ESTATÍSTICA BÁSICAMedidas de Dispersão ou de variabilidade

Medidas de dispersão ou de variabilidade são medidas que indicam a dispersão dos valores em relação ‘a média.Por exemplo:

Aluno A notas: 72, 76, 71 e 77 Aluno B notas: 70, 90, 55 e 81

A média de ambos é 74, entretanto há diferença entre o maior valor e o menor valor desses dados. Enquanto o aluno A tem notas mais próximas da média o aluno B tem notas mais dispersas.

1. AmplitudeA amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o menor valor desses dados. Para encontrar a Amplitude basta subtrair o maior valor do menor valor.

Amplitude para dados não agrupados:Conjunto de dados: 3, 12, 3, 10, 8, 7, 5, 9Amplitude: 12 – 3 = 9

Amplitude para dados agrupados em classe

Salário* f4,00 8,00 108,00 12,00 1212,00 16,00 816,00 18,00 418,00 20,00 120,00 22,0 1

Total 36* (x 100)

Amplitude: 28 – 4 = 24Para os dados agrupados em classe, subtrai-se: limite superior da maior classe - limite inferior da menor classe.

A amplitude é uma medida limitada, pois depende apenas dos valores extremosde um conjunto de dados, nada informando sobre os demais intervalos.

1.1 Variância e Desvio PadrãoConsidere o exemplo inicial desse capítulo, relativo a notas de dois alunos: Aluno A notas: 72, 76, 71 e 77 Aluno B notas: 70, 90, 55 e 81

Qual é o conjunto de notas mais estável? Ou, em qual conjunto de notas a variação entre as notas é menor? Indicar a média aritmética das notas não resolve o problema, pois os dois conjuntos têm média 74.

62

ESTATÍSTICA BÁSICAPara avaliar o grau de dispersão das notas dos alunos A e B, precisamos saber como se distribuem as notas em torno de um ponto de referência, no caso, a média aritmética.

Aluno ANotas (xi - )

72 72 – 74 = -276 76 – 74 = 271 71 – 74 = -377 77 – 74 = 3 0

Aluno BNotas (xi - )

70 70 – 74 = -490 90 – 74 = 1655 55 – 74 = -1981 81 – 74 = 7 0

A soma dos desvios em relação à média é igual a zero. Isto é, (xi - ) = 0. Assim, será necessário trabalhar com desvios, sem que a soma dê zero.

1.1.1 Variância (s2 , 2 )A variância de um conjunto de n valores x1, x2, x3, . . ., xn é a média aritmética dos quadrados dos desvios desses valores, em relação a sua média, isto é:

2 = ou , sendo f = N

No caso do conjunto de dados vir de uma amostra (s2) o denominador deve ser substituído por n – 1:

s2 = Retornando ao exemplo anterior, incluímos mais uma coluna nas tabelas e calculamos a variância dos alunos A e B.

Aluno ANotas (xi - ) (xi - )2

72 -2 476 2 471 -3 977 3 9 0 26

Aluno BNotas (xi - ) (xi - )2

70 -4 1690 16 25655 -19 36181 7 49 0 682

Aluno A:

s2 = = = 8,67

Aluno B

s2 = = = 227,33

Os valores encontrados, 8,67 e 227,33, são chamados de variância amostral.

1.1.2 Desvio-PadrãoO desvio-padrão de um conjunto de valores é a raiz quadrada da variância. No exemplo anterior, o desvio-padrão das notas dos alunos A e B será:

63

ESTATÍSTICA BÁSICASa = 2,94Sb = 15,07

O desvio-padrão é uma importante medida de variação. É uma medida de variação dos valores em relação a média. Ela leva em conta todos os valores observados.

NotaçãoS2 é a variância de um conjunto de dados de uma amostraS é o desvio padrão de um conjunto de dados de uma amostra2 é a variância de um conjunto de dados de uma amostra é o desvio padrão de um conjunto de dados de uma amostra

Quanto maior a variância ou o desvio-padrão, maior a heterogeneidade entre os elementos do conjunto de valores. Como Sa = 2,94 e Sb = 15,07 então o conjunto de notas do aluno A é mais estável do que o aluno B.

