ESCOLA SECUNDÁRIA DR. JOÃO LOPES DE MORAIS - MORTÁGUA12º ANO - FICHA DE TRABALHO Nº01 –Números Complexos

1. ¢¢, é o conjunto dos números complexos; i é a unidade imaginária.a) Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raí zes quartas do número complexo

i31 + , simplificando o mais possí vel as expressões obtidas.b) Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no

segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição Re (z) = - 2. Seja B a imagem geométricade z , conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Represente, no plano complexo, um triângulo[ ]AOB , de acordo com as condições enunciadas.Sabendo que a área do triângulo é 8, determine z, na forma algébrica.

(2003-2ª fase)2. ¢¢, é o conjunto dos números complexos; i é a unidade imaginária.

a) Sem recorrer à calculadora, determine,

23

)9

2()23( 32

π

π

cis

cisi +−; apresente o resultado na forma algébrica.

b) Sejam α um número real e z1 e z2 dois números complexos tais que )(e 21 παα +== ciszcisz .Mostre que z1 e z2 não podem ser ambos raí zes cúbicas de um mesmo número complexo.

(2003-1ª fase-2ª cham)

3. Em ¢¢,, conjunto dos números complexos, considere izcisziz +−==−= 1e4

52,22 321π .

a) Sem recorrer à calculadora, determine2

1

zz

apresentando o resultado na forma algébrica.

b) Escreva uma condição em ¢¢, que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagemgeométrica de z1 e que passa na imagem geométrica de z3. (2003-1ª fase-1ª cham)

4. Em ¢¢,, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1 + i (i designa a unidade imaginária).a) Determine os números reais b e c para os quais z1 é raiz do polinómio cbxx ++2 .b) Seja αcisz =2 . Calcule o valor de α, pertencente ao intervalo [ ]π2,0 , para o qual 21 zz × é um

número real negativo ( 2z designa o conjugado de z2). (2002-2ª fase)

5. De dois números complexos z1 e z2 sabe-se que um argumento de z1 é 3π e o módulo de z2 é 4.

a) Sejai

iw +−=

1 . Justifique que w é diferente de z1 e de z2 .

b) z1 e z2 são duas das raí zes quartas de um certo número complexo z. Sabendo que, no plano complexo, aimagem de z2 pertence ao segundo quadrante, determine z2 na forma algébrica.

(2002-1ª fase-2ª cham)

6. Em ¢¢,, considere os números complexos: π432e1 21 cisziz =+= .

a) Verifique que z1 e z2 são raí zes quartas de um mesmo número complexo.Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.

b) Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que A é a imagem geométrica de z1, B é a imagemgeométrica de z2 e O é a origem do referencial. Determine o perí metro do triângulo [ ]AOB .

(2002-1ª fase-1ª cham)7. Em ¢¢, conjunto dos números complexos, considere w = 2+i .

a) Determine (w-2)11(1+3i)2 na forma algébrica.

b) Averigúe se o inverso de w é, ou não, .4

32 πcis (2001-2ª fase)

8. Em ¢¢, conjunto dos números complexos, seja z1=4i.

a) No plano complexo, a imagem geométrica de z1 é um dos quatro vértices de um losango de perí metro 20,centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas imagens geométricas são osrestantes vértices do losango.

b) Sem recorrer à calculadora, resolva a equação 1

2

24

2 zzcis +=×

π .

Apresente o resultado na forma algébrica. (2001-1ª fase-2ª cham)

9. Em ¢¢, conjunto dos números complexos, seja .3

21πcisz =

a) Sem recorrer à calculadora gráfica, verifique quei

z 231 + é um imaginário puro.

b) No plano complexo, a imagem geométrica de z1 é um dos cinco vértices dopentágono regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numacircunferência centrada na origem do referencial.Defina, por meio de uma condição em ¢¢, a região sombreada, excluindo afronteira. (2001-1ª fase-1ª cham)

10.Em ¢¢, conjunto dos números complexos, considere z1 = 7+24i .a) Um certo ponto P é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raí zes quadradas de z1.

Sabendo que o ponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.

b) Seja

∈= π

παα ,

43com2 cisz . Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica

de 21 zz × . (Prova Modelo 2001)

11.Seja ¢¢ o conjunto dos números complexos, e sejam z1 e z2 dois elementos de ¢¢.

Sabe-se que: • z1 tem argumento6π ; 4

12 zz =

• A1 e A2 são as imagens geométricas de z1 e de z2, respectivamente.a) Justifique que o ângulo A1OA2 é recto (O designa a origem do referencial).b) Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição

1zz = . Sabendo que o perí metro de C é π4 , represente, na forma algébrica, onúmero complexo z1. (2000-2ª fase)

12.Considere , no plano complexo, o quadrado [ABCD]. Os pontos A e C pertencem aoeixo imaginário, e os pontos B e D pertencem ao eixo real. Estes quatro pontosencontram-se à distância de uma unidade da origem do referencial.

a) Sejam w=1-i e z=2cis2

3π . Sem recorrer à calculadora, mostre que as raí zes quartas

do complexoz

w2

têm por imagens geométricas os pontos A, B, C e D.

b) Defina por meio de uma condição em ¢¢, a circunferência inscrita no quadrado [ABCD].(2000-1ª fase-2ª cham)

13.Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do cí rculo decentro na origem do referencial e raio 1.

a) Defina, por meio de uma condição em ¢¢, a parte de A contida no segundo quadrante (excluindo os eixosdo referencial).

b) Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo

64

31πcis

i+ pertence ao conjunto A.

