GABARITO

1Matemática A

Matemática A – Extensivo – V. 6

Exercícios

01) B

Reescrevendo a equação:

8811

− 1x ≤ 25

100

8 − 1x ≤ 5

10

8 − 1x ≤

12

8 − 1x −

12 ≤ 0

16 22

x xx− − ≤ 0

15 2

2xx−

≤ 0

A raiz do numerador é 2

15 e do denominador é zero.

Fazendo um quadro de sinais:

15x–2

2

15

– – +

2x – + +

Q + – +

O que nos dá como solução x R x∈ < ≤

| 02

15.

02) 30

01. Falso. x² < 9 x² − 9 < 0 Encontrando as raízes temos: x² − 9 = 0 ⇒ x² = 9

⇒ x = ± 9 ⇒ x = ± 3

Fazendo o estudo dos sinais:

–3 3

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

Solução: S = {x ∈ R| − 3 < x < 3}

02. Verdadeiro. −5x² − 14x + 3 ≥ 0 Encontrando as raízes temos:

x = 14 196 60

10± +−

x = 14 256

10±−

x = −14 16

10∓

= x

x

1

2

14 1610

3010

3

14 1610

210

0 2

=− −

=−

=−

=− +

= =

,

–3 0,2

– – – – – – – – – – – – – – – –+ + + + + + + +

Então a solução da inequação é: S = {x ∈R| − 3 ≤ x ≤ 0,2}04. Verdadeiro. (5x − 8)² = −21 25x² − 80x + 64 +21 = 0 25x² − 80x + 85 = 0 ∆ = 6 400 − 8 500 ∆ = −2 100 Não tem raiz real. S1 = ∅

|5x − 3| = −8 ⇒ S2 = ∅

Assim, (S1 ∪ S2) ⊂ A08. Verdadeiro. |2x − 5| = |8x + 3|

2x − 5 = 8x + 3 ⇒ x = −43

ou

2x − 5 = −(8x + 3) ⇒ x = 15

∴ S ⊂ A

16. Verdadeiro. x² ≤ 9 x² − 9 ≤ 0 x1 = −3 e x2 = 3

–3 3

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

Então a solução da inequação é: S1 = {x ∈R| −3 ≤ x ≤ 3}

GABARITO

2 Matemática A

Encontrando as raízes de x² −7x + 10 = 0, temos:

x = 7 49 40

2± −

x = 7 9

2±

x = 7 32± =

x

x

1

2

7 32

102

5

7 32

42

2

=+= =

=−= =

2 5

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

Então a solução da inequação é: S2 = {x ∈ R| x < 2 ou x > 5}. Note que o −3 está em S1 ∩ S2

32. Falso. x² − 7x + 10 ≤ 0. Encontrando as raízes, temos: x1 = 5 e x2 = 2

2 5

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

Então a solução da inequação é: S = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 5}.

Fazendo a intersecção, temos:

–3 3

A

2

S

2 3

A S∩5

A ∩ S = {x ∈R| 2 ≤ x ≤ 3}

03) D

−x² + 13x − 40 ≥ 0 Encontrando as raízes de −x² + 13x − 40 = 0, temos:

x = − ± −−

13 169 1602 1. ( )

x = − ±−

13 92

x = − ±−

13 32

x = 13 3

2∓

= x

x

1

2

13 32

102

5

13 32

162

8

=−= =

=+= =

5 8

+ + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x

S = {x ∈ R| 5 ≤ x ≤ 8}

Fazendo S ∩ I, temos:

8

S

I

5 8

S I∩10

5

2

S = [5, 8], logo 5, 6, 7 e 8 são as soluções inteiras da inequação.

04) 16

5m + 24 > 5 500 5m > 5 500 − 24 5m > 5 476

m > 54765

m > 1095,2

− 85m

+ 700 > 42 − m

700 − 42 > −m + 85m

658 > −m + 85m

multiplicando toda a inequação por 5:

3 290 > −5m + 8m 3 290 > 3m

3 290

3 > m

1096,66 > m

Então 1095,2 < m < 1096,66. Logo o único inteiro que satisfaz esse intervalo é 1096: 1 + 0 + 9 + 6 = 16

GABARITO

3Matemática A

05) B

x² − 32x + 252 < 0 Encontrando as raízes de x² − 32x + 252 = 0, temos:

x = 32 1024 1008

2± −

x = 32 16

2±

x = 32 42± =

x

x1

2

18

14

=

=

14 18

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

06) D

(x −3)² > x − 3 x² − 6x + 9 > x − 3 x² − 6x + 9 − x + 3 > 0 x² − 7x + 12 > 0

Encontrando as raízes de x² − 7x + 12 = 0, temos:

x = 7 49 48

2± −

x = 7 12±

x = 7 1

2±

= x

x1

2

4

3

=

=

3 4

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

S = {x ∈ R| x < 3 ou x > 4}.

