10_Cinematica_conceitos_fundamentais00

EDUCACIONAL

S2

S1 DS

0t1 t2

S

O

(t)

P

FísicaFísicaFísicaFísicaFísica

FISINT0103 1

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda os movimentos,sem se importar com suas causas.

Ponto material é um corpo cujas dimensões podem serdesprezadas. Quando um ponto material está em movimento,costuma ser chamado de móvel. A linha geométrica que seobtém ligando os pontos por onde o móvel passa denomina-se trajetória , que pode ser retilínea, curvilínea ou mesmoreduzir-se a um único ponto (se não houver movimento).

Para se dizer se uma partícula está em movimento ou em repousoé indispensável adotar um referencial.

Os conceitos de movimento e repouso são relativos, poisdependem sempre do referencial escolhido. Em condiçõesnormais, os prédios estão parados (em repouso) em relação àTerra, porém estão em movimento em relação ao Sol ou emrelação à Lua.

Após um referencial ter sido escolhido, para se dizer se umapartícula está em movimento ou em repouso, basta verificar sea posição dessa partícula em relação ao referencial permanecea mesma (repouso) ou se modifica (movimento) no decorrer dotempo.

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (V M)

Quando se estuda o movimento sobre a trajetória, o referencialpode ser um ponto da mesma, chamado origem dos espaços O.Orientando-se a trajetória, o valor algébrico (positivo ounegativo) da distância entre a posição P da partícula e a origemO corresponde ao espaço ou abscissa S da partícula num dadoinstante de tempo t.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade utilizadapara espaço é o metro (m) e para o tempo é o segundo (s).Essas unidades, juntamente com a unidade de massa chamadaquilograma (kg), constituem as unidades fundamentais de todaa Mecânica no SI.

Variação de espaço DDDDDS ou deslocamento escalar é a diferençaentre a posição ou espaço final S2 no instante t2 e o espaçoinicial S1 no instante t1.

DDDDDS = S2 – S1

Intervalo de tempo DDDDDt é a diferença entre o instante de tempofinal t2 e o instante de tempo inicial t1.

DDDDDt = t2 – t1

Distância percorrida d é a medida de quanto realmente andaum corpo, não importanto o sentido do movimento.

d = | D| D| D| D| DS1 | + |D|D|D|D|DS2| + ...

Velocidade escalar média (ou velocidade média) é a razão ouquociente entre a variação de espaço DS e o correspondenteintervalo de tempo Dt:

V StM = ∆

∆V

S St tM =

−−

2 1

2 1

Se a variação de espaço for medida para um intervalo de tempomuito pequeno (tendendo ao valor zero), o quociente serádenominado velocidade instantânea. É o caso da velocidadefornecida pelos velocímetros dos veículos em geral.

Decorre da definição que a velocidade é medida em m/s, emboratambém possa ser medida em km/h ou cm/s no S.I..

1 km = 1000 m

1 h = 60 min = 3600 s

110003600

13 6

kmh

ms

= =,

m/s Þ 1 m/s = 3,6 km/h

CinemáticaCinemáticaCinemáticaCinemáticaCinemática

EDUCACIONAL2 FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA

FISINT0103

O intervalo de tempo é uma grandeza sempre positiva (Dt > 0),pois o tempo jamais volta. Já as variações de espaço podemser positivas (DS > 0), negativas (DS < 0) ou nulas (DS = 0),dependendo da posição final da partícula comparada com aposição inicial da mesma.

Se o movimento ocorre no mesmo sentido da orientação datrajetória (movimento progressivo), S2 é sempre maior que S1e a variação de espaço (assim como a velocidade média) épositiva (DDDDDS > 0 Þ Þ Þ Þ Þ VM > 0).

Se o movimento ocorre em sentido oposto ao da orientação datrajetória (movimento retrógrado), S2 é sempre menor que S1e a variação de espaço (assim como a velocidade média) énegativa (DDDDDS < 0 Þ Þ Þ Þ Þ VM < 0).

Após uma sucessão de movimentos, se a posição final coincidircom a posição inicial, tudo terá se passado como se a partículanão tivesse saído do lugar, isto é, a variação de espaço (assimcomo a velocidade média) será nula (DDDDDS = 0 Þ Þ Þ Þ Þ VM = 0).

ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA ( aaaaaM)

Suponha uma partícula em movimento, de modo que no instantet1 ela possua velocidade escalar V1 e no instante posterior t2ela possua velocidade escalar V2.

No intervalo de tempo Dt = t2 – t1 houve uma correspondentevariação da velocidade escalar dada por DV = V2 – V1.

Aceleração escalar média (ou simplesmente aceleração média)é a razão ou quociente entre a variação de velocidade DV e ocorrespondente intervalo de tempo Dt.

α αM MVt

V Vt t

= =−−

∆∆

ou 2 1

2 1

Se a variação de velocidade for medida num intervalo de tempomuito pequeno (tendendo a zero), o quociente serádenominado aceleração instantânea a a a a a .Decorre da definição que a aceleração é medida em m/s por s,ou seja, m/s2, embora também possa ser medida em km/h2,cm/s2, pol/min2 no SI . As variações de velocidade D D D D DV econseqüentemente as acelerações a a a a a podem ser positivas(se V2 > V1), negativas (se V2 < V1) ou nulas (se V2 = V1).

CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS

Dependendo de como a velocidade se comporta, os movimentospodem ser classificados como acelerados ou retardados.Considere um veículo em movimento ao longo de uma estrada.Se o velocímetro indicar sempre o mesmo valor da velocidade, omovimento é dito uniforme e não apresenta aceleração escalar.Se o velocímetro indicar valores diferentes a cada instante, omovimento é considerado variado e, neste caso, a velocidadepode estar aumentando (figura A) ou diminuindo (figura B).

O velocímetro de um veículo só consegue marcar o valor absoluto(módulo) da velocidade escalar. Se a velocidade aumenta em valorabsoluto o movimento é acelerado (figura A). Se a velocidadediminui em valor absoluto o movimento é retardado (figura B).

Algebricamente, pode-se constatar se o movimento é ou nãoacelerado: quando a velocidade e a aceleração têm o mesmosinal algébrico, o movimento é acelerado; se os sinais algébricosda velocidade e da aceleração forem opostos, o movimento éretardado. Resumindo:

Acelerado: | V | crescente Û Û Û Û Û V e a a a a a têm mesmo sinal

Retardado: | V | decrescente ÛÛÛÛÛ V e a a a a a têm sinais opostos

Movimento Acelerado Progressivo

Movimento Acelerado Retrógrado

Movimento Retardado Progressivo

Movimento Retardado Retrógrado

V<0a < 0

DS4 DS3 DS2 DS1

+

a > 0V>0

DS1 DS2 DS3 DS4

+

a < 0V>0 +

DS1 DS2 DS3 DS4

a > 0V< 0 +

DS4 DS3 DS2 DS1

010

20

50

30 70

80

90

100

40 60

Figura Akm/h

50 60

100Figura Bkm/h

70

80

90

010

20

3040

V > 0

+

progressivo

V < 0+

retrógrado

(t1) (t2)

V1 V2

EDUCACIONAL3CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA

FISINT0103

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Com base na trajetória de um móvel dada abaixo,determine os deslocamentos escalares a seguir:

a) quando o móvel se desloca de A para C

b) quando o móvel se desloca de B para E

c) quando o móvel se desloca de E para A

d) quando o móvel se desloca de C até E e volta ao ponto C

e) quando o corpo permanece em repouso sobre o ponto A

Resolução:

a) DS = SC - SA = 2 - (- 3) = 5 m

b) DS = SE - SB = 5 - 0 = 5 m

c) DS = SA - SE = - 3 - 5 = - 8 m

d) DS = SC – SC = 2 – 2 = 0

e) DS = SA - SA = - 3 - (- 3) = 0

02. As anotações feitas por um motorista ao longo de umaviagem são mostradas no esquema:

Analisando as informações contidas neste esquema, calculea velocidade média entre as cidades A e D, em km/h.

