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BRUNIBRUNISlides de apoio ao livroSlides de apoio ao livro
Todo o conteúdo dos Todo o conteúdo dos
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no livro no livro A A
Matemática das Matemática das
FinançasFinanças, publicado , publicado
pela Editora Atlas.pela Editora Atlas.
Adriano Leal BruniAdriano Leal Bruni
albruni@infinitaweb.com.bralbruni@infinitaweb.com.br
BRUNIBRUNIBibliografia auxiliarBibliografia auxiliar
LivroLivro
MatemáticaMatemática
FinanceiraFinanceiracom HP12C e Excelcom HP12C e Excel
Editora AtlasEditora Atlas
BRUNIBRUNIProgramação didáticaProgramação didática
ObjetivoObjetivo
Apresentar os Apresentar os
principais conceitos principais conceitos
e aplicações da e aplicações da
Matemática Matemática
Financeira, com uso Financeira, com uso
da HP 12C e do da HP 12C e do
Excel.Excel.
BRUNIBRUNIEmentaEmenta
Diagramas de fluxo Diagramas de fluxo de caixade caixa
Juros simplesJuros simples DescontoDesconto Juros compostosJuros compostos TaxasTaxas Séries uniformesSéries uniformes Séries não uniformesSéries não uniformes
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Conceitos iniciais e Conceitos iniciais e diagramas de fluxo dediagramas de fluxo de
caixacaixa
1
BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo
Entender os propósitos Entender os propósitos
da Matemática Financeirada Matemática Financeira
Saber construir Saber construir
diagramas de fluxo de diagramas de fluxo de
caixacaixa
Compreender a evolução Compreender a evolução
do dinheiro no tempodo dinheiro no tempo
BRUNIBRUNIUma pergunta inicial …Uma pergunta inicial …
O que éO que éMatemáticaMatemáticaFinanceiraFinanceira??
BRUNIBRUNIUma resposta simples …Uma resposta simples …
RETORNORETORNO==
BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …
Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo
nono tempo!!!tempo!!!
BRUNIBRUNIPrimeiro passo …Primeiro passo …
Entendendo Entendendo
o o dinheiro dinheiro
nono tempo tempo!!!!!!
BRUNIBRUNIDiagramas de fluxo de caixaDiagramas de fluxo de caixa
Uma Uma imagemimagem que vale que vale por por mil mil
palavraspalavras!!
BRUNIBRUNIDiagramas de fluxo de caixaDiagramas de fluxo de caixa
Representação gráfica da Representação gráfica da evolução do dinheiro no evolução do dinheiro no tempotempo
SímbolosSímbolos
TempoTempo
Movimentações de $Movimentações de $
(+) Entradas(+) Entradas
(-) Saídas(-) Saídas
Taxa de juros = Taxa de juros = JurosJuros
Valor InicialValor Inicial
BRUNIBRUNIIlustrando o uso do DFCIlustrando o uso do DFC
Um investidor aplicou hoje $100,00 Um investidor aplicou hoje $100,00
por um mês, planejando resgatar por um mês, planejando resgatar
$108,00. Desenhe o diagrama de $108,00. Desenhe o diagrama de
fluxo de caixa da operação.fluxo de caixa da operação.
-100,00-100,00
+108,00+108,00
11
taxa = 8/100 = 8%taxa = 8/100 = 8%
juros = $8,00juros = $8,00
ao períodoao período
00 mesesmeses
BRUNIBRUNIPensando sobre os ...Pensando sobre os ...
Componentes Componentes do DFCdo DFC
BRUNIBRUNIComponentes do DFCComponentes do DFC
Valor presente (VP)Valor presente (VP) Valor futuro (VF)Valor futuro (VF) Tempo (n)Tempo (n) Taxa de juros (i)Taxa de juros (i)
-400,00-400,00
+480,00+480,00
44
taxa = 80/400 = 20%taxa = 80/400 = 20%
VF - VPVF - VPjuros = $80,00juros = $80,00
ao períodoao período
00
VPVP
VFVF
nn
ii
BRUNIBRUNITome cuidado com alguns ...Tome cuidado com alguns ...
SinônimosSinônimos
BRUNIBRUNIPara ficar esperto!!!Para ficar esperto!!!
Classifique as definições Classifique as definições em Valor presente (em Valor presente (PP) ou ) ou Valor futuro (Valor futuro (FF):):
a)a) MontanteMontante
b)b) Capital inicialCapital inicial
c)c) Valor por dentroValor por dentro
d)d) Valor por foraValor por fora
e)e) Valor nominalValor nominal
f)f) Valor líquidoValor líquido
g)g) Valor atualValor atual
FFPPPPFFFFPPPP
BRUNIBRUNIOutras expressões ...Outras expressões ...
h)h)PrincipalPrincipal
i)i) Valor de face Valor de face
PP
FF
BRUNIBRUNIPensando sobre ...Pensando sobre ...
DFCDFCem sériesem séries
BRUNIBRUNIAmpliando horizontes …Ampliando horizontes …
E se a operação for uma E se a operação for uma série?série?
Série = mais que dois Série = mais que dois capitais analisadoscapitais analisados
…… Exemplo:Exemplo:
A vista: A vista: $1.000,00$1.000,00
Ou 4 x Ou 4 x $300,00$300,00
BRUNIBRUNIDFC do televisorDFC do televisor
+1.000,00+1.000,00
1
-30
0,0
0-3
00
,00
A vista: A vista: $1.000,00$1.000,00
Ou 4 x Ou 4 x $300,00$300,00
2-3
00
,00
-30
0,0
03
-30
0,0
0-3
00
,00
4
-30
0,0
0-3
00
,00
BRUNIBRUNIComponentes de sériesComponentes de séries
Valor presente (VP)Valor presente (VP) Valor futuro (VF)Valor futuro (VF) Taxa de juros (i)Taxa de juros (i) Tempo (n)Tempo (n) Pagamento (PMT)Pagamento (PMT)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prestações
Taxa de juros (i)Valor Presente
Número de pagamentos (n)
BRUNIBRUNIPensando sobre ...Pensando sobre ...
SériesSériesantecipadasantecipadas
BRUNIBRUNIA simbologia do …A simbologia do …
1 + n1 + nCom entrada!!!Com entrada!!!
BRUNIBRUNIPara ilustrar …Para ilustrar …
A vista: 15% descA vista: 15% desc
1 + 91 + 9ouou
+85+85
……00 11 99
-10-10
Preço = $100,00Preço = $100,00
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
A HP 12C e o ExcelA HP 12C e o Excel2
BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo
Entender os mecanimos Entender os mecanimos
de funcionamento da HPde funcionamento da HP
Saber usar a notação RPN Saber usar a notação RPN
e as função da HPe as função da HP
Compreender os recursos Compreender os recursos
disponíveis no Exceldisponíveis no Excel
BRUNIBRUNIEntendendo a HP 12CEntendendo a HP 12C
Modelo Modelo
tradicionaltradicional
DouradoDourado
BRUNIBRUNIUm modelo novoUm modelo novo
Modelo novo, prateadoModelo novo, prateado
BRUNIBRUNITeste a sua platina!!!Teste a sua platina!!!
Alguns exemplares foram produzidos Alguns exemplares foram produzidos com erro! Teste o seu:com erro! Teste o seu:
218720 CHS g CFo; 0 g CFj; 16 g Nj; 28000 g CFj; 0 g CFj; 10 g Nj; 65000 g CFj; 0 g CFj; 5 g
Nj; 47000 g CFj; 0 g CFj; 18 g Nj; 88000 g CFj; f IRR
Resultado correto: 0,11104985Resultado incorreto de 1,191000 -10 (pela HP-12C Platinum)
BRUNIBRUNIEmuladores para PalmEmuladores para Palm
BRUNIBRUNIEmuladores para PCEmuladores para PC
HP 12C++HP 12C++
BRUNIBRUNIAlgumas características …Algumas características …
RPNRPNPilhas de Pilhas de registradoresregistradores
BRUNIBRUNIJan LukasiewiczJan Lukasiewicz
Uma idéia genial!Uma idéia genial! Simplificar a Simplificar a
notação matemática notação matemática para facilitar as para facilitar as contas em contas em máquinas!máquinas!
