Post on 05-Aug-2015
Sistema de Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e
alguns problemas relacionados a lugares geométricos.
No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se
sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P
consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um
ponto fixo e a um semi-eixo fixo.
O ponto P é determinado a partir do par ordenado (r , ), onde r é
denominado raio vetor, e o ângulo vetorial de P.
r = distância entre P e a origem
= medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.
1
r
(r, )
O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas
representadas por (r, +2k ), onde K é um inteiro ou ainda P pode ser representado
por (-r, +2k ), sendo K qualquer inteiro ímpar.
Transformações de Coordenadas
Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em
coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois
sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema
cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas.
Para isso tomemos o ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e
coordenadas polares (r, ), temos:
i)
Observamos que:
cos = e sen =
2
ii)
cos = = e sen = =
Portanto,
x = r cos
y = r sen
3
Usando x = r cos e y = r sen , vem que:
x² = r²cos²
y² = r²sen²
x² + y² = r²
Portanto,
r = .
Podemos também transformar equações polares em cartesianas e vice-versa.
Gráficos com coordenadas polares
Como já foi dito, o uso de coordenadas polares simplifica em alguns casos a
representação de equação de curvas.
O gráfico de F(r, ) = 0 é formado por todos os pontos cuja as coordenadas
polares satisfazem a equação.
A equação é apresentada da seguinte forma:
r = f ( )
Para traçarmos o gráfico usaremos os seguintes procedimentos:
1) Calcular os pontos máximos e / ou mínimos;
2) Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;
3) Verificar a simetria:
- Se a equação não se altera ao substituirmos r por –r, ou seja, simetria em relação à origem.
- Se a equação não se altera ao substituirmos por – , ou seja, simetria em relação
o eixo polar.
4
- Se a equação não se altera ao substituirmos por , ou seja, existe simetria em
relação o eixo .
O uso de algumas relações trigonométricas será útil nesse procedimento:
- cos = cos(- ), cos = - cos( ) e cos = cos( )
- sen = - sen( ), sen = sen( ) e sen = sen( )
Equações de algumas curvas em coordenadas polares
- Equações de reta
Se uma reta passa pelo pólo, sua equação polar é da forma:
= k
Onde k é uma constante, que representa o ângulo vetorial de qualquer ponto
sobre a reta.
*Paralelos ao eixo polar:
5
r sen = a, a>0 r sen = a, a<0
Paralelos ao eixo
6
a
0
A 0
a
A
b0 A 0 b A
r cos = b, b<0 r cos = b, b>0
- Circunferências
i) r = c: circunferência com centro no pólo e raio |c|;
ii) r = a cos : circunferência com centro na reta = 0, passando pelo pólo e raio ;
iii) r = a sen : circunferência com centro na reta = , passando pelo pólo e raio
.
7
r = 2 r = 3 cos r = -2 sen
-Limaçons
r = a + b sen ou r = a + b cos , n inteiro positivo, a 0 e b 0
Se |a|<|b| apresentam laço.
Se a = b recebem o nome de cardióide pelo formato de coração da curva.
r = 1+2 sen r = -3-2.2 cos r = -2-2 sen
- Rosáceas
r = asen ou r = acos , n iteiro positivo, a 0. Se n é par, o gráfico consiste
de 2n laços.
Se n é ímpar, o gráfico consiste de n laços. Observe que se n = 0 ou n = 1,
obtém-se equações de circunferências ou o pólo (caso r = asen(nt)).8
r = 2sen(3t) r = 2sen(4t)
- Lemniscatas
r² = acos(2 ) ou r² = asen(2 )
r² = -4cos r² = 4sen r² = 4cos r² = -4sen
- Espirais
i) r = a (espiral de Arquimedes);
ii) r = (espiral hiperbólica);
9
iii) r = , a>0 (espiral logarítmica)
iv) r = a (espiral parabólica)
Exemplos de construção de Gráficos
10
Exemplo 1 : Esboce o gráfico de r = 1+6/ para 0 .
Solução
A tabela seguinte mostra alguns valores escolhidos para entre 0 e e os valores de
r correspondentes:
0
r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Localizando os pontos polares (r, ) mostrados na tabela e conectando-os por meio
de uma curva contínua, obtém-se o gráfico desejado.
11
Exemplo 2 : Esboce o gráfico de r = 3+3 cos para 0 .
12
r
0 6
3
3
-
Área em coordenadas polares
Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada pela curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um setor circular de
raio r e ângulo-ao-centro , ou seja:
Área do setor circular =
Seja r = f( ) uma função contínua e não-negativa de , em que e
0< . Começamos por fazer uma partição regular de [ ] em n sub-
intervalos todos iguais, de comprimento = . Em seguida, escolhemos um
ponto qualquer , em que i = 1,...,n:
13
Notemos que quanto maior for n e menor for , mais as regiões obtidas com
esta partição se assemelharão a setores circulares.
Portanto, se podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é
semelhante a área de um setor circular de raio f e ângulo-ao-centro , ou seja:
No limite, quando n e 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor exato da
área delimitada pela curva polar de equação r = f( ) no intervalo , valor
esse que pode ser calculado por meio da seguinte integral:
Exemplo 3 : Ache a área da região limitada pelo gráfico de r = 3+2cos
14
Solução
A curva do exemplo 3 é chamada limaçon é uma curva fechada traçada
completamente quando percorre o intervalo [0, [ :
0
r 5 3 1 3 5
15
Exercícios Propostos (Cálculo A – Seção 8.11)
Calcule a área limitada pela curva dada.
Solução
16
Solução
17
18
Solução
19
20
Solução
21
22
23