1.2. Desvio-padrão para dados não agrupados – fórmulas e exemplos.

Desvio-padrão de uma amostraS =

Desvio-padrão de uma população =

Exemplo: Determine o desvio-padrão dos tempos de espera em caixas do banco ALFA. Dados: 6, 5, 7, 8, 1, 4, 7, 2 (em minutos).Cálculo da média:

= 5

64

Cálculo dos desvios em relação a média: (xi - )

xi (xi - )6 6 - 5 = 15 5 – 5 = 07 7 – 5 = 28 8 – 5 = 31 1 – 5 = -4 4 4 – 5 = -17 7 – 5 = 22 2 – 5 = -3 0

Cálculo do quadrado dos desvios de cada valor: (xi - )2

xi (xi - ) (xi - )2

6 1 15 0 07 2 48 3 91 -4 164 -1 17 2 42 -3 9 0 44

Cálculo da variância amostral:

S2 = = = 6,28

Cálculo do desvio-padrão amostral:

S = = 2,51.

1.3. Variância para médias com valor fracionário – fórmulas e exemplos.‘As vezes, ao calcular o desvio-padrão, principalmente quando a média for um valor fracionário, os desvios podem acumular erros de arredondamento que poderão comprometer o resultado final. A fim de evitar esse inconveniente, pode-se usar uma fórmula equivalente ‘aquela apresentada anteriormente.

Variância populacional para dados não agrupados

2 =

Variância populacional para dados tabelados em uma distribuição de freqüência 2 = onde n = f

1.4 Desvio-padrão: exemplo com dados agrupados – fórmula alternativaExemplo: Calcule a variância e o desvio-padrão dos dados a seguir:

Aulasperdidas (xi)

Númerode alunos (fi)

0 81 102 123 6Σ 12

Para utilizar a fórmula alternativa, deve-se construir uma coluna fx e outra fx2

Aulas

perdidas (xi)Número

de alunos (fi)f.x f.x2

0 8 8.0 = 0 8.02 = 01 10 10.1 = 10 10.12 = 102 12 12.2 = 24 12.22 = 483 6 6.3 = 18 6.32 = 54Σ 12 52 112

2 = ( onde n = f )

2 = = 3,111111 – 1,4444442

2 = 1,024691

Logo, como desvio-padrão =

= = 1,01 (com duas casa decimais)

IMPORTANTE: Os valores calculados de uma amostra e de uma população, quando utilizado a fórmula alternativa, podem ser relacionados através de um pequeno ajuste:

s2 =

Exemplo: Calcule a variância e o desvio-padrão das alturas de uma amostra de 60 pessoas.

Altura Freqüência (fi)

150 160 9

160 170 18170 180 21180 190 12

Σ 60

Nesse exemplo os dados estão organizados em classe, portanto o ponto médio de cada um dos grupos devem ser calculados.

Altura Freqüência (fi)

Ponto médio (xi)

f.x f.x2

150 160 9 155 1395 216.225160 170 18 165 2970 490.050170 180 21 175 3675 643.125180 190 12 185 2220 410.700

Σ 60 - 10.260 1.760.100

2 = ( onde n = f )

2 = = 29.335 - 1712

2 = 94

Os dados provêm de uma amostra, portanto, aplique o fator de correção:

s2 =

s2 = = 95,59322

Logo, como desvio-padrão =

= (com duas casa decimais)

O desvio-padrão é utilizado ao invés da variância. Por definição, o desvio-padrão mede como os dados se dispersam em torno da média. Logo, quanto maior é o valor do desvio-padrão, mais dispersos são os dados.

O grau de concentração dos dados em torno da média é de: 68% no intervalo entre ( - ) e ( + ) 95% no intervalo entre ( - 2 ) e ( +2 ) 99,7% no intervalo entre ( - 3 ) e ( +3 )

Exemplificando, se dissermos que a altura média ( ) do homem adulto brasileiro é de 1,70 m e o desvio padrão de 5 cm, estaremos dizendo que entre1,65 m e 1,75 m encontramos 68% da população masculina adulta brasileira1,60 m e 1,80 m encontramos 95% da população masculina adulta brasileira1,55 m e 1,85 m encontramos 99,7% da população masculina adulta brasileira

Exemplo: A tabela a seguir, mostra as notas dos alunos de uma classe do 20 grau em uma determinada disciplinaa) Construa o histograma correspondenteb) Calcule a média aritméticac) Calcule a variância e o desvio-padrãod) Construa um polígono de freqüência e analise a zona de normalidade dos dados