BRUNIBRUNIUma lógica reversa …Uma lógica reversa …
RRPPNN
eversaeversa
olonesaolonesa
otaçãootação
BRUNIBRUNIAlguns exemplos …Alguns exemplos …
Álgebra convencional …Álgebra convencional …
235235
Soma de 235 e 121Soma de 235 e 121
121121++ ==
OperandosOperandosOperadorOperador InstruçãoInstrução
356356
Notação polonesa …Notação polonesa …
235235 121121 ++
OperandosOperandosOperadorOperadorInstruçãoInstrução
356356
EN
TE
R
BRUNIBRUNIObservação importanteObservação importante
A HP 12C não tem a teclaA HP 12C não tem a tecla
==A notação polonesaA notação polonesadispensa seu usodispensa seu uso
BRUNIBRUNIA pilha de registradoresA pilha de registradores
Registradores que processam Registradores que processam as operaçõesas operações
TT
ZZ
YY
XX Visor:Visor:Registrador XRegistrador X
Clear XClear XLimpa oLimpa o
registrador Xregistrador X
BRUNIBRUNIO funcionamento da pilhaO funcionamento da pilha
TT
ZZ
YY
XX
88
EnterEnter
88
88
44
44
++
1212
BRUNIBRUNIOperações com a pilhaOperações com a pilha
Limpa o registrador XLimpa o registrador X
Troca X por YTroca X por Y
Rola a pilha para baixoRola a pilha para baixo
Limpa a memóriaLimpa a memória
CLEAR
BRUNIBRUNIFunções especiaisFunções especiais
AzuisAzuis
AmarelasAmarelas
BRUNIBRUNIFunções especiais amarelasFunções especiais amarelas
Apenas teclas amarelasApenas teclas amarelas
BRUNIBRUNIO primeiro passo de sempreO primeiro passo de sempre
Limpa a memória da calculadoraLimpa a memória da calculadora
CLEARCLEAR
BRUNIBRUNIFunções especiais azuisFunções especiais azuis
Apenas teclas azuisApenas teclas azuis
BRUNIBRUNIUsando funções algébricasUsando funções algébricas
Calcula o logaritmo neperianoCalcula o logaritmo neperiano
BRUNIBRUNIFunções essenciaisFunções essenciais
Funções Funções financeirasfinanceiras
Serão discutidas com maiorSerão discutidas com maiorprofundidade a partir deprofundidade a partir de
Juros CompostosJuros Compostos
BRUNIBRUNIFunções financeiras da HP 12CFunções financeiras da HP 12C
[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinal
BRUNIBRUNIMatemática financeira no …Matemática financeira no …
ExcelExcel
BRUNIBRUNIFunções variadasFunções variadas
=VP()=VP() =VF()=VF() =NPER()=NPER() =TAXA()=TAXA() =PGTO()=PGTO()
BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo
Entendemos os Entendemos os
mecanimos de mecanimos de
funcionamento da HPfuncionamento da HP
Sabemos usar a notação Sabemos usar a notação
RPN e as função da HPRPN e as função da HP
Compreendemos os Compreendemos os
recursos disponíveis no recursos disponíveis no
ExcelExcel
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Juros SimplesJuros Simples3
BRUNIBRUNIConceito de juros simplesConceito de juros simples
Juros sempre Juros sempre
incidem sobre incidem sobre
o o
VALOR VALOR
PRESENTEPRESENTE
BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!
EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data
zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.
Considere Considere juros juros simplessimples
BRUNIBRUNIJuros simplesJuros simples
nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula
0 - 100,00 VF=VP
1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100
2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP10% x $100
n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)
Juros simples sempreincidem sobre valor presente
BRUNIBRUNIFórmula dos juros simplesFórmula dos juros simples
VF=VP (1+ i.n)Devem estar
em uma mesmabase!!!
Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n
BRUNIBRUNIAbreviaturas nas taxas Abreviaturas nas taxas
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.d.u. ao dia útil
a.m. ao mês
a.m.o. ao mês over
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
a.a.o. ao ano over
BRUNIBRUNICuidado com os anosCuidado com os anos
ano civil ou exatoano civil ou exatoformado por 365 formado por 365
dias;dias;ano comercialano comercial
formado por 360 formado por 360 dias.dias.
BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A
Uma aplicação de $500,00 Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do 5% am. Qual o valor do resgate?resgate?
VFVF
-500-500
8 meses8 meses00
i = 5% a.m.i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)
VF = 700VF = 700
BRUNIBRUNICaracterísticas dos juros Características dos juros simplessimples
Valor uniforme dos Valor uniforme dos juros períodicosjuros períodicos
Valor futuro cresce Valor futuro cresce linearmentelinearmente
Capitalização LinearCapitalização Linear
Valor Futuro
Tempo
VP
BRUNIBRUNIExercícios de …Exercícios de …
Sala!Sala!
BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B
Sabina precisará de Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia para ter a quantia desejada? Considere uma desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am taxa simples igual a 5% am
1.200,001.200,00
-VP-VP
10 meses10 meses00
i = 5% a.m.i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)
VP = 800VP = 800
BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C
Neco aplicou $8.000,00 por Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente Qual a taxa mensal vigente na operação?na operação?
10.400,0010.400,00
-8000-8000
6 meses6 meses00
i = ?i = ?
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)
i = 5%i = 5%
BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D
A aplicação de $9.000,00 a A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? em meses dessa operação?
11.700,0011.700,00
-9000-9000
n=?n=?00
i = 6% a.m.i = 6% a.m.
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)
n = 5n = 5
BRUNIBRUNIImportante!!!Importante!!!
Taxas são Taxas são sagradas!!!sagradas!!!
BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E
Calcule o valor futuro de Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 uma aplicação de $500,00
por 24 meses a 8% a.a.por 24 meses a 8% a.a.
-$500,00
0
24
VF
Taxa anual !!!
n em anosX
24 meses = 2 anos2 anos
BRUNIBRUNIAlterando o prazo …Alterando o prazo …
VF=VP (1+ i.n)
VF=500 (1+ 0,08.2)
VF=$580,00
BRUNIBRUNIDescontando em …Descontando em …
Juros Juros simples por simples por
dentrodentro
BRUNIBRUNIDesconto Racional Simples Desconto Racional Simples
Aplicar a fórmula dos Aplicar a fórmula dos juros simples para juros simples para calcular o valor presentecalcular o valor presente
Descontar significa extrair Descontar significa extrair os juros do valor futuro os juros do valor futuro para obter o valor para obter o valor presentepresente
Cuidado!!! Depois Cuidado!!! Depois veremos o descontoveremos o desconto
COMERCIALCOMERCIAL
BRUNIBRUNIDa fórmula dos juros simplesDa fórmula dos juros simples
VF = VP (1 + i.n)VF = VP (1 + i.n)
Como se deseja obter VPComo se deseja obter VP
niVF
VP
1
(1+in)(1+in)
BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F
Uma empresa precisa descontar Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto?desconto?
VP
0 2
-$4.400,00-$4.400,00
Valor PresenteValor PresenteJurosJuros
VP = VF/ (1+i.n)VP = VF/ (1+i.n)
VP = 4400/(1+0,05.2)VP = 4400/(1+0,05.2)
VP = 4000VP = 4000
D = 4400-4000D = 4400-4000
D = 400D = 400Valor FuturoValor Futuro
BRUNIBRUNITaxa efetivaTaxa efetiva
É aquela que É aquela que incide sobre o incide sobre o valor presente valor presente no processo de no processo de capitalização. capitalização.
BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G
Ao antecipar em 30 dias o Ao antecipar em 30 dias o
recebimento de uma conta a recebimento de uma conta a
receber no valor de receber no valor de
$15.000,00, a Cia Cava Cava $15.000,00, a Cia Cava Cava
S. A. sofreu um desconto S. A. sofreu um desconto
igual a 1/3 (33,3333%) do igual a 1/3 (33,3333%) do
valor nominal. Calcule a taxa valor nominal. Calcule a taxa
efetiva mensal da operação.efetiva mensal da operação.
