Cap10 Sec6 Conicas Em Coordenadas Polares

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Capítulo 10Equações

Paramétricas e Coordenadas Polares


Na seção

anterior definimos

a parábola

em

termos

de um foco

e da

diretriz, mas

definimos

a elipse

e a hipérbole

em

termos

de dois

focos.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES


10.6Seções Cônicas em

Coordenadas Polares

Nesta

seção, nós:Definiremos

a parábola, elipse

e hipérbole

em

termos

de um foco

e da

diretriz.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES


SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES

Além

disso, colocaremos

o foco

na

origem; assim, uma

seção

cônica

terá

uma

equação

polar simples.

O que fornece uma descrição conveniente do movimento dos planetas, satélites e cometas.


SEÇÕES CÔNICAS Teorema 1

Seja

F um ponto

fixado

(chamado

foco) e l uma

reta

fixada

(denominada

diretriz) em

um plano.

Seja

e um número

positivo

fixado

(conhecido

como

excentricidade).


O conjunto

de todos

os

pontos

P no plano

tal

que

(ou

seja, a razão

da

distância

a F e da

distância

a l é

a constante

e) é

uma

seção

cônica.

PFe

Pl=



A cônica

é

a)

uma

elipse

se e <

1.

b)

uma

parábola

se e =

1.

c)

uma

hipérbole

se e >

1.



Observe que, se a excentricidade

for e

= 1, então

|PF| = |Pl|

Assim a condição dada simplesmente se torna a definição de uma parábola, como mostrado naSeção 10.5.

SEÇÕES CÔNICAS Demonstração


Vamos

colocar

o foco

F na

origem

e a

diretriz

paralela

ao

eixo

y e d unidades

para

a direita.



Então

a diretriz

tem a equação

x =

d e é perpendicular ao

eixo

polar.

Se o ponto

P tiver coordenadas

polares

(r, θ), vemos

a partir

da figura

que

|PF| = r |Pl| = d

–

r

cos

θ



Então, a condição

|PF| / |Pl| = e

ou

|PF| = e|Pl|, torna-se:

r

= e(d

–

r

cos θ)

SEÇÕES CÔNICAS Demo – Eq. 2


Se elevarmos

ao

quadrado

ambos os

lados

dessa

equação

polar e convertermos

para

coordenadas

retangulares, teremos

x2

+ y2

= e2(d

–

x)2

= e2(d2

– 2dx

+ x2)

ou

(1 –

e2)x2

+ 2de2x

+ y2

= e2d2



Depois

de completar

os

quadrados, temos

Se e < 1, reconhecemos

a Equação 3 como a equação

de uma

elipse.

22 2 2 2

2 2 2 21 1 (1 )e d y e dx

e e e⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠



De fato, ela

é

da

forma

onde

2 2

2 2

( ) 1x h ya b−

+ =

2 2 2 2 22 2

2 2 2 21 (1 ) 1e d e d e dh a b

e e e= − = =

− − −



Na Seção

10.5 descobrimos

que

os

focos

de uma

elipse

estão

a uma

distância

c do

centro, onde4 2

2 2 22 2(1 )

e dc a be

= − =−



Isso

mostra

que

e confirma

que

o foco

como

definido

no

Teorema

1 significa

a mesma

coisa

que

o

foco

definido

na

Seção

10.5.

2

21e dc h

e= = −

−



Também

segue das Equações

4 e 5 que

a excentricidade

é

dada por

Se e

> 1, então

1 –

e2

< 0 e vemos

que

a Equação 3 representa

uma

hipérbole.

cea

=




Da

mesma

maneira

que

fizemos anteriormente, poderíamos

reescrever

a

Equação 3 na

forma

e ver

que

onde c² = a² + b²

2 2

2 2

( ) 1x h ya b−

− =

cea

=


Isolando

r na

Equação 2, vemos

que

a equação

polar da

cônica

mostrada

na

figura

pode

ser escrita

como

1 cosedre θ

=+

SEÇÕES CÔNICAS


Se a diretriz

for escolhida

como

estando

à esquerda

do foco

em

x

= –d, ou

se a diretriz

for escolhida

como

estando

paralela

ao

eixo polar em

y

= ±d, então

a equação

polar da

cônica

é

dada pelo

seguinte

teorema.

