06Elizabete Alves de Freitas

C U R S O T C N I C O E M S E G U R A N A D O T R A B A L H O

Calculando volume de slidos geomtricos

matemtica

coordenadora da Produo dos materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

coordenador de edio Ary Sergio Braga Olinisky

coordenadora de Reviso Giovana Paiva de Oliveira

Design Grfico Ivana Lima

Diagramao Ivana Lima Jos Antnio Bezerra Jnior Mariana Arajo de BritoVitor Gomes Pimentel

arte e ilustrao Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin

Reviso tipogrfica Adriana Rodrigues Gomes

Design instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias

Reviso de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Reviso das Normas da aBNt Vernica Pinheiro da Silva

adaptao para o mdulo matemtico Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Reviso tcnica Rosilene Alves de Paiva

equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte ufrn

Projeto Grfico

Secretaria de Educao a Distncia SEDIS

Governo Federal

ministrio da educao

Voc ver

por aqui...

Matemtica a06

Objetivo

...o que so slidos geomtricos e como podem ser realizados os clculos do volume de alguns desses slidos, sejam essas formas geomtricas espaciais, classificadas como poliedros ou como no poliedros.

Em cada seo, voc encontrar diversos exemplos que servem para um melhor entendimento do contedo.

Vrias atividades esto dispostas ao longo desta aula, aps cada etapa do contedo desenvolvido e, ao final, voc encontrar uma lista de exerccios que poder ser resolvida para uma maior fixao dos contedos.

Da mesma forma que nas nossas aulas anteriores, aps todas as atividades e exerccios serem resolvidos, encontra-se sua disposio uma auto-avaliao para a verificao de sua aprendizagem, em uma das ltimas sees desta aula.

Na seo Para consulta, voc encontrar um resumo dos tpicos principais de nossa aula, inclusive com frmulas, com o objetivo de possibilitar uma pesquisa rpida, caso seja necessrio, na resoluo das atividades e exerccios.

Organize um horrio para seus estudos, no guarde dvidas e fique sempre atento aos prazos de entrega de atividades. Procure sempre o atendimento no plo em que foi matriculado.

Vamos agora comear a nossa aula?

Saber descrever o que um slido.

Distinguir um poliedro de um no poliedro.

Saber calcular o volume de um slido seja ele um poliedro ou um no poliedro.

Matemtica a06

Ao nosso redor, continuamente, na

natureza ou em construes feitas

pelo homem, vemos os mais variados

formatos.

Algumas construes so inspiradas

em slidos geomtricos. Podemos

ver isso em construes prediais ou

em estruturas naturais, seja para

acrescentar toques de originalidade na

arquitetura de um local ou para registrar

traos de uma cultura, como o caso

das pirmides do Egito, por exemplo.

Estamos, diariamente, em contato com

diversos objetos de formatos variados.

Na Matemtica, esse conjunto de

objetos ou corpos estudados que

tm caractersticas semelhantes so

chamados de slidos geomtricos.

Todos os objetos que nos cercam

ocupam um determinado espao.

Calcular o volume desses objetos

medir o espao que eles ocupam.

Para comeo de conversa...

Cubo PrismaParaleleppedo Pirmide

Figura Exemplos de poliedros

3Matemtica a06

Aprendendo a calcular o volume de slidosO que so slidos geomtricos?Aos diversos objetos que nos rodeiam podemos denominar de slidos. Alguns slidos so limitados por superfcies planas (os chamados poliedros), outros (os chamados de no poliedros) so limitados por superfcies curvas ou por superfcies planas e curvas.

Cilindro Cone Esfera

Figura Exemplos de no poliedros

O cubo, o paraleleppedo, o prisma e a pirmide so exemplos de poliedros.

Os elementos mais importantes de um poliedro so as arestas, as faces e os vrtices. Um poliedro tambm pode ser defi nido como um slido geomtrico cuja superfcie composta por um nmero fi nito de faces planas, em que cada uma dessas faces um polgono.

Como exemplos de no poliedros temos o cilindro, o cone e a esfera.