Taxa por fora = 33,3333%Taxa por fora = 33,3333%
BRUNIBRUNITaxa efetiva no DFC!Taxa efetiva no DFC!
$10.000,00
0 1
-$15.000,00-$15.000,00
Desconto = 1/3 de $15.000,00Desconto = 1/3 de $15.000,00
Desconto = $5.000,00Desconto = $5.000,00
Por fora =33,3333%Por fora =33,3333%
Por dentro =50%Por dentro =50%
VF = VP (1+i.n)VF = VP (1+i.n)
15000 = 10000 (1+i.1)15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m.i = 50% a.m.
BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais
““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.
BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …
Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo
nono tempo!!!tempo!!!
Deve ser Deve ser somado somado
apenas em apenas em mesma data!mesma data!
BRUNIBRUNIA operação de equivalênciaA operação de equivalência
00 11 22 33 44
-4.0
00,0
0-4
.000
,00
1.00
0,00
1.00
0,00
1.00
0,00
1.00
0,00
2.00
0,00
2.00
0,00
X?
X?
BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H
Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.
Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00
-$8.000,00 -$14.000,00 -X
Use a data focal 60 dias
0 30 60 dias
BRUNIBRUNITaxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00 -$14.000,00 -X
$22.000,00 $23.320,00
$14.420,00
$8.900,00
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 22000 (1+0,03.2)
VF = $23.320,00
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 14000 (1+0,03.1)
VF = $14.420,00
0 1 2 meses
BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I
Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um microondas a vista por microondas a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros simplessimples, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.
Use a data focal zero
BRUNIBRUNIResolução …Resolução …
-X -X
$500,00
0 1 2
i = 4% a.m. (JS)i = 4% a.m. (JS)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.1)
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.2)
VP = 0,9259.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 X = 500/1,8874 = $264,91
$264,91$264,91 $264,91$264,91
BRUNIBRUNIExemplo JExemplo J
Um refrigerador é vendido Um refrigerador é vendido
à vista por $ 1.800,00 ou à vista por $ 1.800,00 ou
então a prazo mediante então a prazo mediante
$800,00 de entrada e mais $800,00 de entrada e mais
uma parcela de $ 1.150,00 uma parcela de $ 1.150,00
após 90 dias. Qual a taxa após 90 dias. Qual a taxa
mensal de juros simples do mensal de juros simples do
financiamento? financiamento?
BRUNIBRUNISolução do Exemplo JSolução do Exemplo J
$1.800,00
0 3
-$800,00-$800,00 -$1.150,00-$1.150,00
$1.000,00
0 3
-$1.150,00-$1.150,00
VF = VP (1+in)
1150 = 1000 (1+i.3)
i = [(1150/1000) – 1] / 3)
i = 5%
BRUNIBRUNIProporcionalidade de taxasProporcionalidade de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.
BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência
ia = ib.(nb/na)ia = ib.(nb/na)Em juros Em juros
simples, vale simples, vale usar regra de usar regra de
três!!!três!!!Em juros Em juros
simples!!!simples!!!
BRUNIBRUNIExemplo LExemplo L
I. Determinar as taxas semestral e anual I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.3% ao mês.
II. Calcular a taxa mensal proporcional de II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.ao ano; c) 96% ao biênio.
BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L
I. I.
3% a.m. = [__] % a.s.3% a.m. = [__] % a.s.
1 semestre = 6 meses1 semestre = 6 meses
3% x 6 = 18% a.s.3% x 6 = 18% a.s.
3% a.m. = [__] % a.a.3% a.m. = [__] % a.a.
1 ano = 12 meses1 ano = 12 meses
3% x 12 = 36% a.a.3% x 12 = 36% a.a.
BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L
II. Cálculo de taxas mensaisII. Cálculo de taxas mensais
a) 1 semestre = 6 mesesa) 1 semestre = 6 meses
90% a.s. 90% a.s. ÷÷ 6 = 15% a.m. 6 = 15% a.m.
b) 1 ano = 12 mesesb) 1 ano = 12 meses
220,8% a.a. 220,8% a.a. ÷÷ 12 = 18,4% a.m. 12 = 18,4% a.m.
c) 1 biênio = 24 mesesc) 1 biênio = 24 meses
96% 96% ÷÷ 24 = 24 = 4% a.m. 4% a.m.
BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo
Entendemos operações Entendemos operações
com juros simplescom juros simples
Sabemos usar a Sabemos usar a
proporcionalidade de proporcionalidade de
taxastaxas
Compreendemos as Compreendemos as
operações com operações com
equivalência de capitaisequivalência de capitais
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Desconto comercial eDesconto comercial ebancáriobancário
4
BRUNIBRUNIO que é descontarO que é descontar
Obter valor presenteObter valor presente Retirando os juros do valor Retirando os juros do valor
futurofuturo
Desconto = JurosDesconto = Juros
BRUNIBRUNIExemplo genérico ...Exemplo genérico ...
Pagar no futuro, receber a vistaPagar no futuro, receber a vista
0 n
DescontarRetirar os juros
Valor nominal
Valor líquido
(-) Desconto
Preciso do dinheiro hoje!!!
SinônimosValor nominalValor futuro
Valor líquidoValor presente
DescontoJuros
BRUNIBRUNIUm exemplo usual …Um exemplo usual …
Uma empresa possui uma Uma empresa possui uma duplicata a receber no duplicata a receber no valor de $4.000,00 em três valor de $4.000,00 em três mesesmeses
Porém, precisa do dinheiro Porém, precisa do dinheiro hojehoje
Resolve descontar (trazer Resolve descontar (trazer a valor presente) o títuloa valor presente) o título
O banco cobra uma taxa O banco cobra uma taxa de desconto igual a 6% de desconto igual a 6% a.m.a.m.Qual o desconto sofrido?Qual o desconto sofrido?
$4.000,00
0 3
Situação original
-$4.000,00
VP
Nova situação
Usando odescontoracional
…
BRUNIBRUNIDiferentes tipos de descontoDiferentes tipos de desconto
Racional simples ou por Racional simples ou por dentrodentro Aplicação da fórmula dos Aplicação da fórmula dos
juros simplesjuros simples VF = VP.(1 + i.n)VF = VP.(1 + i.n) Assim …Assim … VP = VF / (1 + i.n)VP = VF / (1 + i.n) Ou …Ou … D = VF - VPD = VF - VP
BRUNIBRUNIDesconto racionalDesconto racional
D = VF – VPD = VF – VP VP = VF / (1+in)VP = VF / (1+in) D = VF – VF / (1+in)D = VF – VF / (1+in) D = VF{1 – [1 / (1+in)]}D = VF{1 – [1 / (1+in)]} Do enunciado:Do enunciado:
VF = 4000VF = 4000 id = 6% a.m.id = 6% a.m. n = 3 mesesn = 3 meses
Desconto:Desconto: D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17
Comentário:Comentário:
Que trabalho!!!
Existe algumaExiste algumaforma maisforma mais
fácil?fácil?
DescontoDescontoComercialComercial
BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial
Comercial ou por Comercial ou por foraforaJuros são Juros são
calculados sobre calculados sobre Valor FuturoValor Futuro
É preciso ajustar É preciso ajustar a fórmula!a fórmula!
BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial
Nas operações de Nas operações de desconto comercial, com o desconto comercial, com o objetivo de tornar mais objetivo de tornar mais fácil os cálculos, a fácil os cálculos, a instituição financeira instituição financeira costuma fazer incidir a costuma fazer incidir a taxa sobre o taxa sobre o valor futurovalor futuro
D = id.n.VFD = id.n.VF
id = taxa de desconto por foraid = taxa de desconto por fora
Cuidado!Cuidado!O banco apenas O banco apenas simplifica contra simplifica contra
o bolso do o bolso do cliente!!!cliente!!!
