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ISSN 0104-8910

CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS, CAPÍTULOS I E lI: FUNÇÕES, ÁLGEBRA LINEAR E

APLICAÇÕES

Rubens Penha Cysne Humberto lIe Athayde Moreira

Junho de 1996

Curso de Matemática para Economistas Capítulos I e ÍI

Funções, Álgebra Linear e Aplicações

Rubens Penha Cysne Humberto de Athayde Moreira

Junho de 1996

Endereço para Contato:

Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas

Praia de Botafogo 190, 110. andar, Sala 1124 Rio de Janeiro - RJ - Brasil

Telefone: 55-21-552-5099 Fax: 55-21-536-9409

e-mail: [email protected]

PREFÁCIO

Rubens Penha Cysne Humberto Moreira

Junho de 1996

Os autores objetivam, com este trabalho preliminar, bem como com aqueles que

lhe darão continuidade, na seqüência de composição de um livro de matemática para

economistas, registrar as suas experiências ao longo dos últimos anos ministrando

cadeiras de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getulio

Vargas, da UFF (Universidade Federal Fluminense) e da PUC-RJ.

Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos

abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que

os autores esperam, com a seqüência didática que aqui se inicia, trazer alguma

contribuição para o assunto.

CAPÍTULO I

CONCEITOS BÁSICOS, CONJUNTOS E FUNÇÕES

Neste livro, salvo menção em contrário, utilizaremos as primeiras letras do alfabeto a, b, c, ... para designar números reais e as últimas x, y, w, z para designar

vetores do mn. Em alguns casos x, y, z ... designarão também componentes de

vetores, o que ficará claro no contexto utilizado.

o símbolo 91 denota os números reais e mn as n-uplas de números reais; 91+ equivale a números reais não negativos (onde se inclui o zero) e 91++ a números reais

positivos (onde não se inclui o zero). Esta simbologia estende-se às n-uplas: 91:

denota uma n-upla de números reais todos não negativos, e 91:+ uma n-upla de

números reais todos pOSItIVOS. Assim, ao denotarmos as n-uplas por x = (x\,x2 , ••• ,x n ), sendo cada Xi um número real (utilizaremos esta simbologia para

nos referirmos às coordenadas de x), a afirmativa x E 91:+ equivale a afirmar-se que

Xi > O para todo i = 1,2, ... , n.

Valor absoluto e norma no mn

Dado o número real a, utiliza-se a simbologia lal para denominar o maior dos valores entre a e - a. Lê-se lal = módulo de a. A regra de correspondência assim definida representa uma função definida no corpo dos reais e com valores no mesmo. Evidentemente, tem-se

(1.2)

lal = max {a, - a} ~a lal = max {a, - a} ~ -a

Multiplicando-se (1.2) por -1 e utilizando-se (1.1) segue que

as duas igualdades valendo se, e somente se a = o. De forma alternativa,

r-a lal = ~ O

l a

sea <O

sea =0

sea >0

(1.1)

(1.3)

Proposição 1.1: As seguintes propriedades são equivalentes: dados a, b E 91 e E > O

2

a) la- bl <E b)b-E<a<b+E

Demonstração:

1 2

la- bl < E~E> a- b e E> -(a- b) ~E> a- b e 3 4

-E<a-b~E+b>a e b-E<a~b-E<a<b+E

Explicações para as passagem no sentido ( ..... ): •

A passagem 1 utiliza a definição de la - bl como o maxuno entre

a - b e - ( a - b). Assim, se E é maior do que o máximo entre a - b e - ( a - b)

então E deve ser simultaneamente maior do que ambos. Na passagem 2 multiplica-se a segunda parte da sentença anterior por -1, tomando-se o cuidado de inverter o sentido de desigualdade. A passagem 3 obtém-se somando-se b a ambos os membros das duas desigualdades Finalmente a passagem 4 se dá por um simples reordenamento da sentença anterior.

As explicações para as passagens no sentido inverso (+-) devem ficar claras para o leitor. É claro também que a proposição 1.1 vale também para a desigualdade não estrita :5: .

Proposição 1.1': Dados a E 9{ e E > O, as seguintes proposições são equivalentes:

a) lal <E b) -E <a<E

Demonstração: Faça b = O na proposição 1.1. •

Interpretação Gráfica da Proposição 1.11: Dado a E 9{, o sentido de lal é a distância de a à origem.

Assim, lal = la - ~ mede a distância de a ao ponto O (origem). Da mesma

forma, para bEm, b * O, la - bl mede a distância de a ao ponto b. Assim, dado E > O

a sentença la - bl < E equivale a dizer que a distância de a ao ponto b é inferior a E.

Graficamente, se fixarmos b, isto significa que a pode representar qualquer ponto entre b - E e b+E.

E E

,-A-,,-A-, I I I I

b-E a. b (fixo) b + E

3

(figura 1.1)

Proposição 1.2: Dados a, bem, vale que la + bl:5; lal +Ibl

Demonstracão: Segue da definição apresentada da função módulo que

-Ial :5; a :5; lal

-Ibl :5; b :5; Ibl

Somando-se estas desigualdades membro a membro, tem-se

-(Ial + Ib!) :5; a + b :5; la! + Ibl ~ la + bl :5; lal + Ibl .

Observe que, da mesma fonna, la - bl :5; lal + Ibl

Norma Euclidiana

Da fonna mais abstrata possível, uma nonna (11 x 11 lê-se nonna de x) é uma função real definida num espaço vetorial V real ou complexo, satisfazendo às seguintes propriedades :

1) IIÂ.xll = I~ Ilxll para qualquer escalar Â e qualquer x E V .

2) Se x 7: 0, Ilxll > O. 3) Ilx + yll :5; Ilxll + IIYII para quaisquer x e y E v.

Usualmente trabalhamos no espaço mD com a mesma nonna euclidiana, dada por:

Deixamos ao leitor o encargo de verificar que tal definição de nonna (chamada nonna euclidiana) satisfaz às três propriedades listadas acima. Observações:

1) Quando n = 1, Ilxll = & = Ixl

2) Tal como no caso da função valor absoluto, a idéia da função nonna definida no mn

e com valores em m+ é de distância de um ponto à origem.

Exemplo: Seja x = (3,4). Então II xii = (32 +42)112 = 5.

4

X 1---......

4

3

(figura 1.2)

Observe-se que IIx II é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo aqui

desenhado , que equivale à distância do ponto (vetor) x à origem.

Duas normas em m", 11.11,11.11' são ditas equivalentes se existem a> O, b > O tais

que a Ilxll ~ Ilxl!' e b Ilxl!' ~ Ilxll , \;Ix E mn•

Exemplo: Define-se no m" duas outras normas importantes:

a) norma do máximo I!.IIM : IlxllM = max{lxil; i = 1, ... ,n}, x = (xp ... ,X") Em".

" b)normadasomalll :IIxlls= L Ixil,x =(x\, ... ,X")Em".

i=\

Não é dificil mostrar que a norma do máximo e a norma da soma são

equivalentes. Basta observar que II xii. ~ n IlxllM e IlxllM ~ II xii. ' \;Ix E mn

Não há de fato nenhuma particularidade nestas normas devido ao ponto seguinte:

Proposição 1.3: Quaisquer duas normas no m" são equivalentes.

Esta proposição é muito importante, pois para questões de limite e topologia não importará com que norma nós vamos trabalhar. Utilizaremos a que for mais conveniente em cada momento.

Lógica

O homem geralmente se expressa através da linguagem. Assim, o estabelecimento sistemático das disciplinas dedutivas está muito ligado ao problema da linguagem. A linguagem corrente, por ser vaga e ambígua, não é adequada ao tratamento científico. Por isso necessitamos, para o tratamento da matemática, de uma linguagem mais adequada chamada linguagem simbólica.

Nesta linguagem destaca-se o uso do termo (expressão que nomeia ou descreve algum objeto) e do enunciado (expressão que correlaciona objetos, descreve propriedades de objetos, etc ... )

5

Exemplo:

r x

I x+y Tennos: ~ cI>

l{3,5,7}

r x+2=4

la>b enunciado: ~ 7

l <x

x2 -5x+6=O

,

Chamaremos de enunciado aberto qualquer expressão que contém variáveis. Entendemos por variável ou indeterminada um elemento que pode assumir qualquer valor dentro de um conjunto de escolhas. Caso contrário, chamaremos de enunciado fechado ou sentença ou proposição.

Assim como na linguagem corrente, são necessárias regras que permitam agrupar as expressões que formam termos e enunciados na linguagem matemática.

Algumas partículas fundamentais ou átomos da linguagem são destacadas abaixo:

Funtores: Formam termos a partir de termos ex.: +, x, -, U, n.

Juntores: Fonnam enunciados a partir de enunciados. ex.: não; e; ou; se ... então; se, e somente se.

Predicados: Fonnam enunciados a partir de termos. ex.: E, =, :),C,<,>.

Operadores:

• Quantificadores: Formam enunciados a partir de enunciados. Sua principal propriedade é transformar enunciados abertos em enunciados fechados.

Exemplo: Qualquer que seja (\7'), existe (3)

Vejamos agora o uso de cada juntor:

o juntor não (simbolicamente -): dado um enunciado p, pode-se formar o enunciado - p, dito a negação de p. A tabela de valores lógico é dada a seguir:

p -p V F F V

o juntor ~: dados dois enunciados quaisquer p e q pode-se formar o enunciado "p e q" dito conjunção de p e q. A conjunção só é verdadeira se os componentes são verdadeiros. A seguir é dada a tabela de valores lógicos para a conjunção:

6

v v V F F V F F

o juntor ou: dados dois enunciados quaiquer p e q pode-se fonnar o enunciado "p ou q" chamado disjunção desses enunciados. Sabemos que na linguagem corrente existem, pelo menos, dois usos distintos do juntor ou : o uso no sentido exclusivo e o uso no sentido não exclusivo. Vejamos exemplos:

1) Antônio irá de carro ou de ônibus.

2) Antônio passou no exame porque estudou ou porque estava calmo.

Em (1) caracteriza-se o uso exclusivo do ou. Já em (2) temos o uso não exclusivo do ou. O sentido do ou que usaremos no contexto da lógica matemática será o sentido não exclusivo.

A tabela de valores lógicos da disjunção é:

V V F F

V F V F

V V V F

O juntor se ... então (simbolicamente ~): dados p e q enunciados, p ~ q é dito ser a subjunção de p e q. Para melhor entendemos este juntor analisaremos o exemplo a segulr:

Exemplo: Se fizer sol então Antônio irá à praia

1) Fez sol e Antônio foi à praia: podemos concluir que a afirmação acima não foi falseada pelo experimento em questão.

2) Fez sol e Antônio não foi à praia: pode-se concluir que o enunciado acima é falso.

3) Não fez sol: neste caso não importa se Antônio foi ou não à praia, concluimos que o enunciado acima é verdadeiro.

7

Assim, a tabela de valores lógicos da subjunção:

p v V F F

q V F V F

V F V V

Na sub junção p => q , o enunciado p é chamado de condição suficiente para q e q é chamado de condição necessária para p.

o juntor se. e somente se (simbolicamente: <=»: dados p e q enunciados, p <=> q é chamado de bijunção de p e q. Será considerado como verdadeiro quando os constituintes tiverem o mesmo valor lógico. A seguir a tabela de valores lógicos para a bijunção.

p q V V V F F V F F

Um enunciado atômico é uma sentença declarativa contendo uma idéia que é falsa ou é verdadeira, mas não ambas. Um enunciado é chamado composto se é obtido a partir de enunciados atômicos, através do uso de juntores.

Um enunciado composto é dito ser uma tautologia se é verdadeiro ao considerarmos todas as possíveis valorações dos seus componentes atômicos.

Exemplo: p => p~ p ou - p~- p <=> p~

(p e q) <=> - ( - p ou - q) ~ p ou q <=> - ( - p e - q) ~ (p => q) <=> ( - q =>- p)

Se um enunciado é uma tautologia, podemos substituir todas as ocorrências de um componente por outro enunciado e o enunciado resultante é ainda uma tautologia. Se p é uma tautologia, diz-se que - p é uma contradição.

Dizemos que o enunciado p é logicamente equivalente ao enunciado q quando o enunciado p <=> q é uma tautologia.

Assim, por exemplo

(i) -(p e q) é equivalente a - p ou -q

(ü) -(p ou q) é equivalente a - p e - q

(ili) p => q é equivalente a - q => - p

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Quantificadores:

Como já definimos, os quantificadores transformam enunciados abertos em enunciados fechados. Vamos apresentar primeiro os quantificadores de forma

intuitiva. Para isso, seja o conjunto X = {1,3,5, 7} e os enunciados abertos:

p{x} ~ x é número ímpar

q{x} ~ x é múltiplo de 3

r{x} ~ x ~ 10

Pode-se observar facilmente que:

• Todo elemento de X satisfaz p. • Existe elemento de X que satisfaz q. • Não existe elemento de X que satisfaz r.

Estas afirmações podem ser escritas simbolicamente como

• 'dx(x E X ~ p{x})

.:3x(xEXeq{x})

• - :3x(x E X e r{x})

Observação: O quantificador ('d) é dito quantificador universal e os quantificadores :3 ( existe ) ,:3! ( existe apenas um ), são chamados de quantificadores existenciais. Os enunciados onde aparecem quantificadores são ditos enunciados quantificados.

Vejamos agora as principais equivalências de enunciados quantificados. Para isto usaremos exemplos da linguagem corrente. Pode-se facilmente ver que:

Todo brasileiro é feliz equivale a

Não existe brasileiro que não seja feliz. simbolicamente (B coleção dos brasileiros e F a coleção das pessoas felizes):

'd x{ x E B ~ X E F) equivale a - :3 x( X E B e x ~ F)

De forma geral valem as seguintes tautologias para uma preposição p : 'dx p<=>-:3x -p

:3x p<=>-'dx -p

e em seqüência são tautologias

-:3xp<=>'dx-p

-'dxp<=>:3x-p

9

Observação: Em todo enunciado quantificado devemos esclarecer qual é o conjunto onde as variáveis podem assumir valores. Este conjunto será chamado de conjunto uruverso.

Conjuntos e Funções

Formalmente conjuntos e elementos são conceitos prurutlVOS, isto é, sem definição. Empiricamente, um conjunto é constituído de objetos, chamados de elementos do conjunto. A relação entre elementos e conjuntos é a relação de pertinência. Assim quando x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e denotamos por x E A . Caso contrário, dizemos que x não pertence a A e denotamos por x !é A .

Exemplos de Conjuntos:

1) ~ = {I, 2, 3, ... } conjunto dos números naturais

2) Z = { ... ,-2, -1, O, 1,2, ... } conjunto dos números inteiros

3) Q = {pI q~ p, q E Z, q :t:. O} conjunto dos números racionais

4) 91 = conjunto dos números reais

Podemos descrever um conjunto enumerando seus elementos (por exemplo o conjunto dos naturais) ou caracterizando seus elementos por alguma propriedade

exclusiva destes, i.e., {x~ x satisfaz p} onde P é uma propriedade. Por exemplo, o

conjunto dos racionais entre O e 1 pode ser expresso como x E Q~ O ~ x ~ 1. O conjunto que não possui algum elemento será chamado vazio e denotado por cj>.

A relação entre conjuntos é a relação de inclusão, isto é, dados A e B conjuntos, A está incluído ou contido em B (A c B) se x E A implicar x E B. Neste caso, dizemos que A é subconjunto de B. Caso contrário, A não está contido em B (A ct. B). Simbolicamente

A c B <=> V x (x E A => X E B)

e A ct. B <=> 3x(x E A e x!é B) (ou seja, A ct. B <=>- (A c B»)

1) NcZ e ZcQ Exemplo: 2) Ao A l .. A

'I' C , qua quer que seja o conjunto

De fato, se cj> ex. A então 3 XE cj> tal que x E A, o que não ocorre, pois cj> vazio não possui elementos.

A relação de inclusão tem as seguintes propriedades:

i) (Reflexiva): A c A, para todo conjunto A ü) (Transitiva): A c B e B c C c A c C iü) (Anti-simétrica): A c B e B c A => A = B (A = B, significa que A e B tem exatamente os mesmos elementos)

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Dado um conjunto A podemos pensar no conjunto de todos os subconjuntos de

A:P(A) = {B; B cAl chamado de conjunto das partes de A. É fácil ver que 4>, A EP(A).

Vamos definir agora operações de conjuntos: -

1) Reunião: dados A e B conjuntos podemos definir o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B:

AuB = {x; x E A ou X E B} chamado de reunião (ou união) de A e B.

2) Interseção: dados A e B conjuntos a interseção de A e B é o conjunto formado

pelos elementos comuns a A e B: AIlB= {x,x E A e x E B} Quando A li B = 4>, dizemos que A e B são disjuntos.

3) Diferença: dados A e B conjuntos, a diferença entre A e B é o conjunto formado

pelos elementos de A que não pertencem a B: A/B = {x; X E A e x ~ B} .

Quando B c A, A/B chama-se o complementar de B em relação a A e denota-se por A-B=CAB.

4) Complementar: quando nos restringimos a considerar elementos pertencentes a um conjunto básico U, então o complementar de um conjunto A em relação a U será chamado simplesmente de complementar e denotado por A c .

Abaixo listamos algumas propriedades da reunião interseção, reunião, diferença e complementar (cuja as demonstrações ficam a cargo do leitor):

i) Aucj>=A

ü)AuA=A

üi)AuB=A<:>BcA

iv) Au(BIlC) = (AuB)Il(AuC)

A~=4> (Ac)" =A

AIlA=A AcB<=:>Bc cAC

AIlB=A<=:>AcB (AuB)" =Ac IlBc

AIl(BuC) = (AIlB)u(AIlC) (AIlB)" = AC uBc

Sejam a e b elementos. O par ordenado (a, b) é um conceito primitivo fomado

pela ordenação dos objetos a e b. Alguns autores identificam (a, b) por {{ a}, {a, b}} e

neste caso é claro que (a, b) não pode ser confundido com o conjunto {a, b}. Assim

( a, b) = ( c, d) <:> a = c e b = d .

Dados A e B conjuntos, o produto cartesiano de A e B é o conjunto A x B formado pelos pares ordenados (a, b) tal que a E A e b E B, isto é,

A x B = {( a, b); a E A e b E B}

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Função

Uma função é uma tema de objetos (f, A, B) onde A é um conjunto chamado de domínio da função, B um conjunto de contradomínio da função e f é a regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Assim uma função é uma

I - 'U - f: A ~ B '. I f A B d re açao uruvoca. sa-se a notaçao x ~ f(x)' ou sunp esmente: ~ ,on e para

cada x EA, f(x) E B é o único elemento de B associado a x por f

É conveniente referirmo-nos a f e não à tema (f, A, B), por comodidade, quando estão subentendidos os conjuntos A e B.

