Aula 4 Equaรงรตes Diferenciaishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/...=๐ 2 2 +...
Transcript of Aula 4 Equaรงรตes Diferenciaishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/...=๐ 2 2 +...
Universidade Federal Fluminense
Disciplina:
Aula 4 โ Equaรงรตes Diferenciais
FENรMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrรญcola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
Escola de Engenharia
Aula 4 โ Equaรงรตes Diferenciais
Equaรงรฃo da continuidade
Cinemรกtica
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
Equaรงรฃo de Euler
Equaรงรฃo de Navier-Stokes
Mรฉtodos de soluรงรฃo de problemas com fluidos:
F
u(r)
Soluรงรฃo analรญtica ou numรฉrica
(CFD โ ComputationalFluid Dynamics)
VCGrandezas integrais (volume de controle โ VC):
โข Vazรฃoโข Forรงa โข Energia
EQUAรรES INTEGRAIS
EQUAรรES DIFERENCIAIS
MรTODOS EXPERIMENTAIS
Grandezas infinitesimais (pontual):
โข Velocidade: ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก)โข Tensรฃo: ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก , ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก
โข Modelos reduzidos em laboratรณrio, protรณtipos ou mediรงรตes em campo
โข Anรกlise dimensional
Disponรญvel em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.
Eq. da Continuidade
Volume de controle infinitesimal:Volume de controle finito:
Equaรงรฃo Integral: Equaรงรฃo Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservaรงรฃo da massa:
Eq. Integral:
Eq. Diferencial:
๐
๐๐ก ๐๐ถ
๐ ๐V + โ ยฑ ๐๐ = 0
Volume de controle infinitesimal:
๐๐
๐๐ก๐V +
+ saรญda entrada
๐ = ๐๐๐๐๐ด
= 0
x
y
z
dz
dx
dy
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
Conservaรงรฃo da massa:
๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
= 0 Eq. Diferencial:
Volume de controle infinitesimal:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservaรงรฃo da massa:
๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
= 0 Eq. Diferencial:
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐= ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ โ ๐ ๐ฅ
= lim๐ฟ๐ฅโ0
๐ ๐ฅ + ๐ฟ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐๐ฅ
=๐๐
๐๐ฅ๐๐ฅ
=๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ โ ๐ ๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ
=๐ ๐ ๐๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ =
๐ ๐๐๐๐๐๐ด ๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ
=๐ ๐ ๐ข ๐๐ฆ๐๐ง
๐๐ฅ๐๐ฅ =
๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง
Volume de controle infinitesimal:
๐V
=๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ๐V
x
y
z
dz
dx
dy
๐ ๐ฅ
โข Em x:
๐ข
๐โฒ ๐ฅ
Conservaรงรฃo da massa:
Volume de controle infinitesimal:
=๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ๐V
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐โข Em x:
๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
= 0 Eq. Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservaรงรฃo da massa:
Volume de controle infinitesimal: โข Em y: ๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐=
๐ ๐ ๐ฃ
๐๐ฆ๐V
=๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ๐V
โข Em z: ๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐=
๐ ๐ ๐ค
๐๐ง๐V
๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ+
๐ ๐ ๐ฃ
๐๐ฆ+
๐ ๐ ๐ค
๐๐ง๐V
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐โข Em x:
๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
= 0 Eq. Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservaรงรฃo da massa:
Volume de controle infinitesimal:
โ๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ+
๐ ๐ ๐ฃ
๐๐ฆ+
๐ ๐ ๐ค
๐๐ง๐V
๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
= 0 Eq. Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservaรงรฃo da massa:
โ๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ+
๐ ๐ ๐ฃ
๐๐ฆ+
๐ ๐ ๐ค
๐๐ง๐V = 0
โ๐๐
๐๐ก+
๐ ๐ ๐ข
๐๐ฅ+
๐ ๐ ๐ฃ
๐๐ฆ+
๐ ๐ ๐ค
๐๐ง= 0
divergente de ๐๐
๐๐
๐๐ก๐V +
๐ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ฅ
๐+
๐ ๐๐ฆ๐ โ ๐ ๐๐ฆ
๐+
๐ ๐๐ง๐ โ ๐ ๐๐ง
๐
= 0 Eq. Diferencial:
๐๐
๐๐ก+ ๐ป โ ๐๐ = 0
Conservaรงรฃo da massa:
Fluido compressรญvel:๐๐
๐๐ก+ ๐ป โ ๐๐ = 0
Fluido incompressรญvel:๐๐
๐๐ก+ ๐ป โ ๐๐ = 0
0
โ ๐๐ป โ ๐ = 0
โ ๐ป โ ๐ = 0
divergente nulo(campo solenoidal)
Conservaรงรฃo da massa:
Exemplo:[PETROBRAS โ ENG. EQP. JรNIOR - 2008]
Considerando um escoamento permanente e incompressรญvel, cuja
distribuiรงรฃo de velocidades seja dada pela funรงรฃo ๐ = 3๐ฅ ๐ + ๐ถ๐ฆ ๐ + 2๐ฅ ๐,
calcule o valor da constante C para que seja atendido o princรญpio da
continuidade.