Resolução:

VM = S St tD A

D A

–– =

540 20013 9

3404

85−− = = km h/

03. Em relação ao exercício 02, o motorista passa pela cidadeB novamente às 15h. Calcule a velocidade média do móvele a distância percorrida entre A e B.

Resolução:

VM = S St t

km hB A

B A

−− =

−− = =

'/

380 20015 9

1806

30

Distância percorrida = dA ® D + dD ® B = 340 + 160

A distância percorrida foi de 500 km.

04. Um ônibus faz o trajeto entre duas cidades em duas etapas.Na primeira, percorre uma distância de 150 km em 90 minutos.Na segunda, percorre 220 km em 150 minutos. Calcule avelocidade média do ônibus durante a viagem.

Resolução:

DS1 = 150 km; Dt1 = 1,5 h

DS2 = 220 km; Dt2 = 2,5 h

VM = ∆ ∆∆ ∆

S St t1 2

1 2

150 22015 2 5

3704

++ =

++ =

, ,

VM = 92,5 km/h

A velocidade média do ônibus na viagem foi 92,5 km/h.

05. Seja a função horária espaço x tempo, que representa omovimento de uma partícula: S = 2t2 + 6t – 3 (SI).

a) Calcule a posição da partícula nos instantes:

t1 = 0 Þ Resolução: S = 2 . 02 + 6 . 0 – 3 Þ S = – 3 m

t2 = 1s Þ Resolução: S = 2 . 12 + 6 . 1 – 3 Þ S = 5 m

t3 = 2s Þ Resolução: S = 2 . 22 + 6 . 2 – 3 Þ S = 17m

b) Calcule a velocidade média da partícula entre osinstantes t1 = 0 e t3 = 2s

Resolução:

VM = f i

f i

S SSt t t

−∆=

∆ − = 17 – (–3)

2 – 0 = 10 m/s

A velocidade média da partícula foi de 10 m/s.

2 m 4 m 5 m

B C D EA

- 3 m

A B C D

200 km9,0 h

380 km11,0 h

420 km12,0 h

540 km13,0 h


FISINT0103

EXERCÍCIOS

06. A velocidade de propagação do som no ar (VS), emdeterminadas condições, é 1224 km/h, enquanto nasmesmas condições a velocidade da luz (VL) é3,0 . 105 km/s. Neste caso, podemos afirmar que a relaçãoaproximada de VS e VL é:

a) VL = 4,08 . 10- 2 VS

b) VL = 2,45 . 102 VS

c) VL = 8,8 . 104 VS

d) VL = 2,45 . 105 VS

e) VL = 8,8 . 105 VS

07. O gráfico representa aproximadamente a velocidade de umcarro durante uma viagem. A velocidade escalar média dessecarro durante as 10 horas de viagem é:

a) 21 km/h

b) 26,2 km/h

c) 5 km/h

d) 6,25 km/h

e) 15 km/h

08. O desenho abaixo corresponde ao esboço das anotaçõesfeitas por um motorista ao longo de uma viagem.

Analisando as afirmações contidas neste esboço, podemosconcluir que a velocidade escalar média desenvolvida pelomotorista entre as cidades A e D foi, em km/h:

a) 90 REPETIDO = EX 2

b) 85

c) 80

d) 70

e) 60

V (km/h)

3020

0 5 7 10

t (h)

A B C D

200 km9 h

380 km11 h

420 km12 h

540 km13 h

09. Em relação ao exercício anterior, se o motorista passarnovamente pela cidade B às 15 h, a sua velocidade escalarmédia, bem como a distância percorrida entre A e B, serão:

a) 83 km/h; 580 km

b) 30 km/h; 500 km

c) 83 km/h; 500 km

d) 20 km/h; 580 km

e) 90 km/h; 180 km

10. (UF-RN) Um móvel, em movimento retilíneo, está comaceleração constante de 2 m/s2. Isso significa que:

a) o móvel percorre 2 m em cada segundo

b) o móvel percorre 22m em cada segundo

c) a velocidade do móvel varia 2 m/s em cada segundo

d) a velocidade do móvel varia 22 m em cada segundo

e) a velocidade do móvel também é constante

11. (PUC-MG) Um objeto movendo-se em linha reta tem, noinstante 4,0 s, velocidade 6,0 m/s e, no instante 7,0 s,velocidade 12,0 m/s. Sua aceleração média nesse intervalode tempo é, em m/s2:

a) 1,6

b) 2,0

c) 3,0

d) 4,2

e) 6,0

12. (FUVEST) Partindo do repouso, um avião percorre a pistacom aceleração constante e atinge a velocidade de 360 km/hem 25 segundos. Qual o valor da aceleração, em m/s2 ?

a) 9,8

b) 7,2

c) 6,0

d) 4,0

e) 2,0


FISINT0103

V

t

t0

S0

SV

S

S0

0 t

V > 0

S

S0

0 t

V < 0

VV > 0

0 t

V

0 tV < 0

MOVIMENTO UNIFORME (M. U.)

Movimento uniforme é aquele em que a velocidade permanececonstante (não-nula) no decorrer do tempo: o móvel apresentavariações de espaço iguais em intervalos de tempos iguais.Como conseqüência, no M.U. a velocidade média coincide coma velocidade em cada instante.

M.U. ÛÛÛÛÛ VM = V = constante (¹(¹(¹(¹(¹ 0)

FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS

Função horária é aquela em que uma das variáveis é o tempo (t).Em Cinemática é comum trabalhar-se com a função horária dosespaços S = f(t), a função horária das velocidades V = f(t) e afunção horária das acelerações a = f(t), que relacionam com otempo respectivamente o espaço S, a velocidade V e aaceleração a. Quando um movimento é uniforme, sua funçãohorária dos espaços é de 1o grau (função linear).Considere que o móvel da figura abaixo realiza um movimentouniforme sobre a trajetória desenhada. Nos instantes t0 e tele ocupa respectivamente os espaços S0 e S.

A função horária dos espaços no Movimento Uniforme é:

S = S0 + V . t

As unidades utilizadas devem ser sempre especificadas. Muitasvezes, indica-se apenas o sistema de unidades.Por exemplo, se a função horária do movimento de um móvel édada pela expressão:

S = 10 + 5 . t (S.I.)

isto significa que os espaços estão sendo medidos em metrose os instantes de tempo em segundos. Neste caso, o espaçoinicial vale S0 = 10 m e a velocidade vale V = 5 m/s e é possíveldizer, a cada instante de tempo t, onde se localiza o móvel natrajetória S, ou vice-versa. A partir da função horária, é possívelobter uma tabela ou um diagrama (gráfico) do espaço em funçãodo tempo que represente o movimento, como será vistoadiante.

