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Sinais e SistemasAula 13
Professor: Rafael Antunes Nbrega
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Continuao... CAPTULO 1: Introduo:
Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto; Energia e Potncia de um sinal Transformaes de variveis independentes; Sinais peridicos Sinais senoidais e exponenciais; Funes impulso unitrio e degrau unitrio; Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto; Propriedades bsicas de sistemas;
CAPTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo: Representaes de sinais em termos de impulso; Convoluo. Esquema de Interconexes Propriedades de sistemas LIT Equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes Funes de singularidade
CAPTULO 3: Srie de Fourier Perspectiva histrica Resposta dos sistemas LIT s exponenciais complexas Representao de sinais peridicos de tempo contnuo Convergncia da srie de Fourier Propriedades da srie de Fourier de tempo contnuo Representao de sinais peridicos de tempo discreto Propriedades da srie de Fourier de tempo discreto Srie de Fourier e sistemas LIT Filtragem Exemplos filtros contnuos Exemplos filtros discretos
CAPTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contnuo Representaes de sinais aperidicos (tempo contnuo) TF para sinais peridicos Propriedades da TF de tempo contnuo A propriedade da convoluo A propriedade da multiplicao Sistemas caracterizados por equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes
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visto
Lembrando a interpretao da equao sntese da TF como uma expresso para x(t) como uma combinao linear de exponenciais complexas (Eq. 4.7):
Como visto, a resposta de um sistema linear a uma exponencial complexa ejkw0t H(jkw0)e
jkw0t , onde:
A TF da resposta ao impulso H(jw) o fator de escala complexo que o sistema LIT aplica a autofuno ejkw0t.
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Da superposio temos ento:
Aplicando o limite w00
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
LIT
Lembrando da Srie de Fourier
Antes de fazer w00
Como y(t) e sua TF Y(jw) so relacionados por:
Podemos identificar na equao anterior a seguinte relao:
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Outra maneira de provar a relao
Ou seja, a filtragem de frequncias indesejveis pode ser feita a partir da TF da resposta ao impulso do sistema;
H(jw) papel importante na anlise de sistemas LTI Filtragem
Assim como h(t), H(jw) caracteriza completamente um sistema LIT.
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Outra maneira de provar a relao
Assim como h(t) = h1(t)*h2(t)
H(jw) = H1(jw)H2(jw)
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Exemplos:
Analise a resposta em frequncia de um sinal x(t) aps passar por um sistema h(t) = (t-t0)
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Exemplo:
Ache H(jw) para o sistema diferenciador usando a propriedade de diferenciao:
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Exemplo:
Ache a propriedade de integrao a partir de:
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Um filtro passa-baixa ideal pode ser representado por:
Sabemos que sua resposta ao impulso :
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Note que h(t) no nula para t
Filtro no-ideal...exemplo:
Esse pode ser implementado com um circuito RC.
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Funo monotnica(sem oscilaes)
Filtro no-ideal...exemplo:
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Filtros simples como este so normalmente preferidos por serem da mais fcil implementao em sistema analgicos: Causalidade
Facilidade de implementao
Flexibilidade nos compromissos
entre outras coisas...(Cap. 6)
Filtros mais complexos, com ordem elevada, so mais fceis de serem implementados digitalmente;
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
(Cap. 6)
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Exemplo:
Ache y(t).
h(t) y(t)
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Exemplo:
Ache y(t).
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
Exemplo:
Ache y(t).
h(t) y(t)
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Propriedades da convoluo
Transformada de Fourier
A propriedade da convoluo convoluo no domnio do tempo, corresponde multiplicao no domnio da frequncia.
DUALIDADE esperamos que a multiplicao no domnio do tempo corresponda convoluo no domnio da frequncia:
Uso de um sinal para ponderar ou modular a amplitude do outro. multiplicao entre dois sinais = modulao em amplitude.
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
Considere:
s(t) como o sinal a ser transmitido
p(t) = cos(w0t)
Multiplicando ambos, temos: r(t) = s(t)p(t)
Note que toda a informao foi preservada;
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
Queremos agora recuperar o sinal s(t):
usamos de novo o sinal p(t) = cos(w0t)
e fazemos g(t) = r(t)p(t)
= CONVOLUO NA FREQUNCIA
E aplicamos um filtro passa-baixa:
g(t) filtrado = s(t)
(Linearidade)
Mais detalhes --> cap. 8
Vimos modulao em amplitude (AM) [de 535 a 1.700 kHz]: muito sensveis ao rudo e interferncia aditivos, uma vez que a
informao transportada pela amplitude da portadora.
Modulao em frequncia (FM) [de 88 MHz a 108 MHz]:
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
A = amplitude da portadorafp = frequncia da portadoram = ndice de modulao.
K = constante adicionada ao sinal a transmitir para que a amplitude da portadora nunca seja negativaA = amplitude da portadora.
Faixas de frequncias so atribudas pela ANATEL... Em torno de 40 MHz: controle remoto garagens, sistemas de alarmes, etc
De 40 a 50 MHz: telefones sem fios
49 MHz: bab eletrnica
em torno de 72 MHz: avies de controle remoto
em torno de 75 MHz: carros de controle remoto
145 MHz e 437 MHz: estao espacial MIR
824 a 849 MHz: telefones celulares
em torno de 900 MHz: novos telefones sem fios
960 a 1215 MHz: radar de controle de trfego areo
1227 e 1575 MHz: sistema de posicionamento global (GPS):
2290 MHz a 2300 MHz: comunicaes de rdio no espao
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
Curiosidades...
Faixas de frequncias so atribudas pela ANATEL...
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
http://www.anatel.gov.br/Portal/verificaDocumentos/documento.asp?numeroPublicacao=98580&assuntoPublicacao=Quadro%20de%20Atribui%E7%E3o%20&caminhoRel=null&filtro=1&documentoPath=radiofrequencia/qaff.pdf
Curiosidades...
Essa propriedade pode ser usada tambm para simplificar solues de problemas diversos.
Exemplo: Ache a TF do sinal x(t)
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
Lembrando...
TF
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A propriedades da multiplicao
Transformada de Fourier
Outra importante aplicao da proprieda-de da multiplicao a de filtros passa-fai-xa, seletivos em frequncia com frequn-cias centrais sintonizveis.
Observe o sistema abaixo:
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A propriedades da multiplicaoFiltragem seletiva em freq. com freq. central varivel
Transformada de Fourier
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A propriedades da multiplicaoFiltragem seletiva em freq. com freq. central varivel
Transformada de Fourier
Note que resolvendo para y(t) temos:
convoluo
filtragem
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A propriedades da multiplicaoFiltragem seletiva em freq. com freq. central varivel
Transformada de Fourier
Note que resolvendo para y(t) temos:
convoluo
Note que a operao feita equivalente a um filtro passa-faixa de frequncia central = -wC
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A propriedades da multiplicaoFiltragem seletiva em freq. com freq. central varivel
Transformada de Fourier
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A propriedades da multiplicaoFiltragem seletiva em freq. com freq. central varivel
Transformada de Fourier
Note que se considerarmos apenas as partes reais, temos que Re{ejwct} = cos(wct) e teremos dois impulsos deslocados de acordo com a relao de Euler.
Por linearidade, isso corresponderia a parte real de f(t).