โ โ V = 0
โโ๐ขโx
+โ๐ฃโy
+โ๐คโz
= 0 V = u ๐ + v ๐ + w ๐
โ u = 3xv = Cyw = 2x
V = 3x i + Cy j + 2x k
โ 3 + C + 0 = 0 โ C = โ3
โโ 3xโx
+โ Cyโy
+โ 2xโz
= 0
Cinemรกtica
x
y x
y translaรงรฃo
x
y rotaรงรฃo
x
ydeformaรงรฃo
angular (distorรงรฃo)
x
y deformaรงรฃo linear
Partรญcula Pem (xp, yp, zp)
๐๐ ๐ก
๐๐ ๐กCampo de velocidade:
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก ๐ + ๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก ๐ + ๐ค ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก ๐
= ๐ ๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐, ๐ก
๐๐ ๐ก =๐๐๐ ๐ก
๐๐ก=
๐๐ ๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐, ๐ก
๐๐ก
=๐๐๐ ๐ก
๐๐ก
=๐๐
๐๐ฅ
๐๐ฅ๐
๐๐ก+
๐๐
๐๐ฆ
๐๐ฆ๐
๐๐ก+
๐๐
๐๐ง
๐๐ง๐
๐๐ก+
๐๐
๐๐ก
๐๐ก
๐๐ก
๐ข ๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐, ๐ก
๐ฃ ๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐, ๐ก
๐ค ๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐, ๐ก
1
= ๐ข๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง+
๐๐
๐๐ก ๐๐ =
๐ท๐
๐ท๐ก
aceleraรงรฃo convectiva aceleraรงรฃo localaceleraรงรฃo total
๐ = ๐พ๐ฅ ๐ โ ๐พ๐ฆ ๐Ex. de campo de velocidade:
Linhas de corrente:
Partรญcula P
y
x
+1
+1 -1
-1
+2
+2 -2
-2
+3
C = +3 -3
C = -3
๐๐
๐๐ก= 0 โ permanente ๐๐ โ 0
๐๐ =๐ท๐
๐ท๐ก= ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง+
๐๐
๐๐ก
0
Escoamento permanente nรฃo significa aceleraรงรฃo nula !
y
๐ฟ๐ผ
๐ฟ๐ฝ๐ฟ๐
๐ฟ๐ฅ
๐ฟ๐ฆ
๐ข๐ฅ๐ฟ๐ก๐ข๐ฅ+๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ + ๐ข๐ฅ+๐ฟ๐ฅ โ ๐ข๐ฅ
๐ฟ๐ข๐ฅ
๐ฟ๐ก = ๐ฟ๐ฅ +๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ
๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ
x
๐ฟ๐ก
Rotaรงรฃo: ๐ฟ๐๐ฅ๐ฆ =๐ฟ๐ผ โ ๐ฟ๐ฝ
2
y
๐ฟ๐ผ
๐ฟ๐ฝ๐ฟ๐
๐ฟ๐ฅ
๐ฟ๐ฆ
x
๐ฟ๐ก
๐ฃ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฃ๐ฅ+๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฃ๐ฅ+๐ฟ๐ฅ โ ๐ฃ๐ฅ
๐ฟ๐ฃ๐ฅ
๐ฟ๐ก =
๐๐ฃ
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ
๐๐ฃ
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ +๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
Rotaรงรฃo: ๐ฟ๐๐ฅ๐ฆ =๐ฟ๐ผ โ ๐ฟ๐ฝ
2
y
๐ฟ๐ผ
๐ฟ๐ฝ๐ฟ๐
๐ฟ๐ฅ
๐ฟ๐ฆ
x
๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ +๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐๐ฃ
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฆ +๐๐ฃ
๐๐ฆ๐ฟ๐ฆ๐ฟ๐ก
๐๐ข
๐๐ฆ๐ฟ๐ฆ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ผ = atan
๐๐ฃ๐๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ +๐๐ข๐๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก 0
=๐๐ฃ
๐๐ฅ๐ฟ๐ก
๐๐ผ
๐๐ก= lim
๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐ผ
๐ฟ๐ก=
๐๐ฃ
๐๐ฅ
๐๐ฝ
๐๐ก= lim
๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐ฝ
๐ฟ๐ก=
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ง =๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ก=
1
2
๐๐ผ
๐๐กโ
๐๐ฝ
๐๐ก=
1
2
๐๐ฃ
๐๐ฅโ
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ฅ =๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ก=
