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UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA - FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Departamento de Engenharia Electrotécnica

Disciplina de ELECTROTECNIA TEÓRICA

ELECTROTECNIA TEÓRICA

Apontamentos Teóricos

LINHA DE TRANSMISSÃO (incompleto)

Prof. Mário Ventim Neves

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA - Faculdade de Ciências e Tecnologia - Departamento de Engenharia Electrotécnica

ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 2 -



3 - LINHA DE TRANSMISSÃO

3.1- Linha e campo electromagnético Considere-se dois condutores de geometria cilíndrica (não necessariamente de revolução), paralelos entre si. Várias geometrias são possíveis, mas na prática as formas mais usuais são (fig.1): • condutores cilíndricos iguais de raios rc , com os seus eixos à distância D (linha bifilar); • condutores cilíndricos coaxiais, o interno de raio r1 e o externo de raio interior r2 (cabo coaxial)

Com esta geometria, há uma direcção segundo a qual não há variação de geometria; toma-se essa direcção para direcção do eixo zz’. Para fenómenos não excessivamente rápidos, os campos eléctricos e magnéticos no dieléctrico entre os condutores mantêm-se assentes num plano perpendicular a zz’, fig. 2. (campos Eléctrico e Magnético Transversais, chamado modo TEM).

Para frequências suficientemente altas o comprimento de onda λ torna-se tal que λ/2 se aproxima da dimensão da distância entre condutores (fig. 3); nessa situação, uma zona de um dos condutores pode encontrar a sua carga (ou corrente) complementar mais próxima, não no outro condutor em frente, mas noutra zona mais adiante do mesmo

rc D r1

r2

Fig.1-a- Linha Bifilar Fig.1-b – Cabo Coaxial

Fig. 2 – Campos Eléctrico e Magnético Transversais (TEM) numa linha bifilar e num cabo coaxial


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 4 - condutor. O campo pode então fechar-se, não entre dois condutores, mas entre duas zonas sucessivas do mesmo condutor separadas de λ/2. Nessa altura, pode ficar assente no plano transversal apenas o campo magnético (modo TM), ou apenas o campo eléctrico (modo TE) .

Considere-se apenas o modo TEM. Associando uma coordenada z à direcção longitudinal da linha (perpendicular aos planos dos campos), define-se a corrente i(z) como sendo a corrente num dos condutores (simétrica da do outro) nessa coordenada, e a tensão u(z) como sendo a tensão entre os dois condutores, medida no plano transversal (fig.4). À corrente i(z) está associado campo magnético H e de indução B em torno dos condutores, cujo fluxo provoca, pela lei da indução e em regime variável no tempo, tensão entre os condutores; e à tensão u(z) está associado campo eléctrico E e de deslocamento D, que em regime variável causa corrente entre os condutores. Por isso, vai haver uma interdependência entre as variações no tempo e no espaço da tensão e da corrente. 3.2- Equações diferenciais da linha em modo TEM No que se segue, considera-se que a tensão e a corrente variam no espaço e no tempo: u= u(z,t), e i= i(z,t). Para não sobrecarregar a notação, nem sempre será explicitada a variação com as duas coordenadas, que fica subentendida. 3.2.1 Variação da corrente Considere-se um troço de comprimento elementar Δz, situado na coordenada z. Considere-se que ao longo desse troço a tensão u(z) não varia com z: u(z)≈ u(z+Δz). Isto é, despreza-se uma variação espacial de segunda ordem da tensão. A corrente nesse troço elementar, pelo contrário, não será invariante, e isso por dois motivos:

2.1.a.) por um lado, o isolamento entre os dois condutores será em geral imperfeito, e assim haverá fuga transversal de corrente de condução entre os dois condutores (fig.5.a). Se entre os dois condutores houver, por unidade de comprimento, uma condutância G (Ω-1⋅m-1), no troço Δz haverá uma condutância total transversal G⋅Δz, através da qual fluirá uma corrente de condução transversal ΔiT(z)= G⋅Δz × u(z). Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff a uma superfície fechada que envolva o troço Δz de um condutor, virá: −i(z)+ i(z+Δz)+ ΔiT(z)=0 , ou

i(z+Δz) − i(z)= − G⋅Δz × u(z)

Fig. 3 Esboço do campo eléctrico num modo TM (o campo eléctrico não é transversal)

i(z)

i(z)

u(z) z

Fig.4 . Corrente e tensão na coordenada z, em modo TEM

i(z) i(z+Δz)

z z+Δz

u(z)

i(z) i(z+Δz)

z z+Δz

u(z)

ΔQ(z)

Fig. 5-a : corrente de condução transversal através da imperfeição do dieléctrico.

Fig. 5-b : efeito capacitivo entre condutores, que causa corrente de deslocamento


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 5 - 2.1.b ) . Por outro lado, os dois condutores separados por um dieléctrico formam um condensador (fig.5.b). Sendo C (F.m-1) a capacidade por unidade de comprimento desse condensador, o troço em causa terá uma capacidade total C⋅Δz, no qual se acumulará uma carga ⋅ΔQ(z,t)=C⋅Δz× u(z,t). Aplicando ao troço em causa a equação da conservação da carga, resulta: −i(z)+ i(z+Δz) = − ∂(ΔQ)/∂ t, ou seja,

i(z+Δz) −i(z) = − C⋅Δz⋅ ∂ u(z)/∂ t Os dois fenómenos verificam-se simultaneamente, sobrepondo-se, e assim:

i(z+Δz) − i(z)= − G⋅Δz ⋅ u(z) − C⋅Δz⋅ ∂ u(z)/∂ t ou

[i(z+Δz) − i(z)] / Δz = − G⋅ u(z) − C⋅ ∂ u(z)/∂ t

tomando o limite quando Δz →0, o primeiro membro torna-se a derivada de i em ordem à coordenada z:

∂ i / ∂ z = − G⋅ u − C⋅ ∂ u / ∂ t [3.1]

3.2.2 - Variação da tensão

Considere-se agora que é a corrente i(z) que não varia ao longo do troço de comprimento elementar Δz situado na coordenada z, isto é, despreza-se agora a variação espacial de segunda ordem da corrente. A variação da tensão nesse troço elementar obtém-se aplicando a lei da indução a um caminho fechado que acompanha tangencialmente os condutores nesse troço e se fecha entre os condutores (fig 6-a).

A soma das tensões ao longo desse caminho fechado (fig 6-a) dá :

∑ u = − u(z) +Δusup1+ u(z+Δz)+Δusup2,

onde Δusup1 e Δusup2 são as quedas de tensão medidas à superfície dos condutores 1 e 2, respectivamente, no sentido das correntes respectivas. Pelo que se viu ao estudar o efeito pelicular, as quedas de tensão superficiais têm uma componente resistiva (do tipo r.i) e uma componente indutiva (do tipo l.∂ i/∂ t) devido ao campo de indução no interior do condutor. Tomando os seguintes parâmetros por unidade de comprimento:

Rs1 [Ω⋅m-1] - resistência superficial do condutor 1, por unidade de comprimento; Li1 [H⋅m-1] - coeficiente de auto indução interno do condutor 1, por unidade de comprimento; Rs2 [Ω⋅m-1] - resistência superficial do condutor 2, por unidade de comprimento; Li2 [H⋅m-1] - coeficiente de auto indução interno do condutor 2, por unidade de comprimento,

Virá:

Δusup1 = Rs1⋅Δ z⋅ i(z) + Li1⋅Δ z⋅ ∂i(z)/∂ t Δusup2 = Rs2⋅Δ z⋅ i(z) + Li2⋅Δ z⋅ ∂i(z)/∂ t

A soma das duas quedas de tensão superficiais resulta então:

(Δusup1 +Δusup2) = (Rs1+ Rs2)⋅Δ z⋅ i(z) + (Li1+ Li2)⋅Δ z⋅ ∂i(z)/∂ t

i(z)

z z+Δz

u(z)

u(z+Δz)

i(z)

Δusup1

Δusup2

Fig.6.a – Somatório das tensões ao longo de um percurso fechado, de comprimento Δz, e que não penetra nos condutores

i(z)

i(z)Δψe(z)

Fig.6.b – Fluxo “exterior” Δψe , através da superfíciede comprimento Δz ,limitada pelo caminho fechado que não penetra nos condutores


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 6 - Fazendo:

R [Ω⋅m-1] = Rs1+ Rs2, resistência total dos dois condutores, por unidade de comprimento Li [H⋅m-1] = Li1+ Li2, coeficiente de auto indução interna total dos dois condutores, por unidade de

comprimento, virá: (Δusup1 +Δusup2) = R⋅Δ z⋅ i(z) + Li⋅Δ z⋅ ∂i(z)/∂ t, e assim:

∑ u = − u(z) + u(z+Δz)+ R⋅Δ z⋅ i(z) + Li⋅Δ z⋅ ∂i(z)/∂ t

Pela lei da indução, o somatório das tensões ao longo do caminho fechado é igual ao simétrico da derivada

temporal do fluxo de indução através da superfície apoiada no percurso (fig.6.b): ∑ u=−∂(Δψe) /∂ t.