BRUNIBRUNISegunda fórmula …Segunda fórmula …
D = id.n.VFD = id.n.VF
VP = VF – DVP = VF – DVP = VF – id.n.VFVP = VF – id.n.VFVP = VF (1– id.n)VP = VF (1– id.n)
BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial
D = id.n.VFD = id.n.VF Cuidado: Cuidado:
id = taxa de desc comercialid = taxa de desc comercial
Do enunciado:Do enunciado: VF = 4000VF = 4000 id = 6% a.m.id = 6% a.m. n = 3 mesesn = 3 meses
Desconto:Desconto: D = id.n.VF D = id.n.VF D = 0,06.3.4000 = $720,00D = 0,06.3.4000 = $720,00 Obs: anterior (racional simples) Obs: anterior (racional simples)
foi igual a $610,17foi igual a $610,17
$4.000,00
0 3
-$4.000,00
0 3
VF = VP (1+in)
4000 = 3280 (1+i.3)
i = [(4000/3280)-1]/3
i = 7,32% a.m.
Situação original
Nova situação
Ta
xa e
feti
va
VP ou Líquido4000 – 720 = $3.280,00
E a taxa efetiva simples?
BRUNIBRUNIImportantíssimo!!!Importantíssimo!!!
A taxa de desconto A taxa de desconto comercial incide sobre o comercial incide sobre o valor futuro!valor futuro!
O valor futuro é sempre O valor futuro é sempre maior que o valor maior que o valor presente!presente!
Cuidado!!!Cuidado!!! A taxa efetiva (que incide A taxa efetiva (que incide
sobre o valor presente) sobre o valor presente) será sempre maior!será sempre maior!
BRUNIBRUNIAlguns sinônimos importantesAlguns sinônimos importantes
Valor futuroValor futuro MontanteMontante Valor de faceValor de face Valor do títuloValor do título Valor nominalValor nominal
Valor presenteValor presente Capital inicialCapital inicial Valor líquidoValor líquido
BRUNIBRUNIFórmula do desconto comercialFórmula do desconto comercial
VP=VF (1- id.n)Devem estarem uma mesmabase!!!
Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n
id = taxa de descontocomercial
D=VF.id.n
BRUNIBRUNIDescontando comercialmenteDescontando comercialmente
Uma empresa quer descontar um Uma empresa quer descontar um
título a receber no valor de $10.000,00 título a receber no valor de $10.000,00
em 5 meses mediante desconto em 5 meses mediante desconto
comercial a 4%comercial a 4% a.m. Calcule: a) a.m. Calcule: a)
desconto; b) valor líquido; c) taxa desconto; b) valor líquido; c) taxa
efetiva mensal simples.efetiva mensal simples.
-10.000,00-10.000,00
+VP+VP
55
taxa = 2000/8000 = 25% ao períodotaxa = 2000/8000 = 25% ao período
D = VF.id.nD = VF.id.n
00 mesesmeses
D = 10000 x 0,04 x 5D = 10000 x 0,04 x 5
a) D = 2000a) D = 2000
b) VP = 8000b) VP = 8000
c) taxa = 5% ao mêsc) taxa = 5% ao mês
BRUNIBRUNIUma análise simplificada por…Uma análise simplificada por…
Prazos Prazos médios médios
BRUNIBRUNIAnalisando prazos médiosAnalisando prazos médios
É comum É comum
representar os representar os
fluxos por seus fluxos por seus
prazos médios e prazos médios e
valor totalvalor total
BRUNIBRUNIPara sempre lembrar …Para sempre lembrar …
A Cia Melhor da A Cia Melhor da
Praça deseja Praça deseja
descontar um descontar um
borderô, com id = 5% borderô, com id = 5%
a.m. Calcule o valor a.m. Calcule o valor
líquido recebido por líquido recebido por
ela.ela.
BRUNIBRUNIO borderô …O borderô …
Borderô = conjunto de Borderô = conjunto de títulostítulos
TítuloTítulo ValorValor PrazoPrazo
203A203A $500,00$500,00 30 dias30 dias
305F305F $600,00$600,00 45 dias45 dias
440E440E $400,00$400,00 60 dias60 dias
0 30
500,00
45
600,00
60
400,00
Soma $1.500,00
nn
BRUNIBRUNIDesconto de BorderôDesconto de Borderô
TítuloTítulo ValorValor PrazoPrazo 203A203A $500,00$500,00 30 dias30 dias 305F305F $600,00$600,00 45 dias45 dias 440E440E $400,00$400,00 60 dias60 dias
SomaSoma $1.500,00$1.500,00
Prazo médio =Prazo médio =500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60 = = 500 + 600 + 400500 + 600 + 400= 44 dias = 44 dias
44 dias44 dias
BRUNIBRUNISimplificando …Simplificando …
0 30
500,00
45
600,00
60
400,00
0 44
1.500,00Simplificando …Simplificando …
VP = VF (1-id.n)VP = VF (1-id.n)VP = 1500 (1-0,05.44/30)VP = 1500 (1-0,05.44/30)VP = $1.390,00VP = $1.390,00
BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo
Entendemos o significado Entendemos o significado
do desconto comercialdo desconto comercial
Sabemos distingüir taxas Sabemos distingüir taxas
de desconto por fora e de desconto por fora e
por dentropor dentro
Calculamos taxas efetivasCalculamos taxas efetivas
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Juros compostosJuros compostos5
BRUNIBRUNIPara pensar ...Para pensar ...
"O juro composto é a "O juro composto é a
maior invenção da maior invenção da
humanidade, porque humanidade, porque
permite uma confiável permite uma confiável
e sistemática e sistemática
acumulação de acumulação de
riqueza”.riqueza”.
Albert EinsteinAlbert Einstein
BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo
Entender operações com Entender operações com
juros compostosjuros compostos
Saber usar a equivalência Saber usar a equivalência
de taxasde taxas
Compreender as Compreender as
operações com operações com
equivalência de capitaisequivalência de capitais
BRUNIBRUNIConceito de juros compostosConceito de juros compostos
Juros sempre sobre o Juros sempre sobre o
MONTANTE MONTANTE
ANTERIORANTERIOR
BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!
EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data
zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.
Considere Considere juros juros compostoscompostos
BRUNIBRUNIJuros compostosJuros compostos
nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula
0 - 100,00 VF=VP
1 10,00 110,00 VF=VP (1+i)10% x $100
2 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i)10% x $110
n i.VFant VF VF=VP (1+ i)n
Juros compostos sempreincidem sobre montante
BRUNIBRUNIUma constataçãoUma constatação
Juros sobre Juros sobre montantemontante
Montante inclui jurosMontante inclui juros
Juros sobre Juros sobre jurosjuros
BRUNIBRUNIFórmula dos juros compostosFórmula dos juros compostos
VF=VP (1+ i)n
Expoente!Desafio matemático …Contas mais difíceis …
BRUNIBRUNICalculando no braçoCalculando no braço
Um investidor aplicou Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do 8% a.m. Calcule o valor do resgate.resgate.
VFVF
-4000-4000
6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn
VF = 4000 (1+0,08)VF = 4000 (1+0,08)66
VF = $6.347,50 VF = $6.347,50
BRUNIBRUNIAs tabelas padronizadasAs tabelas padronizadas
Para facilitar as contas …Para facilitar as contas …
VF=VP (1+ i)n
(1+ i)n
linhalinhacolunacoluna
Tabelas padronizadasTabelas padronizadas
BRUNIBRUNIPara o exemploPara o exemplo
n\in\i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937
n=6n=6 i=8%i=8%
=1,5869
VFVF
-4000-4000 6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
BRUNIBRUNISubstituindo aSubstituindo an,in,i
VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn
VF = $6.347,50 VF = $6.347,50
VF = 4000. (1,5869)VF = 4000. (1,5869)
VFVF
-4000-4000 6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
BRUNIBRUNIPara facilitar as contas …Para facilitar as contas …
Recursos auxiliares de Recursos auxiliares de cálculos podem ser cálculos podem ser
empregados …empregados …
Calculadora Calculadora HP12CHP12C
Planilha ExcelPlanilha Excel
BRUNIBRUNIJuros compostos na HP 12CJuros compostos na HP 12C
BRUNIBRUNIFunções financeiras da HP 12CFunções financeiras da HP 12C
[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinal
BRUNIBRUNIEmuladores para PCEmuladores para PC
HP 12C++HP 12C++
BRUNIBRUNINa HP 12CNa HP 12C
VFVF
-4000-4000
6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
f Regf Reg
4000 CHS PV4000 CHS PV
6 n6 n
8 I8 I
[FV] [FV] $6.347,50 $6.347,50
BRUNIBRUNIImportantíssimo!!!Importantíssimo!!!
