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INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLOINSTRUMENTAÇÃO E CONTROLOÇÇ
CAPÍTULO XCAPÍTULO XCAPÍTULO XCAPÍTULO X
Controladores DigitaisControladores Digitais
2012/20132012/2013
BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia
Curtis Johnson (1990), Controlo de Processos – Tecnologia da ocessos ec o og a daInstrumentação, Edição da Fundação Calouste GulbenkianMarlin, T., Process Control: Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance, Edição da McGraw Hill, New York, 2000.Control tutorials for Matlab, Universidade de Carnegie-Melon, EUA
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Í di d ít lÍ di d ít lÍndice do capítuloÍndice do capítulo
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação das acções de controlo em computadorDiscretização do controladorDiscretização do controlador analógico PIDControladores P PI e PD digitaisControladores P, PI e PD digitaisAnálise estática do controlador PID di it ldigitalExemplos de aplicação marítima
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p p ç
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitais
Controlo digitalA acção de controlo é implementadaA acção de controlo é implementada em computador através de
ã d õ dprogramação das equações de controloEsta forma de controlo tem muitas vantagensvantagens
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C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitais
Esta forma de implementação, permite:Utilizar algoritmos de controlo maisUtilizar algoritmos de controlo mais complexos sem grandes custos adicionaisTornar mais versátil a utilização dosTornar mais versátil a utilização dos controladores na indústriaInterligar os controladores entre si eInterligar os controladores entre si e através de uma rede industrial (fieldbus) ligarem se a um computador de gestãoligarem-se a um computador de gestão central dos processos
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo analógico vs. digital
Controlo por computadorControlo analógico
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
FCu
IFCr
Bomba y
IP
qBomba
centrífugay
Caudalímetro Válvula
⎟⎞
⎜⎛
−=
∫de
TdtKt
tytrte
)(1
)()(
)()()(PID:
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⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
++= ∫ dtTde
TteKtu d
ip ττ)()()(
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo digital Esquema simplificado do anel de controloEsquema simplificado do anel de controlo
Referência
Sinal de controlo discreto
Sinal de controlo analógico
Saída Micro-processador
PROCESSO ConversãoD/A
Conversão A/D
Transdutor
Sinal de saída do conversor (discreto) Sinal de saída do
sensor (analógico)
conversor (discreto)
Controlador digital
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Diagrama de controlo digital industrial
4-20 mAu(kT) y(t)rActuador
Processou(t)
y( )Computador D/A
y(kT)
4-20 mAA/D
Transdutor4 20 mA
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Controlador digital
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
D/AD/A
ProcessoProcessoμP
A/D
Os sinais de/para o processo são obtidos através dos conver-sores A/D e D/A das placas dedicadas. Os sinais são processa-dos um a um através de diversas placas de computador insta-
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dos um a um através de diversas placas de computador instaladas em armários de controlo
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digitalAlgoritmo de controlo digital
O algoritmo de controlo é implementado através de uma equação às diferenças – difference equationuma equação às diferenças – difference equation
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digitalAlgoritmo de controlo digital
Sinais utilizados no anel de controlo
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisR t ã t áti dRepresentação matemática de sistemas discretos - Equações às diferenças
Os sistemas contínuos ou analógicos, sãoOs sistemas contínuos ou analógicos, são descritos através de equações diferenciaisOs sistemas discretos são descritosOs sistemas discretos são descritos através de equações às diferenças
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisRepresentação matemática deRepresentação matemática de sistemas discretos - Equações às dife ençasdiferenças
Num controlador digital, a equação às diferenças, descreve a relação matemá-tica entre o sinal de entrada - erro e(k) e o sinal de saída – acção de controlo u(k) As equações às diferenças são fundamen-q ç çtais, pois podem ser facilmente implemen-tadas em computador (NOTA: CARACTE-
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p (RÍSTICA MUITO IMPORTANTE!)