Duas funções (f, A e B) e (f, A', B') são Igu8.1S quando A = A',B = B' ef(x) = f'(x), V x EA.

o gráfico de uma função f: A ~ B é o conjunto G( f) = {( x, y) E A x B; Y = f( x)}. Segue-se que duas funções são iguais se, e somente

se seus gráficos coincidem e ambas têm o mesmo contradomínio.

Dadas f: A ~ B uma função, A'cAeB'cB,f(A')={f(x);XEA'} é a

imagem do conjunto A' por f e f-I(B') = {x E A; f(x) E B'} é a imagem inversa do conjunto B' por f; f(A) é chamado simplesmente de imagem de f.

Tipos de Funções

Injetiva: f: A ~ B é uma função IDJetlva quando Vx, y E A, J(x) = J(y) =>x = y, i.e., x :t; y em A implica f (x) :t; f(y) em B.

Sobrejetiva : f: A ~ B é uma função sobrejetiva quando Vy E B, :3 x E A tal que f(x) = y, i.e., f(A) = B.

Bijetiva: f: A ~ B é uma função bijetiva quando é sobrejetiva e injetiva.

Composição de Funções

Dadas f: A ~ B e g:B ~ C funções, podemos definir a função composta gof:A ~ C tal que (gofXx) = g(f(x)), Vx E A.

Observe que a composição de funções é associativa, mas em geral não é comutativa ( mesmo que o domínio seja igual ao contradomínio ); a composta de funções injetivas é também injetiva, o mesmo valendo para funções sobrejetivas.

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A restrição de uma função f: A ~ B a um subconjunto A' c A é a função

~A':A' -> B definida por ~A'(x) = f(x}, \Ix EA'. Dado X:::> A, g:X -> B é a

extensão de f quando g A = f.

Dados f: A ~ B e g:B ~ A funções, g é uma inversa à esquerda para f quando gof = id A' onde idA: A ~ A é a função identidade, i.e., idA x = x, \/x E A. Analogamente, pode-se definir inversa à direita de f como h:B ~ A tal que foh=id B ·

Temos os seguintes resultados ( cuja a demostração ficará a cargo do leitor):

"Uma função f: A ~ B possui inversa à esquerda ( respectivamente à direita) se, e somente se f é injetiva ( respectivamente sobrejetiva )".

Uma função f: A ~ B é inversível quando existe g: B ~ A função tal que

gof = id A e fog = id B • Neste caso, g chama-se a inversa de f Usaremos a notação f-I para a inversa g.

Observe que as inversas à esquerda e à direita não são únicas, enquanto a inversa é única ( verifique esta afirmação ).

Família

Dado um conjunto A, uma família de elementos de A com índices em um conjunto I é simplesmente uma função x: I ~ A. O valor de x em um elemento Ã E I

será denotado por xÀ. Assim a família pode ser denotada por (xJ ÀEI ou de forma mais

simples por (xÀ) quando o conjunto I é subentendido.

Exemplos

1) I = {I, ... , n} : uma família em A neste caso é denominada uma n-upla em A, ou seja, um elemento do cartesiano: A x. .. x A.

'-'" n-~

2) I=~ uma família em A neste caso é denominada uma seqüência em A.

3) Podemos considerar uma família de conjuntos: (AJ ÀE1 ' onde AÀ é um subconjunto

de um mesmo conjunto universo U, para cada Ã E I . Define-se neste caso a reunião

desta família como u A À = {x;::I Ã E I com x E A À} e a interseção desta família como ÀEI nAÀ={X;XEAÀ, \/ ÃEI}. ÀEI

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Exercícios Resolvidos

1) Dados a, b e x reais e E > O prove que a) la-bl <E~lal-E<lbl <lal+E

Solução: Segue da proposição 1.2 que

lal = la - b + bl $; la - bl + Ibl ~ lal-Ibl $; la - bl

Ibl = Ib - a + ai $; Ib - ai + lal ~ Ibl-Ial $; la - bl

(1)

(2)

De (1) e (2), Ilbl-lall $; la - bl. De la - bl < E segue que Ilbl-lall < E e que

- E < Ibl-Ial < E. Somando-se lal a ambas as equações obtém-se a desigualdade procurada.

Ache os valores reais de x para os quais: b) f (x) = Ix-Si +lx-31 ~ 2

Solução 1: Segue da proposição 1.2 que Ix - Si + Ix - 31 ~ Ix - s - x + 31 = 2. Logo, a

preposição vale \;Ix E 9t

Solução 2:Se x>S então f(x»2 pois Ix-31>2 e o termo Ix-si é sempre

positivo. Da mesma forma, se x < 3, f (x) > 2, pois Ix - Si > 2 e Ix - 31 > o. Por último,

para 3 $; x $; S teremos Ix - si = S-x elx - 31 = x - 3 (pela definição da função módulo).

Somando-se os termos obtém-se f (x) = S - x + x - 3 = 2. Assim, em qualquer caso, f(x) ~ 2.

2) Encontre x E m (se existir) que satisfaça: a) 12x-21=14x+31

Solução 1: Elevando ao quadrado, e lembrando que Ixl2 = x2, (2x-2)2 =(4x+3)2 ~

12x2 + 32x + S = O . Daí obtêm-se as raízes solução XI = - ~,X2 = - %. . Solução 2: Caso 1: 2x-2 ~ O ~ x ~ 1 4x+3 > O

12x-21 = 2x-2, 14x+31 =4x+3

2x-2=4x+3 ~ x=-S/2

Solução do caso 1: {-SI 2}n[I,+oo} = 0

Caso 2: 2x - 2 < O ~ x < 1 4x + 3 ~ O ~ x ~ - 3 I 4

12x -21 = -2x +2 14x +31 = 4x +3 -2x +2=4x +3 ~ x =-1/6

Solução do caso 2: {-I I 6} n[-3 I 4, 1) = {-I I 6}

14

Caso 3: 2x - 2 < O ~ x < 1 4x + 3 < O ~ x < - 3 I 4 14x +31 = -4x -3,12x -21 = -2x +2

-4x -3=-2x +2 ~ x =-S/2

Solução do caso 3: {-SI 2}1I(-00,-31 4)11(-00,1) = (-SI 2}

Solução do Problema: {-I I 6,-S I 2}

IS

Exercícios propostos

1) Prove que, dados c E 9t, dE 9t e e E 9t, tem - se:

a) Ic + di :s; lei + Idl (proposiç ã> 1.2)

b) Icdl = Ielldl

c) Se d ;:t; 0, Ic / di = lei / Idl

d) Ic - eI :s; Ic - di + Id - eI e) -Ic - di :s; leI-ldl :s; Ic - di

Sugestões: a) Escreva as desigualdades 1.3 para c, para d, e em seguida some as desigualdades

membro a membro (o que é permitido). Em seguida observe que, pela proposição LI', escrever-se -( lei + Idl ) :s; c + d :s; ( lei + Idl ) é equivalente a escrever-se Ic + di :s; lei + Idl·

b) Observe que ICdl2 = (cd)2e que tanto Icdl quanto Icl.ldl são não negativos

c) Repita b. d) Ic - el = Ic - d + d - el

e) lei = Ic-d +dl

2) Denomina-se "Princípio da Indução" uma regra de demonstração de propriedades relativas aos números naturais. Este Princípio enuncia-se da seguinte forma: "Dada uma propriedade qualquer relativa aos números naturais verifique a) se ela é válida para o número natural 1; b) se, a partir da hipótese (chamada hipótese de indução) de que ela é válida para o número natural n pode-se provar que ela também é válida para o número natural n + 1. Caso (a) e (b) se confirmem, então esta propriedade é válida para todos os números naturais".

Demonstre, usando o princípio da indução, que dado x)' x2 , ... , xn números reais (n E ~).

a) Ix) +X2+···+Xnl:s;IX)I+IX21+.··+lxnl

b) Ix) X2 ···Xnl = IX)IIX21···IXnl

3) Seja Sn a soma dos n primeiros números naturais. Demonstre por indução que

S = n(n+I) n 2

4) Demonstre por indução a desigualdade de Beumoulli: Se x E 9t, n E~ e x ~ -1,

(l+xt ~ I+nx

5) Verifique (caso existam) quais os valores de x E9t que satisfazem a: a) Ix-31<2 b) Ix-31+lx-21<I c) Ix-31+lx-21=I

d) Ix-31 < IX-41 e) Ilx-III < 3 f) IX-Illx-21 > 5

x-2

16

6) Define-se a distância entre dois vetores do 9tn x e y como d(x,y) = Ilx - yll. Calcule

a distância entre os vetores:

a) (1,2,3) e (5,6,7) b) (0,0,0) e (1,2,3)

Faz sentido falar na distância entre x = (0,0,1) e y = (l,O)?

7) Sabendo-se que p e q são enunciados verdadeiros, verifique o valor lógico dos enunciados abaixo:

i) ( (p e q) => r) => (p => (q => r))

ii) p => - q e r

iii) ((p ou r) => q) => (r => p)

iv) (p e q) => (p => - q)

8) Sabendo-se que p => q é um enunciado falso, qual valor deve-se atribuir a r para que o enunciado abaixo seja falso?

(p ou q => r) => p e q

9) Usando a tabela dos valores lógicos, examinar a validade das conclusões:

i) Se Antônio precisar de dinheiro reduzirá os gastos ou fará empréstimos. Sei que Antônio não fará empréstimos. Logo se Antônio não reduzir os gastos é porque não precisa de dinheiro.

ü) Sabe-se que quando o déficit público sobe, a inflação sobe. Logo se o déficit público não subir então a inflação também não subirá.

10) Verifique quais dos enunciados abaixo são equivalentes ao enunciado:

- (p ou q) => (q => r)

i) - (q => p) =>- q ou r

ii) (-pouq)=>-(qou-r)

iii) - (- q ou r) => (q => p)

iv) q => (p ou r)

17

11) Identifique os enunciados verdadeiros e os falsos.

a) 3xp~(Vx(p~q))

b) 3x(pouq)~3x(peq) c) Vxp~3xp

d) 3x(pouq)~3xpou3xq

e) 3 x (p ~ p ou q)

f) 3xq ~ Vx(p ~ q)

12) Dê o valor lógico dos enunciados abaixo, considerando o conjunto universo especificado em cada caso.

a) V x (x < x + 1)

b) Vx(2x2 +3x+ 1 = o) c) 3x{x = O)

d) 3x 3y(x = 2y)

e) Vx 3y(x+y=0)

f) Vx 3y(y > x)

g) 3x 3y(x < y)

u=9t U=N

U = {O, I} U = {0,I,2}

U=Z

U= {0,I,2}

U=Z

13) Demonstre ou dê um contra-exemplo

i) Sejam A,B conjuntos

a) AuB=A~BcA

b) AnB=A~AcB

c) Au(BnC) = (AuB)n(AuC)

d) An(BuC) = (AnB)u(AnC)

~~-~u~-~=~u~-~n~

f) AcB~Bc cAc

g) (AnBY = AC uBc

h) (AnBY = A C uBC

i) AcB~AnBC =0

18

li) Sejam f:A~B função, X, YcA, Z,WcB conjuntos

a) f(XuY) = f(X)uf(Y)

b) f(Xí'I Y) c f(X)í'lf(Y)

c) f(X)í'lf(Y) c f(Xí'I Y)

d) X c Y <:) f(X) c f(Y)

e) Z cW <:) f-l(y) C f-l(Z)

t) r-1(CZ) = Cf-1(Z)

g) f-l(ZUW) = f-1(Z)uf-1(W)

h) f-I (Zí'lW) = f-1(Z)í'lr-1(W)

14) Dados A e B conjuntos, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

i) X~A e X~B

li) se Y ~ A e Y ~ B então Y ~ X

Prove que X = AuB

15) Prove as seguintes afirmações:

a) (AuB)xC=(AxC)u(BxC);

b) (Aí'lB) x C = (Ax C)í'I(Bx C);

c) (A-B)xC=(AxC)-(BxC);

d) AcA',BcB':::::>AxBcA'xB'

19

, CAPITULO II

, -ALGEBRA LINEAR E APLICAÇOES

1) Espaços Vetoriais, Ortogonalidade, Autovalores e Autovetores

Em tennos infonnais, um espaço vetorial é um sistema algébrico abstrato cuja

construção se deve a sua utilidade na solução de certos problemas. Particulannente, tal

utilidade se dá quando se deseja considerar um conjunto de elementos que serão

objetos de combinações lineares. Tal sistema algébrico constitui-se de a) um corpo de

escalares que no nosso caso serão os reais ou os complexos; b) um conjunto V de

objetos, chamados vetores; c) uma regra de soma destes vetores satisfazendo às

propriedades (para quaisquer x, y, e z pertencentes a V):

c 1) comutativa: x+y = ytx

c2) associativa: x+(y+z) = (x+y)+z

c3) existência do elemento neutro O: x+O = x para qualquer x em V

c4) existência de simétrico aditivo: dado x E V, :J um elemento de V (que

chamamos de -x), tal que x +( -x) = O

d) uma regra de multiplicação de um vetor por um escalar, satisfazendo às

propriedades (para a e b escalares quaisquer e x e y vetores quaisquer de V) :

dI) 1.x = x

d2) Associatividade: (ab)x = a(bx)

d3) Distributividade em relação aos vetores: a(x+y) = art-ay

d4) Distributividade em relação aos escalares: (a+b)x = art-bx

Se o conjunto de escalares considerado for o corpo dos reais, o espaço vetorial

considerado é dito um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. De fonna genérica, se

os escalares correspondem ao corpo K (veja a definição da estrutura algébrica "corpo"

em algum livro de análise matemática ou álgebra), o espaço vetorial é dito um espaço

"sobre o corpo K". Os exemplos mais usuais de corpo são os reais (9t)e os complexos

(C).

Um espaço vetorial importante é o espaço euclidiano n-dimensional,

constituído de n-uplas de elementos de um corpo neste espaço; os vetores são

somados somando-se coordenada a coordenada, o mesmo ocorrendo com respeito à

multiplicação de um vetor por um escalar.

flJND,\ÇAO GETULIO VAR(;AS .tBUOl ECA MARIO HF...~RlQUE SIMO~Sg.

20

Dado x = (Xt>X2, ... ,Xn) E 91n (O que significa dizer que x 1,x2 , ••• ,x" são

números reais), y = (y I'Y 2' ···,Y ") E 91" , e a E 91, tem-se:

x+ Y = (xl + Yt. x2 + Y2,···,xn + Yn) e

ax= (axt.ax2, ... ,ax,,)

o leitor pode verificar que estas operações satisfazem aos reqUlsltos

c1- c4 e d1- d4 de um espaço vetorial. Diz-se que x e Y são vetores do espaço

vetorial 91n , onde o elemento neutro da adição é o vetor 0= (0,0, ... ,0) e o simétrico

aditivo de x = (xJ,x2, ... ,xn)é dado por (-xJ,-x2' ... '-xn).

Outro exemplo de espaço vetorial, onde os elementos do conjunto (vetores)

são funções, é o conjunto de todas as funções de um certo conjunto não vazio S sobre

um dado corpo K. Se f e g são funções de S em K definem-se soma de dois vetores e a

multiplicação de um escalar por um vetor neste espaço fazendo-se:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(af)(x) = af(x),

onde x ES e a EK

(1) e

(2)

Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e S c V não vazio. Dizemos

que S é um subespaço vetorial de V se ele mesmo é um espaço vetorial com as

operações induzidas do espaço vetorial. Ou equivalentemente, quando

x, y E S e a, J3 E K implicar J3x + ay E S.

Produto Interno, Ortogonalidade e Projeção Ortogonal

Define-se produto interno no espaço euclidiano 91n como uma função que a

cada dois elementos x e Y de 91n associa um número real (x ,y ). Tal função deve

satisfazer às seguintes propriedades (para quaisquer vetores x, Y e z de 91n e qualquer

real a):

1) (x,y+z) = (x,y)+(x,z)

2)(ax,y) = a(x,y)

3)(x,y) = (y,x)

4) Se x;to 0, (x,x) > ° Desigualdade de Cauchy - Schwarz: Seja V um espaço vetorial real com produto interno . Então:

21

I( x, y)1 ~ Ilxllllyll

onde Ilxll = ~(x,x)

Demonstração: Sejam A = Ilx112, B = I(x, y ~ e C = Ily112. Para todo real r, temos que

° ~ < x-ry, x- ry > = < x,x > -2r< x,y -> + r 2 < y,y >. A - 2 Br + Cr2 ~ 0, \I r E 9t Se C = 0, A ~ 2 Br, \Ir E 9t, logo B = ° Portanto,

pOIS caso contrário teríamos um absurdo fazendo r suficientemente grande (por exemplo r > A/2B). Se C > 0, tome r = B/C na expressão acima obtendo então B2 ~ AC. Resumindo, B2 ~ AC se C = ° (pois neste caso B = O) e B2 ~ AC se C > O. Em qualquer caso, obtém-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

A definição mais usual de produto interno (chamado de produto interno

euclidiano) consiste em se fazer, para

x = (x 1 ,x 2'··· ,x n) e Y = (y 1 ,y 2'··· ,y n),

(x ,y) = X 1Yl +X~2+···+X nY n

Dois vetores x e y num espaço vetorial com produto interno são ditos

ortogonais entre si se o seu produto interno é igual a zero. Assim, os vetores x = (0,1)

e y = (1,0) são ortogonais pois (x ,y) = 1.0 + 0.1 = O. Define-se projeção ortogonal de

um vetor y sobre um vetor x:;é{} como o ponto colinear ao vetor x de mínima distância

do vetor y. O desenho abaixo ilustra este ponto:

) x

Na figura, ExY é o ponto colinear ao vetor x à mínima distância do vetor y.

Fica evidente na figura o porquê da denominação de ExY como projeção ortogonal de

y sobre x. Um teorema que demonstraremos neste capítulo nos garante que, para que

ExY seja o ponto colinear a x de mínima distância de y, é necessário e suficiente que

Y - ExY seja ortogonal a x. Daí o nome projeção ortogonal.

Em particular, já sabemos que ExY = ax , pois ExY é colinear a x .A questão

que se coloca é: como calcular o valor de a ? Basta usar o teorema enunciado e a

definição de ortogonalidade. Devemos ter

22

(y -ExY,x)=(y -ar,x)=O

Das propriedades enunciadas de produto interno segue que

( ) () (y,x)

y, x = ax, x => a = -( -) . X,x

Passemos a um exemplo numérico: Seja x = (1,0) e y = (3,3)

y(3,3)

x (3,0)

Intuitivamente, não é dificil perceber que ExY deve corresponder ao

vetor (3,0). Usando a fórmula acima, ExY = a (1,0), onde

a=(3.1 +3.0)/ 1.1 =3

Projecões Ortogonais Sobre Subespacos Gerados

Seja W um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V definido sobre um corpo K. Dados x), ... , x p vetores em V, uma combinação linear destes é qualquer

vetor da forma a)x) +a2 x 2 + ... +apxp , ondea), ... ,ap EK. PeloquevimosantesWé

um subespaço quando dados quaisquer x e Y em W e a, b escalares em K, ar + by

pertencer a W. Desta definição, é imediato que todo subespaço deve conter a origem,

pois em particular podemos tomar a = b = o.