Uma vez que o percurso usado não penetrou nos condutores, o fluxo Δψe aqui em causa é o fluxo externo, exterior

aos condutores, no troço Δz . Considerando:

Le [H⋅m-1] = coeficiente de auto indução externo, por unidade de comprimento,

virá Δψe = Le⋅Δz⋅ i(z), e a lei da indução tomará o aspecto: ∑ u=− Le⋅Δz ∂ i(z) /∂ t.

A figura 7 representa a superfície

”exterior” para a definição do fluxo

externo no caso do cabo coaxial

Substituindo em ∑ u=− Le⋅Δz ∂ i(z) /∂ t a expressão achada atrás para o somatório das tensões, resulta:

∑ u = − u(z) + u(z+Δz)+ R⋅Δ z⋅ i(z) + Li⋅Δ z⋅ ∂i(z)/∂ t = − Le⋅Δz ∂ i(z) /∂ t

donde:

u(z+Δz) − u(z) = − R⋅Δ z⋅ i(z) − (Le+ Li)⋅Δz⋅∂ i(z) /∂ t

Fazendo: L [H⋅m-1] = Le+ Li , coeficiente de auto indução total da linha por unidade de comprimento,

vem:

u(z+Δz) − u(z) = − R⋅Δ z⋅ i(z) − L⋅Δz ∂ i(z) /∂ t

[u(z+Δz) − u(z)] / Δ z = − R⋅ i(z) − L⋅∂ i(z) /∂ t

tomando o limite quando Δz →0, o primeiro membro torna-se a derivada de u em ordem à coordenada z:

∂ u / ∂ z = − R⋅ i − L⋅ ∂ i / ∂ t [3.2]

***************************************************

Fig.7 – Fluxo externo no caso do cabo coaxial


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 7 - Assim, finalmente, as equações em valores instantâneos que regem a evolução espaço-temporal da corrente e

tensão, são:

∂ i / ∂ z = − G⋅ u − C⋅ ∂ u / ∂ t ∂ u / ∂ z = − R⋅ i − L⋅ ∂ i / ∂ t [3.3]

em que os chamados parâmetros constitutivos da linha (por unidade de comprimento) são:

• G (Ω-1⋅m-1) : Condutância transversal entre condutores, por unidade de comprimento • C (F⋅m-1) : Capacidade entre condutores, por unidade de comprimento • R [Ω⋅m-1] = R1+ R2 : Resistência longitudinal total dos dois condutores, por unidade de comprimento • L [H⋅m-1] = Le+ Li = Le+ Li1+ Li2 : Coeficiente de auto indução total da linha, por unidade de comprimento.

Chama-se parâmetros transversais a C e G, e chama-se parâmetros longitudinais a R e L. Note-se que, como se viu no estudo do efeito pelicular, R e Li dependem da frequência. Do estudo dos dieléctricos se deduz que o mesmo se passa com G e C. Assim, as equações em valores instantâneos atrás apresentadas, ainda que formalmente pareçam válidas para qualquer forma de evolução temporal das grandezas, só se aplicam com rigor a uma variação sinusoidal de uma única frequência, usando os valores dos parâmetros constitutivos apropriados a essa frequência. O estudo de um regime temporal qualquer numa linha geral só pode ser feito rigorosamente por técnicas de transformadas ou de séries. Caso os condutores sejam perfeitos, é R=0 e Li=0 (o campo magnético não penetra nos condutores), vindo portanto L=Le, que não depende da frequência. E se o dieléctrico for perfeito, virá G=0 e C independente da frequência. Nesse caso resultará a linha sem perdas, cujas equações são realmente independentes da forma da evolução temporal das grandezas:

∂ i / ∂ z = − C⋅ ∂ u / ∂ t ∂ u / ∂ z = − L⋅ ∂ i / ∂ t [3.4]

em que L = Le.

A linha sem perdas, tendo equações de valores instantâneos de coeficientes constantes, presta-se a ser estudada no domínio do tempo. Em regime sinusoidal, as equações são especializadas para esse regime pela aplicação da notação complexa, e podem ser usados parâmetros constitutivos constantes pois se trata de uma única frequência. Assim, em regime sinusoidal estuda-se facilmente a linha, quer sem perdas quer com perdas. Assim, estudar-se-á a linha nos seguintes casos:

Linha com perdas Linha sem perdas

Regime temporal qualquer (valores instantâneos)

Não Sim

Regime temporal sinusoidal (representação complexa)

Sim Sim

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 8 - 3.3. Linha sem perdas, regime temporal qualquer (valores instantâneos)

3.3.1 – Solução das equações; ondas incidente e reflectida

As equações em valores instantâneos que regem a linha sem perdas são:

∂ u / ∂ z = − L⋅ ∂ i / ∂ t

∂ i / ∂ z = − C⋅ ∂ u / ∂ t [3.4–rept]

(com L = Le.), as quais formalmente são idênticas às da propagação num meio dieléctrico sem perdas dos campos E e H em onda plana linearmente polarizada:

tE

zH

tH

zE

xy

yx

∂∂

⋅−=∂

∂∂

∂⋅−=

∂∂

ε

μ

A solução será assim formalmente idêntica à encontrada naquele caso: as equações serão satisfeitas se a tensão u(z,t) e a corrente i(z,t) forem ondas, ou seja: u e i são função unívoca de uma variável ϕ chamada fase, a qual é combinação linear do espaço e do tempo:

u(z,t) = u(ϕ) i(z,t) = i(ϕ) [3.5] ϕ = z-vt

A constante v é a velocidade de fase: velocidade ∂ z/∂ t a que o observador deve viajar de forma a ver a onda constante – ou, visto que a onda é função unívoca da fase, para ver a fase constante, logo sem variação: dϕ =0. Como ϕ é função de duas variáveis, ϕ =ϕ (z,t), a condição dϕ =0 resulta em :

dϕ = (∂ϕ / ∂z)⋅dz + (∂ϕ / ∂ t)⋅dt = 0 e da definição de ϕ resulta que

∂ϕ / ∂z = 1 ; ∂ϕ / ∂ t =−v substituindo acima, deduz-se:

∂ z/∂ t = v Para deduzir o valor de v que faz com que a solução [3.5] verifique [3.4], substitua-se aquela nesta. Como u é uma função composta, u= u(ϕ (z,t)), resulta que ∂ u/∂ t=(∂ u /∂ϕ) ⋅(∂ ϕ /∂ t) , e análogamente para a derivada em ordem a z . O mesmo se passa com as derivadas da variável i. Como u e i são função unívoca de ϕ, as suas derivadas em ordem a ϕ são derivadas totais:

u' = du/dϕ , e i’=di/dϕ ;

e viu-se atrás que ∂ϕ / ∂z = 1 ; ∂ϕ / ∂ t = −v As derivadas parciais de u e i vêm então

∂ u/∂ t = u’⋅∂ ϕ /∂ t = −v ⋅ u’ ; ∂ u/∂ z = u’⋅∂ ϕ /∂ z = u’

e de igual modo para a corrente i. Substituindo estas funções e estas derivadas nas equações [3.4] da linha, vem:

∂ u / ∂ z = − L⋅ ∂ i / ∂ t ⇒ u’= − L(-v ⋅i’) [3.6.a] ∂ i / ∂ z = − C⋅ ∂ u / ∂ t ⇒ i’= − C(-v ⋅u’) [3.6.b]

Dividindo [3.6.a] por [3.6.b] (ou o contrário, o resultado será o mesmo) obtém-se

(u’/ i’)2=L/C À parte a existência de alguma componente contínua, a qual não contribuiria para a existência de ondas, deve ser

u’/ i’= u / i e portanto a razão entre tensão e corrente, (que, dimensionalmente, é uma resistência), é

(u / i) 2=L/C Substituindo [3.6.a] em [3.6.b] (ou o contrário) obtém-se



v2LC=1 Estas duas últimas relações mostram que as funções de onda [3.5] são solução das equações diferenciais [3.4] desde que

[ ]

[ ]Ω±==

⋅⋅

±= −

CLR

iu

smCL

v

w

;1 1

[3.7]

A constante v é a velocidade de fase, e mede-se em m.s-1. É imposta pela capacidade e auto indução externa, ou seja, é imposta pelo meio dieléctrico no qual se encontra a linha. Com efeito, numa linha sem perdas não há campo magnético no interior dos condutores, e assim a estrutura das linhas de força e equipotenciais do campo eléctrico é perfeitamente dual da do campo magnético. Daí resulta que para cada geometria dos condutores, há um factor geométrico FG tal que os parâmetros constitutivos são C=ε⋅FG e Le=μ /FG . Assim, vem

εμεμ ⋅±=

⋅⋅±=

⋅±=

111

GF FCLv

G

Numa linha sem perdas, a velocidade de fase é a mesma das ondas em espaço livre no mesmo dieléctrico. À constante Rw chama-se resistência característica de onda, e é um valor característico da linha, imposto pela sua capacidade e autoindução, e não tem nada a ver com os seus condutores nem com o comprimento da linha. Da sua definição e do facto de ser C=ε⋅FG e Le=μ /FG , resulta que

GW F

R 1⋅=

εμ ,

ou seja, a resistência característica de onda só depende das propriedades do dieléctrico e da geometria da linha. Como ordens de grandeza, note-se que em cabos coaxiais, onde os raios dos condutores têm a proporção R2 ≈ 10 R1 e se usam dieléctricos em que ε≈2,5ε0 , em geral RW ≈50Ω. Em linhas bifilares, onde a distância entre condutores e seus raios têm a proporção D ≈ 100 R e onde o dieléctrico é o ar, vem RW ≈500Ω. C [F⋅m-1] Le [H⋅m-1] FG v [m.s-1] Rw [Ω] Cabo coaxial

( )1

2ln2

RR

πε ( )π

μ2

ln1

2RR

( )1

2ln2

RRπ

εμ ⋅1 ( )

πεμ

2ln

1

2RR

⋅

Linha bifilar

)(cosh 21

RD−

πε π

μ )(cosh 21

RD−⋅

)(cosh 21

RD−

π εμ ⋅

1 πε

μ )(cosh 21

RD−

⋅

Linha bifilar (aprox, se D>>R) )ln( R

D

πε ⋅

( )π

μ RDln ( )R

Dlnπ

εμ ⋅1 ( )

πεμ R

Dln⋅

O facto de as constantes v e Rw [3.7] poderem assumir valores positivos ou negativos, pode realçado dizendo que, tomando para v e Rw apenas o valor positivo

CLR

CLv

w +=

⋅+=

1

as equações [3.4] têm como solução:

u= u (z-vt) [a] i= u/RW

e u= u (z+vt) [b] i= −u/RW

R D

R1 R2

R D


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 10 - Se o eixo dos zz fôr orientado do gerador para a carga aplicada à linha, fig. 8, então a solução com a fase ϕ =z-vt, com v>0, refere-se a uma onda viajando do gerador para a carga. E usando o sinal positivo para Rw, a orientação da tensão e a da corrente é que foi usada em (3.2) na dedução das equações diferenciais. Os campos E e H associados à tensão e corrente têm sentidos tais que o vector de Poynting S=E×H aponta do gerador para a carga, (fig. 8.c), correspondente a um fluxo de energia nessa direcção.

Assim, a solução

u= u (z-vt) [a] i= u/RW

corresponde a uma onda incidente na carga, viajando para ela e levando energia para ela (fig.b.a). Isso será realçado usando um índice superior I :

uI= uI (z-vt) [a] iI= uI/RW

a esta solução corresponde o transporte de energia no sentido gerador-carga, com uma potência pI= uI⋅iI = ( uI)2 / RW

Quanto à solução [b], com troca de sinal na velocidade, obviamente traduz uma onda que se afasta da carga, viajando para o gerador. E a troca de sinal na corrente faz inverter o sentido do campo H, e logo, e do vector de Poynting S, pelo que essa onda transporta energia da carga para o gerador (fig.8.b). Como não há fonte de energia na carga, trata-se de uma onda reflectida na carga. Isso será realçado usando um índice superior R :

uR= uR (z+vt) [b] iR= −uR/RW

Esta onda transporta energia para o gerador com uma potência pR=uR⋅iR = −(uR)2/Rw

onde o sinal (-) significa que a energia transita no sentido negativo do eixo dos zz’. Visto que as equações [3.4] admitem dois tipos de solução, a solução geral é a sobreposição das duas:

u = uI(z-vt) + uR(x+vt) [3.8] i = uI(z-vt) /Rw - uR(x+vt) /Rw

Fig. 8. Onda incidente na carga e onda reflectida na carga. a) Onda incidente na carga: viaja para a carga e transporta energia para a carga b) Onda reflectida na carga: viaja da carga para o gerador e transporta energia para o gerador c) Sentido do vector de Poynting dependendo dos sentidos de u e de i.

Ger

Carga

z

⇒ p uI iI

v

Ger

Carga

z

⇐ p uR iR

v

(a)

(b)

E H S=E×H

i

u

(c)


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 11 - Em cada ponto z e em cada instante t existirão simultaneamente as ondas incidente e reflectida (ainda que uma delas possa ser nula nesse ponto e instante). Serão as condições nas fronteiras da linha que imporão as relações entre as ondas incidente e reflectida. Havendo simultaneamente na linha as duas ondas, a potência em qualquer ponto é dada por p = u⋅i = (uI+uR)⋅(iI+iR) = (uI+uR)⋅( uI−uR) / Rw = (uI)2/Rw − (uR)2/Rw = pI + pR A potência num ponto da linha é a soma das potências associadas a cada uma das ondas – tendo em atenção que a da reflectida é negativa devido à convenção de sinais.

3.3.2 – Propagação e reflexão de impulsos Considere-se que a tensão e a corrente têm a forma de “impulsos”, ou seja, têm uma duração temporal θ que é muito menor que os períodos de tempo em análise, sendo nulas fora dessa duração (fig.9). Um impulso incidente na carga e um reflectido na carga, viajam na linha em sentidos inversos. No tempo, a ordem pela qual uma série de pontos da linha sente a passagem do impulso reflectido, é inversa da ordem pela qual sente o impulso reflectido (fig.10): o ponto mais perto da carga é o último a sentir o impulso incidente, mas é o primeiro a sentir o reflectido.

A relação entre a onda incidente e a reflectida é imposta pela carga. Usando o índice inferior C para referir as grandezas medidas na carga ( uc e ic ), pode-se dizer que a carga, devido à sua constituição particular, terá a sua tensão uc e a sua corrente ic relacionadas por uma relação bem definida uc=f(ic). (Por exemplo, numa simples resistência, será uc=Rc⋅ic .) . E em qualquer instante e em qualquer ponto da linha, e nomeadamente sobre a carga, a tensão e a corrente da linha devem obedecer a [3.8]. Portanto sobre a carga ficam impostas três relações simultâneas

uc = uIc + uR

c ic = uI

c / Rw - uRc / Rw

uc=f(ic) e é a satisfação simultânea destas relações que permitirá obter a relação entre as ondas incidente e reflectida.