Matemtica a06

Quando associamos o nome de um slido conhecido (cubo, esfera, paraleleppedo, cone,...) a alguns dos objetos que nos rodeiam devemos lembrar que cada um desses nomes no indica propriamente um objeto, mas sim um slido geomtrico que no tem existncia real, somente imaginria, e que matematicamente representa o conjunto de todos os slidos com uma dada forma.

Figura 3 Exemplos de objetos que representam slidos geomtricos

Uma caixa de suco ou de leite um objeto que representa bem um slido o qual, na Matemtica, chamamos de paraleleppedo retngulo. Uma lata de legumes em conserva um bom exemplo de um objeto com a forma de cilindro.

O que significa medir o volume de um slido?Medir o volume de um slido descobrir a medida do espao ocupado por esse slido. Ou seja, para medir o volume de um slido, comparamos o espao ocupado por esse slido com o espao ocupado por uma medida de volume tomada como padro.

como podemos calcular o volume dos slidos?

De acordo com o formato do slido, cujo volume se quer medir, temos uma frmula especial. Por isso, vamos conhecer alguns formatos e de slidos e como calcular cada volume correspondente.

No grupo dos slidos denominados poliedros (que apresentam apenas superfcies planas), estudaremos o clculo do volume de:

Cubo Cubo planificado

Figura Cubo planifi cado

5Matemtica a06

cubos;

paraleleppedos retngulos;

prismas;

pirmides.

No grupo dos slidos denominados de no poliedros (que apresentam superfcies planas e curvas), estudaremos os clculos de volume de:

cilindros;

cones;

esfera.

O que um cubo?O cubo o slido geomtrico que apresenta seis faces quadradas idnticas.

Em um cubo, cada segmento de reta que se encontra na interseo duas faces chamado de aresta. Um cubo possui 12 arestas congruentes.

Cada ponto que se encontra na interseo de trs faces chamado de vrtice do cubo. Um cubo possui 8 vrtices.

como calcular o volume de um cubo?Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar a medida de sua altura pela medida de sua largura e pela medida de sua profundidade. Como, em um cubo, essas trs medidas so iguais, basta substituir uma dessas medidas na frmula V = a3.

6Matemtica a06

Vejamos um exemplo:

a

a

a

Figura 5

exemplo Considere o cubo cujas arestas medem 2 m. Calcule o volume desse cubo.

2 m

2 m

2 m

Figura 6

Para calcular o volume desse cubo podemos utilizar a expresso V = a3, em que a mede 2 m. Logo, temos: V = (2 m)3 = (2)3 (m)3 = 8 m3.

Podemos dizer que o volume desse cubo equivale soma dos volumes de oito cubos de 1 m3.

2 m

2 m

2 m

=

Figura Comparao entre o volume de um cubo com arestas de 2 m e um cubo com arestas de 1 m.

Matemtica a06

Responda aqui

Praticando...

. Calcule o volume do cubo que tem arestas medindo 10 cm.

. Calcule o volume do cubo cujas faces medem 25 mm2.

O que um paraleleppedo?Paraleleppedo o nome dado a um slido cujas faces so paralelogramos. Um paraleleppedo tem seis faces, sendo idnticas e paralelas entre si duas a duas. Os paraleleppedos podem ser paraleleppedos retngulos ou paraleleppedos oblquos.

O que um paraleleppedo retngulo?Chama-se paraleleppedo retngulo quele em que todas as faces so quadrilteras e apresentam todos os ngulos internos de 90 (ngulos retos). Todas as faces so perpendiculares s faces adjacentes.

Um paraleleppedo retngulo apresenta tambm 12 arestas (das quais 4 so arestas laterais e 8 so arestas de base) e 8 vrtices.

8Matemtica a06

largura

profundidade

altura

Figura 8

como calcular o volume de um paraleleppedo retngulo?

O volume de um paraleleppedo retngulo calculado atravs do produto das medidas de sua largura, de sua altura e de sua profundidade. Ou seja, podemos representar o volume de um paraleleppedo retngulo pela expresso V = a b c, onde a, b e c so as medidas de altura, largura e profundidade desse slido.

exemplo Um paraleleppedo retngulo tem altura igual a 3 cm, largura medindo 2 cm e profundidade de 5 cm. Calcule o volume desse paraleleppedo retngulo.