DIAGRAMAS HORÁRIOSDO MOVIMENTO UNIFORME

DIAGRAMA HORÁRIO DOS ESPAÇOS

Como a função horária dos espaços é do 1o grau em t, o gráficocorrespondente será uma reta oblíqua, que poderá ser crescenteou decrescente, dependendo do movimento ser progressivo(V > 0) ou retrógrado (V < 0).

DIAGRAMA HORÁRIO DAS VELOCIDADES

Sendo a velocidade constante e não-nula, seu gráfico seráuma reta paralela ao eixo dos tempos.Ficará acima do eixo t se o movimento for progressivo (V > 0).Ficará abaixo do eixo t se o movimento for retrógrado (V < 0).

DIAGRAMA HORÁRIO DAS ACELERAÇÕES

Como no movimento uniforme a velocidade não varia, então aaceleração será constantemente nula e seu gráfico será umareta coincidente com o eixo dos tempos.

a

0

a = 0t


FISINT0103

S

S0

t0 t

t – t0

S – S0q

S

t

PROPRIEDADES DOS DIAGRAMAS


No diagrama horário dos espaços, a velocidade escalar énumericamente igual à tangente do ângulo formado entre ográfico e o eixo t.

tg St

VN

θ = =∆∆


O diagrama horário das velocidades apresenta duaspropriedades importantes:

①①①①① a aceleração escalar é numericamente igual à tangente doângulo formado entre o gráfico e o eixo t

②②②②② a área compreendida entre o gráfico e o eixo t representanumericamente a variação de espaço entre os instantes detempo considerados.

A

t1 t2t

V

tg Vt

Nθ α= =∆

∆ A SN= ∆


No diagrama horário das acelerações, a área compreendidaentre o gráfico e o eixo t representa numericamente a variaçãode velocidade entre os instantes de tempo considerados.

A VN= ∆

A

a

t1 t2t

V

V0q

t0 t

t – t0

t

V – V0

V

EXERCÍCIO RESOLVIDO

13. Um móvel percorre uma trajetória retilínea, obedecendo àseguinte função horária: S = –3 + 3t (SI). Determine:

a) a posição do móvel no instante t = 0b) a velocidade do móvelc) o espaço do móvel no instante t = 5sd) o instante em que o móvel passa pela origem da trajetória

e) o instante em que o móvel passa pela posição 24m

Resolução:

a) S = - 3 + 3 . 0 = - 3m \ S0 = - - - - - 3mb) V = 3m/sc) S = - 3 + 3 . 5 = - 3 + 15 \ S5 = 12 md) Na origem S = 0

0 = - 3 + 3t Þ 3t = 3 Þ t = 1se) S = 24 m temos: 24 = –3 + 3t Þ 7 = 3t Þ t = 9s

EXERCÍCIOS

14. Uma partícula em movimento retilíneo tem suas posiçõesvariando com o tempo, de acordo com o gráfico abaixo. Noinstante t = 1,0 minuto, sua posição x será:a) 5,0 m

b) 1,2 . 101 m

c) 2,0 . 101 md) 3,0 . 102 m

e) 1,2 . 103 m

15. Um móvel A , de pequenas dimensões, descreve ummovimento retilíneo uniforme quando um outro B, de150 m de comprimento, deslocando-se paralelamente a A,passa por ele no mesmo sentido, com velocidade tambémconstante de 108 km/h. O tempo de ultrapassagem de Bpor A foi de 7,5 s. A velocidade do móvel A (em m/s) é:

a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10

16. (UF-PI) Dois móveis A e B obedecem às funções horáriasSA= 90 – 2 t e SB = 4 t, com unidades no SI. Podemosafirmar que o encontro dos móveis se dá no instante:a) 0 s b) 15 s c) 30 s d) 45 s e) 90 s

17. (ESPM) Dois carros A e B, de dimensões desprezíveis,movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido. Noinstante t = 0, os carros encontram-se nas posições indicadasna figura. Determine depois de quanto tempo A alcança B.

a) 200 s b) 100 s c) 50 s d) 28,6 s e) 14,3 s

x (m)

10

0 0,5 t (s)

A B

20m/s

1 000 m

15m/s

t


FISINT0103

t

+

V0

t0

V

V

0

a > 0

acel

erad

o

reta

rdad

o

t

V0

acelerado

retardado

VV0

0

a < 0

t

V < 0

M

S

0V = 0

t1t

V > 0a > 0

retrógrado retardado progressivo acelerado

a < 0

tt10

S

M

V > 0 V < 0

V = 0

retrógrado aceleradoprogressivo retardado

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.)

Movimento uniformemente variado é aquele em que aaceleração permanece constante (não nula), isto é, o móvelapresenta variações de velocidade iguais em intervalos detempo iguais. Como conseqüência, no M.U.V. a aceleraçãomédia coincide com a aceleração em cada instante.

M.U.V. ÛÛÛÛÛ a a a a aM = aaaaa = constante ¹¹¹¹¹ 0

FUNÇÃO HORÁRIA DAS VELOCIDADES

Quando um movimento é uniformemente variado, sua funçãohorária das velocidades é do 1o grau em t (função linear).Considere o móvel da figura abaixo, realizando um M.U.V. sobrea trajetória desenhada. Nos instantes t0 e t ele apresentarespectivamente as velocidades V0 e V. Portanto, a funçãohorária da velocidade é:

V = V0 + aaaaa . t


Como a função horária das velocidades é do 1o grau em t, ográfico correspondente será uma reta oblíqua, que poderá sercrescente ou decrescente, dependendo da aceleração serrespectivamente positiva (a > 0) ou negativa (a < 0).

O movimento poderá ser classificado como:progressivo (V > 0) ou retrógrado (V < 0).Observando simultaneamente os sinais da velocidade e daaceleração, o gráfico permite classificar o movimento comoacelerado (V . a a a a a > 0) ou retardado (V . a a a a a < 0).

No M.U.V. a velocidade média entre dois instantes é igual àmédia aritmética dos valores algébricos das velocidadesnesses mesmos instantes.

VM =+V V02

FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS

Quando um movimento é uniformemente variado, sua funçãohorária dos espaços é do 2o grau em t (função quadrática).

Para: t0 = 0 Þ S S V t2

t0 02= + +

α


Como a função horária dos espaços é do 2o grau em t, o gráficocorrespondente será um arco de parábola, podendo apresentarconcavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo daaceleração ser respectivamente positiva (a > 0) ou negativa(a < 0).

No instante t1 correspondente ao vértice do arco de parábolaa velocidade é nula, pois o movimento muda de sentido,passando de progressivo para retrógrado, ou vice-versa.


Sendo a aceleração constante e não-nula, seu gráfico seráuma reta paralela ao eixo dos tempos.Ficará acima do eixo t se a aceleração for positiva (a > 0).Ficará abaixo do eixo t se a aceleração for negativa (a < 0).

a

a > 0

t

0

a

t

0 a < 0


FISINT0103

EQUAÇÃO DE TORRICELLIÉ possível relacionar o espaço e a velocidade no M.U.V.através de uma equação não-horária, isto é, independenteda variável tempo. Tal equação é denominada equação deTorricelli, mostrada a seguir:

V2 = V02 + 2aaaaa DDDDDS


18. Utilizando os dados da tabela abaixo, determine:

a) a aceleração do móvel no intervalo de tempo dado;b) o gráfico V x t;c) o instante em que a velocidade se anula;d) se o movimento é progressivo ou retrógrado e

acelerado ou retardado.