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisEquações às diferençasEquações às diferenças
Vamos supor que estávamos i d h i l (k)interessados em conhecer o sinal u(k), ou seja o valor de u para o instante kPara obter este sinal de saída temos que calcular uma função que tenha em consideração os sinais anteriores de e(0) até e(k) e os sinais de saída desde u(0) até u(k-1), ou seja:
( )1)-u(ku(0)e(k);e(0)fu(k) =© Luis Filipe Baptista – MEMM 15
( )1)-u(ku(0),..., e(k);e(0),...,fu(k) =
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisEquações às diferençasEquações às diferenças
Vamos assumir que a função f é linear e que depende apenas de um número finitoque depende apenas de um número finito de sinais de e(k) e de u(k). A t t bá i d ãA estrutura básica da equação que
representa a relação matemática entre (k) e e(k) designa se po eq ação àsu(k) e e(k), designa-se por equação às
diferenças, e pode ser escrita através de)b(0)e(01)b(k)e(ka(0)u(0)1)1)u(ka(ku(k) ++
:dasimplifica mais forma uma deou
)...b(0)e(01)b(k)e(ka(0)u(0)...1)1)u(k-a(ku(k) +−+−−−−=
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001kk001-k1-kk e...bebua...uau ++−−−= −
Controladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digital
Controladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digital
Exemplo de uma equação de controlo di it l à difdigital às diferenças:
1)-0.95e(k-e(k)1)0.75u(ku(k) +−=0k para válidoé só u(k)
)(( ))(( )
≥Admitindo que o erro varia de acordo com um degrau unitário discreto, ou seja:
⎨⎧ <
=0k0
e(k)© Luis Filipe Baptista – MEMM 17⎩
⎨ ≥ 0k1e(k)
Controladores digitaisControladores digitaisAl it d t l di it l
Controladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digital
Solução para quatro períodos de amostragem (4*Ts), ou seja k varia de 0 a 4
10100.95e(-1)-e(0)1)0.75u(u(0) 0k
00)u(k :NOTA
=++=+−=⇒==<
0 650 95-10 80 750 95e(1)-e(2)0 75u(1)u(2)2k
0.80.95-10.750.95e(0)-e(1)0.75u(0)u(1) 1k
( )( ))(( )
=+×=+=⇒==+=+=⇒=
0 4530500 53750 750 95e(3)e(3)0 75u(3)u(4)4k
0.537505.00.650.750.95e(2)-e(3)0.75u(2)u(3) 3k
0.650.9510.80.750.95e(1)e(2)0.75u(1)u(2) 2k
+×+⇒=+×=+=⇒=
+×+⇒
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0.45305.00.53750.750.95e(3)-e(3)0.75u(3)u(4) 4k =+×=+=⇒=
Controladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digital
Controladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digital
2
0 5
1
1.5
erro
e(k
)
Gráficos de e(k) e
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
u(k) para k=0,1,…,4 0.8
1
lo u
(k)
0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 40.4
0.6
cont
ro
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4k
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
Representação do conjunto constituído pelo Conversor D/A + Processo H2(s) + ConversorConversor D/A + Processo H2(s) + Conversor A/D -> função de transferência discreta Hzoh(z)
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
Diagrama de controlo digital - Apenas são utilizadas variáveis discretasutilizadas variáveis discretas
G(z) – Função de transferência do controlador digital ou discretodigital ou discretoHzoh(z) – função de transferência do sistema
discretizado (D/A + Processo H2(s) + A/D)
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
A construção da função de transferência discre-ta Hzoh(z) é muito importante pois permiteta Hzoh(z), é muito importante, pois permite analisar o comportamento do processo (sistema contínuo), quando este é inserido num anel de ), qcontrolo digitalModelo do conversor D/A (interruptor+retentor de ordem zero - ZOH)
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
Combinando o diagrama anterior com o modelo da função de transferência do processo G (s)da função de transferência do processo - G0(s),obtém-se a relação entre o sinal de entrada –acção de controlo digital u(kT) e a saídaacção de controlo digital u(kT) e a saída amostrada do processo =>y(k)=Hzoh(k)*u(k)
Conv. D/A+ZOH processo
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C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
Exemplo: considere o sistema massa-mola-amortecedor, em que m=10 Kg; b=50 Ns/m e k=200 N/m. A sua função
f ê í éde transferência contínua é dada por:
1dyyd2
kbsms
1G(s)F(t)ky
dt
dyb
dt
ydm
22 ++=⇒=++
205ss
0.1
F(s)
Y(s)G(s)
2 ++==
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205ssF(s) ++
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
6x 10
-3
Gráfico de resposta de
5
resposta de G(s) para
uma3
4
y(t)
[m
]
uma entrada
degrau de2
y
degrau de F=1 N.
0 0 5 1 1 5 2 2 50
1
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0 0.5 1 1.5 2 2.5t [seg.]