Ajuste a HP 12C para Ajuste a HP 12C para a convenção a convenção exponencial!!!exponencial!!!
Sempre trabalhar Sempre trabalhar com juros com juros compostos, mesmo compostos, mesmo nas partes nas partes fracionárias de n!fracionárias de n!
BRUNIBRUNIConfigurando a HP 12CConfigurando a HP 12C
CC
Ative o flag “C”!!!Ative o flag “C”!!!
BRUNIBRUNIPara ativar …Para ativar …
BRUNIBRUNIHP 12C configurada!!!HP 12C configurada!!!
CC
BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A
Pedro aplicou $400,00 por três meses a Pedro aplicou $400,00 por três meses a 5% a. m. (juros compostos). Qual o 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate?valor de resgate?
Tempo
-400,00-400,00
VF?VF?
Mo
vim
enta
ções
de
$M
ovi
men
taçõ
es d
e $
n=3n=3
i=5% a.m.i=5% a.m.
[f] [Reg][f] [Reg]
400 [CHS] [PV]400 [CHS] [PV]3 [n]3 [n]
5 [i]5 [i]
[FV] 463,05[FV] 463,05
BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B
Qual o valor presente obtido Qual o valor presente obtido para um valor futuro igual a para um valor futuro igual a $800,00 no ano 4 a uma taxa $800,00 no ano 4 a uma taxa igual a 8% a. a.? igual a 8% a. a.?
[f] [Reg][f] [Reg]
800 [FV]800 [FV]4 [n]4 [n]
8 [i]8 [i]
[PV][PV]
BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C
[f] [Reg][f] [Reg]
500 [CHS] [PV]500 [CHS] [PV]
3 [n]3 [n]
600 [FV]600 [FV]
[i][i]
-500,00-500,00
+600,00+600,00
33
i = ?i = ?
BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D
[f] [Reg][f] [Reg]
1200 [FV]1200 [FV]
4 [n]4 [n]
2 [i]2 [i]
[PV][PV]
-VP-VP
+1.200,00+1.200,00
44
i = 2%i = 2%
BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E
[f] [Reg][f] [Reg]
800 [CHS] [PV]800 [CHS] [PV]
6 [n]6 [n]
3 [i]3 [i]
[FV][FV]
-800,00-800,00
+VF+VF
66
i = 3%i = 3%
BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F
[f] [Reg][f] [Reg]
580 [CHS] [PV]580 [CHS] [PV]
750 [FV]750 [FV]
8 [n]8 [n]
[i][i]
-580,00-580,00
+750,00+750,00
88
i = ?i = ?
BRUNIBRUNICaracterísticas dos compostosCaracterísticas dos compostos
Juros incidem sobre jurosJuros incidem sobre juros Valor futuro cresce Valor futuro cresce
exponencialmenteexponencialmente
Capitalização ExponencialCapitalização Exponencial
Valor Futuro
Tempo
VP
BRUNIBRUNICompostos superam simples?Compostos superam simples?
Valor Futuro
Tempo
VP
Juros simples maioresque compostos
Juros compostos maioresque simples
N = 1
BRUNIBRUNIPara valor de n …Para valor de n …
N < 1 N < 1 Juros simples são maiores Juros simples são maiores
que juros compostosque juros compostos
N = 1N = 1 Juros simples são iguais a Juros simples são iguais a
juros compostosjuros compostos
N>1N>1 Juros compostos são Juros compostos são
maiores que juros simplesmaiores que juros simples
BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais
““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.
(mesmo conceito em juros simples)(mesmo conceito em juros simples)
BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G
Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa Taxa compostacomposta igual a 3% a.m. igual a 3% a.m.
Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00
-$8.000,00 -$14.000,00 -X
BRUNIBRUNITaxa composta igual a 3% a.m.Taxa composta igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00 -$14.000,00 -X
$22.000,00 $23.339,80
$14.420,00
$8.919,80
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+i)n
VF = 22000 (1+0,03)2
VF = $23.339,80
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+i)n
VF = 14000 (1+0,03)1
VF = $14.420,00
0 1 2
BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H
Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um produto a vista por produto a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros compostacomposta, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.
BRUNIBRUNIResolução …Resolução …
-X -X
$500,00
0 1 2
i = 4% a.m. (JC)i = 4% a.m. (JC)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
VP = X / (1+0,04)1
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
VP = X / (1+0,04)2
VP = 0,9246.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 X = 500/1,8861 = $265,10
$264,91$264,91 $264,91$264,91
BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I
Uma empresa comercial, para efetuar o Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? deverá ser o valor de X?
BRUNIBRUNIEquivalência de taxasEquivalência de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.
BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência
ia = [(1+ib)ia = [(1+ib)(nb/na)(nb/na)]-1]-1
BRUNIBRUNIÉ mais fácil …É mais fácil …
Usar a HP12CUsar a HP12C
BRUNIBRUNIEnganando a HP 12CEnganando a HP 12C
Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C
-100,00-100,00
VF?VF?
1212
i = 79,59% a.a.i = 79,59% a.a.
i = 5% a. m. = ____ % a. a.?i = 5% a. m. = ____ % a. a.?
00
[f] [Reg][f] [Reg]
100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]12 [n]12 [n]
5 [i]5 [i]
[FV] [FV] 179,59179,59
179,59179,59
Suponha VP = 100Suponha VP = 100
BRUNIBRUNIEnganando a HP 12C (2!!!)Enganando a HP 12C (2!!!)
Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C
-100,00-100,00
180,00180,00
1212
i = 5,02% a. m.i = 5,02% a. m.
i = 80% a. a. = ____ % a. m.?i = 80% a. a. = ____ % a. m.?
00
[f] [Reg][f] [Reg]
100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]
180 [FV]180 [FV]
12 [n]12 [n]
[i] [i] 5,025,02
BRUNIBRUNIEnganando a HP 12C (2!!!)Enganando a HP 12C (2!!!)
Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C
-100,00-100,00
160,00160,00
1212
i = 3,99% a. m.i = 3,99% a. m.
i = 60% a. a. = ____ % a. m.?i = 60% a. a. = ____ % a. m.?
00
[f] [Reg][f] [Reg]
100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]
160 [FV]160 [FV]
12 [n]12 [n]
[i] [i] 3,993,99
BRUNIBRUNIUsando as antigas e funcionais Usando as antigas e funcionais
TabelasTabelas
BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937
BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599
19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159
20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Taxas nominaisTaxas nominaise unificadase unificadas
6
BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo
Entender o significado Entender o significado
das taxas nominaisdas taxas nominais
Saber operar taxas Saber operar taxas
nominais e unificadasnominais e unificadas
Compreender as Compreender as
operações com diferentes operações com diferentes
taxas de jurostaxas de juros
BRUNIBRUNINovo assunto …Novo assunto …
Taxas Taxas nominaisnominais
BRUNIBRUNITaxas nominaisTaxas nominais
Taxas de juros Taxas de juros apresentadas em uma apresentadas em uma unidade, porém unidade, porém capitalizadas em outracapitalizadas em outra
No Brasil, caderneta de No Brasil, caderneta de poupançapoupança
6% a. a., capitalizada 6% a. a., capitalizada mensalmentemensalmente
0,5% a. m.0,5% a. m.