1
2
๐๐ค
๐๐ฆโ
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐ฆ =๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ก=
1
2
๐๐ข
๐๐งโ
๐๐ค
๐๐ฅ
๐ = ๐๐ฅ ๐ + ๐๐ฆ ๐ + ๐๐ง ๐ =
1
2๐ป ร ๐
vorticidade
se escoamento irrotacional:
๐ป ร ๐ = 0
Rotaรงรฃo: ๐ฟ๐๐ฅ๐ฆ =๐ฟ๐ผ โ ๐ฟ๐ฝ
2
y
๐ฟ๐ผ
๐ฟ๐ฝ๐ฟ๐
๐ฟ๐ฅ
๐ฟ๐ฆ
x
๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ +๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐๐ฃ
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฆ +๐๐ฃ
๐๐ฆ๐ฟ๐ฆ๐ฟ๐ก
๐๐ข
๐๐ฆ๐ฟ๐ฆ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ผ = atan
๐๐ฃ๐๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ +๐๐ข๐๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก 0
=๐๐ฃ
๐๐ฅ๐ฟ๐ก
๐๐ผ
๐๐ก= lim
๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐ผ
๐ฟ๐ก=
๐๐ฃ
๐๐ฅ
๐๐ฝ
๐๐ก= lim
๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐ฝ
๐ฟ๐ก=
๐๐ข
๐๐ฆ๐๐ก
๐๐ก+๐ฟ๐ก
Distorรงรฃo: (deformaรงรฃo angular)
๐ฟ๐๐ฅ๐ฆ = ๐ฟ๐ผ + ๐ฟ๐ฝ
ํ๐ฅ๐ฆ =๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ก
๐๐ผ
๐๐ก+
๐๐ฝ
๐๐ก
=๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
ํ๐ฆ๐ง =๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ก=
๐๐ค
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ง
ํ๐ง๐ฅ =๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ก=
๐๐ข
๐๐ง+
๐๐ค
๐๐ฅ
taxa de cisalhamento
โ๐๐๐๐
๐๐ก=
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐+
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐
โ๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ก=
ํ๐ฅ๐ฆ
y
๐ฟ๐ฅ
๐ฟ๐ฆ
x
๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ +๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
๐ฟ๐ฅ ๐ฟ๐๐ฅ
๐ฟ๐๐ฅ =๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก
โ ํ๐ฅ๐ฅ =๐๐๐ฅ
๐๐ฅ
ํ๐ฅ๐ฅ =๐๐ข
๐๐ฅ
=๐๐ข
๐๐ฅ๐ฟ๐ก
ํ๐ฆ๐ฆ =๐๐ฃ
๐๐ฆ
โ ํ๐ฅ๐ฅ =๐ํ๐ฅ
๐๐ก=
๐๐ข
๐๐ฅ
ํ๐ง๐ง =๐๐ค
๐๐ง
Taxa de deformaรงรฃo linear:
Taxa de dilataรงรฃo volumรฉtrica :
๐ฟ๐ฅ + ๐๐๐ฅ โ ๐ฟ๐ฆ + ๐๐๐ฆ โ ๐ฟ๐ง + ๐๐๐ง
1
๐ฟ๐
๐ ๐ฟ๐
๐๐ก=
๐ฟ๐ฅ ๐ฟ๐ฆ ๐ฟ๐ง + ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ฆ๐๐๐ง + ๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ง๐๐๐ฆ + ๐ฟ๐ฆ๐ฟ๐ง๐๐๐ฅ
๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ
๐๐๐ฅ๐๐๐ง
๐๐๐ฆ๐๐๐ง
โ 0
๐ฟ๐ฅ ๐ฟ๐ฆ ๐ฟ๐ง1
๐ฟ๐lim๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐๐ก+๐ฟ๐ก โ ๐ฟ๐๐ก
๐ฟ๐ก=
= lim๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐ฅ ๐ฟ๐ฆ ๐ฟ๐๐ง + ๐ฟ๐ฅ ๐ฟ๐ง ๐ฟ๐๐ฆ + ๐ฟ๐ฆ ๐ฟ๐ง ๐ฟ๐๐ฅ
๐ฟ๐ฅ ๐ฟ๐ฆ ๐ฟ๐ง ๐ฟ๐ก
= lim๐ฟ๐กโ0
๐ฟ๐๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐ฟ๐ก+
๐ฟ๐๐ฆ
๐ฟ๐ฆ๐ฟ๐ก+
๐ฟ๐๐ง
๐ฟ๐ง๐ฟ๐ก
โ1
๐ฟ๐
๐ ๐ฟ๐
๐๐ก=
๐๐ข
๐๐ฅ+
๐๐ฃ
๐๐ฆ+
๐๐ค
๐๐ง= ๐ป โ ๐
se incompressรญvel
โ ๐ป โ ๐ = 0
= ํ๐ฅ๐ฅ + ํ๐ฆ๐ฆ + ํ๐ง๐ง
Exemplo:Dados o campos de velocidade abaixo (S.I.): a) classifique o respectivo escoamento quanto ao regime temporal e dimensionalidade; b) calcule a aceleraรงรฃo no ponto (1,1), quando t=0; c) verifique se sรฃo rotacionais; d) e se sรฃo incompressรญveis (possivelmente).