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
Se discretizarmos o modelo contínuo G(s) através do comando c2dm do Matlab com umatravés do comando c2dm do Matlab com um período de amostragem Ts=0.1 seg., e manu-tenção dos valores das entradas constantestenção dos valores das entradas constantes durante a operação de amostragem (método ZOH), obtém-se a seguinte função de transfe-rência discreta Hzoh(z):
10*0 3547)+(0 4193z)z(Y -3
0.6065 + 1.4517z-z
100.3547) + (0.4193z
)z(U
)z(Y(z)H
2zoh ==
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C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
Se aplicarmos o operador atraso que con e te a f nção de t ansfe ência disc econverte a função de transferência discre-ta numa equação às diferenças, temos:
:atrasoOperador
2
1-n-
fidiifdfi idi d
1)y(kY(z)z n)y(kY(z)z
:atrasoOperador
−=×⇒−=×
21
3-2-1-
zoh
2
10*)0.3547z + (0.4193zY(z)(z)H
:fica,zpor discreta ncia transferêdefunção a Dividindo
==2-1-zoh
:se-obtêm atraso,operador o Aplicando
0.6065z 1.4517z-1U(z)( )
+
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3-10*2))-0.3547u(k + 1)-(0.4193u(k0.6065y(k) 1)-1.4517y(ky(k) +−=
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto
6x 10
-3
Gráfico de resposta de G(s) azul e
5
G(s) – azul e de G(z) –vermelho, 3
4
t)
; y
(k)
vermelho, para uma entrada
2
y(t
degrau de F=1 N.
0 0 5 1 1 5 2 2 50
1
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0 0.5 1 1.5 2 2.5t [seg.]
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais% parâmetros do sistemam=10;m=10;b=50;k=200;% modelo mass-mola-amortecedorCódigo em % modelo mass mola amortecedornum=[1];den=[10 50 200];%simulação da resp. da massa y a um entrada
Código em Matlab do exemplo ç p y
degraut=0:0.1:2.5; %vector de tempos% resposta ao degrau unitário
exemplo anterior (aplica o [y]=step(num,den,t);
plot(t,y),grid,xlabel('t [seg.]'),ylabel('y(t) [m]')hold on
(aplica o método zoh
nas % conversão do modelo continuo para digitalTs=0.1; % período de amostragem[numd,dend] = c2dm(num,den,Ts,'zoh')% t d itá i di it l
nas entradas)
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% resposta ao degrau unitário digital[yd]=dstep(numd,dend,length(t));stairs(t,yd,'r'),ylabel('y(t) ; y(k)')
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisDiagramas de blocos de equações àsDiagramas de blocos de equações às diferenças
F t ã áfi d dFornece uma representação gráfica de um mode-lo matemático
Blocos mais usuais
utilizados no SIMULINK
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisDiagramas de blocos de equações àsDiagramas de blocos de equações às diferenças
E l di d bl d ã à difExemplo: diagrama de blocos da equação às dif. y(k)=a*y(k-1)+(1-a)*u(k)
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Nos controladores digitais são implementa-das as equações análogas às utilizadas em q ç gcontrolo contínuo ou analógico, ou seja:
Duas posições (Tudo-ou-Nada ou ON-Duas posições (Tudo ou Nada ou ONOFF)Acção proporcional (P)Acção proporcional (P)Acção integral (I)
ãAcção P+IAcção P+D
© Luis Filipe Baptista – MEMM 32Acção P+I+D
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
óEm controlo analógico, o custo do controla-dor depende do número de acções de controlo que lhe estão associadas (quanto mais hardware se utilizar maior é o custo)Em controlo digital, esta situação não tem peso, pois os algoritmos são programados p p g p gem microprocessadorDeste modo, os controladores digitaisDeste modo, os controladores digitais implementam (em geral), a versão discreta do algoritmo analógico PID
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do algoritmo analógico PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Al it PID tí ( ã /t 0)Algoritmo PID contínuo (u0=acção p/t=0)
⎟⎞
⎜⎛
∫de(t)1 t
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∫++=
dt
de(t)Te(t)dt
T
1e(t)K 0uu(t) d
0ip
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+∫++=
dt
de(t)Ke(t)dtKe(t)K0uu(t) d
t
ip
Vamos considerar as aproximações numé-⎠⎝ dt0
p
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ricas do integral e da derivada