(68% das notas)

Nota Freqüência (fi)

0 2 32 4 94 6 166 8 88 10 4

Solução:

Nota Freqüência (fi)

Ponto médio (xi)

f.x f.x2

0 2 3 1 3 32 4 9 3 27 814 6 16 5 80 4006 8 8 7 56 3928 10 4 9 36 324

Σ 40 - 202 1200

a) Histograma

Notas dos alunos da 2a série

Freqüência (fi )

16 16 141210 9

8 8 64 3 4 20 Nota (xi )

b) Média aritmética

=

c) Variância e desvio-padrão

2 =

=

d) Polígono de freqüência

Notas dos alunos da 2a série

0 2 4 6 8 10

1.5 Coeficiente de variaçãoO coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão, sendo definida como o quociente entre o desvio-padrão (s) e a média ( ), ou seja:

CV =

O coeficiente de variação é uma medida adimensional, podendo ser expresso em porcentagem.

Regras para interpretação do CV:CV < 15% baixa dispersão15% CV < 30% média dispersãoCV 30% grande dispersão

A zona de normalidade é a região que se define em torno da média 5,05.(2,93 e 7,17)

7,17

2,93

Exemplo: Sejam = 145 horas e s = 18,14 horas. Tem-se então o CV dado por:

CV = = 0,1251 12,51%

Medidas de assimetria e CurtoseAssimetria e Curtose são medidas que determinam a forma da curva de uma distribuição de freqüência. As medidas de assimetria referem-se ao grau de deslocamento da curva e as medidas de curtose referem-se ao grau de achatamento dessa distribuição de freqüência.

1. Medidas de assimetriaQuando a média, mediana e a moda recaem em pontos diferentes de uma distribuição de freqüência, com deslocamento a direita ou esquerda de um histograma, denominamos essas medidas de assimetria positiva ou negativa.

1.1 Assimetria positivaA curva fica deslocada para direita. Nesse caso, a média aritmética apresenta um valor maior que a mediana, e a mediana apresenta um valor maior que a moda.

Graficamente

Mo Md Classe

> Md > Mo

1.2 Assimetria negativaA curva fica deslocada para esquerda. Nesse caso, a média aritmética apresenta um valor menor que a mediana, e a mediana apresenta um valor menor que a moda.Graficamente

Md Mo Classe

< Md < Mo

1.3 SimétricaA curva de freqüência fica centralizada. Nesse caso, a média aritmética, a mediana e a moda apresentam valores exatamente iguais.Graficamente

= Md = Mo1.4 Aplicação

Foi realizado um teste de Estatística em 3 turmas diferentes, sendo obtido os seguintes resultados:

Nota (fi)0 2 102 4 204 6 306 8 208 10 10

90

Nota (fi)0 2 302 4 204 6 206 8 108 10 10

90

Nota (fi)0 2 102 4 104 6 206 8 208 10 30

90

1a turmamédia = 5,0moda = 5,0

mediana = 5,0desvio-padrão= 2,32

2a turmamédia = 3,89moda = 1,5

mediana = 3,5desvio-padrão= 2,7

3a turmamédia = 6,11moda = 8,5

mediana = 6,5desvio-padrão=2,7

Existem vários modelos para o cálculo do coeficiente de assimetria, dentre eles o coeficiente de Pearson:

Primeiro coeficiente (considerando média e moda)

AS = (amostra) ou AS = (população)

Segundo coeficiente (considerando média e mediana)

AS = (amostra) ou AS = (população)

Os modelos servem também para população().

Os resultados da assimetria na aplicação das três turmas são as seguintes:1a turma: 2a turma: 3a turma

10 coeficiente de assimetria

simetria assimetria positiva assimetria negativa20 coeficiente de assimetria

simetria assimetria positiva assimetria negativa

Se AS = 0 diz-se que a distribuição é simétrica (1a turma)Se AS > 0 diz-se que a distribuição é assimétrica positiva (2a turma)Se AS < 0 diz-se que a distribuição é assimétrica negativa (3a turma)

2. Medidas de curtoseDenomina-se curtose o grau de achatamento de uma distribuição de freqüência em relação a uma curva padrão ou curva normal.

Uma distribuição nem achatada, nem delgada, chama-se mesocúrtica

Uma distribuição delgada, chama-se leptocúrtica

Uma distribuição achatada chama-se platicúrtica.