๐ = ๐ฅ๐ก + 2๐ฆ ๐ + 3๐ฅ โ ๐ฆ๐ก ๐
๐ข ๐ฃ
๐ค = 0
๐๐
๐๐กโ 0
๐๐
๐๐ฅโ 0 ๐
๐๐
๐๐ฆโ 0,
๐๐
๐๐ง= 0
2D transiente
๐ =๐ท๐
๐ท๐ก= ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง+
๐๐
๐๐ก
a)
๐ฅ๐ก + 2๐ฆ ๐ก ๐ + 3 ๐ + 3๐ฅ โ ๐ฆ๐ก 2 ๐ โ ๐ก ๐
๐ฅ ๐ โ ๐ฆ ๐
= 6 ๐ + ๐ m/s
b)
c) ๐ = ๐๐ฅ ๐ + ๐๐ฆ ๐ + ๐๐ง ๐
๐๐ง =1
2
๐๐ฃ
๐๐ฅโ
๐๐ข
๐๐ฆ
3 2
=1
2rad/s
d) ๐ป โ ๐ =๐๐ข
๐๐ฅ+
๐๐ฃ
๐๐ฆ+
๐๐ค
๐๐ง
๐ก โ๐ก
= 0
possivelmente incompressรญvel
Resumo
Translaรงรฃo:
Rotaรงรฃo:
Deformaรงรฃo angular (distorรงรฃo):
Deformaรงรฃo linear:
โช Taxa de dilataรงรฃo volumรฉtrica:
๐ =๐ท๐
๐ท๐ก= ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง+
๐๐
๐๐ก
๐ =1
2๐ป ร ๐
๐๐๐๐
๐๐ก=
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐+
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐
ํ๐ =๐๐ข๐
๐๐ฅ๐
1
๐ฟ๐
๐ ๐ฟ๐
๐๐ก= ๐ป โ ๐
Eq. do Momentum
= ๐๐๐ท๐
๐ท๐ก
Quantidade de movimento linear:
๐น =๐
๐๐ก๐ ๐
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น =๐
๐๐ก๐๐ ๐
๐ =๐๐
๐Vโ ๐๐ = ๐ ๐V
= ๐ ๐V๐ท๐
๐ท๐ก
โ ๐ ๐น
๐V= ๐
๐ท๐
๐ท๐ก= ๐ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง+
๐๐
๐๐ก
aceleraรงรฃototal
aceleraรงรฃoconvectiva
aceleraรงรฃolocal
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
2ยช Lei de Newton:
Quantidade de movimento linear: Em uma partรญcula
fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐ ๐น๐ = ๐๐ ๐ = ๐ ๐V ๐ โ๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
๐๐ ๐ฅ: ๐๐๐ฅ
๐๐ ๐ฆ: ๐๐๐ฆ
๐๐ ๐ง: ๐๐๐ง๐ =
๐๐
๐Vโ ๐๐ = ๐ ๐V
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
x
y
z
dz
dx
dy
๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐ง
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ๐ง
๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐ฆ
๐๐ง๐ง
๐๐๐
face direรงรฃo
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
โข em x:
๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ๐ฆ
๐๐ง๐ฅ๐ง
x
y
z
dz
dx
dy
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ+๐๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ๐ฆ+๐๐ฆ
๐๐ง๐ฅ๐ง+๐๐ง
๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ+๐๐ฅ
โ ๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ
๐๐ฆ๐๐ง
๐๐ง๐ฅ๐ง+๐๐ง
โ ๐๐ง๐ฅ๐ง
๐๐ฅ๐๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ๐ฆ+๐๐ฆ
โ ๐๐ฆ๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐๐ง
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ+๐๐ฅ
โ ๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ
๐๐ฆ๐๐ง
๐๐ง๐ฅ๐ง+๐๐ง
โ ๐๐ง๐ฅ๐ง
๐๐ฅ๐๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ๐ฆ+๐๐ฆ
โ ๐๐ฆ๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐๐ง = ๐๐ฆ๐ฅ ๐ฆ+๐๐ฆ
โ ๐๐ฆ๐ฅ ๐ฆ
๐๐ฆ๐๐ฆ ๐๐ฅ๐๐ง
= ๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅ+๐๐ฅ โ ๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ ๐๐ฆ๐๐ง
= ๐๐ง๐ฅ ๐ง+๐๐ง โ ๐๐ง๐ฅ ๐ง
๐๐ง๐๐ง ๐๐ฅ๐๐ฆ
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
โข em x:
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
๐๐น๐ฅ =๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐V
๐๐น๐ฅ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
= ๐๐ฆ๐ฅ ๐ฆ+๐๐ฆ
โ ๐๐ฆ๐ฅ ๐ฆ
๐๐ฆ๐๐ฆ ๐๐ฅ๐๐ง
= ๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅ+๐๐ฅ โ ๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ ๐๐ฆ๐๐ง
= ๐๐ง๐ฅ ๐ง+๐๐ง โ ฿ฌ๐ง๐ฅ ๐ง
๐๐ง๐๐ง ๐๐ฅ๐๐ฆ
= lim๐ฟ๐ฆโ0
๐๐ฆ๐ฅ ๐ฆ+๐ฟ๐ฆโ ๐๐ฆ๐ฅ ๐ฆ
๐ฟ๐ฆ๐๐ฆ๐๐ฅ๐๐ง
= lim๐ฟ๐ฅโ0
๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅ+๐ฟ๐ฅ โ ๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง
= lim๐ฟ๐งโ0
๐๐ง๐ฅ ๐ง+๐ฟ๐ง โ ฿ฌ๐ง๐ฅ ๐ง
๐ฟ๐ง๐๐ง๐๐ฅ๐๐ฆ
=๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ๐V
๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฅ
๐V
=๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐V
=๐฿ฌ๐ง๐ฅ
๐๐ง๐V
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
โข em x:
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐๐น๐ฃ๐ฅ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐๐น๐ฃ๐ฆ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
๐๐น๐ฃ๐ง
๐V=
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
โข em x:
โข em y:
โข em z:
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐๐น๐ฃ๐ฅ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐๐น๐ฃ๐ฆ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
๐๐น๐ฃ๐ง
๐V=
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
โข em x:
โข em y:
โข em z:
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
x
y
z
dz
dx
dy
๐๐ฅ
๐๐ฅ+๐๐ฅ
โข em x:
๐๐ฅ
โ ๐๐ฅ+๐๐ฅ
๐๐ฆ๐๐ง = โ ๐ ๐ฅ+๐๐ฅ โ ๐ ๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ ๐๐ฆ๐๐ง =
= โ lim๐ฟ๐ฅโ0
๐ ๐ฅ+๐ฟ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ
๐ฟ๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง = โ
๐๐
๐๐ฅ๐V
๐๐น๐๐ฅ=
๐๐๐๐ฅ
๐V
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐๐น๐ฃ๐ฅ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐๐น๐ฃ๐ฆ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
๐๐น๐ฃ๐ง
๐V=
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
โข em x:
โข em y:
โข em z:
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
โข em x:๐๐น๐๐ฅ
๐V= โ
๐๐
๐๐ฅ๐๐น๐๐ฆ
๐V= โ
๐๐
๐๐ฆโข em y:
๐๐น๐๐ง
๐V= โ
๐๐
๐๐งโข em z:
Quantidade de movimento linear:
Forรงas de campo
Forรงas de contato
โช Forรงas viscosas
โช Forรงas de pressรฃo
๐๐น๐ฃ๐ฅ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐๐น๐ฃ๐ฆ
๐V=
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
๐๐น๐ฃ๐ง
๐V=
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
โข em x:
โข em y:
โข em z:
๐ ๐น๐
๐V= ๐ ๐
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
โข em x:๐๐น๐๐ฅ
๐V= โ
๐๐
๐๐ฅ๐๐น๐๐ฆ
๐V= โ
๐๐
๐๐ฆโข em y:
๐๐น๐๐ง
๐V= โ
๐๐
๐๐งโข em z:
Quantidade de movimento linear:
โ๐๐
๐๐ฅ
โ๐๐
๐๐ฆ
โ๐๐
๐๐ง
๐๐๐ฅ
๐๐๐ฆ
๐๐๐ง
+๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง
+๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
+๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
= ๐๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
= ๐๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
= ๐๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
Em uma partรญcula fluida:
๐ ๐น
๐V= ๐
๐๐
๐๐ก+ ๐ข
๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง
Quantidade de movimento linear:
โ๐๐
๐๐ฅ
โ๐๐
๐๐ฆ
โ๐๐
๐๐ง
๐๐๐ฅ
๐๐๐ฆ
๐๐๐ง
+๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง
+๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
+๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
= ๐๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
= ๐๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
= ๐๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
Equaรงรฃo de Euler
Equaรงรฃo de Euler:
Escoamento invรญscido (sem โatritoโ)
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
โ ๐๐๐ = 0
Equaรงรฃo de Euler:
Escoamento invรญscido (sem โatritoโ)
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
๐ ๐ โ ๐ป๐ = ๐๐๐
๐๐ก
โ ๐๐๐ = 0
Equaรงรฃo de Euler:
Exemplo: Um campo de escoamento permanente,
incompressรญvel e sem atrito รฉ dado por ๐ = 2๐ฅ๐ฆ ๐ + ๐ฆ2 ๐ em
unidades arbitrรกrias. Seja a massa especรญfica 0 = constante e
despreze a gravidade. Encontre uma expressรฃo para o
gradiente de pressรฃo na direรงรฃo x.
ฯgxโโpโx
=ฯโuโt+u
โuโx+v
โuโy
+wโuโz
ฯgyโโpโy
=ฯโvโt+u
โvโx+v
โvโy
+wโvโz
ฯgzโโpโz=ฯ
โwโt
+uโwโx
+vโwโy
+wโwโz
ฯgโโp = ฯdV
dt
Equaรงรฃo de Euler:
Exemplo: Um campo de escoamento permanente,
incompressรญvel e sem atrito รฉ dado por ๐ = 2๐ฅ๐ฆ ๐ โ ๐ฆ2 ๐ em
unidades arbitrรกrias. Seja a massa especรญfica 0 = constante e
despreze a gravidade. Encontre uma expressรฃo para o
gradiente de pressรฃo na direรงรฃo x.
