
para todo o n IN, a sucessão for crescente ou decrescente (em sentido estrito).
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Uma sucessão (dn) diz-se minorada se e só se:
∃ m IR , n IN : m < dn
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2
1
2 4 6
m=1/2
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11
31
n
nvn
01
20
1
1301
1
3
nn
nn
n
n
como 2 é positivo e o denominador é sempre positivo então a condição anterior é universal.
Prove que vn > 1 n IN
Logo vn > 1 n IN
Uma sucessão (dn) diz-se majorada se e só se:
M IR , n IN : dn < M
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2
1
2 4 6
M =3
Uma sucessão (dn) é limitada se e só se for majorada e
minorada, ou seja:
∃ m, M IR , n IN : m < dn < M
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3
2
1
-1
2 4 6 8
Prove que vn é limitada
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Como vn > 1 n IN então 1 é minorante da sucessão.
A sucessão é decrescente e v1 = 2 , logo 2 é majorante da sucessão.
Podemos então afirmar que 1 < vn < 2 n IN.
Ou seja a sucessão é limitada.