3.3.2.1 - Impulso estreito isolado numa linha em curto circuito Seja um impulso incidente de tensão uI que viaja para a carga. Considere-se que o impulso é suficientemente estreito para que durante a sua passagem num ponto intermédio da linha não se verifique a existência de mais nenhum impulso, nomeadamente não se sinta nenhum impulso reflectido. Assim, o impulso incidente viaja sozinho

u

t

θ

Fig.9 . Impulso de tensão

Fig. 10 – Onda incidente e onda reflectida: passam por uma série de pontos por ordem temporal inversa

Ger Carga

z1 z2 z3 z4 z5

t

t

t

t

t

em z1

em z2

em z3

em z3

em z5

Onda incidente t

t

t

t

t

em z1

em z2

em z3

em z3

em z5

Onda reflectida


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 12 - em direcção à carga. Ao atingir a carga, e visto esta ser um curto circuito, tem de se verificar aí uc=0, onde o índice inferior C se refere às grandezas medidas na carga. Portanto, ao atingir a carga, o impulso de tensão incidente uI dá origem a um reflectido simétrico, uR=−uI, para que nesse instante seja uc= uI + uR= 0. O impulso reflectido vai agora viajar para trás, em direcção ao gerador. A evolução desses impulsos está representada na fig. 11. Quanto à corrente, uma vez que i =( uI - uR) /Rw, e sobre a carga é uR=−uI, o impulso reflectido de corrente é iR = −(−uI)/Rw = iR = +uI/Rw = iI : a corrente reflecte-se sem troca de sinal, e um impulso igual ao incidente passa a viajar para o gerador. Note-se que sobre a carga, verifica-se i=iI+iR = 2iI, a corrente sobre a carga é o dobro do impulso incidente.

Onda incidente

Onda reflectida

i em t1

em t2

em t3

em t4

em t5

em t6

em t7

i

i

i

i

i

i

iI

iI

iI

iI= iR

iR

iR

iR

z

z

z

z

z

z

z t1 t2 t3

t4 t5 t6 t7

i

i

i

i

em z3 t iI iR

em z2 t iI iR

em z1 t iI iR

em z4 t iI= iI

u em t1

em t2

em t3

em t4

em t5

em t6

em t7

u

u

u

u

u

u

uI

uI

uI

uI

uR

uR

uR

uR

z

z

z

z

z

z

z u

u

u

u

em z3 t uI

uR

em z2 t uI

uR

em z1 t uI

uR

em z4 t uI

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

uR

Onda incidente

Onda reflectida

Ger

z1 z2 z3 z4

Fig.11: Evolução no espaço e no tempo de um impulsos de tensão e de corrente incidentes e reflectidos num curto circuito.. a) –Localização de pontos sobre a linha, com z4 sobre a carga. b) evolução espacial dos impulsos de tensão em sete instantes consecutivos. c) Evolução temporal dos impulsos de tensão em quatro pontos da linha. . d) evolução espacial dos impulsos de corrente. c) Evolução temporal dos impulsos de corrente. A tensão sobre a carga, como em qualquer outro ponto da linha, é uc=uI+uR . O curto circuito impõem uc=0 portanto ocurto circuito impõe um impulso reflectido simétrico do incidente, uR =−uI. Como i=( uI-uR )/Rw e uR =-uI , o impulso reflectido de corrente é igual ao incidente. Em qualquer ponto da linha, sente-se a passagem do impulso incidente, e depois a do reflectido, após um tempo que depende da distância desse ponto ao fim da linha.



3.3.2.1 - Impulso estreito isolado numa linha em vazio

A linha em vazio impõe uma situação dual da da linha em curto circuito. Agora é a corrente na carga que é nula, iC=0 . Como na carga iC= (uI

C – uRC)/Rw, resulta que sobre a carga uI

C = uRC : num circuito aberto, a tensão reflecte-

se sem modificação do impulso. Pelo contrário, a corrente reflectida é iR = –uR/RW = –uI/RW = –iI : é o impulso reflectido de corrente que inverte a sua polaridade em relação ao impulso incidente de corrente.

Onda

incidente

Onda

reflectida

u em t1

em t2

em t3

em t4

em t5

em t6

em t7

u

u

u

u

u

u

uI

uI

uI

uI= uR

uR

uR

uR

z

z

z

z

z

z

z t1 t2 t3

t4 t5 t6 t7

u

u

u

u

em z3 t uI uR

em z2 t uI uR

em z1 t uI uR

em z4 t uR=uI

i em t1

em t2

em t3

em t4

em t5

em t6

em t7

i

i

i

i

i

i

iI

iI

iI

iI

iR

iR

iR

iR

z

z

z

z

z

z

z i

i

i

i

em z3 t iI

iR

em z2 t iI

iR

em z1 t iI

iR

em z4 t iI

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

iR

Onda

incidente

Onda

reflectida

Ger

z1 z2 z3 z4

Fig.12: Evolução no espaço e no tempo de um impulsos de tensão e de corrente incidentes e reflectidos num circuito aberto. a) –Localização de pontos sobre a linha, com z4 sobre a carga. b) evolução espacial dos impulsos de tensão em sete instantes consecutivos. c) Evolução temporal dos impulsos de tensão em quatro pontos da linha. . d) evolução espacial dos impulsos de corrente. c) Evolução temporal dos impulsos de corrente. A tensão sobre a carga, como em qualquer outro ponto da linha, é uc=uI+uR . O curto circuito impõem uc=0 portanto ocurto circuito impõe um impulso reflectido simétrico do incidente, uR =−uI. Como i=( uI-uR )/Rw e uR =-uI , o impulso reflectido de corrente é igual ao incidente. Em qualquer ponto da linha, sente-se a passagem do impulso incidente, e depois a do reflectido, após um tempo que depende da distância desse ponto ao fim da linha.



3.3.2.1 - Impulso numa linha adaptada Uma linha diz-se “adaptada” se no seu término está aplicada uma resistência de carga Rc de valor óhmico igual à resistência característica de onda Rw

Rc = Rw Neste caso, a relação tensão-corrente na carga é uc = Rw⋅ic , pelo que as três relações que devem ser verificadas simultaneamente são:

uc = uIc + uR

c ic = uI

c / Rw − uRc / Rw

uc = RW⋅ic e estas são satisfeitas se a onda reflectida for nula, uR =0 (claro que a onda reflectida de corrente iR =−uR/Rw vem também nula). Assim, a onda incidente só por si satisfaz a condição na fronteira, não havendo lugar à reflexão de ondas. O impulso incidente chega à carga, e termina aí a existência de impulsos.

Fig.13: Evolução no espaço e no tempo de um impulsos de tensão e de corrente incidentes numa linha adaptada. a) –Localização de pontos sobre a linha, com z4 sobre a carga. b) evolução espacial dos impulsos de tensão. c) Evolução temporal dos impulsos de tensão. . d) evolução espacial dos impulsos de corrente. c) Evolução temporal dos impulsos de corrente. Sobre a carga Rc=Rw, é u = Rc⋅i , o que já é satisfeito pela onda incidente: uI e iI=uI/Rw . Anula-se assim a onda reflectida. Em qualquer ponto da linha, só se sente a passagem do impulso incidente, após a qual nada mais se passa.

Ger

z1 z2 z3 z4

Rc= Rw

Onda

incidente

u

u em t1 uI z

em t2 uI z

em t3 u uI z

em t4 u uI z

em t5 u z

em t6 u z t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

u em z3 t

uI

uem z2 tuI

u em z1 tuI

u em z4 t

uI

Onda

incidente

i

i em t1 iI z

em t2 iI z

em t3 i iI z

em t4 i iI z

em t5 i z

em t6 i z t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

i em z3 t

iI

i em z2 tiI

i em z1 tiI

i em z4 t

iI


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 15 - 3.3.3 – Tempo de percurso e impulsos longos Se a linha tiver um comprimento l, o impulso incidente, viajando à velocidade v, leva um tempo de percurso tp a chegar ao fim da linha, sendo

tp= l / v Chegando ao fim da linha, reflecte-se e regressa, levando novo intervalo tp a chegar novamente ao início da linha. Assim, no início da linha, mede-se um intervalo de tempo 2tp entre a imposição de um impulso incidente e a recepção do seu “eco” reflectido no fim da linha. Se se fizer crescer o comprimento l da linha, l→∞, também tende para infinito o atraso entre o impulso e o eco. No limite, o eco demora um tempo infinito a chegar, ou seja, não há eco em tempo útil. Esta situação não é diferente da da linha adaptada, na qual não há reflexão. Assim, do ponto de vista do gerador, uma linha sem perdas adaptada equivale a uma linha de comprimento infinito. Uma técnica de despistar avarias em linhas é injectar um impulso no seu início, e aguardar pelo sinal reflectido. A polaridade do eco da tensão indica se a avaria é um curto circuito ou um circuito interrompido, e o tempo de atraso permite localizar a avaria. O diagrama temporal da tensão u1 no início da linha, e da tensão u2 no fim da linha, para um impulso curto, de duração θ<<tp, é o das figuras 14, para os casos da linha em vazio, em curto circuito e adaptada.