O volume desse paraleleppedo retngulo pode ser obtido substituindo suas medidas na expresso V = a b c. Assim, temos V = 3 cm 5 cm 2 cm = 30 cm3.

Figura

Matemtica a06

Responda aqui

Praticando...

Um paraleleppedo pode ser classificado como oblquo se suas faces laterais no so perpendiculares entre si.

Figura 0

. Calcule o volume do paraleleppedo retngulo cujas dimenses so: altura medindo 12 cm, largura medindo 10 cm e profundidade de 15 cm.

. Um paraleleppedo retngulo tem volume igual a 60 cm2. Calcule sua altura, sabendo que duas de suas faces so quadrados idnticos de rea igual a 25 cm2, cada.

0Matemtica a06

conhecendo os prismas

Um prisma todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas, ambas com mesma forma e rea. Essas faces so chamadas de bases.

As linhas que se encontram na interseo entre cada uma das bases e uma face lateral so chamadas de arestas de base. As arestas que se encontram na interseo de duas faces laterais so chamadas de arestas laterais. As laterais de um prisma so sempre formadas por quadrilteros.

bases

Figura

Cada prisma recebe um nome especial de acordo a forma de suas bases. Assim, se temos tringulos nas bases, teremos um prisma triangular; se temos quadrados nas bases, teremos um prisma quadrangular; se temos hexgonos nas bases, teremos um prisma hexagonal.

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma hexagonal

Figura

Matemtica a06

Observe que o prisma quadrangular reto outro nome do paraleleppedo retngulo.

Quando as faces de um prisma so perpendiculares s bases, ou seja, forma com estas bases ngulos de 90, dizemos que o prisma reto. Quando as faces laterais do prisma no so perpendiculares s bases, dizemos que esse prisma oblquo. Nesse caso, a altura do prisma diferente da medida de suas arestas laterais (como o representado na Figura 13).

Med

ida

da a

rest

a

Med

ida

da a

ltura

Figura 3

calculando o volume de um prismaSeja um prisma reto ou oblquo, para calcular seu volume necessrio substituir suas medidas na expresso V = Ab h resolver as operaes necessrias. Observe que, na expresso V = Ab h, Ab a medida da base e h a medida da altura desse slido.

Que tal ver mais alguns exemplos?

exemplo 3

Matemtica a06

Calcule o volume de um prisma triangular com as seguintes caractersticas: altura de 10 cm e bases formadas por tringulos equilteros com arestas de 2 cm.

Nesse exemplo, a primeira parte do clculo consiste em determinar a rea das bases do prisma, que so tringulos equilteros.

Em um tringulo equiltero, a rea representada pela seguinte expresso:

Ab =a2

3

4, onde a a medida da aresta.

Assim:

Ab =(2 cm)2

3

4 Ab =

4 3 cm2

4 Ab = 1, 73 cm

2

Logo:

exemplo Determine o volume de um prisma cuja altura mede 5 dm e cuja base um quadrado de 2 dm de aresta.

A rea da base igual a (2 dm)2 = 4 dm2.

Para calcular o volume desse slido, basta multiplicar a rea de sua base pela medida de sua altura, ou seja, V = Ab h = 4 dm

2 5 dm = 20 dm3.

O volume do prisma igual a 20 dm3.

Ou seja, o volume do prisma triangular regular de aproximadamente 17,3 cm3.

V = Ab h V =(2 cm)2

3

4 10 cm V =

43 cm2

4 10 cm V = 17, 3 cm3

exemplo 5

3Matemtica a06

Calcule o volume de um prisma hexagonal regular cuja altura e arestas de base medem 10 cm.

Calculando a rea da base, temos que substituir a medida

das arestas de base na expresso Ab = 6 a2

3

4 ou seja,

Ab = 6 (10 cm)2

3

4=

6 100 cm2 3

4

Ab =600

3 cm2

4 Ab = 150

3 cm2 Ab = 259, 81 cm

2 .