Dado um subconjunto finito C de um espaço vetorial V sobre o corpo K,

define-se o subespaço gerado por C (W (C)) como o conjunto de todas as

combinações lineares finitas de elementos de C.

Diz-se que um conjunto de vetores C é linearmente independente (L. I. ) quando

v), ... ,vn EC e a)v) +llzv 2 + ... +anv n =0 implica a) =a2 = ... =an =0. Caso contrário,

diz-se que tal conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.). Um conjunto de

23

vetores é gerador do espaço vetorial V quando qualquer vetor de V pode ser escrito

como uma combinação linear de um subconjunto (finito) de vetores deste conjunto.

Por definição, uma base do espaço vetorial V é um conjunto gerador de V que seja

linearmente independente. Uma base ordenada é uma base cuja ordem de seus elementos é bem definida, por exemplo, BI =; {(O, I), (I,O)} e B2 = {(1,0),(0,1)}

representam duas bases ordenadas distintas de 9{2. Um espaço vetorial diz-se de

dimensão finita quando admite um gerador finito. Caso contrário, diz-se que o espaço

vetorial é de dimensão infinita. Nos espaços vetoriais de dimensão finita, a dimensão

do espaço é dada pelo número de vetores de qualquer uma de suas bases. Tal definição

é sempre precisa, pois o número de vetores de qualquer uma das bases de um espaço vetorial de dimensão finita é sempre o mesmo. Se (vl>"" v p) é a base ordenada de um

espaço vetorial V sobre um corpo K, não é dificil mostrar que para cada vetor yEV existem únicos al>'" ap E K tais que y = aI v 1+' .. +ap v p; (aI"'" a p ) serão chamados de

coordenadas do vetor y na base (v I , ... , v p) .

Um problema que ocorre frequentemente em economia é o de encontrar um

ponto num subespaço gerado por um conjunto de vetores do 9{n à mínima distância

de um dado vetor y. Define-se este ponto à mínima distância de y no subespaço gerado

como projeção ortogonal de y sobre o subespaço. É claro que se y pertencer ao

subespaço gerado pelo conjunto de vetores, a solução é o próprio ponto y. Também

não oferece qualquer dificuldade adicional o caso em que o conjunto de vetores

geradores do subespaço é composto de um só vetor. De fato, este é exatamente o

problema que resolvemos anteriormente ao achar o escalar a tal que ExY = ax.

Vejamos agora como estender o problema ao caso em que o conjunto gerador

do subespaço projetivo é formado por p (p > I) vetores. Para isto, utilizaremos o

teorema I. I (cujo resultado já utilizamos explicitamente na solução do exercício

anterior) e o teorema 1.2 abaixo:

Teorema 1.1. Sejam W subespaço vetorial do 9{n e Xo E 9{n. y = Ewxo é o ponto a

menor distância de Xo em W se, e somente se Xo - Y é ortogonal a W, i.e.

(xo -y,x) = O, \Ix EW.

Demonstração: Um ponto y EW será a projeção ortogonal de Xo em W, ou seja, o

ponto em W à mínima distância de Xo se, e somente se lixo - yll ::;; lixo - xii, \Ix E W ,

ou ainda, se, e somente se lixo - yl12 ::;; lixo - (1- a)y + tn'~12, \Ix EW, \Ia E (0,1),

visto que W é subespaço vetorial. Desenvolvendo esta desigualdade vem que

24

(Xo -y, Xo - y) ~ (Xo - y+a.(y- x), Xo - y+a.(y- x))

~ 2a.(Xo -y,y-X)+a.2(y-x,y-X) ~ 0, 'Vx e W, 'Va. e (0,1).

Dividindo por a. e depois fazendo a. tender a ° temos que

(Xo - y,y-x)~O, 'Vx eW.

Dado weW temos que y -we W (pois y eW e W é subespaço vetorial), logo

tomando x = y - w e W devemos ter (xo - y, w) ~ 0, 'Vw e W. Novamente, por ser W

um subespaço vetorial podemos substituir w por -w na desigualdade acima e obter

(xo -y,-w) ~ 0, 'Vw eW, ou seja, (xo -y, w) ~ 0, 'VweW. Destas desigualdades

segue-se que (xo -y, w) = 0, 'Vw eW, como queríamos demonstrar .•

Teorema 1.2. Seja y um vetor do espaço vetorial 9ln , onde se define a função produto

interno euclidiano. Seja W o subespaço gerado pelos vetores supostos linearmente

independentes xI, X2 , ... , X P também pertencentes ao 9ln . Então, as coordenadas

a},a2, ... ap do ponto em W à mínima distância de y (denominada projeção ortogonal

de y sobre W) são determinadas pela equação matricial

a=(ap a2, ... ,ap)'=(X'Xrl X'y ,onde a é o vetor de coordenadas com

respeito à base {x I , X 2 , ... , x p } .

Nesta equação, X é a matriz cujas colunas são os vetores XI' x2 , ... xp. Trata-se,

portanto, de uma matriz n x p ; X' (p x n) é a transposta de X; X'X é uma matriz p x p

e obviamente também a sua inversa, (X' X) -I. O símbolo ' sobre o vetor a indica que

a é um vetor coluna p x 1.

Demonstração: Denotando-se por EwYo ponto de W à mínima distância de y, temos,

de acordo com o enunciado do teorema, EwY = alxl +a2x2+ ... +apxp. Pelo teorema

1.1, sabe-se que para que o vetor EwY seja o ponto de W à mínima distância de y é

necessário e suficiente que y-EwY seja ortogonal a todo vetor de W. Isto ocorrerá, se,

e somente se y-EwY for ortogonal a cada um dos vetores geradores do subespaço W.

Assim, devemos ter, para i = 1,2, ... , p,

(y - EwY,x j) = ° ~ (y -alxl - a2x2-···-apxp,xj)= ° (y,x j ) = aI (XI ,x j)+ a2 (x2,xj )+ ... +ap (xp,x j)

25

A validade desta última equação para i = 1,2, ... , P é equivalente ao sistema:

f(XpX I) (X2,XI) ... (xp,xl) l-I (.X,.:~~.}(X'.:~~}:(~:'~:) I

I I l (xl,xp) (x2,xp) ... (xp,xp) J

f(XI,y) l I (x 2 ,y) I I········· I

I········· I I········· I l (xp,y)J

ou ainda, em notação matricial, e usando a simetria do produto interno euclidiano

(xj,Xj) = (xj'X j), "i/ I,j = 1,2, ... ,p.

(X'X) a = X'y

Como os vetores XI' X2 , ... , xp são supostos linearmente independentes, as

coordenadas da projeção de y sobre o subespaço W ficam unicamente determinadas

(veja exercício resolvido desta seção). Neste caso, pode-se garantir que a matriz X'X

acima (chamada matriz de Gram) é inversível, obtendo-se então a unicidade da

determinação do vetor a : a = (X' X )-1 X' Y .

Pelo que vimos, EwY = Xa, onde a = (X'XrIX'y. Temos então EwY = X(X'XrIX'y .

• A matriz Z = X (X ' X rI X' acima é a matriz pela qual se deve pré-multiplicar

o vetor y de forma a obter-se o seu ponto à mínima distância (projeção ortogonal) no

subespaço W. Trata-se, por definição, da matriz, na base natural do 9ln , da projeção

ortogonal sobre o subespaço W. Esta matriz Z deve ser idempotente pois, como Zy já

é um ponto de W, a sua projeção ortogonal sobre W deve ser o próprio Zy (em outra

palavras, o ponto em W à mínima distância de um ponto que já está em W é o próprio

ponto). Assim, devemos ter

Z2y = Z(Zy) = Zy. De fato, Z2 = X(X' Xr l X' X(X' Xr l X' = X(X' Xr l X' =Z.

Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores

Dados ~ e V2 espaços vetoriais definidos sobre um corpo K, uma

transformação linear T de VI em V2 é uma função de VI em V2 satisfazendo

T (ax- + y) = a T(x) + T(y)

para quaisquer vetores x e y em V, e qualquer escalar (elemento do corpo) a.

26

Se T é uma transformação linear do espaço vetorial em si mesmo diz-se

que T é um operador linear. No caso em que T leva vetores do espaço a elementos do

corpo no qual o espaço está definido diz-se que T é um funcional linear.

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e vI> v2 , ••. , VII uma base de V.

Fixada esta base ordenada, existe uma e apenas uma matriz representativa de qualquer

transformação linear T definida em V. A transformação linear T fica perfeitamente

determinada pelos valores que assume numa base qualquer de V (exercício resolvido

número 11). A matriz representativa (A) da transformação T na base (v I , V 2' ... , V n )

fica univocamente determinada pela regra: n

TVj = a lj VI +a2j v2+···+anj Vn = Laij Vi i=1

(j = 1,2, ... , n)

A matriz A é a matriz cuja j-ésima coluna representa as coordenadas, na base (vI> v2, ... , v n)' da aplicação de T sobre v j .

Seja T um operador linear definido em um espaço vetorial V sobre o corpo K.

Um valor característico (ou autovalor) de T é um escalar c em K definido de forma

que Tx = ex para algum x -:t: 0, X E V. Se c é um valor característico de T e Tx = ex

para x -:t: 0, diz-se que x é um autovetor associado ao autovalor c.

Observe-se que Tx = cx para x -:t: ° implica que (T - cI)x = ° seja satisfeito

para x -:t: 0, o que significa dizer que o operador T - cI é singular (não inversível).

A correspondência biunívoca existente entre operadores definidos em espaços

de dimensão finita e matrizes quadradas nos sugere a extensão do conceito de

autovalores e autovetores também para matrizes quadradas. Se B = (XI' X2 , ... , xn ) é

uma base ordenada de V e a matriz A é a matriz de T na base B (escreve-se A = [T] B )

então T - cI é inversível se, e somente se A - cI é inversível. Daí, se A é uma matriz

n x n definida sobre um corpo K, diz-se que c é um autovalor de A quando para algum

x -:t: 0, X E 9tn , Ax = cx. O vetor x neste caso é denominado autovetor associado ao

autovalor c. É claro que c é valor característico de A se, e somente se det (cI-A) = ° (i.e., se a matriz quadrada cI - A é singular). Definindo-se ftc) = det (cI-A) como o

polinômio característico de A (de ordem n), os autovalores podem ser encarados como

raízes do polinômio característico de A. Devido a este fato os autovalores recebem

também a denominação de valores característicos.

Dado um operador T num espaço vetorial de dimensão finita V, como definir o

seu polinômio característico? A resposta imediata seria: tome-se uma base ordenada de

27

V, acha-se a matriz representativa A de T nesta base e defina-se o polinômio

característico de T como f(c) = det (cl - A). Só resta um problema: será que f(c) assim

definido independe da escolha da base ordenada B tomada em V (e, consequentemente,

da matriz representativa de T)? A resposta é positiva, o que nos permite adotar este

procedimento.

Vejamos um exemplo dos pontos aqui discutidos. Para isto seja T um operador

linear em m2 cuja representação, na base canônica ordenada (ep e2 ) do m2, seja dada

pela matriz:

rI ° l A=lo -d o polinômio característico associado a T(ou aA) é dado por

c-I ° f(c) = det (cl - A) =

° c+l

Tem-se quej(c) = ° para c = 1 e c = -1 sendo, portanto, 1 e -los dois auto

valores de T (ou A). Tomemos agoa c = 1 e façamos para x E m2 ,Ax = 1. x. Daí, (A -

I) x = O. Temos então:

onde (1,0) é um vetor solução para o sistema diferente de (0,0). Logo, (1,0) é um

autovetor associado ao auto-valor 1. Se procedermos de forma semelhante, com

c = -1 , concluiremos que (0,1) é um autovetor associado ao autovalor -1.

o leitor obviamente perguntará se (r,O) e (O,r), onde r Em, não constituiria

uma família de autovetores. A resposta é positiva. Observe aí que os autovetores

obtidos são ortorgonais. Isto decorre do fato de A ser uma matriz simétrica.

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K, T:V~V é um

operador linear e Â. é um autovalor de T pode-se mostrar sem dificuldade que

SI = {x EV~ Tx = Â.x} é um subespaço de V chamado de autoespaço associado ao

autovalor Â.. Mais ainda, se definirmos para cada k E~ Sk = {x E V~ (T - Â.I)k (x) =

O} temos que Sk é um subespaço de V e S k c Sk+1. Como V tem dimensão finita deve

existir ko E~ tal que Sk = Sko, Vk ~ ko. Neste caso, chamaremos Sko de autoespaço

generalizado associado ao autovalor Â.. Pode-se provar que a união das bases dos

autoespaços generalizados é uma base de V.

28

Diagonalização de Formas Quadráticas

Dada uma matriz A * nx n, define-se no 9ln a função que a cada x E 9ln associa

o valor x' A *x em 9l. Como exemplo, para

Observe-se que o coeficiente de Xi x j na forma quadrática é dado por a~ + a ;i ,

sendo a~ e a;i elementos de A * . Se a~ ~ a;i pode-se sempre definir

aij = a ji = (a~ + a;J / 2 e operar-se com a matriz simétrica A = (ai}) tendo-se ainda,

neste caso, x' Ax = x~ *x. Ou seja, esta redefinição dos coeficientes não altera o valor

da forma quadrática. Dada uma matriz A * = (~ ~) podemos substituí-la por A =

G ~) e obter o mesmo valor para x'Ax ou x'A 'x, sendo a nova matriz A uma matriz

simétrica.

A passagem de uma matriz não simétrica A * a uma matriz simétrica A no

manuseio algébrico de formas quadráticas mostrar-se-á muito adequada devido às úteis

particularidades das matrizes simétricas no que diz respeito aos seus autovalores,

autovetores, e diagonalização.

No capítulo 3 deste livro utilizaremos o fato de algumas formas quadráticas

definidas por uma matriz simétrica A n x n apresentarem sempre valores positivos (ou

negativos ) para x~x, independentemente do vetor x E 9ln , x ~ O. A estas formas

quadráticas (ou, equivalentemente, às matrizes simétricas que lhes dão origem),

daremos o nome de positiva (ou negativa) definida. Esta caracterização será muito

importante, por exemplo, no estudo de máximos e mínimos de funções de várias

variáveis. Como caracterizar uma matriz simétrica como positiva definida

(Xl Ax > 0, 'v'x ~ O), negativa definida (Xl Ax < 0, 'v'x ~ O) ou indefinida (quando x~x

>0 para algum x E 9l ne y , Ay < ° para algum y E 9ln ) utilizando somente os seus

autovalores, eis o problema ao qual nos dedicaremos no restante desta seção.

29

Para simplificar a análise, seja dada uma forma quadrática xj4x com x E 912 .

Temos então, x'Ax. = ~)X)2 +(~2 +~))X)X2 +~xi. Tomemos três configurações rI Il r-I ol

numéricas para a matriz A. Na primeira, A = II 2J' na segunda A = l O _de na

terceira A = rI Il II -d· No '. . pnmetro caso, xj4x =

xi +2x; +2x)x2 =(x) +X2)2 +x; >0 para todo x:;tO. No segundo caso,

x' Ax = -x; - xi < O para todo x:;t O. E, no terceiro caso, xj4x = xi - x; + 2x) x2 ,

podendo ser negativa para, por exemplo, x = (xl, x2) = (1, -1) e positiva para

x = (x) , x2 ) = (-1, -1).

Pelo que vimos anteriormente, A é positiva definida no primeiro caso, negativa

definida no segundo e indefinida no terceiro. Embora não possamos, sem recorrer a

outros teoremas, classificar a matriz A apenas pela observação de seus elementos, uma

coisa fica evidente. No caso em que A é uma matriz diagonal (ou seja, na qual todos os

elementos fora da diagonal principal são iguais a zero), os termos cruzados x)x2 não

mais aparecerão, restando apenas os termos em x~ e x;. Neste caso, poder-se-ia rI ol r-I ol

afirmar de imediato que, por exemplo, A = lo d é positiva definida, A = lo -d

rI O l é negativa definida e A = lo _ d é indefinida (porquê? Obtenha a expressão para

xj4x). Este será o caminho que trilharemos. Como x é um elemento qualquer do 91n ,

se trocarmos x por y = Qx, sendo Q uma matriz não singular, o contradomínio de xj4x

será, evidentemente, o mesmo de yj4y. A afirmação se x' Ax > O, para \/x E91" ,x:;t O,

equivale, neste caso à afirmação se y:;t O,y' Ay > O, \/y E91n. De fato, como Q é

inversível x:;t O <=> y :;t O, e tanto x quando y podem representar qualquer vetor de

91D - {O}. Em outras palavras, uma forma quadrática definida positiva (ou definida

negativa) permanece definida positiva (ou definida negativa) quando é expressa em

relação a um novo conjunto de variáveis, desde que esta transformação de variáveis

seja não singular (dê um exemplo que mostre que, se a transformação for singular, isto

não mais ocorre). Uma solução para o problema de visualizar rapidamente a

classificação de uma forma quadrática, consequentemente, consiste em obter uma

transformação de variáveis y = Qx, Q não singular, tal que a nova matriz da forma

quadrática, B = Q'AQ, seja uma matriz diagonal.

Das técnicas de diagonalização de matrizes simétricas, decorre de imediato que

a matriz Q que atende a este objetivo é a matriz cujas colunas são formadas por auto

vetores ortonormais da matriz A (prova-se em um dos exercícios resolvidos desta

30

seção, para uma matriz A simétrica e real nxn, que sempre é possível obter-se um

conjunto de autovetores ortonormais de A que seja uma base do espaço 9tn ; prova-se

também que os autovalores de A são todos reais). Neste caso a matriz B = Q'AQ é

uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal são os autovalores (todos reais) D

de A. Neste caso, y By = L bjY~ , aparecendo somente os quadrados das variáveis, e j=i

não mais os produtos cruzados YiYj (i:;; j).

Decorre de tudo o que vimos que, através do conhecimento dos autovalores de

uma matriz A, podemos imediatamente determinar se ela é definida positiva, definida

negativa ou indefinida.

(1) x'Ax será positiva definida se, e somente se todos os seus autovalores forem

positivos.

(2) x'Ax será negativa definida se, e somente se todos os seus autovalores

forem negativos.

(3) x'Ax será indefinida se, e somente se apresentar autovalores positivos e

negativos.