07) D

2x + 1 ≤ x + 3 ≤ 4x Parte I: 2x + 1 ≤ x + 3 2x − x ≤ 3 − 1 x ≤ 2 Parte II: x + 3 ≤ 4x 3 ≤ 4x − x 3 ≤ 3x 1 ≤ x

S = {x ∈ Z| 1 ≤ x ≤ 2} 1 + 2 = 3

08) C

−1 ≤ 3x − 2 ≤ 1 Parte I: −1 ≤ 3x − 2 −1 + 2 ≤ 3x 1 ≤ 3x

13 ≤ x

Parte II: 3x − 2 ≤ 1 3x ≤ 1 + 2 3x ≤ 3 x ≤ 1

Logo: 13 ≤ x ≤ 1, então a =

13 e b = 1 a + b =

13 + 1 =

43.

09) D

2x + 3 ≤ x + 7 ≤ 3x + 1 Parte I: 2x + 3 ≤ x + 7 2x − x ≤ 7 − 3 x ≤ 4 Parte II: x + 7 ≤ 3x + 1 7 − 1 ≤ 3x − x 6 ≤ 2x 3 ≤ x

S = {x ∈ Z| 3 ≤ x ≤ 4}.

10) A

53( )x−

> 3 ⇒ 53( )x−

− 3 > 0 ⇒ 5 3 3

3− −−( )

( )x

x > 0 ⇒

⇒ 14 33−−

xx

> 0

Fazendo o estudo dos sinais:

14x –3

14

33

+ + + + + – –

x –3 – – – + + + +

Q – – – + + – –

Logo, S = x R x∈ < <

| 3143

.

O maior inteiro que satisfaz a inequação é 4.

GABARITO

4 Matemática A

11) C

Primeiro jovem: 2t − 3 960 ≥ 0 2t ≥ 3 960

t ≥ 3960

2 t ≥ 1 980 Segundo jovem: 3t − 6 000 ≤ 0 3t ≤ 6 000

t ≤ 6000

3 t ≤ 2 000

Então 1 980 ≤ t ≤ 2 000. Isso significa que os jovens viveram simultaneamente em SP de 1980 até 2000.

12) D

Note que g(x) é não negativa no intervalo −2 ≤ x ≤ 2 e

que f(x) = g x( ). Sabendo que não existe raiz negativa

de índice par, é possível afirmar que o domínio de f(x) é {x ∈ R| −2 ≤ x ≤ 2}

13) S = {x ∈ R| 1 < x ≤ 2}

A = {x ∈ R| x² − 6x + 5 < 0} Encontrando as raízes de x² − 6x + 5 = 0, temos:

x = 6 36 20

2± −

x = 6 16

2±

x = 6 4

2±

= x

x1

2

5

1

=

=

1 5

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

A = {x ∈ R| 1< x <5}

B = {x R| −x² + 2x + 3 > 0} Encontrando as raízes de −x² + 2x + 3 = 0, temos:

x = − ± +

−2 4 12

2 1. ( )

x = − ±−

2 162

x = − ±−2 4

2

x = 2 4

2∓

= x

x1

2

1

3

=−

=

–1 3

+ + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x

B = {x ∈ R| −1 < x < 3} C = {x ∈ R| x² − 8x + 12 ≥ 0} Encontrando as raízes de x² − 8x + 12 = 0, temos:

x = 8 64 48

2± −

x = 8 16

2±

x = 8 4

2±

= x

x1

2

6

2

=

=

2 6

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

C = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 6}

Determinando a intersecção, temos:

1

A

5

–1

B

3

2

C

6

1

A B C∩ ∩2

Então S = {x ∈ R| 1 < x ≤ 2}.

GABARITO

5Matemática A

14) D

A: x − 2y + 6 = 0 x + 6 = 2y

x2 + 3 = y

B: x − 3y + 15 = 0 x + 15 = 3y

x3 + 5 = y

A > B

x2 + 3 >

x3 + 5 multiplicando toda a inequação por 6:

3x + 18 > 2x + 30 3x − 2x > 30 − 18 x > 12

15) C

A: 500 + 40x B: 400 + 60x A = B 500 + 40x = 400 + 60x 500 − 400 = 60x − 40x 100 = 20x

10020

= x

5 = x

16) D

LT (q) = FT(q) − CT(q) 0 = 5q − (2q + 12) 0 = 5q − 2q − 12 12 = 3q

123

= q

q = 4

17) B

Tipo I: 3x (em que 3 é o preço e x os quilos de arroz) Tipo II: 4y (em que 4 é o preço e y os quilos de arroz)

x + y =75 (*)

Sabemos que o preço por quilo da mistura é R$3,40, então: 75 . 3,4 = 255. Logo, temos a seguinte equação para o preço: 3x + 4y = 255 (**)

Montando um sistema com (*) e (**), temos:

x y

x y

+ =+ =

75

3 4 255 multiplicando a primeira linha por −3:

− − =−+ =

+

=

3 3 225

3 4 255

30

x y

x y

y Substituindo y em (*), temos: x + 30 = 75 x = 75 − 30 x = 45

18) B

C = 50 + 2x + 0,1x² função do custo diário R = 6,5x função do preço de venda L = R − C função do lucro L = 6,5x − (50 + 2x + 0,1x²) L = 6,5x − 50 − 2x − 0,1x² L = −0,1x² + 4,5x − 50

Encontrando as raízes de −0,1x² + 4,5x − 50 = 0, temos:

x = − ± −

−4 5 20 25 20

2 0 1, ,

. ( , )

x = − ±−

4 5 0 250 2

, ,,

x = − ±−

4 5 0 50 2

, ,,

x = 4 5 0 5

0 2, ,

,∓

= x

x1

2

20

25

=

=

20 25

+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x

S = {x ∈ N| 20 ≤ x ≤ 25}.

