01_Derivadas Parciais_versão 2

Disciplina: Introdução às funções de várias variáveis

Derivadas Parciais1. Funções várias variáveis

2. Limites e continuidades

3. Derivadas parciais

4. Regra da cadeia

5. Derivadas direcionais

6. Vetor Gradiente

Exemplos familiares

A = Área de um triângulob = baseh = altura

a) Função de duas variáveis

h

b

V = Volume paralelepípedol = comprimentow = largurah = altura

b) Função de três variáveis

l w

h

| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis

Definição: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado (x, y) de um conjunto D no plano xy, um único valor real denotado por f (x, y).

| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis | Funções de duas variáveis

x

y

(x, y)

z = f (x, y)

z

D é o domínio da função em R²

x

y

(x, y)

z = f (x, y)

z

D

f é a função

D é o domínio da função em R²,

f (x, y) é o valor da função calculado em (x, y).


Visualização (R³)

Exemplos de valores de funções de duas variáveis

Exemplo 1:

?

Exemplo 2:

?


Definição: Uma função f de três variáveis é uma regra que associa, a cada tripla ordenada (x, y, z) de um conjunto D no espaço R³, um único valor real denotado por f (x, y, z).

w = f (x, y, z)

w

xy

(x, y, z)

z

| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis | Funções de três variáveis

Sem visualização (R4)

D é o domínio da função em R³

Cálculo 11a edição – Volume 2Thomas | Weir | Giordano

© 2008 by Pearson Education

| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis



| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis | Domínio



Definição (Ponto interior): Um ponto (x0, y0) em uma região (conjunto) R no plano xy é um ponto interior de R se é o centro de um disco que está inteiramente em R.



Definição (Ponto de fronteira): Um ponto (x0, y0) em uma região (conjunto) R no plano xy é um ponto de fronteira de R se to o disco centrado em (x0, y0) contém ao mesmo tempo pontos que estão em R e do lado de fora de R (o ponto de fronteira não precisa pertencer a R).

Definições:

Região aberta: Uma região é aberta se consiste inteiramente em pontos interiores.

Região fechada: Uma região é fechada se contém todos os seus pontos de fronteira.



Exemplo 1: Determine o domínio de

Solução:

y

x

y ≥ 0

| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis | Funções de duas variáveis | Domínio


y

x

Solução:

y = x

y < x

y > x

y ≥ x



Solução:

y

x

y = 2x



y ≠ 2x

Solução:

y

x

y = 2x



Solução:

y < x²

y

x

y = x²


Gráfico de funções de duas variáveis

Exemplo 1:

Solução:

x

y

z

5

| Derivadas Parciais | 1. Funções várias variáveis | Funções de duas variáveis | Gráfico


Exemplo 2:

Interseção com os eixos:

y = 0 e z = 0 x = 1

x = 0 e z = 0 y = 2

x = 0 e y = 0 z = 1

x

y

z

(1, 0, 0)

(0, 0, 1)

(0, 2, 0)


Exemplo 3:

Eq. da esfera

≥ 0Semi-esfera superior

C = (0, 0, 0)r = 1

+


Exemplo 4:

x

y

z

Cone elíptico



Curvas de nível

Exemplo: Esboce o mapa de contorno de f(x,y) = 2-x-y usando as curvas de nível z = -4, -2, 0, 2, 4.

x

y

z

(2, 0, 0)

(0, 0, 2)

(0, 2, 0)

x

yz=-4

z=-2z=0

z=2z=4

p/ z = -4:

-4 = 2-x-yy = -x + 6 reta

dois pontos

(6, 0)

(0, 6)

Definição (Limite de uma função de uma variável): Seja f uma função (de uma variável) e suponha que f esteja definida em todos os pontos de algum intervalo aberto centrado em (x0), exceto, possivelmente, em (x0). Dizemos que o limite de f (x), conforme x se aproxima de x0, é o número L, e escrevemos:

se para cada número ϵ > 0, existir um número correspondente δ > 0, tal que, para todos os valores de x

Revisão

f (x)

x0

( )x0 + δx0 – δ

(

)L+ ϵ

L– ϵ

L

f (x)

x x

y

ou

f (x)

x0

( )x0 + δx0 – δ

(

)L+ ϵ

L– ϵ

L

f (x)

x x

y

2( )

x→

x

y

←x

Função de uma variável

4

2( )

x→

x

y

←x

5f (x)f (x)

Revisão

2( )

x→

x

y

←x

4

6 ≠

Portanto, não existe o .