BRUNIBRUNICalcule as taxas anuaisCalcule as taxas anuais
24% a.a., capitalizada 24% a.a., capitalizada mensalmentemensalmente
18% a.s., capitalizada 18% a.s., capitalizada mensalmentemensalmente
36% a.a., capitalizada 36% a.a., capitalizada semestralmentesemestralmente
8% a.a., capitalizada 8% a.a., capitalizada quadrimestralmentequadrimestralmente
BRUNIBRUNINovo assunto …Novo assunto …
Taxas Taxas unificadasunificadas
BRUNIBRUNITaxas unificadasTaxas unificadas
Resultam da incorporação sucessiva deResultam da incorporação sucessiva de
Juros reaisJuros reais
InflaçãoInflação Fórmula:Fórmula:
(1 + i(1 + iuu) = (1 + i) = (1 + irr).(1+i).(1+iii))unificadaunificada realreal inflaçãoinflação
BRUNIBRUNIPara fixarPara fixar
Um investidor aplicou Um investidor aplicou $450,00, recebendo $450,00, recebendo $580,00 após um $580,00 após um determinado período. determinado período. Sabendo que a inflação no Sabendo que a inflação no período foi igual a 8%, período foi igual a 8%, calcule a taxa real.calcule a taxa real.
BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo
Entendemos o significado das taxas Entendemos o significado das taxas
nominaisnominais
Sabemos operar taxas nominais e Sabemos operar taxas nominais e
unificadasunificadas
Compreendemos as operações com Compreendemos as operações com
diferentes taxas de jurosdiferentes taxas de juros
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Anuidades ou sériesAnuidades ou séries7
BRUNIBRUNIConceito de SériesConceito de Séries
Seqüencia de Seqüencia de pagamentos ou pagamentos ou
recebimentos em recebimentos em datas futuras, como datas futuras, como
contrapartida de contrapartida de recebimento ou recebimento ou
aplicação a valor aplicação a valor presentepresente
BRUNIBRUNITipos de sériesTipos de séries
UniformesUniformes Valores nominais iguaisValores nominais iguais
Não uniformesNão uniformes Valores nominais diferentesValores nominais diferentes
Este capítulo:Este capítulo:
Séries UniformesSéries Uniformes
BRUNIBRUNIClassificação das sériesClassificação das séries
AntecipadasAntecipadas Com entradaCom entrada Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …
PostecipadasPostecipadas Sem entradaSem entrada Exemplos … 2x, 5x, 6x …Exemplos … 2x, 5x, 6x …
BRUNIBRUNIA geladeira nova de PedroA geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma Pedro quer comprar uma geladeirageladeira
Na loja, $1.000,00 a vistaNa loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro Ou … em quatro iguaisiguais
mensais, sem entradamensais, sem entrada
Valores Valores nominaisnominais
iguaisiguais
SériesSériesUNIFORMESUNIFORMES
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa da loja?Taxa da loja?
i= 4% a.m.i= 4% a.m.Como obterComo obter
PMT?PMT?
ÁlgebraÁlgebraTabelasTabelasHP 12CHP 12CExcelExcel
BRUNIBRUNIUsando o bom sensoUsando o bom senso
Pagamentos Pagamentos em 1, 2, 3 e 4em 1, 2, 3 e 4
Prazo médio Prazo médio igual a 2,5igual a 2,5
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 2,5n = 2,5
Supondo JSSupondo JS
VFVF
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
VF = 1000 (1+0,04.2,5)VF = 1000 (1+0,04.2,5)
VF = 1100VF = 1100Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1100/4 = $275,00Pagamento = 1100/4 = $275,00
Cuidado!Cuidado!ValorValor
aproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples
Valor exato Valor exato com juros com juros
compostoscompostos
BRUNIBRUNIUsando a álgebraUsando a álgebra
n
n
inii
ia
1
11,
VP = aVP = an,in,i.PMT.PMT
BRUNIBRUNIUsando a tabelaUsando a tabela
N iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446
aan,in,i=3,6299=3,6299
Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49
BRUNIBRUNIUsando a HP 12CUsando a HP 12C
[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinalg Begg Beg g Endg Endouou
BRUNIBRUNINa HP 12CNa HP 12C
7BEGBEG
8ENDEND
BegBegin = Começo
Antecipado
Com entrada
Flag no visorFlag no visor
End = Final
Postecipado
Sem entrada
Sem FlagSem Flag
BRUNIBRUNIExemplo na HP 12CExemplo na HP 12C
[f] [Reg][f] [Reg]
1000 [PV]1000 [PV]
4 [n]4 [n]
4 [i]4 [i]
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
Sem entrada Sem entrada ouou
POSTECIPADAPOSTECIPADA
em inglêsem inglês
ENDEND
[g] [END][g] [END]
$275,49$275,49
[PMT][PMT]
Com JS, $275,00Com JS, $275,00
BRUNIBRUNIUsando o ExcelUsando o Excel
Pode usar a função …Pode usar a função …
=PGTO()=PGTO()
Tipo 0Tipo 0 Tipo 1Tipo 1ouou
BRUNIBRUNIE se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …
Com Com entrada entrada
……
BRUNIBRUNIUsando o bom sensoUsando o bom senso
Pagamentos Pagamentos em 0, 1, 2 e 3em 0, 1, 2 e 3
Prazo médio Prazo médio igual a 1,5igual a 1,5
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 1,5n = 1,5
Supondo JSSupondo JS
VFVF
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
VF = 1000 (1+0,04.1,5)VF = 1000 (1+0,04.1,5)
VF = 1060VF = 1060Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1060/4 = $265,00Pagamento = 1060/4 = $265,00
Cuidado!Cuidado!ValorValor
aproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples
Valor exato Valor exato com juros com juros
compostoscompostos
BRUNIBRUNIA geladeira nova de PedroA geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma Pedro quer comprar uma geladeirageladeira
Na loja, $1.000,00 a vistaNa loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais Ou … em quatro iguais
mensais, mensais, comcom entrada entrada
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
Com entradaCom entradaANTECIPADAANTECIPADAem inglêsem inglêsBEGINBEGIN
[f] [Reg][f] [Reg]
1000 [PV]1000 [PV]
4 [n]4 [n]
4 [i]4 [i][g] [BEG] [PMT][g] [BEG] [PMT]
$264,89$264,89
JC = $265,00, diferença de $0,11!!!JC = $265,00, diferença de $0,11!!!
BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A
Um televisor é anunciado Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações o valor das prestações supondo um plano do tipo:supondo um plano do tipo:
4 x sem entrada4 x sem entrada
BRUNIBRUNIAnalisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x
+600,00+600,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Sem entrada
Na HP 12C: g END
[f] [Reg][f] [Reg]
600 [PV]600 [PV]
4 [n]4 [n]
g [END]g [END]
2 [i]2 [i]
[PMT][PMT]
-157,5743-157,5743
BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B
Um televisor é anunciado Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações o valor das prestações supondo um plano do tipo:supondo um plano do tipo:
1 + 3 x1 + 3 x
BRUNIBRUNIAnalisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x
+600,00+600,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Com entrada
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg][f] [Reg]
600 [PV]600 [PV]
4 [n]4 [n]
g [BEG]g [BEG]
2 [i]2 [i]
[PMT][PMT]
-154,4846-154,4846
BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C
A Mercantil Precinho e A Mercantil Precinho e Descontão Ltda. pensa em Descontão Ltda. pensa em financiar suas vendas, financiar suas vendas, cobrando uma taxa cobrando uma taxa composta mensal sempre composta mensal sempre igual a 3% a. m. Calcule o igual a 3% a. m. Calcule o valor das prestações nas valor das prestações nas operações de venda operações de venda financiada apresentadas a financiada apresentadas a seguir.seguir.
BRUNIBRUNIa)a) Rádio SomzãoRádio Somzão
Valor a vista igual a $400,00, Valor a vista igual a $400,00, em três iguais, sem em três iguais, sem
entrada.entrada.
BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do SomzãoSomzão
+400,00+400,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
Sem entrada
Na HP 12C: g END
[f] [Reg][f] [Reg]
400 [PV]400 [PV]
3 [n]3 [n]
g [END]g [END]
3 [i]3 [i]
[PMT][PMT]
-141,4121-141,4121
BRUNIBRUNIb) Tocador de CD Musicalb) Tocador de CD Musical
Valor a vista igual a $240,00, Valor a vista igual a $240,00, entrada de $80,00 mais entrada de $80,00 mais cinco mensais iguais.cinco mensais iguais.
BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do MusicalMusical
+240,00+240,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
Entrada igual a 80
Na HP 12C: g END
[f] [Reg][f] [Reg]
160 [PV]160 [PV]
5 [n]5 [n]
g [END]g [END]
3 [i]3 [i]
[PMT][PMT]
55
-80,00-80,00
+160,00+160,00
-34,9367-34,9367
BRUNIBRUNIc) Televisor Veja Maisc) Televisor Veja Mais
Valor a vista igual a Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7.$1.200,00, em 1 + 7.
BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do Veja MaisVeja Mais
+1.200,00+1.200,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
1 + 7
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg][f] [Reg]1200 [PV]1200 [PV]8 [n]8 [n]g [BEG]g [BEG]3 [i]3 [i][PMT][PMT]
55 66 77
-165,97-165,97
BRUNIBRUNId) Refrigerador Esquimód) Refrigerador Esquimó
Valor a vista igual a Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3.$2.100,00, em 1 + 3.
BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do EsquimóEsquimó
+2.100,00+2.100,00
2200 11 33
-PMT-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
1 + 3
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg][f] [Reg]2100 [PV]2100 [PV]4 [n]4 [n]g [BEG]g [BEG]3 [i]3 [i][PMT][PMT]
-548,5017-548,5017
BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D
Um amplificador tem preço a vista Um amplificador tem preço a vista igual a $1.200,00. A loja cobra 4% igual a $1.200,00. A loja cobra 4% a. m. Calcule o valor das a. m. Calcule o valor das prestações mensais nos seguintes prestações mensais nos seguintes casos:casos:
Prestação = [PMT]Prestação = [PMT]
a)a) 5 x sem entrada5 x sem entrada
b)b) 1 + 31 + 3
c)c) Entrada de $300,00 + Entrada de $300,00 + 4 x4 x
BRUNIBRUNIa) 5 x sem entradaa) 5 x sem entrada
[f] Reg[f] Reg
1200 [PV]1200 [PV]
4 [i]4 [i]
5 [n]5 [n]
g [END] g [END] (sem entrada)(sem entrada)
[PMT] – 269,55[PMT] – 269,55
BRUNIBRUNIb) 1 + 3xb) 1 + 3x
[f] Reg[f] Reg
1200 [PV]1200 [PV]
4 [i]4 [i]
4 [n]4 [n]
g [BEG] g [BEG] (com entrada)(com entrada)
[PMT] -317,87[PMT] -317,87
BRUNIBRUNIc) $300,00 + 4 xc) $300,00 + 4 x
[f] Reg[f] Reg
900 [PV] 900 [PV] (abatendo a entrada)(abatendo a entrada)
4 [i]4 [i]
4 [n]4 [n]
g [END] g [END] (sem entrada)(sem entrada)
[PMT] -247,94[PMT] -247,94
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Sistemas deSistemas deamortizaçãoamortização
8
BRUNIBRUNIConceitoConceito
Forma de Forma de incidência e incidência e cálculo de juros e cálculo de juros e amortização do amortização do valor principal valor principal devidodevido
BRUNIBRUNISistemas de amortizaçãoSistemas de amortização
Sistema de Sistema de
amortizações amortizações
constantes (SAC)constantes (SAC)
Sistema de Sistema de
prestações prestações
constantes (Price)constantes (Price)
Sistema americanoSistema americano
BRUNIBRUNIAmortizações constantesAmortizações constantes
Amortizações Amortizações
iguaisiguais
Juros Juros
diferentesdiferentes
BRUNIBRUNIUm exemplo simples …Um exemplo simples …
Financiamento de $3.000,00Financiamento de $3.000,00 Taxa igual a 10% a. m.Taxa igual a 10% a. m. Três pagamentos mensais Três pagamentos mensais
11aa forma forma
SACSAC
BRUNIBRUNIAmortização e jurosAmortização e juros
NNSaldoSaldoInicialInicial JurosJuros AmortAmort SomaSoma SaldoSaldo
FinalFinal
11 30003000-10% de 3000-10% de 3000
-300-300 -1000-1000 -1300-1300 20002000
22 20002000-10% de 2000-10% de 2000
-200-200 -1000-1000 -1200-1200 10001000
33 10001000-10% de 1000-10% de 1000
-100-100 -1000-1000 -1100-1100 zerozero
SAC: $3.000,00 / 3 = $1.000,00
BRUNIBRUNIPara nunca esquecerPara nunca esquecer
Componha a planilha de Componha a planilha de
pagamento referente a pagamento referente a
um empréstimo de um empréstimo de
$8.000,00, a 5% a.m., $8.000,00, a 5% a.m.,
considerando quatro considerando quatro
prestações. Use o prestações. Use o
sistema SAC.sistema SAC.
BRUNIBRUNIPlanilha SACPlanilha SAC
N Inicial Juros Amort Total Final
1 8.000,00 -400,00 -2.000,00 -2.400,00 6.000,00
2 6.000,00 -300,00 -2.000,00 -2.300,00 4.000,00
3 4.000,00 -200,00 -2.000,00 -2.200,00 2.000,00
4 2.000,00 -100,00 -2.000,00 -2.100,00 0,00
BRUNIBRUNIPrestações constantesPrestações constantes
Amortizações Amortizações
diferentesdiferentes
Juros diferentesJuros diferentes
Prestações iguaisPrestações iguais
BRUNIBRUNIUm exemplo simples …Um exemplo simples …
Financiamento de $3.000,00Financiamento de $3.000,00 Taxa igual a 10% a. m.Taxa igual a 10% a. m. Três pagamentos mensais Três pagamentos mensais
22aa forma forma
PricePrice
BRUNIBRUNI
NNSaldoSaldoInicialInicial JurosJuros AmortAmort SomaSoma SaldoSaldo
FinalFinal
11 30003000-10% de 3000-10% de 3000
-300-300 -906,34-906,34 -1206,34-1206,34 2093,662093,66
22 2093,662093,66-10% de 2093,66-10% de 2093,66
-209,37-209,37 -996,98-996,98 -1206,34-1206,34 1096,681096,68
33 1096,681096,68-10% de -10% de 1096,681096,68
-109,67-109,67-1096,98-1096,98 -1206,34-1206,34 zerozero
Amortização e jurosAmortização e juros
Price: f Reg 3000 PV 3 n 10 i g End PMT-1.206,34
DiferençaDiferença
BRUNIBRUNIPara nunca esquecerPara nunca esquecer
Componha a planilha de Componha a planilha de
pagamento referente a pagamento referente a
um empréstimo de um empréstimo de
$8.000,00, a 5% a.m., $8.000,00, a 5% a.m.,
considerando quatro considerando quatro
prestações. Use o prestações. Use o
sistema Price.sistema Price.
BRUNIBRUNIPlanilha PricePlanilha Price
NN InicialInicial JurosJuros AmortAmort TotalTotal FinalFinal
11 8.000,008.000,00 -400,00-400,00 -1.856,09-1.856,09 -2.256,09-2.256,09 6.143,916.143,91
22 6.143,916.143,91 -307,20-307,20 -1.948,90-1.948,90 -2.256,09-2.256,09 4.195,014.195,01
33 4.195,014.195,01 -209,75-209,75 -2.046,34-2.046,34 -2.256,09-2.256,09 2.148,662.148,66
44 2.148,662.148,66 -107,43-107,43 -2.148,66-2.148,66 -2.256,09-2.256,09 0,000,00
BRUNIBRUNIAmericanoAmericano
Amortizações no Amortizações no
finalfinal
Juros periódicosJuros periódicos
BRUNIBRUNIExemplo típicoExemplo típico
DEBÊNTURESDEBÊNTURES
BRUNIBRUNICaracterísticasCaracterísticas
OBRIGAÇÃOOBRIGAÇÃO
DATA DE VENCIMENTODATA DE VENCIMENTO
PAGAMENTO DE JUROSPAGAMENTO DE JUROS
PERIÓDICOSPERIÓDICOS
BRUNIBRUNIA presença de coupons A presença de coupons periódicosperiódicos
BRUNIBRUNI
VALOR NOMINAL
$200.000,00VENCIMENTO
2 ANOS
COUPOM 10.000,00
1o SEMESTRE
COUPOM 10.000,00
2o SEMESTRE
COUPOM 10.000,00
3o SEMESTRE
COUPOM 10.000,00
4o SEMESTRE
Couponsperiódicos
Componentes das DebênturesComponentes das Debêntures
BRUNIBRUNI
0 1 2 3 4
VALOR NOMINAL
$200.000,00VENCIMENTO
2 ANOS
COUPOM 10.000,00
1o SEMESTRE
COUPOM 10.000,00
2o SEMESTRE
COUPOM 10.000,00
3o SEMESTRE
COUPOM 10.000,00
4o SEMESTRE
Taxa de descontoYield To Maturity
YTM
Prêmios …
TempoTempo
RiscoRisco
PreçoPreçoUnitárioUnitário
PUPU
Componentes e fluxo de caixaComponentes e fluxo de caixa
BRUNIBRUNI
0 1 2 3
400
... cupons semestrais a 18% a. a. ...… … periodiciade semestral …periodiciade semestral …
Taxa de remuneração = 9% a.s.Taxa de remuneração = 9% a.s.