Para medir o grau de curtose utiliza-se o seguinte coeficiente:

em que Q3 = 30 quartilQ1 = 10 quartilP90 = 90 percentilP10 = 100 percentil

Se k = 0,263 diz-se que a curva será normal, correspondendo a distribuição de freqüência mesocúrtica.

Se k > 0,263 diz-se que a curva será achatada, correspondendo a distribuição de freqüência platicúrtica.

Se k < 0,263 diz-se que a curva será delgada, correspondendo a distribuição de freqüência leptocúrtica.

Exemplo: O número de 100 pares de sapatos comercializados em uma loja decalçados foram os seguintes:

Número freqüência25 28 228 31 931 34 1734 37 3537 40 2040 43 1043 46 7

Classifique a assimetria e curtose desses dados.

a) Cáculo da assimetria: A = (distribuição simétrica)

b) Cálculo da curtose:

primeiro quartil: , então k = 3

Q1=

terceiro quartil: , então k = 5

Q3=

P10: , então k = 2

P10=

P90: , então k = 6

P90=

K =

Logo, a distribuição é ligeiramente delgada (leptocúrtica)

Desenho esquemáticoDesenho esquemático ou box plot ou ainda “caixa-de-bigodes” é uma análise gráfica que utiliza cinco medidas específicas de um conjunto de dados (10 quartil, 30 quartil, mediana e os valores extremos dos dados ordenados - maior e menor valor, desconsiderando valores discrepantes).

Construção de um box plot. Seja os seguintes dados ordenados:10,5 11,0 11,5 12,0 12,1 12,2 12,312,5 12,8 12,9 13,1 13,5 13,8 13,913,9 14,2 14,5 14,8 15,8 15,9 21,0

Cálculo das cinco medidas para construção do Box plota) Mediana:

ordem = = 110 elemento Mediana = 13,1

b) 10 quartil:

ordem = = 5,50 elemento Q1 = 12,1 + (12,2 – 12,1) = 12,15

c) 30 quartil:

ordem = = 16,50 elemento Q3 = 14,2 + (14,5 – 14,2) =

14,35

d) valor mínimo:Vmin = Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 12,15 – 1,5.(14,35 – 12,15) = 8,85. Não existem valores menores do que 8,85 no rol de dados. Nesse caso o valor o valor mínimo será 10,5.

e) Valor máximo:Vmax = Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) = 14,35 – 1,5.(14,35 – 12,15) = 17,65. Existe um valor discrepante igual a 21,0 > 17,65 que deverá ser desprezado. Portanto o valor máximo será 15,9.

Construção do desenho esquemático:

10 12 14 16 18 20 22

Q1 Md Q3 (12,5) (14,35)

No desenho esquemático vemos o valor central (mediana = 13,1), a dispersão (comprimento do retângulo – intervalo interquartil = 2,2), a assimetria (negativa) e os valores discrepantes (asteriscos).

Exemplo: Os desenhos esquemáticos da figura a seguir mostram as distribuições das notas de 3 classes A, B e C.

A

B*

C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Classe A: Apresenta a maior mediana, o menor intervalo interquartil e assimetria negativa

Max =15,9 *Min = 10,5

Valor discrepante = 21

Classe B: Apresenta mediana menor que a classe A e maior que a classe B, tem o maior intervalo interquartil, assimetria positiva e um valor fora do padrão (discrepante).

Classe C: Apresenta a menor mediana, intervalo interquartil pequeno e distribuição simétrica.

Exercícios:

1) Calcule a média e o desvio padrão populacional de seguinte série: 12, 14, 15, 18 e 2.

2) A tabela a seguir mede a altura de uma amostra de alunos da 1a série do curso médio

Altura Freqüência (fi)

160 164 5164 168 13168 172 22172 176 25176 180 10180 184 3

Calcule:a) médiab) medianac) moda

d) desvio-padrão

3) Foram pesquisados, durante 12 meses, a renda média da população de uma determinada cidade, obtendo-se os seguintes valores:

Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezRenda 562 638 695 752 787 822 835 897 885 864 852 865

a) Qual a renda média da população da cidade considerada?b) Encontre a mediana e o desvio-padrãoc) A média representa o centro do conjunto de dados? Justifique.