ฯgxโโpโx=ฯ
โuโt+u
โuโx+v
โuโy
+wโuโzฯgโโp = ฯ
dV
dt
๐ = u ๐ + ๐ฃ ๐ + ๐ค ๐0
0 0 0
โ โโpโx
= ฯ0 2xyโ 2xyโx
โy2โ 2xyโy
2y 2x
= ฯ04xy2โ2xy2 = 2ฯ
0xy2
โโpโx
= โ 2ฯ0xy2
Eq. de Navier-Stokes
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
๐๐ฆ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐ฅ๐ฅ = 2๐๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐ฆ๐ฆ = 2๐๐๐ฃ
๐๐ฆ
๐๐ง๐ง = 2๐๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
๐ = ๐๐๐
๐๐ก
๐๐
๐๐ก Newton:
๐๐
๐๐ก
๐๐๐ = ๐๐๐๐๐
๐๐ก
๐๐๐๐
๐๐ก=
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐+
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐
๐๐๐ = ๐๐๐ข๐
๐๐ฅ๐+
๐๐ข๐
๐๐ฅ๐
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
๐๐ฆ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐ฅ๐ฅ = 2๐๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐ฆ๐ฆ = 2๐๐๐ฃ
๐๐ฆ
๐๐ง๐ง = 2๐๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง=
๐
๐๐ฅ2๐
๐๐ข
๐๐ฅ+
โข Considerando fluido newtoniano: constante
= ๐ 2๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ฃ
๐๐ฆ๐๐ฅ+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ค
๐๐ง๐๐ฅ+
๐2๐ข
๐๐ง2
๐2๐ข
๐๐ฅ2
๐2๐ข
๐๐ฅ2
๐2๐ฃ
๐๐ฆ๐๐ฅ
๐2๐ข
๐๐ฆ2
๐2๐ค
๐๐ง๐๐ฅ
๐2๐ข
๐๐ง2
= ๐๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ข
๐๐ง2+
๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ฃ
๐๐ฆ๐๐ฅ+
๐2๐ค
๐๐ง๐๐ฅ
๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ+
๐
๐๐ง๐
๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
2๐๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
๐๐ฆ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐ฅ๐ฅ = 2๐๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐ฆ๐ฆ = 2๐๐๐ฃ
๐๐ฆ
๐๐ง๐ง = 2๐๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง=
๐
๐๐ฅ2๐
๐๐ข
๐๐ฅ+
๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ+
๐
๐๐ง๐
๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
= ๐๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ข
๐๐ง2+
๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ฃ
๐๐ฆ๐๐ฅ+
๐2๐ค
๐๐ง๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ
๐๐ข
๐๐ฅ+
๐๐ฃ
๐๐ฆ+
๐๐ค
๐๐ง
โข Considerando fluido incompressรญvel: constante๐ป โ ๐
โ ๐ป โ ๐ = 0
โข Considerando fluido newtoniano: constante
= ๐๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ข
๐๐ง2
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
๐๐ฆ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐ฅ๐ฅ = 2๐๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐ฆ๐ฆ = 2๐๐๐ฃ
๐๐ฆ
๐๐ง๐ง = 2๐๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง
โข Considerando fluido incompressรญvel: constante โ ๐ป โ ๐ = 0
= ๐๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ข
๐๐ง2
โข Considerando fluido newtoniano: constante
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
= ๐๐2๐ฃ
๐๐ฅ2+
๐2๐ฃ
๐๐ฆ2+
๐2๐ฃ
๐๐ง2
= ๐๐2๐ค
๐๐ฅ2+
๐2๐ค
๐๐ฆ2+
๐2๐ค
๐๐ง2
= ๐๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ข
๐๐ง2
= ๐๐2๐ฃ