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico:
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico: aproximação do integral do erroOs mais usuais são os métodos de integraçãoOs mais usuais são os métodos de integração rectangular:
th d)f d(E l 'E ldMét d
×+−≈h d)b k d( l 'ldé d
1)-e(kT1)u(ku(k)
:method)forwards(Euler' avançoemEuler de Método
s
×+−≈ e(k)T1)u(ku(k)
:method) backward s(Euler'atrasoemEuler de Método
s
⎟⎞
⎜⎛ −+
+−≈1)e(ke(k)
T1)u(ku(k)
:al) trapezoido(IntegraçãTustin de Método
© Luis Filipe Baptista – MEMM 35
⎟⎠
⎜⎝
+−≈2
T1)u(ku(k) s
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico:
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico: aproximação do integral do erro
RepresentaçãoRepresentação gráfica
(h T(h =Ts = período de
t )amostragem)
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Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico:
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico: aproximação da derivada
(k)
1)-e(ke(k)de(k) −≈
e(k)
e(k-1)
Tdt≈ ( )
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Controladores digitaisControladores digitaisDi ti ã d t l d PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Equação do controlador PID discreto
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛1k 1)e(ke(k)T
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+∑++=
= sd
1-k
0ii
sp0 T
1)e(ke(k)Te(i)
T
Te(k)Kuu(k)
Esta forma particular do algoritmo digital PID, é h id l it d i ã ( iti
⎠⎝
conhecida por algoritmo de posição (position algorithm), devido ao facto de o sinal de controlo u(k) ser calculado relativamente a um
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controlo u(k) ser calculado relativamente a um valor base, que é uo
Controladores digitaisControladores digitaisDi ti ã d t l d PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
O algoritmo anterior designa-se também por algoritmo do tipo não recursivop g pEsta designação deve-se ao facto de o algoritmo necessitar de ir guardando emalgoritmo necessitar de ir guardando em cada iteração o somatório de todos os erros anterioreserros anteriores
© Luis Filipe Baptista – MEMM 39
Controladores digitaisControladores digitaisDi ti ã d t l d PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
É possível obter uma outra forma de cálculo mais prática, que se baseia no p , qvalor da acção de controlo no instante anterior, ou seja u(k-1)., j ( )Esta outra forma de implementação do algoritmo PID discreto, designa-se poralgoritmo PID discreto, designa se por algoritmo incremental ou de velocidade (velocity algorithm)
© Luis Filipe Baptista – MEMM 40
(velocity algorithm)
Controladores digitaisControladores digitaisDi ti ã d t l d PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Considerando a partir do algoritmo de posição, a expressão de u(k-1), tem-se:p ç , p ( ),
e(i)TK
1)-e(kK1)-u(k2-k
sp+= ∑2)(k1)(k
e(i)T
1)e(kK1)u(k0ii
p
⎞⎛
+ ∑=
1)(kuT
2)e(k1)-e(kTK 0dp −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
© Luis Filipe Baptista – MEMM 41
Ts ⎠⎝
Controladores digitaisControladores digitaisDi ti ã d t l d PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Calculando Δu=u(k)-u(k-1), tem-se:
( ) 1)-e(k T
TK1)-e(k-e(k)K1)u(ku(k) sp
p ++=−− ( )
( )TK
)(T
)(( ))(( )
d
ip
( )2)e(k1)2e(ke(k)T
TK
s
dp −+−−
© Luis Filipe Baptista – MEMM 42
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Discretização do controlador PID analógico no domínio do tempog p
Neste caso, só é calculada diferença Δuentre as acções de controlo u(k) e u(k-1),entre as acções de controlo u(k) e u(k 1), ou seja:
1)u(ku(k)Δu −−= )(( )
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Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Discretização do controlador PID analógico no domínio do tempog p
Por este motivo, este algoritmo é designado por algoritmo incrementaldesignado por algoritmo incremental É igualmente designado por algoritmo de velocidade (velocity algorithm)velocidade (velocity algorithm)Também é conhecido em diversa lit t l it iliteratura por algoritmo recursivo
© Luis Filipe Baptista – MEMM 44
