1

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso: Licenciatura em Física / Matemática Componente: Cálculo Vetorial e Integral Prof. Álvaro Fernandes Serafim Aluno(a): ______________________________________

“A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza”. (Bertrand Russell)

1. Calcule as integrais triplas a seguir:

a) ( )

3 0 2

0 1 1x 2y 4z dxdydz

−+ +∫ ∫ ∫ . b) ( )

22 x x y 2

1 1 02x y dzdydx

+

−∫ ∫ ∫ .

2. Seja ( )z,y,xff = uma função contínua de três variáveis. Expresse*

Tf dV∫∫∫ , identificando os limites

de integração, sendo T a região do espaço:

a) Limitada pelo cilindro 9yx 22 =+ e pelos planos 0z = e 2z = . (1a integração em relação a z).

b) No primeiro octante, limitada pelo plano 6z3y2x =++ . (1a integração em relação a y).

c) Limitada pelo parabolóide 22 yx49z −−= e pelo plano 0z = . (1a integração em relação a z). * Apenas expresse, não é para calcular a integral tripla.

3. Use integral tripla para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies de equações:

a) 0y;4zy;4xz 2 ==+=+ e 0z = .

b) 4zx;zy;z2y 22 =+=−= e 0x = .

c) 2zyx;1zy 22 =++=+ e 0x = .

d) 1y;0z;x9z 2 −==−= e 2y = .

LLiissttaa ccoommpplleemmeennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss -- NNºº 22

2

� Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:

( ) ( ) ( )( )

T T'

f x, y,z dV f r cos ,r sen ,z r drd dz= θ θ θ∫∫∫ ∫∫∫

onde T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas.

� Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

T T'f x, y,z dV f sen cos , sen sen , cos sen d d d= ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ⋅ρ φ ρ φ θ∫∫∫ ∫∫∫

onde T’ é a região T descrita em coordenadas esféricas. 4. Resolva as questões abaixo, esboçando os sólidos:

a) Calcule

T

3 dV∫∫∫ , onde T é a região simultaneamente interior ao cilindro 2 2x y 1+ = e a esfera

2 2 2x y z 4+ + = .

b) Calcule

2 2

Tx y dV+∫∫∫ , onde T é a região delimitada pelos parabolóides 2 2z x y 4= + − e

2 2z 4 x y= − − .

c) Calcule

T

x dV∫∫∫ , onde T é a região simultaneamente interior ao parabolóide ( )2 21z x y

4= + e a esfera

2 2 2x y z 5+ + = .

d) Calcule ( )

2 2 2

Tx y z dV+ +∫∫∫ , onde T é a região esférica 2 2 2x y z 9+ + ≤ .

e) Calcule ( )

2 2 2

Tx y z dV+ +∫∫∫ , onde T é a região interior a esfera 2 2 2x y z 9+ + = e exterior ao cone

2 2z x y= + .

f) Calcule

T

z dV∫∫∫ , onde T é o sólido acima do plano xy, abaixo do parabolóide ( )22 yx4z +−= e dentro

do cilindro 1yx 22 =+ .

g) Calcule

T

dV∫∫∫ , onde T é a região do espaço entre as esferas 9zyx 222 =++ e 16zyx 222 =++ .

5. Calcule o volume dos sólidos abaixo esboçando-os:

a) Acima do plano xy delimitado por 22 yxz += e 16yx 22 =+ ;

b) Acima do parabolóide 22 yxz += e abaixo do cone 22 yxz += ;

c) Região da esfera 9zyx 222 =++ entre os planos 1z = e 2z = .

3

Aplicações Físicas Para os problemas abaixo, pesquise as fórmulas num livro de Cálculo.

6. Verifique que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea.

7. Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelas superfícies 2 2z 4 x y= − − e

z 0= , sabendo-se que a densidade de massa em um ponto ( )z,y,xP qualquer do sólido é o triplo da distância

de P ao plano xy. (Obs.: considere a unidade de massa em Kg e a unidade de comprimento em m).

8. Calcule a massa do sólido delimitado pelas superfícies 2 2z 4 x y= − − e 2 2z x y= + , considerando a

densidade de massa deste sólido igual a ( ) 3mKg 4x,y,zδ = .

Respostas 1. a) 39/2. b) 513/8.

2. a)

ou

2 2

2 2

3 9 x 2 3 9 y 2

3 9 x 0 3 9 y 0f dzdydx f dzdxdy

− −

− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

b) ( ) ( ) ( )

ou

2 6 3z 6 x 3z 2 6 6 x 3 6 x 3z 2

0 0 0 0 0 0f dydxdz f dydzdx

− − − − − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

c)

ou

2 2 2 2 2 2

2 2

3 2 9 4 x 9 4 x y 3 9 y 2 9 4 x y

3 2 9 4 x 0 3 9 y 2 0f dzdydx f dzdxdy

− − − − − −

− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

3. a) 128/5 u.v. b) 32/3 u.v. c) 2π u.v. d) 108 u.v.

4. a) ( )4 8 3 3π − . b) 15

256π. c) 0. d)

5

972π. e)

( )5

22243 π+. f)

6

37π. g)

3

148π.

5. a) 128π u.v. b) π/6 u.v. c) 3

20πu.v.

7. 232π Kgm . 8. π Kg16 .