Sistemas Lineares e Invariantes:

Tempo Contínuo e Tempo Discreto

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

jmauricio@cear.ufpb.br

1

Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Definição de Sistemas

2

• Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de Transformação T{.}

x(t) y(t)

x[n] y[n]

Sistema no Tempo Contínuo

Sistema no Tempo Discreto

Sistemas Lineares e

Invariantes de Tempo

Contínuo

3

Sistemas Lineares de Tempo Contínuo

• Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou

seja, satisfaz as propriedades de:

Aditividade

Homogeneidade.

• O princípio de superposição é a base para o estudo

aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia:

Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem,

etc.

4

Propriedade da Aditividade

5

1 1

1 2 1 2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y t T x t

y t y t y t T x t x t

y t T x t

Propriedade da Homogeneidade

6

( ) ( ) ( ) ( )y t T x t ay t T ax t

Determinar se sistema é Linear?

7

2

2( )

y ya b c u t

t t

Aditividade

21 1

12

22 2

22

( )

( )

y ya b c x t

t t

y ya b c x t

t t

21 2 1 2

1 22

( ) ( )2 ( ) ( )

y y y ya b c x t x t

t t

Homogeneidade

2

2

2

2

( )

( ) ( )( )

y ya b c x t

t t

y ya b c x t

t t

2

2

( ) ( )( )

y ya b c x t

t t

É um sistema Não Linear

Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo

Deslocamento na saída

Deslocamento na entrada

• Um sistema é invariante no tempo se para um

deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um

deslocamento no tempo na sinal de saída

0 0

8

( ) { ( )}y t T x t

0 0( ) { ( )}y t t T x t t

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes • Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo

são descritos utilizando equações diferenciais com

coeficientes constantes.

• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante

pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância

no tempo em cada operação.

9

0 0

( ) ( )k kN M

k kk kk k

d y t d x ta b

dt dt

Exemplo – Sistema Mecânico

10

2

2( )

y ym b ky u t

t t

Equação Diferencial

0

1

tempo (s)0

tempo (s)

0

1

tempo (s)0

tempo (s)

x(t-t0)

x(t)

y(t-t0)

y(t)

É um sistema Invariante no tempo

Modelagem do Motor de Corrente Continua

11

Aspectos Construtivos de um Motor CC

12

Aplicações Típicas de Motor CC

• Máquinas de Papel

• Bobinadeiras e desbobinadeiras

• Laminadores

• Máquinas de Impressão

• Extrusoras

• Prensas

• Elevadores

• Movimentação e Elevação de Cargas

• Moinhos de rolos

• Indústria de Borracha

• Mesa de testes de motores

13

Modelagem do Motor CC

• A modelagem do motor de corrente contínua envolve duas

etapas:

Modelagem elétrica;

Modelagem mecânica.

14

Modelagem Elétrica

15

Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da

armadura:

Quando a armadura está girando é induzida nesta uma tensão

proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular.

Modelagem Elétrica

16

Em seguida tem-se o circuito equivalente completo do motor com

campo separado.

Modelagem Elétrica

17

Corrente em função da diferença

da tensão terminal aplicada e a

contraforça eletromotriz de

armadura.

Modelagem Elétrica

18

Modelagem Mecânica

19

20

Modelagem Mecânica

21

Modelagem Completa

Controle da velocidade do motor em função da tensão terminal do motor de corrente contínua.

22

Parâmetros para simulação

Ra=7.9969 La=172.4836e-3 J=11.983398e-3 B=2.77315e-3 kw=0.521149 kt=0.521149 TL = 0

23

Resposta ao Degrau e Impulso

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6Impulse Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

System: sys

Time (seconds): 0.33

Amplitude: 1.13

Step Response

Time (seconds)

Sistema de primeira ordem

(aproximadamente)

63%*1,8 = 1,13

Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal)

24

Resposta em Frequência

-30

-20

-10

0

10

Magnitude (

dB

) System: sys

Frequency (rad/s): 0.115

Magnitude (dB): 4.97

System: sys

Frequency (rad/s): 3.07

Magnitude (dB): 1.97

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

w

=-3 dB

Linear Invariante

no Tempo

Não Linear Não Linear Variante no Tempo

Exemplo - Circuito Elétrico

25

( )2 3 ( ) ( )

di ti t v t

dt 2( )

2 3 ( ) ( )di t

i t v tdt

( )2 3 ( ) 4 ( )

di ti t v t

dt

( )2 3 ( ) ( )

di tt i t v t

dt

Características de Sistemas Lineares e

Invariantes

• A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui

a base para a análise de sistemas, tais como:

A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma

ponderada de impulsos, é a base para o método de

convolução.