Resolução:

a) a = 6 ( 2)

4 0

− −−

= 2m/s2

b)

c) Observando a tabela ou o gráfico, verificamos que avelocidade se anula para t = 1s.

d) O movimento inicialmente é retrógrado (V < 0) eretardado, pois | V | diminui até t = 1s; após esteinstante, passa a ser progressivo (V > 0) e acelerado,pois | V | aumenta.

EXERCÍCIOS

19. (PUC) As pessoas que viajam pela Rodovia dosBandeirantes, no trecho São Paulo — Campinas, passampor dois pedágios. O primeiro localiza-se no km 39 e osegundo, no km 78. Quando passou pelo primeiro pedágio,uma pessoa recebeu um comprovante indicando o horário10h30min e, quando passou no segundo pedágio, umcomprovante indicando 11h. Determine:

a) a velocidade média do veículo entre os dois pedágios

b) a velocidade máxima do veículo entre os dois pedágios,sabendo que a velocidade do veículo variou com o tempo,de acordo com o gráfico V x t abaixo.

20. (MACK) O recordista mundial dos 100m rasos cumpriu opercurso num intervalo de tempo próximo a 10s. Admitindoque o movimento do corredor seja uniformemente aceleradoa partir do repouso, durante toda a corrida, sua velocidadeno instante da chegada é próxima de:

a) 72 km/hb) 54 km/hc) 36 km/hd) 18 km/he) 10 km/h

21. (MACK) Admitindo que um certo corredor, na disputa dos200m rasos, cumpra o percurso em aproximadamente 20se que sua velocidade varie com o tempo segundo o gráficoabaixo, sua velocidade no instante da chegada seráaproximadamente:


22. (UEL-PR) Uma partícula executa movimento uniformementevariado, em trajetória retilínea, obedecendo à função horáriaS = 16 – 40t + 2,5t2 , com o espaço S medido em metros e otempo t, em segundos. O movimento da partícula muda desentido no instante t, em segundos, igual a:

a) 4,0b) 8,0c) 10d) 12e) 16

23. (UEL-PR) No exercício anterior, a velocidade escalar média(em m/s) da partícula entre t1 = 2,0s e t2 = 6,0s é:

a) – 15 b) 15 c) – 20 d) 20 e) – 40

V (m/s) t (s)

– 20246

01234

– 2

6

4

2

V (m/s)

1 3 40

t (s)

–22

V (km/h)

Vmáx

0 0,5t (h)

V (m/s)

10

0 5,0 10 15 20

t (s)


FISINT0103

®®®®®V

B extremidade

origemA

AB→

= ®V

Vetor AB = vetor V

®®®®®a

®®®®®b

®®®®®c

®®®®®d

®®®®®e

®®®®®x

sentido direção

módulo

1 cm

®f

®g

®h

®i

®j

VETORES

GRANDEZAS FÍSICAS ESCALARES E VETORIAIS

Grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido. Para cadagrandeza física, existem várias unidades de medida.

Grandezas escalares são as que ficam bem caracterizadasapenas pelo conhecimento de seu valor numérico e darespectiva unidade de medida.

Exemplos de grandezas escalares: comprimento, área, volume,tempo, temperatura, densidade, energia etc.

Grandezas vetoriais são as que só ficam bem caracterizadasatravés do conhecimento de sua direção e de seu sentido,além de seu valor numérico e respectiva unidade de medida.

Exemplos de grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força,impulso, campo elétrico etc.

As grandezas vetoriais são representadas matematicamente atravésde vetores, isto é, números associados a uma direção e a umsentido. Os vetores são representados geometricamente através desegmentos de reta orientados que permitem a visualização de seumódulo ou intensidade (valor numérico), de sua direção e de seusentido. Por exemplo, observe o segmento orientado AB:

Na figura abaixo, o vetor ® x apresenta:

módulo: 5 unidades (na escala 1 unidade = 1 cm)direção: inclinadasentido: para baixo à esquerda

Quando o vetor representa uma grandeza vetorial, usa-se onome intensidade para o módulo do vetor com a respectiva

unidade de medida. Assim, se o vetor ®®®®®x representar uma

aceleração e sendo 1cm equivalente a 2m/s2, escrevemos:

| ®x | = |

®a | = 10 m/s2 ou simplesmente a = 10 m/s2

Dois ou mais vetores são iguais quando apresentam o mesmomódulo, a mesma direção e o mesmo sentido:

®a =

®b =

®c

Dois vetores são opostos entre si quando apresentam o mesmomódulo e a mesma direção, porém sentidos opostos:

®d = –

®e

ou ®e = –

®d

Um vetor pode ser multiplicado por um número real n, obtendo-seum vetor com a mesma direção e módulo n vezes maior. O sentidoserá o mesmo se n for positivo e o oposto se n for negativo.

®g = 2

®f

®h = 3

®f

®i = –

®g = – 2

®f

®j = 1/3

®f

ADIÇÃO DE VETORES

Há basicamente dois métodos equivalentes para somar vetores:

· o da linha poligonal (regra do polígono) e· o do paralelogramo (regra do paralelogramo).

Método do Polígono

É aplicado quando dois vetores são representados de tal formaque a extremidade do primeiro coincide com a origem dosegundo.Vetor soma ou resultante é o vetor com origem na origem doprimeiro e extremidade na extremidade do segundo.

Método conveniente para vários vetores desenhados em escala.

®®®®®a

®®®®®b

®®®®®b

®®®®®a

®®®®®S

®®®®®S =

®®®®®a +

®®®®®b


FISINT0103

S0

S

DS

D®r

Método do Paralelogramo

É aplicado quando dois vetores são representados de formaque suas origens coincidam.Vetor soma ou resultante é a diagonal do paralelogramo obtidotraçando retas paralelas aos vetores.

Se o ângulo entre os vetores for qqqqq, o módulo ou intensidadedo vetor resultante é dado pela expressão obtida da lei doscossenos:

| ®®®®®S | = 2 2a + b + 2ab cosè

SUBTRAÇÃO DE VETORES

É a soma de um vetor com o vetor oposto ao segundo vetor.

Vetor Oposto é um vetor que tem a mesma direção e módulodo vetor origem, porém tem sentido oposto.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES

Dado um vetor qualquer ®®®®®v, as projeções ortogonais

(perpendiculares) sobre os eixos cartesianos x e y são os

vetores ®vx e

®vy representados a seguir.

No triângulo retângulo temos:

sen q = v

vy

\\\\\ vy = v . sen q

cos q = v

vx

\\\\\ vx = v . cos q

Note que ®v =

®vx +

®vy e que |

®v | = v vx y

2 2+ (Pitágoras)

VETOR DESLOCAMENTO ( D D D D D®r )

É a linha reta que une o ponto de partida ao ponto de chegada.O deslocamento vetorial independe do sistema de referência.Observamos em destaque o seu deslocamento vetorial D

®r e

o seu deslocamento escalar DS. Como o deslocamento escalaré sempre medido sobre a trajetória, podemos concluir que:

| DDDDD®®®®®r | £££££ | DDDDDS |

| D®r | = | DS | ocorre apenas quando a trajetória for retilínea.