O volume do prisma o produto da rea da base pela altura, ou seja, V = Ab h V 259,8 cm

2 10 cm V 2.598,1 cm3.

O volume aproximado desse prisma de 2.598,1 cm3.

Responda aqui

3Praticando...

. Calcule o volume de um prisma quadrangular cuja altura mede 20 cm e cujas arestas de base medem 11 cm.

. Determine o volume do prisma triangular cuja altura mede 18 cm e cujas bases so tringulos equilteros de permetro igual a 36 cm.

Matemtica a06

PirmidesUma pirmide todo poliedro formado por uma face inferior e por faces laterais que se unem em um ponto comum chamado de vrtice da pirmide.

As faces laterais de uma pirmide so regies triangulares, e o nmero dessas faces laterais corresponde ao nmero de lados do polgono da base. Os segmentos de retas que se encontram na interseo de duas faces laterais so chamados de arestas laterais.

O nmero de faces laterais igual ao nmero de lados da figura que forma sua base. Uma pirmide pode ser classificada de acordo com o formato de sua base.

classificao das pirmides de acordo com o formato da base

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base: tringulo base: quadrado base: pentgono base: hexgono

Disponvel em:. acesso em: 08 set.08.

ateno:

Uma pirmide triangular tambm recebe o nome especial de Tetraedro. Chamamos de Tetraedro Regular a toda pirmide cujas faces so tringulos retngulos equilteros.

Podemos tambm classificar uma pirmide como reta quando todas as arestas laterais so congruentes ou como oblqua quando suas arestas laterais no so congruentes.

exemplo 6

5Matemtica a06

Figura pirmide oblqua

Volume de pirmides

O volume da pirmide pode ser representado pela expresso V =13

(Ab h)ou

V =Ab h3

, em que Ab a rea da base da pirmide e h a medida de sua altura.

http://www.liceofoscarini.it/fisica94/foto/solpiroblirreg3.jpg. acesso em: 08. set 08.

Observe que:

Em um tetraedro regular, a altura do slido igual a h =a

6

3 e a rea da

base (que um tringulo equiltero) igual a Ab =a2

3

4, em que a a

medida da aresta do tetraedro.

Que tal agora mais alguns exemplos?

Calcule o volume da pirmide cuja altura de 15 cm e cuja base quadrada tem arestas de 20 cm de comprimento.

Inicialmente, necessrio determinar a rea da base.

Assim, temos: Ab = (20 cm)2 Ab = 400 cm2.

Substituindo as medidas da rea da base e da altura na expresso que representa o volume, teremos:

V =13

Ab h V =13

400 cm2 15 cm V =6 000 cm3

3 V = 2 000 cm3

O volume dessa pirmide igual a 2.000 cm3.

exemplo

6Matemtica a06

Determine o volume da pirmide hexagonal regular cuja base tem rea igual

a Ahr = 63 cm2 e cuja altura igual a

103

3cm.

Substituindo os valores da rea da base e da altura da pirmide, podemos calcular o volume da pirmide:

Responda aqui

Praticando...

. Determine o volume do tetraedro regular no qual cada uma das faces

tem rea igual a 123 cm2 .

. Calcule o volume do tetraedro cuja altura mede 10 cm e cuja base tem Lados que medem 4 cm, 6 cm e 8 cm.

3. Calcule o volume da pirmide cuja altura mede 6 cm e cuja base um quadrado de rea igual a 16 cm2.

V =13Ab h V =

13 63 cm2

103

3cm

V =63 10

3

3 3cm3 V =

60 (3)2

9cm3

V =60 39

cm3 V =1809

cm3 V = 20 cm3

Matemtica a06

cilindroUm cilindro um slido geomtrico no poliedro que apresenta duas bases paralelas circulares congruentes e uma face lateral que liga as duas bases. Quando as linhas que formam a face lateral so perpendiculares s bases dizemos que o cilindro reto, caso contrrio, dizemos que oblquo (como o representado na Figura 15).

o

o

r

r

Figura 5 Cilindro oblquo

So elementos do cilindro:

bases: os crculos idnticos de centro O e O e raios r;

altura: a distncia h entre os planos e ;

geratriz: qualquer segmento da superfcie lateral de extremidades nos pontos das circunferncias das bases que seja paralelo ao eixo central.

calculando o volume de um cilindroO volume de um cilindro pode ser representado pela expresso: V = r2 h. Observe que um nmero irracional cujo valor aproximadamente 3,14, r a medida do raio do cilindro e h a medida de sua altura.