Função de uma variável

Revisão

| Derivadas Parciais | 2. Limites e continuidades | Limites de funções de duas variáveis

Definição (Limite de uma função de duas variáveis): Seja f uma função de duas variáveis e suponha que f esteja definida em todos os pontos de algum disco aberto centrado em (x0, y0), exceto, possivelmente, em (x0, y0). Escrevemos

se, dado qualquer número ϵ > 0, pudermos encontrar um número δ > 0 tal que f (x, y) satisfaça

sempre que a distância entre (x, y) e (x0, y0) satisfizer

( )

δ

(x0, y0)

(x, y)

L - ϵ L + ϵ f(x, y)Lx

y

z


1) soma:

2) Diferença:

3) Multiplicação por constante:

| Derivadas Parciais | 2. Limites e continuidades | Limites | Propriedades


4) Produto:

5) Quociente:

Onde

6) Potência: Se r e s forem inteiros sem nenhum fator comum e s ≠ 0, então:

desde que seja um número real


= ?

Exemplo:

9

1 16

= 71

(x0, y0)

(x, y)

x

y

x0

( )x→

x

y

←x

Função de uma variável Função de duas variáveis

Aproximação pela direita ou pela esquerda.

Aproximação por infinitas direções.


Definição (Limites ao longo de curvas): Se C for uma curva paramétrica lisa no espaço bidimensional que está representada pelas equações

x = x (t) , y = y (t)

e se x0= x (t0), y0= y (t0), então o limite

é definido por

(ao longo de C)

(ao longo de C)

| Derivadas Parciais | 2. Limites e continuidades | Limites ao longo de curvas

Definição (Limites ao longo de curvas): Se C for uma curva paramétrica lisa no espaço tridimensional que está representada pelas equações

x = x (t) , y = y (t), z= z (t)

e se x0= x (t0), y0= y (t0), z0= z (t0), então o limite

é definido por

(ao longo de C)

(ao longo de C)


= ?(ao longo de C)

a) C é a reta y = 0 :

x=t , y=0 eq. paramétricas

x

y

(0, 0) (x, y)

y=0


x=0= ?

x

y

x=0 , y=t

(0, 0)

(x, y)

(ao longo de C)

a) C é a reta x = 0 :

eq. paramétricas


= ?

x=t , y=t

(ao longo de C)

a) C é a reta y = x : c

y=x

x

y

(0, 0)

(x, y)

eq. paramétricas


Teorema:

a) Se f (x, y)→ L quando (x, y) → (x0, y0), então f (x, y)→ L quando (x, y) → (x0, y0) ao longo de qualquer curva lisa.

b) Se o limite de f (x, y) deixar de existir quando (x, y) → (x0, y0) ao longo de alguma curva lisa, ou se f (x, y) tiver limites diferentes quando (x, y) → (x0, y0) ao longo de duas curvas lisas diferentes no domínio de f, então o limite de f (x, y) não existe quando (x, y) → (x0, y0).


| Derivadas Parciais | 2. Limites e continuidade

≠

Portanto, o não existe.

= ?

Indeterminação!

x

y

y=0

y=x

(0, 0)

Função contínua em (0,0)

Função descontínua em (0,0)

(r, θ)

ry = r sen θ

x = r cos θ 0

π/2

θ

P(x, y)

x

y

r² = x² + y²

sen ² θ + cos ² θ = 1

tg θ = sen θ / cos θ

tg θ = y / x

Coordenadas Polares

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