®®®®®a

®®®®®a

®®®®®b

®®®®®b

®®®®®S =

®®®®®a +

®®®®®b

®®®®®S

qqqqq

A®

–A®

®®®®®a ®®®®®

a®®®®®b

®®®®®–b

®®®®®D

®®®®®D =

®®®®®a –

®®®®®b =

®®®®®a + (–

®®®®®b )

®®®®®vy

®®®®®vy

®®®®®v

®®®®®vx

qqqqq

®®®®®v

qqqqq

®®®®®vx

x

y


FISINT0103

movimento retardado

®®®®®v

®®®®®at

®®®®®acp

®®®®®a

®®®®®a =

®®®®®at +

®®®®®an

movimento acelerado

®®®®®v

®®®®®at

®®®®®a =

®®®®®at +

®®®®®acp

®®®®®a

®®®®®acp

Observe que ®®®®®

a = ®®®®®at +

®®®®®acp e que a2 = a2

t + a2cp

FA aceleração tangencial ®®®®®at varia apenas o módulo do

vetor velocidade e apresenta as seguintes características:

módulo: igual ao da aceleração escalar;

direção: tangente à trajetória;

sentido: a) o mesmo do movimento, se este for

acelerado: ®®®®®v e

®®®®®at têm o mesmo sentido;

b) o oposto ao do movimento, se este for

retardado: ®®®®®v e

®®®®®at têm sentidos opostos.

FA aceleração normal ou centrípeta ®®®®®acp varia apenas a

direção do vetor velocidade e apresenta as seguintes

características:

módulo: | ®acp | =

VR

2 , onde

V é o módulo da velocidade instantânea e

R é o raio de curvatura da trajetória;

direção: normal (perpendicular) à trajetória;

sentido: dirigido para “dentro” da trajetória.

reta tangente

trajetória reta normal

®®®®®at

®®®®®acp

®®®®®a

®®®®®V 1

®®®®®V 2

®®®®®V 3

®®®®®V 4

®®®®®V 1

®®®®®V 2 ®®®®®

V 3

VETOR VELOCIDADE MÉDIA

Assim como a velocidade escalar média,o vetor velocidade média é a razão ou oquociente entre o vetor deslocamentoDDDDD

®®®®®r e o intervalo de tempo DDDDDt correspondente.

O vetor ®VM tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido

do vetor D®r , pois Dt é uma grandeza escalar sempre positiva.

Para um intervalo de tempo muito pequeno, a velocidadevetorial média denomina-se velocidade vetorial instantânea,indicada por

®V.

A velocidade vetorial instantânea ®V caracteriza-se por ter:

direção: tangente à trajetória;sentido: igual ao sentido do movimento;módulo: igual ao módulo da velocidade instantânea (escalar).

Nos movimentos retilíneos, uniformes ou não, a direção dovetor velocidade permanece constante.

Nos movimentos curvilíneos, ainda que uniformes, a direçãoda velocidade vetorial varia a cada instante.

VETOR ACELERAÇÃO MÉDIA

Assim como a aceleração escalar média, o vetor aceleração médiaé a razão ou quociente entre a variação do vetor velocidade DDDDD

®®®®®V

e o intervalo de tempo DDDDDt correspondente, isto é:

®®®®®am =

∆∆

Vt

→

Num intervalo de tempo muito pequeno, o vetor aceleraçãovetorial média denomina-se aceleração vetorial instantânea

®®®®®a.

COMPONENTES DA ACELERAÇÃO VETORIAL

A aceleração vetorial pode ser decomposta em:aceleração tangencial

®at, com direção tangente à trajetória;

aceleração normal ou centrípeta ®acp, com direção normal à

trajetória, ou seja, perpendicular à tangente.

Mr

Vt

→→ ∆

=∆


FISINT0103

P


24. Dados os vetores ®A,

®B,

®C e

®D, efetue as operações abaixo.

a)®A +

®B b)

®C +

®D c)

®A + C + B

d)®A –

®D e)

®X = 2

®C f)

®Y =

45

®A

Resolução:

25. No sistema em equilíbrio abaixo, a intensidade da força ®F1 é

100N. A soma das forças ®F2 e

®F1 tem intensidade igual a:

a) 137 Nb) 100 Nc) 50 Nd) 50 Ne) 37 N

a)

b)

c)

0

®®®®®

B

®®®®®

A

®®®®®

C

®®®®®

C®®®®®

B

®®®®®

A + ®®®®®

C + ®®®®®

B

®®®®®

A

®®®®®

C + ®®®®®

D

®®®®®

D

®®®®®

A + ®®®®®

B

d)

e)

f)

®®®®®

D

®®®®®

A

®®®®®

Y

®®®®®

A – ®®®®®

D

®®®®®

X

26. Dos grupos de grandezas físicas abaixo, aquele queapresenta apenas grandezas vetoriais é:a) força, massa e aceleração.b) força, trabalho e quantidade de movimento.c) velocidade, aceleração e quantidade de movimento.d) energia, trabalho e impulso.e) velocidade, impulso e energia.

27. (PUC) Quantas direções e quantos sentidos uma retadetermina no espaço?a) Duas direções e dois sentidos.b) Duas direções e um sentido.c) Uma direção e um sentido.d) Uma direção e dois sentidos.e) Uma direção e nenhum sentido.

28. (UF-MG) Um ventilador acaba deser desligado e está parando vaga-rosamente, girando no sentidohorário. A direção e o sentido daaceleração da pá do ventiladorno ponto P é:

a) b) c)

d) e)

29. (UF-PB) Assinale as afirmativas corretas: I. Grandezas vetoriais sempre podem ser somadas. II. Grandezas vetoriais e escalares podem ser somadas.III. Pode-se multiplicar grandeza vetorial por escalar.IV. Apenas grandezas escalares têm unidades.

a) I e II b) I c) IV d) I e IV e) III

30. (UF-RS) Os lados dos quadrados abaixo são formadospor vetores de módulos iguais.

A resultante do sistema de vetores é nula na figura:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. (UCS) Uma pessoa sai de sua casa e percorre asseguintes distâncias em qualquer ordem possível: I. 30 metros para leste II. 20 metros para norteIII. 30 metros para oeste

No final das três caminhadas, a distância a que ela seencontra do ponto de partida é:a) 80 m b) 50 m c) 20 m d) 40 m e) 60 m

F→

1

F→

2

F→

3

150º

P PP

P P

(1) (2) (3) (4) (5)

®®®®®D

®®®®®B

®®®®®A

®®®®®C


FISINT0103

RST

S = R Þ j = 1 rad

S = R1 rad

R

CINEMÁTICA ANGULAR

CONCEITOS BÁSICOS

Uma partícula realiza um movimento circular quando sua

trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.

Na trajetória circular de raio R e centro O da figura, uma

partícula ocupa a posição P0 no instante t0 = 0 e a posição

P no instante t. O espaço S no instante t é a medida do arco

P0P, onde P0 corresponde à origem dos espaços.

Observe que o arco de circunferência S corresponde ao ângulo

central jjjjj (letra grega fi). O arco corresponde ao espaço

linear S e o ângulo central correspondente é denominado

espaço angular jjjjj .

jjjjj = SR

ou DDDDDjjjjj = ∆ SR

Embora possa ser medido em graus (º), o espaço angular

geralmente é medido em radianos (rad).