Exercício: Diz-se que x'Ax é positiva (negativa) semi-definida se x'Ax ~ O (~ O) para

todo x E 9tn . Conclua da análise acima que x' Ax será positiva (negativa) semi-

definida se, todos os autovalores de A forem não negativos (não positivos).

31

Exercícios resolvidos: Seção 1

1) Seja V o conjunto de todas as funções reais definidas em um conjunto não vazio X,

isto é, V = {f; f: X ~ m}. Dadas f, g e V, k em, definimos f + g e lif em V tais que

(f + g) (x) = f{x) + g(x) e (kf) (x) = kf (x) , \:Ix e X. Verifique que V com estas

operações é um espaço vetorial real.

Solução: Vamos verificar os axiomas que definem espaço vetorial. Observe que,

nestas verificações, utilizaremos sempre as propriedades de um corpo, do qual os

números reais são um caso particular ( ao se fazer f{x) +g(x)=g(x)+f{x) em (cl), por

exemplo).

cl) Sejam f, geV, então f+g, g+feV, e (f+g) (x) = f{x) + g(x) = g(x) + f{x) = (g + f)

(x), \:Ix eX, ou seja, f+ g = g + f

c2) Sejam f, g, h e V, tem-se que (f + g) + h e f + (g + h) são elementos de V por

definição, além disso, para todo x e X, «f + g) + h) (x) = (f + g) (x) + h(x) =

(f{x) + g (x» + h(x) = f{x) + (g(x) + h(x» = f{x) + (g + h) (x) = (f +

(g + h) ) (x). Assim (f+g)+h = f+(g+h).

c3) Seja O e V tal que O (x) = O, \:Ix e X. Para toda f e V temos (f + O) (x) = f (x) + O

(x) = f (x), \:Ix e X. Assim f + O = f

c4) Dado f e V, seja -f e V tal que (-f) (x) = -f (x), \:Ix e X. Segue-se que

(f+ (-f) (x) = f (x) + (-f (x) ) = O = O (x), \:Ix eX, ou seja, f+ (-f) = o. dI) Para todo f eV, (1.f) (x) = 1. f(x) = f (x), \:Ix e X, logo 1.f= f

d2) Dados a, b em,f eV, temos que «ab) f) (x) = (ab) f (x) = a (bf(x» = a.(bf)

(x) = (a (bf) (x), \:Ix e X, donde (ab) f= a (bf).

d3) Dados a em, f,g eV, temos que (a (f+ g» (x) = a.(f+ g) (x) = a (f (x) + g

(x» = af(x)+ag(x) = (af) (x) + (ag) (x) = (af+ag) (x), \:Ix eX, ou seja, a (f+g)

= af+ ag.

d4) Dados a,h em, f eV, temos que «a +b) f) (x) = (a + b) f (x) = af(x) + bf(x) =

(af)(x) + (bf) (x) = (af+ bf) (x), ou seja, (a + b) f= af+ bf

2) Determine se os seguintes vetores formam uma base do espaço m3

( i) (1, O, 1), (1,3, O)

(ii) (1, 1, 1), (O, O, 1) (1, O, 1)

Solução: (i) Dado (O, 0,1) em3, suponha que existam a,h em tais que (O, 0,1) = a

(1, O, 1) + b (1,3, O). Tem-se que

32

r a+ b = o ~ 3b=0

l a=1

ou seja, este sistema é imcompatível, pois não se pode ter ao mesmo tempo a = O e a =

1. Logo, não é possível escrever-se o vetor (O, O, 1) como combinação linear dos

vetores (1, O, 1) e (1, 3, O), donde se conclui que (1, O, 1) , (1, 3, O) não é gerador

(e, consequentemente, não é uma base) de ~3. O leitor mais familiarizado com

Álgebra Linear terá imediatamente recordado que para se formar um gerador de ~ 3

são necessários no mínimo três vetores.

(ii) Dado (x, y, z) E~3, tomemos a, b, c E~3 tais que (x, y, z) = a (1, 1, 1)

+ b (O, O, 1) + c(1, O, 1). Tem-se que

x=a+c

y=a

z=a+b+c

logo

a=y

b =z-x

c =x-y

Assim (x, y, z) = Y (1, 1, 1) + (z - x) (O, O, 1) + (x - y) (1, O, 1),

't(x,y,z) E~3, ou seja, {(1,1,1), (0,0,1), (l,0,1)} é gerador de ~3. Observe que se x = y

= z = O, então a = b = c = O, implicando que estes vetores são também linearmente

independentes e, consequentemente, formam uma base de ~ 3 .

3) No .exercício 1, faça X = ~ e diga se os seguintes vetores são linearmente

independentes, onde:

(i) I(t) = t 2 , g(t) = cost, h(t) = t

(ii) f(t) = cos2 t, g(t) = sen2 t, h(t) = 4

(iii) f(t) = et, g(t) = sen t, h(t) = e2t

Solução: (i) Sejam a, b, c tais que af + bg + ch = O, isto é, ae + b cost + ct = O, 'tt E ~.

Em particular,

1) se t =0 então a . 02 + b . cos O + c . O = O ~ b = O

{a+c=o

2) como b = O e fazendo-se t = 1 e t = -1 teremos O a-c=

~a=c=O

Portanto, {f,g,h} é LI.

33

(ü) Como cos2 t + sen2 t = 1, \ft e 91 tem-se que

4 cos2 t+4 sen2 t-1.4 = O, \ft e 91, ou seja, 4f+ 4g - 4h = O. Isto implica que {f,g,h}

éLD.

(iü) Sejam a,b,c e9t tais que af + bg+ ch = O, ou seja

a et + b sen t + c e2t = O, \ft e 91. Sejam os seguintes "alores para t:

1) se t = O então a + c = O

2) se t = 7t então a ell + c e211 = O 11

3) se t = ~ então a e2 + b.1 + c ell = O

a = -c ~ c - ce lr = O ~ c(l- elr) = O ~ c = O ~ a = O

Ir

a e 2 + b + c elr = O ~ b = O

Portanto, {e \ sen t, e2t } é LI.

4) Seja E um operador linear em V, V espaço vetorial, tal que E 2 = E. Neste caso E é

chamado idempotente. Dada uma transformação linear T de um espaço vetorial V em

outro espaço vetorial, define-se a imagem de T como o conjunto T (V) = {T(x);x e V}e o núcleo de T como N(T) = {x eV;T(x) = O}. Mostre que:

i ) T (V), N (T) são subespaços vetoriais.

ü)E(u)=u, 't/u eE(V)

iii) Se E ~ I então E é singular (i.e., E é não inversível)

Solução: i) Seja T:V ~ W uma transformação linear, onde Ve W são espaços

vetoriais sobre um corpo K. Dados a eK, w), w2 e T (V) existem v)' v2 e V tais que

T(v)=wp e T(v2 )=W2 , assim T(av) +v2 )=a T(v)+T(v2 )=aw) +w2, logo

a w) +w2 e T(V). Portanto T(V) é subespaço de W. Por outro lado, dados

aeK,v),v2 eN(T), tem-se que T(a v)+v2 )= aT(v)+T(v2 )=aO+0=0, isto é,

aVI +v2 e N(T). PortantoN(1) é supespaço de V.I

ü) Seja u eE(V), então existe v e V tal que E (v) = u. Logo

E(u) = E(E(v» = E2(V) = E(v) = u.

iü) Como E ~ I, existe v eVtal que E (v) ~ v. Assim, E (E (v» = E (v), ou

seja, E não é injetiva, e portanto não é inversível.

I Observe O e N(T) e O e T(V) , e portanto N(T) ~ 0 e T(V) ~ 0.

34

5) Seja T: V ~ V um operador linear de um espaço vetorial V sobre o corpo K.

Suponha que c E K é um autovalor de T. O autoespaço associado ao autovalor c é por

definição L (c) = {x EV;(T-cl)x=O}, isto é, L (c) = N (T - cl). Logo L (c) é

subespaço de V (ver exercício anterior). Cada matriz abaixo está associada a um

operador do espaço euclidiano na base canônica. Encontre todos os autovalores c E 9t

e uma base para L( c) em cada caso abaixo:

rIO ° l lo 1 01 lo 1 lJ

(i) A= (ii) B =

Solução: (i) Seja c E9t autovalor de A, então

r c-100 l

det Ilo

c-I ° JI = ° => (c _1)3 = ° ° -1 c-I

=> c= 1

Isto é, 1 é autovalor de A com multiplicidade 3. Com isto queremos dizer que o

polinômio característico é divisível por (x _1)3 e não é divisível por (x _1)4.

r(c-l)x=O

Seja (x,y,Z) E L(I) ~ ~ (c-I) y = ° l-y+(C-l) z=o ~y=O (poisc=l)

Assim L (1) = {(x,y,z) E 9t3; Y = O}, ou seja, L (1) é o plano xz.

Neste caso {(l,O,O), (0,0,1)} éumabasedeL(I).

(ü) Seja c E 9t autovalor de B. Então rC-2 -2l

det l-I c _ 3 J = ° => c2

- 5c + 4 = ° => c = 1 ou c = 4

Primeiro seja (x,y) E L(I). Tem-se que -x - 2y = ° o que implica x = -2y, e,

portanto, L (1) = { (x,y) E9t 2; X = - 2y }. É fácil ver que {(- 2,1)} é uma base de L

(1). Seja agora (x,y) E L(4). Então 2x - 2y = 0, ou seja x = y, donde L (4) =

{(x,y) E 9t2; X = y} e {(1,1)} é uma base de L (4).

6) Seja Q uma matriz real quadrada de ordem n. Diz-se que Q é simétrica quando Q = Q' (isto é, se Q = (qij) então qij = qji' Se para todo x E9tn

- {O},x'Q x > 0, diz

se que Q é positiva definida. Dada Q matriz real de ordem n simétrica positiva definida, prove que (x,y)Q = x'Q y define um produto interno em 9tn

.

Prova: Vamos provar que (,) Q verifica as propriedades de produto interno:

1)(x,y +z)Q = x'Q(y +z) = x'Qy +x'Qz = (x,y)Q + (x,z)Q' Vx,y,z E9tn•

2) (ax,y)Q = (ax) 'Qy =ax'Qy = a(x,y)Q' Va E9t, Vx,y E9tn.

3) (x,y)Q = x'Qy = (x'Qy)' = y'Q'x"= y'Qx = (y,x)Q' Vx,y E9tn.

(estamos usando propriedades da transposta e a simetria de Q)

35

4) Se x Eut" - {O}, (X,X)Q = X'Q X>o (pois Q é definida positiva). Portanto, (')Q é

produto interno em utD•

7) Encontre a projeção ortogonal do vetor (l,O,I) E ut3 sobre o subespaço W = {(XI>X2 ,X3 ) Eut3

; XI +x2 +x3 = O}.

Solução: Inicialmente econtraremos uma base para W. Para isto, seja (X1,X2,X3) EW. Então (XI' x 2 , x 3 ) = (XI' x 2 ,-XI - x2 ) = XI (1,0,-1) +x2 (O, 1, -1), donde conclui-se que {(I,O,-I),(O,I,-I)} é gerador de We, por tratar-se de um conjunto de vetores LI, é também uma base de W.

r 1 , Tomemos X = l °

-1

ol IJ e y' = (1,0,1). Sabemos que a projeção dey sobre W é

-1

r 2

X(X'XrIX' = ~ 'l-I -1

1 EwY = 3" (1,-2,1)

8) Calcular o ponto à mínima distância do ponto (1,- 2, -3, -4) ao subespaço gerado pelos vetores:

a) {(I,I,2,I), (1,4,2,3), (3,9,6,7)} b) {{l,0,0,0), (O,I,O,O)} Solução: a) Sejam VI' = (1,1,2,1), v2 '= (1,4,2,3), v3 '= (3,9,6,7) e y' = (l, -2, -3, -4), W = L (vI> v2 ' v 3), ou seja, W é o subespaço gerado por vI> v2 e v3 . Observe que v3 = VI + 2v2 .

Assim, W = L (vI> v2 ) com {VI' v2 } LI.

1 1

1 4 SejaX =

2 2

1 3

X' X=[:2 12 ] 30

(X'Xr l =_1 66

[30 -12] -12 7

36

[-11] Xy= -25

1 (XXr l Xy=-

66 [-30] -43

73

i 202 Finalmente, EwY = X(X' Xr

l X'y = - 66 146

159

b) Como os vetores (1,0,0,0), (0,1,0,0,0) geram o plano das primeiras duas coordenadas tem-se que a projeção de (1,- 2,- 3,- 4) neste subespaço é (1,- 2,0,0).

9) Dada a forma quadrática S(x) = x; + x~ + 3XI X2 , i) ache a matriz simétrica A tal que

S(x) = x'Ax; ü)ache os autovetores de A e uma base do 91 2 formada por auto-vetores ortonormais de A; li) sendo Q a matriz cujas colunas são dadas por estes autovetores ortonormais, obtenha a matriz B = Q'AQ; iv) obtenha a forma quadrática x'Bx = x'Q'A Qx, cujo contradomínio é o mesmo de x'Ax e classifique-a nos termos

discutidos no texto. Solução:

rI i) A= l3/2

ü)IA-cIl= Il-c 3/21 = c2 -2c-5/4, onde IMI éodetenninantedeurnamatrizquadradaM

3/2 l-c IA - cIl = ° para cI = 512 e c2 = - I 12 Trabalhando inicialmente com c = CI , temos, fazendo (A - c/)x = 0,

r -3/2 3/2l r xll _ (01 l3/2 - 3/2J lx2J - O)

Dai obtem-se XI = x2 e o autovetor ( ..fi 1 2, ..fi 1 2 ) de norma igual à unidade.

Para (A - c2I)x = 0, temos

r 3 1 2 3 1 2l r XI l _ (OJ b/2 3/2J lx2J - °

obtendo-se XI = - x2 e o autovetor (..fi 1 2, - ..fi 1 2) de norma igual à unidade e

ortogonal ao autovetor (..fi 1 2, ..fi 1 2 ) . Estes dois autovetores formam uma base do

91 2 (vetores ortonormais são sempre linearmente independentes).

r..fi12 J2/2l iii)Q= lJ2/2 -J2/2J=Q'

Q' A = rl..fi 1 2 ..fi 1 2 lJ rI 3 1 2l = rl5..fi 1 4 5..fi 1 4 lJ ..fi 1 2 -..fi 1 2 l3 1 2 1 J -..fi 1 4 ..fi 1 4

B = Q' A Q = rl5..fi 1 4 5..fi 1 4 lJ rl..fi 1 2 ..fi 1 2 lJ = r 5 1 2 ° l -..fi 1 4 ..fi 1 4 ..fi 1 2 -..fi 1 2 l ° -1/ 2J

37

Como era de se esperar, B é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores da matriz A.

iv) x'Bx = 5/ 2x; - 1/ 2xi que, obviamente é uma forma quadrática indefinida. De fato,

x'Bx> ° para (1,0) e x'Bx < ° para (0,1). Segue do que vimos no texto que a forma quadrática x; + xi + 3X1X 2 é também indefinida (pois o contradomínio de x'Ax quando

x E9l2 é o mesmo de x'Bx).

10) Seja V um espaço vetorial sobre K. Prove que a representação de um vetor yEV numa base ordenada de V é única. Utilize este fato para justificar a inversibilidade da matriz de Gram.

Solução: Seja (v l' ... , V n) uma base ordenada de V. Suponha que a)v) +an vn = y = b)v) + ... +bn vn onde ai' bi EK,i = 1, ... ,n. Então (a)-bJv)+ ... +(an-bn)vn=O. Como (v), ... ,vn) é base segue-se que é LI, logo ai -bi = O,i = 1, ... ,n, como queríamos demonstrar. Observe que a matriz de Gram do teorema 1.2 deve ser inversível visto que fazendo y = O neste teorema teremos que a=O é a única solução do sistema: (X'X)a = X' O = O pois a é a representação de EwY na base (x) , ... ,xp ) de W.

11) Prove que uma transformação linear em espaços de dimensão finita fica unicamente determinanda pelos valores que assumem em uma base ordenada qualquer do espaço.

Solução: Sejam V; , V2 espaços vetonalS sobre o corpo K, {v I, ... , V n} base de VI e T: VI -+ V2 uma transformação linear. Então dado x E VI existem (únicos) aI , ... , an, tais que x = aI v I + ... +an v n e portanto Tx=aITvl+ ... +anTvn. Assim basta conhecermos Tv1' ... ,Tvn para determinarmos a transformação linear T.

12) Prove o teorema espectral em dimensão finita. Seja A:9l ft -+ 9l ft um operador linear simétrico, i.e., (Ax ,y) = (x, Ay) para todo X, y,e 9l ft (isto é o mesmo que dizer

que a matriz (aiiri=1 que representa o operador A na base canônica é tal que aij = aji ,

Vi, j E {I, ... , n}) onde (.,.) é o produto interno euclidiano do 9l ft . Então

i) todos os autovalores de A são reais. ü) existe uma base ortonormal (ou seja, com vetores ortogonais e de norma

igual a um) do 9l ft constituída de autovetores. Demonstração: Vamos estender o operador A:9lft -+ 9l ft para

n

Ã: Cn -+ Cn tal que se x = Laiei é um vetor arbitrário de i=1

Cn , onde ai E C, i = 1, ... , n, e {e1' ... , en} é base canônica de 9ln então n

Ãx = LaiAei . Podemos também definir o produto interno hermitiano em C" da i=1

38

n

então (x,y\ = La Ji i=)

(observe que se x, y E mn então (x, y \ = (x, y)). Neste caso é fácil ver que:

a) (X,y)b = (y,X}b' 'ix,y ECn

b) (X+y,Z)b = (X,Z)b +(y,Z)b' 'ix,y,z ECn

c) (ax,y) = a(x,y), 'ix ECn , 'ia EC

Temos também que vale (Ãx,y\ = (x, ÃY)b ' 'ix,y E cn• Seja agora I.. EC

uma raiz do polinômio característico de Ã que é o mesmo de A, visto que na base

{ep ... ,eJ de mn sobre m ou de Cn sobre C os operadores A e Ã tem a mesma matriz

de representação. Tomemos também x E cn - {O} tal que Ãx = ÂX.

Logo Se

x={ap ... ,aJ entID (x,x\ = tlail2

e como x:;t O temos que ai :;tO para algum i=)

i=I, .... ,n, ou seja, laJ >0, logo (x,x):;tO. Portanto Â=Â,ouseja,ÂEm. E isso demonstra (i).

Suponhamos agora que Â E m é autovalor de A e x E mn é tal que (A - 1..1)2 (x) = O. Temos que

A2x-2ÂAx + Â2x = O, logo O = (A2x -2ÂAx+ Â2x,x)= (A2X-2ÂAx,x)+ Â2(X,X)

= (Ax-2À.x,Ax)+ 1..2 (x, x) = IAxl2 -2À.(X,Ax)+ À.21xt = IAx-À.xI2 ,ou seja, Ax- À.x = O => Ax = À.x.