19) C

x − y = 2 x − 2 = y (*)

A ≤ 24 cm² xy ≤ 24 (**)

Substituindo (*) em (**), temos:

x . (x − 2) ≤ 24 x² − 2x ≤ 24 x² − 2x − 24 ≤ 0

GABARITO

6 Matemática A

Encontrando as raízes de x² − 2x − 24 = 0, temos:

x = 2 4 96

2± +

x = 2 100

2±

x = 2 10

2±

= x

x1

2

6

4

=

=−

Não convém um lado com valor negativo. Note que x > 2, pois a diferença entre os lados é de 2

cm.

20) B

(x − 1)(x − 4) ≤ 0 Note que a inequação é do 2o grau na forma fatorada,

com x1 = 1 e x2 = 4. Podemos escrever a inequação x² − 5x + 4 ≤ 0. Pelo estudo de sinais, temos:

1 4

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

Somando os valores inteiros desse intervalo, temos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

21) B

xx

xx x

+−−+−≤−

33

11

33

multiplicando toda a inequação por (x − 3)(x − 1):

(x + 3)(x − 1) − (x + 1)(x − 3) ≤ 3 . (x − 1) x² − x + 3x − 3 − (x² − 3x + x − 3) ≤ 3x − 3 x² + 2x − 3 − x² + 2x + 3 ≤ 3x − 3 4x ≤ 3x − 3 4x − 3x ≤ −3 x ≤ −3

Notem que o novo denominador é (x − 3)(x − 1), que é uma equação de 2o grau com raízes x1 = 3 e x2 = 1, então:

1 3

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

{x ∈ R| x ≤ −3 ou 1 < x < 3}

22) B

f(x) = 16 − x² e g(x) = x − 4 f xg x( )( )

≤ 0

Encontrando as raízes de 16 − x² = 0 e x − 4 = 0, temos:

16 − x² = 0 16 = x² ± 16 = x

x = ± 4

–4 4

+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x

x − 4 = 0 x = 4

4

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

Fazendo o estudo de sinais, temos:

–4

f(x) – –+

4

g(x) – – +

4

–4

f(x)

g(x)+ – –

4

Então x ≥ −4 e x ≠ 4

23) A

f(x) = x + 2 e g(x) = 2x − x² f(x) . g(x) ≤ 0 Encontrando as raízes de x + 2 = 0 e 2x − x² = 0, temos:

x + 2 = 0 x = −2

–2

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

GABARITO

7Matemática A

2x − x² = 0 x (2 − x) = 0 x = 0 ou x = 2

0 2

+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x

Fazendo o estudo de sinais, temos:

–2

f(x) – ++

g(x) – – –+

0 2

–2

f(x) . g(x) + – –+

0 2 Então, {x ∈ R| −2 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2} Logo, a = − 2, b = 0 e c = 2 a² + b² + c² = (−2)² + 0² + 2² = 4 + 0 + 4 = 8

24) A

f(x) = x² − 2x − 3 e g(x) = x − 2 f xg x( )( )

≥ 0

Encontrando as raízes de x² − 2x − 3 = 0 e x − 2 = 0, temos:

x² − 2x − 3 = 0

x = 2 4 12

2± +

x = 2 16

2±

x = 2 4

2±

x1 = 3 ou x2 = −1

–1 3

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

x − 2 = 0 x = 2

2

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

Fazendo o estudo de sinais, temos:

2

+ +–

g(x)

g(x)

– – ++

–1 3

2

f(x)

f(x)

– + +–

–1 3

Então, S = [ −1, 2) ∪ [3, + ∞)

25) B

f(x) = 3 − x, g(x) = x² − 1 e h(x) = x + 2

f x g x

h x( ) . ( )

( ) ≥ 0

Encontrando as raízes de 3 − x = 0, x² − 1 = 0 e x + 2 = 0, temos:

3 − x = 0 3 = x

3

++++ + + –––––––––––––

x² − 1 = 0 x = ± 1

–1 1

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

x + 2 = 0 x = −2

–2

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

Fazendo o estudo de sinais:

1) Para f(x) . g(x):

–1

f(x) + –+

g(x) + – ++

1

3

–1

f(x) . g(x) + – –+

1 3

GABARITO

8 Matemática A

2) Para f x g x

h x( ) . ( )

( ):

–2

+ + ––+

h(x)

h(x)

– + + ++

–1 1 3

–2

f(x) .

f(x) .

g(x)

g(x)

– + + ––

–1 1 3

1

Então, S = {x ∈ R| −2 < x ≤ 1 ou 1 ≤ x ≤ 3}. Os números naturais pertencentes à solução são 1, 2 e 3. Logo,

1² + 2² + 3² = 14

26) A

f(x) = 5 − x² e g(x) = 2 − x f xg x( )( )

≤ 0

Encontrando as raízes 5 − x² = 0 e 2 − x = 0, temos:

5 − x² = 0 5 = x² ± 5 = x

5 5

+ + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x–

2 − x = 0 2 = x

2

++++ + + –––––––––––––

Fazendo o estudo de sinais, temos:

– + + –

g(x)

g(x)

+ + – –

2

f(x)

f(x) – + – +

2

5 5

5 5

–

–

S = ]−∞, − 5] ∪ ]2, 5]

27) C

Seja f(x) = 1 − x, g(x) = (x − 8)² e h(x) = (x + 4)³. f(x) . g(x) . h(x) > 0

Encontrando as raízes:

1) Para f(x): 1 − x = 0 x = 1

1

++++ + + –––––––––––––

2) Para g(x): Note que podemos reescrever g(x) = x² − 16x + 64, ou seja, (x − 8)(x − 8), então x − 8 = 0 x = 8

8

+ + + + + + +

x

+ + + + + + +

3) Para h(x): Note que h(x) = (x + 4)(x + 4)(x + 4), então x + 4 = 0 x = −4

– +(x + 4)

–4

– +(x + 4)

– +(x + 4)

– +h(x)

–4

Fazendo o estudo de sinais, temos:

+ + – –

g(x) + + + +

1

f(x)

h(x)

f(x)g(x)h(x)

–

–

+

+

+ +

– –

1

–4

–4

8

8

S = (−4, 1). Então, os números inteiros são: −3, −2, −1, 0.

GABARITO

9Matemática A

28) A

f(x) = (−x² + x − 20)³ e g(x) = x²(x−1)5 f xg x( )( )

< 0

Encontrando as raízes:

1) Para f(x): Note que podemos escrever como (−x² + x − 20)(−x² + x − 20)(−x² + x − 20). Calculando

as raízes da equação do 2° grau −x² + x − 20 = 0, en-contramos Δ = −79.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

x

2) Para g(x): x² = 0 0 = x

0

+ + + + + + +

x

+ + + + + + +

(x − 1)5 = ( ) ... ( )x x− ⋅ ⋅ −1 15

� �������� ��������

x − 1 = 0 x = 1

1

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

Então, g(x):

+ + + +

– – – +

g(x) – – – +

0

1

0 1

Logo, f xg x( )( )

:

– – – –

– – – +

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

+ + + –

0 1

0 1

S = ]1, +∞)

29) C

f(x) = 2x² + 5x − 3 e g(x) = 1 − 5x f xg x( )( )

< 0

Encontrando as raízes de 2x² + 5x − 3 = 0 e 1 − 5x = 0, temos:

2x² + 5x − 3 = 0

x = − ± +5 25 24

2 2.

x = − ±5 49

4

x = − ±5 7

4

x1 = 12 e x2 = −3

–3 1

2

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

1 − 5x = 0 1 = 5x

15 = x

1

5

++++ + + –––––––––––––

GABARITO

10 Matemática A

Fazendo o estudo de sinais, temos:

+ – – +

+ + – –

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

+ – + –

1/2

1/5

–3

–3

1/21/5

Então, S = x R x ou x∈ − < < >

| 315

12

30) B

f(x) = −x² − 2x + 8 e g(x) = 2 − x f xg x( )( )

≥ 1

− − +

−x x

x

2 2 82

≥ 1 Note que 22−−

xx = 1, logo:

− − +

−x x

x

2 2 82

≥ 22−−

xx

− − +

−x x

x

2 2 82

− 22−−

xx ≥ 0

− − + − +−

x x xx

2 2 8 22

≥ 0

− − +

−x x

x

2 62

≥ 0

Encontrando as raízes de − x² − x + 6 = 0 e 2 − x = 0, temos:

− x² − x + 6 = 0

x = 1 1 242 1± +−. ( )

x = 1 25

2±−

x = 1 5

2±−

x = −1 5

2∓

x1 = − 3 e x2 = 2

–3 2

+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x

2 − x = 0 2 = x

2

++++ + + –––––––––––––

Fazendo o estudo de sinais, temos:

– + + –

+ + + –

f(x)

g(x)– + + +

2

–3

–3

2

2

Então, S = [−3, 2[ ∪ ]2, +∞)

31) B

4 3

1xx−+

> 2

4 3

1xx−+

− 2 > 0 multiplicando a inequação por x + 1

4x − 3 − 2 . (x + 1) > 0 4x − 3 − 2x − 2 > 0 2x − 5 > 0 2x > 5

x > 52

Analisando o denominador x + 1: x + 1 = 0 ⇒ x = −1

–1

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

Fazendo o estudo de sinais, temos:

– – – +

– + + +

+ – – +

5/2

–1

–1

5/2

Então, S = (−∞, 1) ∪ 52

,+∞

GABARITO

11Matemática A

32) C

x x

x x

2

2

19

13

+ −−

≥−

x x

x x x

2 13 3

13

+ −− +

≥−( )( )

multiplicando a inequação por (3 − x)(3 + x)

x² + x − 1 ≥ 3 + x x² + x − 1 − 3 − x ≥ 0 x² − 4 ≥ 0

Encontrando as raízes de x² − 4 = 0 e −x² + 9 = 0, temos:

x² − 4 = 0 x² = 4 x = ± 4

x = ± 2

–2 2

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

9 − x² = 0 9 = x²

± 9 = x

± 3 = x

–3

+ + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –

x3

Fazendo o estudo de sinais, temos:

+ + – + +–

– + + + –+

– + – + ––

–2 2

3

–3

–3

–2 2 3

Então, S = ]−3, −2] ∪ [2, 3[

33) B

|x − 1| ≤ 2 −2 ≤ x − 1 ≤ 2

I) −2 ≤ x − 1 −2 + 1 ≤ x −1 ≤ x II) x − 1 ≤ 2 x ≤ 2 + 1 x ≤ 3

S = {x ∈ R| −1 ≤ x ≤ 3}, então a = −1 e b = 3 ⇒ b − a = 3 − (−1) = 3 + 1 = 4

34) C

f(x) = ( )x

x

−−

3

3

2

= | |xx−−

33

, através da definição de módu-

lo x x2 =| |

D = {x ∈ R| x ≠ 3}

I) |x − 3| = −(x − 3) se x < 3:

− −−

( )xx

33

= − xx−−

33 = −1

II) |x − 3| = x − 3 se x > 3

xx−−

33 = 1

Im = {−1, 1}

35) A

A = {x ∈ Z| |x + 1| < 5} |x + 1| < 5 − 5 < x + 1 < 5

I) −5 < x + 1 −5 − 1 < x −6 < x II) x + 1 < 5 x < 5 − 1 x < 4

A = {x ∈ Z| −6 < x < 4} ⇒ A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}

B= {x ∈ Z| |x| > 3} |x| > 3 −3 > x > 3

B = {x ∈ Z| x < −3 ou x > 3} ⇒ B = (−∞, −3) ∪ (3, +∞)

Então, A ∩ B = {−5, −4}

GABARITO

12 Matemática A

36) B

f(x) = −2x + 4 −2x + 4 = 0 4 = 2x

42 = x

2 = x

2

++++ + + –––––––––––––

g(x) = x² − 9 x² − 9 = 0 x² = 9

x = ± 9

x = ± 3

–3 3

+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +

x

Fazendo o estudo de sinais temos:

f(x) + + ++ – –

g(x) + – – – +–

2

3

–3

f(x)

g(x)+ – – + ––

2 3

–3

Note que f(x) = f xg x( )( )

, então a divisão das duas funções

anteriores não pode ser negativa, pois não tem raiz negativa de índice par para os reais. Logo:

D = {x ∈R| x < −3 ou 2 ≤ x < 3}

37) D

h−15322

≤ 1

−1 ≤ h−153

22 ≤ 1

−1 . 22 ≤ h − 153 ≤ 1 . 22 −22 ≤ h − 153 ≤ 22 − 22 + 153 ≤ h ≤ 22 + 153 131 ≤ h ≤ 175

Então, a altura máxima é de 175 cm, ou 1,75 m.

38) D

f(x) = 4x − 3 − − + −x x2 10 25

Analisando o sinal de −x² + 10x − 25 = 0:

x = − ± −

−10 100 100

2 1. ( )

x = − ±−

10 02

x = − ±−

10 02

= −−102

= 5

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

x5

Logo, D= {5}. Calculando a imagem, temos:

f(5) = 4 . 5 − 3 − − + −5 10 5 252 .

f(5) = 20 − 3 − − + −25 50 25

f(5) = 17 − 0

f(5) = 17

Então Im = {17}.

39) B

f(x) = ( )x x5 3−

Achando as raízes:

x5 − x³ = 0 x³ . (x² − 1) = 0

I) x³ = 0 ⇒ x = 0 II) x² − 1 = 0 x² = 1 x = ± 1

x = ± 1

GABARITO

13Matemática A

Analisando os sinais:

(I) – – + +

(II) + – – +

0

1

–1

f(x) – + – +

0 1

–1

Então, D = [−1, 0] ∪ [1, +∞)

40) B

11

2−−x

≤ 4

11

2−−x

= 2 1

2− −( )x

= − + +x 1 2

2 = − +x 3

2

Então:

−4 ≤ − +x 32

≤ 4

−4 . 2 ≤ − x + 3 ≤ 4 . 2 −8 ≤ −x + 3 ≤ 8 −8 −3 ≤ −x ≤ 8 − 3 −11 ≤ −x ≤ 5 multiplicando por −1: −5 ≤ x ≤ 11

41) B

|x + 1| ≤ |2x − 3|

Caso I) x + 1 ≤ 2x − 3 1 + 3 ≤ 2x − x 4 ≤ x x ≥ 4

Caso II) x + 1 ≤ − (2x − 3) x + 1 ≤ −2x + 3 x + 2x ≤ 3 − 1 3x ≤ 2

x ≤ 23

42) D

f(x) = 2 3

1−−

xx| |

Analisando o numerador:

2 − 3x ≥ 0 2 ≥ 3x

23 ≥ x

Logo, x ≤ 23.