Um radiano corresponde ao ângulo central que determina na

circunferência um arco S de comprimento igual ao raio R.

Quando o comprimento do arco S é igual ao raio R da

circunferência, o valor de j é unitário, isto é, vale 1 radiano.

A partir do espaço angular é possível definir outras grandezas

angulares cinemáticas, tais como a velocidade angular média

(w(w(w(w(w m) e a aceleração angular média (gggggm), da mesma forma

como foram definidas a velocidade escalar (linear) e a aceleração

escalar (linear).

Vm = ∆∆

St

wwwwwm = ∆

∆

ϕ

tunidade: rad/s

aaaaam = ∆∆

Vt gggggm =

∆∆

ωt unidade: rad/s2

DS = 2 . p . RPara uma volta completa: Dj = 2 . p (rad)

Dt = T

Portanto: w = ∆

∆

ϕ

t =

2π

T = 2 . p . f Þ w = 2p f =

2π

T

Como: V = ∆

∆

S

t =

2π R

T = 2p . f . R Þ V = 2p R . f =

2π R

T

Assim: V = 2 p . f . R = w . R

V = wwwww . R ou wwwww = VR

De forma semelhante, podemos deduzir que:

aaaaa = ggggg . R ou ggggg = αR

Resumindo:

S = jjjjj . R

V = wwwww . R

aaaaa = ggggg . R

Grandeza Linear = Grandeza Angular ́́́́́ Raio

R

S

P0 (t0 = 0)

O j

P(t)


FISINT0103

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

Uma partícula realiza movimento circular uniforme quando suatrajetória é uma circunferência (movimento circular) e suavelocidade escalar permanece constante (movimentouniforme). O M.C.U. é periódico: em intervalos de temposiguais repetem-se as mesmas características do movimento.Embora uniforme, o M.C.U. apresenta aceleração (centrípeta),pois a direção e o sentido do vetor velocidade variam a cada t.| ®V1

| = | ®V2

| = | ®V3

| = ... = cte e | ®acp1| = |

®acp2

| = ... = cte

PERÍODO ( T ) E FREQÜÊNCIA ( f )

Período de um M.C.U. é o tempo gasto numa volta completa.

Pode ser medido em segundos, minutos, horas etc.

O número de voltas que ocorrem na unidade de tempo édenominado freqüência do M.C.U..

Sua unidade de medida no SI denomina-se hertz (Hz) ecorresponde ao inverso do segundo (1/s).

A freqüência de um M.C.U. também pode ser expressa emrotações por minuto (rpm) ou em ciclos por segundo (cps).

1 Hz = 60 rpm = 1 cps

Das definições de período e freqüência, resulta: Tf

= 1

ACELERAÇÃO NO M.C.U.

A velocidade de uma partícula em MCU só varia em direção esentido. Portanto, não há aceleração tangencial, mas há

aceleração centrípeta, cuja equação já conhecida é aV

Rcp =2

.

Substituindo a velocidade linear pela angular, obtém-se:

aR

R

R

Rcp = =( . ) .ω ω2 2 2

\\\\\ acp = wwwww2 . R

w = constante \\\\\ não há aceleração angular.

®®®®®V2

®®®®®acp2

®®®®®acp3

®®®®®acp5

®®®®®acp4

®®®®®acp1 ®®®®®

V1

®®®®®V5

®®®®®V4

®®®®®V3


32. Um corpo de massa 2kg executa um M.C.U., descrevendo umacircunferência de raio R = 3m com velocidade escalar 6m/s.a) Represente num ponto qualquer da trajetória os vetores

velocidade e aceleração do corpo.b) Determine a velocidade angular do movimento.c) Determine o período e a freqüência do movimento.

Resolução:a)

b) ω = = =V

Rrad s

6

32 /

c)2 2

TTπ π

ω= ⇒ =ω

= 22π

= ps e f = 1 1

HzT

=π

EXERCÍCIOS

33. (FUVEST) Um menino está num carrossel que gira comvelocidade angular constante, executando uma volta completaa cada 10s. A criança mantém, relativamente ao carrossel, umaposição fixa, a 2m do eixo de rotação.a) Numa circunferência representando a trajetória circular do

menino, assinale os vetores velocidade ®V e aceleração

®a

correspondentes a uma posição arbitrária do menino.b) Calcule os módulos de

®V e de

®a.

34. (FUVEST) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 50 cm.a) Qual a velocidade angular do ponteiro?b) Calcule a velocidade linear da sua extremidade.

35. Duas polias de raios a e b estão acopladas entre si por meiode uma correia. A polia maior, de raio a, gira em torno do seueixo levando um tempo T para completar uma volta. Supondoque não haja deslizamento entre as polias e a correia, calcule:

a) o módulo Vda velocidade doponto P da correia

b) o tempo t que a polia menor leva para dar uma volta completa

36. (PUC) Uma correia passa sobre uma rodade 25 cm de raio. Se um ponto da correiatem velocidade 5,0 m/s, a freqüência derotação da roda é aproximadamente:

a) 32 Hz b) 2 Hz c) 0,8 Hz d) 0,2 Hz e) 3,2 Hz

37. (FUVEST) A roda de uma bicicleta tem 25 cm de raio e gira150 vezes por minuto. A velocidade da bicicleta é,aproximadamente, em km/h:

a) 7 b) 14 c) 37,5 d) 62,5 e) 8

®V

®g =

®ac

a

P

b

25 cm


FISINT0103

MOVIMENTOS SOBAÇÃO DA GRAVIDADE NO VÁCUO

QUEDA LIVRE

· a partícula abandonada (V0 = 0)ou lançada para baixo (V0 ¹ 0)

· a trajetória é orientada para baixo,com origem no ponto ondefoi abandonada.

· a partícula desce com movimentoacelerado e progressivo.

· V > 0 e aaaaa = g > 0

Equações:

V = V0 + g . t

H = h0 + V0 . t + g2t2

V2 = V02 + 2 . g . DDDDDH

LANÇAMENTO VERTICAL

· a trajetória é orientada para cima, comorigem no solo.

· na subida do corpo, há movimentoprogressivo retardado.V > 0 e aaaaa = g < 0

· na altura máxima, a velocidade é nula:V = 0

· na descida do corpo, há movimentoretrógrado acelerado:V < 0 e g < 0

Equações:

V = V0 – g . t

H = h0 + V0 . t – g2t2

V2 = V02 – 2 . g . DDDDDH

LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO

Composição de um M.R.U. (horizontal) com um M.R.U.V.(vertical)

·®V =

®Vx +

®Vy x = V0x . t y = V0yt -

gt2

2·

®Vx =

®V cos q V0x cte. Vy = V0y - gt

·®Vy =

®V sen q; | V |2 = | Vx |

2 . | Vy |2; V2

y = V20y – 2gDy

· no ponto mais alto®Vy =

®0 Þ

®V =

®Vx

·

20V sen 2

Dg

θ=

·

20y

máx

Vh

2g=


38. Um corpo é solto do alto de um edifício de altura 45 m, a partirdo repouso, num local onde g = 10 m/s2. Desprezando aresistência do ar, determine:

a) as funções horárias do movimentob) o tempo de quedac) sua velocidade após ter percorrido 20 md) sua velocidade ao atingir o solo

Resolução:a) H = 5 t2

V = 10 t (SI)