Taxa de cupom = Taxa de cupom = NOMINALNOMINAL!!
9% de 400 = $36 mil9% de 400 = $36 mil
363636
Taxa de desconto = 16% a.a.Taxa de desconto = 16% a.a.Fluxos semestraisFluxos semestrais
= 7,7033% a.s.= 7,7033% a.s.
PU ou Preço UnitárioPU ou Preço Unitário YTMYTM
Taxa de remuneração > Taxa de desconto -> Ágio!Taxa de remuneração > Taxa de desconto -> Ágio!
BRUNIBRUNIPeríodPeríod
ooValor Valor nominalnominal JurosJuros FluxoFluxo VP(Fluxo)VP(Fluxo)
11 3636 3636 33,4252 33,4252
22 3636 3636 31,0345 31,0345
33 400400 3636 436436 348,9792 348,9792
SomaSoma 413,4388 413,4388
Taxa de desconto = 7,7033% a.s.Taxa de desconto = 7,7033% a.s. PUPU
BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo
Entendemos os príncípios Entendemos os príncípios básicos associados aos básicos associados aos sistemas de amortizaçãosistemas de amortização
Sabemos diferenciar os Sabemos diferenciar os sistemas SAC, Price e sistemas SAC, Price e AmericanoAmericano
Compreendemos a Compreendemos a composição das tabelas de composição das tabelas de amortização e jurosamortização e juros
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Séries nãoSéries nãouniformesuniformes
9
BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo
Entender os Entender os princípios princípios empregados na empregados na avaliação de séries avaliação de séries não uniformesnão uniformes
Saber aplicar o Saber aplicar o método do VPLmétodo do VPL
Compreender o uso Compreender o uso do método da TIRdo método da TIR
BRUNIBRUNIAnálise a …Análise a …
Valor Valor PresentePresente
BRUNIBRUNIDescriçãoDescrição
Considera a Considera a soma de soma de
TODOS os TODOS os fluxos de fluxos de caixa na caixa na
DATA ZERODATA ZERO
BRUNIBRUNITrazendo a valor presenteTrazendo a valor presente
Tempo
-500,00-500,00
200,
0020
0,00
250,
0025
0,00
400,
0040
0,00
Considerando CMPCConsiderando CMPCigual a 10% a. a.igual a 10% a. a.
181,82181,82206,61206,61300,53300,5368
8,96
688,
96
188,96188,96 Valor Presente Valor Presente LíquidoLíquido
BRUNIBRUNIVPL e HP 12CVPL e HP 12C
Funções financeirasFunções financeiras
[g] [CF[g] [CF00] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0
[g] [CF[g] [CFjj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j
Cuidado!! j <= 20 !!!Cuidado!! j <= 20 !!!
[g] [N[g] [Njj] – Abastece o número de repetições] – Abastece o número de repetições
[i] – Abastece o custo de capital[i] – Abastece o custo de capital
[f] [NPV] – Calcula o VPL[f] [NPV] – Calcula o VPL
NPV = NPV = NNet et PPresent resent VValuealue
BRUNIBRUNICalculando VPL na HP12CCalculando VPL na HP12C
Ano FC
0 -500
1 200
2 250
3 400
[f] [Reg][f] [Reg]
500 [CHS] [g] [CF500 [CHS] [g] [CF00]]
200 [g] [CF200 [g] [CFjj]]
250 [g] [CF250 [g] [CFjj]]
400 [g] [CF400 [g] [CFjj]]
10 [i] [f] [NPV]10 [i] [f] [NPV]
188,96188,96
BRUNIBRUNIUso do VPLUso do VPL
VPLVPL ZeroZero>><<
Aceito!!!Aceito!!!
Rejeito!!!Rejeito!!!
BRUNIBRUNIUma das taxas …Uma das taxas …
Taxa Interna Taxa Interna de Retornode Retorno
BRUNIBRUNI
(100,00)
(50,00)
-
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
0% 10% 20% 30% 40%
Perfil do VPLPerfil do VPL
CMPC 10% 15% 20% 25% 30% 35%
VPL 188,96 125,96 71,76 24,80 -16,16 -52,10
Relação inversa entre CMPC e VPLRelação inversa entre CMPC e VPL
Taxa Interna de RetornoTaxa Interna de RetornoTIR = 27,95%TIR = 27,95%
Tempo-500,00-500,00
200,
0020
0,00
250,
0025
0,00
400,
0040
0,00
BRUNIBRUNICálculo matemático da TIRCálculo matemático da TIR
Solução polinomial …Solução polinomial …
321 1
400
1
250
1
200500
KKKVPL
321 1
400
1
250
1
2005000
TIRTIRTIR
VPL = 0, K = TIRVPL = 0, K = TIR
TIR é raiz do polinômio …TIR é raiz do polinômio …
BRUNIBRUNINa prática …Na prática …
HP 12C:HP 12C:[f] [IRR][f] [IRR]
Excel:Excel:=TIR(=TIR(FluxosFluxos))
BRUNIBRUNITIR e HP 12CTIR e HP 12C
Funções financeirasFunções financeiras
[g] [CF[g] [CF00] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0
[g] [CF[g] [CFjj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j
Cuidado!! j <= 20 !!!Cuidado!! j <= 20 !!!
[g] [N[g] [Njj] – Abastece o número de repetições] – Abastece o número de repetições
[f] [IRR] – Calcula a TIR[f] [IRR] – Calcula a TIR
IRR = IRR = IInternal nternal RRate of ate of RReturneturn
BRUNIBRUNICalculando TIR na HP12CCalculando TIR na HP12C
Ano FC
0 -500
1 200
2 250
3 400
[f] [Reg][f] [Reg]
500 [CHS] [g] [CF500 [CHS] [g] [CF00]]
200 [g] [CF200 [g] [CFjj]]
250 [g] [CF250 [g] [CFjj]]
400 [g] [CF400 [g] [CFjj]]
[f] [IRR][f] [IRR]
27,9527,95
BRUNIBRUNIUso da TIRUso da TIR
TIRTIR CMPCCMPC>><<
Aceito!!!Aceito!!!
Rejeito!!!Rejeito!!!
BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Referências dosReferências dosslides.slides.
!
BRUNIBRUNIFonte das figuras utilizadasFonte das figuras utilizadas
Quase todas as figuras utilizadas neste Quase todas as figuras utilizadas neste conjunto de slides foram obtidas das conjunto de slides foram obtidas das seguintes fontes:seguintes fontes:
100.000 MultImídia Pack. 100.000 MultImídia Pack. Revista Expert Revista Expert PremiumPremium, São Paulo: CD Expert Editora e , São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000.Distribuidora Ltda, 2000.
30.000 Multimídia Pack. Revista Expert 30.000 Multimídia Pack. Revista Expert Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000.Distribuidora Ltda, 2000.
BRUNIBRUNIVisite!!!!Visite!!!!
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