1 Parte 1malex/arquivos/lista2014/lista1... · 2014-04-24 · (d) x 2 + y 2 2 x 2 y +1 = 0 Problema...

10 Lista de Exerccio de MAT0112 (10 semestre 2014)

Turmas: 2014122 e 2014124

Referncias principais(nas quais a lista foi baseada):

1. Reis e Silva: Geometria Analtica

2. Stewart: Calculo I

3. G. Strang, �Algebra linear e aplica�c~oes, 4o Edi�c~ao, Cengage Learning.

4. S. Lipschutz and M. Lipson, �Algebra linear, 3o Edi�c~ao, Cole�c~ao Schaum.

1 Parte 1:

1.1 I-Recordao

Problema 1.1. Determine a equa�c~ao da reta do tipo y = mx+ b que passapor (�1; 2) e (3;�4).Problema 1.2. Esboce

(a) A reta C = f(x; y) 2 R2jx+ 2y = 5g(b) A regio R = f(x; y) 2 R2jx+ 2y > 5g

Problema 1.3. Resolva a desigualdade jx� 3j+ jx+ 2j < 11

Problema 1.4. Determine cos2(�), sin2(�) em termos de cos(2�).

Problema 1.5. Encontre os valores de x que satisfa�cam a cada uma dasdesigualdades:

(a) jx� 2j < 1

(b) jx� 2j > 1

(c) jx� 2j = 1

(d) jx2 � 4j � 2

1

(e) j3� 2x2j � 9

(f) jx� 1j < jx� 2jProblema 1.6. Encontre os valores de x que satisfa�cam as seguintes de-sigualdades:

(a) 3x+ 5 < 23

(b) (x� 1)(x� 3) < 0

(c) x2 � 5x < �6(d) x3 + x2 � 0

(e) 2xx�2 � 1

Problema 1.7. Resolva as seguintes equa�c~oes:

(a) x2 � 5jxj+ 6 = 0

(b) x2 + 4jxj � 21 = 0

(c) x2 + 4jxj+ 3 = 0

(d) jx2 � 3xj = 2

(e) (jxj5 + j18x3j+ 1)(x2 � 1) = 0

Problema 1.8. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m3 tem umabase quadrada. Expresse a �area super�cial da caixa como uma fun�c~ao docomprimento de um lado da base.

Problema 1.9. Expresse a hipotenusa h do triangulo retangulo com uma�area de 25 m2 como uma fun�c~ao do seu per��metro P .

Problema 1.10. A queda de uma pedra em um lago cria ondas circularesque se espalham a uma velocidade de 60 cm=s.

(a) Expresse o raio desse c��rculo como uma fun�c~ao do tempo t (em segun-dos).

(b) Se A(r) �area do c��rculo com raio r, encontre a fun�c~ao A �R (onde R(�)a fun�c~ao obtida no item a) e interprete-a.

2

Problema 1.11. Fa�ca o gr�a�co de cada fun�c~ao, sem desenhar um conjuntode pontos discretos, mas come�cando com o gr�a�co de uma fun�c~ao b�asica eent~ao aplicando as transforma�c~oes apropriadas.

(a) f(x) = (x+ 1)2

(b) f(x) = 1 + 2 cos(x)

(c) f(x) = sen (x=2)

(d) f(x) =px+ 3

(e) f(x) = 12(x2 + 8x)

(f) f(x) = 2x+1

(g) f(x) = jsen (x)j

1.2 Respostas da Parte 1

Problema 1.1: y = �32x+ 1

2

Problema 1.3: �5 < x < 6

Problema 1.4: cos2(�) = 1+cos(2�)2

, sin2(�) = 1�cos(2�)2

Problema 1.5:

(a) (1; 3)

(b) (�1; 1) [ (3;1)

(c) f1; 3g(d) (�1;�p6) [ [�p2;

p2] [ [

p6;1)

(e) [�p6;p6]

(f) (�1; 3=2)

Problema 1.6:

3

(a) (�1; 6)

(b) (1; 3)

(c) (2; 3)

(d) [�1;1)

(e) (�1;�2] [ (2;1)

Problema 1.7

(a) 2;�2; 3;�3 (Dica: pode-se usar que x2 = jxj2).(b) 3;�3(c) No tem raizes.

(d) 1; 2; (3 +p17)=2; (3�p

17)=2

(e) 1;�1

Problema 1.8: S(x) = x2 + 8xcom x > 0

Problema 1.9: h(P ) = P 2�1002P

Problema 1.10

(a) R(t) = 60t

(b) A �R(t) = 3600�t2, a rea do crculo como uma funo do tempo.