V2 = 20 DH

b) 45 = 5 t2 Þ t2 = 9 \ t = 3 s

c) V2 = 20 x 20 \ V = 20 m/s

d) V = 10 x 3 = 30 m/s

0

V0 ¹¹¹¹¹ 0

0

®h máx

V = V0x

®

®

y

q

D

x

®

®®

V0x

VVy

®

V0

V0y

alcance horizontal

V0x

®


FISINT0103

EXERCÍCIOS

39. (MACK) Um garoto que se encontra em uma ponte está a20 m acima da superfície de um rio. No instante em que aproa (frente) de um barco, com movimento retilíneouniforme, atinge a vertical que passa pelo garoto, eleabandona uma pedra que atinge o barco em um pontolocalizado a 180 cm do ponto visado. A velocidade do barco é:

Adote g = 10 m/s2

a) 0,90 m/sb) 1,20 m/sc) 1,60 m/sd) 10 m/se) 20 m/s

40. De um ponto situado a 10 m acima do solo, um corpo élançado verticalmente para cima e chega ao solo 10 s após.Considerando desprezível a resistência do ar e 10 m/s2 omódulo da aceleração da gravidade no local, a velocidadede lançamento é, em m/s, igual a:

a) 10b) 19c) 29d) 39e) 49

41. (FUVEST) Dois rifles são disparados com os canos nahorizontal, paralelos ao plano do solo e ambos à mesmaaltura acima do solo. À saída dos canos, a velocidade dabala do rifle A é três vezes maior que a velocidade da balado rifle B. Após intervalos de tempo tA e tB, as balasatingem o solo, respectivamente, às distâncias dA e dBdas saídas dos respectivos canos. Desprezando-se aresistência do ar, pode-se afirmar que:

a) tA = tB e dA = dB

b) tA = 13

tB e dA = dB

c) tA = 13

tB e dA = 3dB

d) tA = tB e dA = 3dB

e) tA = 3tB e dA = 3dB

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

42. (FUVEST) Após chover na cidade de São Paulo, as águasda chuva descem o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendocerca de 1 000 km. Sendo 4 km/h a velocidade média daságuas, o percurso mencionado é cumprido pelas águas dachuva em, aproximadamente:

a) 30 diasb) 10 diasc) 25 diasd) 2 diase) 4 dias

43. (FUVEST) Uma moto de corrida percorre uma pista que temo formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. Oprimeiro lado é percorrido à velocidade média de 100 km/h;o segundo e o terceiro, a 120 km/h, e o quarto, a 150 km/h.Qual é a velocidade média da moto nesse percurso?


44. (VUNESP) Um motorista pretende percorrer uma distânciade 200 km em 2h e 30min, com velocidade escalar constante.Por dificuldades no tráfego, ele teve de percorrer 25 km àrazão de 60 km/h e 20 km a 50 km/h. Que velocidade médiaele deve imprimir ao veículo no trecho restante para chegarno tempo previsto?


45. (FATEC) Um elevador movimenta-se no sentido ascen-dente e percorre 40 m em 20 s. Em seguida, ele volta à posiçãoinicial levando o mesmo tempo. A velocidade escalar médiado elevador durante todo o trajeto vale:

a) 4,0 m/sb) 8,0 m/sc) zerod) 16 m/se) 2,0 m/s


FISINT0103

46. (MACK) Uma família realiza uma viagem de automóvel que duraexatamente 4 h. O motorista verifica no hodômetro que o espaço totalpercorrido foi de 144 km. Durante a viagem, o veículo ficou parado1h para uma refeição. A velocidade escalar média do veículo naviagem toda foi de:

a) 6,67 m/sb) 10 m/sc) 13,3 m/sd) 30 m/se) 40 m/s

47. (MACK) Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto médio deMN. Um homem percorre MP com velocidade constante de 4,0 m/se PN com velocidade constante de 6,0 m/s. A velocidade média dohomem entre M e N é de:

a) 4,8 m/sb) 5,0 m/sc) 5,2 m/sd) 4,6 m/se) nda

48. (FUVEST-modificado) Uma formiga caminha com velocidade médiade 0,20 cm/s. Determine a distância que ela percorre em 10 minutos.

49. (FUVEST) O radar é um instrumento utilizado para determinar adistância de objetos que refletem ondas eletromagnéticas por eleemitidas. Um radar emite um sinal que atinge um avião e registra seuretorno 0,20 milissegundos após sua emissão. Podemos afirmar queo avião encontrava-se a uma distância do radar de:

Adote: Vondas de radar no ar = 300.000 km/sa) 1,5 kmb) 10 kmc) 20 kmd) 30 kme) 60 km

50. (FEI) A luz demora 8,3 minutos para vir do Sol à Terra. Sua velocidadeé 3 . 105 km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?

51. (FAAP) Dois pontos materiais P1 e P2 movem-se em linha reta, comvelocidades constantes, ao longo da trajetória. A figura indica asposições que os pontos ocupam a cada instante e suas velocidades.

Os pontos materiais irão colidir na posição correspondente a:a) 16 cm b) 18 cm c) 20 cm d) 22 cm e) 25 cm

52. (FUVEST) Um veículo movimenta-se numa pistaretilínea de 9,0 km de extensão. A velocidade máximaque ele pode desenvolver no primeiro terço docomprimento da pista é de 15 m/s e, nos dois terçosseguintes, é de 20 m/s. O veículo percorreu estapista no menor tempo possível. Pede-se:

a) a velocidade média desenvolvidab) o gráfico V x t deste movimento

53. (FUVEST) A tabela indica as posições S e oscorrespondentes instantes t de um móvel deslocando-se numa trajetória retilínea.

a) Esboce o gráfico S x t dessemovimento.

b) Calcule a velocidade média domóvel entre os instantes t = 1 s et = 3 s.

54. (FUVEST) Numa estrada, andando de caminhão comvelocidade constante, um motorista leva 4s para ultra-passar um outro caminhão cuja velocidade é tambémconstante. Sendo 10 m o comprimento de cada caminhão,a diferença entre a sua velocidade e a do caminhão queele ultrapassa é, aproximadamente, igual a:

a) 0,2 m/sb) 0,4 m/sc) 2,5 m/sd) 5,0 m/se) 10 m/s

55. (VUNESP) Um trem e um automóvel caminhamparalelamente, e no mesmo sentido, num trechoretilíneo. Seus movimentos são uniformes e avelocidade do automóvel é o dobro da velocidadedo trem. Desprezando-se o comprimento do au-tomóvel e sabendo-se que o trem tem 100 m decomprimento, determine o espaço que o automóvelpercorre desde que alcança o trem até o instante emque o ultrapassa.

56. (FUVEST) Dois corredores A e B partem do mesmoponto de uma pista circular de 120 m de compri-mento com velocidade VA

= 8 m/s e VB = 6 m/s.

a) Se partirem em sentidos opostos, qual será amenor distância entre eles, medida ao longo dapista, após 20 s?

b) Se partirem no mesmo sentido, após quantotempo o corredor A estará com uma volta devantagem sobre o B?

t (s) s (m)

0 0

1 0,4

2 1,6

3 3,6

4 6,4

... ...