4) Um projeto de investimento está sendo avaliado pelo método payback. Uma simulação envolvendo vários cenários futuros forneceu os seguintes tempos de retorno do investimento (em anos): 2,8; 4,3; 3,7; 6,4; 3,2; 4,1; 4,4; 4,6; 5,2; 3,9. Calcule a variância e o coeficiente de variação para os tempos fornecidos.

5) Se a idade média das pessoas inscritas em um concurso é de 25 anos, com desvio padrão de 2 anos, encontre a porcentagem de pessoas com:a) idade entre 23 e 27 anosb) mais de 27 anosc) mais de 31 ou menos de 19d) menos de 21e) mais de 29f) menos de 29

2) Uma loja vende 5 produtos básicos: A, B, C, D e E. O lucro por unidade

comercializada desses produtos vale, respectivamente, $ 200,00, $ 300,00, $ 500,00, $ 1.000,00 e $ 5.000,00. A loja vendeu em determinado mês: 20, 30, 20, 10 e 5 unidades de cada produto, respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada? Encontre a amplitude, o desvio-padrão, a variância e o coeficiente de variação para a tabela a seguir:

Lucro por unidade comercializadaPreço Quantidade vendida200,00 20300,00 30500,00 20

1.000,00 105.000,00 5

Total 85

7) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm com desvio padrão igual a 5,67 cm. Outro grupo de 125 moças tem estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo?

8) Em cada alternativa a seguir, identifique qual o grupo apresenta maior dispersão absoluta e qual apresenta maior dispersão relativa. Justifique suas escolhas.

a) A1: A2:

b) B1: B2:

c) C1: C2:

9) Um grupo de 196 famílias tem renda mensal de 1638,00, com coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio-padrão da renda desse grupo?

10) Os números a seguir são as medidas das alturas dos alunos de uma classe do 20 grau de uma escola pública.a) Organize os dados e construa uma tabela com os dados agrupados em classe com

sua respectiva freqüência.b) Faça um histograma da tabela construídac) Calcule a média aritmética, moda e mediana.d) Calcule a variância e o desvio padrão.e) Construa um polígono de freqüência e analise a zona de dados com até dois

desvios padrões.

Medidas: 168; 172; 184; 159; 160; 163; 177; 180; 182; 155; 190; 180; 175; 170; 168; 170; 176; 165; 160; 162; 175; 170; 168; 170; 183; 159; 166; 165; 170; 172; 175; 168; 175; 174; 169; 170; 172; 171; 167; 166; 169; 163; 161; 173; 178; 183; 184; 158; 170; 160;

11) Calcular o coeficiente de assimetria de uma distribuição que apresenta as seguintes medidas: média aritmética = 48,1; mediana = 47,9 e desvio-padrão = 2,12.

12) Calcular o coeficiente de assimetria de uma distribuição que apresenta as seguintes medidas Q1 = 24,4; Q3 = 41,2; P10 = 20,2; P90 = 49,5 calcule a medida de curtose para os valores dados e indique a curva correspondente.

13) Uma amostra do comprimento (em mm) de um lote de pregos forneceu a seguinte distribuição:

Comprimento fi

80 164 185 168 390 164 995 168 42100 172 34105 176 5110 180 4115 184 2

Total 100

A especificação para esses pregos exige que o comprimento médio esteja entre 98 e 102 mm, que o CV seja inferior a 20% e que a distribuição dos comprimentos seja simétrica. O controle de qualidade aceitará o lote de pregos analisado?

14) Em uma amostra de 30 intervalos de 3 minutos, um restaurante do tipo “fast food” serviu a seguinte quantidade de clientes:

4 5 5 6 7 3 5 6 9 56 5 4 7 3 5 10 6 4 56 9 4 5 3 8 6 7 4 5

Graficamente, discuta a simetria ou assimetria desse conjunto de dados.

Médias e Desvio Padrão pela calculadora Financeira HP-12C

1. Armazenamento dos dadosO armazenamento dos dados estatísticos na calculadora HP-12C é feito através da tecla [ + ]. Cada vez que a tecla [ + ] é pressionada, os dados são armazenados nos registradores R1 a R6, de acordo com as características indicadas no quadro, a seguir:

Registrador (memória)

característica Fórmula e/ou simbologia

1 conta o número de dados inseridos n(X)1

2 soma dos valores de x x = x1 + x2 +...+xn

3 soma dos valores de x2 x2 = x1

2 + x22 +...+xn

2

4 soma dos valores de y x = y1 + y2 +...+yn

5 soma dos valores de y2 x = y12 + y2

2 +...+yn2

6 soma dos produtos dos valores de x e y xy = x1y1 + x2y2 +...+ xnyn

Entre um cálculo estatístico e outro, deve-se zerar os registradores R1 a R6, pressionando [ f ][ ].