Para calcular o volume do cilindro devemos substituir esses valores na expresso correspondente e resolver as operaes indicadas.

Veja mais alguns exemplos:

exemplo 8

exemplo

8Matemtica a06

Determine o volume de um cilindro cuja medida do dimetro da base e da altura do slido sejam iguais a 10 cm.

Para calcular o volume do cilindro voc deve substituir os valores conhecidos na expresso V = r2 h. Antes, porm, lembre-se de que a medida do dimetro D igual ao dobro da medida do raio, ou seja,

Calcule o volume de um cilindro que tem base medindo 60 cm2 e cuja altura mede 20 cm.

Para calcular o volume do cilindro, temos

Ab = r2 Ab = 60 cm2

h = 20 cm

V = r2. h V = 60 cm2 . 20 cm V = 1200 cm3 .

O volume do cilindro igual a 1 200 cm3.

D = 2 r r =D2

r =10 cm2

r = 5 cm

Assim,

V = r2 h V = 3, 14 (5 cm)2 10 cm V = 785 cm3

O volume do cilindro igual a 785 cm3.

Matemtica a06

Responda aqui

5Praticando...

. Calcule o volume do cilindro cuja base tem raio igual a 5 cm e cuja altura mede 12 cm.

. Determine o volume de um cilindro cujo raio mede 6,3 cm e cuja altura igual a 25 mm.

coneUm cone um slido geomtrico classificado como no poliedro que apresenta uma nica base circular e uma face lateral.

No cone podem ser destacados os seguintes elementos:

0Matemtica a06

eixo

vrtice

geratriz

altura

base

Figura 6 cone reto

(Disponvel no endereo:< http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.htm>.)

O vrtice de um cone o ponto para o qual concorrem todos os segmentos de reta que formam a superfcie lateral desse slido.

Geratriz cada um dos segmentos de reta que tem uma extremidade no vrtice do cone e a outra na circunferncia que envolve a base.

A base de um cone formada pelo crculo no qual ele se apia e pela circunferncia que delimita esse crculo.

O eixo do cone a reta definida pelos centros de todas as sees paralelas base, ou ainda, a reta definida pelo vrtice do cone e pelo centro de sua base.

A altura do cone a distncia do vrtice do cone ao plano que contm a sua base.

Volume de um cone

O volume do cone igual a um tero do produto da rea da base pela altura, ou seja,

pode ser representado pela expresso V =13

(Ab h) V =Ab h3

, sendo Ab a rea

da base do cone e h a medida de sua altura.

Lembrando que a base do cone um crculo de raio r, ou seja, de rea da base

igual a r2, podemos representar o volume de um cone pela expresso

V =13

r2 h ou V = r2 h

3.ou

exemplo 0

Matemtica a06

Determine o volume de um cone cuja altura mede 10 cm e cuja base tem raio medindo 5 cm.

O volume de um cone dado pela expresso: V =13

r2 h.

Substituindo os valores conhecidos na expresso, temos:

O volume aproximado do cone 261,67 cm3.

exemplo Calcule o volume de um cone cuja altura igual a 8 cm e cuja base tem rea igual a 78,5 cm2.

O volume de um cone dado pela expresso:

6Praticando...

. Determine o volume do cone que tem altura igual a 1,2 m e raio igual a 0,6 m.

. Calcule o volume do cilindro que apresenta altura igual a 35 mm e dimetro igual a 1,2 cm.