4

2 Parte 2: Plano

Problema 2.1. Escreva o vetor (7;�1) como soma de dois vetores, umparalelo ao vetor (1;�1) e outro paralelo ao vetor (1; 1).

Problema 2.2. Dados A = (1; 3) e B = (2; 2) determine x para que areta de�nida pelo ponto m�edio AB e o ponto (x; 0) seja paralela ao vetorv = (1; 2).

Problema 2.3. Os pontos A = (1;�5), B = (5; 2) e C = (3; 9) so tresv�ertices de um paralelogramo. Ache tres pontos, cada um dos quais podendoser o seu quarto v�ertice.

Problema 2.4. Determine como deve variar o m�odulo e o sentido F1 e F2

(isto �e, por quais cosntantes se deve multiplicar F1 e F2) para qual a resultantedestas foras seja F sendo kFk = p

3 kF1k = 2 e kF2k = 1 (o angulo F entreF1 30 graus, e o angulo entre �F1 e F2 60 graus)

Problema 2.5. Num ponto atuam tres for�cas F1 = (�3;�4) F2 = (�1; 2),F3 = (2; 1).

(a) Elas est~ao em equil��brio?

(b) Mantendo a dire�c~ao e o sentido de F2 F3, como podemos modi�c�a-lasde modo que o sistema �que em equil��brio?

(c) �E poss��vel colocar o sistema em equil��brio mantendo-se F1 e F2 �xas evariando apenas o m�odulo e o sentido de F2?

Problema 2.6. Calcule a resultante das for�cas F1, F2 e F3 sabendo que:

1. kF1k = 1 e F1 horizontal

2. F2 = F1 + u1 onde ku1k = 1 e u1 perpendicular a F1

3. F3 = F2 + u2 onde ku2k = 1 e u2 perpendicular a F2.

Problema 2.7. Sejam u = (2; 4) e v = (�3; 5). Determine:

(a) o produto escalar de u e v

(b) o angulo entre u e v

5

(c) a projeo Pv(u) de u em v.

Problema 2.8. Dado o triangulo cujos v�ertices so A = (1; 1) B = (4; 0) eC = (3; 4), determine:

(a) os angulos A, B, C.

(b) as proje�c~oes dos lados AC e BC sobre o lado AB;

(c) o p�e da altura relativa ao v�ertice C;

(d) a �area do triangulo ABC;

Problema 2.9. Calcule a �area do paralelogramo cujos v�ertices so os pontosm�edios dos lados do quadrilatero ABCD sendo A = (0; 1), B = (�4;�1),C = (5;�3) e D = (7; 0).

Problema 2.10. Considere a proje�c~ao de v em u dada por Pu(v) = (2; 1)onde u = (4; 2) e kvk = 6. Determine v.

Problema 2.11. Escreva as equa�c~oes da reta (param�etrica e carteziana)que:

(a) cont�em o ponto (�1; 1) e tem a dire�c~ao do vetor (2; 3)

(b) cont�em os pontos A = (3; 2) e B = (�3; 1)Problema 2.12. Escreva as equa�c~oes param�etricas da reta que cont�em oponto (1; 2) e faz com a reta y = �2x+ 4 um angulo de 600.

Problema 2.13. Determine o angulo menor entre as retas:

(a) 2x+ 3y = 1 e y = �5x+ 8

(b) x+ y + 1 = 0 e x = 1� 2t, y = 2 + 5t

Problema 2.14. Escreva as equa�c~oes param�etricas das seguintes circun-ferencias:

(a) x2 + y2 � 11 = 0

(b) x2 + y2 � x+ 3y � 2 = 0

(c) x2 + y2 � 6y = 0

6

(d) x2 + y2 � 2x� 2y + 1 = 0

Problema 2.15. (a) Uma part��cula percorre a reta de�nida pelos pontosA = (1; 2) e B = (3;�1) com velocidades constante. Sabendo que noinstante t = 0 a part��cula se encontra em A e que em t = 2 se encontraem B, determine sua posi�c~ao no instante t.

(b) Em que instante a part��cula se encontra mais pr�oxima do ponto C =(4;�2)?

Problema 2.16. Num determinado instante t as posi�c~oes de 2 part��culas Pe Q so dadas, respectivamente, por (1 + 2t; 1 + t) e (4 + t;�3 + 6t)

(a) As trajetorias se interseptam? Em caso a�rmativo, onde?