Concluí-se que o núcleo de (A - 1..1) 2 é igual ao núcleo de (A - 1..1). Em outras palavras o auto-espaço generalizado de I.. é igual ao auto-espaço de Â. Segue-se do que foi dito nesta seção que m n tem uma base de autovetores de A, porque as bases dos autoespaços generalizadas formam uma base de mn

. Resta agora mostrar que podemos escolher uma base de autovetores que seja ortonormal. Em primeiro lugar observe que se 1..), 1..2 E m são autovalores de A então dados Xi autovetor associado

ao autovalor Âi, i = 1,2, 1..) (xp x2) = (Axp x2) = (xp Ax2) = (Xp Â2X2) = Â2(Xp X2).

Como 1..) :;t 1..2 devemos ter (x)' X2)b = o. Assim, vetores pertencentes a autoespaços

distintos são ortogonais. Para mostrar o que propomos basta escolher uma base ortonormal para cada autoespaço e tomar a base do mn como a união destas bases (será base pois mn é a soma direta dos autoespaços generalizados).

39

Exercícios Propostos - Seção 1

1) Mostre que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais sobre m com as operações USU81S:

( i ) M m r n (m) conjunto de matrizes reais m x n

( ü ) Pn (m) conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n. ( li ) C = {a + bi; a, bEm}

2) Qual dos seguintes conjuntos de m3 são realmente subespaços?

(a) o plano de vetores (x, y, z) com x = O (b) o plano dos vetores (x, y, z) com x = 1 (c) os vetores (x, y, z) que satisfazem z - y + 3x = O (d) os vetores (x, y, z) com xy = O

3) Mostre que as seguintes transformações T não são lineares:

( i ) T: m2 ~ m definida por T (x,y) = (x + l).y ( ii ) T: m2 ~ m3 definida por T (x, y) = (x + 3, 5y, 2x + y)

(li) T: m3 ~ m3 definida por T (x, y, z) = (lxl,lyl,o)

4) Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, provando-a , se verdadeira, ou dando um contra-exemplo, se falsa:

( i ) Se x, y e z são vetores LI, x + Y + Z e z + x também são vetores LI. ( ü ) Se x, y e z são vetores LD então z é a combinação linear de x e y.

5) Calcule a projeção ortogonal do vetor (1, O, l)e m3 sobre os seguintes subespaços:

a)O próprio m3

b) W = {x E m3;x] +x2 +x3 = O} c)W = {x E m3;x] +x2 +x3 = O e 2x] +x2 +x3 = O} e

d) W = {x E m3;x] +x2 +x3 = O, 2x] +x2 +x3 = O e x] +x2 +2x3 = O}

6) No exercício anterior calcule os vetores x - Ewx para cada uma das projeções

efetuadas. Definindo-se a norma de um vetor y E m n por (y~ + yi + ... + y;) 1/2, o que você pode afirmar sobre cada uma das normas do vetor x - EwX nos quatro itens anteriores?

7) Verifique que a norma euclidiana satisfaz as três propriedades listadas abaixo. Utilize em sua demonstração a desigualdade de Cauchy-Schwarz I( x, y)1 ::; Ilxll·lly 11·

40

a) Se x *- O, então Ilxll > O

b) para qualquer a E 91, Ilaxll = lal Ilxll

c) para qualquer vetores x e y, Ilx + yll ~ Ilxll + Ilyll

8) Resolva o sistema AX=Yutilizando a matriz aum~ntada A'

(

1 -2 1 Y\ J A'= 2 1 1 Y2

O 5 -1 Y3

Qual a condição necessária para que o sistema tenha uma solução? A que condição o vetor Y = (y \ , Y 2 , Y 3) deve satisfazer para pertencer ao subespaço gerado pelos vetores (1,2,0), (-2,1,5) e (1,1,-1)? E para pertencer à interseção de todos os subespaços que contém estes três vetores? Estas três perguntas são equivalentes?

9) Encontre a dimensão e uma base do espaço das soluções W do sistema de equações lineares:

x+2y-4z-s= O

x+2y-2z+2r+ s= O

2x+4y-2z+3r+4s= O

10) Sejam U e W os seguintes subespaços do 914: U={(a,b,c,d); b+c+d=O},

W={(a,b,c,d); a+b=O e c=2d}. Encontre a dimensão e uma base de U, W, U n W.

11) Comente a seguinte proposição: "se x,y e z são vetores linearmente independentes, x+y, y+z e z+x também são linearmente independentes".

41

2) Equações de Diferenças Finitas e Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes

2.1) Equações de Diferenças Finitas Lineares homogêneas.

Trataremos aqui de encontrar seqüências de números reais (XO,Xp x2 ,.,,) que satisfaçam a equações do tipo:

(2.1)

onde ao, aI , ... , ao são números reais.

Tal equação denomina-se uma equação de diferenças finitas linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes. A sua solução se dá através dos seguintes passos: a) Constrói-se o polinômio característico P(r) = aoro +alrO-I+ ... +ao e encontram-se as suas n raízes, que podem ser reais ou complexas. b) A cada raiz simples ri (ou seja, que não se repete), associa-se a solução kjrjt , kj E C c) A cada raiz rj de multiplicidade m ( ou seja, que se repete m vezes ) 2 associa-se a

solução (kjl + kj2t+. .. +kjmtm-l)rj" kj E C.

d) A solução geral no campo dos complexos obtém-se somando-se as soluções associadas às raízes do polinômio característico. A solução no campo dos reais x = (xO,XI,X2, ... ,xo, ... ), onde cada Xi é um número real, que desejamos obter, obtém-se tomando-se a parte real da solução complexa.

Passemos agora ao estudo específico das equações que mais usualmente aparecem em problemas econômicos, quais sejam, as equações de primeiro e segundo grau.

1) Equação de ordem 1 axt+1 + bX t = O ab :t. O.

Dividindo-se por a, Xt+1 + (b / a) x t = O. O polinômio característico associado será dado por P(r) = r + b / a, com raíz rI = -b / a. A solução geral será então a

seqüência de números reais dada por x, = ko (-b / a)' . Fazendo t = O nesta solução

obtém-se Xo = ko, ou seja, conclui-se que a seqüência solução

(xo,xo(-b/a)l,xo(-b/a)2,xo(-b/a)3, ... ) apresenta como termo geral

x, =xo(-b/a)'.

2 Diz-se que uma raiz rj de P(r) = aor2 + aI ro-I +. .. +ao = O apresenta multiplicidade m quando P(r)

é divisível por (r - r)m mas não é divisível por (r - r)m+l.

42

2) Equação de Grau 2

ac:;t:O

o polinômio característico associado é P( r) = ar2 + br + c, cujas raízes podem ser reais e diferentes, reais e iguais ou complexas conjugadas (como supusemos que os coeficientes de (2.1), ao,ap ... an são todos números reais, pode-se mostrar que se um complexo a + J3i é raiz de P(r), o seu conjugado a - J3i também o será). Analisemos separadamente cada um dos casos. Para isto seja L\ = b2 - 4ac o discriminante de P(r).

Caso 1: Raízes reais e diferentes (L\ > O) A solução será dada por X t = k1r1

t + k2r;.

Caso 2: Raízes Iguais (L\ = O) Pelo que vimos antes, sendo r a raiz de multiplicidade dois,

X t = (k l + k 2 t)r t

Caso 3: Raízes Complexas (L\ > O) Como a, b e c por hipótese são números reais, as raízes são os complexos conjugados a + J3i e a- J3i. Temos então:

Este terceiro caso nos remete ao problema de, uma vez tendo-se achado a solução de (2.1) no campo dos complexos,obtê-Ia no campo dos reais. Tal passagem se dá:

a) Escrevendo-se os números complexos (a+ J3i) e (a- J3i) na forma polar p (cos e + i sen e) e p (cos e - i sen e), onde p = (a 2 + 132 ) 1/2

e e = arc cos (a / (a2 + (32)1/2) Im

Diagrama de Argand Gauss - Representação de a + J3i na forma polar ~ cose + i sen e)

b) Utilizando a fórmula de De Moivre

Temos então: (a± J3ir = (p (cose±i sen e)r = pt(cose t±i sen et)

xt = k l pt(coset+i senet)+k2 pt(coset-i senet)

xt = pt«k l + k2)coset +(k l - k2)i sen et)

43

Nesta solução p\ cos e t e sen e t são números reais, enquanto que k l + k2 e (kl - k2 )i são complexos. Tomando-se a parte real, obtém-se a solução de xt no campo dos reais,

Xt = pt(A I coset+A 2 senet), (2.2)

onde AI = Re (kl + k2 ) e A 2 = Re «kl - k2)i)

Vejamos um exemplo numérico deste último caso. Para isto, seja a equação de diferenças finitas Xt+2 - Xt+1 + xt = O com as condições iniciais dadas xo=l e x}=1/2 cujo polinômio característico associado:

P( r) = r2 - r + 1

tem raízes ri = 1/2+(/3 /2)i e r2 = 1/2-(.J3 /2)i. Temos p = (1/4 + 3 / 4)\12 = 1 e e = x / 3 rad. Dai obtém-se a solução, de acordo com (2.2), xt = A I cos (x / 3)t + A 2 sen (x / 3)t, onde as constantes A I e A 2 obtém-se a partir das

condições iniciais Xo e XI'

Fazendo-se Xo = 1 e XI = 1/2

1- A - I

1/2 = AI.{l/2) + A2 .(/3 /2)

donde se obtém A I = 1 e A 2 = O. Neste caso, a solução se dá por x t = cos (x / 3) 1.

Os possíveis erros na solução de equação de diferenças finitas podem ser evitados checando-se as soluções obtidas. Vejamos como proceder utilizando o exemplo anterior. A equação a ser resolvida nos diz que:

Dada a nossa solução x t = cos (n-l 3)1

Xt+1 = cos «7i / 3) 1+ 7i / 3) = COS (7i / 3)1 COS (7i / 3) - sen (7i /3)1 sen (7i / 3)

x t+2 = cos «7i / 3) I + 27i / 3) = COS (7i /3)1 COS (27i / 3) - sen (27i /3). sen (7i / 3)1

ou ainda, tendo em vista que :

cos 7i / 3 = 1/ 2, cos 2 7i / 3 = - 1 / 2, sen 7i / 3 = sen 2 7i / 3 = /3 / 2 ,

Xt = cos (x / 3)t

Xt+1 = (1/2) cos (x / 3)t - (.J3 / 2) sen (x /3)t

Xt+2 = (-1/ 2)cos (x/ 3)t- (/3 / 2). sen (2x /3)t

Observa-se claramente que a solução satisfaz a xt+2 - xt+1 + x t = O bem como às condições iniciais Xo = 1 e XI = 1 /2.

44

2.2) Equações de Diferenças Finitas Lineares Nilo HomogênetlS

Uma equação de diferenças finitas linear de ordem n é dita não homogênea quando se tem:

(2.3)

sendo j{t) uma função de t não identicamente nula. A sua solução geral obtém-se somando-se à solução geral da equação homogênea correspondente (2.1 ) (que se obtém fazendo-se j{t) = O em (2.3» uma sua solução particular. Isto decorre de dois

fatos facilmente verificáveis; a) se {y!} e {y;} são soluções de (2.3) , {y!.:... y;} I é

solução de (2.1) e b) se {Yr} I é uma solução qualquer de (2.3) e {y I} é uma solução da

equação homogênea correspondente, então {Y 1+ yr} I é uma solução de (2.3).

Tomemos inicialmente a equação homogênea anteriormente apresentada a xI+1 + b XI = O e a sua correspondente versão não homogênea:

a xI+1 + b XI = f(t)

Analisemos alguns casos:

a)f(t)=k:toO

Neste caso devemos tentar inicialmente a solução particular constante S. Substituindo y 1+1 = Y I = S na equação acima, aS + bS = k ~ S = k / (a + b) para a + b :to o. Se a + b = O devemos tentar a solução particular St ao invés de S. Neste caso Y 1+ 1 = S( t + 1) = St + S, Y I = St o que nos leva a aSt + aS + bSt = k obtendo-se daí (como a + b = O) S = kla

b)f(t) = ko + kt

Tentando-se inicialmente a solução particular Y I = So + St obtém-se Y 1+1 = So + St + S e aYI+I + bYI = aSo + aSt+ aS + bSo + bSt = ko + kt, ou ainda, «a + b) So + aS - ko) +«a+ b)S- k) t = o.

Como as funções y(t) = 1 e y(t) = t são, pelo que vimos na seção anterior, linearmente independentes, a igualdade acima exige, quando (a + b) :to O:

S=k/(a+b) e So =(1/(a+b»(ko-k/(a+b»

o leitor deve verificar por conta própria que quando a + b = O a solução particular a ser tentada é do tipo (So + St)t.

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Como vimos acima, cada exemplo exigiu o estudo de dois casos; um no qual a + b = O e outro no qual a + b * O. De fonna geral, esse processo pode ser abreviado observando-se o seguinte teorema, muito útil no cálculo de soluções particulares:

Teorema 2.1. Se, na equação (2.3) ao Yt+n +a) Yt+n-) + ... +anYt = f(t),f(t) é da fonna (ko + k) t + k2 e + ... + kp t P )ct então existe uma solução particular da fonna:

a) (So + S) t + S2 e + ... + Sp t P )ct, se c não é raiz do polinômio característico P(r), ou

b) (So + S) t + S2 e + ... + Sp t P )tmct, se c é raiz de multiplicidade m de P(r).

Observe que no caso (a) em que analisamos tínhamos sempre c = 1, pois k = k.lt e

ko + kt = (ko + kt) l t . Assim a solução no caso (a) foi uma constante no caso em que 1 não é raiz do polinômio ar + b = O (o que ocorre se, e somente se, a + b * O). Como no caso analisado a multiplicidade máxima possível de uma raiz é igual a 1 Gá que P(r) é um polinômio do primeiro grau), no caso em que 1 era a raiz de P(r) (ou seja, quando a+ b = O) bastou tentar-se a solução So. t l .1t = So t. O mesmo procedimento foi usado no exemplo b.

c) f(t) = k cose t

Como regra geral, neste caso, devemos utilizar a solução particular Y t = So cos e t + S) sen e t. Obtém-se: Y t+) = So cos (e t +e) + SI sen (et +e), ou ainda, Y t+1 = So (cos e cos e t - sen et sen e) + SI (cos e sen e t + sen e cos e t)

Fazendo-se aYt+) + bYt = k coset, obtém-se

(a(So cose+s) sene)+bSo-k)coset+

(a(-So sene+S) cose) + bS))senet = O'

Decorre desta expressão e da independência linear de cos e t e sen e t o sistema:

(So cose+s) sene)a+Sob = k

(-So sen e+ S) cose)a+S) b = O

de onde se obtém as soluções para a e b, quando

A = (So cose+s l sene) S) - So(-So sene+s) cose) * O a = kSI / A e b = -k(-So sene+S) cose)/ A

Procedimento semelhante adota-se para f(t) = ksenet ou f(t) = k) coset+k2 senet.

O método acima apresentado para as diferentes fonnas da função !tt) utiliza-se da mesma fonna quando se passa às equações de diferenças finitas de ordem mais

46

elevada, como por exemplo à equação a Y H2 + b Y HI + C Y t = f( t). Se f{ t) é constante, a

solução particular será uma constante se o número 1 não for raiz de P( r) = ar2 + br + c, uma constante vezes t se 1 faz raiz de multiplicidade 1 de P(r) e uma constante vezes e se 1 for raiz dupla de P(t). Da mesma forma, se f(t) = ko + k l t as soluções

possíveis, nos três casos analisados, são So + SI t, (So + SI t)t e (So + SI t) e. Se f(t) é do tipo (ko + k l t) c\ sendo c um número real, as so1uções possíveis são (So + SI t) ct

se c não for raiz de P(r), (So + SI t) tct se c for raiz de multiplicidade 1 de P(r) e

(So +SI t)ect se c for raiz dupla de P(r). Deixamos para o leitor a formulação e resolução de exercícios numéricos a este respeito.

Cálculo da(s) Constante(s)

A última etapa na obtenção da solução de uma equação de diferenças finitas é sempre o cálculo da(s) constante(s). Deve-se tomar cuidado, no cálculo das equações não homogêneas, de só se calcular o valor das constantes uma vez obtida a solução geral da equação não homogênea, e não utilizando-se a solução da homogênea associada.

Vejamos um exemplo numérico. Para isto, tomemos a versão não homogênea da equação YH2 -Yt+1 +Yt anteriormente apresentada3 , com as mesmas condições iniciais, Yo = 1 e Y I = 1 / 2. Seja então a equação de diferenças:

cuja solução da homogênea associada, como já vimos, é dada por

Yt = AI cos(~)t+ A 2 sen ~)t. Como k pode ser escrito sob a forma klt e 1 não é

raiz de P( r) = r2 - r + 1, a utilização do teorema nos permite concluir que há uma

solução particular da forma Y t = Y t+1 = Y H2 = So· Por substituição, temos então So = k.

Segue daí a solução particular k e a solução geral da não homogênea

Estamos agora prontos para o cálculo de A I e A 2. Fazendo-se

Yo = 1 e Y I = 1 / 2,

Yo=I=AI+k

Y I = 11 2 = (1 / 2) A I + (.fi / 2) A 2 + k

de onde se conclui que:

3 Evidentemente, é irrelevante se utilizamos x ou y para caracterizar a equação de diferenças.

47

2.3) Estabilidade de Equações de Diferenças Finitas Linetll'es

Uma equação de diferenças finitas não homogênea é dita estável quando a equação homogênea associada for estável. Uma equação homogênea, por sua vez, é

dita estável se, e somente se, toda sua solução {Y t} for tal que lim Y t = O t t-..o Em outras palavras, uma solução {Ytt de úma equação de diferenças finitas

linear será dita estável quando a solução da homogênea associada converge para zero ao se fazer t tender a mais infinito.

Analisemos separadamente as equações de primeira ordem. No caso da equação de primeira ordem aYHI + bYt = f(t), a solução da homogênea associada será

dada por Y t = k o ( - Y-) \ donde se obtém lim ( - Y-r igual a zero se, e somente se t-..o 1- Y-I< 1. Ou seja, a equação ay HI + by t = f( t) é estável se, e somente se 1- Y-I< 1.

Tomemos agora a equação de segunda ordem aYH2 +bYHI +CYt = f(t), cUJa solução da homogênea associada será dada por:

k l rlt + k2 r;, quando b2 - 4ac > O

(kl + k2t)r\ quando b2 - 4ac = O, ou

pt(A I coset + A 2 senet), quando b2 - 4ac < O.