Analisando o denominador:

|x| ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 ou x ≠ −1

Porém, no numerador x ≤ 23, então o domínio é

D = x R x ou x∈ ≤ ≠−

|23

1

43) C

|x − 2|< |x − 5|

Caso I) x − 2 < − (x − 5) x + x < 5 + 2 2x < 7

x < 72

Caso II) − (x − 2) < x − 5 −x − x < −5 − 2 −2x < −7

x < 72

44) C

|x − 2| < 0,01 −0,01 < x − 2 < 0,01

− 1

100 + 2 < x <

1100

+ 2

199100

< x < 201100

1,99 < x < 2,01

Então, para encontrar o menor valor de N, x > 1,99. Logo, para x = 1,99, temos:

|x² − 4| < N ( , )199 42 − < N

|3,9601 − 4| < N |−0,0399| < N 0,0399 < N

GABARITO

14 Matemática A

45) S = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9}

1° Modo: |x² − 10x + 21| = |3x − 15| ⇔ ⇔ x² − 10x + 21 = 3x − 15 ou x² − 10x + 21 = − 3x + 15 ⇔ x² − 13x + 36 = 0 ou x² − 7x + 6 = 0 Segue um esboço dos gráficos das funções dadas por f(x) = |x² − 10x + 21| e g(x) = |3x − 15|.

y = g(x)

y

x

y = f(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Desse esboço, podemos concluir que: f(x) ≤ g(x) ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤9. Resposta: 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤9

2° Modo: |x² − 10x + 21| ≤ |3x − 15|, x ∈ R x² − 10x + 21 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 7 3x − 15 = 0 ⇔ x = 5

x3

x –10x + 21 –3x + 152 ≤ –x +10x – 21 –3x + 152 ≤ –x +10x – 21 3x – 152 ≤x –7x + 6 02 ≤ –x +13x – 36 02 ≤ –x +7x – 6 02 ≤

x –13x + 36 02 ≥ x –7x + 6 02 ≥1 x 6≤ ≤ x 4 ou x 9≤ ≥ x 4 ou x 9≤ ≥x 3≤ 3 x 5≤ ≤ 3 x 5≤ ≤

1 x 3≤ ≤ 3 x 4≤ ≤ 3 x 4≤ ≤

+

–

5

–

–

7

– + x – 10x + 212

3x – 15+ +

x –10x + 21 3x – 152 ≤x –13x + 36 02 ≤

4 x 9≤ ≤x 7≤

6 x 7≤ ≤

1 x 4 ou 6 x 9.≤ ≤ ≤ ≤Resposta:

x

3 4 91 6 7

S = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9}

GABARITO

15Matemática A

46) C

Domínio de f(x) = x

x3 1−

x

x3 1− ≥ 0

+ – +

– – – – – – – – – – – + + + + + + + +

– +– – – – – + + + + + + + + + + + + + + +

0 1D = {x R/x 0 ou x > 1}∈ ≤

0

1

f(x) = x ⇒

g(x) = x – 13 ⇒

f/g ⇒

Domínio de f(x) = 1

1− x

1 − |x| > 0 − |x| > − 1 |x| < 1 D = {x ∈ R| −1 < x < 1}

Domínio de f(x) = tg (2x)

2x ≠ π2 + kπ

x ≠ π4

+ kπ2

x ≠ π2 .

12+

k

x ≠ π2 .

1 22+

k

D = x R xk

k z∈ ≠+

∈

/( )

,2 1

4π

Domínio de f(x) = sen 1

1x−

x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 D = {x ∈ R| x ≠ 1}

Domínios coerentes: D = {x ∈ R| x ≠ 1}; D = {x ∈ R| x ≤ 0 ou x > 1} ;D = {x ∈ R| −1 < x < 1}

GABARITO

16 Matemática A

47) E

Sabendo que o volume é igual ao produto das três dimensões, temos então a seguinte função:

V = (20 − 2x) . (10 − 2x) . x, tal que C = 20 − 2x é a equação do comprimento, então:

20 − 2x = 0 20 = 2x

202

= x

x = 10

10

++++ + + –––––––––––––

L = 10 − 2x é a equação da largura, então: 10 − 2x = 0 10 = 2x

102

= x

x = 5

5

++++ + + –––––––––––––

H = x é a equação da altura, então: x = 0

0

++++ + + + + +– – – – – – – – – –

Analisando o sinal temos que os intervalos positivos são (0, 5) e (10, +∞). Porém, como estamos analisando os lados de uma figura, C > 0, L > 0, H > 0 e V > 0. Logo, o domínio da função é (0, 5).

48) 19

01. Verdadeiro.f(f(x)) = 3f(x) + 2 f(f(x)) = 33 2x+ + 2 Calculando f(f(0)) temos: f(f(0)) = 33 20+ + 2 f(f(0)) = 31 + 2 + 2 f(f(0)) = 33 + 2 f(f(0)) = 27 + 2 f(f(0)) = 29

02. Verdadeiro. Por definição, sabemos que a imagem de uma função g(x) = ax é igual a R+

∗ , porém a f(x) = 3x + 2 terá sua imagem deslocada duas uni-

dades, então Im = ]2, +∞[.04. Falso. f(a + b) = 3a + b + 2 = 3a . 3b + 2 f(a) = 3a + 2 f(b) = 3b + 2

⇒ f(a) + f(b) = 3a + 2 + 3b + 2 ⇒ f(a) + f(b) = 3a + 3b + 408. Falso. f(x) é crescente, pois a base é maior que 1.16. Verdadeiro. f(x + 1) = 3x + 1 + 2 e f(x) = 3x + 2, então:

f(x + 1) − f(x) = 3x + 1 + 2 − (3x + 2) f(x + 1) − f(x) = 3x + 1 + 2 − 3x − 2 f(x + 1) − f(x) = 3x + 1 − 3x

f(x + 1) − f(x) = 3x . 31 − 3x

f(x + 1) − f(x) = 3x . (3 − 1) f(x + 1) − f(x) = 3x . 2 = 2 . 3x

49) C

Por definição, temos que y = ax > 0 para todo x real, ou seja, y > 0 (Im = R+

∗ ) e para a > 1, então f(x) = ax é crescente.