V =13

3, 14 (5 cm)2 (10 cm) V =3, 14 250 cm3

3 V =

7853

cm3

V = 261, 67 cm3

V =13

r2 h ou V =13

Ab h

Substituindo os valores conhecidos na expresso, temos:

V =13Ab h V =

13 78, 5 cm2 8 cm V =

6283

cm3 V = 209, 33 cm3

Matemtica a06

O que uma esfera?Podemos descrever uma esfera como sendo:

um slido geomtrico formado por uma superfcie curva contnua cujos pontos esto eqidistantes de outro ponto fi xo e interior, chamado centro;

uma superfcie fechada de tal forma que todos os pontos dela esto mesma distncia de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfcie, a distncia em relao ao centro a mesma;

slido obtido pela rotao de um crculo por qualquer reta que passa por seu dimetro.

elementos de uma esferaPara determinarmos o volume de uma esfera, precisamos conhecer alguns de seus elementos (veja a Figura 17):

or

Figura Esfera

Raio: distncia de um ponto qualquer da superfcie esfrica at o centro.

Centro: ponto O que se encontra no ponto mdio do dimetro da superfcie esfrica.

Responda aqui

exemplo

Responda aqui

Praticando...

3Matemtica a06

Calcule o volume da esfera que tem raio igual a 5 cm.

Para calcular o volume da esfera preciso substituir os valores conhecidos

na expresso V =43

r3. Assim temos:

O volume da esfera igual a 1 570 cm3.

Volume de uma esfera

A expresso que utilizamos no clculo do volume de uma esfera :

V =43

r3, sendo r a medida do raio da esfera.

. Determine o volume mximo de combustvel que pode ser acumulado em um tanque esfrico de raio interno igual a 1 m.

. Calcule o raio de uma esfera cujo volume igual a

V =43

(3, 14) (5 cm)3 V =4 3, 14 125 cm3

3 V = 1 570 cm3

exemplo 3

Matemtica a06

Slidos equivalentesAlguns objetos tm o mesmo volume, ou seja, ocupam o mesmo espao, embora possam ter formas diferentes.

Quando dois slidos geomtricos possuem o mesmo volume dizemos que so slidos geomtricos equivalentes.

Mas, quando que isso ocorre? Vejamos no exemplo a seguir.

Um paraleleppedo retngulo tem as seguintes medidas: 2 cm de altura, 3 cm de largura e 4 cm de profundidade. Um segundo paraleleppedo apresenta as seguintes medidas: 2 cm de altura, 6 cm de largura e 2 cm de profundidade.

3 m

2 m 4 m

Figura 8 Paraleleppedo retngulo

A base do primeiro paraleleppedo (Figura 18) mede 3 cm 4 cm = 12 cm2.

Multiplicando a rea de sua base pela medida de sua altura, temos: 12 cm2 2 cm = 24 cm3.

A rea do volume do primeiro paraleleppedo retngulo V = 24 cm3.

A base do segundo paraleleppedo retngulo (Fig. 19) mede 6 cm 2 cm = 12 cm2.

Multiplicando a rea desse segundo slido pela medida de sua altura, temos: 12 cm2 2 cm = 24 cm3.

5Matemtica a06

O volume do segundo paraleleppedo retngulo V = 24 cm3.

Os dois paraleleppedos retngulos tm o mesmo volume, portanto so slidos geomtricos equivalentes.

Que tal agora resolver algumas atividades?

6 m

2 m2 m

Figura Paraleleppedo retngulo

Responda aqui

8Praticando...

. Uma esfera cujo raio mede 1,2 m um slido equivalente a um cilindro de raio 0,6 m. Calcule a altura do cilindro.

. Considere um cone de raio igual a 5 cm e altura igual a 10 cm. Esse slido equivalente a um cilindro de raio igual a 2,5 cm. Qual a altura do cilindro?

exer

cci

os

6Matemtica a06

Se voc resolveu todas as atividades encontradas ao longo desta aula e no tem mais dvidas, resolva agora a lista de exerccios a seguir.

. Imagine um cubo no qual a soma das medidas das arestas igual a 12 dm. O volume desse cubo igual a

a) 1 200 cm3. b) 1 100 cm3. c) 1 000 cm3. d) 950 cm3.