(2000-1ª fase-1ª cham)14.Seja ¢¢ o conjunto dos números complexos. Considere o polinómio x3-3x2+6x-4.

a) Determine analiticamente as suas raí zes em ¢¢, sabendo que uma delas é 1. Apresente-as na formaalgébrica, simplificando-as o mais possí vel.

b) Seja z um número complexo de módulo 2 e z o seu conjugado. No plano complexo, considere os pontosA e B tais que A é a imagem geométrica de z e B a imagem geométrica de z . Sabe-se que o ponto A estásituado no primeiro quadrante e que o ângulo AOB é recto (O designa a origem do referencial).

Determineiz , apresentando o resultado na forma algébrica. (2000 Prova Modelo)

15.Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas decinco números complexos: w, z1, z2, z3 e z4. Qual é o número complexo quepode ser igual a 1 - w ?(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 (2003-2ª fase)

16.Considere, em ¢¢,, a condição 14

arg03 ≥∧≤≤∧≤ zzz Reπ . Em qual das

figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por estacondição? (2003-1ª fase-2ª cham)(A) (B) (C) (D)

17.Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissectriz dosquadrantes í mpares. A imagem geométrica de w4 pertence a qual das rectas a seguir indicadas?(A) Eixo real (C) Bissectriz dos quadrantes pares(B) Eixo imaginário (D) Bissectriz dos quadrantes í mpares. (2003-1ª fase-1ª cham)

18.Na figura está representado um rectângulo, de comprimento 4 e largura 2,centrado na origem do plano complexo. Seja z um número complexoqualquer, cuja imagem geométrica está situada no interior do rectângulo.Qual dos seguintes números complexos tem também, necessariamente, a suaimagem geométrica no interior do rectângulo?

zDzCzBzA 2)()()()( 21− (2002-2ª fase)

19.Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto{ }4)Im(2|||1:| ≤≤∧−=+∈ zizzCz ?(A) (B) (C) (D)

(2002-1ª fase-2ª cham)

20.Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?0)(0||)(1)Im()(0)( =−===+ zzDzCzBzzA (2002-1ª fase-1ª cham)

21.Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens geométricas dasraí zes quadradas de 3 + 4i ?

(A) (B) (C) (D)

(2001-2ª fase)22.Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regular inscrito numa

circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixoimaginário. Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagensgeométricas das raí zes de í ndice n de um número complexo z. Qual é o valor de z ?(A) - i (B) 1 – i (C) 1 + i (D) i (2001-1ª fase-2ª cham)

23.Seja w um número complexo diferente de 0, cuja imagem geométrica, no planocomplexo, está situada no primeiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantesí mpares. Seja w o conjugado de w. Na figura estão representadas, no planocomplexo, as imagens geométricas de quatro números complexos: z1, z2, z3 e z4.

Qual deles pode ser igual aww ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 (2001-1ª fase-1ª cham)24.Seja z = y i , com { }0\IRy ∈ , um número complexo (i designa a unidade

imaginária). Qual dos quatro pontos representados na figura junta (A, B, C ou D)pode ser a imagem geométrica de z4 ?(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D

(2001 Prova Modelo)

25.Qual das seguintes condições define uma recta no plano complexo?

(A) 3 z + 2 i = 0 (B) |z – 1| = |z + i| (C) |z – 1| = 4 (D) arg(z)=2π

(2000-2ª fase)

26.Seja z um número complexo de argumento5π . Qual poderá ser um argumento do simétrico de z ?

52)(

5)(

5)(

5)( π

ππ

ππ

ππ

++−− DCBA (2000-1ª fase-2ª cham)

27.Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas,no plano complexo, das raí zes de í ndice 6 de um certo número complexo. O vértice C

é a imagem geométrica do número complexo4

32 πcis . Qual dos seguintes números

complexos tem por imagem geométrica o vértice D ?

12132)(

672)(

12132)(

672)( 66 ππππ cisDcisCcisBcisA (2000-1ª fase-1ª cham)

28.Seja ¢¢ o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Na figuraestão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco númeroscomplexos: w, z1, z2, z3 e z4. Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 i w ?(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 (2000-Prova Modelo)

ibiiazzazbibQba

zzbiaibiaNãobiabaibb

azzbiaiaibciscisciscisa

22)31;31;1).14arg21||).1322||).123).11º3)3).10

1511arg32||)6).92)3;3;4).8)86).7222)4).6232).54

5)

2;2).418|1|)2).33).242)12194 2;12

134 2;1274 2;12

4 2).1:

−+−⟨⟨∧⟨=+

⟨⟨∧⟨−−−++−+−

−=−+−

ππ

πππ

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