50) D

f(n + 2) = 10n + 2 = 10n . 10² = 10n . 100 f(n + 1) = 10n + 1 = 10n . 10¹ = 10n . 10 f(n) = 10n

f(n − 1) = 10 1n− =

10101

n

= 1010

n

f n f n

f n f n( ) ( )

( ) ( )+ − +− −2 1

1 =

10 100 10 10

101010

n n

nn

. .−

−

f n f n

f n f n( ) ( )

( ) ( )+ − +− −2 1

1 =

10 100 10

10 11

10

n

n

. ( )

.

−

−

f n f n

f n f n( ) ( )

( ) ( )+ − +− −2 1

1 =

909

10

= 90 . 109

= 100 = 10²

51) a) (x) = 2 . 32

x

; a = 32

e k = 2

f(x) = k . ax, A = (1, 3) e B = 292

,

Quando x = 1, temos y = 3: 3 = k . a¹ 3 = k . a

3a = k aplicando a propriedade a

an

n− =

1

3 . a−1 = k (*)

GABARITO

17Matemática A

Quando x = 2, temos y = 92

92 = k . a² substituindo (*)

92 = 3 . a−1 . a² aplicando a propriedade anam = an + m

92 = 3 . a

92 3.

= a

96 = a

a = 32

(**)

Substituindo (**) em (*):

k = 3 . 32

1

−

k = 3 . 23

k = 2

b) f(0) = 2 e f(3) = 274

f(x) = 2 . 32

x

Quando x = 0, então f(0) = 2 . 32

0 = 2 . 1 = 2

Quando x = 3, então f(3) = 2 . 32

3 = 2 .

278

= 274

52) D

Por definição, sabemos que a imagem de uma função g(x) = ax é igual a R+∗ . Porém, a f(x) = 5x + 3 terá a sua imagem

deslocada três unidades, então Im = ]3, +∞[

53) A

n(t) = 100 . 23t

Quando n(t) = 51 200, então:

51 200 = 100 . 23t

dividindo toda a equação por 100:

512 = 23t

fatorando:

29 = 23t

9 = t3

27 = t

Então, t = 27h, ou seja, 1 dia e 3 horas.

GABARITO

18 Matemática A

54) D

f(x) = a2x − 1

Quando x = −12; y =

19

19 = a

212

1−−

aplicando a propriedade aa

nn

− =

1

9−1 = a−1 − 1

9−1 = a−2 fatorando: (3²)−1 = a−2 aplicando a propriedade (an)m = an . m: 3−2 = a−2

3 = a

55) B

P = 6 + 6 . (36)n

Quando P = 7 782, então: 7 782 = 6 + 6 . (36)n

7 782 − 6 = 6 . (36)n

7 776 = 6 . (36)n

7 776

6 = (36)n

1 296 = 36n fatorando: 24 . 34 = (2² . 3²)n aplicando a propriedade an . bn = (a . b)n: (2 . 3)4 = ((2 . 3)²)n aplicando a propriedade (an)m = an . m: (2 . 3)4 = (2 . 3)2n

4 = 2n

42 = n

2 = n

56) 13

01. Verdadeiro. t = 0 ⇒ N(0) = 500 . 206

N(0) = 500 . 20

N(0) = 500 . 1 N(0) = 500

02. Falso. t = 3 ⇒ N(3) = 500 . 236

N(3) = 500 . 212 aplicando a propriedade a a

nm nm= :

N(3) = 500 . 2

N(3) ≅ 707 < 800

04. Verdadeiro. t = 12 ⇒ N(12) = 500 . 2126

N(12) = 500 . 2² N(12) = 500 . 4 N(12) = 2 000 = 4 . N(0)

08. Verdadeiro. t = 6 ⇒ N(6) = 500 . 266

N(6) = 500 . 2¹ N(6) = 500 . 2 N(6) = 1 000 = 2 . N(0)

57) C

f(x) = abx

Quantidade inicial: 125 ⇒ f(0) = 125 ⇒ ab0 = 125 ⇒ ⇒ a = 125. Sabendo que a quantidade dobra a cada 2h, temos:

f(2) = 250 ⇒ 125 . b2 = 250 ⇒ b2 = 2 ⇒ b = 2.

Logo, f(x) = 125 . ( 2)x = 125 . 212

x

= 125 . 22x

.