(b) As particulas se chocam?

Problema 2.17. Um m�ovel M1 parte do ponto A = (0; 4) com velocidadev = (1;�1) no mesmo instante em que um m�ovel M2 parte de O = (0; 0)tamb�em com velocidade constante. Qual deve ser a velocidade de M2 paraque M1 e M2 se choquem em t = 1?

Problema 2.18. A trajet�oria de uma particular dada por:

x = 2 + cos(t)

y = 1 + 2 sin(t);

for �

8� t � 2�. Determine o menor valor de t para a qual a part��cula se

encontra a igual distancia dos pontos A = (0; 4) e B = (1; 5).


Problema: 2.1: (7;�1) = (4;�4) + (3; 3)

Problema 2.2: 1=4

Problema 2.3: (�1; 2), (3;�12) e (7; 16)

Problema 2.4: Multiplique F1 por 1=2 e F2 por �1.

Problema 2.5:

7

(a) N~ao, a soma dos vetores no se anula,

(b) F1 + k2F2 + k3F3 = 0 assim k2 = 1 e k3 = 2

(c) pergunta equivalente a F1 + kF2 + F3 = 0? Resposta: N~ao

Problema 2.6: (3�p22; 2 +

p22) ou (3 +

p22; 2�

p22)

Problema 2.7:

(a) 14

(b) arccos(7p170

170)

(c) (�2117; 3517)

Problema 2.8:

(a) angulo entre AC e AB arccos(3=p130)

(b) angulo entre BA e BC arccos(7=p170)

(c) angulo entre CA e CB arccos(10=p221)

Problema 2.9: 374

Problema 2.10: (2 +p62010

; 1�p6205

) ou (2�p62010

; 1 +p6205

)

Problema 2.11:

(a) Eq. param�etricas x = �1+2t e y = 1+3t Eq. cartesiana: 2y� 3x = 5

(b) Eq. param�etrica x = 3� 6t e y = 2� t, Eq. Cartesiana: 6y � x = 9

Problema 2.12: x = 1 + t, y = 2 + 8+5p3

11t; x = 1 + t e y = 2 + 8�5

p3

11t;

Problema 2.13:

(a) 450

8

(b) arccos(7p58

58)

Problema 2.14:

(a) x =p11 cos(t) e y =

p11sen (t),

(b) x = 12+p182

cos(t) e y = 32+p182sen (t)

(c) x = 3 cos(t) e y = 3 + 3sen (t)

(d) x = 1 + cos(t) e y = 1 + sen (t)

Problema 2.15:

(a) (1 + t; 2� 32t)

(b) 36=13

Problema 2.16:

(a) trajet�orias se interseptam no ponto (5; 3)

(b) P passa por este ponto em t = 2 e Q no instante t = 1 logo no sechocam.

Problema 2.17: (1; 3)

Problema 2.18: �=2

9

3 Parte 3: R3

Problema 3.1. Determine o centro e raio das seguintes esferas:

(a) x2 + y2 + z2 � 2x� 4y � 2z = 10

(b) x2 + y2 + z2 + 2y � 10z = 27

(c) 2x2 + 2y2 + 2z2 � 2x+ 6y = 6

(d) x2 + y2 + z2 = 3

(e) x2 + y2 + z2 + 2x� y = 1

Problema 3.2. Determine a equa�c~ao da esfera que cont�em A = (8; 0; 3) eB = (�6; 2; 5) e tem como diametro a distancia entre A e B.

Problema 3.3. Determine a equa�c~ao da esfera de centro na origem, sabendoque sua interse�c~ao com um plano paralelo ao plano x; y e distante duasunidades da origem uma circunferencia de raio 3.

Problema 3.4. Determine t para que o ponto (t; t + 1; t + 2) perten�ca �aesfera de centro (0; 1; 2) e raio

p12.

Problema 3.5. Calcule a rea do triangulo cujos v�ertices s~ao:

(a) A = (0; 0; 0), B = (2; 3; 0), C = (0; 0; 5)

(b) A = (2;�1; 1), B = (2; 1;�1), C = (0; 3;�5)Problema 3.6. Calcule o volume do paralelep��pedo de�nido pelos vetoresu = (2;�1; 1) v = (1; 3; 2) e w = (�1; 4;�3)Problema 3.7. Sejam u = (2; 1;�3) e v = (1;�2; 1)(a) Determine um vetor unit�ario simultaneamente perpendicular a u e v.