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Este algoritmo, pode assumir a seguinte forma (integração rectangular em avanço – forward Euler) 2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k) +++Euler)
dp0
210
T
T1Kq
2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−+−++−=
ds
sp0
2TT1Kq
Tq
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+−−=
⎟⎠
⎜⎝
d
sip1
TKq
TT1Kq
=
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+=
© Luis Filipe Baptista – MEMM 45s
p2 TKq =
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Diagrama em Simulink do controlo PID digital de nível de um tanque
nivelr
To Workspace3
erro
To Workspace2
control
To Workspace1
-K-
-K-
q0
z
1
nivel
To Workspace
Step
Scope
z-0.9512
0.03902
Hzoh(z)
z
1
u(k-1)-K-
q2
q1
z
1
e(k-2)
z
e(k-1)
© Luis Filipe Baptista – MEMM 46
q( )
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Acção de controlo digital integral – forward Euler
TK1)-e(k
T
TK1)u(ku(k)
i
sp=−−
Acção de controlo proporcional (P) – relação
Ti
estática
e(k)Ku(k) p=© Luis Filipe Baptista – MEMM 47
( )( ) p
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Acção de controlo digital PD - forward Euler
( )Td ⎟⎞
⎜⎛ ( )1)-e(k-e(k)
T
Te(k)Ku(k)
s
dp ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1)e(kTK
-e(k)T
1Ku(k) dpd −⎟⎟⎞
⎜⎜⎛+=
1)(k(k)(k)
1)e(kT
e(k)T
1Ku(k)ss
p ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝+
© Luis Filipe Baptista – MEMM 48
1)e(kqe(k)qu(k) 20 −−=
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico
Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo
Algoritmo PID discreto (integração rectangularAlgoritmo PID discreto (integração rectangular trapezoidal)
210 2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k) −+−++−=
dsp0
210
T
T
2T
T1Kq
2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
+++
ds1
sip
2TT1Kq
T2T
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+−−=
⎟⎠
⎜⎝
d
sip1
TKq
T2T1Kq
=
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+
© Luis Filipe Baptista – MEMM 49s
p2 TKq =
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Problemas típicos do algoritmo digitalSaturação do actuador quando a acçãoSaturação do actuador quando a acção integral atinge um valor muito elevado (windup)( dup)Uma possibilidade consiste em utilizar o algoritmo incremental que reduz os efeitosalgoritmo incremental que reduz os efeitos do windup
© Luis Filipe Baptista – MEMM 50
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Problemas típicos do algoritmo digitalUma das formas possíveis de implementarUma das formas possíveis de implementar um sistema de anti-windupConsiste em introduzir um mecanismo queConsiste em introduzir um mecanismo que faça parar a actualização do integral quando o actuador estiver saturadoquando o actuador estiver saturado Ver esquema no slide seguinte
© Luis Filipe Baptista – MEMM 51
Controladores digitaisControladores digitaisProblemas típicos do algoritmo digital
Controladores digitaisControladores digitaisProblemas típicos do algoritmo digital
Diagrama de controlo PID com anti-windup
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Controladores digitaisControladores digitaisProblemas típicos do algoritmo digital
Controladores digitaisControladores digitaisProblemas típicos do algoritmo digital
Influência do windup no desempenho do controlo
© Luis Filipe Baptista – MEMM 53
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa
A acção derivativa não deve ser implemen-tada directamente, pois iria amplificar o ruído presente nos sinais. Utiliza-se a derivada da saída e não o erro e=r-y.No controlador analógico, utiliza-se a seguinte aproximação da derivada (Nota: Nseguinte aproximação da derivada (Nota: N de 3 a 20): sT
sT dd ≈
© Luis Filipe Baptista – MEMM 54/NsT1
sTd
d +≈
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa
A discretização desta equação, conduz a:ã d i i í difi d ( )Acção derivativa contínua modificada (D)
dyTKD
dDTd
dt
yTKD
dtN dpd −=+
Acção derivativa discreta D(k)
( )NTKT d ( )1)-y(k-y(k)kNT
NTK1)-D(k
kNT
TD(k)
d
dp
d
d
+−
+=
© Luis Filipe Baptista – MEMM 55
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa
Outra possibilidade: utilizar mais pontos no cálculo da acção derivativa Caso sejam usados 4 pontosda acção derivativa. Caso sejam usados 4 pontos de erro, utilizando integração rectangular em avanço, obtém-se:ç ,
( )
+++++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−−−+++−+−=
4)e(kq3)e(kq2)e(kq1)e(kqe(k)q1)(k(k)
4)-e(k3)-2e(k2)6e(k1)2e(ke(k)6T
Te(k)
T
T1)e(k-e(k)K1)u(ku(k)
s
d
i
sp
⎪⎪⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
−+−+−+−++−=
3T
T1-Kq ;
6T
T
T
T1Kq
4)e(kq3)e(kq2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k)
s
dp1
s
d
i
sp0
43210
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎨
=
=−=
⎠⎝⎠⎝
TKq
3T
TKq;
T
TKq
d
s
dp3
s
dp2
© Luis Filipe Baptista – MEMM 56
⎪⎩
= 6T
Kqs
p4
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação em Matlab/Simulink
Controladores digitaisControladores digitaisImplementação em Matlab/SimulinkControlador PID incremental com aproximação da derivada através de 4 pontos de erro
Erro
Kp*(1+(Ts/Ti)+Td/(6*Ts))
q0
z
1
Product
2
processo
1
Setpoint
2
controlo sr
1
controlo_cr
-Kp*(Td/Ts)
Kp*(-1+Td/(3*Ts))
q1
z
1
e(k-2)
z
e(k-1)
Saturation
Product4
Product1
processo
controlo_sr
z
1
u(k-1)
q2
z
1
e(k-3)Product2
Kp*(Td/(3*Ts))
q3
z
1
e(k-4)Product3
© Luis Filipe Baptista – MEMM 57
Kp*(Td/(6*Ts))
Constant4
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Considerando que se aplica à entrada do controla-dor uma entrada degrau unitário discretodor uma entrada degrau unitário discreto
⎧ ≥ 0k1
⎩⎨⎧
<≥
=0k0
0k1e(k)
Tendo em consideração o algoritmo de velocidade
⎩ < 0k0
Tendo em consideração o algoritmo de velocidade
2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k) 210 −+−++−=
© Luis Filipe Baptista – MEMM 58
Controladores digitaisControladores digitaisA áli táti d t l d PID di it l
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Resposta do controlador u(k) para erro e(k)=1
0
2(0)(1)
qu(0) =
210210
1010
qq23qqqqu(1)u(2)
q2qqqu(0)u(1)
++=+++=+=++=
210210
.......
qq23qqqqu(1)u(2) +++++
210
1)(kk1)(k(k)
qqq1)u(ku(k)
++++++−=
© Luis Filipe Baptista – MEMM 59
210 1)q(kkq1)q(ku(k) −+++=
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Gráfico da resposta do controlador PID
u(k)
q0 q0+q1+q2
2q +qq -q
q0 q1 q2
k
2q0+q1q0 q2
© Luis Filipe Baptista – MEMM 60
k
Controladores digitaisControladores digitaisA áli táti d t l d PID di it l
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Gráfico da resposta do controlador PI
u(k)
q0+q1
q
q0 q1
k
q0
© Luis Filipe Baptista – MEMM 61
k
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Da análise do gráfico do controlador PID, tem-se:u(0) > u(1) e u(k) > u(k 1) o que correspondeu(0) > u(1) e u(k) > u(k-1), o que corresponde
ao comportamento típico do controlador PID analógico utilizado na indústriaanalógico utilizado na indústriaConsiderando que q0 > 0, tem-se:
0(0)(1)
:2kpara1)u(ku(k)
qq 0qq u(0)u(1) 1010
≥>−<⇒>+⇒<
k )q(qqou0qqq
:2kpara 1)u(ku(k)
102210 +−>>++≥−>
© Luis Filipe Baptista – MEMM 62
k )q(qqou 0qqq 102210 +>>++
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
As condições anteriores são válidas para um controlador PID com ganho positivo i e q > qcontrolador PID com ganho positivo, i.e. q0 > q2
Em resumo, têm-se as seguintes condições que permitem obter um comportamento análogo entrepermitem obter um comportamento análogo entre o controlador PID analógico e digital
0q >0
0q
<>
01
qq)q(q
<<+−−<
© Luis Filipe Baptista – MEMM 63
0210 qq)q(q <<+−
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital
Representação gráfica das condições anteriores
q1 q01 q1 q0i4
q2q0
-q0i
2 3
q1=- (q0i+q2)-2q0i
© Luis Filipe Baptista – MEMM 64
q1=- q0
Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de aplicação:
Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de aplicação:
Resposta do controlador PID incremental anterior aplicado ao sistema massa-mola-amortecedoraplicado ao sistema massa-mola-amortecedor (visto anteriormente)Parâmetros: 0.12Parâmetros:
Kp=1750 08
0.1
]
Ti=0.25 seg.
Td=0.1 seg.0.06
0.08si
ção
da m
assa
[m
g
Ts=0.1 seg. 0.02
0.04pos
© Luis Filipe Baptista – MEMM 65
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
tempo [seg.]