Se se aumentar a largura temporal θ do impulso, de tal modo que se torne θ >2tp , então o impulso incidente no princípio da linha ainda existe quando começa a chegar o seu reflexo. Então, coexistindo os dois, a tensão total no princípio da linha é durante algum tempo a sobreposição dos dois. A fig. 15 representa a tensão u1 no princípio da linha e a tensão u2 no fim da linha, quando o impulso é longo (θ>2tp), em duas situações: linha em aberto e linha em curto circuito. Na situação de linha em aberto, um impulso de tensão de largura θ é imposto na linha. A tensão no início da linha, u1, começa por ser igual a este impulso incidente, u1=uI. Ao fim de um tempo de percurso tp , o impulso chega ao fim da linha, onde, por ela estar em aberto, imediatamente surge um impulso reflectido uR =uI. Como o impulso incidente dura θ , também o reflectido se mantém durante esse tempo. No fim da linha há assim uR +uI =2uI, durante θ . O impulso reflectido viaja para trás e chega ao início da linha ao fim de tp após se ter formado, ou seja, depois de 2tp após o início do impulso incidente. Este último ainda existe pois é θ >2tp , e assim durante (θ -2tp ) coexistem os dois impulsos, sendo u1= uI +uR . Ao fim de θ termina o impulso incidente, mas mantém-se o reflectido, até (2tp +θ ) , altura em que também o impulso reflectido acaba.

tp tp

u1

u2

uI uR t

t

uI+ uR

tp tp

u1

u2

uI

uR

t

t

uR

uI

uI+ uR=0

tp tp

u1

u2

uI t

t

uI

Ger

u1 u2

Carg

l=v⋅tp

Ger

u1 u2

Carg

l=v⋅tp

Rc= Rw

Ger

u1 u2

Carg

l=v⋅tp

(a) (b) (c) Fig. 14 : tensões no princípio e no fim da linha, em regime impulsivo curto.

(a) – linha em vazio (b) –linha em curto circuito (c) linha adaptada.


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 16 - Se a linha estiver em curto circuito, o impulso de tensão reflectido é simétrico do incidente, uR =−uI. Por isso, quando uR atinge o início da linha e enquanto ainda existe aí uI, ambos anulam-se e durante um intervalo. (θ -2tp) a tensão u1 é anula, para depois se inverter quando uI termina e só fica uR. Facilmente se obtém os impulsos de corrente, que são duais dos de tensão aqui apresentados.

3.3.4 – Reflexão no gerador

Até aqui tem sido ignorado o que sucede no gerador, quando o impulso reflectido o atinge. Ora o impulso reflectido na carga viajando para o gerador não tem natureza diferente da do impulso incidente viajando para a carga. Ou seja, o impulso reflectido, incidindo no gerador, pode reflectir-se

neste e tornar a viajar para a carga. Por exemplo, retome-se o exemplo 3.3.2.1, fig.11: um impulso de tensão curto e isolado incidindo sobre um curto circuito. O impulso de tensão viaja até à carga, reflecte-se invertendo-se, e viaja novamente para o gerador. O gerador, tendo inicialmente gerado um impulso curto de duração θ, no fim desse intervalo θ impõe uma tensão nula no início da linha: u1= 0. Como o impulso é curto, θ é muito menor que o tempo de percurso, e por isso no instante em que uR atinge o gerador este está impondo u1= 0, ou seja, o próprio gerador está a comportar-se como um curto circuito. O impulso então torna a reflectir-se invertendo-se novamente, e torna a viajar para a carga.

(a) (b) Fig. 15: Impulsos longos, θ >2tp. O impulso reflectido regressa ao início da linha ao fim de 2tp, quando ainda existe o impulso incidente. Durante θ -2tp combinam-se os dois no início da linha.

(a) impulso de tensão longo, linha em aberto (b) impulso de tensão longo, linha em curto circuito

Ger

u1 u2

Carg

l=v⋅tp

Ger

u1 u2

Carg

l=v⋅tp

tp

u1

u2

uI uR t

t

u2 =uI+ uR

u1=uI+uR

uI= uR

θ

tp tp

θ tp

u1

u2

uI

uR

t

t u2 =uI+ uR=0

u1=uI+uR

uR= -uI

θ

tp tp

uI

θ

Ger Carga

z

uR iR

v

Fig. 16: o impulso reflectido na carga incide sobre o gerador

em t1

em t2

em t3

em t4

em t5

em t6

em t7

z

z

z

z

z

z

z

em t7

u

u

u

u

u

u

u

u z

uI

uI

uI

uR

uR uR2

uR uR2

uR2

uR3

uR3

Fig.17 Linha em curto circuito e gerador ideal de impulsos isolados: reflexões sucessiva na carga e no gerador


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 17 - Se não houver atenuação devida a perdas, o impulso manter-se-á eternamente viajando de um lado para o outro, invertendo-se ao fim de cada viagem. Outras situações (linha em aberto, impulsos longos, etc) podem ser analisadas, mais ou menos facilmente, analisando o que se passa em cada reflexão e aplicando aí a condição fronteira apropriada. Por exemplo, um gerador ideal de tensão contínua é aplicado em t=t1 a uma linha em vazio (fig 17). A tensão contínua vai-se propagando até atingir, em t3, fim da linha (em aberto). Aí reflecte-se, mantendo a polaridade, e propaga-se para trás, duplicando o valor da tensão nos pontos onde a onda vai passando (como em t4) até atingir o gerador em t5. Aí o gerador impõe a tensão igual ao valor do impulso inicial, pelo que é necessário uma segunda onda reflectida de polaridade contrária. Esta viaja agora para a carga, onde, em t7, se reflecte duplicando o valor e tornando a viajar para o gerador. Até agora foram considerados geradores ideais, ou seja, sem resistência interna. Os geradores reais têm queda de tensão interna, pelo que devem ser representados pelo seu equivalente de Thevenin: fonte ideal em série com a resistência interna. Para evitar a repetição sucessiva de reflexões, usa-se geradores adaptados à linha: são geradores com resistência interna igual à resistência característica da linha. Assim, o impulso reflectido, ao chegar ao gerador, encontra uma carga adaptada e não torna a reflectir-se.

Note-se que no instante em que o gerador é ligado, aplica uma onda incidente mas só daí a algum tempo recebe a onda reflectida . Assim, de início no princípio da linha só há onda incidente: u1=uI e i1=iI, portanto u1/i1 = u1. Ou seja, no instante de ligação a linha, independentemente da sua carga e enquanto não chega a onda reflectida, é vista como uma resistência Rw. Assim, de início, a tensão u1 aplicada á linha é obtida a partir da tensão ideal do gerador através de um divisor de tensão: u1= u0⋅ Rw / (Rw +Rint) Caso o gerador esteja adaptado, Rw =Rint e assim u1= u0 / 2 3.3.5 – Impulsos sucessivos Considere-se um gerador de impulsos que gera impulsos de tensão de curta duração, periódicos de período T, de polaridade alternada. O gerador é aplicado a uma linha, e está adaptado a ela, pelo que não há segundas reflexões dos impulsos no gerador. Considere-se a linha em vazio. Os impulsos aplicados viajam até ao fim da linha e aí reflectem-se mantendo a polaridade, voltando a ser sentidos no início da linha. Considere-se que a linha é suficientemente curta para que o dobro do tempo de percurso 2⋅tp seja muito menor que o período T dos impulsos: 2⋅tp <<T. Então os ecos de cada impulso regressam ao início da linha muito antes que o gerador imponha o impulso seguinte. A tensão à entrada é assim constituída por impulsos duplos: cada impulso incidente seguido do seu reflexo, atrasado de 2⋅tp. Tendo a linha um comprimento l, é 2⋅tp=2⋅l/v.