. Imagine que a rea da base de uma pirmide igual rea de cada uma das bases de um prisma. Se o qudruplo do volume da pirmide igual ao volume do prisma, a expresso da altura da pirmide (h) em funo da altura do prisma (H) ser

a) h =34H . b)

h =

3 H4

. c) h =34+H . d) h =

34 H

.

3. Imagine um cone reto e um paraleleppedo retngulo. Considere que:

o paraleleppedo retngulo tem altura igual a 12 cm e seu volume equivale ao dobro do volume do cone;

as duas faces do paraleleppedo retngulo (de rea a b) tm a mesma medida que a superfcie da base do cone.

Com base nesses dados, podemos afi rmar que a altura do cone igual a

a) 18 cm. b) 17 cm. c) 16 cm. d) 15 cm.

. Luiz descobriu que para armazenar com segurana um sundae cuja casquinha um cone de raio r e altura h preciso deposit-lo em um vasilhame cilndrico cujo espao interno tem tambm altura h e raio r (conforme a Figura 20). Ao guardar esse sorvete no vasilhame cilndrico, podemos representar o volume do espao no ocupado no vasilhame pela expresso

a) 4 r2 h

3 b) 2 r

2 h3

c) 3 r2 h

2 d) 5 r

2 h2

h

r

Figura 0

Res

post

a

Matemtica a06

8Matemtica a06

8Matemtica a06

Nesta aula, voc aprendeu a descrever o que um slido, a observar as principais caractersticas de um slido para classific-lo como poliedro ou no poliedro, e tambm a calcular o volume de diferentes slidos.

auto-avaliao

. Descreva, com suas palavras, o que um slido.

. O que significa medir o volume de um slido?

3. D 2 exemplos de slidos classificados como poliedros.

. D 2 exemplos de slidos classificados como no poliedros.

5. Preencha no quadro a seguir o nmero de arestas e faces de cada slido.

SLiDO aReStaS FaceS

Cubo

Paraleleppedo retngulo

Prisma triangular

Prisma pentagonal regular

Prisma hexagonal regular

Tetraedro

Pirmide quadrangular regular

Pirmide hexagonal regular

Matemtica a06

Leitura complementarDonald no Pas da Matemgica uma animao com durao de 27 minutos da empresa Walt Disney Productions, disponvel em DVD, na coleo Fbulas Disney, sobre uma viagem feita por Donald que nos permite rever diversos conhecimentos matemticos e as relaes desses conhecimentos com outras reas do conhecimento humano, como a msica e as artes, entre outros. Que tal conferir?

RefernciasSLIDOS GEOMTRICOS. Disponvel em www. . Acesso em 26 jul. 08.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera_(geometria). Acesso em 06 set. 08.

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/ativ_wingeo2/volpiramide.html Acesso em 26jul.08.

http://www.infoescola.com/matematica/calculando-volumes-de-solidos-geometricos/. Acesso em 26 jul. 08.

Para consulta

Frmulas teis

rea de um tringulo escaleno

At esc =p (p a) (p b) (p c) , sendo p =

a+ b+ c3

e a, b e c as medidas dos lados do tringulo

rea de um tringulo equiltero

Ateq =a2

3

4, onde a a medida do lado do tringulo equiltero.

30Matemtica a06

rea de um quadrado

Aq = a2, em que a a medida do lado do quadrado.

rea de um hexgono regular

Ahr =6 a2

3

4, em que a a medida do lado do hexgono regular.

Para as expresses usadas no clculo de volumes a seguir considere:

Ab = rea da base; a, b e c so medidas dos lados; h = medida da altura; e V = volume.

Volume do cubo: V = a a a V = a3

Volume do paraleleppedo: V = a b c

Volume do prisma: V = Ab h

Volume da pirmide: V =13

(Ab h)

Volume do cilindro: V =

13

r2 h

Volume do cone: V =13

r2 h

Volume da esfera: V =43

r3

Observe que o

volume de um prisma

igual ao triplo

do volume de uma

pirmide de mesma

base e altura.

OBSeRVe

Note que o volume

de um cilindro igual

ao triplo do volume

de um cone de

mesmo raio e altura.

NOte

anotaes

3Matemtica a06

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