Controladores digitaisControladores digitaisA t té i d t l d di it i
Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais
Os algoritmos PID digitais funcionam bemd í d d t é b iquando o período de amostragem é baixo
Portanto uma regra a seguir será a de utilizar í d d i b ium período de amostragem Ts o mais baixo
possível, ou seja utilizar uma frequência de amostragem Fs o mais elevada possívelamostragem Fs o mais elevada possívelNo entanto, utilizar uma frequência de
t it l d d t l ã éamostragem muito elevada, quando tal não é necessário, pode implicar um desperdício de recursos
© Luis Filipe Baptista – MEMM 66
recursos
Controladores digitaisControladores digitaisA t té i d t l d di it i
Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais
No caso de se usarem períodos de amostragem muito baixos isto significa que se vão capturarmuito baixos, isto significa que se vão capturar sinais de elevada frequência (Ex: ruído), o que não é benéfico para a obtenção de um bomnão é benéfico para a obtenção de um bom desempenho do controladorNo caso de se usarem períodos de amostragem p gmuito elevados, então pode correr-se o risco de perder-se muita informação do sinal a amostrar. No caso limite, ocorre o fenómeno de ALIASING anteriormente apresentado
© Luis Filipe Baptista – MEMM 67
Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais
Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais
Inconvenientes adicionais de utilização de frequências de amostragem muito elevadas:frequências de amostragem muito elevadas:
O custo da implementação aumenta devido ao facto de ser necessário utilizar componentesfacto de ser necessário utilizar componentes electrónicos mais sofisticadosUm sistema de aquisição de dados (DAS) de q ç ( )uma instalação industrial, necessita de ler, em geral, muitos pontos de entrada. A sua funcionalidade degrada-se significativa-mente se cada anel de controlo funcionar a
f ê i d t it l d© Luis Filipe Baptista – MEMM 68
uma frequência de amostragem muito elevada
Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais
Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais
Metodologia a seguir:Efectuar uma análise à largura de banda doEfectuar uma análise à largura de banda do sistema a controlar de modo a obter a fre-quência máxima expectável do sistemaquência máxima expectável do sistemaAplicar o Teorema da Amostragem (Shannon)Multiplicar a frequência de amostragem porMultiplicar a frequência de amostragem por um factor de 10, para controlo digitalAnalisar os sinais amostrados de modo aAnalisar os sinais amostrados de modo a verificar os níveis de ruído, sinais espúrios, etc, que necessitem de correcção adicional através
© Luis Filipe Baptista – MEMM 69
de filtragem adicional, por exemplo.
Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital em função de diferentes valores de Ts =Δt
Desempenho adequado para Ts= 5 segDesempenho adequado para Ts= 5 seg.
© Luis Filipe Baptista – MEMM 70Ts=5 seg.
Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital
Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital em função de valores diferentes Ts =Δt
Grande degradação do controlo para Ts=10 e 15 sGrande degradação do controlo para Ts=10 e 15 s.
© Luis Filipe Baptista – MEMM 71Ts=10 seg. Ts=15 seg.
Controladores digitaisControladores digitaisC t l d di it i
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Hardware - Esquema típico
ROM RAM
Mi d
ROM RAM
endereço bus
Microprocessador bus de dados
linhas de controlo
Dados de I/O
n
© Luis Filipe Baptista – MEMM 72
n n
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais - Descrição do
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais - Descrição do hardware
Microprocessador – efectua todos os cálculos e manipulações de dados reais
f i l dconforme prescrito pelo programa de controloROM – memória permanente, geralmente só de leitura, onde ficam alojados os programas do controlador
© Luis Filipe Baptista – MEMM 73
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
RAM – memória volátil. É usada para t i t d darmazenar temporariamente dados e
cálculos de funções. Quando se desliga o t l d f lh li t ã tcontrolador ou falha a alimentação, estes
dados são apagados da memóriaóI/O – módulos de leitura/escrita de
sinais
© Luis Filipe Baptista – MEMM 74
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais (software)
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais (software)
Os algoritmos são programados ãrecorrendo a linguagens de programação
(C, Fortran, Basic, etc..)As operações a realizar no
microprocessador obedecem a um fluxograma que inclui as seguintes operações básicas
© Luis Filipe Baptista – MEMM 75
Controladores digitaisControladores digitaisC t l d di it i ( ft )
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais (software)
Operações básicas:1. Leitura dos valores no porto das
entradas2. Realização dos cálculos (alteração de
escalas, cálculos matemáticos, etc..)escalas, cálculos matemáticos, etc..)3. Decisão das acções a realizar em função
das condições de funcionamentodas condições de funcionamento4. Escrita dos valores de controlo no porto