Em qualquer dos três casos, o sistema será estável se, e somente se, todas as raízes do polinômio característico forem, em módulo, inferiores à unidade. Isto é claro quando b2 - 4ac ~ O e decorre, quando b2 - 4ac < O, do fato de:

a) A I coset + A 2 sen e t ser uma função limitada e

b) p = Irll = Ir21, sendo rI = a. + ~i e r2 = a. - ~i as raízes complexas do polinômio

característico P( r) = ar2 + br + c.

O teorema seguinte estabelece condições necessárias e suficientes, em termos dos parâmetros a, b e c, para que as raízes do trinômio do segundo grau P( r) = ar2 + br + c sejam todas, em módulo, inferiores à unidade. Pelo que acabamos de ver, estas condições são também necessárias e suficientes para que a solução de aYH2 + bYHI +CYt = f(t) seja estável.

Teorema 2.2. Para que o trinômio de segundo grau P(r) = ar2 + br + c, a> O, apresente raízes rI e r2 com módulo inferior à unidade é necessário e suficiente que se verifique o conjunto de restrições R:

1) P(l) = a + b + c > O 2) P( -1) = a - b + c > O e 3) c<a

Demonstração: 1) Necessidade: Irll < 1elr21 < 1 =>R.

48

Suponhamos inicialmente o caso em que b 2 - 4ac > O . Decorre de

Irll < 1 elr21 < 1 que ambas as raízes do trinômio estão no intervalo (-1,1), e, consequentemente o conjunto dos valores de r para os quais P(r)<O está contido em (-1,1). De fato, P(r) pode sempre ser escrito sob a forma a(r-rIXr-r2), donde se conclui que P(r)<O para ri < r < r2. Decorre daí que P(l)=a+b+c>OeP(-l)=a-b+c>O. É imedÍato que a hipótese implica

Irlllr21 = Irl r21 < 1 e consequentemente Icl < lal, já que c/a é igual ao produto das raízes.

Como a>O, laI = ael~ < lal implica c<a. Se b2 -4ac = Oerl é raiz única de P(r), segue

(como a>O) que P(r), =a( r - rl)2 > O para qualquer que seja r :;t: ri. Como Irll < 1 implica

ri :;t: 1 e ri :;t: -1, segue que P(l »0 e P( -1) > o. A demonstração de que cla< 1 é idêntica

ao caso anterior, substituindo-se Irlllr21 por IrJ.

Por último analisemos o caso que b2 - 4ac < O. Neste caso o trinômio ar2 + br + c não apresenta raízes reais. Segue que P(r»O para qualquer que seja r, visto que sempre existe r tal que P(r»O (tome r = O e lembre que b2 - 4ac < O com a > O implica c >0 ) e que se, para algum r, P(r) fosse inferior a zero, pelo teorema do valor intermediári04 P(r) apresentaria raízes reais. Segue que P(1)=a+b+c>OeP(-I)=a-b+c>O. Por último, como por hipótese o trinômio possui coeficientes reais, as raízes ri e r2 são complexas conjugadas e

IrlIIr2I = Irl12

= Ir212

= 1%1. Daí conclui-se, como Irll < 1, h 1< 1 e a> O, que c < a.

2) Suficiência: R ~ Irll < 1 e 1r21 < 1.

Iniciaremos supondo b2 - 4ac > o. De c / a < 1 conclui-se que ri r2 < 1 e, como P(I) > O e P(-I) > O, que pelo menos uma das raízes situa-se no intervalo (-1, 1). Sem perda de generalidade, suponhamos que esta raiz seja ri. Como P(r) = a (r -fi) (r -r2) segue que P(1) = a (1- ri) (l-f2) > O implica r2 < 1 e que P(-I) = a (-1- ri) (-I-r2) > O

implica r2 > -1. Conclui-se que Irll < 1 e If21 < 1. Se b2 - 4ac = O segue de c / a < 1 que

rl2 < 1 e, conseqüentemente, Irll < 1. Quando b2 - 4ac < O, c / a < 1 implica

IrJ < 1 e Ir212 < 1 e, conseqüentemente, Irll < 1 e Ir21 < 1.

Vejamos alguns exemplos de aplicação do teorema.

a) 6Yt+4 + 7Yt+3 +Yt+2 = ct, sendo P(r) = 6r2 + 7r+ 1, P(I) = 6+ 7 + 1 = 14, P( -1) = 6 - 7 + 1 = O, % = ){ < 1

A solução não é estável, tendo em vista que a condição P( -1 »0 não é satisfeita. De fato, uma das raízes do trinômio característico é igual a menos um, cujo módulo não é inferior à unidade. A solução da homogênea associada será dada por

4 Veja o próximo capítulo para maiores detalhes.

49

cujo limite quanto t tende a infinito é diferente de zero.

b) Y t+2 - Y t+ 1 + Y t = 0, Yo = 1, onde P( r) = r2 - r + 1, P(I) = 1, P(-I) = 3 e c / a = 1.

A solução não é estável pois a condição (y.) < 1 não é satisfeita. De fato, já

vimos que a solução desta equação é dada por Y t = cos(~)t que não converge para

zero quando t tende a mais infinito.

c) 6Yt+2 + 6Yt+l + lYt = 0, sendo P(r) = 6r 2 + 6r + I,P(I) = 13,P(-I) = 1 e c/a = 1/6 é

estável, pois satisfaz ao conjunto de restrições .

2.4) SistemllS de Equações de Diferenças Finitas -Primeira Abordagem

Trataremos nesta seção de sistemas homogêneos do tipo (onde a 12 :;t: ° ou a 21 :;t: O):

Xt+l = allxt + a12Yt (2.4)

Yt+l = a21xt +a22Yt

Nessa primeira abordagem, apresentamos a técnica de substituição, que nos

remete de volta à solução de equações de diferenças finitas de ordem mais elevada, e a

uma técnica alternativa, quando se substituem soluções pré-definidas no sistema

original objetivando-se determinar algumas condições a que a solução do sistema deve

satisfazer. Embora não abordemos o caso em que o número de equações é superior a

dois, a extensão de qualquer uma destas técnicas para este caso não apresenta

problemas. Na seção seguinte apresentaremos um método mais geral, que justifica o

segundo método aqui apresentado através da utilização de alguns resultados básicos da

álgebra linear.

No sistema acima, supõem-se dados os valores de Xo e Yo. A passagem ao caso

não homogêneo se dá nos mesmos moldes descritos na seção anterior.

O primeiro método de solução consiste (para a12 :;t: O) em se tirar o valor de Y t

na primeira equação e na segunda (se a12 = 0, opera-se desta forma com Xt na segunda

equação). Tem-se:

Substituindo-se estes valores na segunda equação,

Xt+2 - (ali + a 22 )x t+1 + (a ll a 22 - a21al2)xt = ° O método de substituição reduz um sistema de duas equações de primeira

ordem a uma equação de diferenças finitas de segunda ordem, cuja solução explícita e

50

condições de estabilidade já conhecemos. A partir da solução para X t, obtém-se a

solução para Y t. Este método, embora simples, possui a desvantagem de uma solução

sequenciada, em que primeiro obtém-se a solução para uma variável e depois a solução

para a outra variável.

Um método alternativo, cuja intuição veremos na próxima seção, consiste em

se trabalhar de antemão com as soluções propostas xt =Alrt eYt =A2r\comAI :;tOeA 2 :;tO. Substituindo-se estas soluções em (2.4)

obtém-se

ou ainda

rAlrt = allAlrt +a12A 2rt

rA2r t = a21A lrt +a22A 2rt

r r - ali - a l2 l r A I l rol

l-a21 r-a22 J lA Jrt =loJ

Sabemos da Álgebra Linear que tal sistema possui solução (A I,A 2) :;t(0,0)

para todo r se, e somente se o seu determinante P( r) =

(r-aIlXr-a22)-aI2a21 = r2 -(alI +a22)r+alla22 -a12a21 for igual a zero. Isto ocorre

quando r assume os valores rI e r2 das raízes do polinômio P(r). O leitor mais atento

perceberá de imediato a) que P(r) é o polinômio característico (em sua concepção

original apresentada na seção 1. 1) associado à matriz de coeficientes

r ali al2 l A =la21 a22 J

b) que rI e r2 são os autovalores de A, c) que (A I ,A 2) pode representar o autovetor

associado ao autovalor r = rI ou r = r2 e d) a razão pela qual temos chamado os

polinômios P(r) associados às equações aOYt+" + aIYt+,,_1 +. .. +a"Yt , que vimos

tratando de polinômios característicos. Isto decorre do fato desta última equação (2.1)

ser sempre redutível a n equações de primeira ordem cuja solução (como acabamos de

ver) passa pela determinação das raízes do polinômio característico P(r) = det (A - rI)

sendo A a matriz dos coeficientes e I a matriz identidade n x n. Observe em particular

que o polinômio obtido pelo método de substituição

P(r) = r2 - (alI + a22 )r + alla 22 - a l2a21 é exatamente o polinômio característico P(r) =

det (A - rI) do sistema de equações que lhe deu origem.

A solução prossegue tomando-se o autovalor rI e associando-se-lhe o autovetor (A \1), A ~». Fazendo-se A \1) = 1 e utilizando-se a primeira linha do sistema

(AlI (oJ r-a (rI - A\ )rt = obtém-se (r - a )A (I) = a A (I) e A (I) = I II O resultado A ° I II I 12 2 2 a . 2 12

seria evidentemente o mesmo se utilizássemos a segunda equação do sistema, ao invés

da primeira, visto que para r = rI e r = r2 a primeira e a segunda equações são

equivalentes. A solução geral do sistema , quando rI :;t r2 (hipótese com a qual temos

51

implicitamente trabalhado até aqui), obtém-se combinando-se linearmente (por meio d B B) I - - A() t - A() t - A(2) t - A(2) t as constantes ) e 2 as so uçoes X t - ) r) , Y t - 2 r) , X t - ) r2 e Y t - 2 r2·

Tem-se dados os valores de A () A (2) A () A (2) (onde também se assume A(2) = 1) , )')'2'2 ) ,

X t = B)r)t + B2r;

r) - a)) t r 2 "'7 a)) t Y t = B) . r) + B2 . r2

a)2 a)2

As constantes B) e B2 são encontradas a partir das condições iniciais X o e Yo'

Quando r) e r2 são raízes complexas conjugadas, chega-se à solução real de X t e Y t

utilizando-se o mesmo processo descrito na seção (2.2). Escrevem-se as raízes sob a

forma polar, utiliza-se o teorema de Moivre e toma-se parte real da solução.

Vejamos agora como proceder quando o discriminante do polinômio

característico (ali +a22 )2 -4(a))a22 -a)2a2) é igual a zero. Neste caso, devemos tentar

as soluções x t =(Ao+A)t)rt eYt =(Bo+B)t)r)t. Substituindo-se estas soluções

tentativas em (2.4),

r)(Ao +A)t+A)rt = a))(A o + A)t)r)t +a)2(B o + B)t)r)t

r)(B o + B)t+ B)r)t = a2)(A o + A)t)r)t +a22 (B o + B)t)r)t

Dividindo-se as equações por T)t e rearranjando-se os termos,

«Ao +A)r) -aliA0 -aI2Bo)+(A)T) -aliA) -a)2B)t = O

«Bo + B)r) - a2)A O - a 22B o) +(B)r) - a2)A) - a22B)t = O

Como as funções f{t) = te g(t) = 1 são linearmente independentes, podemos escrever

(Ao + A)r) - a liA 0 - a)2BO = O

A)T) -aliA) -aI2B) = O

(Bo +B)r) -a2)AO -a22BO = O

B)r) - a2)A) - a22 B) = O

donde se obtém:

(r) -a)))Ao+A)r) Bo=------

a)2

B) = A)(r) -all )/a)2

a2) r) Bo= Ao- B)

T) - a 22 r) - a 22 a 2)A)

B)=---r) - a22

(2.5)

(2.6)

(2.5')

(2.6')

52

Um ponto importante a observar, no caso, é que as equações (2.5) e (2.6) são

equivalentes às equações (2.5') e (2.6'). Isto significa que o sistema acima detennina B o e B I em função de Ao e A}. Substituindo-se tais valores nas soluções tentativas

Xt = (A o + A I )rlt e Y t = (B o + B I )rl

t obtém-se a solução do problema. Para mostrar

se a equivalência entre (2.5) e (2.6) e (2.5') e ,(2.6') observe que para r = r} o

polinômio característico P(r) = (r} - a ll )(r} - a 22 ) - a}2a2} se anula, ou seja,

(r} -all ) / a}2 = a 2} / (r} -a22 ). Isto mostra a equivalência entre (2.6) e (2.6'). Por

outro lado, substituindo-se (2.6') em (2.5') obtém-se

a21A o Bo=--

rI - a22

rI a21 A I

rI - a22 rI - a22

alI + a22 Mas como r é raiz única de P( r), rI = 2 ,donde se obtém que

r} - all = a22 - r}. Utilizando-se este resultado na expressão acima obtém-se (2.5).

Alguns resultados relativos à estabilidade das soluções de um sistema de

equações de diferenças finitas são apresentados na seção de exercícios propostos.

2.5) Sistemas de Equação de Diferenças Finitas. Uma abordagem Mais Geral

Na subseção anterior, quando os autovalores de A, reais ou complexos, eram diferentes, chegamos a uma solução para o sistema Xt+1 = Axt , onde Xt representava

um vetor 2 x 1 e A uma matriz real 2 x 2 com al2 a21 "# O, do tipo ,

- I pr.1 nde - (A(I) A(I») XI - arl VI + 2 V2 ,0 VI - I' 2 representava o autovetor associado ao

, autovalor r} e V2 = (A?), ~2») representava o autovetor associado ao autovalor r

2

(lembre que na notação que estamos utilizando a partir de agora o vetor x

corresponde às variáveis x e y da seção anterior).

Este procedimento, apesar de correto e claro, em cada uma de suas passagens,

tem a desvantagem de partir arbitrariariamente de uma solução previamente definida,

não permitindo ao leitor uma visão mais justificada e inteligível do processo como um

todo. Vejamos então como alocar este procedimento num arcabouço mais geral,

utilizando procedimentos canônicos de álgebra linear. Para isto, iniciamos estendendo

53

o sistema homogênio Xt+1 = Axt ao caso em que x é um vetor n x 1 e A uma matriz

real n x n: (I) _ (I) (2) (o)

Xt+1 - allxt +al2xt + ... +aloxt (2) _ (1) (2) (o) Xt+1 - a21 xt +a22 xt + ... +a20xt (2.7)

Se Xt+1 = Axp então, dado o vetor de condições tnlClaIS ,

Xo =(X~I),X~2), ... ,X~"») , temos XI = Axo,x2 =Axl =A2xo, ... ,xt = Atxo· Segue daí

que a solução de (2.7) exige o cálculo das potências da matriz A.

Trataremos aqui apenas do caso mais simples, em que A é uma matriz

diagonalizável no corpo dos complexos. Isto ocorre sempre, por exemplo, a) Se A é

uma matriz simétrica (veja exercício resolvido na seção anterior) ou b) Se os

autovalores de A são todos diferentes. Se A é diagonalizável então A possui

autovetores linearmente independentes que geram todo o espaço m n, seguindo daí

que, uma vez fixada uma base ordenada de autovetores de A, o vetor de condições

iniciais Xo pode ser escrito sob a forma:

(2.8)

onde v I' V 2 , ... V o são autovetores de A e os cj' s constantes complexas univocamente

determinadas. Como xt = A txo , temos:

Mas cjAtvj = cljtvj , pois os vj's são autovetores de A associados aos

autovalores rj. Logo a solução geral de (2.7) é dada por:

(2.9)

onde os cj 's são univocamente determinados por (2.8) (visto que (vI> V 2, ... , vo) é uma

base ordenada do mO). Observe que este foi exatamente o resultado obtido no

primeiro caso da sub-seção anterior, em que A apresentava dois autovalores diferentes.

Uma pequena complicação na solução (2.9) pode ocorrer quando a diagonalização da

54

matriz exige que se trabalhe com autovetores complexos. A saída, como vimos em

subseções anteriores, está na utilização da fórmula de De Moivre e em tomar-se,

posteriomente a parte real da solução. Um exercício resolvido ao final desta seção

para o caso 2 x 2 apresenta uma mudança apropriada de base que simplifica este

procedimento. Quando os autovalores são reais, tanto os ci ' s quantos os Vi' s podem

considerar-se definidos sobre o corpo dos reais. Neste caso, a solução (2.9) é uma

solução real, nada mais tendo a se fazer. O caso em que a matriz A n x n não possui

autovetores linearmente independentes que gerem o espaço 9ln é deixado como

exercício.

Tomemos, a título de exemplo o caso em que a matriz A é dada por [: ~l Temos IA - rI I = r 2 - 3r + 2 cujas raízes são 1 e 2 e cujos autovetores são dados por

(_11) e (~). As constantes b 1 e b2 determinam-se então fazendo-se:

onde (XI o ' x2J' correspondente ao vetor de valores iniciais das variáveis XI e x2 . Do

sistema acima temos:

(!:) = G ~) (:::) = (::: + x'o J Assim a solução do sistema Xt+1 = Axt será dada por

(::J = x'O I' t J + (x" + X • .l2'(~) Ou seja, XI = XI e x2 = (XI + x2 ) 2

1 - XI .

t o I o o o

2.6) Estabilidade de Sistemas de Equações de Diferenças Finitas.

Consideremos o seguinte sistema de equações de diferenças finitas não

homogêneas: (I) xt = A xt_1 + ht, t = 1,2, ... , e X o dado, onde

h"x, E91", 1=1,2, ... eAé uma matriz nxn.

Sabemos que a solução geral é dada pela soma de uma solução particular {xi} maIS a solução geral da homogênea correspondente (i.e., fazendo-se

ht = O \1't = 1,2, ... neste caso).

Fixemos portanto uma solução particular {xi} 1 qualquer desta equação para

algum dado inicial. Então a solução (única) do sistema acima é dada por xt = x~ + xf ,

55

onde {X:} t é a solução do sistema de equações de diferenças finitas (TI)

x t = Axt_l , t = 1,2, ... tal que Xo = X o - x~.

Definição: Diz-se que o sistema de equações de diferenças homogêneo (TI) é estável

se, e somente se toda solução deste sistema {xt } é tal que lim X t = o. Diz-se que o t t-+co

sistema de equação de diferenças não homogêneo (I) é estável quando o sistema

homogêneo associado (TI) for estável.

Teorema 2.3: O sistema não homogêneo (I) é estável se, e somente se

lim (xt - xi) = O para toda solução {xt} de (I), (i.e., para qualquer dado inicial xo)' t-+co

onde x~ é definido acima.