Fig.17 Linha em vazio e gerador ideal de tensão contínua: reflexões sucessivas na carga e no gerador

em t1

em t2

em t3

em t4

em t5

em t6

em t7

z

z

z

z

z

z

z

em t8

u

u

u

u

u

u

u

u z

Rint=Rw

Fig. 18. Gerador adaptado

u0 u1

Fig. 19. No instante de ligação, antes de a ondareflectida chegar, a linha é vista como uma resistênciaRw . A tensão no início é u1= u0⋅ Rw / (Rw +Rint)

Rint

u0 u1 u0

Rint

u1

Rw


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 18 - Considere-se que a linha se vai tornando maior. À medida que se considera a linha cada vez maior, a separação entre cada impulso incidente e seu eco vai aumentando, até que se atinge um comprimento para o qual o atraso é igual a meio período: 2⋅tp=T/2 . Nessa altura, cada impulso incidente é simultâneo com o reflexo do impulso anterior, o qual tem polaridade contrária à do primeiro. Assim, cada impulso incidente é anulado pelo reflexo do impulso incidente anterior. Dessa forma, a tensão no início da linha é sempre nula. A linha, que está em vazio no seu término, é vista como um curto circuito no seu início.

Esta é uma consequência do atraso introduzido pela propagação das grandezas a velocidade finita, fenómeno esse que não surge no estudo dos circuitos eléctricos, onde o atraso é desprezado, e se considera parâmetros concentrados (resistências, induções e capacidades separadas umas das outras, concentradas cada uma num dispositivo específico). Na linha tem de se considerar os parâmetros distribuídos e não se pode desprezar esse atraso, que se torna sensível devido ao comprimento da linha. A consideração do atraso tem consequências inesperadas, das quais uma das mais espectaculares é a que acaba de ser vista: uma linha em vazio é vista à entrada como um curto circuito. Isto acontece quando 2⋅l/v=T/2, ou l=v⋅T/4. Em regime impulsivo não se pode falar de frequência e de comprimento de onda, mas se se estivesse em regime sinusoidal, seria v⋅T=λ, comprimento de onda (como se viu ao tratar da propagação de ondas

t

T uI uI

uI uI

uR

uR

uR

uR

2⋅tp 2⋅tp

2⋅tp

t

T uI uI

uI uI

uR

uR

uR

uR

2⋅tp 2⋅tp

2⋅tp

t

T uI uI

uI uI

uR

uR

uR

uR

2⋅tp 2⋅tp

2⋅tp

t

T uI uI

uI uI

uR

uR

uR

uR

2⋅tp 2⋅tp

2⋅tp

Fig.20 - Tensão no início de uma linha em vazio, com impulsos incidentes alternados, seguidos dos seus reflexos. Cada impulso tem o seu reflexo atrasado de um tempo 2⋅tp=2⋅l/v , cada vez maior à medida que se considera a linha cada vez maior. Há um comprimento para o qual 2⋅tp=T/2,cada impulso é anulado pelo reflexo do anterior, e a tensão resultante à entrada é nula: a linha em vazio é vista da entrada como um curto circuito.


ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 19 - monocromáticas no espaço). Assim, o caso em que os fenómenos propagatórios se fazem mais sentir, é quando a dimensão linear do circuito se aproxima de um quarto do comprimento de onda. Para que se possam usar as aproximações usuais na teoria dos circuitos, de desprezar o tempo de propagação e os usar os parâmetros concentrados, é necessário que o tempo de atraso seja desprezável, ou seja, a condição para que se possa considerar o regime quasi estacionário é l<<λ/4

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ELECTROTECNIA TEÓRICA Prof. M. Ventim Neves - 20 - LINHA EM REGIME SINUSOIDAL 1. Equações diferenciais complexas e sua solução

Em regime sinusoidal, em cada ponto da linha definido pela coordenada z que é a sua distância ao gerador, (fig. -.1), haverá uma tensão e uma corrente, ambas sinusoidais no tempo, cuja frequência é a de trabalho, ω, e cuja amplitude e fase inicial poderão ser funções da coordenada z; essas funções sinusoidais podem ser representadas pela notação complexa:

u(z,t) = U(z) cos (ωt+θu(z)) = ℜ{⎯U(z) ejωt}, com ⎯U(z)=U(z) ejθu(z) i(z,t) = I(z) cos (ωt+θi(z)) = ℜ{⎯I(z) ejωt}, com ⎯I(z)= I(z) ejθi(z)

Assim, determinar a evolução no espaço e no tempo da tensão e corrente, exige apenas a determinação da evolução no espaço das amplitudes complexas, constantes no tempo, ⎯U(z) e ⎯I(z). As equações diferencias que regem a evolução espaço-temporal das grandezas, como se viu, são:

∂ u(z,t)/∂z = − R i(z,t) − L ∂i(z,t)/∂t ∂ i(z,t)/∂z = − G u(z,t) − C ∂u(z,t)/∂t

Usando a notação complexa, resulta:

∂ ℜ{⎯U(z) ejωt}/∂z = − R ℜ{⎯I(z) ejωt} − L ∂ℜ{⎯I(z) ejωt}/∂t ∂ ℜ{⎯I(z) ejωt}/∂z = − G ℜ{⎯U(z) ejωt}− C ∂ℜ{⎯U(z) ejωt}/∂t

trocando a ordem do operador "parte real de..." com a dos outros operadores, a derivada temporal ∂(...)/∂t fica a afectar directamente a exponencial ejωt . Notando que ∂ejωt/∂t = jωejωt, vem:

ℜ{∂⎯U(z) ejωt /∂z } = − ℜ{ R ⎯I(z) ejωt + jωL ⎯I(z) ejωt } ℜ{∂⎯I(z) ejωt /∂z }= − ℜ{G ⎯U(z) ejωt + jωC ⎯U(z) ejωt}

Considerando que a igualdade pode ser feita entre os próprios complexos e não apenas entre as suas partes reais; considerando que a exponencial ejωt não é afectada pela derivada espacial ∂(...)/∂z ; e ainda porque essa exponencial nunca se anula, podendo-se dividir ambos os membros das igualdades por ejωt , então as equações anteriores resultam nas seguintes, onde a variação se verifica apenas no espaço e portanto as derivadas ∂(...)/∂z se tornam derivadas totais d(...)/dz :

d⎯U(z) /dz = − (R + jωL ) ⎯I(z) d⎯I(z) /dz = − (G + jωC )⎯U(z)

l

z

u (z,t) ⎯U (z)

i (z,t) ⎯I (z)

⎯Zc

Fig - .1 - Linha em regime sinusoidal, alimentando uma impedância de carga ⎯Zc. Cada ponto da linha é definido pela sua distância ao gerador, z. Em cada coordenada z define-se a tensão u(z,t) e a corrente i(z,t), sinusoidais, representadas pelas amplitudes complexas ⎯U (z) e ⎯I (z).