de saída© Luis Filipe Baptista – MEMM 76
de saída
Controladores digitaisControladores digitaisSoftware Fluxograma de cálculo
Controladores digitaisControladores digitaisSoftware - Fluxograma de cálculo
Ler no porto A/D a saída do processo – y(k)
Calcular o erro e(k)=ref(k)-y(k)
Calcular os valores das acções P, I e D
Escrever no porto D/A o valor de u(k)
© Luis Filipe Baptista – MEMM 77
Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de controlador digital (FUJI)
Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de controlador digital (FUJI)
© Luis Filipe Baptista – MEMM 78
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Exemplos de sistemas de Exemplos de sistemas de ppcontrolo digital aplicados a controlo digital aplicados a
i t ítii t ítisistemas marítimossistemas marítimos
© Luis Filipe Baptista – MEMM 79
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação de velocidade de motoresRegulação de velocidade de motores (engine speed control)
Nos motores de explosão, a velocidade de rotação é controlada através da abertura de uma borboleta colocada no colector de admissão de arEsta borboleta regula o caudal de ar que entra nos cilindros e por conseguinte a p grelação ar/combustível
© Luis Filipe Baptista – MEMM 80
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação de velocidade de motoresRegulação de velocidade de motores (engine speed control)
Nos motores diesel esse dispositivo não existeAssim, é necessário utilizar um sistema de regulação de velocidade, dado que, g ç , q ,para uma variação de carga, o motor poderia aumentar continuamente a pvelocidade de rotação até se destrui
© Luis Filipe Baptista – MEMM 81
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação de velocidade (speedRegulação de velocidade (speed control)
De forma a manter constante a velocidade quando se varia a carga, os motores diesel são equipados com sistemas automáticos de regulação de velocidadeEstes reguladores podem ser de diversos g ptipos (mecânicos, hidráulicos, e electrónicos) e de maior ou menor )complexidade
82© Luis Filipe Baptista – MEMM
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulador mecânico de motor DieselRegulador mecânico de motor Diesel
Regulador mecânico de
velocidade de motor diesel (Woodward
Controls)
83© Luis Filipe Baptista – MEMM
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitais
Regulação digital de velocidadeRegulação digital de velocidade
84© Luis Filipe Baptista – MEMM
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação digital de velocidade/cargaRegulação digital de velocidade/carga de um motor diesel marítimo
85© Luis Filipe Baptista – MEMM
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisControlo digital de óleo de lubrificaçãoControlo digital de óleo de lubrificação das camisas
86© Luis Filipe Baptista – MEMM
C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisControlo digital de óleo de lubrificaçãoControlo digital de óleo de lubrificação das camisas
87© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Motores diesel dual fuel (4 tempos)Motores diesel dual-fuel (4 tempos)
88© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Sistema de controlo do motorSistema de controlo do motorSistema de controlo do motorSistema de controlo do motor
89© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Diagrama de operação (dualDiagrama de operação (dual fuel)fuel)Diagrama de operação (dualDiagrama de operação (dual--fuel)fuel)
90© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo do caudal de ar para o motorControlo do caudal de ar para o motorControlo do caudal de ar para o motorControlo do caudal de ar para o motor
91© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo do caudal de gás para o motorControlo do caudal de gás para o motorControlo do caudal de gás para o motorControlo do caudal de gás para o motor
92© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Sistema de alimentação de fuelSistema de alimentação de fuelSistema de alimentação de fuelSistema de alimentação de fuel
93© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Caldeira aquitubular (grande débito)Caldeira aquitubular (grande débito)Caldeira aquitubular (grande débito)Caldeira aquitubular (grande débito)
94© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo de nível de água (clássico)Controlo de nível de água (clássico)Controlo de nível de água (clássico)Controlo de nível de água (clássico)
95© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo digital de nível de águaControlo digital de nível de águaControlo digital de nível de águaControlo digital de nível de água
96© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo do hélice de passo variávelControlo do hélice de passo variávelControlo do hélice de passo variávelControlo do hélice de passo variável
97© Luis Filipe Baptista – MEMM
Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais
Controlo de pressão do gás inerte (IGS)Controlo de pressão do gás inerte (IGS)Controlo de pressão do gás inerte (IGS) Controlo de pressão do gás inerte (IGS) (sistema de controlo de acção dupla)(sistema de controlo de acção dupla)
98© Luis Filipe Baptista – MEMM