๐๐ฅ2+
๐2๐ฃ
๐๐ฆ2+
๐2๐ฃ
๐๐ง2
= ๐๐2๐ค
๐๐ฅ2+
๐2๐ค
๐๐ฆ2+
๐2๐ค
๐๐ง2
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐๐ฃ
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฅ+
๐๐ข
๐๐ง
๐๐ฆ๐ง = ๐๐๐ค
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐ฅ๐ฅ = 2๐๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐ฆ๐ฆ = 2๐๐๐ฃ
๐๐ฆ
๐๐ง๐ง = 2๐๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง= ๐
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง= ๐
๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง= ๐
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฅ
๐๐ง
โข Considerando fluido incompressรญvel: constante โ ๐ป โ ๐ = 0
โข Considerando fluido newtoniano: constante
๐๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ฆ
๐๐ง
๐๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ๐ง
๐๐ฆ+
๐๐๐ง๐ง
๐๐ง
๐๐2๐ข
๐๐ฅ2+
๐2๐ข
๐๐ฆ2+
๐2๐ข
๐๐ง2
๐๐2๐ฃ
๐๐ฅ2+
๐2๐ฃ
๐๐ฆ2+
๐2๐ฃ
๐๐ง2
๐๐2๐ค
๐๐ฅ2+
๐2๐ค
๐๐ฆ2+
๐2๐ค
๐๐ง2
Equaรงรฃo de Navier-Stokes
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+ ๐
๐2๐ข
๐๐ฅ2 +๐2๐ข
๐๐ฆ2 +๐2๐ข
๐๐ง2 = ๐๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง
๐๐๐ฆ โ๐๐
๐๐ฆ+ ๐
๐2๐ฃ
๐๐ฅ2 +๐2๐ฃ
๐๐ฆ2 +๐2๐ฃ
๐๐ง2 = ๐๐๐ฃ
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ฃ
๐๐ง
๐๐๐ง โ๐๐
๐๐ง+ ๐
๐2๐ค
๐๐ฅ2 +๐2๐ค
๐๐ฆ2 +๐2๐ค
๐๐ง2 = ๐๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง
โข e incompressรญvel: constante
โข para fluido newtoniano: constante
๐ ๐ โ ๐ป๐ + ๐๐ป2๐ = ๐๐๐
๐๐ก
Incรณgnitas:
๐, ๐ข, ๐ฃ ๐ ๐ค
๐ป2 =
๐2
๐๐ฅ2 +๐2
๐๐ฆ2 +๐2
๐๐ง2
1
๐
๐
๐๐๐
๐
๐๐+
1
๐2
๐2
๐๐2 +๐2
๐๐ฅ2
com a eq. da continuidade: sistema de 4 incรณgnitas e 4 equaรงรตes
Equaรงรฃo de Navier-Stokes
Exemplo 1:
Um fluido viscoso de massa especรญfica e
viscosidade dinรขmica constantes escorre devido a
gravidade entre duas placas distantes 2h uma da
outra, conforme figura abaixo. O fluxo estรก totalmente
desenvolvido, com uma รบnica componente de
velocidade w = w(x). Nรฃo hรก gradientes de pressรฃo
aplicados, somente a gravidade. Resolva a equaรงรฃo
de Navier-Stokes para o perfil de velocidade entre as
placas.
z
x
h h
ฯgxโโpโx
+ฮผโ2u
โx2+โ2u
โy2+โ2u
โz2=ฯ
โuโt+u
โuโx+v
โuโy
+wโuโz
ฯgyโโpโy
+ฮผโ2v
โx2+โ2v
โy2+โ2v
โz2=ฯ
โvโt+u
โvโx+v
โvโy
+wโvโz
ฯgzโโpโz+ฮผ
โ2w
โx2+โ2w
โy2+โ2w
โz2=ฯ
โwโt
+uโwโx
+vโwโy
+wโwโz
Equaรงรฃo de Navier-Stokes
Exemplo 1:
Um fluido viscoso de massa especรญfica e
viscosidade dinรขmica constantes escorre devido a
gravidade entre duas placas distantes 2h uma da
outra, conforme figura abaixo. O fluxo estรก totalmente
desenvolvido, com uma รบnica componente de
velocidade w = w(x). Nรฃo hรก gradientes de pressรฃo
aplicados, somente a gravidade. Resolva a equaรงรฃo
de Navier-Stokes para o perfil de velocidade entre as
placas.
ฯgzโโpโz+ฮผ
โ2w
โx2+โ2w
โy2+โ2w
โz2=ฯ
โwโt
+uโwโx
+vโwโy
+wโwโz
0 0 0 0 0 0 0
ฯg + ฮผโ2w
โx2= 0 โ
โ2w
โx2= โ
ฯgฮผ
= โk โโwโx
= โkx + C1 โ w x = โk2x2 + C1x + C2
w โh = 0w +h = 0