SEÇÕES CÔNICAS


A equação

polar da

forma

representa

uma

seção

cônica

com excentricidade

e. A cônica

é

uma elipse se e < 1.uma parábola se e = 1.uma hipérbole se e > 1.



.

Veja

a ilustração do teorema.



Encontre

uma

equação

polar para

uma

parábola

que

tem seu

foco

na

origem

e cuja

diretriz

é

a reta

y

= –6.

SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 1


Usando

o Teorema

6 com e

= 1 e d

= 6, e usando

a parte (d) da

figura, vemos

que

a

equação

da

parábola

é



Uma

cônica

é

dada pela

equação

polar

Encontre a excentricidade.Identifique a cônica.Localize a diretriz.Esboce a cônica.

103 2cos

rθ

=−



Dividindo

numerador

e denominador

por

3, escrevemos

a equação

como

Do Teorema 6, vemos que isso representa umaelipse com e = 2/3.

103

231 cos

rθ

=−



Como ed

= 10/3, temos:

logo, a diretriz

tem a equação

cartesiana x

= –5.

10 103 3

23

5de

= = =



Quando

θ

= 0, r

= 10.

Quando

θ

= π, r

= 2.

Assim os vértices têm coordenadas polares (10, 0) e (2, π).

A elipse é esboçadana figura.



Esboce

a cônica

Escrevendo a equação na forma

vemos

que

a excentricidade

é

e

= 2 e, portanto, representa

uma

hipérbole.



Como ed = 6, d = 3 e a diretriz tem a equação y = 3.

Os vértices ocorrem quando θ = π /2 e 3π /2; assim eles são (2, π/2) e (–6, 3π /2) = (6,π /2).

É

também

útil

marcar

os

pontos

de intersecção

com o eixo

x. Estes ocorrem

quando

θ

= 0, π

e em

ambos os

casos

r

= 6.



Para maior

precisão

poderíamos

desenhar as assíntotas.

Observe que r → ±∞ quando 1 + 2 sen θ→ 0+ ou 0-

e 1 + 2 sen θ = 0 quando sen θ = –½.

Então, as assíntotas são paralelas aos raiosθ = 7π/6 e θ = 11π /6.



Veja

a hipérbole

esboçada.



Na rotação

de seções

cônicas descobriremos

que

é

muito

mais

conveniente

usar

as equações

polares

do que

as equações

cartesianas.

Apenas usamos o fato de que (veja o Exercício 77, na Seção 10.3) o gráfico de r = f(θ – α) é o gráficode r = f(θ) que gira no sentido anti-horário ao redorda origem por um ângulo α.

SEÇÕES CÔNICAS


Se a elipse

do Exemplo

2 girar

por

um

ângulo

π /4 ao

redor

da

origem, encontre

uma

equação

polar e trace a elipse

resultante.



Obtemos

a equação

da

elipse

que

gira trocando

θ

com

θ

–

π/4

na

equação

dada no

Exemplo

2.

Assim

a nova equação

é

103 2cos( / 4)

rθ π

=− −



Usamos

essa

equação

para

traçar

a elipse girada

na

Figura

5.

Observe que a elipse gira ao redor de seu focoesquerdo.



EFEITO DE EXCENTRICIDADE

Usamos

um computador

para

esboçar diversas

cônicas

para

ilustrar

o efeito

da

variação

da

excentricidade

e.


Observe que:

quando e está próxima de 0 a elipse épraticamente circular;

quando e → 1-, ela se torna mais alongada.



Quando

e

= 1, claro, a cônica

é

uma

parábola.