Demonstração: Necessidade: Basta observar que se {xt } é solução de (I) então

{Xt - xi}t é solução de (TI) pois x t = AXt_1 +ht e x~ = AX~_I +ht \it = 1,2, ... , o

que nos dá, fazendo a diferença X t - x~ = A( x t _ 1 - X~_l). Pela definição de estabilidade

para equação homogênea devemos ter lim (xt - xi) = o. t-+co

Suficiência: Seja {Xt} uma solução de (TI) com dado inicial xO• Seja {xt } uma

solução de (I) com dado inicial Xo + x~. Pela unicidade de solução de (TI) devemos ter xt = X t - x~ . Assim por hipótese lim X t - x~ = O, logo lim xt = O , ou seja, o sistema

t-+CO t-+co

homogêneo associado é estável e, logo, o sistema não homogêneo é estável..

Observações:

(i) No teorema acima não é importante qual solução particular estamos considerando

para (I).

(ü) Um procedimento similar pode ser feito para sistemas de equações diferenciais

lineares com coeficientes constantes, obtendo um teorema análogo neste caso. Os

detalhes ficam à cargo do leitor.

2. 7) Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

Trataremos aqui apenas das equações diferenciais com coeficientes constantes

do tipo: dny dn-1y dy

aO--+a l --1 +. .. +an_I-+any=O (2.10) dtn dtn- dt

56

onde ao, aI' ... ao são constantes reaiS, com aoan:;t O. O processo de solução das

equações diferenciais lineares é bastante semelhante àquele que utilizamos para a

solução das equações de diferenças finitas. Ele se baseia nos seguintes passos:

a) Associa-se à equção (2.10) polinômio característico

P(r) = aoro + alr O-

1 + ... +ao_lr + ao e encontram-se as suas raízes, complexas ou reais.

b) A cada raiz simples 'i associa-se a solução kjef;t, kj E C.

c) A cada ratz rj de multiplicidade m associa-se a solução

(ki. + kjJ+. .. +kj• tm

-I

) erjl

, kh E C.

d) A solução geral no campo dos complexos obtém-se somando as soluções associadas

às raízes do polinômio característico. A solução no campo dos reais obtém-se

tomando-se a parte real da solução complexa.

No que segue, analisaremos especificamente as equações de primeiro e segundo

grau.

1) Equação de Primeiro Grau: a dy + by = O, ab :;t O, y(O) = Yo dt

Temos P(r) = ar +b com P(r) = O para r = -b/a Daí obtém-se a solução geral y(t) = koe-(bla)l. Fazendo-se t = O temos Yo = ko e y(t) = yoe-(b/a)t.

d2 d 2) Equação de Segundo Grau: a 2 + b~+cy = O

de dt Temos P(r) = ar2 + br +c e três casos a analisar:

Caso 1: Raízes Reais e Diferentes (~ > O)

A solução será dada por y(t) = klef1t + k2ef1t onde k l e k2 calculam-se a partir das

condições iniciais dadas no problema.

Caso 2: Raízes reais e iguais (multiplicidade 2), ~ = O .

Pelo que vimos anteriormente, teremos y(t) = (kl + k 2t)ert

Caso 3: Raízes reais e complexas (~ < O )

Decorre do fato dos coeficientes ao, aI , ... , ao serem supostos reais que 1) todas

as soluções y(t) apresentadas nos casos até aqui analisados são soluções reais e 2) se rI = c+di é raiz de P(r) = ar2 + br +c (onde a = ao,h = aI e c = a 2 ) então r2 = c-di

também é raiz de P(r). Assim as raízes rI e r2 neste caso serão complexas conjugadas.

Temos

57

cuja solução no campo dos reais obtém-se lembrando-se que e±idt = cos dt ± i sen dt.

Daí,

{

y(t) = ect (k)e dit + k 2e-dit)

y(t) = e ct (k) (cosdt +i sen dt) + k2 (cos dt -i sen dt»

y(t)=ect(A)cosdt+A 2 sendt) (2.11) ,

onde, A) = Re(k) + k2) e Re«k) - k2)i), sendo que Re( kl + k2 ) denota parte real do

complexo k) + k2 ,o mesmo se dando em relação a (k) - k2)i.

Vejamos um exemplo. Seja a equação diferencial d2y dy de -dt"+Y = 0, y(O) = 0, y'(O) = 1/2,

cujo polinômio característico é dado por P(r) = r 2 - r + 1. Já vimos anteriormente que

tal trinômio do segundo grau apresenta as raízes complexas

'i =1/2+(J3/2)i e r2 =1/2-(J3/2)i. De acordo com (2.11) teremos a solução

y(t) = e(J/2)l(A) cos(J3 /2)t+A 2sen(J3 /2)t). As constantes A) eA 2 calculam-se,

como de praxe, pelas condições iniciais do problema. A solução (2.11), y(t) = ect(A) cosdt+ A 2sendt) pode também ser apresentada

sob a forma y(t) = Ae ct cos(dt-E). Para isto, basta fazer A) = A cosE, A 2 = AsenE

e lembrar que cos{kt - E) = coskt cosE + senkt senE.

2.8) Equações Diferenciais Lineares não Homogêneas

Uma equação diferencial linear de coeficientes constantes é dita não

homogênea quando se tem dny a1dn-1y dy-

ao--+ I + ... +an-l-+any-f(t)· dtn dtn- dt

sendo ftt) uma função de t diferenciável a qualquer ordem e não identicamente nula. A

sua solução, tal como no caso de diferenças finitas, obtém-se somando-se à solução

geral da equação homogênea correpondente uma sua solução particular. Vejamos

alguns métodos práticos de se chegar à solução particular partindo-se da equação do

primeiro grau

a dy +by = f(t) dt

ab::l=O

A extensão do método às equações de mais alto grau é imediato. Tomemos

alguns casos mais comuns para a função ftt).

a) ftt)=k::l= ° Neste caso, devemos inicialmente tentar uma solução particular do tipo y(t) =

So. Obtemos, por substituição, So = kIb.

58

b) f(t) = ko + kt

Neste caso, fazendo-se y(t) = So + Slt e substituindo-se em a dy + by = f(t) dt

obtém-se aS! + bSo + bS! t = ko + kt , o que implica

bS1 = k -+ SI = k 1 b

k 2 a[;+bSo =ko -+So = (kob-ak)lb

Uma versão do teorema 2.1 para equações diferenciais ajuda muito na obtenção

de soluções particulares.

. _ dny dn-ly dy _ ' Teorema 2.4. Se, na equaçao aO--+a1--

1 + ... +an_1-+any-f(t), ftt) e da

dtn dtn- dt forma (ko + k! t + k2. e+. .. +kp t P )elt

, então existe uma solução particular da forma:

a) (So + Slt + S2t2 +. .. +S iP)ert, se r não é raiz do polinômio característico P(r) ou,

b) (So + Slt + S2t2 + ... +S ip)tmert, se r é raiz de multiplicidade m de P(r).

Observe que no caso em que vínhamos trabalhando, com a equação de primeira

ordem a(dy

) + by = f(t), com ab 7= 0, o polinômio característico P(r) = ar + b dt

apresentava sempre a raiz -bl a 7= O. E que as funções ftt) sugeridas eram todas da

forma dada pelo teorema acima, tomando-se r = O (ou seja,

ko = koeo, ,ko +k1t = (ko +k1t)eo,). Como zero não era raiz do P(r), So e So +Slt eram

soluções particulares factíveis. Tomemos agora, a título de exemplo, a equação:

No caso, P(r) = r2 -1, com raízes ± 1. Pelo teorema (parte b), devemos

tentar uma solução particular do tipo Sote', tendo em vista que no caso r = 1, que é

uma raiz de multiplicidade 1 do polinômio característico. Temos então

dy P = S (e t + te t) d

2yP = S (e t + et + te t

) d2yP 1 de - yP = 2S e t + S tet - S tet = 2S et

dt o 'dt2 o , o o o o .

Segue daí que So = 1/2, e que a solução particular é dada por yP(t)=(1/2)te'.

Observe que se tivéssemos tentado uma solução particular do tipo Soe' não teríamos

sido capazes de determinar So (qual a solução geral para a equação diferencial

apresentada?)

59

2.9) Estabilidade de Equações Diferenciais Lineares de Primeira e Segunda Ordem

dx Tomemos inicialmente a equação de primeira ordem a d t + b x = f(t} .

Dizemos que esta equação é estável se -a solução geral da homogênea

associada, no caso x(t) = k e -Ya t converge a zero quando t tende para +00. Isto

ocorrerá se, e somente se -Ya < O, ou seja, quando a e b tem o mesmo sinal (ambos

não nulos). Passemos agora à equação

d 2 dy a--f+b-d +cy(t)=f(t)

dt t (2.12)

Por definição, como vimos, esta é dita estável, quando o limite da solução de sua

homogênea associada tende a zero quando t tende a infinito. Isto ocorre se, e somente

se ambas as raízes do polinômio característico p(x} = ax2 + bx + c apresentam a parte

real negativa. O teorema abaixo estabelece condições a que os parâmetros a, b e c

devem satisfazer de forma a assegurar-se estabilidade.

Teorema 2.5. A equação homogênea a d2

; + b dy + cy = O apresenta solução estável d t dt

se, e somente se a, b e c apresentarem o mesmo sinal.

Demonstração: Suponhamos que a solução seja estável. Temos então três casos

possíveis.

Caso 1: b2 -4ac > O. Neste caso o fato da solução y(t} = hle r1t +h2er2t (com rI e r2

reais distintos) ser estável exige rI e r2 negativos. Isto implica rI + r2 = -b / a < O e

rI' r2 = cla>O. Segue que a,b e c devem ter o mesmo sinal.

Caso 2: b2 - 4ac = O. Temos agora a solução y(t) = (hl + h2t) er1t cuja estabilidade

requer rI = -b /2a < O, ou seja, que a e b tenham o mesmo sinal. Por outro lado

b2 -4ac = O requer aC>O.

Caso 3: b2 - 4ac < O. Tenha neste caso a solução y(t} = eht(KI coslK + K 2 senlK)

cuja estabilidade requer h<O. Mas h = -b /2a donde se conclui que b e a têm o

mesmo sinal. Por outro lado b2 - 4ac < O implica aC>O.

60

Reciprocamente, suponhamos que a,b e c apresentam o mesmo sinal. Então se

b2 -4ac>O 7)+72 =-b/a<Oe7)72 =c/a>O donde se conclui que r) <O,r2 <O.

Por outro lado, se b 2 - 4ac ~ O, -b / 2a < O e a equação será estável.

d2 d Assim, por exemplo a equação ---f + 2.J.... + y = O é estável, enquanto que

dt dt

d2y 2 dy O d

2y 2 dy O - -

de - dt + y = ou de + di - y = nao o sao.

61

Exercícios Resolvidos: Seção 2

I) Resolva ao seguintes equações de diferenças finitas:

O) ° 1 YI+2 +YI = sen 60 t

ü) YI -8YI_I +2IYI_2 -20YI_3 =0

Solução:

i) Primeiro resolveremos a equação homogênea Y 1+2 + Y I = O o A equação característica

é r2 + 1 = O, cujas raízes são i e -i . Como i = cos 90° + i sen 90° tem-se que

Y I = k l sen 90° t + k2 cos 90° t é a solução geral (real) desta equação, onde k l e k2 são

constantes reais arbitrárias. Devemos agora tentar determinar uma solução particular

da equação não-homogênea. É natural tentamos uma solução do tipo

Y: = k; sen 9t + k; cos9t, onde9 = 60°, ou seja, queremos encontrar k t, k; tais que:

(kl' seno(t + 2) + k; coso(t + 2))+ kt senfk + k; cosfk = senfk, \:;/t,i.e,

kt(senfk cos20 + sen20.costO) + k;(cosfk cos20 - senBt sen20) + ktsenBt + k; cosfk = senBt,

'1ft, 1. e, k' k' k' - 1/2 k: senet +_1 ..fi costa __ 2 coset- _2 ..fi senet+ k; senet+ k; coset = senet,

72 2 2 2

onde

sen29 = senl200 = sen600 = J3 /2 usamos,

e cos29 = cos1200 = - cos600 = -1/2.

{k'-J3 k' = 1

Isto ocorrerá se, e só se ~ 2. Resolvendo este sistema devemos ter: ,,3 kt + k; = O

k; = 1/ 2 e k; = -J3 / 2 .

Portanto a solução geral da equação não homogênea é dada por

1 J3 YI = KI sen900t+K2 cos900t+-sen600t--cos600t

2 2

ü) Esta equação é equivalente a Y 1+3 - 8y 1+2 + 21y 1+1 - 20y I = O cUJa equação

característica é dada por r 3 - 8r2 + 21r - 20 = o. A dificuldade agora é determinarmos

as raízes desta equação, o que em geral não é tarefa fácil, embora exista uma fórmula

para determinar as raízes de um equação polinomial de grau 3. O método mais

utilizado na prática consiste em tentar-se descobrir uma raiz inteira para a equação.

Como o termo constante da equação é o produto das raízes da equação, devemos

tentar os divisores inteiros (negativos e positivos) de 20 como possíveis raízes da

equação. No caso acima o leitor pode verificar também que nenhum número negativo

62

é raiz (pois a equação substituída em um número negativo sempre é negativa); o leitor

também pode verificar que 1 e 2 não são raízes. Isto nos leva a considerar 4 como

candidato e neste caso somos bem sucedidos, isto é, 4 é raiz da equação acima. Segue-se que 73

- 87 2 + 2lr - 20 = (7 - 4)(7 2 - 47 + 5) e 2+i e 2 -1 são

raízes de r2 - 4 r + 5 = O como o leitor pode verificar facilmente. Como

2 +i = J5(2J5 / 5 +iJ5 / 5),segue-se que

queYt =K1(J5Ysen8t+K2 (J5Y cos8t+K3 4 t éasolução geral da equação, onde

8 é tal que cose = 2J5 / 5 e sen e = J5 / 5 e K 1 , K 2 , K 3 são constantes arbitrárias.

2) Determine a solução do sistema abaixo (inicialmente nos campo dos complexos e

depois no campo dos reais):

Solução:

xt = xH - 6,5 Yt-I

Yt = x t _1 +2 Yt-I

[1 - 6,5] (Xt ) (Xt I)

Seja A = 1 2 ' temos Yt = A Yt~1 . Achemos os autovalores de A:

~I ~r ~~':] = 0= (J -r)(2 -r) + 6,5 ou seja, r' -3r+8,5 = O 3±5i

r=--. 2

3+5i 3-5i Agora achemos os autovetores Y I' Y 2 relativo aos autovalores --e --.

2 2

{

a-65b = 3+5i a , 2

3+5i a+2b=--b

2

Resolvendo, obtemos (a,b) = u( -1 +5i,2), u :;t: o. Podemos escolher

u = 1, Y 1 = (-1 + 5i, 2). Analogamente no campo dos complexos é:

A solução G:J= K, e: Si)'( -I; Si) + K, (3 ~ Si)'( -I; 5} (*)

Solução no campo real: Nesse caso x o ,Yo são reais

G:) = K, ( - I; Si) + K, ( -I; Si)

Resolvendo esse sistema para

KI = Y; +{ -:ao - ~~) . obtemos K = Yo -K

22 1

63

3+5i .J34 ( ) Escrevendo -2- = -2- cos w + isen w onde

3 5 (3 +5i)' (.J34]' cos w = .J34' sen w = .J34' temos -2- = -2- (cos wt + isen wt) e

(3 - 5i)' (.J34]' -2 - = -2- (cos wt - isen wt). Substituindo em (*) obtemos:

(.J34]' [ (13Yo Xo) ] ( x,) = -2- Xo coswt - -5- + 5 senwt

y, ,

(~ [Yocoswt+(Y; + 2:o)senwt] 3) O exercício a seguir deriva um resultado que pode ser utilizado na solução de

exercício como este que acabamos de abordar (exercício resolvido 2). Dada A matriz

quadrada real de ordem 2 com dois autovalores complexos conjugados, determine P

matriz inversível de ordem 2 tal que P A p- I = (_ ~ !), onde a + bi é autovalor de A.

Solução: Seja a.=a+bi EC autovalor de A e v=vI +iV2 EC2 auto-vetor

correspondente (Vj E 9t 2 ) . Como Av = a.v, então5 A v = av, visto que A é matriz

real. Assim v é auto vetor correspondente ao vetor-valor a.. Por hipótese a * a, donde se conclui que {v, v} são linearmente independentes em C2 e em conseqüência

{VI' v2 } são linearmente independentes em 9t2• Agora

AVI + iAv2 = Av = (a + bi)(vI + iv2 ) = (avI - bv2 ) + i(av2 + bvl ), ou seja,

{AvI: avI - bV2 •

AV2 - bVI + av2

Portanto, a matriz que representa o operador determinado por A na base

{VI' v2 } é (_: !). Logo p-I = [VI v2 ], onde [VI vJ é a matriz quadrada de ordem 2

tal que as suas colunas são v I e v 2.

4) O exercício a seguir assemelha-se ao exercício resolvido número 2. Sua solução,

entretanto, utiliza o resultado do exercício que acabamos de apresentar e uma técnica

ligeiramente modificada. Determine a solução da seguinte equação de diferenças:

5 A barra (-) sobre a. significa o conjugado complexo deste número; o mesmo ocorrendo para V, só

que para os componentes deste vetor.

64

{X"' = Ax" onde A =(: -~) Xo dado

Solução: É fácil ver que 1 + i J3 e 1- i J3 são os autovalores de A. Vamos calcular

e autovetor associado ao autovalor 1 + i J3. Queremos encontrar x E 9t2 tal que

(A-(I+iJ3)I)x=O. Por exemplo X=(iJ3,I)=(O,I)+i(J3,O). Pelo exercício

anterior p-' = [ ~ ~], o que implica que P = [~ ~ ]. O exercício anterior nos

diz que

~ P A p-I = [1 J3] = 2

-J3 1 -..J% J3/

/2 _ [COSO - seno] _ o - 2 O O' onde O - -60 sen cos

~ , [COSO -seno]n [cosno -senno]

E facil provar por indução que O O = O O' "i/n E~. sen cos sen n cosn

[costO - sentO]

Logo PAlp-1 = (PAP-I)I = 21 O O' "i/t E~, ou ainda, sent cost

[costO

AI = 21 p- I

sentO - sentO] [costO J3 sen tO] P=2 1 eXI=Alxo,"i/tE~ costO - J3/3sentO costO

65

Exercícios Propostos: Seção 2

I) Resolva as seguintes equações de diferenças finitas:

a) Yt+2 - 2Yt+l + Yt = 3t

b) Yt+l - Yt = Yt_p sendo Yo = O'Yl = I

c) Yt+2 - Yt+l + 1/ 4Yt = 2, sendo, Yo = 4'Yl = 7

d) Yt -7Yt-l + 16Yt_2 -12Yt_3 = 2t

2) Resolva as seguintes equações diferenciais:

3) Resolva os seguintes sistemas de equação em diferenças finitas:

{Xt+l + xt + 2yt = 24

a) 2 _ 2 _ 9' com Xo = 10 e Yo = 9 Yt+l+ xt Yt-

{ Xt+l - xt -1/3 Yt =-1

b) com Xo = 5 e Yo = 4 Xt+l + Yt+l - 1/6 Yt = 17 / 2'

{Xt+l = -Xt + 2Yt

c) , com Xo = 1 e Yo = 1 Yt+l = 2xt - Yt

{Xt+l = xt - Yt

d) , Yt+l =xt + Yt

com Xo = 1 e Yo = 2

66

Referências Bibliográficas:

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Varian, Hal. R., "Microeconomic Analysis", W. W. Norton Company Inc., 1984.