(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que kwk = 5

Problema 3.8. Seja u um vetor perpendicular a v e w. Sabendo que v ew formam um angulo de 30o e que kuk = 6, kvk = 3 e kwk = 3 calcule hu,(v � w)i

10

Problema 3.9. Escreva uma equa�c~ao do plano que cont�em o ponto (1; 1; 1)e perpendicular ao vetor (2;�1; 8)Problema 3.10. Escreva uma equa�c~ao do plano de�nido pelos pontos:

(a) A = (2;�1; 3), B = (0; 2; 1) e C = (1; 3; 2)

(b) A = (0; 0; 0), B = (2; 1; 0) e C = (1; 0; 0)

(c) A = (0; 0; 2), B = (1; 2; 2) e C = (1; 0; 2)

Problema 3.11. Escreva as equa�c~oes param�etricas da reta de�nida pelospontos:

(a) A = (2; 1; 3) e B = (1; 3; 7)

(b) A = (0; 0; 0) e B = (0; 5; 0)

(c) A = (1; 1; 0) e B = (2; 2; 0)

Problema 3.12. Dados A = (2; 3; 6), B = (4; 1;�2) escreva uma equa�c~aodo plano mediador do segmento AB.

Problema 3.13. (a) Veri�que que o ponto A = (2; 4; 1) pertence esferax2 + y2 + z2 = 21

(b) Determine o ponto B tal que kB � Ak seja um dimetro desta esfera.

Problema 3.14. Determine os valores a e b para que a reta r

x = 1 + at

y = 2 + bt

z = �1 + 2t

e a reta s

x = 2 + t

y = 1 + bt

z = �1 + 2t

sejam:

11

(a) paralelas,

(b) concorrentes, i.e, se interseptam,

(c) reversa, i.e., no paralelas e n~ao concorrentes.

Problema 3.15. Determine a distancia do ponto (2; 1; 3) a cada um dosplanos:

(a) x� 2y + z = 1

(b) x+ y � z = 0

(c) x� 5z = 8

Problema 3.16. Escreva uma equa�c~ao do plano que cont�em o ponto (1;�2; 3)e perpendicular a cada um dos planos x+ 2y + 3z = 4 e 2x+ y + z = 2

Problema 3.17. Determine o ponto do plano ax+by+cz = d mais pr�oximoda origem.

Problema 3.18. Escreva uma equa�c~ao do plano paralelo a 2x� y + 6z = 4e tangente esfera x2 + y2 + z2 � 4x+ 2y = 4

Problema 3.19. O movimento de uma part��cula tal, que no instante t suaposi�c~ao P (t) = (1 + t; 1� 2t; t).

(a) Em que instante a partcula est�a mais pr�oxima da esfera x2+y2+z2 = 1

(b) Qual o ponto desta esfera mais pr�oxima da trajet�oria da part��cula?


Problema 3.1:

(a) centro (1; 2; 1) e raio 4

(b) centro (0;�1; 5) e raio p53

(c) centro (12; �3

2; 0) e raio

p222

(d) centro (0; 0; 0) e raiop3

12

(e) centro (�1; 12; 0) e raio 3

2

Problema 3.2: (x� 1)2 + (y � 1)2 + (z � 4)2 = 51

Problema 3.3: x2 + y2 + z2 = 13

Problema 3.4: t = 2 ou t = �2

Problema 3.5:

(a)p3252

(b) 2p3

Problema 3.6: 28

Problema 3.7:

(a) 1p3(�1;�1;�1)

(b) 5p3(�1;�1;�1)

Problema 3.8: +27 e �27

Problema 3.9: 2(x� 1)� (y � 1) + 8(z � 1) = 0 ou 2x� y + 8z = 9

Problema 3.10:

(a) x� z + 1 = 0

(b) z = 0

(c) z = 2

Problema 3.11:

(a) x = 2� t, y = 1 + 2t, z = 3 + 4t

13

(b) x = 0, y = t, z = 0

(c) x = 1 + t, y = 1 + t, z = 0

Problema 3.12: x� y � 4z + 7 = 0

Problema 3.13:(b) B = (�2;�4;�1)

Problema 3.14:

(a) a = 1 e b qualquer

(b) impossvel

(c) a 6= 1 e b qualquer

Problema 3.15

(a)p63

(b) 0

(c) 21p26

Problema 3.16: x� 5y + 3z = 20

Problema 3.17 ( ad

a2+b2+c2; bd

a2+b2+c2; cd

a2+b2+c2)

Problema 3.18: 2x� y + 6z = 5 + 123p41

ou 2x� y + 6z = 5� 123p41

Problema 3.19: t = 16

14

4 Parte 4:

4.1 Introdu�c~ao aos Sistemas Lineares e Matrizes

Problema 4.1. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss

2u+ v + w = 5

4u� 6v = �2�2u+ 7v + 2w = 9

Problema 4.2 (M��nimos quadrados). Considere (t1; b1); : : : (tm; bm) dadosexperimentais de um fenomeno linear, e.g., dados que descrevem um objetocom velocidade uniforme que no tempo ti est�a a uma distancia bi de umcerto referencial. A�m de encontrar a reta que y = ax + c que est�a maispr�oxima dos pontos coletados de�nimos a fun�c~ao de 2 variaveis E(c; a) =P

m

i=1(bi � c � ati)2. Veri�que que se (c; a) �e ponto cr��tico de E, i.e., se

@E

@c(c; a) = 0 = @E

@a(c; a); ent~ao (c; a) atende:

�m

PtiP

tiP

t2i

� �ca

�=

� PbiPtibi

�

Problema 4.3 (Matriz de Vandermonde). Dado pontos (t1; b1); : : : ; (tn; bn)existe um �unico polinomio P de grau n � 1 tal P (ti) = bi. Veri�que queencontrar tal polinomio P equivale a encontrar (c1; : : : ; cn) que atende:

26664

1 t1 t21 � � � tn�11

1 t2 t22 � � � tn�12...

......

......

1 tn t2n

� � � tn�1n

37775

26664c1c2...cn

37775 =

26664b1b2...bn

37775


(a)

x� 3y � 2z = 6

2x� 4y � 3z = 8

�3x+ 6y + 8z = �5

15

(b)

x+ 2y � 3z = 1

2x+ 5y � 8z = 4

3x+ 8y � 13z = 7

(c)

x1 + 3x2 � 2x3 + 5x4 = 4

2x1 + 8x2 � x3 + 9x4 = 9

3x1 + 5x2 � 12x3 + 17x4 = 7


(a)

x+ 2y � z = 3

x+ 3y + z = 5

3x+ 8y + 4z = 17

(b)

x� 2y + 4z = 2

2x� 3y + 5z = 3

3x� 4y + 6z = 7

(c)

x+ y + 3z = 1

2x+ 3y � z = 3

5x+ 7y + z = 7

Problema 4.6. Determine a fatora�c~ao LU da matriz

A =

24 2 1 1

4 �6 0�2 7 2

35

16


A =

24 1 �3 5

2 �4 7�1 �2 1

35


A =

24 1 2 1

2 3 3�3 �10 2

35

Problema 4.9. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversada matriz

A =

24 2 1 1

4 �6 0�2 7 2

35

Problema 4.10. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversada matriz

A =

24 1 0 2

2 �1 34 1 8

35


Problema 4.1: w = 2, v = 1, u = 1

Problema 4.4:

(a) x = 1; y = �3 e z = 2

(b) x = �3� a, y = 2 + 2a, z = a onde a �e um parametro

(c) o sistema n~ao possui solu�c~ao.

Problema 4.5:

(a) x = 173, y = �2

3, z = 4

3

(b) O sistema n~ao possui solu�c~ao

17

(c) x = �10a y = 1 + 7a; z = a onde a �e um parametro.

Problema 4.6: L =

24 1 0 0

2 1 0�1 �1 1

35 ; U =

24 2 1 1

0 �8 �20 0 1

35

Problema 4.7: L =

24 1 0 0

2 1 0�1 �5

21

35 ; U =

24 1 �3 5

0 2 �30 0 �3

2

35

Problema 4.8: L =

24 1 0 0

2 1 0�3 4 1

35 ; U =

24 1 2 1

0 �1 10 0 1

35

Problema 4.9 A�1 =

24

1216

� 516

� 616

48

�38

�28

�1 1 1

35

Problema 4.10 A�1 =

24 �11 2 2

�4 0 16 �1 �1

35

18

5 Parte 5

5.1 Introdu�c~ao aos espa�cos e subespa�cos vetoriais e

bases

Problema 5.1. Escreva o polinomio v(t) = t2+4t�3 como uma combina�c~aolinear dos polinomios p1(t) = t2 � 2t+ 5; p2(t) = 2t2 � 3t; p3(t) = t+ 1

Problema 5.2. Escreva a matriz M =

�4 77 9

�como combina�c~ao linear

das matrizes: A =

�1 11 1

�; B =

�1 23 4

�; C =

�1 14 5

�:

Problema 5.3. Seja V o espa�co vetorial real dos polinomios reais. Deter-mine se W �e ou n~ao um subespa�co de V onde

(a) W �e composto por todos os polinomios de coe�cientes inteiros.