1 X = conjunto que tem n elementos = [ x1 x2 x3 ... xn-1 xn }

2. Média aritmética simples - uma variávelConsiderando um conjunto de n valores X = (x1, x2, x3, ..., xn), a média aritmética é o quociente entre a soma de todos os xis e o número de elementos, n.

Para calcular a média aritmética de uma variável, pela calculadora HP012C, deve-se proceder da seguinte maneira: Pressione [ f ][REG] ou [ f ] [ ] para zerar os registradores estatísticos. Introduza cada dado "x", pressionando:

Após a introdução dos dados, pressione:[ g ] visor: média aritmética simples

Para corrigir um determinado dado introduzido incorretamente: Digite o dado introduzido incorretamente. Pressione [ g ] [ - ]. Introduza o dado em sua forma correta.

Exemplo: Determinar a média aritmética simples dos valores: 8.200, 9.100,7.400, 5.800, 9.700 e 7.800.

Solução: Pela fórmula:

Pela calculadora:

[ f ][ ] [8.200] [ + ] [9.100] [ + ] [7.400] [+ ] [5.800] [+ ] [9.700] [ +

] [7.800] [ + ] [ g ] [ ]Visor:

Exemplo: No exemplo anterior o dado 9.100 é incorreto. Seu valor real é 7.900. Efetue a correção e calcule a nova média.

Solução: [9.100][ g ] [ -] Subtrai o dado incorreto[7.900] [+ ] Introduz o dado corrigido[ g ] [ ]

Visor:

8.000,00

7.800,00

Exemplo: Numa empresa 2 empregados têm salário de 1.400,00, 4 ganham 1.800,00, 3 recebem 2.000,00 e um 4.000,00. Qual a média dos salários?

Solução:

[ f ][ ] [1.400] [ + ] [1.400] [ + ] [1.800] [+ ] [1.800] [+ ] [1.800] [ +

] [1.800] [ + ] [2.000] [+ ] [2.000] [ + ] [2.000] [+ ] [4.000] [ + ][ g ] [ ]

Visor:

3. Média PonderadaConhecido um conjunto de valores e seus respectivos pesos, pode-se obter a média ponderada da seguinte maneira: [ f ] [ ]; introduza cada par de dados, pressionando:

[ x ] [ Enter ] [ w ] [ + ]

Após a introdução dos dados , pressione [ g ] [ ].

Para corrigir um determinado dado introduzido incorretamente, proceda da seguinte maneira: digite novamente o par de dados introduzido incorretamente: [ x ] [ Enter ] [ w ]; pressione [ g ] [ - ]; introduza o par de dados em sua forma correta.

Exemplo: Numa empresa 2 empregados tem salário de 1.400,00, 4 ganham 1.800,00, 3 recebem 2.000,00 e um 4.000,00. Qual a média dos salários?

Solução:

[ f ][ ] [1.400] [ Enter ] [ 2 ] [+ ] [1.800] [ Enter ] [ 4 ] [+ ] [2.000] [ Enter ] [ 3 ] [ + ] [4.000] [ Enter ] [ 1 ][ + ] [ g ] [ ]

Visor:

Exemplo: Calcular o saldo médio do extrato bancário:

Data Histórico C/D Saldo Prazo

2.000,00

2.000,00

(dias)01/06 Saldo anterior xxxxxxx + 3.560,00 506/06 Depósito + 25.460,00 + 29.020,00 915/06 Cheque - 16.825,40 + 12.194,60 721/06 Cheque - 11.325,60 + 869,00 628/06 Depósito + 7.840,00 + 8.709,00 3

Solução:[ f ][ ] [3.560] [ Enter ] [ 5 ] [+ ] [29.020] [ Enter ] [ 9 ] [+ ] [12.194,60] [ Enter ] [ 7 ] [ + ] [869] [ Enter ] [ 6 ][ + ] ] [8.709] [ Enter ] [ 3 ][ + ] [ g ] [ ]

Visor:

4. Média aritmética simples - duas varáveisNo caso de duas variáveis, "x" é sempre a variável independente e "y" a variável dependente. Para obter a média aritmética deve-se proceder da seguinte maneira: Pressione [ f ] [REG] ou [ f ] [ ] para zerar os registradores estatísticos. Introduza cada par de dados pressionando:

y[Enter]

Após a introdução dos dados, pressione: [ g ] visor: média aritmética dos valores de "x". [ x y ] visor: média aritmética dos valores de "y".