Então:

256 000 = 125 . 22x

⇒ 22x

= 2 048 ⇒ 22x

= 211 ⇒

⇒ x2 = 11 ⇒ x = 22

58) B

f(t) = k . 12

2

t

Quando k = 128; f(t) = 2. Então:

2 = 128 . 12

2

t

dividindo a equação por 128:

2

128 =

12812

128

2.

t

1

64 =

12

2

t

aplicando a propriedade aa

nn

− =

1 :

64−1 = 2 2−

t

fatorando:

(26)−1 = 2 2−

t

aplicando a propriedade (an)m = an . m:

2−6 = 2 2−

t

−6 = − t2 multiplicando por −1:

6 = t2 multiplicando por 2:

6 . 2 = t 12 = t

59) D

f(t) = a . bt

Quando t = 0; f(t) = 104. Então: 104 = a . b0

10 000 = a . 1 10 000 = a (*)

Quando t = 3, f(t) = 8 . 104. Então, 8 . 104 = a . b3

8 . 10 000 = a . b3 substituindo (*) 8. 10 000 = 10 000 . b³ dividindo a equação por 10 000:

GABARITO

19Matemática A

8 10 000

10 000.

= 10 00010 000

3. b

8 = b³ fatorando: 2³ = b³ 2 = b

Reescrevendo a função, temos: f(t) = 10 000 . 2t

Quando t = 30 min = 12 h, então:

f12

= 10 000 . 2

12 aplicando a prop. a a

nm nm= :

f12

= 10 000 . 2 usando 2 = 1,4:

f12

= 10 000 . 1,4

f12

= 14 000

60) B

f(x) = 4 4

2

x x+ −

e g(x) = 4 4

2

x x− −

Reescrevendo as funções, temos:

f(x) = 4 4

2

x x+ −

fatorando:

f(x) = ( ) ( )2 2

2

2 2x x

+−

aplicando a prop. (an)m = an . m:

f(x) = 2 2

2

2 2x x+ −

separando as frações:

f(x) = 22

22

2 2x x

+−

aplicando a prop. an ÷ am = an − m:

f(x) = 22x − 1 + 2−2x − 1

g(x) = 4 4

2

x x− −

fatorando:

g(x) = ( ) ( )2 2

2

2 2x x− −

aplicando a prop. (an)m = an . m:

g(x) = 2 2

2

2 2x x− −

separando as frações:

g(x) = 22

22

2 2x x

−−

aplicando a prop. an ÷ am = an − m:

g(x) = 22x − 1 − 2−2x − 1

Elevando as funções ao quadrado:

[f(x)]² = (22x − 1 + 2−2x − 1)² de (a + b)² = a² + 2ab + b² [f(x)]² = (22x − 1)² + 2 . (22x − 1) . (2−2x − 1) + (2−2x − 1)² [f(x)]² = 24x − 2 + 2−1 + 2−4x − 2

[g(x)]² = (22x − 1 − 2−2x − 1)² de (a − b)² = a² − 2ab + b² [g(x)]² = (22x − 1)² − 2 . (22x − 1) . (2−2x − 1) + (2−2x − 1)² [g(x)]² = 24x − 2 − 2−1 + 2−4x − 2

Calculando [f(x)]² − [g(x)]², temos:

[f(x)]² − [g(x)]² = 24x − 2 + 2−1 + 2−4x − 2 − (24x − 2 − 2−1 + 2−4x − 2) [f(x)]² − [g(x)]² = 24x − 2 + 2−1 + 2−4x − 2 − 24x − 2 + 2−1 − 2−4x − 2

[f(x)]² − [g(x)]² = 2−1 + 2−1 aplicando a prop. aa

nn

− =

1

:

[f(x)]² − [g(x)]² = 12 +

12 = 1

61) E

f(x) = 19 1x−

e h(x) = 3x + 1

f(x) = h(x)

19 1x−

= 3x + 1 aplicando a propriedade aa

nn

− =

1 :

(9x − 1)−1 = 3x + 1 aplicando a prop. (an)m = an . m: 9−x + 1 = 3x + 1 fatorando: (3²)−x + 1 = 3x + 1

3−2x + 2 = 3x + 1

−2x + 2 = x + 1 2 − 1 = x + 2x 1 = 3x

13 = x

Substituindo x em uma das funções, temos:

h13

= 3

13

1+

13

11 3

343

+ =+=

h13

= 3

43 aplicando a propriedade a a

nm nm= :

h13

= 343

h13

= 3 333 .

h13

= 333 . 33

h13

= 3 33

GABARITO

20 Matemática A

62) C

f(x) = 13

4 2

−x x

Como o expoente é uma equação de segundo grau, precisamos encontrar o valor de máximo:

xv = −b

a2

xv = −−4

2 1. ( )

xv = −−

42

xv = 2

Note que a base da função está entre 0 e 1 (0 < a < 1), então essa função é decrescente, isto é, quando o expo-ente tiver o valor máximo, a potência terá o valor mínimo. Então, quando x = 2, temos:

f(2) = 13

4 2 22

−.

f(2) = 13

8 4

−

f(2) = 13

4

f(2) = 181

63) A

A função exponencial M(t) pode ser representada pela equação M(t) = 2m

tn+

com m ∈ N e n ∈ N* e seu gráfico

passa pelos pontos A = (0, 16) e B= (150, 4).

Para A temos:

16 = 20

mn+

16 = 2m + 0

16 = 2m fatorando: 24 = 2m

4 = m

Para B temos:

4 = 24

150+

n

2² = 24

150+

n

2 = 4 + 150

n multiplicando a equação por n:

2n = 4n + 150 −150 = 4n − 2n −150 = 2n

−150

2 = n

−75 = n