Nestas equações, R, L, G, e C são os parâmetros constitutivos da linha, por unidade de comprimento (respectivamente em: Ω⋅m-1 , H⋅m-1 , S⋅m-1 , e F⋅m-1 ) . Visto que as equações se referem a uma só frequência, toma-se para as equações os valores desses parâmetros apropriados à frequência em estudo (na realidade, o efeito pelicular e outros fazem variar cada um dos parâmetros R, L, G e C com a frequência). Às grandezas entre parêntesis denomina-se:

(R + jωL ) = ⎯ZL , impedância longitudinal por unidade de comprimento (Ω⋅m-1) (G + jωC ) =⎯YT , admitância transversal por unidade de comprimento ( S⋅m-1 )

(A maioria dos autores representa-as apenas como ⎯Z e ⎯Y, sem os índices inferiores L e T.) As equações da linha vêm finalmente:

d⎯U(z) /dz = − ⎯ZL ⎯I(z) d⎯I(z) /dz = −⎯YT⎯U(z)

Estas equações são equações de onda no domínio complexo, e são satisfeitas, como se verá de seguida, por uma função ⎯U(z) exponencial (de expoente complexo) e por uma função ⎯I(z) proporcional a ⎯U(z) :

⎯U(z) = ⎯U0 e⎯γz ⎯I(z) =⎯U(z) /⎯Zw

em que as constantes ⎯U0 [V],⎯γ [m-1] e ⎯Zw [Ω] são a determinar. Para as determinar, substitua-se estas funções nas equações diferenciais. Resulta:

d(⎯U0 e⎯γz )/dz = − ⎯ZL (⎯U0 e⎯γz /⎯Zw ) d (⎯U0 e⎯γz /⎯Zw )/dz = − ⎯YT ⎯U0 e⎯γz

efectuando os cálculos,

⎯γ⎯U0 e⎯γz = − ⎯ZL⎯U0 e⎯γz /⎯Zw ⇒ ⎯γ = −⎯ZL /⎯Zw ⎯γ⎯U0 e⎯γz /⎯Zw = − ⎯YT ⎯U0 e⎯γz ⇒ ⎯γ /⎯Zw = −⎯YT

Donde, finalmente:

T

Lw

TL

YZ

Z

YZ

=

=γ

A ⎯γ e ⎯Zw chama-se parâmetros ondulatórios da linha. A⎯γ chama-se constante de propagação (inverso de um comprimento, [m-1] vindo o expoente ⎯γz adimensional) . A ⎯Zw chama-se impedância característica de onda da linha (é uma impedância [Ω], sendo U/Zw uma corrente, em [A] se U estiver em [V] ). As raízes quadradas intervenientes nas definições da constante de propagação e da impedância característica têm duas soluções (fig -.2). Escolhe-se para a definição de ⎯γ e ⎯Zw as raízes que têm partes reais positivas. ⎯γ = α+ jβ (α>0 ; ⇒ β>0, como se verá adiante)

⎯Zw =Rw + jXw (Rw>0; ⇒ |Xw |≤Rw , como se verá adiante)

Assim, as equações de propagação podem ter duas soluções: com +⎯γ e +⎯Zw , ou com −⎯γ e −⎯Zw . Adiante se verá que se tomam os pares ( −⎯γ e +⎯Zw ) e (+⎯γ e −⎯Zw). Porque ⎯γ e ⎯Zw são raízes quadradas do produto ou da divisão de dois complexos, os seus argumentos angulares são:



{ } { } { } { } { } { }2

argargarg;2

argargarg TLw

TL YZZYZ −=

+=γ

Atendendo às definições de ⎯ZL = (R + jωL ) e de ⎯YT = (G + jωC ) , os seus argumentos, respectivamente ϕZ e ϕY, estão ambos entre 0 e π/2 . (fig - .2). Assim, o argumento de ⎯γ situa-se entre 0 e π/2, e o argumento de ⎯Zw situa-se entre - π/4 e +π/4. A impedância característica de onda ⎯Zw pode ser capacitiva ou indutiva (argumento entre - π/4 e +π/4). Na prática, (especialmente nas linhas aéreas onde a condutância transversal G é praticamente nula), verifica-se geralmente que ϕZ < ϕY , vindo geralmente arg{⎯Zw}<0 (⎯Zw capacitiva). Numa linha sem perdas, R=0 e G=0, pelo que ⎯ZL = jωL e⎯YT = jωC são imaginários puros (ϕZ=ϕY=π/2), vindo arg{⎯γ} = π/2 ( ou seja, vem ⎯γ imaginário puro ) e arg{⎯Zw}=0 ( ou seja, vem ⎯Zw real puro ) Se por coincidência a linha for tal que L/R = C/G, vem ϕZ = ϕY, logo arg{⎯Zw}=0 , e portanto também aí vem ⎯Zw real puro.

Assim, em resumo: Solução das equações de onda:

⎯U(z) = ⎯UA e −⎯γz ou ⎯U(z) = ⎯UB e +⎯γz ⎯I(z) =⎯U(z) /⎯Zw ou ⎯I(z) = −⎯U(z) /⎯Zw

com ⎯UA e ⎯UB a determinar pelas condições fronteira, e:

R

jωL ⎯ZL

ϕZ

θγ = (ϕZ+ϕY)/2 0 ≤ θγ ≤ π/2

⎯γ

-⎯γ

G

jωC⎯YL

ϕY

θZw = (ϕZ - ϕY)/2 - π/4 ≤ θZw ≤ π/4

⎯Zw

-⎯Zw

Fig .2 - Argumentos θγ de⎯γ e θZw de⎯Zw , dependentes dos argumentos ϕZ de⎯ZL e ϕY de⎯YT . O argumentos θγ de⎯γ situa-se entre 0 e π/2 radianos. Numa linha sem perdas, θγ= π/2, vindo⎯γ imaginário puro. O argumentos θZw de⎯Zw , situa-se entre - π/4 e π/4 radianos. Numa linha sem perdas, θγ=0, vindo⎯Zw real puro. Se os parâmetros constitutivos forem tais que L/R=C/G, vem ϕZ = ϕY e portanto também vem ⎯Zw real puro



wwT

Lw

TL

jXRYZZ

jYZ

+==

+== βαγ

em que: ⎯γ = constante de propagação (m-1).

α = constante de atenuação (Neper.m-1) ; α ≥ 0 ; (significado a ver a seguir) β = constante de fase (rad.m-1) ; β>0 ; (β=2π/λ, significado a ver a seguir) ⎯Zw = impedância característica de onda (Ω) Rw = resistência característica de onda (Ω) ; Rw ≥ 0 Xw = reactância característica de onda (Ω) ; |Xw | ≤ Rw ; ( em geral, Xw≤0 ; numa linha sem perdas, Xw=0 )

2. Interpretação da solução. Onda incidente e onda reflectida. Foram achadas duas soluções que, como se verá de imediato, representam, uma, uma onda incidente na carga, e a outra, uma onda reflectida pela carga:

a) ⎯U(z) = ⎯UA e −⎯γz ; ⎯I(z) =⎯U(z) /⎯Zw onda incidente na carga, b) ⎯U(z) = ⎯UB e +⎯γz ; ⎯I(z) = −⎯U(z) /⎯Zw onda reflectida pela carga:

Visto que se referem a ondas a ondas incidente e reflectida, é conveniente passar a usar a notação (...)I para "incidente" e (...)R para "reflectida":

a) ⎯UI(z) = ⎯UIG e −⎯γz ; ⎯II(z) =⎯UI(z) /⎯Zw onda incidente na carga,

b) ⎯UR(z) = ⎯URG e +⎯γz ; ⎯IR(z) = −⎯UR(z) /⎯Zw onda reflectida pela carga:

Nestas expressões, as constantes ⎯UI

G e⎯URG são constantes complexas a determinar pelas condições fronteira:

são os valores das ondas incidente e reflectida em z=0, ou seja, no gerador. 2.1 – Onda incidente

Tome-se a solução da tensão em onda incidente:

⎯UI(z) = ⎯UIG e −⎯γz

A constante ⎯UIG será um complexo constante com módulo UI

G e argumento θ : ⎯UIG = UI

G ⋅e j θ

Como ⎯γ = α +j β, a função ⎯UI(z) fica: ⎯UI(z) = ⎯UI

G e−(α +j β)z = UIG ⋅e j θ⋅e−(α +j β)z = UI

G ⋅e−αz ⋅e j θ−j βz = [UIG ⋅e−αz ] ⋅ e j( θ− β⋅z)

Assim, em cada ponto da linha encontra-se uma tensão que varia sinusoidalmente no tempo, mas as características dessa sinusóide temporal (amplitude e fase inicial, reunidas na amplitude complexa) variam de ponto para ponto da linha, segundo a função de z: ⎯UI(z) = [UI

G ⋅e−αz ] ⋅ e j( θ− β⋅z) Ou seja, a amplitude complexa da tensão tem um módulo que se atenua exponencialmente, e um argumento que diminui linearmente, com o afastamento ao gerador. Assim, o afixo da amplitude complexa da tensão descreve no plano de Argand uma espiral decrescente à medida que se consideram pontos a distância z do gerador crescente. (fig.3) Passando para o modo temporal, isso significa que a expressão temporal da onda incidente de tensão é:

uI(z,t) = [UIG ⋅e−αz ] ⋅ cos [ω⋅t + (θ− β⋅z)]



ou seja, em cada ponto a tensão é uma sinusóide, cuja amplitude diminui e cujo atraso aumenta com o afastamento ao gerador.

