1 Primitivas Imediatas
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CENTRO DE ESTUDOS PEDAGÓGICOS Explicações de Matemáticas Prof→ Manuel Cerqueira Secundário e Superior Tel. 21 938 94 71 TM : 96 647 58 70 http://mathcep.googlepages.com [email protected] Análise Matemática Primitivas P 1.1 Primitivas Imediatas Diz-se que F(x) é uma primitiva de f(x) sse F'(x)=f(x). Uma função tem infinitas primitivas, que diferem de uma constante umas das outras. A primitivação é a operação inversa da derivação . P[f(x))=F(x)+C ou f x dx Fx C () () = + z PRINCIPAIS PRIMITIVAS IMEDIATAS ( ) 1 .' (n -1) 1 n n u uu dx c n + = + ≠ + ∫ ' log ln | | u dx u u c u ⎛ ⎞ = = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 ´ 1 ( ) +c u u dx arctg u + = ∫ u´. u u e dx e c = + ∫ u´.cos( ) ( ) u dx sen u c = + ∫ u´. ( ) cos( ) s en u dx u c =− + ∫ ´ . ln sec u tgu dx u = ∫ ´ . ln u cotgu dx senu = ∫ ´.sec . ln sec u u dx u tgu = + ∫ 2 ´. sec . ln () u u co u dx tg = ∫ 2 ´sec . u u dx tgu = ∫ 2 ´ sec . u co u dx cotgu =− ∫ ´sec . . sec u u tgu dx u = ∫ ´ sec . . sec u co u cotgu dx co u =− ∫ ( ) 2 ´ 1 ( ) +c u u P arcsen u − = ( ) 2 2 ´ 1 ln 1 +C u u P u u + = + + ( ) 2 2 ´ 1 ln 1 +C u u P u u − = + − As primitivas que se obtém por leitura directa das regras de derivação, chamam-se primitivas imediatas. Assim torna-se imprescindível dominar as regras de derivação. Por isso, encare as primitivas acima como as mais importantes, no entanto pode ter interesse saber mais algumas. NOTA IMPORTANTE: " Quem não sabe derivar não sabe primitivar, mas quem sabe derivar pode não saber primitivar". PRIMITIVAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO ( ) P u+v () () Pu Pv = + .Ou seja, a primitiva duma soma é a soma das primitivas. ( ) P u+ v () () P u Pv α β α β = + .Pode-se passar as constantes para fora (linearidade). EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS IMEDIATAS QUASE IMEDIATAS E DECOMPOSIÇÃO 1) ( ) P x x x 3 8 3 7 3 2 + + + 2) P x x x x x 5 9 1 4 3 4 5 3 + + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ . 3) ( ) Pe x 4 4) ( ) Pe x x x 2 6 7 3 − + − .( ) 5) ( ) P sen x ( ) 4 6) ( ) P x cos( ) 3 7) P x 1 2 cos ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 8) P sen x 7 4 2 ( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 9) P x 4 3 7 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 10) ( ) P tgx P senx x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos 11) P x x 3 3 2 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 12) P x x x 4 6 3 9 2 + + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 13) P x senx cos 2 1 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 14) P arctgx x 1 2 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 15) P arcsenx x 1 2 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 16) P tg x x 2 2 cos ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 17) 1 ln P x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 18) P x arctgx 1 1 2 ( ). + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 19) P e x x 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 20) P x 2 16 9 2 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 21) P x x 1 4 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 22) P x x 3 16 4 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 23) P e e x x 1 2 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 24) 1 ln x P x ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 25) 2 1 .1 (ln ) P x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 26) 2 1 1 P x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 27) 2 1 1 P x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠
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CENTRO DE ESTUDOS PEDAGÓGICOS Explicações de Matemáticas Prof→ Manuel Cerqueira Secundário e Superior Tel. 21 938 94 71 TM : 96 647 58 70 http://mathcep.googlepages.com [email protected]
Análise Matemática Primitivas P 1.1
Primitivas Imediatas Diz-se que F(x) é uma primitiva de f(x) sse F'(x)=f(x). Uma função tem infinitas primitivas, que diferem de uma constante umas das outras. A primitivação é a operação inversa da derivação . P[f(x))=F(x)+C ou f x dx F x C( ) ( )= +z
PRINCIPAIS PRIMITIVAS IMEDIATAS
( )1
. ' (n -1)1
nn uu u dx c
n
+
= + ≠+∫
' log ln | |u dx u u cu
⎛ ⎞ = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 2
´1
( ) +cuu
dx arctg u+
=∫
u .́ u ue dx e c= +∫ u ´. c o s ( ) ( )u d x se n u c= +∫ u ´. ( ) c o s ( )se n u d x u c= − +∫
´ . ln secu tgu dx u=∫ ´ . lnu cotgu dx senu=∫ ´.sec . ln secu u dx u tgu= +∫
2´. sec . ln ( )uu co u dx tg=∫ 2´sec .u u dx tgu=∫ 2´ sec .u co u dx cotgu= −∫ ´sec . . secu u tgu dx u=∫
´ sec . . secu co u cotgu dx co u= −∫
( )2´
1( ) +cu
uP arcsen u
−= ( )2
2´1
ln 1 +Cuu
P u u+
= + + ( )2
2´1
ln 1 +Cuu
P u u−
= + −
As primitivas que se obtém por leitura directa das regras de derivação, chamam-se primitivas imediatas. Assim torna-se imprescindível dominar as regras de derivação. Por isso, encare as primitivas acima como as mais importantes, no entanto pode ter interesse saber mais algumas.
NOTA IMPORTANTE:" Quem não sabe derivar não sabe primitivar, mas quem sabe derivar pode não saber primitivar". PRIMITIVAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO
( )P u+v ( ) ( )P u P v= + .Ou seja, a primitiva duma soma é a soma das primitivas.
( )P u+ v ( ) ( )P u P vα β α β= + .Pode-se passar as constantes para fora (linearidade). EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS IMEDIATAS QUASE IMEDIATAS E DECOMPOSIÇÃO
1) ( )P x x x3 8 3 73 2+ + + 2) P x xx
xx
5 9 14
345
3+ + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟. 3) ( )P e x4
4) ( )P e xx x2 6 7 3− + −.( ) 5) ( )P sen x( )4 6) ( )P xcos( )3 7) Px
12cos
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 8) P
sen x7
42( )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9)Px4
3 7−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 10) ( )P tgx P senx
x= ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟cos 11) P x
x3 32 +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 12)P x
x x4 6
3 92
+
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 13) P x
senxcos
2 1+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
14) P arctgxx1 2+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 15) P arcsenx
x1 2−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 16) P tg x
x
2
2cos⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 17) 1
lnP
x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
18) Px arctgx
11 2( ).+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
19) P ex
x
2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ 20) P
x2
16 9 2−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 21) P x
x1 4−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 22) P x
x3
16 4+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 23) P e
e
x
x1 2+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
24) 1 ln xPx
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
25) 2
1. 1 (ln )
Px x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
26) 2
11
Px
⎛ ⎞⎜ ⎟
−⎝ ⎠ 27)
2
11
Px
⎛ ⎞⎜ ⎟
+⎝ ⎠
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Análise Matemática Primitivas P 1.1
Trigonométricas Especiais O uso destas fórmulas simplifica certos integrais:
22
2 22
2
1 cos(2 )1 2s 2cos(2 ) cos
1 cos(2 )2cos 1 cos2
xsen xen xx x sen x
xx x
−⎧ =⎪⎧ −⎪ ⎪= − = ⇒⎨ ⎨ +−⎪⎩ ⎪ =⎪⎩
24 1 cos(2 ) 3 1 1s cos(2 ) cos(4 )
2 8 2 8xen x x x−⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Calcular 2sen xdx∫ 4sen xdx∫ 2cos xdx∫ 4cos xdx∫