LEIS DE KEPLER

Em

1609, o matemático

e astrônomo

alemão

Johannes Kepler, com base em

uma

enorme

quantidade

de dados astronômicos, publicou

as seguintes

três

leis do movimento

planetário.


1.

Um planeta

gira

em

torno

do Sol em

uma

órbita elíptica, com o Sol em

um dos focos.

2. O segmento

de reta

ligando

o Sol a um planeta varre

áreas

iguais

em

tempos iguais.

3. O quadrado

do período

de revolução

de um planeta

é

proporcional

ao

cubo

do comprimento

do eixo

maior

de sua

órbita.

LEIS DE KEPLER


LEIS DE KEPLER

Embora

Kepler

tenha

formulado

suas

leis em

termos

dos movimentos

dos planetas

em

torno

do Sol, elas

se aplicam

igualmente

bem

ao

movimento

de luas, cometas,

satélites

e outros

corpos

sujeitos

a uma

única

força

gravitacional.


Na seção

13.4 mostraremos

como

deduzir

as

leis de Kepler

a partir

das leis de Newton.

Aqui, usamos

a Primeira

Lei de Kepler, com a equação

polar de uma

elipse, para

calcular

quantidades

de interesse

em

astronomia.

LEIS DE KEPLER


Para o propósito

de cálculos

astronômicos, é

útil

expressar

a equação

de uma

elipse

em

termos

de sua

excentricidade

e e de seu

semieixo

maior

a.

LEIS DE KEPLER


Podemos

escrever

a distância

do foco

à

diretriz

em

termos

de a se usarmos

(4):

Assim, ed = a(1 – e2).

2 2 2 2 22 2

2 2 2

2

(1 )(1 )

(1 )

e d a ea de e

a ede

−= ⇒ =

−

−⇒ =

LEIS DE KEPLER


Se a diretriz

for x d, então

a equação

polar é

LEIS DE KEPLER


A equação

polar de uma

elipse

com foco

na

origem, semieixo

maior

a, excentricidade

e,

e diretriz

x =

d pode

ser escrita

na

forma

2(1 )1 cosa er

e θ−

=+

LEIS DE KEPLER Equação 7


PERIÉLIO E AFÉLIO

As posições

de um planeta

que

estão

mais

próximas

e mais

distantes

do Sol são

chamadas

periélio e afélio,

respectivamente, e

correspondem

aos

vértices

da

elipse.


As distâncias

do Sol ao

periélio

e afélio

são

chamadas

distância do periélio e distância do afélio, respectivamente.

DISTÂNCIAS DE PERIÉLIO E AFÉLIO


Nesta

figura

o Sol está

no foco

F, de modo

que

no periélio

temos

θ

= 0 e, da

equação

7,

2(1 )1 cos0

(1 )(1 )1

(1 )

a ere

a e ee

a e

−=

+− +

=+

= −

PERIÉLIO E AFÉLIO


Analogamente, no afélio,

θ

= π e

r

= a(1 -

e).

A distância

do periélio

de um planeta

ao

Sol é

a(1 -

e)

e a distância

do afélio

é

a(1 + e).

PERIÉLIO E AFÉLIO Equação 8


a.Encontre

uma

equação

polar aproximada para

a órbita

elíptica

da

Terra em

torno

do

Sol (em

um foco), dado que:

a excentricidade é cerca de 0,017;o comprimento do eixo maior é cerca de 2,99 X 108 km.

b.Encontre

a distância

da

Terra ao

Sol no periélio

e no afélio.

PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5


O comprimento

do eixo

maior

é2a

= 2,99 x 108

de modo

que

a

= 1,495 x 108.

Nos

foi

dado que

e =

0,017.

PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5 a


Assim, da Equação 7, uma equação da órbita daTerra em torno do Sol é:

ou, aproximadamente,

PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5 a


De (8), a distância

do periélio

da

Terra ao

Sol é:

e a distância

do afélio

PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5 b

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