A fig. -.3 representa a evolução temporal da tensão, em vários pontos da linha. No tempo, em cada ponto verifica-se uma tensão sinusoidal no tempo, de amplitude constante; no entanto, quer a amplitude, quer a fase inicial da tensão observada dependem do ponto onde se faz a observação: encontram-se amplitudes menores e fases mais atrasadas à medida que se tomam pontos mais afastados do gerador. A fig. -.3 também apresenta a evolução, ao longo da linha, da tensão instantânea. Em cada instante, ao longo da linha observa-se uma oscilação sinusoidal atenuada. Em instantes sucessivos, a distribuição de tensão, mantendo-se sempre envolvida nas exponenciais decrescentes ±UI

G⋅eαz , avança ao longo da linha no sentido de z crescente (do gerador para a carga). A velocidade a que a onda viaja é dada pela velocidade de fase. Esta é a velocidade necessária para se observar a fase ϕ(z,t)=[ω⋅t + (θ− β⋅z)] (argumento da função sinusoidal) constante, ou seja, dϕ(z,t)=0:

dϕ =(∂ϕ/∂t)dt+(∂ϕ/∂z)dz = ω⋅dt - β⋅dz = 0 ⇒

dz/dt = v = ω/ β Assim, a velocidade segundo z é positiva; trata-se realmente de uma onda que incide sobre a carga. Quanto à corrente, visto que ⎯II(z) =⎯UI(z) /⎯Zw , iI(z,t) mantém a mesma forma de onda que uI(z,t), apenas com uma possível diferença de fase ϕw = θZw se o argumento θZw de ⎯Zw não for nulo (fig. -.4). Com os sentidos convencionados para uI(z,t) e iI(z,t), o sentido convencional da potência pI(z,t)=uI(z,t) ⋅ iI(z,t), aponta para a carga (fig. -.4). O valor médio dessa potência, como se sabe é { pI(z,t)}med= UI

ef ⋅IIef⋅ cos(ϕw) , que representa a potência activa

(incidente) PI = UIef ⋅II

ef⋅ cos(ϕw) . Visto que - π/4 ≤ θZw ≤ π/4, o seu coseno é positivo. Assim, vem PI ={pI(z,t)}med>0, pelo que realmente a energia das ondas incidentes flui na direcção da carga.

⎯UIG z

Fig -.3 - Variação no espaço e no tempo de uI(z,t). Variação de⎯UI(z) no plano de Argand. Em cada ponto do espaço, a tensão varia sinusoidalmente no tempo, com amplitude que depende de forma decrescente da distância do ponto ao gerador. No espaço, em cada instante, a tensão distribui-se ao longo da linha segundo uma sinusóide atenuada, cuja amplitude vai diminuindo envolvida nas exponenciais ±UI

G⋅eαz . A amplitude complexa ⎯UI(z) da tensão uI(z,t) descreve no plano de Argand uma espiral decrescente, começando com a amplitude complexa ⎯UI

G da tensão incidente do gerador.

t

em z1

em z4

em z3

em z2

z1<z2<z3<z4

z

t1t2 t3 t4 t5 t6 t7

-e−αz

+e−αz

t1 <t2 <t3 <t4 <t5 <t6 <t7



2.1 – Onda Reflectida

Tome-se agora a solução em onda reflectida ⎯UR(z) = ⎯UR

G e +⎯γz ; ⎯IR(z) = −⎯UR(z) /⎯Zw

Também aqui, a constante ⎯URG representa a amplitude complexa da tensão reflectida, medida em z=0, ou seja,

no gerador, e será portanto uma constante complexa com módulo URG e argumento θ’ : ⎯UI

G = UIG ⋅e j θ

Como ⎯γ = α +j β, a função ⎯UR(z) fica: ⎯UR(z) = ⎯UR

G e+(α +j β)z = URG ⋅e j θ’⋅e+(α +j β)z = [UR

G ⋅e−αz ] ⋅ e j( θ’+ β⋅z) Tal como no caso da onda incidente, a representação no plano de Argand da evolução no espaço do afixo de ⎯UR(z) é uma espiral, começando com ⎯UR

G ; mas, ao contrário da onda incidente, esta espiral agora é descrita no sentido positivo dos ângulos (representa avanço temporal) e é crescente (aumento de amplitude) à medida que aumenta a distância ao gerador. (fig 5) .

z

u (t1, z)

i (t1, z)

⎯UI (z)

⎯II (z)

z

⎯Zc ⇒ P

Fig. -.4: A onda incidente de corrente tem a mesma forma que a de tensão, apenas desfasada de um ângulo igual ao argumento θZw de ⎯Zw . Visto que - π/4 ≤ θZw ≤ π/4 , o valor médio da potência relacionada com as ondas incidentes aponta no sentido da carga.



Passando ao modo temporal, uR(z,t) = [UR

G ⋅e+αz ] ⋅ cos [ω⋅t + (θ’+ β⋅z)] vê-se que a sinusoide temporal em cada ponto tem uma amplitude tanto maior e está tanto mais adiantada quanto mais longe do gerador é observada. O facto de a tensão crescer com o afastamento ao gerador justifica-se pelo facto de a onda viajar da carga para o gerador. Ao afastarmo-nos do gerador, vamos encontrando a onda cada vez mais perto da sua origem e por isso menos atenuada e menos atrasada (ou mais adiantada). Com efeito, calculando agora a sua velocidade de fase,

dϕ =(∂ϕ/∂t)dt+(∂ϕ/∂z)dz = ω⋅dt + β⋅dz = 0 ⇒ dz/dt = v = −ω/ β ou seja, a velocidade é no sentido negativo do eixo dos z, pelo que a onda viaja para o gerador. Por outro lado, uma vez que na solução em onda reflectida se escolheu o sinal (−) para a impedância de onda,

⎯IR(z) = −⎯UR(z) /⎯Zw há uma troca de sentido convencionado para a corrente reflectida, em relação ao que havia para a incidente. Repetindo agora o raciocínio anterior, verifica-se que isso leva a um trânsito médio de potência da carga para o gerador, ou seja, no sentido em que viajam as ondas reflectidas. Assim, verifica-se que há duas ondas de tensão (e duas de corrente). Ambas se atenuam e se atrasam à medida que avançam, e transportam energia no sentido em que avançam. Mas uma avança do gerador para a carga, e outra da carga para o gerador. O transporte de energia para o gerador e vinda da carga, que é passiva, só se explica porque houve anteriormente energia emitida pelo gerador, que incidiu na carga e se reflectiu (total ou parcialmente) na carga e viajou de volta ao gerador.

⎯UR (z)

⎯IR (z)

z

⎯Zc ⇐ P

Fig. -.5: Onda reflectida: Representação de uR(z) e iR(z) num instante t=t1. Representação de⎯UR (z) no plano de Argand A tensão reflectida tem amplitude crescente e adianta-se com o aumento da distância z ao gerador. O afixo da sua amplitude complexa descreve uma espiral crescente com z no plano de Argand. A onda viaja com velocidade –v, ou seja, para o gerador. A corrente tem a mesma forma que a tensão, apenas desfasada de um ângulo igual ao argumento θZw de ⎯Zw . Como ⎯IR (z)= −⎯UR (z)/ ⎯Zw , há uma troca de sentido da corrente em relação à incidente. Assim, e porque - π/4 ≤ θZw ≤ π/4 , o valor médio da potência relacionada com as ondas reflectidas aponta no sentido da carga para o gerador.

z

uR(t1,z) iR(t1,z)

⎯URG

z

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