68

ERSAIOS ECORÔMICOS DA EPGE

200. A VISÃO TEÓRICA SOBRE MODELOS PREVIDENCIÁRIOS: O CASO BRASILEIRO -

Luiz Guilherme Schymura de Oliveira - Outubro de 1992 - 23 pág. (esgotado)

201. HIPERINFLAÇÃO: CÂMBIO, MOEDA E ÂNCORAS NOMINAIS - Fernando de Holanda

Barbosa - Novembro de 1992 - 10 pág. (esgotado)

202. PREVIDÊNCIA SOCIAL: CIDADANIA E PROVISÃO - Clovis de Faro - Novembro de

1992 - 31 pág. (esgotado)

203. OS BANCOS ESTADUAIS E O DESCONTROLE FISCAL: ALGUNS ASPECTOS -

Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Armínio Fraga Neto - Novembro de 1992 - 24 pág.

(esgotado)

204. TEORIAS ECONÔMICAS: A MEIA-VERDADE TEMPORÁRIA - Antonio Maria da

Silveira - Dezembro de 1992 - 36 pág. (esgotado)

205. THE RICAROIAN VICE AND THE INDETERMINATION OF SENIOR - Antonio Maria

da Silveira - Dezembro de 1992 - 35 pág. (esgotado)

206. HIPERINFLAÇÃO E A FORMA FUNCIONAL DA EQUAÇÃO DE DEMANDA DE

MOEDA - Fernando de Holanda Barbosa - Janeiro de 1993 - 27 pág. (esgotado)

207. REFORMA FINANCEIRA - ASPECTOS GERAIS E ANÁLISE DO PROJETO DA LEI

COMPLEMENT AR - Rubens Penha Cysne - fevereiro de 1993 - 37 pág. (esgotado)

208. ABUSO ECONÔMICO E O CASO DA LEI 8.002 - Luiz Guilherme Schymura de Oliveira e

Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - fevereiro de 1993 - 18 pág. ( esgotado)

209. ELEMENTOS DE UMA ESTRATÉGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DA

AGRICUL TURA BRASILEIRA - Antonio Salazar Pessoa Brandão e Eliseu Alves -

Fevereiro de 1993 - 370pág. (esgotado)

210. PREVIDÊNCIA SOCIAL PÚBLICA: A EXPERIÊNCIA BRASILEIRA - Hélio

Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e

Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 35 pág - (esgotado) .

211. OS SISTEMAS PREVIDENCIÁRIOS E UMA PROPOSTA PARA A REFORMULACAO

DO MODELO BRASILEIRO - Helio Portocarrero de Castro, Luiz Guilherme Schymura de

Oliveira, Renato Fragelli Cardoso e Uriel de Magalhães - Março de 1993 - 43 pág. -

(esgotado)

212. THE INDETERMINATION OF SENIOR (OR THE INDETERMINATION OF

WAGNER) AND SCHMOLLER AS A SOCIAL ECONOMIST - Antonio Maria da Silveira

- Março de 1993 - 29 pág. (esgotado)

213. NASH EQUlLffiRIUM UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY: BREAKING DOWN

BACKW ARO INDUCTION (Extensively Revised Version) - James Dow e Sérgio Ribeiro da

Costa Werlang - Abril de 1993 36 pág. (esgotado)

214. ON THE DIFFERENTIABILITY OF THE CONSUMER DEMAND FUNCTION - Paulo

Klinger Monteiro, Mário Rui Páscoa e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Maio de 1993 -

19 pág. ( esgotado)

215. DETERMINAÇÃO DE PREÇOS DE ATIVOS, ARBITRAGEM, MERCADO A TERMO E

MERCADO FUTURO - Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Flávio Auler - Agosto de 1993 -

69 pág. (esgotado).

216. SISTEMA MONETÁRIO VERSÃO REVISADA - Mario Henrique Simonsen e Rubens

Penha Cysne - Agosto de 1993 - 69 pág. (esgotado).

217. CAIXAS DE CONVERSÃO - Fernando Antônio Hadba - Agosto de 1993 - 28 pág.

218. A ECONOMIA BRASILEIRA NO PERÍODO MILITAR - Rubens Penha Cysne - Agosto de

1993 - 50 pág. (esgotado).

219. IMPÔSTO INFLACIONÁRIO E TRANSFERÊNCIAS INFLACIONÁRIAS - Rubens

Penha Cysne - Agosto de 1993 - 14 pág. (esgotado).

220. PREVISÕES DE Ml COM DADOS MENSAIS - Rubens Penha Cysne e João Victor Issler -

Setembro de 1993 - 20 pág. (esgotado)

221. TOPOLOGIA E CÁLCULO NO Rn - Rubens Penha Cysne e Humberto Moreira -

Setembro de 1993 - 106 pág. (esgotado)

222. EMPRÉSTIMOS DE MÉDIO E LONGO PRAZOS E INFLAÇÃO: A QUESTÃO DA

INDEXAÇÃO - Clovis de Faro - Outubro de 1993 - 23 pág.

223. ESTUDOS SOBRE A INDETERMINAÇÃO DE SENIOR, vol. 1 - Nelson H. Barbosa,

Fábio N.P. Freitas, Carlos F.L.R. Lopes, Marcos B. Monteiro, Antonio Maria da Silveira

(Coordenador) e Matias Vernengo - Outubro de 1993 - 249 pág (esgotado)

224. A SUBSTITUIÇÃO DE MOEDA NO BRASIL: A MOEDA INDEXADA - Fernando de

Holanda Barbosa e Pedro Luiz VaUs Pereira - Novembro de 1993 - 23 pág.

225. FINANCIAL INTEGRATION AND PUBLIC FINANCIAL INSTITUTIONS - Walter

Novaes e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Novembro de 1993 - 29 pág

226. LAWS OF LARGE NUMBERS FOR NON-ADDITIVE PROBABILITIES - James Dow e

Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Dezembro de 1993 - 26 pág.

227. A ECONOMIA BRASILEIRA NO PERÍODO MILITAR - VERSÃO REVISADA - Rubens

Penha Cysne - Janeiro de 1994 - 45 pág. (esgotado)

228. THE IMP ACT OF PUBLIC CAPITAL AND PUBLIC INVESTMENT ON ECONOMIC

GROWTH: AN EMPIRICAL INVESTIGATION - Pedro Cavalcanti Ferreira - Fevereiro de


229. FROM THE BRAZILIAN PAY AS VOU GO PENSION SYSTEM TO

CAPITALIZATION: BAILING OUI THE GOVERNMENT - José Luiz de Carvalho e

Clóvis de Faro - Fevereiro de 1994 - 24 pág.

230. ESTUDOS SOBRE A INDETERMINAÇÃO DE SENlOR - vol. 11 - Brena Paula Magno

Fernandez, Maria Tereza Garcia Duarte, Sergio Grumbach, Antonio Maria da Silveira

(Coordenador) - Fevereiro de 1994 - 51 pág.(esgotado)

231. ESTABILIZAÇÃO DE PREÇOS AGRÍCOLAS NO BRASIL: AVALIAÇÃO E

PERSPECTIVAS - Clovis de Faro e José Luiz Carvalho - Março de 1994 - 33 pág.

(esgotado)

232. ESTIMATING SECTORAL CYCLES USING COINTEGRATION AND COMMON

FEATURES - Robert F. Engle e João Victor Issler - Março de 1994 - 55 pág. (esgotado)

2

233. COMMON CYCLES IN MACROECONOMIC AGGREGATES - João Victor Issler e

Farshid Vahid - Abril de 1994 - 60 pág.

234. BANDAS DE CÂMBIO: TEORIA, EVIDÊNCIA EMPÍRICA E SUA POSSÍVEL

APLICAÇÃO NO BRASIL - Aloisio Pessoa de Araújo e Cypriano Lopes Feijó Filho - Abril

de 1994 - 98 pág. (esgotado)

235. O HEDGE DA DÍVIDA EXTERNA BRASILEIRA - Aloisio Pessoa de Araújo, Túlio Luz

Barbosa, Amélia de Fátima F. Semblano e Maria Haydée Morales - Abril de 1994 - 109 pág.

(esgotado)

236. TESTING THE EXTERNALITIES HYPOTHESIS OF ENDOGENOUS GROWTH

USING COINTEGRATION - Pedro Cavalcanti Ferreira e João Victor Issler - Abril de 1994

- 37 pág. (esgotado)

237. THE BRAZILIAN SOCIAL SECURITY PROGRAM: DIAGNOSIS AND PROPOSAL

FOR REFORM - Renato Fragelli; Uriel de Magalhães; Helio Portocarrero e Luiz Guilherme

Schymura - Maio de 1994 - 32 pág.

238. REGIMES COMPLEMENTARES DE PREVIDÊNCIA - Hélio de Oliveira Portocarrero de

Castro, Luiz Guilherme Schymura de Oliveira, Renato Fragelli Cardoso, Sérgio Ribeiro da

Costa Werlang e Uriel de Magalhães - Maio de 1994 - 106 pág.

239. PUBLIC EXPENDITURES, TAXATION AND WELFARE MEASUREMENT - Pedro

Cavalcanti Ferreira - Maio de 1994 - 36 pág.

240. A NOTE ON POLICY, THE COMPOSITION OF PUBLIC EXPENDITURES AND

ECONOMIC GROWTH - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1994 - 40 pág. (esgotado)

241. INFLAÇÃO E O PLANO FHC - Rubens Penha Cysne - Maio de 1994 - 26 pág. (esgotado)

242. INFLATIONARY BIAS AND STATE OWNED FINANCIAL INSTITUTIONS - WaIter

Novaes Filho e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Junho de 1994 -35 pág.

243. INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO ESTOCÁSTICA - Paulo Klinger Monteiro - Junho de


244. PURE ECONOMIC THEORIES: THE TEMPORARY HALF-TRUTH - Antonio M.

Silveira - Junho de 1994 - 23 pág. (esgotado)

245. WELFARE COSTS OF INFLATION - THE CASE FOR INTEREST-BEARING MONEY

AND EMPIRICAL ESTIMATES FOR BRAZIL - Mario Henrique Simonsen e Rubens

Penha Cysne - Julho de 1994 - 25 pág. (esgotado)

246. INFRAESTRUTURA PÚBLICA, PRODUTIVIDADE E CRESCIMENTO - Pedro

Cavalcanti Ferreira - Setembro de 1994 - 25 pág.

247. MACROECONOMIC POLICY AND CREDffiILITY: A COMPARATIVE STUDY OF

THE FACTORS AFFECTING BRAZILIAN AND ITALIAN INFLATION AFTER 1970-

Giuseppe T ullio e Mareio Ronci - Outubro de 1994 - 61 pág. (esgotado)

248. INFLATION AND DEBT INDEXATION: THE EQUIVALENCE OF TWO

ALTERNATIVE SCHEMES FOR THE CASE OF PERIODIC PAYMENTS - Clovis de

Faro - Outubro de 1994 -18 pág.

3

249. CUSTOS DE BEM ESTAR DA INFLAÇÃO - O CASO COM MOEDA INDEXADA E

ESTIMATIVAS EMPÍRICAS PARA O BRASIL - Mario Henrique Simonsen e Rubens

Penha Cysne - Novembro de 1994 - 28 pág. (esgotado)

250. THE ECONOMIST MACIDA VELLI - Brena P. M. Femandez e Antonio M. Silveira -

Novembro de 1994 - 15 pág.

251. INFRAESTRUTURA NO BRASIL: ALGUNS FATOS ESTILIZADOS - Pedro Cavalcanti

Ferreira - Dezembro de 1994 - 33 pág. (esgotado)

252. ENTREPRENEURIAL RISK AND LABOUR'S SHARE IN OUTPUT - Renato Fragelli

Cardoso - Janeiro de 1995 - 22 pág.

253. TRADE OR INVESTMENT ? LOCATION DECISIONS UNDER REGIONAL

INTEGRATION - Marco Antonio F.de H. Cavalcanti e Renato G. Flôres Jr. - Janeiro de

1995 - 35 pág.

254. O SISTEMA FINANCEIRO OFICIAL E A QUEDA DAS TRANFERÊNCIAS

INFLACIONÁRIAS - Rubens Penha Cysne - Janeiro de 1995 - 32 pág. (esgotado)

255. CONVERGÊNCIA ENTRE A RENDA PER-C APITA DOS ESTADOS BRASILEIROS -

Roberto G. Ellery Jr. e Pedro Cavalcanti G. Ferreira - Janeiro 1995 - 42 pág.

256. A COMMENT ON "RATIONAL LEARNING LEAD TO NASH EQUILffiRIUM" BY

PROFESSORS EHUD KALAI EHUD EHUR - Alvaro Sandroni e Sergio Ribeiro da Costa

Werlang - Fevereiro de 1995 - 10 pág.

257. COMMON CYCLES IN MACROECONOMIC AGGREGATES (revised version) - João

Victor Issler e Farshid Vahid - Fevereiro de 1995 - 57 pág.

258. GROWTH, INCREASING RETURNS, AND PUBLIC INFRASTRUCTURE: TIMES

SERIES EVIDENCE (revised version) - Pedro Cavalcanti Ferreira e João Victor Issler -

Março de 1995 - 39 pág.(esgotado)

259. POLÍTICA CAMBIAL E O SALDO EM CONTA CORRENTE DO BALANÇO DE

PAGAMENTOS - Allais do Seminário realizado na Fundação Getulio rargas 110 dia 08 de

dezembro de 199-1 - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 47 pág. (esgotado)

260. ASPECTOS MACROECONÔMICOS DA ENTRADA DE CAPITAIS - Anais do Seminário

realizado na Fundação Getulio Jargas no dia 08 de dezembro de 199-1 - Rubens Penha

Cysne (editor) - Março de 1995 - 48 pág. (esgotado)

261. DIFICULDADES DO SISTEMA BANCÁRIO COM AS RESTRIÇÕES ATUAIS E

COMPULSÓRIOS ELEV ADOS - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio

Jargas no dia 09 de dezembro de 199-1 - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 -

47 pág. (esgotado)

262. POLÍTICA MONETÁRIA: A TRANSIÇÃO DO MODELO ATUAL PARA O MODELO

CLÁSSICO - Anais do Seminário realizado na Fundação Getulio rargas 110 dia 09 de

dezembro de 199-1 - Rubens Penha Cysne (editor) - Março de 1995 - 54 pág. (esgotado)

263. CITY SIZES AND INDUSTRY CONCENTRATION - Afonso Arinos de Mello Franco

Neto - Maio de 1995 - 38 pág. (esgotado)

264. WELF ARE AND FISCAL POLICY WITH PUBLIC GOODS AND INFRASTRUCTURE

(Revised Version) - Pedro Cavalcanti Ferreira - Maio de 1995 - 33 pág. (esgotado)

4

265. PROFIT SHARING WITH HETEROGENEOUS ENTREPRENEURIAL PROWESS -

Renato Fragelli Cardoso - Julho de 1995 - 36 pág.

266. A DINÂMICA MONETÁRIA DA lllPERINFLAÇÃO: CAGAN REVISIT ADO - Fernando

de Holanda Barbosa - Agosto de 1995 - 14 pág.

267. A SEDIÇÃO DA ESCOLHA PÚBLICA: VARIAÇÕES SOBRE O TEMA DE

REVOLUÇÕES CIENTÍFICAS - Antonio Maria da Silveira - Agosto de 1995 - 24 pág.

268. A PERSPECTIVA DA ESCOLHA PÚBLICA E A TENDÊNCIA INSTlTUCIONALIST A

DE KNIGHT - Antonio Maria da Silveira - Setembro de 1995 - 28 pág.

269. ON LONG-RUN PRICE COMOVEMENTS BETWEEN P AINTINGS AND PRINTS -

Renato Flôres - Setembro de 1995 - 29 pág. (esgotado)

270. CRESCIMENTO ECONÔMICO, RENDIMENTOS CRESCENTES E CONCORRÊNCIA

MONOPOLISTA - Pedro Cavalcanti Ferreira e Roberto Ellery Junior - Outubro de 1995 - 32

pág. (esgotado)

271. POR UMA CIÊNCIA ECONÔMICA FILOSOFICAMENTE INFORMADA: A

INDETERMINAÇÃO DE SENIOR - Antonio Maria da Silveira - Outubro de 1995 - 25 pág.

(esgotado)

272. ESTIMATING THE TERM STRUCTURE OF VOLATILITY AND FlXED INCOME

DERIVATlVE PRICING - Franklin de O. Gonçalves e João Victor Issler - Outubro de 1995

- 23 pág. (esgotado)

273. A MODEL TO ESTIMATE THE US TERM STRUCTURE OF INTEREST RATES -

Antonio Marcos Duarte Júnior e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - Outubro de 1995 - 21

pág. (esgotado)

274. EDUCAÇÃO E INVESTIMENTOS EXTERNOS COMO DETERMINANTES DO

CRESCIMENTO A LONGO PRAZO - Gustavo Gonzaga, João Victor Issler e Guilherme

Cortella Marone - Novembro de 1995 - 34 pág. (esgotado)

275. DYNAMIC HEDONIC REGRESSIONS: COMPUTATION AND PROPERTIES - Renato

Galvão Flôres Junior e Victor Ginsburgh - Janeiro de 1996 - 21 pág.

276. FUNDAMENTOS DA TEORIA DAS OPÇÕES - Carlos Ivan Simonsen Leal - Fevereiro de


277. DETERMINAÇÃO DO PREÇO DE UMA OpçÃO E ARBITRAGEM - Carlos Ivan

Simonsen Leal - Fevereiro 1996 - 55 pág.

278. SUSTAINED GROWTH, GOVERNMENT EXPENDlTURE AND INFLATION - Pedro

Cavalcanti Ferreira - Fevereiro 1996 - 38 pág.

279. REFLEXOS DO PLANO REAL SOBRE O SISTEMA BANCÁRIO BRASILEIRO -

Rubens Penha Cysne e Sérgio Gustavo Silveira da Costa - Junho 1996 - 23 pág.

280. CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS, CAPÍTULOS I E lI: FUNÇÕES,

ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES - Rubens Penha Cysne e Humberto de Athayde

Moreira - Junho 1996 - 75 pág.

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