z
x
h h
โ w x =k2
h2 โ x2 โ w x =ฯg2ฮผ
h2 โ x2โ C1= 0
C2= โkh2 2
Equaรงรฃo de Navier-Stokes Exemplo 2: Para um escoamento laminar e permanente de um fluido
incompressรญvel e newtoniano de massa especรญfica e viscosidade , no interior de uma tubulaรงรฃo horizontal de seรงรฃo circular, com diรขmetro D e comprimento L:
a) considerando um gradiente de pressรฃo constante e ๐๐
๐๐ฅ=
โ๐
๐ฟ= ๐พ
โ๐
๐ฟ, calcule o perfil
de distribuiรงรฃo de velocidades;
b) calcule a vazรฃo volumรฉtrica;
c) calcule a velocidade mรฉdia; e
d) expresse a perda de carga unitรกria ( โ๐ ๐ฟ) em funรงรฃo dos demais parรขmetros
xr
u(r)
Equaรงรฃo de Navier-Stokes Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressรฃo constante e ๐๐
๐๐ฅ=
โ๐
๐ฟ= ๐พ
โ๐
๐ฟ, calcule o perfil
de distribuiรงรฃo de velocidades;
๐ ๐ โ ๐ป๐ + ๐๐ป2๐ = ๐๐ท๐
๐ท๐ก
โ ๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+ ๐
1
๐
๐
๐๐๐
๐๐ข
๐๐+
1
๐2
๐2๐ข
๐๐2 +๐2๐ข
๐๐ฅ2 = ๐ ๐ข๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐+ ๐ค
๐๐ค
๐๐
โ๐
๐
๐
๐๐๐
๐๐ข
๐๐=
๐๐
๐๐ฅ=
โ๐
๐ฟ= ๐พ
โ๐
๐ฟ
โ ๐ข ๐ =โ๐ฯ๐
4๐ฟ๐๐ 2 โ ๐2
โ๐
๐๐๐
๐๐ข
๐๐= ๐
๐พโ๐
๐๐ฟ
โ 0
๐ ๐
๐๐๐
๐๐ข
๐๐๐๐ =
0
๐
๐๐พโ๐
๐๐ฟ๐๐
โ ๐๐๐ข
๐๐=
๐2
2
๐พโ๐
๐๐ฟโ
๐
๐ ๐๐ข
๐๐๐๐ =
๐
๐ ๐
2
๐พโ๐
๐๐ฟ๐๐
xr
u(r)
Equaรงรฃo de Navier-Stokes Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressรฃo constante e ๐๐
๐๐ฅ=
โ๐
๐ฟ= ๐พ
โ๐
๐ฟ, calcule o perfil
de distribuiรงรฃo de velocidades;
b) calcule a vazรฃo volumรฉtrica;
c) calcule a velocidade mรฉdia; e
๐ข ๐ =โ๐ฯ๐
4๐ฟ๐๐ 2 โ ๐2
xr
u(r)
๐ = ๐ด
๐๐๐ ๐๐ด = ๐ด
๐ข ๐๐ด = 0
๐ โ๐ฯ๐
4๐ฟ๐๐ 2 โ ๐2 2๐๐๐ ๐ =
๐โ๐ฯ๐
2๐ฟ๐ 0
๐
๐ 2 โ ๐2 ๐ ๐๐
=๐โ๐ฯ๐
2๐ฟ๐ ๐ 2
๐2
2โ
๐4
40
๐
=๐โ๐ฯ๐
2๐ฟ๐๐ 2
๐ 2
2โ
๐ 4
4=
๐โ๐ฯ๐
2๐ฟ๐
๐ 4
4โ ๐ =
๐โ๐ฯ๐๐ท4
128 ๐ฟ๐
๐ = ๐๐ ๐ด โ ๐๐ =๐
๐ด=
4๐
๐๐ท2
4
=
๐โ๐๐๐๐ท4
128 ๐ฟ๐
๐๐ท2
4
โ ๐๐ =โ๐ฯ๐๐ท2
32 ๐ฟ๐
Equaรงรฃo de Navier-Stokes Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressรฃo constante e ๐๐
๐๐ฅ=
โ๐
๐ฟ= ๐พ
โ๐
๐ฟ, calcule o perfil
de distribuiรงรฃo de velocidades;
b) calcule a vazรฃo volumรฉtrica;
c) calcule a velocidade mรฉdia; e
d) expresse a perda de carga unitรกria ( โ๐ ๐ฟ) em funรงรฃo dos demais parรขmetros
๐ข ๐ =โ๐ฯ๐
4๐ฟ๐๐ 2 โ ๐2
xr
u(r)
๐ =๐โ๐ฯ๐๐ท4
128 ๐ฟ๐
๐๐ =โ๐ฯ๐๐ท2
32 ๐ฟ๐โ
โ๐
๐ฟ=
32 ๐ฟ๐๐๐
ฯ๐๐ท2
Equaรงรฃo da continuidade:
Equaรงรฃo de Euler: (escoamento invรญscido)
Equaรงรฃo de Navier-Stokes: (fluido newtoniano e
incompressรญvel)
๐๐
๐๐ก+ ๐ป โ ๐๐ = 0
๐ ๐ โ ๐ป๐ = ๐๐๐
๐๐ก
๐ ๐ โ ๐ป๐ + ๐๐ป2๐ = ๐๐๐
๐๐ก
Aula 4 โ Equaรงรตes Diferenciais
Equaรงรฃo da continuidade
Cinemรกtica
Equaรงรฃo da quantidade de movimento linear
Equaรงรฃo de Euler
Equaรงรฃo de Navier-Stokes
BIBLIOGRAFIA:
WHITE, Frank. M. Mecรขnica dos Fluidos. 6ยช ed. McGraw-
Hill, 2010.
WHITE, Frank. M. Viscous Fluid Flow. 3ยช ed. MacGraw-
Hill, 2006.
FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introduรงรฃo ร
Mecรขnica dos Fluรญdos. 8ยช ed. John Wiley and Sons, N.Y.,
Traduรงรฃo: LTC, 2014.
www.HidroUff.uff.br