Para corrigir um determinado dado introduzido incorretamente: Digite novamente o par introduzido incorretamente. Pressione [ g ] [ - ]. Introduza o par em sua forma correta.

Exemplo: Calcular as médias aritméticas de Vendas e Lucro líquido da firma ABC, no período compreendido entre 1992 e 1999.

ANO Vendas (x) Lucro (y)

1992 2.500 1211993 3.200 1281994 3.000 1261995 2.800 1241996 3.100 1271997 3.300 1291998 3.400 1301999 3.700 132

Solução: [ f ][ ] [121] [ Enter ] [2.500 ] [+ ] [128] [ Enter ] [ 3.200] [+ ][126] [Enter] [3.000] [ + ] [124] [ Enter ] [ 2.800 ][ + ] [127] [Enter] [3.100] [ + ] [129] [Enter] [3.300] ][ + ] [130] [Enter] [3.400] [ + ] [132] [Enter] [3.700] ][ + ]

13.189,44

3.125,00

[ g ] [ ] Visor:

[ x y ] Visor:

Exemplo: Na tabela do exemplo anterior, o par de dados relativo ao ano de 1995 é (2.900, 125). Efetue a correção e calcule as novas médias aritméticas.

Solução:[124] [Enter] [2.800] [ g ][ - ] [125] [Enter] [2.900] [ + ][ g ] [ ] Visor:

[ x y ] Visor:

5. Desvio Padrão - uma variávelO desvio padrão é uma medida de variação dos valores em relação a média x.O cálculo do desvio padrão é estimado para:a) uma amostra da população

Conhecido um conjunto de valores pode-se obter o desvio padrão da seguinte maneira:

- pela fórmula

- ou através da calculadora financeira:

[ f ] [ ] introduzindo cada dado "x", pressionando x [ + ] após a introdução dos dados, pressione [ g ] [ s ]

b) a própria populaçãoConhecido um conjunto de valores pode-se obter o desvio padrão da seguinte maneira:

- pela fórmula

- ou através da calculadora financeira:

[ f ] [ ]; introduzindo cada dado "x", pressionando x [ + ]; após a introdução dos dados, pressione [ g ] [ ] [ + ]; [ g ] [ s ].

127,13

3.137,00

127,25

Exemplo: Dado o conjunto: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18 e 5, calcular o desvio padrão considerando:a) o conjunto como sendo uma amostra da população;b) o conjunto como sendo a própria população.

Solução

a) [ f ][ ] [12] [+ ] [6] [+ ] [7] [ + ] [3] [ + ] [15][ + ] [10] [ + ] [18] [ + ] [5] [ + ]

[ g ] [ s ] Visor:

b) [ g ] [ ]] [ + ] [ g ] [ s ] Visor:

Exemplo: Os dados a seguir referem-se ao consumo de água, em litros, em 7 casas. Calcule o desvio padrão desses dados: 1020, 1300, 2300, 1500, 900, 3500, 800.

Solução:a) Cálculo do desvio padrão amostral:

[ f ][ ] [1020] [+ ] [1300] [+ ] [2300] [ + ] [1500] [ + ] [900][ + ] [3500] [ + ] [800] [ + ]

[ g ] [ s ] Visor:

b) Cálculo do desvio padrão populacional [ g ] [ ]] [ + ] [ g ] [ s ] Visor:

6. Desvio Padrão - duas variáveisO desvio-padrão do conjunto de pares de dados considerado como uma amostra da população é obtido procedendo conforme o roteiro:

[ f ] [ ]; introduza cada par de dados, pressionando y [Enter] x [ + ]; após a introdução dos dados, pressione [ g ] [ s ] desvio-padrão dos valores de

x; [ x y ] desvio-padrão dos valores de y.