S (m)t (s)

V1= 6 cm/s V2= 4 cm/sP1 P2


FISINT0103

57. (FUVEST) Diante de uma agência do INSS há uma fila de,aproximadamente, 100 m de comprimento, ao longo da qualse distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta aporta, as pessoas entram durante 30 s com uma velocidademédia de 1 m/s. Avalie:a) o número de pessoas que entraram na agência;b) o comprimento da fila que restou do lado de fora.

58. (PUC) Dois barcos partem simultaneamente de um mesmo ponto,seguindo rumos perpendiculares entre si. Sendo suas velocidades30km/h e 40km/h , sua distância após 6 minutos vale:a) 7 kmb) 1 kmc) 300 kmd) 5 kme) 420 km

59. (Metodista) Uma lancha de salvamento, patrulhando a costamarítima com velocidade constante de 20 km/h, recebe umchamado de socorro. Verifica-se que, 10s após, ela atingevelocidade de 128 km/h. Determine a aceleração utilizadapela lancha.a) 3,0 m/s2

b) 3,6 m/s2

c) 10,8 m/s2

d) 12,8 m/s2

e) 30,0 m/s2

60. (FUVEST) Um barco atravessa um rio de margens paralelasde largura d = 4 km. Devido à correnteza, a componente davelocidade do barco ao longo das margens éVA = 0,5 km/h em relação às margens. Na direçãoperpendicular às margens, a componente da velocidade éVB = 2 km/h.a) Quanto tempo leva o barco para atravessar o rio?b) Ao completar a travessia, qual é o deslocamento do

barco na direção das margens?

61. Um automóvel com velocidade constante de 90 km/h éfreado e, com aceleração constante, percorre 62,5 m atéparar. O módulo da aceleração, em m/s2, é igual a:a) 12,5b) 5,0c) 4,0d) 2,5e) 2,1

62. (MACK) Um automóvel parte do repouso com MRUV deaceleração 4 m/s2 e, após 10 s, começa a frearuniformemente com aceleração de 2 m/s2. A distânciapercorrida pelo automóvel, desde o instante inicial até oinstante em que ele pára, foi de (em m):

a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 e) 600

63. (MACK) O movimento retilíneo de uma partícula, divididonas etapas AB, entre o instante zero e o instante tB, e BC,entre os instantes tB e tC, é ilustrado pelo gráfico do espaçoS em função do tempo t abaixo. As curvas são arcos deparábolas. Nestas condições, assinale a alternativa correta.

a) No intervalo (0, tB) a partícula diminuiu sua velocidadee no intervalo (tB, tC) ela aumentou sua velocidade.

b) No intervalo (0, tC) a partícula só diminuiu sua velocidade.c) No intervalo (0, tC) a partícula só aumentou sua velocidade.d) No intervalo (0, tB) a partícula aumentou sua velocidade

e no intervalo (tB, tC) ela diminuiu sua velocidade.e) No intervalo (0, tB) o movimento é progressivo e no

intervalo (tB, tC) o movimento é retrógrado.

64. (FUVEST) Os gráficos abaixo referem-se a movimentosunidimensionais de um corpo em três situações diversas,representando a posição como função do tempo. Nas trêssituações, são iguais:

a) as velocidades médiasb) as velocidades máximasc) as velocidades iniciaisd) as velocidades finaise) os valores absolutos das velocidades máximas

C

B

A0 tB tC

t

S

x

a

a/2

b/2 bt

xa

a/2

b/3 bt

x

a

a/2

2b/3 bt


FISINT0103

65. (FCC) Na figura estão desenhados os vetoresX e Y. Esses vetores representam deslocamentos sucessivosde um corpo. Qual é o módulo do vetor igual aX + Y ?

a) 4 cmb) 5 cmc) 8 cmd) 13 cme) 25 cm

66. (PUC) Nas figuras seguintes, estão representados pares devetores (x e y), nos quais cada segmento orientado estásubdividido em segmentos unitários.

Quais destes pares têm a mesma resultante?

a) 1 e 5

b) 2 e 4

c) 3 e 5d) 2 e 3

e) 2 e 5

67. (FATEC) Em um instante genérico, uma partícula temvelocidade V e aceleração a.

a) Em movimento uniforme, necessariamente a = 0.b) Em um movimento circular, a aceleração a é necessaria-

mente centrípeta.c) Em um movimento reto, V e a são vetores paralelos com

sentidos iguais ou opostos.d) Se a é constante não-nula, a trajetória só pode ser reta.e) nda

68. (FUVEST) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros

de raios r1 = 10 cm e r2 = 50 cm.

Supondo que o cilindro maior tenha freqüência de rotação

f2 igual a 60 rpm:

a) qual é a freqüência de rotação f1 do cilindro menor?

b) qual é a velocidade linear da cinta?

69. (FUVEST) Um automóvel percorre uma pista circular de1 km de raio, com velocidade de 36 km/h.

a) Em quanto tempo o automóvel percorre um arco decircunferência de 30°?

b) Qual a aceleração centrípeta do automóvel?

70. Um corpo descreve a trajetória plana e horizontal da figuraabaixo. Sua velocidade é constante em módulo e igual a6 m/s.

O módulo da aceleração deste corpo nos pontos A e B é:

a) 4 m/s2 e 4 m/s2

b) 0 e 4 m/s2

c) 8 m/s2 e 4 m/s2

d) o corpo não apresenta aceleração em nenhum dospontos, pois sua velocidade é constante

71. Se um corpo descreve trajetória circular efetuando 30 rpm,sua freqüência e período serão, respectivamente:

a) 0,5 Hz e 2 sb) 30 rpm e 0,5 sc) 1800 rpm e 2 sd) 2 Hz e 0,5 s

r1r2

®X

®Y

1 cm

1cm

3. 4.

x®

®y

2.

120°

®x

x®

5.

60°

®y

y®

®y

®x

90°

y®

1.

90°°.

®x

B 9m

A


FISINT0103

GABARITO

CINEMÁTICA

01. Resolvido.02. Resolvido.03. Resolvido.04. Resolvido.05. Resolvido.06. E07. A08. B09. B10. C11. B12. D13. Resolvido.14. C15. E16. B17. A18. Resolvido.19. Sf = 78 km tf = 11 h

Si = 39 km ti = 10 h 30 min

a) VS

tV km hm m= =

−−

⇒ =∆∆

78 39

11 10 578

,/

b) DS N= área sob o gráfico. Como DS = 39 km, temos:

∆Sb h

=.

2 onde b = Dt e h = Vmáx

390 5

2156= ⇒ = =

, ./á

hh V km hm x

20. A21. D22. B23. C24. Resolvido.25. B26. C27. D28. D29. E30. B31. B32. Resolvido.33. a)

b)34. a) p/30 rad/min

b) p/60 m/min

35. a) 2pa/Tb) Tb/a

36. E37. B38. Resolvido39. A40. E41. D42. B43. B44. A45. C46. B47. A48. 1,2 m49. D50. 1,5 . 108 km51. D52. a) 18 m/s53. b) 1,6 m/s54. D55. 200 m56. a) 40 m

b) 60 s57. a) 60 pessoas

b) 70 m58. B59. A

60. a) Como Dt = ∆S

V, vem:

∆td

Vh

B= = =

4

22 .

b) DS = VA . Dt = 0,5 x 2 = 1 km61. B62. E63. D64. A65. B66. D67. C68. a) 5 Hz

b) p m/s69. a) 52,3 s

b) 0,1 m/s2

70. E71. A

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