A representação de um sinal x(t) como uma combinação

linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier.

A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada

de exponenciais complexas é a base para as transformadas de

Fourier e de Laplace.

26

Características de Sistemas Lineares e

Invariantes

• Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo

podem ser analisados através de equações diferenciais.

• Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas

usando superposição mesmo tendo condições iniciais

diferentes de zero.

• A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem

do sistema, a formulação das equações diferenciais e a

avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa.

27

Sistemas Lineares e

Invariantes de Tempo Discreto

28

Sistemas Lineares de Tempo Discreto

• Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e

implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e

que a equação do sistema envolva apenas operadores

lineares.

• Pode–se utilizar a superposição para um sistema com

condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear.

Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo

entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas

adicionais.

29

Sistemas Lineares de Tempo Discreto

• Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida

a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido

apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero

(devido apenas à entrada).

• Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas

lineares na presença de condições iniciais distintas de zero.

Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero

obedecem à superposição.

30

Sistemas Invariante de Tempo Discreto

• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da

resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada

x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.

31

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

[ ] sin( . [ ])y n a x n

Deslocamento na saída duas unidades de tempo

Deslocamento na entrada duas unidades de tempo

Exemplo 1

1

1 1

2 1 0

2 2 1 0

Determinar seo sistema é invariante no tempo

[ ] sin( [ ])

SOLUÇÃO:

Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :

[ ] sin( [ ]) (1)

Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :

[ ] sin( [ ]) sin( [ ]) (2)

Para

y n x n

x n

y n x n

x n x n n

y n x n x n n

1

1 1

2 1

um deslocamento da saída [ ]

[ ] sin( [ ]) (3)

Comparando (2) e (3):

[ ] [ ]

Portanto,o sistema é invariante no tiempo

o o

o

y n

y n n x n n

y n y n n

SLIT

Exemplo 2

1

1 1

2 1 0

2 2 1 0

Determinar se osistema é invariante no tempo

[ ] [ ]

SOLUÇÃO:

Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :

[ ] [ ] (1)

Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :

[ ] [ ] [ ] (2)

Para um deslocamento da

y n nx n

x n

y n nx n

x n x n n

y n nx n nx n n

1

1 1

2 1

saída [ ]

[ ] ( ) [ ] (3)

Comparando-se (2) e (3) :

[ ] [ ]

Portanto, o sistema é variante no tempo

o o o

o

y n

y n n n n x n n

y n y n n

SLIT

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes • Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com

equações em diferença que relacionam a entrada e a saída.

34

1 1[ ] [ 1] [ 2] 4 [ ]

6 6y n y n y n x n

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo

discreto, deve-se considerar que:

Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída

trazem como consequência a não linearidade do sistema.

Um termo constante também torna não linear o sistema.

Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções

explícitas de n tornam o sistema variante no tempo.

As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar,

por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no

tempo.

35

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

36

• Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos

de uma somatória de impulsos unitários escalados e

deslocados no tempo.

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

37

x[n]= …+ 7[n+2] + 5[n+1] + 3[n] + 5[n1] +...

x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +...

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a

um impulso localizado no instante k

• Sendo o sistema invariante no tempo:

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

T { }[n-k] hk[n] knTnhk

38

knhknTnhk

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

T { }x[n] y[n]

Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos

k

knkxnx

k

knkxTny

k

knTkxny

39

k

knhkxny

k k

y n x k h n k h k x n k

Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução.

Somatoria da Convolução

[ ]* [ ]y n x n h n h n x n

40

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

Exemplo da Convolução de um SLIT

41

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

42

43

44

45

46

Resultado da Convolução

47

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

O método da convolução permite encontrar a resposta do sistema a uma entrada arbitraria, conhecendo-se previamente a resposta ao impulso h[n].

Características de Sistemas Lineares e

Invariantes

• A representação de um sinal x[n] como uma soma

ponderada de impulsos deslocados, é a base para o

método de convolução discreta.

• A representação de um sinal x[n] como uma combinação

linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base

da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a

transformada z.

48

Causalidade de um Sistema LIT

• A saída de um sistema causal somente depende dos valores

atuais e passados da entrada .

• Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve

depender de x[k], para k>n:

então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para

k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0

49

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

Causalidade de um Sistema LIT

• Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0:

• Ou de forma equivalente:

50

[ ] [ ] [ ]n

k

y n x k h n k

0

[ ] [ ] [ ]k

y n h k x n k

Sistemas Lineares e Invariantes:

Tempo Contínuo e Tempo Discreto

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