O desvio-padrão do conjunto de pares de dados considerado como sendo a própria população, é obtido procedendo conforme o roteiro:

[ f ] [ ]; introduza cada par de dados, pressionando y [Enter] x [ + ]; após a introdução dos dados, pressione [ g ] [ ] média aritmética dos valores

de "x" ; Introduza a média, pressionando [ + ]; pressione [ g ] [ s ] desvio-padrão dos valores de x;

5,21

4,87

971,63

899,55

[ x y ] desvio-padrão dos valores de y.

Exemplo: Calcular o desvio-padrão dos gastos em marketing e do volume devendas da tabela a seguir, considerando os conjuntos como sendo as próprias populações.

AnoVariáveis

1984 1985 1986 1987 1988

MarketingVendas

14523.000

13520.000

15526.000

15025.500

16028.000

Solução: Introduzindo os dados: [ f ][ ] [23.000] [Enter] [145] [+ ] [20.000] [Enter] [135 ] [+ ] [26000] [Enter] [155] [ + ] [25.500] [Enter] [150] [ + ] [28.000] [Enter] [160] [ + ]

Calculo da média: [ g ] [ ] Visor:

Introduz a média: [ + ]

Desvio-padrão x : [ g ] [ s ] Visor:Desvio-padrão y : [ x y ] Visor:

Exercícios1. Os salários/hora de 5 empregados são: 12,60; 19,80; 16,40; 46,00; 18,80. Determine

a média dos salários/hora. R.: 22,72.

2. Num vestibular, os graus obtidos por um candidato nas 6 provas realizadas foram: 82, 90, 76, 61, 58, 57. Calcular a média aritmética dos graus. R.: 72,33.

3. No exercício anterior, o dado 90 é incorreto. Seu valor real é 85. Faça a correção e calcule a nova média. R.: 71,50.

4. Calcule as médias aritméticas se GASTOS EM MARKETING e VENDAS da firma CDE entre 1994 e 1998.

1994 1995 1996 1997 1998Gastos em Marketing 145 135 155 150 160Vendas(y) 23.000 20.000 26.000 25.500 28.000R.: 149.

5. Calcular as médias aritméticas simples das despesas de custeio e gastos em investimentos do Município A no período entre 1993 e 1998.

1993 1994 1995 1996 1997 1998CUSTEIO 117,3 122,7 125,6 127,3 130,4 131,8INVESTIMENTO 37,7 32,3 34,4 37,7 34,6 36,2R.: 125,85.

6. Dados o conjunto: 8, 15, 32, 47, 56 e 68, calcular o desvio-padrão, considerando:a) o conjunto como sendo uma amostra de uma população. R.: 23,53.

8,60

149,00

2.756,81

b) o conjunto como sendo a própria população. R.: 21,48.

7. Calcular o desvio-padrão das variáveis “x” e “y” das tabelas:a)X Y

12,6128,6

13,5136,8

14,5152,4

12,3125,3

13,1132,4

14,8157,2

R.: a) 1,01; 13,07 b) 0,92; 11,94.

b)X Y

2.400 9,8

3.100 9,7

3.000 9,9

3.200 9,8

3.300 9,6

3.400 9,7

3.700 9,8

R.: a) 394,38; 3,80. b) 368,91; 3,55.

Considere os dados como sendo uma amostra da população e a própria população.

8. Calcular o prazo médio das seguintes duplicatas:

DUPLICATA 1 2 3 4 5PRAZO 30 45 50 70 60VALORNOMINAL 20.000 30.000 40.000 25.000 25.000

R.: 51,61 = 52 dias.9. Um candidato obteve os seguintes resultados nas provas de um concurso

Público: Português 78; Matemática 56; Noções de Direito 74; Inglês 66. Qual a média obtida supondo que os pesos foram, respectivamente, 4, 3, 2, 1? R.: 69,40.

10. Calcular o saldo médio do seguinte extrato bancário:

Data Histórico C/D Saldo Prazo(dias)

01/09 Saldo anterior xxxxxxx + 1.600,00 203/09 Depósito + 48.350,00 + 46.700,00 508/09 Cheque - 18.600,40 + 28.100,60 917/09 Cheque -16.400,00 + 11.700,00 724/09 Cheque - 9.700,00 + 2.000,00 428/09 Cheque - 4.800,00 + 2.800,00 3

R.: 18.823,33.