(b) W �e composto por todos os polinomios de grau menor ou igual a 6 edo polinomio nulo

(c) W �e composto por todos os polinomios que possuem apenas potenciaspares.

Problema 5.4. Determine se cada um dos conjuntos abaixo de vetores de-termina ou n~ao uma base de R3

(a) (1; 1; 1), (1; 0; 1)

(b) (1; 2; 3), (1; 3; 5), (1; 0; 1), (2; 3; 0)

(c) (1; 1; 1) (1; 2; 3), (2;�1; 1)(d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 3; 4)

19

Problema 5.5. Seja S o espa�co das matrizes sim�etricas reais 2 por 2, i.e., oespa�cos das matrizes reais A = At ond At �e a transposta de A. Determine adimens~ao de S e uma base para S.

Problema 5.6. (a) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(U)

da matriz U =

24 1 3 3 2

0 0 3 30 0 0 0

35 :

(b) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(A) da matriz A =24 1 3 3 2

2 6 9 7�1 �3 3 4

35 :

Problema 5.7. Determine a dimens~ao e uma base do espa�co de solu�c~oes dossistemas homogeneos abaixo:

(a)

x+ 2y + 2z � s+ 3t = 0

x+ 2y + 3z + s+ t = 0

3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0

(b)

x+ 2y + z � 2t = 0

2x+ 4y + 4z � 3t = 0

3x+ 6y + 7z � 4t = 0

(c)

x+ y + 2z = 0

2x+ 3y + 3z = 0

x+ 3y + 5z = 0

Problema 5.8. Demonstre as seguintes a�rma�c~oes:

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(a) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentesem R

m.

(b) Sejam f1 : : : fm e g1; : : : gn bases para um mesmo espa�co vetorial V .Ent~ao m = n.

(c) Sejam ffig base de um espa�co vetorial W e v 2 W: Ent~ao existe paracada vetor fi somente um n�umero vi tal que v =

Pivifi


Problema 5.1: v = �1711p1 +

1411p2 +

5211p3

Problema 5.2: M = 2A+ 3B � C

Problema 5.3: (a) n~ao, (b) e (c) sim.

Problema 5.4: (a), (b) n~ao , pois dimR3 = 3. (c) Sim, pois colocando osvetores como colunas de uma matriz A tres por tres, podemos observar queA �e n~ao singular. (d) N~ao pois colocando os vetores como colunas de umamatriz A observamos que Ax = 0 admite mais de uma solu�c~ao.

Problema 5.5: dimS = 3 e uma base �e: E1 =

�1 00 0

�; E2 =

�0 11 0

�;

E3 =

�0 00 1

�:

Problema 5.6:

(a) dimN(U) �e igual ao n�umero de vari�aveis livres, i.e., 2. Uma base E1, E2

do subespa�co vetorial N(U) pode ser determinada da seguinte forma:Considere as solu�c~oes de Ux = 0: Ent~ao E1 �e obtido tomando x4 = 1e x2 = 0 e E2 tomando-se x4 = 0 e x2 = 1. Assim E1 = (1; 0;�1; 1) eE2 = (�3; 1; 0; 0).

(b) Sabemos que PA = LU . Logo A = P�1LU . Logo Ax = 0 se e somentese Ux = 0: Logo N(A) = N(U).

Problema 5.7:

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(a) Dimens~ao �e 3. Base: v1 = (�2; 1; 0; 0; 0), v2 = (5; 0;�2; 1; 0), v3 =(�7; 0; 2; 0; 1)

(b) Dimens~ao �e 2. Base v1 = (�2; 1; 0; 0) v2 = (�5; 0;�1; 2)(c) Dimens~ao 0, i.e., o espa�co �e o espa�co vetorial trivial f(0; 0; 0)g.

Problema 5.8: Demonstrado em sala de aula. Para maiores detalhesconsulte livro de Strang, cap��tulo 2.

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